A5 · 반복해도 방향이 유지되는 상태는 왜 존재할까?

A4에서는 특정 방향의 상태가 매 시점 같은 수만큼 배율을 바꾸며 움직였습니다. 그런 방향을 알고 나니 긴 반복 계산을 거듭제곱으로 쓸 수 있었습니다. 이번에는 반대 질문을 하겠습니다. 임의의 선형사상에도 그런 방향이 반드시 있을까요?

답은 계산하는 체에 따라 달라집니다. 복소수 유한차원에서는 존재하지만, 실수에서는 회전처럼 없는 경우도 있습니다. 존재 증명에 행렬식은 사용하지 않습니다. 반복벡터의 종속관계와 다항식 인수분해를 사용하고, 인수분해의 근거도 마지막 절에서 설명합니다.

이 장의 대부분은 B2~A4의 유한차원 대수입니다. 마지막의 복소다항식 근 존재 증명과 확률분포의 부분수열 논증에서는 실수 해석학의 출발 사실을 명시적으로 사용합니다. 닫히고 유계인 실수 유한차원 집합의 컴팩트성, 그 위 연속함수의 최솟값 존재, 실수 삼각함수와 복소수 극형식을 사용하며 이 해석학적 기반 자체의 구성은 이 장의 범위가 아닙니다.

1. 방향은 같고 크기만 바뀌는 입력을 찾기

\(T=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}\)를 무차원 두 반응량의 한 시점 변화 규칙이라고 합시다. 다음 두 계산을 해 봅시다.

\[ T(1,0)=(2,0)=2(1,0),\qquad T(1,1)=(3,3)=3(1,1). \]

\(u=(1,0)\) 방향은 매번 2배, \(w=(1,1)\) 방향은 매번 3배가 됩니다. \(u,w\)는 독립입니다. \(au+bw=(a+b,b)=0\)에서 \(b=a=0\)이기 때문입니다. 따라서 모든 입력은

\[ (x,y)=(x-y)u+yw \]

로 나뉩니다. 이를 반복하면

\[ T^n(x,y)=2^n(x-y)u+3^nyw. \]

\(T^0=I\)에서 맞고, 한 번 더 적용하면 각 항에 2 또는 3을 곱하므로 모든 음이 아닌 정수 \(n\)에서 성립합니다.

\(Tv=\lambda v\)인 0 아닌 벡터 \(v\)를 고유벡터, 그 스칼라 \(\lambda\)를 고윳값이라고 합니다. 영벡터를 제외하는 이유는 \(T0=\lambda0\)이 모든 \(\lambda\)에서 성립하여 아무 구별도 하지 못하기 때문입니다.

한 고윳값에 대응하는 벡터는 하나가 아닙니다. \(Tv=\lambda v\)이면 임의의 \(a\ne0\)에 대해 \(T(av)=aTv=\lambda(av)\)입니다. 정규화하지 않은 ‘가장 긴 고유벡터’ 같은 표현은 의미가 없습니다.

2. 고유벡터가 아닌 입력에서 출발해도 찾을 수 있다

\(v=(0,1)\)은 위 \(T\)의 고유벡터가 아닙니다. \(Tv=(1,3)\)가 \(v\)의 배수가 아니기 때문입니다. 그러나 반복벡터를 계산하면

\[ v=(0,1),\quad Tv=(1,3),\quad T^2v=(5,9). \]

세 벡터는 2차원 공간 안에 있어 종속입니다. 실제로

\[ T^2v-5Tv+6v=(5-5,\ 9-15+6)=(0,0). \]

따라서

\[ p(T)v=0,\qquad p(z)=z^2-5z+6=(z-2)(z-3). \]

인수 하나씩 적용해 봅시다. 먼저

\[ w=(T-2I)v=(1,3)-(0,2)=(1,1)\ne0. \]

그다음

\[ (T-3I)w=T(1,1)-3(1,1)=(3,3)-(3,3)=0. \]

따라서 \(w\)는 고윳값 3의 고유벡터입니다. 합성 전체가 0이 되었을 때 그 직전의 0 아닌 벡터를 찾아 한 인수의 핵에 들어가는 벡터를 얻은 것입니다.

