A1 · 관측으로 구분되지 않는 상태들을 어떻게 다룰까?

B3에서는 같은 합계를 만드는 입력들의 차이가 핵에 들어간다는 사실을 확인했습니다. 이번에는 한 걸음 더 나아갑니다. 관측으로 구분되지 않는 입력들을 하나로 묶으면, 그 묶음과 관측값 사이에는 정확한 일대일 대응이 생길까요?

두 개체를 두 시점에 관측한 자료에서 시작하겠습니다. 개체마다 변하지 않는 수준 차이를 제거하는 계산을 직접 해 본 뒤, 그 계산을 몫공간과 제1동형정리로 정리합니다. 또한 입력을 바꾸는 대신 선형사상 자체를 더하거나 배수로 만드는 방법, 여러 사상을 합성할 때 정보의 차원이 얼마나 줄어드는지를 다룹니다.

1. 두 개체의 수준 차이와 시간 변화를 분리하기

두 개체 A, B를 각각 시점 1, 2에 관측했다고 합시다. 반응은 같은 단위로 측정하며 자료의 순서를

\[ y=(y_{A1},y_{A2},y_{B1},y_{B2})^\top \]

로 정합니다. 계산용 자료는 \(y=(2,4,5,9)^\top\)입니다. A의 변화는 \(4-2=2\), B의 변화는 \(9-5=4\)입니다.

개체 A의 두 관측에 10을, 개체 B의 두 관측에 \(-3\)을 더하면

\[ y'=(12,14,2,6)^\top \]

입니다. 수준은 달라졌지만 각 개체의 시간 변화는 여전히 2와 4입니다. 차분 규칙을

\[\begin{split} Dy= \begin{pmatrix} -1&1&0&0\\ 0&0&-1&1 \end{pmatrix}y =\begin{pmatrix}y_{A2}-y_{A1}\\y_{B2}-y_{B1}\end{pmatrix} \end{split}\]

로 쓰면 \(Dy=Dy'=(2,4)^\top\)입니다.

이때 사라진 변화는 각 개체 안에서 일정한 벡터입니다.

\[ U=\{(a,a,b,b)^\top:a,b\in\mathbb R\}. \]

\(Dz=0\)을 풀면 \(z_2=z_1\), \(z_4=z_3\)이므로 핵은 정확히 \(U\)입니다. \(d_A=(1,1,0,0)\)와 \(d_B=(0,0,1,1)\)이 \(U\)를 생성하고, 첫째·셋째 성분을 비교하면 독립이므로 \(\dim U=2\)입니다.

자료의 수준 차이를 없애는 일이 항상 바람직하다는 뜻은 아닙니다. 수준 자체가 연구 대상이면 그 정보도 필요합니다. 이 절은 ‘개체 안의 시간 변화만 비교하겠다’는 질문을 선택했을 때 무엇을 버리는지 정확히 계산합니다.

그림 19 두 패널은 같은 세로 눈금을 사용합니다. 각 개체의 수준은 달라져도 두 시점의 차이는 같습니다. 관측 순서와 개체 구분을 바꾸면 차분행렬도 바꾸어야 합니다.

2. 평균을 빼는 계산을 네 성분으로 전개하기

차분 대신 개체별 평균을 빼는 방법도 있습니다. A의 평균은 \((2+4)/2=3\), B의 평균은 \((5+9)/2=7\)입니다. 각 개체 평균을 두 시점에 반복한 벡터는

\[ Py=(3,3,7,7)^\top \]

이고,

\[\begin{split} P=\frac12 \begin{pmatrix} 1&1&0&0\\ 1&1&0&0\\ 0&0&1&1\\ 0&0&1&1 \end{pmatrix}. \end{split}\]

평균을 뺀 잔차를 \(Ry=(I-P)y\)로 정의하면

\[ Ry=(2-3,4-3,5-7,9-7)^\top=(-1,1,-2,2)^\top. \]

임의의 자료 \(z=(z_1,z_2,z_3,z_4)\)에 대해 첫 잔차는

\[ z_1-\frac{z_1+z_2}{2}=\frac{z_1-z_2}{2}, \]

둘째 잔차는

\[ z_2-\frac{z_1+z_2}{2}=\frac{z_2-z_1}{2}. \]

따라서

\[\begin{split} R=\frac12 \begin{pmatrix} 1&-1&0&0\\ -1&1&0&0\\ 0&0&1&-1\\ 0&0&-1&1 \end{pmatrix}. \end{split}\]

\(P\)를 두 번 적용해도 개체 평균은 그대로이므로 \(P^2=P\)입니다. 대수적으로도 각 \(2\times2\) 블록의 제곱은 \(\frac14\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)입니다.

따라서

\[ R^2=(I-P)^2=I-P-P+P^2=I-P=R. \]

또 \(PR=P(I-P)=P-P^2=0\), \(RP=(I-P)P=P-P^2=0\)입니다. 평균 부분과 평균이 0인 부분은 서로를 제거합니다.

잔차의 상은

\[ Z=\{(c,-c,d,-d):c,d\in\mathbb R\} \]

입니다. 임의의 잔차는 각 쌍의 합이 0이므로 \(Z\)에 있고, \(z\in Z\)이면 각 개체 평균이 0이어서 \(Rz=z\)입니다. 따라서 모든 \(Z\)의 원소가 실제 잔차입니다. \(\ker R=U\)이고 \(\mathbb R^4=U\oplus Z\)입니다.

