A6 · 반복을 줄이는 최소 관계식과 대각화의 조건#
A4에서는 \(T^2\)를 \(T\)와 \(I\)의 결합으로 쓸 수 있었습니다. A5에서는 고유벡터가 존재해도 그것들로 전체 기저를 만들 수 없다는 사실을 확인했습니다. 이번에는 두 질문을 연결합니다. 연산자 전체에 성립하는 가장 짧은 다항식 관계는 무엇이며, 그 관계가 대각화 가능성을 어떻게 알려 줄까요?
두 상태 확률 전이와 결합된 두 반응량을 계속 사용합니다. 구체적으로 거듭제곱을 줄이고, 기저 선택이 불안정해지는 예도 계산합니다. 마지막 절에서는 최소다항식, 상삼각화, 동시 대각화까지 필요한 논증을 완성합니다. 행렬식과 특성다항식은 사용하지 않습니다.
1. 확률 전이를 두 번 계산하면 관계식이 보인다#
두 상태의 열확률벡터를 다음 행렬로 갱신합시다.
각 열의 합은 1이고 성분은 비음수입니다. 상태 1에서 다음에도 상태 1에 남을 확률은 \(9/10\), 상태 2에서 상태 1로 갈 확률은 \(2/5\)입니다. 특정 자료로 추정한 값이 아니라 계산용 전이 모형입니다.
제곱을 각 성분별로 계산하면
한편 \(\frac32M-\frac12I\)도 같은 행렬입니다. 첫 대각성분은 \(27/20-10/20=17/20\), 둘째는 \(9/10-1/2=2/5\), 나머지 두 성분은 \(3/5,3/20\)입니다. 따라서
이 관계는 특정 초기분포만이 아니라 모든 입력에 성립합니다. 대응하는 다항식은
2. 더 짧은 관계식은 없는가?#
0 아닌 상수 \(a\)가 \(aI=0\)을 만족할 수는 없습니다. 0 아닌 벡터에 적용하면 \(av=0\)이 되어 체의 성질에 모순입니다.
일차 관계 \(aM+bI=0\), \(a\ne0\)가 있다면 \(M=-(b/a)I\)여야 합니다. 그러나 \(M\)의 오른쪽 위 성분은 \(2/5\ne0\)이고 스칼라 항등행렬의 그 성분은 0입니다. 따라서 일차 관계도 없습니다.
이차 관계는 1절에서 찾았으므로, 최고차항 계수를 1로 정규화했을 때 가장 짧은 관계식은 위 \(m\)입니다. 이것을 최소다항식이라고 부릅니다. ‘최소’는 계수 크기나 함수값이 아니라 차수를 뜻합니다.
같은 관계를 2배 한 \(2z^2-3z+1\)도 \(M\)에 넣으면 0입니다. 유일한 이름을 부여하기 위해 최고차항 계수가 1인 모닉 다항식을 사용합니다. 최소성만 있고 정규화가 없으면 상수배만큼의 중복이 남습니다.
3. 고유벡터를 직접 구하지 않고 모든 시점의 확률을 쓰기#
\(m\)의 두 근에서 각각 1과 0의 값을 갖는 다항식을 만들겠습니다.
\(r(1)=1\), \(r(1/2)=0\)이고, \(s\)는 반대입니다. 행렬에 대입하면
관계식 \(M^2=\frac32M-\frac12I\)를 사용하면
\(Q=I-\Pi\)에서 \(Q^2=Q\), \(\Pi Q=Q\Pi=0\)도 따라옵니다. 또
따라서
\(n=0\)에서는 \(\Pi+Q=I\)입니다. 한 번 더 \(M\)을 곱하면 첫 항은 그대로이고 둘째 항은 \(1/2\)배가 되므로 귀납적으로 성립합니다.