인수 순서를 반대로 하면 \((T-3I)v=(1,0)\)를 얻고, 여기에 \(T-2I\)를 적용하면 0이므로 고윳값 2의 벡터를 얻습니다. 두 인수는 같은 \(T\)의 다항식이어서 교환합니다.

그림 31 영벡터가 되기 직전의 \(w=(1,1)\)은 \((T-3I)w=0\)을 만족하므로 고유벡터입니다. 처음 벡터가 고유벡터일 필요는 없습니다.

3. 일반적인 반복벡터에서는 어떤 다항식이 나오는가?

\(V\)의 차원이 \(n\ge1\)이고 \(v\ne0\)라고 합시다. \(v,Tv,\ldots,T^nv\)는 \(n+1\)개이므로 선형종속입니다. 즉 모두 0은 아닌 계수 \(a_0,\ldots,a_n\)에 대해

\[ a_0v+a_1Tv+\cdots+a_nT^nv=0 \]

입니다. \(p(z)=a_0+a_1z+\cdots+a_nz^n\)로 쓰면 \(p(T)v=0\)입니다.

이 \(p\)는 0 아닌 다항식이며 상수다항식일 수 없습니다. 상수 \(a_0\ne0\)만 남으면 \(a_0v=0\)에서 \(v=0\)이 되어 선택에 모순이기 때문입니다. 따라서 차수가 적어도 1입니다.

복소수에서 이 다항식을 일차식의 곱

\[ p(z)=c(z-\lambda_1)\cdots(z-\lambda_m) \]

으로 인수분해할 수 있다면 2절의 인수 적용 과정을 반복할 수 있습니다. 시작 \(w_0=v\)는 0이 아니고, 마지막 \(w_m=0\)입니다. 처음 0이 되는 단계 \(j\)를 고르면

\[ w_{j-1}\ne0,\qquad (T-\lambda_jI)w_{j-1}=0. \]

따라서 고유벡터가 존재합니다. 이것이 존재 증명의 핵심입니다. 아직 증명하지 않은 것은 복소다항식의 일차인수분해이며, 그 부분을 11.1절에서 다룹니다.

이 논증이 어느 한 \(v\)에서 얻은 \(p(T)v=0\)을 \(p(T)=0\)으로 바꾼 것은 아닙니다. 고유벡터 존재에는 한 입력에서의 관계만으로 충분합니다. 연산자 전체를 0으로 만드는 최소다항식은 A6에서 별도로 구성합니다.

4. 실수의 회전에는 왜 그런 방향이 없는가?

\[\begin{split} R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} \end{split}\]

을 생각합시다. \(R(x,y)=(-y,x)\)이므로 90도 회전입니다. \(R(x,y)=\lambda(x,y)\)를 실수에서 풀면

\[ -y=\lambda x,\qquad x=\lambda y. \]

둘째 식을 첫째에 넣어 \((\lambda^2+1)y=0\)을 얻습니다. 실수 \(\lambda\)에서는 \(\lambda^2+1>0\)이므로 \(y=0\), 이어서 \(x=0\)입니다. 0 아닌 실수 고유벡터가 없습니다.

그런데 반복 관계는 존재합니다. \(R^2=-I\)이므로 \((R^2+I)v=0\)입니다. 대응하는 다항식 \(z^2+1\)은 실수에서 일차식으로 인수분해되지 않습니다. 3절의 증명이 어디에서 중단되는지 정확히 드러납니다.

복소수에서는 \(z^2+1=(z-i)(z+i)\)이고,

\[ R(1,-i)=(i,1)=i(1,-i),\qquad R(1,i)=(-i,1)=-i(1,i) \]

입니다. 행렬의 숫자를 바꾸지 않고 허용한 벡터 성분과 스칼라만 넓혔습니다. 두 복소 고유벡터가 원래 실수 평면의 회전을 서로 다른 복소 좌표로 기록합니다.

5. 감쇠하면서 진동하는 반응을 읽기

경제·물리 모형에서 기준 상태로 돌아가면서 부호가 바뀌는 반응을 생각할 수 있습니다. 구체적으로

\[\begin{split} A=\frac45R =\begin{pmatrix}0&-4/5\\4/5&0\end{pmatrix} \end{split}\]

라고 합시다. 두 상태는 무차원 편차이며, 음의 성분도 허용합니다. 이 모형의 각 단계는 90도 회전한 뒤 크기를 \(4/5\)배로 바꿉니다.

