16회 · 베이즈의 귀환 · 노트

2 Bayes 추정과 Jeffreys 사전분포

역사 Laplace(1774)는 사후분포에서 값 하나를 고를 때 “오차의 절댓값의 기댓값”을 줄이는 값, 곧 사후중앙값을 골랐다. Gauss(1809)는 평평한 사전분포의 사후 최빈값으로 최소제곱을 정당화했다(5회). Wald(1950)는 이것들을 손실함수의 언어로 묶었다(12회). 남은 문제는 사전분포였다. Bayes와 Laplace의 균등분포는 모수를 어떻게 쓰느냐에 따라 달라진다. $p$에 균등이면 $p^2$에는 균등이 아니다. Fisher가 1922년 역확률을 버린 이유 중 하나가 이것이었다. Harold Jeffreys는 1946년 이 반론에 답했다. 사전분포를 Fisher 자신의 정보량으로 만들면 모수를 바꿔 써도 결론이 같다.

2.1 손실함수와 Bayes 추정량

12회 정의 5.1의 언어를 다시 쓴다. 추정량 $\delta$의 위험은 $R(\theta,\allowbreak \delta)=E_\theta L(\theta,\allowbreak \delta(\X))$, 사전분포 $\pi$에 대한 Bayes 위험은 $r(\pi,\allowbreak \delta)=\int R(\theta,\allowbreak \delta)\pi(\theta)d\theta$이다. 12회 정리 5.2에 따라 Bayes 추정량은 $\x$마다 사후 기대손실을 최소화하는 값이다.

정리 2.1 (Bayes 추정량) 사후분포 $\pi(\theta\mid\x)$에 대해

1. (a)

   제곱손실 $L=(\theta-a)^2$의 Bayes 추정량은 사후평균 $E(\cdat\theta\mid\x)$이고, 최소 사후 기대손실은 사후분산이다.

2. (b)

   절대손실 $L=|\theta-a|$의 Bayes 추정량은 사후중앙값이다.

3. (c)

   가중 제곱손실 $L=w(\theta)(\theta-a)^2$의 Bayes 추정량은 $E(w(\cdat\theta)\cdat\theta\mid\x)/E(w(\cdat\theta)\mid\x)$이다.

증명 전략 $\x$를 고정하면 사후 기대손실은 $a$ 하나의 함수다. 그 함수를 펼쳐 최소점을 찾는다. (a)는 제곱을 평균과 편차로 나누고, (b)는 미분하고, (c)는 $a$의 이차식으로 쓴다.

(a)

1. $m=E(\cdat\theta\mid\x)$로 두고 $\cdat\theta-a=(\cdat\theta-m)+(m-a)$를 제곱해 사후 기대값을 취한다.

   $$E[(\cdat\theta-a)^2\mid\x]=E[(\cdat\theta-m)^2\mid\x]+2(m-a)E[\cdat\theta-m\mid\x]+(m-a)^2 .$$

   선형성

2. 가운데 항은 $E[\cdat\theta-m\mid\x]=0$이라 사라진다. 3회 정리 2.8과 같은 계산이다.$m$의 정의

3. 남은 것은 $\Var(\cdat\theta\mid\x)+(m-a)^2$이고, $a=m$에서 최소이며 최솟값은 사후분산이다.$(m-a)^2\ge0$

(b)

1. $g(a)=E[|\cdat\theta-a|\mid\x]=\int_{-\infty}^a(a-\theta)\pi(\theta\mid\x)\,d\theta+\int_a^\infty(\theta-a)\pi(\theta\mid\x)\,d\theta$이다.절댓값을 부호로 나눈다

2. $a$로 미분하면 적분 끝점에서 나오는 항은 $(a-a)\pi(a\mid\x)=0$이라 사라지고

   $$g^\prime(a)=\int_{-\infty}^a\pi(\theta\mid\x)\,d\theta-\int_a^\infty\pi(\theta\mid\x)\,d\theta=P(\cdat\theta<a\mid\x)-P(\cdat\theta>a\mid\x) .$$

   [T6]

3. $g^\prime$은 $a$에 대해 증가하고, 사후중앙값 $\tilde m$에서 $g^\prime(\tilde m)=\tfrac12-\tfrac12=0$이다.분포함수의 단조성