3. 차분 두 개와 잔차 네 개는 같은 정보를 담는다

\(Dy=(\Delta_A,\Delta_B)\)를 알면 잔차를

\[ Ry= \left(-\frac{\Delta_A}{2},\frac{\Delta_A}{2}, -\frac{\Delta_B}{2},\frac{\Delta_B}{2}\right)^\top \]

로 복원할 수 있습니다. 이 규칙을 \(K:\mathbb R^2\to Z\)로 쓰면

\[\begin{split} K=\frac12 \begin{pmatrix}-1&0\\1&0\\0&-1\\0&1\end{pmatrix}. \end{split}\]

직접 곱해 \(KD=R\)을 확인할 수 있습니다. 첫 행은 \(D\) 첫 행의 \(-1/2\)배, 둘째 행은 \(1/2\)배이고 아래 두 행은 둘째 차분에 대해 같습니다.

반대로 잔차의 두 번째 성분에서 첫 번째를 빼면

\[ \frac{\Delta_A}{2}-\left(-\frac{\Delta_A}{2}\right)=\Delta_A \]

입니다. B도 같으므로 \(DK=I_2\)입니다. 따라서 차분과 잔차 사이에는 일대일 선형 대응이 있습니다.

여기서 \(KD=R\)이지 \(I_4\)가 아닙니다. 차분에서 원자료 전체는 복원할 수 없습니다. 복원되는 것은 개체 평균이 0인 대표 자료입니다. 행렬 크기만 보아도 \(DK\)와 \(KD\)를 같은 항등행렬로 착각하면 안 됩니다.

그림 20 \(D\)는 수준을 제거하고, \(K\)는 각 개체 평균이 0인 대표를 선택합니다. \(DK=I_2\)이지만 \(KD=R\)입니다. 도식의 잔차 공간 \(Z\)는 \(\mathbb R^4\) 안의 2차원 부분공간입니다.

4. 개체 고정효과의 제거를 정확한 모형에서 확인하기

설명변수도 같은 순서로 \(x=(0,1,1,3)^\top\)라 합시다. 잡음 없는 교육용 모형을

\[ y_{it}=\alpha_i+\beta x_{it} \]

로 정합니다. 반응과 설명변수의 단위를 정해 두면 \(\beta\)의 단위는 반응 단위/설명변수 단위이고, \(\alpha_i\)는 반응 단위입니다.

각 개체에서 시간 차분을 취하면

\[\begin{split} \begin{aligned} y_{i2}-y_{i1} &=(\alpha_i+\beta x_{i2})-(\alpha_i+\beta x_{i1})\\ &=(\alpha_i-\alpha_i)+\beta(x_{i2}-x_{i1})\\ &=\beta(x_{i2}-x_{i1}). \end{aligned} \end{split}\]

\(\alpha_i\)가 시점에 따라 변하지 않는다는 가정을 바로 이 소거에 썼습니다. 자료에서는

\[ Dy=(2,4)^\top,\qquad Dx=(1,2)^\top. \]

따라서 첫 성분에서 \(2=\beta\cdot1\)로 \(\beta=2\)를 얻고, 둘째 성분에서도 \(4=2\cdot2\)로 같은 값이 맞는지 확인합니다. 원래 식에서

\[ \alpha_A=2-2\cdot0=2,\qquad \alpha_B=5-2\cdot1=3 \]

입니다. 다른 시점에서도 \(4-2\cdot1=2\), \(9-2\cdot3=3\)으로 일치합니다.

잡음 있는 실제 자료에서는 두 차분 방정식이 정확히 같은 \(\beta\)를 주지 않을 수 있습니다. 그때는 추정 기준과 확률적 가정이 더 필요합니다. 여기서 증명한 것은 고정된 수준 성분의 대수적 제거이지 추정량의 불편성이나 인과효과의 식별 일반론이 아닙니다.

또 \(Dx=0\)이면 차분식에서 \(\beta\)가 사라집니다. 설명변수가 개체 안에서 변하지 않으면 이 방식으로 \(\beta\)를 구분할 수 없습니다. 이는 관측 방향의 핵에 설명변수가 들어가는 구체적인 비식별 사례입니다.

5. 대표 자료 하나와 동치류 전체를 구별하기

\(y\)와 \(y+u\)가 \(u\in U\)만큼 다르면 차분은 같습니다. 같은 차분을 가진 자료 전체

\[ y+U=\{y+(a,a,b,b):a,b\in\mathbb R\} \]

를 하나의 동치류로 다루겠습니다. 모든 동치류의 공간이 \(\mathbb R^4/U\)입니다. \(y+U\)는 단 하나의 네 성분 벡터가 아니라 네 성분 벡터들을 모은 집합입니다.

\(Ry\)는 그 동치류 안에서 평균이 0인 대표 하나입니다. 실제로 \(y-Ry=Py\in U\)이므로 \(Ry+U=y+U\)입니다. 또한 같은 동치류의 다른 대표 \(y+u\)에 대해

\[ R(y+u)=Ry+Ru=Ry \]

입니다. \(Ru=0\)이므로 대표 선택에 무관합니다.