초기값 \(z_0=(1,0)\)이면

\[ z_1=(0,4/5),\quad z_2=(-16/25,0),\quad z_3=(0,-64/125),\quad z_4=(256/625,0). \]

두 성분은 번갈아 부호를 바꾸지만 크기는 줄어듭니다. \(R\)이 길이를 보존한다는 사실은 \((-y)^2+x^2=x^2+y^2\)에서 직접 확인합니다. 따라서

\[ \|A^nz_0\|_2=\left(\frac45\right)^n\|z_0\|_2\longrightarrow0. \]

복소 고윳값은 \(\pm(4/5)i\)입니다. 그 절댓값 \(4/5\)는 감쇠율을, 각도는 회전 성분을 기록합니다. 복소 고윳값이 나왔다고 실제 관측값이 복소수가 된다는 뜻은 아닙니다. 원래 행렬과 초기값이 실수이면 매 시점 결과도 실수입니다.

그림 32 왼쪽의 두 축은 같은 비율을 사용합니다. 오른쪽은 같은 반응을 시간별 성분으로 적은 것입니다. 복소 고윳값은 이 실수 궤적을 분석하는 표현이며, 실제 상태는 계속 실수입니다.

6. 서로 다른 고윳값의 방향들이 독립인 이유

\(Tv_1=\lambda_1v_1\), \(Tv_2=\lambda_2v_2\), \(\lambda_1\ne\lambda_2\)라고 합시다. 두 고유벡터가 종속인지 확인하려고

\[ a_1v_1+a_2v_2=0 \]

이라고 놓습니다. \(T\)를 적용한 식에서 원래 식의 \(\lambda_2\)배를 빼면

\[ a_1(\lambda_1-\lambda_2)v_1=0. \]

\(v_1\ne0\)이고 \(\lambda_1-\lambda_2\ne0\)이므로 \(a_1=0\)입니다. 원래 식에 넣으면 \(a_2v_2=0\)이어서 \(a_2=0\)입니다.

서로 다른 세 고윳값에서도 같은 방식으로 하나의 항을 없애고 나머지 두 항의 독립성을 사용할 수 있습니다. 마지막 절에서는 귀납법과 인수곱 방법으로 일반적인 독립성을 증명합니다.

따라서 \(n\)차원 공간에 서로 다른 고윳값이 \(n+1\)개 있을 수 없습니다. 각각에서 고유벡터 하나씩 고르면 \(n+1\)개의 독립벡터가 되어 B2의 차원 정리에 모순이기 때문입니다.

하지만 같은 고윳값에 속하는 벡터 둘이 반드시 종속이라는 뜻은 아닙니다. 항등사상 \(I\)에서는 모든 0 아닌 벡터가 고윳값 1의 고유벡터이므로 독립인 벡터를 많이 고를 수 있습니다.

7. 고유벡터 하나의 존재와 대각화는 다른 결론이다

\[\begin{split} B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} \end{split}\]

을 생각합시다. \((B-I)(x,y)=(y,0)\)이므로 고윳값 1의 고유공간은 \(\{(x,0)\}\)입니다. 다른 고윳값이 있는지도 직접 검사할 수 있습니다.

\[ Bx=\lambda x \quad\Longleftrightarrow\quad (1-\lambda)x+y=0,\qquad(1-\lambda)y=0. \]

\(\lambda\ne1\)이면 둘째 식에서 \(y=0\), 첫째에서 \(x=0\)이므로 고유벡터가 없습니다. 따라서 유일한 고윳값은 1이며 고유벡터들이 만드는 공간은 1차원입니다.

전체 공간은 2차원이므로 고유벡터만으로 기저를 만들 수 없습니다. 이 행렬은 대각화할 수 없습니다. 반복하면

\[\begin{split} B^n=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix} \end{split}\]

입니다. \(n=0\)에서 \(I\)이고, 이 행렬에 \(B\)를 곱하면 오른쪽 위가 \(n+1\)이 되므로 귀납적으로 확인됩니다. 모든 고윳값이 1이라는 사실만으로 모든 상태가 일정하게 유지된다고 결론내리면 안 됩니다.

