수리통계학

테마

15회 · 가정이 틀리면 · 워크북

B. 빈칸 증명 ​

노트의 단계형 증명을 책을 덮고 다시 쓴다. 같은 정리를 여러 번 만나며 도움이 줄어든다. 1 단계는 주어지고 근거만 빈칸이다. 2 단계의 이름만 주어진다. 3 전략만 주어진다. 근거에는 정리나 정의의 번호, 앞 회차의 정리, 도구 번호를 쓴다.

B1 순위합의 귀무분포, 근거 채우기 ★ ​

1 · 정리 1.5(a)(b) · 15분

F=GF=G가 연속일 때 W=U+m(m+1)2W=U+\tfrac{m(m+1)}2, EW=m(N+1)2EW=\tfrac{m(N+1)}2, Var⁡W=mn(N+1)12\Var W=\tfrac{mn(N+1)}{12}이다. 각 단계의 근거를 써라.

  1. X(k)X_{(k)}의 합친 순위는 (k−1)+#{j:Yj<X(k)}+1(k-1)+\#\{j:Y_j<X_{(k)}\}+1이다.왜?순위의 정의, 동점의 확률 0

  2. kk에 대해 더하면 W=m(m+1)2+UW=\tfrac{m(m+1)}2+U이다.왜?∑k=1mk\sum_{k=1}^mk, UU의 정의

  3. (R(X1),…,R(Xm))(R(X_1),\dots,R(X_m))은 {1,…,N}\{1,\dots,N\}에서 mm개를 비복원으로 뽑은 것과 같은 분포이다.왜?보조정리 1.3의 주변분포

  4. 모집단 {1,…,N}\{1,\dots,N\}의 평균은 N+12\tfrac{N+1}2, 분산은 N2−112\tfrac{N^2-1}{12}이다.왜?∑k2\sum k^2의 공식 [T3]

  5. Var⁡W=m⋅N2−112⋅N−mN−1=mn(N+1)12\Var W=m\cdot\tfrac{N^2-1}{12}\cdot\tfrac{N-m}{N-1}=\tfrac{mn(N+1)}{12}이다.왜?비복원 표본합, 4회 정리 1.5

  6. WW와 m(N+1)−Wm(N+1)-W는 같은 분포다.왜?r↦N+1−rr\mapsto N+1-r이 균등분포를 보존

힌트

근거는 짧게 쓴다. 넷째 단계는 ∑k=1Nk2=N(N+1)(2N+1)/6\sum_{k=1}^Nk^2=N(N+1)(2N+1)/6에서 평균의 제곱을 뺀다.

풀이

빈칸의 빨간 글씨가 근거다. 노트 정리 1.5의 증명과 같다. 다섯째 단계의 N−mN−1\tfrac{N-m}{N-1}은 유한 모집단 수정이다. N=m+nN=m+n이므로 (N2−1)N−mN−1=(N+1)n(N^2-1)\tfrac{N-m}{N-1}=(N+1)n이다.

B2 M-추정량의 점근정규성, 근거 채우기 ★★ ​

1 · 정리 3.2 · 20분

정리 3.2의 조건(대칭, 홀함수이고 단조증가하는 ψ\psi, ψ′′\psi^{\prime\prime} 유계)에서 n θ^→DN(0,V)\sqrt n\,\hat\theta\xrightarrow{D}\N(0,\allowbreak V)이다. 근거를 채워라. Ψn(t)=1n∑ψ(Xi−t)\Psi_n(t)=\tfrac1n\sum\psi(X_i-t), λ(t)=Eψ(X−t)\lambda(t)=E\psi(X-t).

  1. Ψn\Psi_n은 감소하고 θ^\hat\theta는 그 영점이다.왜?ψ\psi의 단조성, 정의 3.1

  2. λ(0)=0\lambda(0)=0이고 λ′(0)=−Eψ′(X)<0\lambda^\prime(0)=-E\psi^\prime(X)<0이다.왜?대칭·홀함수, 적분 기호 아래 미분 [T6]

  3. θ^→P0\hat\theta\xrightarrow{P}0이다.왜?Ψn(±ε)→Pλ(±ε)\Psi_n(\pm\varepsilon)\xrightarrow{P}\lambda(\pm\varepsilon), Khinchin

  4. 0=Ψn(0)−θ^An+12θ^2Bn0=\Psi_n(0)-\hat\theta A_n+\tfrac12\hat\theta^2B_n이다.왜?Taylor 전개 [T8]

  5. n θ^=n−1/2∑ψ(Xi)An−12θ^Bn\sqrt n\,\hat\theta=\dfrac{n^{-1/2}\sum\psi(X_i)}{A_n-\tfrac12\hat\theta B_n}이다.왜?4를 정리

