S1 · 가정 다시 읽기: 우리가 증명한 것의 지도

S1 · 가정 다시 읽기: 우리가 증명한 것의 지도#

논문 초안에 “사영정리에 의해 해가 존재한다”라고 썼다고 하자. 대상이 유한차원 부분공간이면 충분했지만, 무한차원에서 닫히지 않은 부분공간이면 해가 없을 수 있습니다. 코드가 숫자 하나를 반환했다는 사실도 이 빈틈을 메우지 않습니다. 이 장의 질문은 어느 공간에서, 어떤 가정으로, 어느 결론까지 확보했는가입니다.

먼저 증명에서 쓴 가정을 기록합니다. 다음으로 전제에서 결론으로 향하는 그래프를 만듭니다. 마지막으로 비슷하게 보이는 명제에 반례를 대입합니다. 그래프는 증명의 논리 전체를 자동 검증하지 않습니다. 이 연결이 설명하는 범위와 한계까지 확인하는 것이 이 장의 목표입니다.

한 줄의 주장에 붙이는 일곱 질문#

“\(A\)를 대각화한다”는 문장은 아직 계산 명세가 아닙니다. \(A\)가 실수 행렬인지 복소수 행렬인지, 상사를 허용하는지 유니터리 상사만 허용하는지, 대각화가 존재하는지부터 물어야 합니다.

  1. 대상: 체 \(\mathbb F\), 공간 \(V\), 차원, 노름 또는 내적은 무엇인가?

  2. 양화: 모든 \(A\)인가, 특정 \(A\)인가? 고정 차원의 상수인가, 차원과 무관한 상수인가?

  3. 가정: 닫힘·완비성·독립성·계수·양정치 중 실제로 쓰는 것은 무엇인가?

  4. 허용 변환: 기저 둘을 독립적으로 바꾸는가, 한 기저를 함께 바꾸는가?

  5. 결론의 종류: 존재·유일성·연속 의존·오차율 중 어디까지인가?

  6. 증명의 출처: 이 책에서 증명했는가, 외부 정리인가, 실험 관찰인가?

  7. 검증: 가정을 하나 빼는 반례와 실제 계산의 잔차·조건수를 확인했는가?

예를 들어 \(Ax=b\)에서 \(\det A\ne0\)는 존재와 유일성을 줍니다. 입력오차가 증폭되지 않는다는 결론에는 \(\|A^{-1}\|\)가 필요합니다. \(A_\epsilon=\operatorname{diag}(1,\epsilon)\)이면 모든 \(\epsilon>0\)에서 가역이지만 \(\|A_\epsilon^{-1}\|_2=1/\epsilon\). “가역”을 “안정적”으로 바꾸어 쓰면 질문 5에서 탈락합니다.

일곱 종류의 전제와 사용 지점#

전제

실제로 사용하는 단계

제거했을 때 먼저 확인할 것

체의 대수 법칙

소거, 계수, 다항식 나눗셈

환에서는 비영 원소가 가역이라는 단계가 실패

대수학의 기본정리(FTA)

복소 특성다항식의 근, 복소 Schur 삼각화의 첫 고유벡터

실수 회전행렬의 실고유벡터는 없을 수 있음

Zorn/선택공리

임의 공간의 Hamel 기저, 일반 Hahn–Banach 연장

유한 소거와 무한 기저 존재를 구별

표수 \(\ne2\), 실수 순서

대칭 쌍선형식의 편극화, 양정치와 관성

나누기 2와 양수라는 말을 실제로 썼는지 확인

유한차원·컴팩트성

단위구에서 극값, 모든 선형사상의 연속성

닫힘·컴팩트성·유계성 중 대체 조건을 개별 검토

완비성·측도론

Cauchy 극한, \(L^2\) 사영, 조건부기댓값

a.s. 동치류, 적분가능성, 닫힌 부분공간 확인

해석의 외부 정리

유계역, 약* 컴팩트성, 확률극한, 복소 적분 표현

해당 장이 명시한 전체 가정을 함께 운반

이 표는 독립적인 공리계의 최소 목록이 아닙니다. 측도론의 어떤 구성은 선택 원리를 쓰고, FTA에는 여러 해석적·대수적 증명이 있습니다. 여기서는 이 책이 선택한 증명 경로를 감사합니다. FTA를 사용한 증명을 지웠다고 해서 결론의 다른 증명까지 사라지는 것은 아닙니다. 실수 대칭행렬의 스펙트럼정리는 단위구의 극값과 직교여공간 귀납으로 증명할 수 있습니다. “FTA를 빼면 SVD도 무조건 사라진다”는 결론은 성급합니다.