A6에서는 이 차이를 최소다항식의 중복 인수로 읽겠습니다. 지금 단계에서 필요한 결론은 ‘고유벡터가 존재한다’와 ‘고유벡터로 기저를 만들 수 있다’를 구별하는 것입니다.

8. 확률 전이에서 고윳값 1은 무엇을 보장할까?

열확률벡터 \(p\)를 \(Mp\)로 보내는 전이행렬은 성분이 비음수이고 각 열의 합이 1입니다. 따라서 \(\mathbf1^\top M=\mathbf1^\top\)입니다. 합계를 읽는 범함수가 전치사상의 고윳값 1에 대응합니다.

\(M^\top-I\)의 핵에 \(\mathbf1\ne0\)이 있으므로 그 계수는 전체 차원보다 작습니다. A3에서 전치는 계수를 보존한다고 증명했으므로 \(M-I\)의 계수도 작고, 따라서 \(Mv=v\)인 0 아닌 벡터 \(v\)가 존재합니다.

그러나 이 논증만으로 그 \(v\)의 성분이 비음수이며 합이 1이라고 결론낼 수는 없습니다. 정상분포는 이 조건까지 만족하는 고유벡터입니다. 이를 직접 구성하는 방법이 있습니다.

어떤 초기분포 \(p_0\)에서 \(p_k=M^kp_0\)를 만들고 평균을

\[ \bar p_N=\frac1N\sum_{k=0}^{N-1}p_k \]

로 정의합니다. 각 \(p_k\)와 평균은 모두 확률분포입니다. 또한

\[\begin{split} \begin{aligned} M\bar p_N-\bar p_N &=\frac1N\left(\sum_{k=1}^{N}p_k-\sum_{k=0}^{N-1}p_k\right)\\ &=\frac{p_N-p_0}{N}. \end{aligned} \end{split}\]

각 성분의 절댓값 차이는 1 이하이므로 오른쪽은 성분별로 0으로 갑니다. 확률분포들의 집합은 닫히고 유계인 유한차원 집합이므로 \(\bar p_N\)에는 수렴하는 부분수열이 있습니다. 극한을 \(\pi\)라 하면 \(\pi\)도 분포이며, 행렬곱의 연속성으로 \(M\pi-\pi=0\)입니다. 정상분포가 존재합니다.

이 존재 증명은 모든 \(p_k\)가 수렴한다는 증명이 아닙니다. 다음 예에서 차이가 분명해집니다.

\[\begin{split} M=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}. \end{split}\]

\((1,0)\)에서 시작하면 \((0,1),(1,0),\ldots\)로 계속 교대합니다. 정상분포 \((1/2,1/2)\)는 있지만 원래 분포열은 수렴하지 않습니다. 평균 \(\bar p_N\)은 짝수 \(N\)에서 정확히 균등분포이고, 홀수에서 첫 성분과 둘째 성분의 차이가 \(1/N\)이어서 균등분포로 수렴합니다.

그림 33 정상분포의 존재, 유일성, 모든 초기분포에서의 수렴은 서로 다른 주장입니다. 이 예에서는 정상분포가 유일하지만 원래 분포열은 수렴하지 않습니다.

9. 존재 증명을 그대로 수치 알고리즘으로 쓰기 전에

2절의 반복행렬 \(K=(v\ Tv\ T^2v)\)에서 종속 계수를 찾으면 다항식이 나옵니다. 정확한 작은 정수 문제에서는 계산을 쉽게 검산할 수 있습니다. 그러나 반복벡터의 크기가 서로 크게 다르거나 거의 같은 방향이 되면, 반올림된 자료에서 종속관계를 판정하기 어려울 수 있습니다.

예를 들어 \(D=\operatorname{diag}(1,2)\), \(v=(1,1)\)이면 \(D^kv=(1,2^k)\)입니다. 두 열 \((v,D^kv)\)는 정확히 독립이지만, 각각을 길이로 나눈 방향을 보면 두 번째 열은 \(k\)가 커질수록 세로축에 가까워집니다. 다른 반복열 \(D^{k+1}v\)도 거의 같은 방향이 됩니다. 정수의 정확한 관계를 알아내는 문제와 근사적인 선형종속을 판정하는 문제는 다릅니다.