  6. 분자 →DN(0,Eψ2)\xrightarrow{D}\N(0,E\psi^2)이다.왜?Eψ(X)=0E\psi(X)=0, CLT 7회 정리 3.1

  7. 분모 →PEψ′(X)\xrightarrow{P}E\psi^\prime(X)이다.왜?Khinchin, ∣Bn∣≤sup⁡∣ψ′′∣|B_n|\le\sup|\psi^{\prime\prime}|, 3

  8. n θ^→DN(0,Eψ2/(Eψ′)2)\sqrt n\,\hat\theta\xrightarrow{D}\N(0,\allowbreak E\psi^2/(E\psi^\prime)^2)이다.왜?Slutsky, 7회 정리 4.2

힌트

대수의 법칙이 쓰이는 곳이 두 군데, 중심극한정리가 한 군데다. 3에서는 감소함수의 영점이 두 점 사이에 갇힌다는 것을 쓴다.

풀이

빈칸의 빨간 글씨가 근거다. 노트 정리 3.2의 증명과 같다. 3의 논증: 감소함수 Ψn\Psi_n이 ε\varepsilon에서 음수, −ε-\varepsilon에서 양수이면 영점은 (−ε,ε)(-\varepsilon,\varepsilon) 안에 있다. 그 사건의 확률이 1로 간다.

B3 하한 108/125, 근거 채우기 ★★ ​

1 · 정리 2.5 · 15분

분산이 유한한 모든 밀도에서 12σ2(∫f2)2≥10812512\sigma^2(\int f^2)^2\ge\tfrac{108}{125}이다. 근거를 채워라. h(x)=c(5−x2)+h(x)=c(5-x^2)_+, c=3205c=\tfrac3{20\sqrt5}, a=5ca=5c, b=cb=c.

  1. 평균 0, 분산 1로 놓아도 된다.왜?위치·척도 변환에 불변 [T7]

  2. ∫h=1\int h=1, ∫x2h=1\int x^2h=1이다.왜?직접 적분

  3. ∫f2≥2∫fh−∫h2\int f^2\ge2\int fh-\int h^2이다.왜?∫(f−h)2≥0\int(f-h)^2\ge0 [T4]

  4. ∫fh≥∫f(a−bx2)=a−b\int fh\ge\int f(a-bx^2)=a-b이다.왜?h≥a−bx2h\ge a-bx^2, f≥0f\ge0, ∫x2f=1\int x^2f=1

  5. ∫h2=a−b=3525\int h^2=a-b=\tfrac{3\sqrt5}{25}이다.왜?받침 위에서 h=a−bx2h=a-bx^2

  6. 12(∫f2)2≥12⋅45625=10812512(\int f^2)^2\ge12\cdot\tfrac{45}{625}=\tfrac{108}{125}이다.왜?3–5

힌트

넷째 단계는 받침 밖에서 a−bx2<0≤ha-bx^2<0\le h이고 받침 안에서 등호라는 것이다.

풀이

빈칸의 빨간 글씨가 근거다. 노트 정리 2.5의 증명과 같다. 등호는 ∫(f−h)2=0\int(f-h)^2=0, 곧 f=hf=h일 때다.

B4 순위합의 귀무분포, 단계의 이름만 ★★ ​

2 · 정리 1.5 · 25분

정리 1.5의 (a)(b)(c)를 증명하라. 단계의 이름만 주어진다. 각 단계 아래에 식과 근거를 써라.

  1. (a) X(k)X_{(k)}의 순위를 세 부분으로 쪼갠다

  2. kk에 대해 더한다

  3. (b) XX 쪽 순위를 비복원 표본으로 본다

  4. 모집단 {1,…,N}\{1,\dots,N\}의 평균과 분산

  5. 비복원 표본합의 평균과 분산

  6. 대칭: r↦N+1−rr\mapsto N+1-r

  7. (c) UU를 지시변수의 합으로 쓰고 기댓값을 취한다

힌트

B1에서 채운 근거를 다시 보지 말고 쓴다. (c)는 귀무가설을 쓰지 않는다.