유한 개 벡터의 기저를 찾는 소거법은 수행 절차입니다. 임의 공간의 Hamel 기저를 Zorn으로 얻는 증명은 유한 실행 알고리즘을 제공하지 않습니다. 이것만으로 특정 공간에서 명시적 기저를 만드는 모든 방법이 불가능하다고 결론 내릴 수는 없습니다.

정리 그래프: 화살표의 방향부터 정하자#

정리 \(i\)를 정리 \(j\)의 증명에서 쓰면 \(i\to j\)로 그립니다. 인접행렬은

\[\begin{split} A_{ij}=\begin{cases}1,&i\to j,\\0,&\text{그 밖}\end{cases} \end{split}\]

입니다. 행 \(i\)가 전제 쪽, 열 \(j\)가 결론 쪽입니다. \((A^r)_{ij}\)는 길이 \(r\)인 유향 보행의 수입니다. 다음 여섯 노드 예에서는 \(1\to2\to4\to5\)와 \(1\to3\to4\to5\)가 있으므로 \((A^3)_{15}=2\). 길이 4인 보행은 없어 \(A^4=0\)입니다.

여섯 노드의 전제에서 결론 방향 그래프. 1에서 5로 가는 길이 3의 경로가 두 개이고 3에서 6으로도 이어진다.

그림 176 화살표를 인용하는 문서에서 인용된 문서 쪽으로 뒤집으면, 같은 행의 합을 영향받는 후속 정리 수로 읽을 수 없다. 이 그림과 코드는 전제에서 결론으로 방향을 통일한다.#

import numpy as np
A = np.zeros((6, 6), dtype=np.int64)
for i, j in [(0,1), (0,2), (1,3), (2,3), (3,4), (2,5)]:
    A[i,j] = 1
R = A.astype(bool)
for k in range(6):
    R |= R[:,k,None] & R[None,k,:]
assert np.linalg.matrix_power(A,3)[0,4] == 2
assert not np.linalg.matrix_power(A,4).any()
print("각 전제의 후속 정리 수:", R.sum(axis=1).tolist())
B = np.array([[0,1],[1,0]], dtype=int)
assert all((np.array([x,y]) @ B @ np.array([x,y])) % 2 == 0
           for x in range(2) for y in range(2))
print("표수 2: B는 0이 아니지만 x^T B x는 항상 0")

각 전제의 후속 정리 수: [5, 2, 3, 1, 0, 0]
표수 2: B는 0이 아니지만 x^T B x는 항상 0

도달가능성 행렬 \(R\)의 행합은 중복을 뺀 후속 정리 수입니다. \(A+A^2+\cdots\)의 행합은 여러 경로를 중복 계산하므로 다릅니다. 큰 그래프에서 작은 정수형으로 보행 수를 계산하면 넘침도 생깁니다. 위 코드는 도달 여부를 Boolean 연산으로 계산합니다. \(R_{ij}=1\)은 해당 증명 경로를 재검토해야 한다는 뜻이지, 전제 \(i\)를 제거하면 정리 \(j\)가 거짓이라는 뜻은 아닙니다.

배운 정리의 연결을 따라 읽기#

앞에서 배운 정리 중 열두 개를 골라 연결을 살펴봅시다. 예를 들어 완비성은 사영정리의 근거가 되고, 사영정리는 조건부기댓값을 최적 예측으로 이해하는 데 쓰입니다. 각 연결에서 어떤 가정을 사용했는지 해당 증명으로 돌아가 확인해 보세요.

번호

살펴볼 정리와 내용

1

유한차원의 닫힘·컴팩트성

2

Riesz 보조정리

3

\(L^2\) 완비성

4

닫힌 볼록집합의 최근접점

5

\(L^2\) 조건부기댓값

6

증가하는 정보공간의 사영극한

7

Wold 분해

8

수반과 직교여공간

9

컴팩트 연산자의 특이계

10

Tikhonov와 필터

11

최소노름 영향함수

12

가격결정핵의 분산 하한

I2의 사영정리를 출발점으로 조건부기댓값, 수반, 영향함수에 관한 논증을 비교해 보세요. 같은 사영의 성질을 사용하더라도 공간과 가정이 같다는 뜻은 아닙니다.