임의의 확률분포 \(p\)에서 \(\Pi p=(4/5,1/5)^\top\)입니다. 두 열이 같고 \(p_1+p_2=1\)이기 때문입니다. 따라서
초기분포 \((1,0)\)에서는 \(p_{1,n}=4/5+(1/5)2^{-n}\), \(p_{2,n}=1/5-(1/5)2^{-n}\)입니다. \(n=1\)에서 \((9/10,1/10)\)로 원래 행렬의 첫 열과 맞습니다. 모든 초기분포가 같은 분포로 수렴한다는 결론을 이 모형에서는 직접 증명했습니다.
그림 34 최소다항식에서 만든 \(\Pi\)는 정상분포 성분을 남기고 \(Q\)는 사라지는 차이를 남깁니다. 같은 고윳값 1을 갖는다는 사실만으로 모든 전이행렬에 이 수렴식을 적용할 수는 없습니다.#
4. 같은 고윳값인데 반복 반응이 다른 두 행렬#
A5의 예를 다시 비교합시다.
\(I\)는 \(I-I=0\)이므로 최소다항식이 \(z-1\)입니다. \(J-I=N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\)는 0이 아니지만 \(N^2=0\)입니다. 따라서 \(J\)에는 \((J-I)^2=0\)이라는 이차 관계가 있습니다. \(J\)가 스칼라 항등행렬이 아니므로 일차 관계는 없으며 최소다항식은 \((z-1)^2\)입니다.
두 행렬은 모두 유일한 고윳값이 1이지만, 하나는
다른 하나는
입니다. \(y\ne0\)이면 첫 성분이 선형적으로 증가합니다. 중복 인수는 단순한 고윳값 목록에서 보이지 않는 결합을 기록합니다.
\(0<r<1\)인 감쇠형 \(J_r=\begin{pmatrix}r&1\\0&r\end{pmatrix}\)에서도
입니다. 귀납 단계의 오른쪽 위 성분은 \(r^n+n r^{n}= (n+1)r^n\)이므로 공식을 확인할 수 있습니다. 고윳값의 거듭제곱만 있는 것이 아니라 \(n\)이라는 계수도 붙습니다.
그림 35 같은 고윳값 목록만으로 반복 반응을 결정할 수 없습니다. \(I\)의 최소다항식은 \(z-1\), \(J\)의 최소다항식은 \((z-1)^2\)입니다.#
5. 한 초기값에서 얻은 관계와 전체 관계를 분리하기#
\(J\)에서 초기값 \(e_1\)만 관측하면 \(Je_1=e_1\)이므로 \((J-I)e_1=0\)입니다. 이 실험만 보면 일차 관계 \(z-1\)이 충분해 보입니다. 그러나 \(e_2\)에서는 \((J-I)e_2=e_1\ne0\)입니다. 전체 연산자에는 이 관계가 성립하지 않습니다.
전체 관계를 검사하려면 기저의 모든 벡터에서 확인하거나, 행렬 자체의 모든 성분이 0인지 확인해야 합니다. 선형사상은 기저에서의 값으로 결정되므로 \(p(T)v_i=0\)이 모든 기저벡터에서 성립하면 모든 \(v=\sum_i a_iv_i\)에서
입니다. 반대로 \(p(T)=0\)이면 각 기저에서도 당연히 0입니다.
A5의 고윳값 존재 증명은 한 초기값의 관계만 사용해도 충분했습니다. 최소다항식은 전체 입력을 대상으로 하므로 더 강한 조건을 요구합니다.
6. 상삼각형이면 무엇을 읽을 수 있는가?#
다음 행렬을 보겠습니다.
\(e_1\)의 생성공간은 불변이고, \(e_1,e_2\)의 생성공간도 불변이며, 마지막으로 전체 공간이 있습니다. 첫 \(k\)개 기저의 상이 첫 \(k\)개 안에 머문다는 성질이 아래 삼각형의 0들에 기록되어 있습니다.
