15회 · 가정이 틀리면 · 워크북

D. 퀄형

여러 절과 앞 회차의 도구를 잇는 종합 문제다. 머리의 제한 시간을 재고, 노트를 덮고 푼다. 표준정규 분위수와 분포함수 값은 표를 쓴다.

D1 정규 이동 모형에서 두 검정의 국소 검정력 ★★★

명제 2.2, 정리 2.3 · 제한 35분

$X_1,\dots,X_m\iid\N(0,1)$, $Y_1,\dots,Y_n\iid\N(\theta,1)$이고 $m=n=50$이다. 크기 5%의 한쪽 검정으로 $H_0:\theta=0$ 대 $\theta>0$을 검정한다.

1. (a)

   $p(\theta)=P(Y>X)$를 $\Phi$로 쓰고 $\theta=0.5$에서 값을 구하라.

2. (b)

   명제 2.2와 정리 2.3의 증명에 나온 효능 $e_W$로 Wilcoxon 검정의 $\theta=0.5$에서의 근사 검정력을 구하라($N=100$, $\lambda=\tfrac12$).

3. (c)

   같은 방법으로 $t$ 검정의 근사 검정력을 구하고, 두 검정력의 차이를 ARE $3/\pi$와 연결해 설명하라.

힌트

(a) $Y-X\sim\N(\theta,2)$. (b) $e_W=\sqrt{12\lambda(1-\lambda)}\int\phi^2$, $\int\phi^2=\tfrac1{2\sqrt\pi}$, 검정력 $\approx1-\Phi(z_{0.05}-h\,e)$, $h=\theta\sqrt N$.

풀이

(a) $Y-X\sim\N(\theta,2)$이므로 $p(\theta)=\Phi(\theta/\sqrt2)$이고, $\theta=0.5$에서 $\Phi(0.354)\approx0.638$이다. (b) $e_W=\sqrt3\cdot\tfrac1{2\sqrt\pi}\approx0.4886$, $h=0.5\cdot10=5$이므로 검정력 $\approx1-\Phi(1.645-2.443)=\Phi(0.798)\approx0.788$이다. (c) $e_t=\sqrt{\lambda(1-\lambda)}/\sigma=0.5$이므로 $1-\Phi(1.645-2.5)=\Phi(0.855)\approx0.804$이다. $(e_W/e_t)^2=3/\pi=0.955$이므로 Wilcoxon은 $t$가 100개로 하는 일을 약 105개로 한다. 같은 100개에서는 검정력이 0.016 낮다. 정규 자료에서 순위로 바꾼 값이 이것이다.

최종답 (a) $\Phi(0.354)\approx0.638$ (b) $\approx0.788$ (c) $\approx0.804$

D2 대립가설 아래의 Mann–Whitney 분산 ★★★

정리 1.5(c), 2회 정리 2.8 · 제한 40분

$X\sim\mathrm{Exp}(1)$, $Y\sim\mathrm{Exp}(2)$ (평균 $\tfrac12$)이고 모든 관측이 독립이다. $p=P(X>Y)$, $q_1=P(X>Y_1,\,X>Y_2)$, $q_2=P(X_1>Y,\,X_2>Y)$로 둔다.

1. (a)

   $p$를 구하라.

2. (b)

   $q_1$을 구하라.

3. (c)

   $q_2$를 구하라.

4. (d)

   C2의 방법으로 일반적으로 $\Var U=mn\bigl[p(1-p)+(n-1)(q_1-p^2)+(m-1)(q_2-p^2)\bigr]$임을 보이고, $m=n=10$에서 $\Var\bigl(U/(mn)\bigr)$을 구하라. 귀무가설 아래의 값 $\tfrac{N+1}{12mn}$과 비교하라.

힌트

(a) $P(X>Y)=E\,P(X>Y\mid Y)=Ee^{-Y}$. (b) $q_1=E\bigl[(1-e^{-2X})^2\bigr]$. (c) $\min(X_1,\allowbreak X_2)\sim\mathrm{Exp}(2)$이므로 $q_2=P(Y<\min)$은 같은 비율의 두 지수의 경주다.

풀이

(a) $p=Ee^{-Y}=\int_0^\infty e^{-y}2e^{-2y}dy=\tfrac23$. (b) $q_1=E(1-e^{-2X})^2=1-2Ee^{-2X}+Ee^{-4X}=1-\tfrac23+\tfrac15=\tfrac8{15}$. (c) $\min(X_1,\allowbreak X_2)\sim\mathrm{Exp}(2)$이고 $Y\sim\mathrm{Exp}(2)$이므로 $q_2=\tfrac12$. (d) $U=\sum I_{ij}$의 분산은 대각 항 $mn\,p(1-p)$, 같은 $i$를 공유하는 $mn(n-1)$개의 공분산 $q_1-p^2$, 같은 $j$를 공유하는 $mn(m-1)$개의 공분산 $q_2-p^2$, 나머지 0의 합이다. $m=n=10$이면

$$\Var\frac U{100}=\frac1{100}\Bigl[\frac29+9\cdot\frac4{45}+9\cdot\frac1{18}\Bigr]=\frac1{100}\cdot\frac{137}{90}=\frac{137}{9000}\approx0.0152 .$$

귀무가설 아래 값은 $\tfrac{21}{1200}=0.0175$이다. 대립가설 아래에서는 분산이 달라지므로, 검정력을 계산할 때 귀무가설의 분산을 그대로 쓰면 안 된다.

최종답 (a) $p=\tfrac23$ (b) $q_1=\tfrac8{15}$ (c) $q_2=\tfrac12$ (d) $\tfrac{137}{9000}\approx0.0152$

D3 치우친 자료의 부트스트랩 구간 ★★★

정리 5.3, 알고리즘 5.2 · 제한 30분

자료가 $(0,0,0,0,10)$이다. $K$를 부트스트랩 표본에 10이 뽑힌 횟수라 하자.