평균 0을 강제하지 않고 첫 시점 값을 0으로 하는 대표도 고를 수 있습니다.

\[ Jy=(0,y_{A2}-y_{A1},0,y_{B2}-y_{B1})^\top. \]

\(y-Jy=(y_{A1},y_{A1},y_{B1},y_{B1})\in U\)이므로 이것도 같은 동치류입니다. 우리의 자료에서는 \(Ry=(-1,1,-2,2)\), \(Jy=(0,2,0,4)\)로 다릅니다. 두 대표의 차이 \((1,1,2,2)\)는 \(U\)에 속합니다.

따라서 몫공간 자체와 대표를 골라 실현하는 방법은 다릅니다. 평균 제거와 첫 시점 제거는 같은 동치류를 서로 다른 벡터로 표시합니다.

그림 21 한 개체의 관측 쌍만 그렸습니다. 파란 직선 \(y_2-y_1=2\) 전체가 하나의 동치류이며, 원자료 \((2,4)\)와 두 대표 \((-1,1)\), \((0,2)\)가 모두 이 직선에 있습니다. 다른 옅은 평행선은 서로 다른 차분값을 나타냅니다.

6. 합이 같은 두 입력을 관측값으로 보내기

몫공간에서 관측공간으로

\[ \overline D(y+U)=Dy \]

라는 규칙을 정합시다. 이 식이 함수가 되려면 같은 동치류의 다른 대표를 넣어도 출력이 같아야 합니다. \(y'=y+u\), \(u\in U\)이면

\[ Dy'=D(y+u)=Dy+Du=Dy \]

이므로 문제가 없습니다.

서로 다른 동치류가 같은 관측을 줄 수 있을까요? \(Dy=Dz\)이면 \(D(y-z)=0\)이므로 \(y-z\in\ker D=U\)입니다. 따라서 \(y+U=z+U\)입니다. 즉 동치류 수준에서는 단사입니다.

모든 차분 \((a,b)\)가 나오나요? \(y=(0,a,0,b)\)를 고르면 \(Dy=(a,b)\)입니다. 따라서 전사입니다. 선형성도

\[ \overline D\bigl(c(y+U)+(z+U)\bigr) =D(cy+z)=cDy+Dz \]

로 확인됩니다. 결국

\[ \mathbb R^4/U\cong\mathbb R^2 \]

입니다. 원자료에서 구별할 수 없던 입력들이 동치류 하나로 묶였으므로, 동치류와 출력 사이에는 더 이상 중복이 없습니다. 이것이 제1동형정리의 이번 자료에서의 내용입니다.

7. 관측 규칙 자체를 더하고 배수로 만들기

이번에는 자료 \(y\)를 고정하고 두 관측 규칙을 비교합시다.

\[ T(y)=(y_2-y_1,y_4-y_3),\qquad S(y)=(y_1+y_2,y_3+y_4). \]

둘 다 \(\mathbb R^4\to\mathbb R^2\)의 선형사상입니다. 두 사상의 합을 각 입력에서 출력끼리 더하는 규칙으로 정하면

\[\begin{split} \begin{aligned} (T+S)(y) &=(y_2-y_1+y_1+y_2,\ y_4-y_3+y_3+y_4)\\ &=(2y_2,2y_4). \end{aligned} \end{split}\]

\(\frac12(T+S)\)는 각 개체의 두 번째 시점 값만 선택합니다. 여기서 더한 대상은 입력벡터가 아니라 함수 두 개입니다.

입출력 공간이 같아야 사상끼리 더할 수 있습니다. \(\mathbb R^4\to\mathbb R^2\)인 \(D\)와 \(\mathbb R^4\to\mathbb R^4\)인 \(R\)을 그대로 더하는 것은 출력 공간이 달라 정의하지 않습니다. 두 사상을 비교하려면 \(KD=R\)처럼 연결 사상을 명시해야 합니다.

모든 선형사상의 집합을 \(L(V,W)\)라고 합니다. 사상도 더하고 스칼라배로 만들 수 있으며 이 집합 자체가 벡터공간입니다. 그렇다면 이 공간의 차원은 얼마일까요? 다음 절에서 작은 입력으로 직접 세어 보겠습니다.

8. 입력 기저에서 값을 지정하면 규칙 전체가 정해진다

\(T:\mathbb R^2\to\mathbb R^3\)를 정하고 싶다고 합시다. 입력 표준기저 \(e_1,e_2\)에 대해

\[ T(e_1)=(1,0,2),\qquad T(e_2)=(-1,3,0) \]

만 지정하면 임의의 \((a,b)=ae_1+be_2\)에서 선형성이

\[ T(a,b)=a(1,0,2)+b(-1,3,0)=(a-b,3b,2a) \]

를 강제합니다. 존재도 확인해야 합니다. 이 식으로 함수를 정의하면

\[ T(c(a,b)+(d,e)) =T(ca+d,cb+e) =(ca+d-cb-e,\ 3cb+3e,\ 2ca+2d) \]

이고,

\[ cT(a,b)+T(d,e) =(ca-cb+d-e,\ 3cb+3e,\ 2ca+2d) \]

로 같으므로 선형입니다. 따라서 지정한 규칙은 존재하며 유일합니다.