\(Ax=b\)는 마지막 행부터 풀 수 있습니다. \(5x_3=b_3\), \(3x_2=b_2\), \(3x_1+x_2=b_1\)이므로
가역성은 대각성분이 모두 0이 아니라는 사실에서 나옵니다. 반면 고유벡터 기저는 없습니다. 고윳값 3에서는
이므로 고유공간은 \(\operatorname{span}(e_1)\)입니다. 고윳값 5에서는 둘째 식 \(-2x_2=0\)에서 \(x_2=0\), 첫째 식 \(-2x_1+x_2=0\)에서 \(x_1=0\)이므로 \(\operatorname{span}(e_3)\)입니다. 두 고유공간의 차원 합은 2이고 전체 차원은 3입니다.
따라서 상삼각화는 대각화보다 약한 요구입니다. 하지만 복소수에서는 항상 상삼각화가 가능하다는 강한 존재 정리가 성립합니다. 그 증명은 A5의 고유벡터 하나를 찾고 몫공간에 같은 과정을 반복하는 방식입니다.
7. 최소다항식의 중복 인수가 왜 중요한가?#
만일 \(T\)가 고유벡터 기저를 가지고 서로 다른 고윳값이 \(\lambda_1,\ldots,\lambda_r\)라면
는 모든 기저벡터를 0으로 보냅니다. 각 기저벡터에 해당하는 인수 하나가 반드시 0을 주기 때문입니다. 따라서 전체에서도 0입니다. 중복 인수를 쓸 필요가 없습니다.
역으로 \(m_T(z)=\prod_{j=1}^r(z-\lambda_j)\)이고 근들이 서로 다르면, A4의 서로소 핵 분해를 반복하여
를 얻습니다. 각 고유공간의 기저를 이어 붙이면 전체 고유벡터 기저가 됩니다.
여기에는 두 조건이 있습니다. 인수가 모두 현재의 체에서 일차식으로 분해되어야 하고, 그 일차인수들이 중복되지 않아야 합니다. 실수 회전의 최소다항식 \(z^2+1\)은 중복 인수는 없지만 실수에서 분해되지 않아 실수 대각화가 불가능합니다. 복소수에서는 \((z-i)(z+i)\)로 서로 다르게 분해되므로 가능합니다.
사영 \(P^2=P\)는 \(P(P-I)=0\)이므로 최소다항식이 \(z(z-1)\)을 나눕니다. 0과 1은 어느 체에서도 서로 다르므로 사영은 항상 대각화됩니다. 반면 대합 \(S^2=I\)는 \((S-I)(S+I)=0\)인데, 표수 2에서는 \(1=-1\)이어서 두 인수가 같습니다. 이 경우에는 대각화를 결론낼 수 없습니다.
8. 가환하는 두 사영을 동시에 사용하기#
A1의 두 개체·두 시점 자료 순서를 \((A1,A2,B1,B2)\)로 유지합니다. 개체별 평균 사영을
로, 같은 시점의 두 개체 평균 사영을
로 정의합니다. 이는 균형 잡힌 \(2\times2\) 관측 배열에 같은 가중치를 적용한 경우입니다.
개체 평균 뒤에 시점 평균을 내면 모든 성분이 전체 평균 \((y_1+y_2+y_3+y_4)/4\)가 됩니다. 반대 순서도 같습니다. 따라서
두 평균 성분을 모두 제거하는 연산은
자료 \(y=(2,4,5,9)\)에서 전체 평균은 5, 개체 평균 반복은 \((3,3,7,7)\), 시점 평균 반복은 \((7/2,13/2,7/2,13/2)\)입니다. 따라서
각 개체 안의 두 값 합도 0이고 각 시점의 두 값 합도 0입니다.
공통 기저를 직접 고를 수도 있습니다.
\(P_i\)는 \(u,a\)를 유지하고 \(b,c\)를 0으로 보냅니다. \(P_t\)는 \(u,b\)를 유지하고 \(a,c\)를 0으로 보냅니다. 각 벡터의 성분 합·차를 계산하면 서로 독립임도 확인됩니다. 예를 들어 네 벡터를 열로 하는 \(H\)에 대해 \(H^\top H=4I\)이므로 \(H^\top/4\)가 역이고 독립입니다. 이것은 이 특정 행렬의 곱 검산이지 일반 스펙트럼 정리의 인용이 아닙니다.