한편 \(C_\delta=\begin{pmatrix}0&1\\\delta&0\end{pmatrix}\)에서는

\[ C_\delta(1,\lambda)=(\lambda,\delta) =\lambda(1,\lambda) \quad\Longleftrightarrow\quad \lambda^2=\delta. \]

\(\delta>0\)의 두 고윳값은 \(\pm\sqrt\delta\)입니다. 행렬의 한 성분을 \(\delta\)만큼 바꾸었는데 고윳값은 \(\sqrt\delta\)만큼 움직입니다. \(\delta\)가 작을수록 두 크기의 비가 커집니다. 따라서 존재 증명과 안정적인 수치계산법은 구별해야 합니다. 일반 수치 알고리즘은 N5에서 다룹니다.

10. 계산 확인과 전체 풀이

from sympy import Matrix, eye, zeros, I, Rational
T=Matrix([[2,1],[0,3]])
v=Matrix([0,1])
assert T*T*v-5*T*v+6*v==zeros(2,1)
w=(T-2*eye(2))*v
assert w!=zeros(2,1) and (T-3*eye(2))*w==zeros(2,1)
R=Matrix([[0,-1],[1,0]])
assert R*Matrix([1,-I])==I*Matrix([1,-I])
B=Matrix([[1,1],[0,1]])
for n in range(9):
    assert B**n==Matrix([[1,n],[0,1]])
M=Matrix([[0,1],[1,0]])
p0=Matrix([1,0])
for N in range(1,10):
    avg=sum((M**k*p0 for k in range(N)),zeros(2,1))/N
    assert M*avg-avg==(M**N*p0-p0)/N
assert M*Matrix([Rational(1,2),Rational(1,2)])==Matrix([Rational(1,2),Rational(1,2)])
print("인수 적용, 복소 고유벡터, 반복식, 정상분포 평균 검산 통과")

인수 적용, 복소 고유벡터, 반복식, 정상분포 평균 검산 통과

문제 1 · 고유벡터 복원

\(T\)와 \(v=(0,1)\)에서 인수 \(T-3I\)를 먼저 적용해 고윳값 2의 고유벡터를 구하세요.

풀이. \((T-3I)v=(1,0)\)입니다. 여기에 \(T-2I\)를 적용하면 \(T(1,0)-2(1,0)=0\)입니다. 중간 벡터는 0이 아니므로 고유벡터입니다.

문제 2 · 미분의 고유벡터

\(D:P_2(\mathbb R)\to P_2(\mathbb R)\)를 미분으로 정의합니다. 고윳값과 고유공간을 구하세요.

풀이. \(p=a+bt+ct^2\)에서 \(Dp=b+2ct\)입니다. \(Dp=\lambda p\)를 비교하면 \(b=\lambda a\), \(2c=\lambda b\), \(0=\lambda c\)입니다. \(\lambda\ne0\)이면 \(c=0,b=0,a=0\)이므로 고유벡터가 없습니다. \(\lambda=0\)이면 \(b=c=0\)이고 \(a\)는 자유입니다. 고유공간은 상수다항식의 1차원 공간이므로 3차원 전체를 고유벡터로 생성하지 못합니다.

문제 3 · 감쇠 회전

5절의 \(A\)에서 \(z_0=(0,2)\)의 네 번째 상태와 길이를 구하세요.

풀이. \(R^4=I\)이므로 \(A^4=(4/5)^4I=(256/625)I\)입니다. 따라서 \(z_4=(0,512/625)\)이고 길이는 \(512/625\)입니다. 네 번 뒤 방향은 같지만 크기는 감소했습니다.

문제 4 · 유리수에서의 존재 실패

\(T=\begin{pmatrix}0&2\\1&0\end{pmatrix}\)가 \(\mathbb Q^2\) 위에서 고유벡터를 갖는지 판정하세요.