출력 세 성분을 입력 기저 두 개에 대해 각각 정하므로 자유로운 계수는 \(3\cdot2=6\)개입니다. 이를 행렬의 성분 개수만 세어서 끝내지 않고, 사상공간의 기저로 확인하겠습니다.

\(E_{ij}\)를 입력의 \(j\)번째 좌표를 출력의 \(i\)번째 성분에만 넣고 나머지 출력은 0으로 하는 사상이라고 합시다. 예를 들어

\[ E_{12}(a,b)=(b,0,0),\quad E_{21}(a,b)=(0,a,0),\quad E_{32}(a,b)=(0,0,b). \]

\(i=1,2,3\), \(j=1,2\)로 모두 여섯 개입니다. 위 \(T\)는

\[ T=E_{11}-E_{12}+3E_{22}+2E_{31} \]

로 표현됩니다. 임의의 사상도 각 출력 성분의 두 계수를 같은 방식으로 모으면 여섯 사상의 결합입니다.

이 결합이 0인 사상이라면 \(e_1\)을 넣어 첫 입력에 대한 세 계수가 0임을 확인하고, \(e_2\)를 넣어 나머지 세 계수가 0임을 확인합니다. 따라서 여섯 사상은 독립이며 \(L(\mathbb R^2,\mathbb R^3)\)의 차원은 6입니다.

9. 관측을 연속해서 적용할 때 잃는 차원

차분 \(D:\mathbb R^4\to\mathbb R^2\)의 계수는 2입니다. 이제 두 개체의 변화 차이만 보고 싶어서 \(S:\mathbb R^2\to\mathbb R\), \(S(a,b)=b-a\)를 적용합시다.

\[ SDy=(y_4-y_3)-(y_2-y_1) =y_1-y_2-y_3+y_4. \]

계산용 자료에서는 \(4-2=2\)입니다. \(SD\)의 상은 \(\mathbb R\) 전체입니다. 예를 들어 \(y=(0,0,0,c)\)이면 \(SDy=c\)입니다. 따라서 계수는 1로 줄었습니다.

\(S\)가 제거하는 것은 두 개체에서 같은 크기로 일어난 변화 \((a,a)\)입니다. 이 방향이 \(D\)의 출력공간 안에 있으므로 1차원이 실제로 사라졌습니다.

일반적으로 \(T:V\to W\) 다음에 \(S:W\to Z\)를 적용할 때, \(S\)가 지우는 입력 중 실제 \(T\)의 출력으로 만들어지는 것은

\[ \operatorname{im}T\cap\ker S \]

입니다. 따라서 정확한 차원 관계는

\[ \operatorname{rank}(ST) =\operatorname{rank}T-\dim(\operatorname{im}T\cap\ker S). \]

이 식은 \(S\)를 \(\operatorname{im}T\)에만 제한한 선형사상에 B3의 차원정리를 적용하면 얻습니다. 전체 \(\ker S\)가 아니라 교집합을 빼야 한다는 점이 중요합니다. \(T\)가 만들지 않는 입력 방향을 \(S\)가 지운다고 해서 실제 출력 정보가 더 줄어들지는 않습니다.

예를 들어 \(T:\mathbb R\to\mathbb R^2\), \(T(a)=(a,0)\)이고 \(S(x,y)=x\)이면 \(\ker S\)는 세로축입니다. 그러나 \(\operatorname{im}T\)는 가로축이므로 교집합은 0입니다. \(S\)에 핵이 있어도 \(ST(a)=a\)여서 정보 손실은 없습니다.

10. 정확한 계산으로 확인하기

from sympy import Matrix, eye, zeros, Rational
D = Matrix([[-1,1,0,0],[0,0,-1,1]])
K = Matrix([[-1,0],[1,0],[0,-1],[0,1]])/2
R = K*D
P = eye(4)-R
y, x = Matrix([2,4,5,9]), Matrix([0,1,1,3])
assert D*y == Matrix([2,4])
assert D*x == Matrix([1,2])
assert R*y == Matrix([-1,1,-2,2])
assert D*K == eye(2) and K*D == R
assert R*R == R and P*P == P
assert P*R == R*P == zeros(4)
U = Matrix([[1,0],[1,0],[0,1],[0,1]])
assert D*U == zeros(2) and U.rank() == 2
assert y-2*x == U*Matrix([2,3])
S = Matrix([[-1,1]])
assert (S*D).rank() == 1 and (S*D*y)[0] == 2
print("차분, 잔차, 두 대표 공간, 고정효과 제거 검산 통과")

차분, 잔차, 두 대표 공간, 고정효과 제거 검산 통과

행렬곱은 모든 성분을 검사합니다. 그러나 이 특정 자료에서 \(\beta=2\)가 나온다는 사실이 잡음 있는 일반 자료의 통계적 정리를 증명하지는 않습니다. 대수적 항등식과 통계적 성질은 구분합니다.

11. 직접 써 보는 문제와 전체 풀이

문제 1 · 다른 자료의 두 대표

\(y=(1,7,4,6)\)의 차분, 평균 0 대표, 첫 시점 0 대표를 구하세요.