두 사영은 이 한 기저에서 동시에 대각이 됩니다. \(R\)은 마지막 \(c\) 방향만 남깁니다. 관측 누락이나 가중치 변경이 있으면 두 평균사영이 가환하는지부터 다시 검사해야 합니다.
9. 대각화가 가능해도 좌표 계산이 불안정할 수 있다#
다음 행렬을 정확한 \(\delta\ge0\)에 대해 생각합시다.
\(\delta>0\)이고 \(\eta=\sqrt\delta\)이면 고윳값과 벡터는
직접 곱하면 \(A_\delta v_\pm=(1\pm\eta,\delta\pm\eta)=(1\pm\eta)(1,\pm\eta)\)입니다. 서로 다른 두 고윳값이므로 대각화됩니다.
그러나 \(\delta\to0\)이면 두 고유벡터 방향이 모두 \((1,0)\)에 가까워집니다. 기저행렬
에서 \(x=P_\eta(a,b)\)를 풀면
두 번째 관측값의 작은 오차가 \(1/\eta\)배 확대됩니다. \(\eta=10^{-6}\)이면 \(x_2\)의 오차 \(10^{-8}\)이 두 계수에 각각 크기 \(0.005\)의 오차를 만듭니다.
\(0<\eta\le1\)일 때 이 기저행렬의 유클리드 조건수는 \(1/\eta\)입니다. 이를 계산하기 위해 \(u=(a+b)/\sqrt2\), \(v=(a-b)/\sqrt2\)로 놓으면 \(u^2+v^2=a^2+b^2\)이고
단위 입력에서 최대 길이는 \(\sqrt2\), 최소 길이는 \(\sqrt2\eta\)이므로 최대 확대와 최소 확대의 비는 \(1/\eta\)입니다. 고유벡터 두 열을 각각 같은 길이로 정규화해도 이 비는 변하지 않습니다.
그림 36 모든 표시된 \(\delta>0\)에서는 정확히 대각화가 가능합니다. 그러나 좌표계산의 민감도는 커집니다. \(\delta=0\)은 로그축에 표시할 수 없으며, 그 지점에서는 행렬이 \(J\)가 되어 대각화 자체가 불가능합니다.#
따라서 수치계산에서는 ‘가능/불가능’이라는 정확한 대수적 판정과, 그 기저가 얼마나 민감한지를 함께 봅니다. 이것이 대각화의 개념이 무의미하다는 뜻은 아닙니다. 질문 두 개를 구분해야 한다는 뜻입니다.
10. 정확산술로 최소다항식을 계산하기#
아래 코드는 \(I,A,A^2,\ldots\)를 행렬 성분 전체의 벡터로 펼치고 첫 종속관계를 찾습니다. 한 초기값의 반복만 검사하지 않습니다. 앞의 행렬들이 독립인 동안에는 종속 관계를 만드는 계수도 유일합니다. 최대 \(n\)차에서 멈춘다는 보장은 마지막 절에서 별도로 증명합니다.
from sympy import Matrix, Rational, eye, zeros, symbols, expand
z=symbols("z")
def minimum_polynomial(A, z):
A=Matrix(A)
if A.rows!=A.cols or A.rows==0:
raise ValueError("0차원이 아닌 정사각행렬을 사용하세요.")
n=A.rows
powers=[eye(n)]
for degree in range(1,n+1):
powers.append(powers[-1]*A)
previous=Matrix.hstack(*(B.reshape(n*n,1) for B in powers[:-1]))
target=powers[-1].reshape(n*n,1)
if previous.row_join(target).rank()==previous.rank():
coefficients, parameters=previous.gauss_jordan_solve(target)
assert parameters.rows==0
return expand(z**degree-sum(coefficients[j]*z**j for j in range(degree)))
raise AssertionError("증명된 차수 상한 안에서 관계를 찾지 못했습니다.")