풀이. \(T(x,y)=(2y,x)=\lambda(x,y)\)이면 \(x=\lambda y\), \(2y=\lambda^2y\)입니다. \(y=0\)이면 \(x=0\)이므로 고유벡터에서는 \(y\ne0\)이고 \(\lambda^2=2\)여야 합니다. 유리수 \(\lambda\)가 존재하지 않으므로 없습니다. \(\sqrt2\)가 무리수라는 사실은 분수 \(a/b\)를 기약형으로 놓고 \(a^2=2b^2\)에서 \(a,b\)가 모두 짝수가 되는 모순으로 확인할 수 있습니다.

문제 5 · 정상분포와 수렴 구별

교대 전이행렬의 모든 정상분포를 구하고 \((1,0)\)의 분포열이 수렴하지 않는 이유를 쓰세요.

풀이. \((p_2,p_1)=(p_1,p_2)\)이므로 \(p_1=p_2\)이고 합이 1이어서 둘 다 \(1/2\)입니다. 정상분포는 유일합니다. 하지만 첫 성분은 짝수 시점에 1, 홀수 시점에 0이므로 두 부분수열의 극한이 달라 전체 수열은 수렴하지 않습니다.

11. 지금까지의 내용을 수학의 언어로 정리해 봅시다

여기서부터 존재와 독립성의 일반 증명을 완성합니다. 계산에서 사용한 어떤 사실이 대수이고 어떤 사실이 실수·복소수 해석학의 전제인지 함께 표시하겠습니다.

11.1 복소다항식은 왜 근을 갖는가?

정리 45 (복소다항식의 근 존재)

차수가 1 이상인 복소다항식 \(p\)는 복소근을 갖습니다. 따라서 최고차항 계수와 일차식들의 곱으로 인수분해됩니다.

증명. \(p(z)=a_nz^n+\cdots+a_0\), \(a_n\ne0\)라고 합시다. \(|z|=r\ge1\)이면 삼각부등식으로

\[ |p(z)|\ge |a_n|r^n-\sum_{j<n}|a_j|r^j \ge r^n\left(|a_n|-\frac C r\right), \quad C=\sum_{j<n}|a_j|. \]

\(r\)가 충분히 크면 괄호가 \(|a_n|/2\) 이상이어서 \(|p(z)|\to\infty\)입니다. 따라서 어떤 반지름 \(R\) 밖에서는 \(|p(z)|>|p(0)|\)입니다. 닫힌 원판 \(|z|\le R\)은 실수 평면의 컴팩트 집합이고 \(|p|\)는 연속이므로 최솟값을 갖습니다. 원판 밖의 값은 \(p(0)\)보다 크므로 이 최솟값은 전체 복소평면의 최솟값입니다. 그 점을 \(z_0\)라 합시다.

\(p(z_0)\ne0\)이라고 가정해 모순을 만들겠습니다. \(w=z-z_0\)로 전개하고 \(p(z_0)\)로 나누면

\[ \frac{p(z_0+w)}{p(z_0)} =1+c_kw^k+c_{k+1}w^{k+1}+\cdots+c_nw^n \]

으로 쓸 수 있습니다. 여기서 \(k\ge1\)은 처음 0 아닌 계수의 차수입니다. 다항식이 비상수이므로 그런 \(k\)가 있습니다. 복소수 극형식으로 \(c_k=ae^{i\theta}\), \(a>0\)라 쓰고

\[ w=r e^{i(\pi-\theta)/k} \]

로 고르면 \(c_kw^k=-ar^k\)입니다. 나머지 항의 절댓값은 \(0<r\le1\)일 때 \(Br^{k+1}\) 이하이며 \(B=\sum_{j>k}|c_j|\)입니다.

\(r\)를 충분히 작게 골라 \(ar^k<1\)이고 \(Br<a/2\)가 되게 합니다. \(B=0\)이면 둘째 조건은 자동입니다. 그러면

\[ \left|\frac{p(z_0+w)}{p(z_0)}\right| \le 1-ar^k+Br^{k+1} <1-\frac a2r^k<1. \]

따라서 \(|p(z_0+w)|<|p(z_0)|\)가 되어 최솟값의 정의에 모순입니다. 그러므로 \(p(z_0)=0\)입니다.