풀이. 차분은 \((7-1,6-4)=(6,2)\)입니다. 개체 평균은 4와 5이므로 평균 0 대표는 \((-3,3,-1,1)\)입니다. 첫 시점 0 대표는 \((0,6,0,2)\)입니다. 둘의 차이 \((3,3,1,1)\)는 \(U\)에 들어 있으므로 같은 동치류입니다.

문제 2 · 몫 위에서 정의할 수 없는 규칙

\(U=\{(a,a,b,b)\}\)에 대해 \(f(y)=y_1\)을 동치류 \(y+U\)만으로 결정할 수 있나요?

풀이. \(y=0\)과 \(y'=d_A=(1,1,0,0)\)은 차이가 \(U\)에 있으므로 같은 동치류입니다. 그러나 \(f(y)=0\), \(f(y')=1\)입니다. 따라서 대표를 바꾸면 값이 달라져 몫 위의 함수가 되지 않습니다. 필요한 조건 \(U\subseteq\ker f\)도 \(f(d_A)=1\) 때문에 실패합니다.

문제 3 · 새 선형사상을 만들기

\(T:P_1(\mathbb R)\to\mathbb R^2\)에서 \(T(1)=(1,2)\), \(T(t)=(3,-1)\)이라고 합시다. \(T(2-3t)\)를 구하고 유일한 이유를 쓰세요.

풀이. 선형성으로

\[ T(2-3t)=2T(1)-3T(t)=(2,4)-(9,-3)=(-7,7). \]

모든 다항식은 \(a+bt\)라는 유일한 표현을 가지므로 \(T(a+bt)=a(1,2)+b(3,-1)\)로 전체가 정해집니다. 이 식은 계수에 대해 선형이므로 실제 선형사상을 정의합니다.

문제 4 · 정보 손실 없는 합성

\(T(a)=(a,a)\), \(S(x,y)=x+y\)를 실수에서 생각합시다. \(\operatorname{im}T\cap\ker S\)와 \(\operatorname{rank}(ST)\)를 구하세요. \(\mathbb F_2\)에서는 무엇이 달라지나요?

풀이. 실수에서 \((a,a)\in\ker S\)이면 \(2a=0\), 따라서 \(a=0\)입니다. 교집합의 차원은 0이고 \(ST(a)=2a\)의 계수는 1입니다. \(\mathbb F_2\)에서는 \(2a=0\)이 항상 성립하므로 상 전체가 핵에 들어가며 합성은 영사상, 계수는 0입니다. 합성의 정보 손실도 체에 의존합니다.

문제 5 · 고정효과와 기울기

\(x=(1,1,2,2)\)이면 위 자료 \(y=(2,4,5,9)\)를 잡음 없는 \(y_{it}=\alpha_i+\beta x_{it}\)로 설명할 수 있나요?

풀이. \(Dx=0\)인데 \(Dy=(2,4)\ne0\)입니다. 모형이 맞다면 \(Dy=\beta Dx=0\)이어야 하므로 어떤 \(\alpha_i,\beta\)로도 맞출 수 없습니다. 만일 \(Dy=0\)이었다면 맞출 수는 있지만 임의의 \(\beta\)를 \(\alpha_i\)에 흡수할 수 있어서 \(\beta\)가 유일하지 않습니다. 존재 실패와 유일성 실패를 구별해야 합니다.

12. 지금까지의 내용을 수학의 언어로 정리해 봅시다

앞에서는 특정 차분과 잔차를 손으로 계산했습니다. 이제 일반 공간과 선형사상으로 같은 내용을 정리하고 증명하겠습니다. 동치류라는 조금 딱딱한 표현은 관측으로 구별되지 않는 자료 전체를 정확하게 지칭하기 위해 사용합니다.

12.1 선형사상과 핵·상

정의 6 (선형사상과 핵·상)

같은 체 \(F\) 위의 공간 \(V,W\)에 대해 \(T(au+bv)=aT(u)+bT(v)\)를 만족하는 함수를 선형사상이라 합니다.

정의 7 (핵과 상)

\(\ker T=\{v:T(v)=0\}\), \(\operatorname{im}T=\{T(v):v\in V\}\)입니다.

정리 24 (부분공간성과 단사성)

핵과 상은 부분공간이며 \(T\)가 단사일 필요충분조건은 \(\ker T=\{0\}\)입니다.

증명. \(T(0)=T(0)+T(0)\)에서 \(T(0)=0\)입니다. 핵의 \(u,v\)에 대해 \(T(au+v)=a0+0=0\)이고, 상의 \(T(u),T(v)\)에 대해 \(aT(u)+T(v)=T(au+v)\)입니다. 두 집합 모두 0을 포함하므로 B2의 부분공간 판정이 적용됩니다. 단사이면 \(T(v)=0=T(0)\)에서 \(v=0\)입니다. 역으로 핵이 \(\{0\}\)이고 \(T(u)=T(v)\)이면 \(T(u-v)=0\)에서 \(u-v=0\)이므로 단사입니다. \(\square\)

12.2 기저의 값을 지정하는 확장

정리 25 (기저의 값으로부터 선형사상 구성)

\(B=(v_1,\ldots,v_n)\)이 \(V\)의 기저이고 \(w_1,\ldots,w_n\in W\)를 임의로 고르면 \(T(v_i)=w_i\)인 선형사상 \(T:V\to W\)가 유일하게 존재합니다. \(w_i\)들은 독립일 필요가 없습니다.