4. $a<\tilde m$이면 $g^\prime\le0$, $a>\tilde m$이면 $g^\prime\ge0$이므로 $g$는 $\tilde m$에서 최소다.평균값 정리

(c)

1. $h(a)=E[w(\cdat\theta)(\cdat\theta-a)^2\mid\x]=E[w\cdat\theta^2\mid\x]-2aE[w\cdat\theta\mid\x]+a^2E[w\mid\x]$이다.전개, 선형성

2. $E[w\mid\x]>0$이면 $h$는 위로 볼록한 이차식이고, 꼭짓점 $a=E[w\cdat\theta\mid\x]/E[w\mid\x]$에서 최소다.$h^\prime(a)=0$

조건 확인 (a)는 $E(\cdat\theta^2\mid\x)<\infty$, (b)는 $E(|\cdat\theta|\mid\x)<\infty$, (c)는 $E(w\cdat\theta^2\mid\x)<\infty$를 쓴다. 그렇지 않으면 사후 기대손실이 모든 $a$에서 무한하다. (b)의 미분은 적분 구간의 끝이 $a$에 달린 경우의 미분이다. 사후밀도가 있으면 미적분의 기본정리로 끝점의 항을, 피적분함수 $a-\theta$의 $a$-미분 1로 나머지를 얻는다 [T6]. 사후분포에 밀도가 없어도 $g$는 볼록이고 같은 결론이 오른쪽·왼쪽 미분으로 나온다.

0–1 손실 $L=\mathbf 1\{|\theta-a|>\epsilon\}$에서 $\epsilon\to0$이면 Bayes 추정량은 사후 최빈값(MAP)으로 간다. 평평한 사전분포의 MAP는 MLE다. 손실함수가 바뀌면 같은 사후분포에서 다른 점추정량이 나온다는 것이 핵심이다. 사후분포가 대칭이면 셋은 같다.

예제 2.2 (이항의 Bayes 추정량) $\mathrm{Beta}(a,b)$ 사전분포에서 사후평균 $\delta_{a,b}=\tfrac{S+a}{n+a+b}$의 위험은 편향과 분산으로 나누어

$$R(p,\delta_{a,b})=\frac{np(1-p)+\bigl(a-(a+b)p\bigr)^2}{(n+a+b)^2}$$

이다. $a=b=\sqrt n/2$로 고르면 분자의 $p^2$항과 $p$항이 지워져 $R=\tfrac{n}{4(n+\sqrt n)^2}$, $p$에 무관한 상수가 된다. $n=20$이면 이 위험은 $0.00835$이고, MLE $S/n$의 위험 $p(1-p)/20$의 최댓값 $0.0125$보다 작다. 대신 $p<0.212$나 $p>0.788$에서는 MLE가 낫다.

정리 2.3 (Bayes 추정량의 두 성질) 

1. (a)

   (허용성) 유한한 Bayes 위험을 갖는 Bayes 추정량이 유일하면, 그것은 허용적이다. 곧 모든 $\theta$에서 위험이 같거나 작고 어떤 $\theta$에서 더 작은 추정량은 없다.

2. (b)

   (minimax) Bayes 추정량의 위험이 $\theta$에 무관한 상수이면 그것은 minimax다.

증명 전략 (a)는 귀류법이다 [T2]. 지배하는 추정량이 있으면 그것도 Bayes 추정량이 되어 유일성과 부딪친다. (b)는 “최댓값은 평균보다 작지 않다”를 한 번 쓴다.

(a)

1. $\delta^\prime$이 $\delta_\pi$를 지배한다고 하자. 모든 $\theta$에서 $R(\theta,\allowbreak \delta^\prime)\le R(\theta,\allowbreak \delta_\pi)$이고 어떤 $\theta_0$에서 부등호가 엄격하다.귀류 가정 [T2]

2. 양변을 $\pi$로 적분하면 $r(\pi,\allowbreak \delta^\prime)\le r(\pi,\allowbreak \delta_\pi)$이다.적분의 단조성

3. $\delta_\pi$는 Bayes 위험을 최소로 하므로 $r(\pi,\allowbreak \delta^\prime)=r(\pi,\allowbreak \delta_\pi)$, 곧 $\delta^\prime$도 Bayes 추정량이다.12회 정리 5.2