1. (a)

   $\bar X^*=2K$이고 $K\sim\mathrm b(5,\tfrac15)$임을 보이고 $P^*(\bar X^*=0)$을 구하라.

2. (b)

   $\Var^*\bar X^*$를 두 가지로 구하라(이항분포와 정리 5.3(a)).

3. (c)

   95% 백분위 구간의 위 끝(97.5% 분위수)을 구하라. 아래 끝은 무엇인가?

4. (d)

   $t$ 구간 $\bar X\pm t_{0.975,4}\,s/\sqrt5$ ($t_{0.975,4}=2.776$)와 비교하고, 어느 쪽이 이 자료에 맞는지 논하라.

힌트

$P(K=k)=\binom5k(0.2)^k(0.8)^{5-k}$: $0.328,\allowbreak \ 0.410,\allowbreak \ 0.205,\allowbreak \ 0.051,\allowbreak \dots$. 누적확률이 처음으로 0.975 이상이 되는 $k$를 찾는다.

풀이

(a) 표본 평균은 $10K/5=2K$이고, 다섯 번의 독립 복원추출에서 10이 뽑힐 확률은 각각 $\tfrac15$이다. $P^*(K=0)=(0.8)^5=\tfrac{1024}{3125}\approx0.328$. (b) $4\Var K=4\cdot5\cdot0.2\cdot0.8=3.2$. 정리 5.3(a)로는 $\hat\sigma^2=\tfrac15(4\cdot4+64)=16$이므로 $16/5=3.2$로 같다. (c) 누적확률은 $K=2$까지 $0.942$, $K=3$까지 $0.993$이므로 97.5% 분위수는 $K=3$, 곧 $\bar X^*=6$이다. 아래 끝은 $\bar X^*=0$이다(확률 0.328의 원자). (d) $s^2=\tfrac{4\cdot4+64}4=20$, $s/\sqrt5=2$이므로 $t$ 구간은 $2\pm5.55=[-3.55,\ 7.55]$이다. 자료가 음수일 수 없다면 $t$ 구간의 아래 절반은 의미가 없고, 백분위 구간 $[0,6]$은 자료의 범위를 지킨다. 그러나 $n=5$에서 부트스트랩 분포는 다섯 값의 원자들로 이루어져 구간의 포함확률을 보장하지 못한다. 정리 5.3은 $n\to\infty$의 결과다.

최종답 (a) $\tfrac{1024}{3125}\approx0.328$ (b) $\tfrac{16}5$ (c) $6$

D4 순열분포의 평균과 분산, 그리고 정규근사 ★★★

정리 1.2, 4회 정리 1.5 · 제한 35분

합친 값 $\Z=(Z_1,\dots,Z_N)$을 고정하고, 그 가운데 $m$개를 무작위로 골라 $X$로, 나머지 $n$개를 $Y$로 둔다. $\tau^2=\tfrac1N\sum(Z_i-\bar Z)^2$이다.

1. (a)

   순열분포에서 $E(\bar X-\bar Y)=0$임을 보여라.

2. (b)

   $\Var(\bar X-\bar Y)=\dfrac{N^2\tau^2}{mn(N-1)}$임을 보이고, A5의 자료 $\{1,2,4,5,7,9\}$, $m=n=3$에서 값을 구하라.

3. (c)

   정규근사 $P\bigl(\N(0,\allowbreak \Var)\ge14/3\bigr)$을 구하고 A5의 정확한 $p$-값 $0.05$와 비교하라.

힌트

$\bar X-\bar Y=\tfrac Nn\bigl(\tfrac1m\sum_{i\in X}Z_i-\bar Z\bigr)$이다. $X$ 쪽 합은 크기 $N$의 모집단에서 비복원으로 뽑은 $m$개의 합이다(4회 정리 1.5, 유한 모집단 수정).

풀이

(a) $X$ 쪽 합 $S=\sum_{i\in X}Z_i$는 비복원 표본합이므로 $ES=m\bar Z$이다. $\bar X-\bar Y=\tfrac Sm-\tfrac{N\bar Z-S}n=\tfrac Nn\bigl(\tfrac Sm-\bar Z\bigr)$이므로 평균은 0이다. (b) $\Var S=m\tau^2\tfrac{N-m}{N-1}=m\tau^2\tfrac n{N-1}$이므로

$$\Var(\bar X-\bar Y)=\frac{N^2}{n^2m^2}\cdot\frac{mn\tau^2}{N-1}=\frac{N^2\tau^2}{mn(N-1)} .$$

자료에서 $\bar Z=\tfrac{14}3$, 편차의 제곱합 $\tfrac{408}9$이므로 $\tau^2=\tfrac{68}9$이고 $\Var=\tfrac{36\cdot68/9}{9\cdot5}=\tfrac{272}{45}\approx6.04$이다. (c) $z=\tfrac{14/3}{\sqrt{6.044}}=1.898$이고 $1-\Phi(1.898)\approx0.029$이다. 정확한 값 0.05보다 작다. 순열분포는 20개의 원자로 된 이산분포이고 가장 바깥 원자가 확률 $1/20$을 갖는데, 정규근사는 그것을 연속 꼬리로 펴서 작게 준다. $N$이 크면 둘은 가까워지고(순열 중심극한정리), 그때의 정규근사가 합동분산 $z$ 검정이다.

최종답 (b) $\tfrac{272}{45}\approx6.04$ (c) $\approx0.029$

워크북 PDF풀이판 PDF답 확인