증명. \(v=\sum_i a_iv_i\)의 유일한 표현에 대해 \(T(v)=\sum_i a_iw_i\)로 정합니다. 입력의 계수가 유일하므로 한 입력에 두 값을 주지 않습니다. \(u=\sum_i b_iv_i\)이면

\[ T(cu+dv)=T\left(\sum_i(cb_i+da_i)v_i\right) =\sum_i(cb_i+da_i)w_i =cT(u)+dT(v). \]

따라서 선형이며, \(v=v_j\)에서는 \(j\)번째 계수만 1이므로 \(T(v_j)=w_j\)입니다. 같은 조건을 만족하는 \(S\)가 있다면

\[ S(v)=S\left(\sum_i a_iv_i\right)=\sum_i a_iS(v_i) =\sum_i a_iw_i=T(v) \]

가 모든 \(v\)에서 성립합니다. 따라서 유일합니다. \(\square\)

12.3 사상공간의 연산과 기저

정리 26 (선형사상 공간의 차원)

점별 연산 \((S+T)(v)=S(v)+T(v)\), \((aT)(v)=aT(v)\) 아래에서 \(L(V,W)\)는 벡터공간입니다. \(\dim V=n\), \(\dim W=m\)이면 차원은 \(mn\)입니다.

증명. 먼저 연산이 선형사상을 계속 만드는지 확인합니다.

\[\begin{split} \begin{aligned} (S+T)(au+bv) &=aS(u)+bS(v)+aT(u)+bT(v)\\ &=a(S+T)(u)+b(S+T)(v). \end{aligned} \end{split}\]

\((cT)(au+bv)=c(aT(u)+bT(v))=a(cT)(u)+b(cT)(v)\)이므로 배수도 선형입니다. 영사상 \(0(v)=0_W\)가 항등원이고 \((-T)(v)=-T(v)\)가 역원입니다. 결합·교환·분배법칙과 스칼라 항등·결합법칙은 임의의 \(v\)에서 값을 평가하면 \(W\)의 해당 공리와 같습니다. 예를 들어 \([(a+b)T](v)=(a+b)T(v)=aT(v)+bT(v)=[aT+bT](v)\)입니다. 따라서 벡터공간입니다.

기저를 \(V\)에서 \((v_j)\), \(W\)에서 \((w_i)\)로 고릅니다. \(k=j\)이면 \(E_{ij}(v_k)=w_i\), 그 외에는 0으로 지정하고 앞의 확장 정리를 적용합니다. 임의의 \(T\)에 대해 \(T(v_j)=\sum_i a_{ij}w_i\)라 쓰면

\[ \left(\sum_{i,j}a_{ij}E_{ij}\right)(v_k) =\sum_i a_{ik}w_i=T(v_k). \]

기저에서 같으므로 확장의 유일성에 의해 사상 전체가 같습니다. 따라서 생성합니다. \(\sum_{i,j}c_{ij}E_{ij}=0\)이면 \(v_k\)에서 평가하여 \(\sum_i c_{ik}w_i=0\)이고, 출력 기저의 독립성으로 모든 \(c_{ik}=0\)입니다. 모든 \(k\)에 대해 적용하면 모든 계수가 0이므로 독립입니다. \(mn\)개의 기저를 구성했으므로 차원은 \(mn\)입니다. \(\square\)

합성도 선형사상입니다. \((ST)(au+bv)=S(aT(u)+bT(v))=aST(u)+bST(v)\)입니다. 합성은 결합적이고 덧셈에 대해 양쪽으로 분배되며 항등사상을 단위원으로 가집니다. 따라서 \(L(V,V)\)는 이런 곱셈까지 갖는 대수입니다. B5의 예처럼 곱셈은 일반적으로 교환적이지 않으며 0 아닌 원소가 항상 역원을 갖는 것도 아닙니다.

12.4 몫사상과 대표원 독립성

정의 8 (몫공간과 몫사상)

부분공간 \(U\subseteq V\)에 대해 \(V/U=\{v+U:v\in V\}\)이며, \((v+U)+(w+U)=(v+w)+U\), \(a(v+U)=av+U\)입니다. \(\pi:V\to V/U\), \(\pi(v)=v+U\)를 몫사상이라 합니다.

같은 동치류 조건은 \(v+U=w+U\)와 \(v-w\in U\)의 동치입니다. 한쪽은 \(v\in w+U\)에서 얻습니다. 반대쪽은 \(v=w+u\)라 쓰고, \(v+U=w+(u+U)=w+U\)에서 얻습니다. \(u+U=U\)인 이유는 \(u+z\in U\)이고, 임의의 \(z\in U\)를 \(u+(z-u)\)로도 쓸 수 있기 때문입니다.

대표를 \(v+u,w+z\)로 바꾸었을 때 합의 차이는 \(u+z\in U\), 배수의 차이는 \(au\in U\)입니다. 따라서 연산은 대표에 무관합니다. 벡터공간 공리와 차원에 대한 전체 증명은 정리 15에 있습니다. 여기서는 \(U\)가 부분공간이라는 동일한 가정 아래 그 결과를 사용합니다.