4. 유일성으로 $\delta^\prime=\delta_\pi$이고, 두 위험은 모든 $\theta$에서 같다. 1의 $\theta_0$과 모순이다.가정: 유일

(b)

1. 임의의 $\delta$에 대해 $\sup_\theta R(\theta,\allowbreak \delta)\ge\int R(\theta,\allowbreak \delta)\pi(\theta)\,d\theta=r(\pi,\allowbreak \delta)$이다.평균은 최댓값을 넘지 않는다

2. $r(\pi,\allowbreak \delta)\ge r(\pi,\allowbreak \delta_\pi)$이다.$\delta_\pi$는 Bayes

3. $R(\theta,\delta_\pi)\equiv c$이므로 $r(\pi,\allowbreak \delta_\pi)=c=\sup_\theta R(\theta,\allowbreak \delta_\pi)$이다. 따라서 $\sup_\theta R(\theta,\allowbreak \delta)\ge\sup_\theta R(\theta,\allowbreak \delta_\pi)$이다.위험이 상수

조건 확인 (a)의 3에서 $r(\pi,\delta_\pi)<\infty$를 쓴다. Bayes 위험이 무한하면 모든 추정량의 Bayes 위험이 $\infty$라 2와 3이 아무것도 말하지 않는다. 유일성 대신 다음 조건을 써도 된다. 모든 추정량의 위험이 $\theta$에 연속이고 $\pi$가 모든 열린구간에 양의 확률을 주면, 1의 엄격한 부등호가 $\theta_0$의 한 근방에서 성립하므로 2의 부등호가 엄격해지고, $\delta_\pi$가 Bayes라는 것과 모순이다.

따라서 예제 2.2의 $\delta_{\sqrt n/2,\sqrt n/2}$는 minimax다. 허용성은 이 회차의 중심 개념이다. 허용적이지 않은 추정량은 다른 추정량에 “모든 곳에서 진다”. 5절은 표본평균이 세 차원 이상에서 바로 그런 추정량임을 보인다.

명제 2.4 (불편추정량은 Bayes가 아니다) 제곱손실에서 $\delta(\X)$가 불편이면서($E(\delta\mid\cdat\theta)=\cdat\theta$) Bayes 추정량이고($\delta=E(\cdat\theta\mid\X)$) 둘째 적률이 유한하면, Bayes 위험은 $E(\delta-\cdat\theta)^2=0$이다.

증명 전략 $(\cdat\theta,\X)$의 결합분포에서 $E(\delta\cdat\theta)$를 두 가지 조건화로 계산한다(3회 정리 2.5). 한 번은 불편성, 한 번은 Bayes 추정량의 정의를 쓴다. 단계별 증명은 연습 2.6(유도형)에서 직접 쓴다. 완성된 증명은 그 연습의 풀이에 있다.

11회의 UMVUE는 사실상 어떤 정칙 사전분포의 Bayes 추정량도 아니다. 예컨대 $\bar X$는 정규 사전분포 $\N(m,\tau^2)$의 사후평균(정리 1.2(c))의 $\tau\to\infty$ 극한일 뿐이다. 이런 극한을 일반화 Bayes 추정량이라 한다. 극한은 허용성을 물려받지 않을 수 있다.

2.2 Jeffreys 사전분포

균등 사전분포는 모수화에 달려 있다. $p\sim\mathrm U(0,1)$이면 로그오즈 $\psi=\log\frac p{1-p}$의 밀도는 $e^\psi/(1+e^\psi)^2$(로지스틱)이고 균등이 아니다. 어느 모수화에서 “모름”을 균등으로 나타내야 하는가? Jeffreys의 답은 모수화를 고르지 않는 규칙이었다.

정의 2.5 (Jeffreys 사전분포) 한 관측의 Fisher 정보 $I(\theta)$(9회 정의 2.1)에 대해 $\pi_J(\theta)\propto\sqrt{I(\theta)}$를 Jeffreys 사전분포라 한다. 다차원이면 $\pi_J(\boldsymbol\theta)\propto\sqrt{\det I(\boldsymbol\theta)}$이다.

정리 2.6 (Jeffreys 사전분포의 불변성) $\phi=h(\theta)$가 미분가능한 단조함수이면, $\theta$에서 Jeffreys 사전분포를 만들어 $\phi$로 변수변환한 밀도는 $\phi$에서 직접 만든 Jeffreys 사전분포와 같다.