A4의 나눗셈으로 \(p=(z-z_0)q+r\)라 쓰면 나머지는 상수이고 \(p(z_0)=r=0\)입니다. 차수가 하나 줄어든 \(q\)에 같은 근 존재를 반복 적용하면 모든 일차인수를 얻습니다. \(\square\)

이 증명이 사용한 해석학은 원판의 컴팩트성, 연속함수의 최솟값, 복소수 극형식과 삼각부등식입니다. 이 전제들을 사용하지 않은 순수한 체 공리만의 증명이라고 주장하지 않습니다.

11.2 고윳값과 가역성

정의 14 (고윳값과 고유공간)

\(Tv=\lambda v\)를 만족하는 \(v\ne0\)이 존재하면 \(\lambda\)를 고윳값이라 합니다. \(E_\lambda=\ker(T-\lambda I)\)를 고유공간이라 합니다.

핵이므로 고유공간은 부분공간입니다. \(\lambda\)가 고윳값이라는 것은 \(T-\lambda I\)의 핵이 0이 아니라는 뜻, 즉 단사가 아니라는 뜻입니다. 유한차원에서 같은 공간으로 가므로 B3에 의해 전사가 아닌 것, 가역이 아닌 것과도 동치입니다. 무한차원에서는 이 동치를 그대로 사용할 수 없습니다.

11.3 행렬식 없는 고윳값 존재

정리 46 (복소 유한차원의 고윳값 존재)

\(0<\dim_{\mathbb C}V=n<\infty\)이면 모든 선형사상 \(T:V\to V\)는 고윳값을 갖습니다.

증명. \(v\ne0\)을 고릅니다. B2의 차원에 의해 \(v,Tv,\ldots,T^nv\)가 종속이므로 3절처럼 0 아닌 비상수 다항식 \(p\)를 얻어 \(p(T)v=0\)입니다. 앞 정리로 \(p(z)=c\prod_{j=1}^m(z-\lambda_j)\), \(c\ne0\)입니다.

\(w_0=v\), \(w_j=(T-\lambda_jI)w_{j-1}\)로 정하면 \(w_m=c^{-1}p(T)v=0\)입니다. \(w_0\ne0\)이므로 처음 0이 되는 단계 \(j\)가 존재합니다. 이때 \(w_{j-1}\ne0\)이고 \((T-\lambda_jI)w_{j-1}=0\)이므로 \(T w_{j-1}=\lambda_jw_{j-1}\)입니다. 따라서 고유벡터와 고윳값을 얻습니다. \(\square\)

11.4 서로 다른 고윳값의 독립성과 고유공간의 직합

정리 47 (서로 다른 고유공간들의 합은 직합이다)

서로 다른 \(\lambda_1,\ldots,\lambda_m\)에 대해 \(v_j\in E_{\lambda_j}\)이고 \(\sum_jv_j=0\)이면 모든 \(v_j=0\)입니다.

증명. 특정 \(i\)를 고정하고 \(\prod_{j\ne i}(T-\lambda_jI)\)를 관계식에 적용합니다. \(v_k\)에 대해서는 \((T-\lambda_jI)v_k=(\lambda_k-\lambda_j)v_k\)이므로, \(k\ne i\)의 항은 \(j=k\)인 인수 때문에 0이 됩니다. \(i\)항만 남아

\[ \left(\prod_{j\ne i}(\lambda_i-\lambda_j)\right)v_i=0 \]

입니다. 각 인수가 0이 아니므로 체에서 곱도 0이 아닙니다. 따라서 \(v_i=0\)입니다. 모든 \(i\)에 대해 반복하면 결론입니다. \(\square\)

같은 사실을 귀납법으로도 확인할 수 있습니다. \(m=1\)은 \(v_1=0\)입니다. \(m-1\)개까지 성립한다고 하고 \(\sum_{j=1}^m v_j=0\)에 \(T-\lambda_mI\)를 적용하면

\[ \sum_{j<m}(\lambda_j-\lambda_m)v_j=0. \]

귀납가정으로 각 항이 0이고 차이가 0이 아니므로 \(v_1,\ldots,v_{m-1}=0\)입니다. 원래 식에서 \(v_m=0\)입니다. 두 증명 모두 고윳값의 서로 다름을 나눗셈 또는 0 아닌 곱의 확인에 사용합니다.