\(\pi(av+bw)=av+bw+U=a(v+U)+b(w+U)\)이므로 선형입니다. 모든 동치류 \(v+U\)가 \(\pi(v)\)이므로 전사이고, \(\pi(v)=U\)일 조건은 \(v\in U\)이므로 \(\ker\pi=U\)입니다.

12.5 몫 위에서 정의할 수 있는 관측의 정확한 조건

정리 27 (몫공간의 보편성질)

선형사상 \(T:V\to W\)와 부분공간 \(U\subseteq\ker T\)에 대해 \(T=\overline T\circ\pi\)인 선형사상 \(\overline T:V/U\to W\)가 유일하게 존재합니다.

증명. \(\overline T(v+U)=T(v)\)로 정합니다. \(v+U=w+U\)이면 \(v-w\in U\subseteq\ker T\)이므로

\[ 0=T(v-w)=T(v)-T(w). \]

따라서 값은 대표에 무관합니다. 선형성은

\[\begin{split} \begin{aligned} \overline T(a(v+U)+b(w+U)) &=\overline T(av+bw+U)\\ &=T(av+bw)=aT(v)+bT(w)\\ &=a\overline T(v+U)+b\overline T(w+U) \end{aligned} \end{split}\]

로 확인됩니다. \(\overline T(\pi(v))=T(v)\)이므로 요구한 합성이 성립합니다.

다른 \(F\)도 \(F\pi=T\)를 만족하면 모든 동치류에 대해 \(F(v+U)=F(\pi(v))=T(v)=\overline T(v+U)\)입니다. \(\pi\)가 모든 동치류를 만들므로 \(F=\overline T\)입니다. \(\square\)

조건도 필요합니다. \(T=F\pi\)이고 \(F\)가 선형이면 \(u\in U\)에 대해 \(T(u)=F(\pi(u))=F(U)=0\)입니다. 따라서 \(U\subseteq\ker T\)입니다. ‘대표원 독립’이라는 말은 임의로 붙인 형식 조건이 아니라, 제거하기로 한 변화에 관측이 반응하지 않아야 한다는 뜻입니다.

12.6 제1동형정리

정리 28 (제1동형정리)

선형사상 \(T:V\to W\)에 대해 \(\overline T:V/\ker T\to\operatorname{im}T\), \(\overline T(v+\ker T)=T(v)\)는 선형동형입니다.

증명. 보편성질에서 \(U=\ker T\)로 두면 잘 정의된 선형사상을 얻습니다. 출력이 언제나 상 안에 있으므로 공역을 \(\operatorname{im}T\)로 정할 수 있습니다.

상의 임의의 \(y\)는 정의상 \(y=T(v)\)인 입력을 가지므로 \(\overline T(v+\ker T)=y\)입니다. 따라서 전사입니다. \(\overline T(v+\ker T)=\overline T(w+\ker T)\)이면 \(T(v)=T(w)\)이고, \(v-w\in\ker T\)이므로 두 동치류가 같습니다. 따라서 단사입니다. 전단사 선형사상의 역도 선형이라는 B3의 증명에 의해 동형입니다. \(\square\)

공역을 \(W\) 전체로 쓰면 전사가 아닐 수 있습니다. B3의 생산 기록은 \(\mathbb R^3\) 전체가 아니라 \(S=L+M\)인 평면만을 만듭니다. 제1동형정리가 대응시키는 대상은 선언한 공역 전체가 아니라 실제 상입니다.

정리 29 (몫으로 다시 읽는 차원정리)

\(\dim V<\infty\)이면 \(\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T\)입니다.

증명. B3의 몫공간 차원 증명에서 \(\dim(V/\ker T)=\dim V-\dim\ker T\)입니다. 제1동형정리로 몫과 상은 동형이며, 동형은 기저를 기저로 보내므로 차원이 같습니다. 따라서 \(\dim V-\dim\ker T=\dim\operatorname{im}T\)입니다. \(\square\)

이것은 새로운 수치 공식이 아니라 같은 공식의 다른 해석입니다. B3에서는 핵의 기저를 확장하여 직접 증명했고, 여기서는 구별되지 않는 입력을 동치류로 묶은 구조에서 읽었습니다.

12.7 계수와 두 합성 부등식

정의 9 (계수)

선형사상 \(T\)의 계수는 \(\operatorname{rank}T=\dim\operatorname{im}T\)입니다.

정리 30 (Sylvester 부등식)

유한차원 공간 사이의 \(T:V\to W\), \(S:W\to Z\)에 대해

\[ \operatorname{rank}S+\operatorname{rank}T-\dim W \le\operatorname{rank}(ST) \le\min(\operatorname{rank}S,\operatorname{rank}T). \]

증명. 제한사상 \(S|_{\operatorname{im}T}\)의 핵은 \(\operatorname{im}T\cap\ker S\)이고 상은 \(\operatorname{im}(ST)\)입니다. 차원정리로

\[ \operatorname{rank}(ST) =\operatorname{rank}T-\dim(\operatorname{im}T\cap\ker S). \]

빼는 차원이 비음수이므로 \(\operatorname{rank}(ST)\le\operatorname{rank}T\)입니다. 또한 상의 포함 \(\operatorname{im}(ST)\subseteq\operatorname{im}S\)에서 다른 상계를 얻습니다.