증명 전략 두 밀도를 각각 계산해 같은 식이 나옴을 보인다. 하나는 Fisher 정보가 모수를 바꿀 때 어떻게 변하는지에서, 다른 하나는 밀도의 변수변환 공식에서 나온다.

1. $\theta=h^{-1}(\phi)$로 쓰면 연쇄법칙으로 $\dfrac{\partial}{\partial\phi}\log f(x\mid\phi)=\dfrac{\partial}{\partial\theta}\log f(x\mid\theta)\cdot\dfrac{d\theta}{d\phi}$이다.연쇄법칙

2. 제곱해 기댓값을 취하면 $\dfrac{d\theta}{d\phi}$는 관측에 무관한 상수이므로

   $$I_\phi(\phi)=E\Bigl[\Bigl(\frac{\partial}{\partial\theta}\log f\Bigr)^2\Bigr]\Bigl(\frac{d\theta}{d\phi}\Bigr)^2=I_\theta(\theta)\Bigl(\frac{d\theta}{d\phi}\Bigr)^2 .$$

   9회 정의 2.1, 연습 2.2

3. 제곱근을 취하면 $\sqrt{I_\phi(\phi)}=\sqrt{I_\theta(\theta)}\,\Bigl|\dfrac{d\theta}{d\phi}\Bigr|$이다.$\sqrt{u^2}=|u|$

4. 밀도 $\pi_J(\theta)\propto\sqrt{I_\theta(\theta)}$를 단조변환 $\phi=h(\theta)$로 옮긴 밀도는 $\pi_J(h^{-1}(\phi))\,|d\theta/d\phi|$이고, 이것이 3의 오른쪽이다.2회 정리 4.3 [T7]

조건 확인 $h$는 미분가능하고 도함수가 0이 아니어야 한다(그래야 $d\theta/d\phi$가 존재한다). 2는 9회의 정칙 조건 아래에서 $I_\theta$가 유한할 때의 식이다. Jeffreys 사전분포가 비정칙이면 두 밀도는 상수배를 빼고 같다는 뜻이다. 변수변환 공식은 상수배와 함께 성립하므로 결론이 그대로다.

예제 2.7 (Jeffreys 사전분포의 예) 

1. (a)

   베르누이: $I(p)=\frac1{p(1-p)}$이므로 $\pi_J(p)\propto p^{-1/2}(1-p)^{-1/2}$, 곧 $\mathrm{Beta}(\tfrac12,\allowbreak \tfrac12)$(arcsine 분포). $\phi=\arcsin\sqrt p$로 쓰면 $I_\phi$가 상수이므로, Jeffreys 사전분포는 7회의 분산안정화 척도 위의 균등분포다.

2. (b)

   Poisson: $I(\lambda)=1/\lambda$이므로 $\pi_J\propto\lambda^{-1/2}$. 비정칙이지만 사후분포 $\Gamma(\sum x_i+\tfrac12,\allowbreak \ \text{율 }n)$은 $\sum x_i=0$이어도 정칙이다.

3. (c)

   정규 위치 $\N(\mu,1)$: $I$가 상수이므로 평평한 사전분포. 정규 척도 $\N(0,\sigma^2)$: $I(\sigma)=2/\sigma^2$이므로 $\pi_J\propto1/\sigma$, 곧 $\log\sigma$에 평평하다.

Jeffreys 사전분포의 신용구간은 빈도주의의 기준으로도 좋다. $\mathrm b(20,p)$에서 $\mathrm{Beta}(s+\tfrac12,\allowbreak \ 20-s+\tfrac12)$의 2.5%·97.5% 분위수를 Jeffreys 구간이라 하자. $p\in[0.05,0.95]$의 91개 점에서 정확한 포함확률을 계산하면 평균 $0.948$, 최솟값 $0.896$이다. 8회의 Wald 구간 $\hat p\pm1.96\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}$은 평균 $0.895$, 최솟값 $0.639$다(그림 2.1). 끝 근처에서 Wald 구간은 $\hat p=0$일 때 길이가 0이 되어 실패한다. 사전분포의 $\tfrac12$이 그 구멍을 막는다.

