1회 · 확률이란 무엇인가 · 노트

0 들어가며

여는 질문. 두 사람이 먼저 여섯 판을 이기는 쪽이 판돈을 모두 갖기로 하고 내기를 하다가, A가 5판, B가 3판을 이긴 상태에서 그만두어야 했다. 판돈을 어떻게 나눠야 공평한가?

1494년 이탈리아의 수학자 Luca Pacioli는 이긴 판 수에 비례해 $5:3$으로 나누라고 답했다. 그럴듯하지만 틀렸다. 바른 답은 $7:1$이고(1.4절), 이 답에 이르는 데 160년이 걸렸다. 1654년 Pascal과 Fermat가 편지를 주고받으며 이 문제를 푼 해를 사람들은 확률론이 태어난 해로 친다.

그런데 그들이 쓴 "확률"이란 정확히 무엇이었나? 같은 경우의 수 가운데 유리한 경우의 비율이었다. 이 정의는 주사위와 카드에서는 잘 작동했지만, 경우가 무한히 많아지자 무너졌다. 1889년 Bertrand는 "원에 무작위로 그은 현"이라는 한 문장에서 서로 다른 세 답을 끌어냈다(3절). 확률이 무엇인지에 대한 답은 1933년 Kolmogorov의 공리(4절)로 나왔다. 확률론은 쓰이기 시작하고 거의 300년이 지나서야 기초를 얻었다.

이 노트는 그 순서를 따른다. 1–3절은 문제가 생긴 역사이고, 4–6절은 그 문제를 푸는 엄밀한 언어다. 4–6절의 정의와 정리가 이 과정 전체의 출발점이다.

학습 목표

1. 1.

   셈의 원리(곱의 법칙, 순열, 조합, 이항정리)를 증명하고 고전적 확률 계산에 쓴다.

2. 2.

   점수 분배 문제를 Fermat의 열거와 Pascal의 재귀 두 가지로 풀고, 두 풀이가 같음을 보인다.

3. 3.

   확률의 공리에서 여사건·단조성·포함배제·연속성 정리를 증명한다.

4. 4.

   조건부확률, 곱셈법칙, 전확률 공식, 베이즈 정리, 독립을 정의하고 증명한다. 쌍별 독립과 상호 독립을 구별한다.

5. 5.

   확률변수와 분포함수를 정의하고, 분포함수의 세 성질을 연속성 정리로 증명한다.

6. 6.

   공리의 가정 하나하나가 왜 필요한지 반례로 보인다.

그림 0.1 이번 회차 정리들의 의존 관계. 화살표는 “증명에 쓰인다”는 뜻이다.

0.1 집합의 언어

확률은 사건에 붙는 수이고, 사건은 가능한 결과들의 모임, 곧 집합이다. 이 노트에서 쓰는 집합 기호를 정리한다.

기호	뜻	기호	뜻
$\omega\in A$	$\omega$는 $A$의 원소	$A\subset B$	$A$의 원소는 모두 $B$의 원소
$A\cup B$	합집합: $A$ 또는 $B$	$A\cap B$, $AB$	교집합: $A$이고 $B$
$A^c$	여집합: $A$가 아닌 것	$A\setminus B$	차집합 $A\cap B^c$
$\emptyset$	공집합	$|A|$	유한집합 $A$의 원소 수
$\bigcup_{i}A_i$	적어도 하나의 $A_i$	$\bigcap_i A_i$	모든 $A_i$

$A\cap B=\emptyset$이면 $A$와 $B$는 서로소라 한다. $A_1,A_2,\dots$가 쌍마다 서로소이고 합집합이 $\Omega$이면 $\{A_i\}$를 $\Omega$의 분할이라 한다.

보조정리 0.1 (De Morgan의 법칙) 임의의(유한 또는 무한) 집합족 $\{A_i\}_{i\in I}$에 대해

$$\Bigl(\bigcup_{i\in I}A_i\Bigr)^c=\bigcap_{i\in I}A_i^c,\qquad \Bigl(\bigcap_{i\in I}A_i\Bigr)^c=\bigcup_{i\in I}A_i^c .$$

증명 전략 두 집합이 같다는 것은 서로 포함한다는 것이다. 왼쪽 집합의 원소를 하나 잡아 오른쪽 집합에 속함을 보이고, 거꾸로도 보인다 [T1]. 둘째 식은 첫째 식을 여집합들에 쓴다. 단계별 증명은 연습 0.1(유도형)에서 직접 쓴다. 완성된 증명은 그 연습의 풀이에 있다.

이 노트에서 증명은 두 가지 모양으로 나온다. 핵심 정리는 번호 붙은 단계 1 2 3으로 증명하고, 단계마다 오른쪽 끝에 근거를 단다(예: 정리 4.7). 나머지 정리는 위처럼 전략만 적고, 증명을 소문항으로 나눈 유도형 연습으로 돌린다. 근거에 붙은 [T1] 같은 번호는 별책 증명 도구 상자의 도구 번호다.

연습문제

연습 0.1 (De Morgan의 법칙 증명 ★ 유도형) 보조정리 0.1을 다음 순서로 증명하라.

1. (a)

   $\omega\in(\bigcup_iA_i)^c$이면 모든 $i$에서 $\omega\in A_i^c$임을 보여라. 따라서 $(\bigcup_iA_i)^c\subset\bigcap_iA_i^c$이다.

2. (b)

   거꾸로 $\omega\in\bigcap_iA_i^c$이면 $\omega\in(\bigcup_iA_i)^c$임을 보여라.

3. (c)

   둘째 식은 첫째 식을 집합족 $\{A_i^c\}_{i\in I}$에 쓰고 양변의 여집합을 취해 얻어라. $(A^c)^c=A$를 어디서 쓰는지 밝혀라.

풀이

(a) $\omega\in(\bigcup_iA_i)^c$이면 $\omega\notin\bigcup_iA_i$이므로 어떤 $i$에서도 $\omega\in A_i$가 아니다. 곧 모든 $i$에서 $\omega\in A_i^c$이고 $\omega\in\bigcap_iA_i^c$이다. (b) $\omega\in\bigcap_iA_i^c$이면 모든 $i$에서 $\omega\notin A_i$이므로 $\omega$는 어느 $A_i$에도 속하지 않고, $\omega\notin\bigcup_iA_i$, 곧 $\omega\in(\bigcup_iA_i)^c$이다. (a)와 (b)로 두 집합은 서로 포함하므로 같다. (c) 첫째 식을 집합족 $\{A_i^c\}$에 쓰면 $(\bigcup_iA_i^c)^c=\bigcap_i(A_i^c)^c=\bigcap_iA_i$이다. 여기서 $(A_i^c)^c=A_i$를 썼다. 양변의 여집합을 취하고 다시 $(B^c)^c=B$를 쓰면 $\bigcup_iA_i^c=(\bigcap_iA_i)^c$이다. 첨자 집합 $I$가 유한한지 무한한지는 어디에도 쓰이지 않았다.

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