선택한 열두 정리의 연결에서 도달할 수 있는 후속 정리 수. 완비성은 아홉 개, 사영정리는 여덟 개에 연결된다.

그림 177 가로축 번호는 위 표와 같습니다. 막대는 이 예에서 선택한 연결을 따라 도달하는 후속 정리 수입니다. 책 전체에서의 중요도나 사용 횟수를 나타내지는 않습니다.#

앞 장을 다시 읽으라는 안내와 증명의 근거로 사용하는 인용도 구별해야 합니다. 읽기 안내가 서로 연결되어 있다는 이유만으로 순환논증이 되는 것은 아닙니다. 반대로 연결 그림에 순환이 없더라도, 각 증명에서 가정을 올바르게 적용했는지는 직접 확인해야 합니다.

유한차원에서 익숙했던 열두 문장#

마지막 행은 의도적으로 유한차원만의 특권이 아닌 문장입니다. 분류 자체도 감사해야 하기 때문입니다. 무한차원 반례는 주로 \(c_{00}\), \(\ell^2\), \(\ell^1\)에서 찾습니다.

익숙한 문장

무한차원에서 확인할 예

되살리는 충분조건 또는 정확한 구별

모든 노름이 동치

\(c_{00}\)에서 \(|\sum_{j=1}^N e_j|_1=N\), \(|\cdot|_2=\sqrt N\)

유한차원

모든 선형사상이 연속

\(c_{00}\subset\ell^2\)에서 \(f(x)=\sum jx_j\)

유계성을 별도 가정

모든 부분공간이 닫힘

\(c_{00}\)는 \(\ell^2\)에서 조밀하지만 진부분공간

닫힌 부분공간을 지정

닫히고 유계면 컴팩트

\(\ell^2\)의 \((e_j)\)는 수렴 부분수열 없음

완전유계성과 완비성

유계수열은 강수렴 부분수열을 가짐

같은 \((e_j)\)

반사공간에서는 약수렴 부분수열이라는 외부 정리로 약화

선형사상의 상이 닫힘

\(Te_j=e_j/j\)

닫힌 상 가정, 적절한 아래쪽 유계성

단사 자기 사상은 전사

오른쪽 shift \((x_1,x_2,\ldots)\mapsto(0,x_1,\ldots)\)

유한차원 rank–nullity

전사 자기 사상은 단사

왼쪽 shift

유한차원 rank–nullity

유계 연산자는 컴팩트

\(\ell^2\)의 항등연산자

컴팩트성을 별도 가정

스펙트럼의 모든 점은 고윳값

\(L^2[0,1]\)에서 \(Tf(t)=tf(t)\)

컴팩트 연산자의 비영 스펙트럼 등 제한된 결론

대수적 기저가 급수 전개도 제공

Hamel 전개는 유한합, Schauder 전개는 노름 수렴 급수

Schauder 기저 존재를 별도로 확인

\(J:X\to X^{**}\)가 전사

\(\ell^2\)도 전사

연속쌍대의 경우 반사성이며 유한차원과 동치가 아님

마지막 행에서 \(Jx(f)=f(x)\)이고 \(X^*\)는 연속 선형범함수 공간입니다. Hilbert 공간의 Riesz 표현을 두 번 사용하면 무한차원 \(\ell^2\)도 반사적입니다. 반면 대수적 쌍대를 두 번 취하는 명제는 다른 명제이며, 통상적인 선택공리 아래에서는 표준 사상의 전사가 유한차원과 동치입니다. 별표의 뜻을 바꾸면서 같은 결론을 옮기지 말자.

완비성만 붙이면 표의 모든 실패가 회복되는 것도 아닙니다. \(\ell^2\)는 완비이지만 단위구는 노름 컴팩트하지 않습니다. 닫힌 단위구의 약콤팩트성과 노름 컴팩트성은 서로 다른 위상에 관한 말입니다.