고유벡터들로 기저가 존재하면 그 기저에서 \(T\)의 각 열은 \(\lambda_je_j\)이므로 행렬이 대각입니다. 역으로 대각 표현이면 각 기저벡터가 고유벡터입니다. 고유공간들의 합이 직합이므로, 이 합이 \(V\) 전체인 조건은 그 차원들의 합이 \(\dim V\)인 조건과 같습니다. 이것이 대각화의 첫 판정입니다.

11.5 실수에서 남는 1차원 또는 2차원 불변부분공간

정리 48 (실수 공간의 작은 불변부분공간)

0 아닌 유한차원 실수 공간의 모든 선형사상은 1차원 또는 2차원 불변부분공간을 갖습니다.

증명. 실수 기저를 고르고 같은 실수 행렬을 복소수 좌표에도 작용시키면 복소 선형사상을 얻습니다. 앞 정리로 복소 고유벡터 \(z=a+ib\ne0\)와 고윳값 \(\alpha+i\beta\)가 있습니다. 실수부와 허수부를 비교하면

\[ Ta=\alpha a-\beta b,\qquad Tb=\beta a+\alpha b. \]

\(\beta=0\)이면 \(a,b\) 중 0 아닌 하나가 실수 고유벡터이므로 1차원 불변공간을 얻습니다.

\(\beta\ne0\)이면 \(a,b\)는 독립입니다. \(a=0\)이면 첫 식에서 \(b=0\)이 되어 모순입니다. \(b=ca\)라고 가정하면 둘째 식의 두 표현을 비교하여

\[ cTa=c(\alpha-\beta c)a=(\beta+\alpha c)a \]

이므로 \(\beta(1+c^2)=0\)을 얻습니다. 실수 \(c\)와 \(\beta\ne0\)에 모순입니다. 따라서 독립입니다. 두 식에 의해 \(\operatorname{span}_{\mathbb R}\{a,b\}\)가 불변이며 차원은 2입니다. \(\square\)

따름정리: 홀수 실수 차원에서는 실수 고윳값이 존재합니다. 차원에 대한 귀납법으로 보겠습니다. 차원 1에서는 \(Te_1=\lambda e_1\)입니다. 홀수 \(n\)에서 위 구성의 고윳값이 실수이면 끝입니다. 비실수이면 얻은 2차원 불변공간 \(U\)에서 \(T\)의 행렬은 \(\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\-\beta&\alpha\end{pmatrix}\)이고 \(\beta\ne0\)입니다. 몫의 차원은 \(n-2\)로 홀수이므로 귀납가정에 의해 몫에는 실수 고윳값 \(\lambda\)와 0 아닌 동치류 \(v+U\)가 있습니다. 따라서 \((T-\lambda I)v=u_0\in U\)입니다.

\(T|_U-\lambda I\)는 가역입니다. 그 행렬의 역은

\[\begin{split} \frac1{(\alpha-\lambda)^2+\beta^2} \begin{pmatrix}\alpha-\lambda&-\beta\\\beta&\alpha-\lambda\end{pmatrix} \end{split}\]

이며 곱해 보면 항등행렬입니다. 분모는 양수입니다. 따라서 \((T-\lambda I)u=u_0\)인 \(u\in U\)를 고를 수 있습니다. 그러면 \((T-\lambda I)(v-u)=0\)이고 \(v\notin U\)이므로 \(v-u\ne0\)입니다. 실수 고유벡터를 얻었습니다.

11.6 존재·대각화·수렴을 분리해서 기억하기

질문	필요한 확인
고유벡터가 하나라도 있는가?	체와 차원, 고윳값 존재 정리
고유벡터들이 전체 상태를 표현하는가?	고유공간 차원의 합
확률 고유벡터가 있는가?	비음수와 합 1까지 확인
모든 초기상태가 한 상태로 수렴하는가?	추가 동역학 조건
근사 고윳값을 안정적으로 계산할 수 있는가?	별도의 수치오차 분석

첫 행의 결론을 얻었다고 뒤의 질문들까지 답한 것은 아닙니다. A6에서는 이 중 대각화 가능성을 다항식의 구조로 판정합니다.

고윳값의 존재와 고유벡터로 전체 기저를 만들 수 있다는 주장은 다릅니다. 다음 장에서는 연산자를 소멸시키는 최소다항식으로 대각화 가능성을 판정합니다. A6로 이어 읽기.