풀이

  1. X(k)X_{(k)}의 합친 순위 =(k−1)+#{Yj<X(k)}+1=(k-1)+\#\{Y_j<X_{(k)}\}+1.순위의 정의

  2. W=m(m+1)2+UW=\tfrac{m(m+1)}2+U.UU의 정의

  3. (R(Xi))i≤m(R(X_i))_{i\le m}은 {1,…,N}\{1,\dots,N\}의 비복원 표본.보조정리 1.3

  4. 평균 N+12\tfrac{N+1}2, 분산 N2−112\tfrac{N^2-1}{12}.[T3]

  5. EW=m(N+1)2EW=\tfrac{m(N+1)}2, Var⁡W=mn(N+1)12\Var W=\tfrac{mn(N+1)}{12}.4회 정리 1.5

  6. W=dm(N+1)−WW\overset{d}=m(N+1)-W.균등분포의 보존

  7. EU=∑i,jP(Xi>Yj)=mn P(X>Y)EU=\sum_{i,j}P(X_i>Y_j)=mn\,P(X>Y).선형성

B5 M-추정량의 점근정규성, 단계의 이름만 ★★ ​

2 · 정리 3.2 · 30분

정리 3.2를 증명하라(ψ′′\psi^{\prime\prime}가 유계라고 가정해도 된다).

  1. 영점 θ^\hat\theta와 감소하는 Ψn\Psi_n

  2. λ(t)=Eψ(X−t)\lambda(t)=E\psi(X-t)의 0 근처 모양

  3. 일치성 θ^→P0\hat\theta\xrightarrow{P}0

  4. 영점의 Taylor 전개

  5. 비로 쓰기

  6. 분자: 중심극한정리

  7. 분모: 대수의 법칙과 나머지

  8. Slutsky로 합치기

힌트

9회 정리 3.1의 증명과 같은 뼈대다. 점수함수 s(x;θ)s(x;\theta)의 자리에 ψ(x−θ)\psi(x-\theta)가 들어간다.

풀이

노트 정리 3.2의 단계형 증명과 같다. 단계별 근거는 B2의 풀이에 있다. 9회 정리 3.1과 다른 점은 둘이다. 일치성을 가능도가 아니라 Ψn\Psi_n의 단조성으로 얻고, 분자의 분산 Eψ2E\psi^2과 분모의 극한 Eψ′E\psi^\prime이 같지 않아 극한분산이 1/I1/I 대신 샌드위치 꼴 Eψ2/(Eψ′)2E\psi^2/(E\psi^\prime)^2이 된다. ψ\psi가 점수함수이면 두 표현이 같아져(9회 정리 2.2) 1/I1/I로 돌아간다.

B6 순위합의 귀무분포, 전략만 ★★ ​

3 · 정리 1.5 · 30분

정리 1.5의 (a)(b)(c)를 증명하라.

전략 (a)는 XX의 순위를 “작은 XX의 수 + 작은 YY의 수 + 1”로 센다. (b)는 순위 벡터의 균등성으로 WW를 비복원 표본합으로 바꾼다. (c)는 지시변수의 합이다.

힌트

Var⁡W\Var W의 계산에서 m⋅N2−112⋅N−mN−1m\cdot\tfrac{N^2-1}{12}\cdot\tfrac{N-m}{N-1}을 정리하는 단계까지 쓴다.

풀이

B4의 풀이와 같다. 이 증명에서 분포 FF가 쓰인 곳은 “동점의 확률이 0”과 “교환가능”뿐이다. 그래서 WW의 귀무분포는 FF와 무관한 표 하나로 정해진다. (c)만은 귀무가설을 쓰지 않으므로 대립가설 아래에서도 U/(mn)U/(mn)은 P(X>Y)P(X>Y)의 불편추정량이다.

B7 하한 108/125, 전략만 ★★★ ​

3 · 정리 2.5 · 35분

분산이 유한한 모든 밀도 ff에서 ARE(W,t)=12σ2(∫f2)2≥108125\mathrm{ARE}(W,\allowbreak t)=12\sigma^2(\int f^2)^2\ge\tfrac{108}{125}임을 증명하고, 등호가 성립하는 밀도를 밝혀라.

전략 위치와 척도를 정규화하고, 포물선 밀도 hh와의 차의 제곱을 적분해 ∫f2\int f^2를 아래에서 누른다.

힌트

hh의 상수는 ∫h=1\int h=1과 ∫x2h=1\int x^2h=1에서 정한다. 받침의 끝 5\sqrt5는 두 조건을 함께 맞추는 값이다.

풀이

노트 정리 2.5의 단계형 증명과 같다(근거는 B3의 풀이). h=c(r2−x2)+h=c(r^2-x^2)_+ 꼴에서 ∫h=43cr3=1\int h=\tfrac43cr^3=1, ∫x2h=415cr5=1\int x^2h=\tfrac4{15}cr^5=1을 풀면 r2=5r^2=5, c=34r3=3205c=\tfrac3{4r^3}=\tfrac3{20\sqrt5}이다. 이 증명은 “∫f2\int f^2를 분산 1의 조건에서 최소로 하는 밀도”를 찾은 것이고, 답은 라그랑주 승수법으로 얻는 (a−bx2)+(a-bx^2)_+ 꼴이다.

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