네 동치관계와 변하지 않는 양#

같은 정보를 담는다는 말은 허용하는 변환에 달려 있습니다. 다음 표에서는 크기를 고정합니다. \(P,Q\)는 가역이고 \(U,V\)는 유니터리입니다.

관계

변환

완전 불변량

적용 범위

행렬 동치

\(PAQ\)

계수

임의 체, 직사각행렬

상사

\(P^{-1}AP\)

불변인자; 복소수에서는 Jordan 블록 자료

정사각행렬

실수 대칭 합동

\(P^TAP\)

양·음·영 관성

실수 대칭행렬

양쪽 유니터리 동치

\(U^*AV\)

특이값 목록

실수의 직교 버전 또는 복소수

“완전”이란 불변량이 같으면 같은 궤도에 속한다는 뜻입니다. 단순히 변환에 보존된다는 뜻보다 강합니다. trace와 determinant는 상사 불변량이지만 완전하지 않습니다. \(I_2\)와 \(\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\)는 둘 다 trace 2, determinant 1이지만 상사일 수 없습니다. \(I_2\)의 모든 상사 변환은 \(I_2\) 자신입니다.

특이값도 유니터리 상사 \(U^*AU\)의 완전 불변량은 아닙니다. \(\operatorname{diag}(1,2)\)와 \(\operatorname{diag}(-1,2)\)는 특이값이 같지만 trace가 다릅니다. 왼쪽과 오른쪽 기저를 독립적으로 바꾸는 자유가 중요합니다. 복소 Hermitian 형식은 \(P^*AP\)로 다루며, 복소 대칭 형식의 \(P^TAP\)와 혼동하지 않습니다. 복소수의 일반 대칭 합동에는 실수의 양·음 관성을 그대로 적용할 수 없습니다.

표수 2에서 대칭행렬 \(B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)를 보면 \(x^TBx=2x_1x_2=0\)입니다. \(B\ne0\)인데 이차식은 영입니다. 실수에서 쓰던

\[ B(x,y)=\frac{Q(x+y)-Q(x)-Q(y)}2 \]

의 나누기 2가 사라졌기 때문입니다. 또한 \(\mathbb F_2\)에서 다항식 \(Q(x)=x_1x_2\)는 대칭 \(B\)의 \(x^TBx\)로 표현되지 않습니다. 유한체의 다항식과 다항함수까지 구별하는 것이 안전합니다.

정확한 정준형과 관측오차가 있는 계산#

\[\begin{split} A_\epsilon=\begin{pmatrix}1&1\\0&1+\epsilon\end{pmatrix} \end{split}\]

에서 \(\epsilon\ne0\)이면 고윳값이 달라 대각화 가능합니다. 대응 고유벡터를 \((1,0)^T\), \((1,\epsilon)^T\)로 잡으면 두 방향이 \(\epsilon\to0\)에서 합쳐집니다. \(\epsilon=0\)에서는 크기 2의 Jordan 블록입니다. 입력 행렬의 작은 변화가 Jordan 구조를 바꿉니다.

고윳값 간격 epsilon이 줄어들 때 정규화 고유벡터 행렬의 조건수가 약 2 나누기 epsilon으로 커지는 로그 그래프.

그림 178 고유벡터 열의 길이를 1로 맞춘 뒤 측정한 2-노름 조건수다. 정확한 정준형의 존재와 오차가 있는 입력에서 안정적으로 복원할 수 있는 정보는 다르다.#

정확한 유리수 입력의 기호 연산으로 Jordan 관련 자료를 구할 수 없다는 뜻은 아닙니다. 여기서의 문제는 유한 정밀도와 입력 불확실성 아래의 불연속성입니다. 부동소수점 계산에서는 Schur 형태, 특이값, 잔차와 분리도를 함께 보고합니다. 어떤 오차 모형에서 어떤 정보를 신뢰할 수 있는가를 적는 것이 핵심입니다.