교집합은 \(\ker S\)의 부분공간이므로 차원이 \(\dim\ker S\) 이하이고, \(S\)에 대한 차원정리에서 \(\dim\ker S=\dim W-\operatorname{rank}S\)입니다. 위 정확한 식에 넣으면

\[ \operatorname{rank}(ST) \ge\operatorname{rank}T-(\dim W-\operatorname{rank}S), \]

즉 하계가 됩니다. \(\square\)

정리 31 (Frobenius 부등식)

유한차원 공간 사이에서 \(T:V_1\to V_2\), \(S:V_2\to V_3\), \(R:V_3\to V_4\)이면

\[ \operatorname{rank}(RST)+\operatorname{rank}S \ge\operatorname{rank}(RS)+\operatorname{rank}(ST). \]

증명. \(K=\operatorname{im}S\cap\ker R\), \(L=\operatorname{im}(ST)\cap\ker R\)라고 합시다. \(\operatorname{im}(ST)\subseteq\operatorname{im}S\)이므로 \(L\subseteq K\)이고 \(\dim L\le\dim K\)입니다. 위 제한사상의 정확한 식을 두 번 적용하면

\[ \operatorname{rank}(RS)=\operatorname{rank}S-\dim K, \]

\[ \operatorname{rank}(RST)=\operatorname{rank}(ST)-\dim L. \]

따라서 부등식의 왼쪽에서 오른쪽을 빼면

\[\begin{split} \begin{aligned} &\operatorname{rank}(RST)+\operatorname{rank}S -\operatorname{rank}(RS)-\operatorname{rank}(ST)\\ &=(\operatorname{rank}(ST)-\dim L)+\operatorname{rank}S -(\operatorname{rank}S-\dim K)-\operatorname{rank}(ST)\\ &=\dim K-\dim L\ge0. \end{aligned} \end{split}\]

모든 항의 정의역과 공역이 이어져 있으므로 세 합성이 정의됩니다. \(\square\)

12.8 대표를 고르는 선형사상과 짧은 완전열

포함사상 \(i:U\to V\), \(i(u)=u\)와 몫사상 \(\pi\)를 이어

\[ 0\longrightarrow U\xrightarrow{i}V\xrightarrow{\pi}V/U \longrightarrow0 \]

라고 적습니다. 여기서 완전하다는 뜻은 각 자리에서 앞 사상의 상과 뒤 사상의 핵이 같다는 것입니다. \(i\)는 단사여서 핵이 0이고, \(\operatorname{im}i=U=\ker\pi\)이며, \(\pi\)는 전사입니다. 이 세 조건이 위 기호의 내용입니다.

유한차원에서 여공간 \(Z\)를 골라 \(V=U\oplus Z\)로 쓰면, 각 동치류에는 유일한 \(z\in Z\)가 있습니다. 존재는 \(v=u+z\)로 분해하여 얻고, 유일성은 두 대표의 차이가 \(U\cap Z=\{0\}\)이라는 데서 얻습니다. 그 대표를 선택하는 사상을 \(s:V/U\to V\)로 쓰면 \(\pi s\)는 항등입니다.

선형성도 확인합니다. 동치류 \(a,b\)의 \(Z\) 대표가 \(z_a,z_b\)이면 \(cz_a+dz_b\in Z\)이고 그 동치류는 \(ca+db\)이므로, 유일성에 의해 \(s(ca+db)=cs(a)+ds(b)\)입니다. 따라서 \(s\)는 선형입니다.

이 선택을 사용하면

\[ F:U\oplus(V/U)\to V,\qquad F(u,q)=u+s(q) \]

가 동형입니다. 선형성은 합의 선형성으로 얻습니다. 모든 \(v\)는 \(u+s(\pi v)\)로 분해되므로 전사입니다. \(u+s(q)=0\)에 \(\pi\)를 적용하면 \(q=0\)이고, 따라서 \(u=0\)이므로 단사입니다. 이를 완전열이 분열한다고 말합니다.

잔차사상 \(R\) 자체와 정준 몫사상 \(\pi\)는 공역이 다릅니다. 정확히는 평균 0 대표를 고르는 \(s\)에 대해 \(R=s\pi\)입니다. 5절의 첫 시점 0 대표를 선택하면 다른 \(s\)와 다른 대표사상을 얻습니다. 몫공간의 정의에는 이 선택이 들어 있지 않습니다.

자료에서 한 계산	수학의 표현
개체별 일정한 수준을 더해도 차분이 같다	\(U=\ker D\)
같은 차분을 가진 자료 전체	동치류 \(y+U\)
대표를 바꾸어도 관측이 같다	몫 위 사상의 잘 정의됨
동치류와 차분 두 개가 일대일 대응	제1동형정리
평균 0인 자료 하나를 골라 표시	여공간 선택과 분열
연속 관측에서 실제로 사라지는 방향	\(\operatorname{im}T\cap\ker S\)

몫공간은 관측되지 않는 차이를 제거하면서 남은 정보를 보존합니다. 다음 장에서는 그 정보를 숫자 하나로 읽는 선형 관측들을 모아 쌍대공간을 만듭니다. A2로 이어 읽기.