증명 없이 쓰는 사실 (다차원의 어려움과 기준 사전분포) 다차원에서 $\sqrt{\det I}$는 문제를 일으킨다. $\N(\mu,\sigma^2)$에서 $\sqrt{\det I}\propto1/\sigma^2$를 쓰면 $\sigma^2$의 사후분포의 자유도가 $n-1$이 아니라 $n$이 된다. Jeffreys 자신도 위치와 척도를 따로 다뤄 $1/\sigma$를 권했다. Bernardo(1979)의 기준 사전분포는 관심 모수와 장애 모수를 나누어 이 문제를 체계적으로 푼다.

그림 2.1 왼쪽: 같은 자료에 균등($\mathrm{Beta}(1,1)$)과 Jeffreys($\mathrm{Beta}(\tfrac12,\allowbreak \tfrac12)$) 사전분포를 쓴 사후분포. 오른쪽: $n=20$에서 Jeffreys 구간과 Wald 구간의 정확한 포함확률. 회색 선은 0.95다. Wald 구간은 $p$가 끝에 가까울수록 무너진다.

연습문제

연습 2.1 (minimax 추정량 ★) 예제 2.2의 위험 공식을 유도하고, $a=b=\sqrt n/2$에서 위험이 상수임을 확인하라. $n=20$에서 MLE가 minimax 추정량보다 나은 $p$의 범위를 구하라.

풀이

$\delta_{a,b}-p=\frac{S-np}{n+a+b}+\frac{a-(a+b)p}{n+a+b}$이고 첫 항의 평균은 0, 분산은 $\frac{np(1-p)}{(n+a+b)^2}$이므로 위험 공식이 나온다. $a=b=c$이면 분자는 $np-np^2+c^2(1-2p)^2=c^2+(n-4c^2)p-(n-4c^2)p^2$이고 $c=\sqrt n/2$에서 $p$항이 사라져 $n/4$가 남는다. MLE가 나은 곳은 $\frac{p(1-p)}{20}<0.00835$, 곧 $p(1-p)<0.167$이므로 $p<0.212$ 또는 $p>0.788$이다.

연습 2.2 ($\bar X$는 Bayes가 아니다 ★) $X_1,\allowbreak \dots,\allowbreak X_n\mid\mu\iid\N(\mu,\allowbreak 1)$, $\cdat\mu\sim\N(0,\tau^2)$에서 명제 2.4를 써서 $\bar X$가 Bayes 추정량이 아님을 보여라. 사후평균의 Bayes 위험을 구하고 $\tau\to\infty$일 때의 극한을 말하라.

풀이

$\bar X$는 불편이고, $E\bar X^2<\infty$이다. Bayes 추정량이라면 Bayes 위험이 0이어야 하지만 $\bar X$의 위험은 $1/n>0$이다. 사후평균은 $\frac{n\bar X}{n+1/\tau^2}$이고 Bayes 위험은 사후분산 $\frac1{n+1/\tau^2}=\frac{\tau^2}{n\tau^2+1}$이다. $\tau\to\infty$이면 $1/n$으로, $\bar X$의 위험으로 간다. $\bar X$는 Bayes 추정량들의 극한(일반화 Bayes)이다.

연습 2.3 (정규 척도와 카이제곱 ★★) $X_1,\allowbreak \dots,\allowbreak X_n\mid\sigma^2\iid\N(0,\allowbreak \sigma^2)$, $\pi(\sigma)\propto1/\sigma$이면 $\sum X_i^2/\sigma^2\mid\x\sim\chi^2_n$임을 보여라. 따라서 95% 신용구간은 6회 연습 2.5의 카이제곱 신뢰구간(평균을 알아 자유도가 $n$인 판)과 같다.

풀이

$\pi(\sigma)\propto1/\sigma$를 $\sigma^2$으로 바꾸면 $\pi(\sigma^2)\propto1/\sigma^2$이다. $T=\sum X_i^2$이라 하면 사후밀도는 $(\sigma^2)^{-1}(\sigma^2)^{-n/2}e^{-T/(2\sigma^2)}$이고, $U=T/\sigma^2$으로 바꾸면($d\sigma^2\propto U^{-2}dU$) $U^{n/2-1}e^{-U/2}$, 곧 $\chi^2_n$이다. 따라서 $P\bigl(\chi^2_{n,0.975}\le T/\sigma^2\le\chi^2_{n,0.025}\bigr)=0.95$를 $\sigma^2$에 대해 풀면 6회의 구간과 같은 식이 된다. 사후확률의 문장과 신뢰구간의 문장이 숫자까지 일치하는 예다.