여섯 번 돌아온 구조를 연결하기#

반복된 구조

대수에서 시작

기하와 계산

확률·무한차원에서 추가된 조건

SVD

계수와 핵·상

최적 저계수 근사, 안정적 최소제곱

컴팩트성, Picard 조건

사영

직합 분해

직교 최소제곱, FWL

닫힌 부분공간, \(L^2\) 적분가능성

Schur 보원

블록 소거

KKT·조건부 Gaussian

가역 블록 또는 일반화역의 상 조건

조건수

가역성과 역함수

입력오차 증폭, 후방오차

역문제에서 작은 특이값의 누적

회전 불확정성

기저 선택

중복 특이값의 부분공간

요인모형 식별, 고유간격

정칙화 필터

역행렬의 대체

ridge·절단 SVD

source condition, 편향과 잡음의 균형

코드 리뷰도 이 연결을 따릅니다. 최소제곱은 lstsq, 양정치 선형계는 Cholesky 후 삼각해법, Hermitian 고유문제는 eigh, 일반 고유문제는 Schur 기반 루틴으로 목적을 표현합니다. 실제 LAPACK 드라이버는 래퍼·옵션·라이브러리 버전에 따라 확인합니다. 캡스톤은 SciPy lstsq(..., lapack_driver="gelsd")를 명시합니다. 일반적으로 inv(X.T @ X) @ X.T @ y는 역행렬을 명시적으로 만들고 조건수를 제곱시키므로 비교용 실험 이외의 기본 경로로 삼지 않습니다. 작은 잘 조건화된 양정치 계에서 정규방정식이 적절한 비용 선택일 수 있다는 조건도 함께 남깁니다.

연습문제와 전체 풀이#

1. 경로와 영향 범위. 여섯 노드 그림에서 \(1\)의 후속 수, 길이 3인 보행 수, \(4\to1\) 추가의 효과를 구하라.

풀이. 후속은 \(2,3,4,5,6\)으로 5개입니다. 길이 3의 보행은 \(1\to2\to4\to5\)와 \(1\to3\to4\to5\) 두 개입니다. \(4\to1\)을 넣으면 \(1\to2\to4\to1\)이 닫힌 보행이므로 모든 배수 길이에서 양의 대각 원소가 생깁니다. 더는 멱영이 아닙니다. 이 검사는 기록한 의존성에 대한 경고이며, 각 증명을 읽어 간선이 실제 논리 의존인지 확인해야 합니다.

2. 표수의 함정. \(\mathbb F_2\)에서 \(C=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)는 0이 아닌 인접행렬이지만 \(C^2=0\)입니다. 이것이 DAG 정리의 반례인가?

풀이. 아닙니다. DAG 정리는 보행 수를 비음수 정수, 실수 또는 복소수로 계산합니다. 여기서는 각 원소의 두 경로가 \(1+1=0\)으로 상쇄됩니다. 그래프에는 자기 고리도 2-순환도 있지만 체 연산이 보행의 존재를 지웁니다. Boolean 도달가능성에는 이런 상쇄가 없습니다.

3. 반사성과 유한차원. “\(X=X^{**}\)이므로 \(X\)는 유한차원”을 반박하라.

풀이. \(X=\ell^2\)를 택하고 연속쌍대를 사용합니다. 실수 Hilbert 공간에서 모든 \(f\in X^*\)는 유일한 \(y\)로 \(f(x)=\langle x,y\rangle\)입니다. 다시 \(F\in X^{**}\)에 Riesz를 적용하면 어떤 \(z\in X\)에 대해 \(F(f)=\langle z,y\rangle=f(z)\)이므로 \(F=Jz\). \(J\)는 전사지만 \(e_1,e_2,\ldots\)가 독립이므로 \(X\)는 무한차원입니다. 복소수에서는 Riesz의 켤레선형 규약을 두 번 맞추면 같은 결론입니다.

4. 특이값이 분류하는 것. 앞의 두 대각행렬이 양쪽 직교 동치이지만 직교 상사가 아님을 보이라.

풀이. \(A=\operatorname{diag}(1,2)\), \(B=\operatorname{diag}(-1,2)\)라 두겠습니다. \(U=\operatorname{diag}(-1,1)\), \(V=I\)이면 \(U^TAV=B\). 그러나 \(\operatorname{tr}A=3\), \(\operatorname{tr}B=1\)이고 trace는 상사에 보존되므로 일반 상사도 불가능합니다.

5. 닫힘이 빠진 최소거리. \(\ell^2\)에서 \(M=c_{00}\), \(x=(1/j)_{j\ge1}\)에 대한 최근접점을 찾아보라.

