9 정리와 역사 노트

9.1 한 장 요약

	내용	증명의 핵심
셈의 원리	$\tfrac{n!}{(n-k)!}$ 순열, $\tbinom nk=\tfrac{n!}{k!(n-k)!}$ , Pascal 항등식, 이항정리	곱의 법칙, 원소 하나로 나누기
점수 분배	$f(a,\allowbreak b)=\sum_{k\ge a}\tbinom{a+b-1}k p^kq^{a+b-1-k}$	가상의 연장 (Fermat)
공리	$P\ge0$ , $P(\Omega)=1$ , 가산가법성	—
기본 성질	여사건, 단조성, $P(A\cup B)$ , Boole	서로소로 쪼개기
포함배제	$P(\bigcup A_i)=\sum_k(-1)^{k+1}S_k$	귀납법 / 각 점이 한 번
Montmort	$p_n=\sum_{k=1}^n\tfrac{(-1)^{k+1}}{k!}\to1-\tfrac1e$	$S_k=\tfrac1{k!}$
연속성	$A_n\uparrow A\Rightarrow P(A_n)\to P(A)$	$B_n=A_n\setminus A_{n-1}$
고전적 정의	균등 확률공간에서 $P(A)=\|A\|/\|\Omega\|$	이산 확률공간
조건부확률	$P(A\mid B)=P(AB)/P(B)$ , 그 자체로 확률	공리 확인
세 법칙	곱셈법칙, 전확률 공식, 베이즈 정리	소거, 분할
독립	$P(AB)=P(A)P(B)$ , 상호 독립은 모든 부분 모임	여사건으로 바꾸기
Pascal의 재귀	$f(a,b)=pf(a-1,b)+qf(a,b-1)$	전확률 + 유일성
분포함수	비감소, 양 끝 0과 1, 오른쪽 연속, $P(X=x)=F(x)-F(x-)$	연속성 정리
부숴보기	$\NN$ 위의 균등 확률 없음, Vitali 집합	가산가법성

9.2 Stigler의 명명 법칙

Stigler's law of eponymy “어떤 과학 법칙도 처음 발견한 사람의 이름을 달고 있지 않다.”

Pascal의 삼각형: 중국의 가헌(Jia Xian, 11세기)과 이를 전한 양휘(Yang Hui, 1261), 페르시아의 al-Karaji(1000년 무렵)가 먼저 알았다. 이탈리아에서는 Tartaglia의 삼각형이라고도 부른다.
베이즈 정리: 일반적인 형태로 쓰고 널리 퍼뜨린 사람은 Laplace(1774)였다. Stigler(1983)는 맹인 수학자 Nicholas Saunderson이 Bayes보다 먼저 알았을 가능성을 제기했다.
Monty Hall 문제: 같은 함정이 Bertrand(1889)의 상자 역설에 이미 있다.

9.3 7 Pillars 지도

Stigler(2016)의 일곱 기둥(Aggregation, Information, Likelihood, Intercomparison, Regression, Design, Residual)은 모두 이번 회차의 언어 위에 선다. 1회는 기둥을 세울 땅, 곧 확률의 언어다. 첫 기둥 Aggregation(관측을 모으면 정보가 늘어난다)은 2회에서 Bernoulli의 대수의 법칙과 함께 세운다.

9.4 다음 회 — 기댓값·부등식·대수의 법칙 (1657 → 1867)

Huygens의 “기대 몫”(1.5절)을 확률변수의 기댓값으로 정의하고, 분산과 적률생성함수를 세운다. 그리고 Jacob Bernoulli가 20년을 들여 증명한 “황금정리”로 간다. 동전을 몇 번 던지면 앞면의 비율을 “거의 확실하게” 알 수 있는가? Bernoulli의 답은 25,550번이었다. 2절의 상대도수 해석이 왜 정당한지, 8.1절의 $1/\sqrt n$ 이 어디서 오는지가 그 답 안에 있다.

참고문헌

Stigler, S. M. The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900. Harvard, 1986.
Stigler, S. M. Who discovered Bayes's theorem? The American Statistician 37 (1983).
Stigler, S. M. The Seven Pillars of Statistical Wisdom. Harvard, 2016.
Hald, A. A History of Probability and Statistics and Their Applications before 1750. Wiley, 1990.
Hacking, I. The Emergence of Probability. Cambridge, 1975.
Kolmogorov, A. N. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Springer, 1933.
Bertrand, J. Calcul des probabilités. Gauthier-Villars, 1889.
Halley, E. An estimate of the degrees of the mortality of mankind. Philosophical Transactions 17 (1693).
Jaynes, E. T. The well-posed problem. Foundations of Physics 3 (1973).
Selvin, S. A problem in probability (letter). The American Statistician 29 (1975).
Charig, C. R. 외. Comparison of treatment of renal calculi. British Medical Journal 292 (1986).

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