연습 2.4 (로그오즈의 균등 ★★) 로그오즈 $\psi$에 평평한(비정칙) 사전분포를 주면 $p$의 사전분포는 $\propto p^{-1}(1-p)^{-1}$(Haldane)이다. 이것을 보이고, $s=0$일 때 사후분포가 비정칙임을 보여라.

풀이

$\psi=\log\frac p{1-p}$이면 $\frac{d\psi}{dp}=\frac1{p(1-p)}$이므로 $\psi$의 평평한 밀도는 $p$에서 $\frac1{p(1-p)}$이다. $s=0$이면 사후밀도는 $p^{-1}(1-p)^{n-1}$이고 $\int_0^\epsilon p^{-1}dp=\infty$이므로 정규화할 수 없다.

연습 2.5 (절대손실의 Laplace ★) 파리의 사후분포 $\mathrm{Beta}(251528,241946)$에서 사후평균과 사후중앙값의 차이는 $10^{-6}$보다 작다. 그 이유를 사후분포의 치우침으로 설명하라.

풀이

베타분포의 평균과 중앙값의 차이는 대략 왜도 $\times$ 표준편차$/6$이다. 왜도가 $-1.1\times10^{-4}$, 표준편차가 $7.1\times10^{-4}$이므로 차이는 약 $1.3\times10^{-8}$이다. 노트북의 정확한 값도 $-1.31\times10^{-8}$이다. 사후분포가 거의 대칭이므로 제곱손실과 절대손실이 같은 답을 낸다.

연습 2.6 (불편추정량은 Bayes가 아니다: 증명 ★★ 유도형) 명제 2.4를 다음 순서로 증명하라. $(\cdat\theta,\X)$의 결합분포에서 기댓값을 잡는다.

1. (a)

   $\cdat\theta$로 조건화하고 불편성 $E(\delta\mid\cdat\theta)=\cdat\theta$를 써서 $E(\delta\cdat\theta)=E\cdat\theta^2$을 보여라.

2. (b)

   $\X$로 조건화하고 $\delta=E(\cdat\theta\mid\X)$를 써서 $E(\delta\cdat\theta)=E\delta^2$을 보여라.

3. (c)

   (a)와 (b)로 $E(\delta-\cdat\theta)^2=0$을 얻어라. 둘째 적률이 유한하다는 가정은 어디에 쓰이는가?

4. (d)

   결론을 대우로 바꿔 말하라. Bayes 위험이 양수인 모형에서는 어느 추정량도 불편이면서 Bayes일 수 없다.

풀이

(a) $E(\delta\cdat\theta)=E\bigl[\cdat\theta E(\delta\mid\cdat\theta)\bigr]=E[\cdat\theta\cdot\cdat\theta]=E\cdat\theta^2$. 첫 등호는 반복기댓값(3회 정리 2.5)이고 $\cdat\theta$는 $\cdat\theta$가 주어지면 상수라 밖으로 나온다. (b) $E(\delta\cdat\theta)=E\bigl[\delta E(\cdat\theta\mid\X)\bigr]=E[\delta\cdot\delta]=E\delta^2$. $\delta$는 $\X$의 함수이므로 $\X$가 주어지면 상수다. (c) $E(\delta-\cdat\theta)^2=E\delta^2-2E(\delta\cdat\theta)+E\cdat\theta^2=E\delta^2-2E\delta^2+E\delta^2$에서 (a)로 $E\cdat\theta^2=E(\delta\cdat\theta)=E\delta^2$이므로 0이다. 둘째 적률의 유한성은 세 기댓값이 모두 유한해 전개와 반복기댓값을 쓸 수 있게 한다($|\delta\cdat\theta|\le\frac12(\delta^2+\cdat\theta^2)$). (d) Bayes 위험이 0이 아니면, 곧 $E(\delta-\cdat\theta)^2>0$이면, $\delta$는 불편이거나 Bayes이거나 둘 중 하나만일 수 있다. 정규 평균처럼 모든 추정량의 Bayes 위험이 양수인 모형에서는 불편추정량이 Bayes 추정량이 되지 못한다.

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