풀이. \(x\in\ell^2\)이고 절단 \(x^{(N)}\in M\)가 \(x\)로 수렴하므로 \(\inf_{m\in M}\|x-m\|=0\). 최소점 \(m\)이 있으면 \(\|x-m\|=0\)여서 \(m=x\)여야 하지만 \(x\notin c_{00}\). 따라서 존재하지 않습니다. 주변 공간의 완비성만으로는 충분하지 않고 부분공간의 닫힘이 필요합니다.

6. Jordan 경고를 정량화하라. 정규화한 고유벡터 두 열의 내적을 \(c_\epsilon\)라 할 때 조건수를 구하라.

풀이. 열은 \(v_1=(1,0)^T\), \(v_2=(1,\epsilon)^T/\sqrt{1+\epsilon^2}\). 따라서 \(c_\epsilon=1/\sqrt{1+\epsilon^2}\)이고 Gram 행렬은 \(\begin{pmatrix}1&c_\epsilon\\c_\epsilon&1\end{pmatrix}\). 특이값의 제곱이 \(1\pm c_\epsilon\)이므로

\[\begin{split} \begin{aligned} \kappa_2(V)&=\sqrt{\frac{1+c_\epsilon}{1-c_\epsilon}}\\ &=\frac{\sqrt{1+\epsilon^2}+1}{|\epsilon|}. \end{aligned} \end{split}\]

마지막 식은 작은 \(\epsilon\)에서 뺄셈 상쇄도 피합니다. \(\kappa_2(V)\sim2/|\epsilon|\)이므로 근접한 두 고유방향은 불안정합니다.

지금까지의 내용을 수학의 언어로 정리해 봅시다#

정리 1 · DAG, 위상 순서와 멱영성#

유한 유향그래프의 \(N\times N\) 0–1 인접행렬 \(A\)를 \(\mathbb R\) 위에서 생각해 봅시다. 다음은 동치입니다. (i) 그래프가 무순환입니다. (ii) 노드를 순열하면 \(A\)가 엄밀한 상삼각행렬이 됩니다. (iii) \(A^N=0\). (iv) \(A\)는 멱영입니다. 복소수 위에서 보면 이는 모든 고윳값이 0이라는 조건과도 동치입니다.

증명. 무순환 그래프에는 진입 간선이 없는 노드가 있습니다. 없다면 임의의 노드에서 전임자를 계속 고를 수 있고, 노드 수가 유한하므로 언젠가 노드가 반복되어 순환이 생깁니다. 진입 간선이 없는 노드를 첫째로 놓고 제거한 그래프에 귀납하면 모든 간선이 앞에서 뒤로 가는 순서를 얻습니다. 이 순서에서 \(A\)는 엄밀한 상삼각입니다. 길이 \(N\)의 보행은 \(N+1\)개 노드를 방문해야 하므로 그런 보행이 없고 \(A^N=0\)입니다. 따라서 멱영입니다.

반대로 길이 \(r\)의 순환이 있으면 시작 노드 \(i\)에 대해 \((A^{kr})_{ii}\ge1\)이 모든 양의 정수 \(k\)에 성립합니다. 충분히 높은 거듭제곱이 모두 0이어야 하는 멱영성과 모순입니다. 멱영이면 \(Av=\lambda v\)에서 \(0=A^Nv=\lambda^Nv\)이므로 \(\lambda=0\). 모든 복소 고윳값이 0이면 특성다항식이 \(t^N\)이고 Cayley–Hamilton에 의해 \(A^N=0\). 이 마지막 방향은 특성다항식의 분해를 사용합니다. \(\square\)

정리 2 · 독립집합을 포함하는 Hamel 기저#

선택공리의 Zorn 보조정리를 가정합니다. 체 위의 벡터공간 \(V\)에서 임의의 선형독립집합 \(S\)는 어떤 Hamel 기저에 포함됩니다.

증명. \(S\)를 포함하는 독립집합들의 집합을 포함관계로 정렬합니다. 비어 있지 않으며, 사슬 \(\mathcal C\)의 합집합 \(U\)는 독립입니다. 실제로 \(U\)에서 뽑은 유한 개 벡터는 사슬의 한 원소에 모두 들어갑니다. 그곳의 독립성으로 이 유한 선형결합의 계수는 모두 0입니다. 따라서 모든 사슬에 상계가 있고 Zorn에 의해 극대 독립집합 \(B\)가 있습니다. \(\operatorname{span}B\ne V\)이면 바깥의 \(v\)를 추가해도 독립이어서 극대성과 모순입니다. 따라서 \(B\)는 \(V\)를 생성하는 독립집합, 즉 기저입니다. 모든 벡터의 표현은 정의상 유한합이며 독립성으로 유일합니다. 이 증명에는 노름 수렴 급수에 관한 주장이 없습니다. \(\square\)

정리 3 · 계수·특이값·관성의 완전성#

고정 크기의 행렬에 대해 계수는 행렬 동치의 완전 불변량입니다. 실수 또는 복소수에서 특이값 목록은 양쪽 직교 또는 유니터리 동치의 완전 불변량입니다. 실수 대칭행렬에서 관성은 실수 합동의 완전 불변량입니다.

증명. 가역한 좌우 곱은 상의 차원을 보존합니다. 계수가 \(r\)인 행렬은 행·열 소거로 같은 표준형 \(\begin{pmatrix}I_r&0\\0&0\end{pmatrix}\)에 도달하므로 계수가 같으면 서로 동치입니다.

\(B=U^*AV\)이면 \(B^*B=V^*A^*AV\)이므로 특이값이 보존됩니다. 반대로 \(A=U_A\Sigma V_A^*\), \(B=U_B\Sigma V_B^*\)가 같은 대각 직사각 \(\Sigma\)를 가진 SVD이면 \(B=(U_BU_A^*)A(V_AV_B^*)\). 두 인자가 유니터리이므로 원하는 동치가 성립합니다.

실수 대칭행렬은 직교 대각화 뒤 비영 대각성분을 제곱근으로 재척도하여 \(\operatorname{diag}(I_p,-I_q,0_z)\)로 합동 변환됩니다. \(p\)는 이차형식이 양정치인 부분공간의 최대 차원입니다. 표준형의 앞 \(p\)개 좌표는 그런 공간이며, 차원이 \(p\)보다 큰 부분공간은 뒤 \(q+z\)개 좌표공간과 비영 교차하여 양정치일 수 없습니다. 가역 좌표변환은 부분공간 차원과 이 성질을 보존하므로 \(p\)가 불변이고, 음의 형식에 같은 논리를 적용하면 \(q\)도 불변입니다. \(z=n-p-q\)도 불변입니다. 관성이 같으면 같은 표준형을 거쳐 합동이므로 완전합니다. \(\square\)

정리 4 · 단순 스펙트럼의 조밀성과 그 한계#

복소 \(n\times n\) 행렬 중 고윳값이 모두 다른 행렬은 조밀합니다. 따라서 대각화 가능한 행렬도 조밀합니다. 이 사실은 Jordan 자료의 연속성을 뜻하지 않습니다.

증명. 복소 Schur 분해로 \(A=QTQ^*\)를 쓰겠습니다. 임의의 \(\delta>0\)에 대해 \(|\eta_i|<\delta\)이면서 \(T_{ii}+\eta_i\)가 서로 다르도록 순서대로 \(\eta_i\)를 고를 수 있습니다. 각 단계에서 피해야 할 값은 유한 개뿐입니다. \(T_\delta=T+\operatorname{diag}(\eta_i)\), \(A_\delta=QT_\delta Q^*\)라 두면 \(\|A_\delta-A\|_2<\delta\)이고 삼각행렬의 고윳값은 대각성분이므로 모두 다릅니다.

서로 다른 고윳값에 속한 고유벡터는 독립입니다. 가장 짧은 비자명 종속식 \(\sum_{i=1}^r c_iv_i=0\)에 \(A-\lambda_rI\)를 적용하면 앞 \(r-1\)개 벡터의 더 짧은 비자명 종속식을 얻어 모순입니다. 따라서 \(A_\delta\)는 대각화 가능합니다. 본문의 \(A_\epsilon\)은 \(\epsilon\ne0\)에서 대각화 가능하지만 극한 \(A_0\)은 그렇지 않으므로 조밀성과 연속 분류는 다릅니다. \(\square\)

같은 표현의 정리라도 공간과 가정이 달라지면 적용 범위가 바뀝니다. 마지막 장에서는 하나의 추정 문제를 여러 계산 경로로 풀며, 이 가정 점검을 실제 결과의 비교에 적용합니다. S2로 이어 읽기.