M=Matrix([[Rational(9,10),Rational(2,5)],[Rational(1,10),Rational(3,5)]])
J=Matrix([[1,1],[0,1]])
A=Matrix([[3,1,0],[0,3,0],[0,0,5]])
assert minimum_polynomial(M,z)==expand((z-1)*(z-Rational(1,2)))
assert minimum_polynomial(J,z)==(z*z-2*z+1)
assert minimum_polynomial(A,z)==expand((z-3)**2*(z-5))
Pi=2*M-eye(2)
for n in range(9):
assert M**n==Pi+Rational(1,2)**n*(eye(2)-Pi)
Pi_i=Matrix([[1,1,0,0],[1,1,0,0],[0,0,1,1],[0,0,1,1]])/2
Pi_t=Matrix([[1,0,1,0],[0,1,0,1],[1,0,1,0],[0,1,0,1]])/2
assert Pi_i*Pi_t==Pi_t*Pi_i
R=(eye(4)-Pi_i)*(eye(4)-Pi_t)
assert R*Matrix([2,4,5,9])==Matrix([1,-1,-1,1])/2
assert R*R==R
print("최소다항식:", minimum_polynomial(A,z), "/ 확률 전이와 두 사영 검산 통과")
최소다항식: z**3 - 11*z**2 + 39*z - 45 / 확률 전이와 두 사영 검산 통과
이 코드는 작은 유리수 행렬의 학습용 정확산술 알고리즘입니다. 큰 부동소수점 행렬의 권장 고유분해 알고리즘이라는 뜻은 아닙니다.
11. 직접 써 보는 문제와 전체 풀이#
문제 1 · 주어진 관계로 세제곱 구하기#
1절의 \(M\)에 대해 \(M^3\)을 \(M,I\)의 결합으로 쓰세요.
풀이. \(M^3=\frac32M^2-\frac12M\)이고 \(M^2=\frac32M-\frac12I\)를 넣으면
3절 공식에서도 \(\Pi+\frac18(I-\Pi)=\frac78(2M-I)+\frac18I=\frac74M-\frac34I\)입니다.
문제 2 · 최소다항식과 역행렬#
\(m_T(z)=z^2-3z+2\)라면 \(T^{-1}\)을 \(T\)의 다항식으로 구하세요.
풀이. \(T^2-3T+2I=0\)에서 \(T(3I-T)=2I\)입니다. \(T\)와 \(3I-T\)는 교환하므로 반대쪽 곱도 \(2I\)입니다. 따라서 \(T^{-1}=(3I-T)/2\)입니다. 이 계산은 2가 0이 아닌 체에서의 식이며 여기서는 실수로 계산합니다.
문제 3 · 같은 최소다항식이면 상사인가?#
\(N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\)에 대해 \(A=\operatorname{diag}(N,0,0)\)와 \(B=\operatorname{diag}(N,N)\)를 비교하세요.
풀이. 둘 다 제곱은 0이고 자체는 0이 아니므로 최소다항식이 \(z^2\)입니다. 그러나 \(A\)의 상은 첫 번째 블록의 첫 좌표만 생성해 차원 1이고, \(B\)는 두 블록에서 각각 한 좌표를 생성해 차원 2입니다. 계수가 달라 상사가 아닙니다. 최소다항식도 모든 상사 정보를 담는 완전한 분류는 아닙니다.
문제 4 · 가환하지 않는 두 사영#
\(P=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\), \(Q=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}\)가 각각 대각화 가능하지만 동시에 대각화되지는 않음을 보이세요.
풀이. 둘 다 제곱이 자기 자신이므로 사영이며 대각화됩니다. 그러나 \(PQ=Q\), \(QP=P\)이고 \(P\ne Q\)이므로 가환하지 않습니다. 같은 기저에서 두 행렬이 대각이라면 대각행렬끼리는 곱셈이 교환하고, 원래 기저로 돌아와도 가환해야 합니다. 모순이므로 동시 대각화가 불가능합니다.
문제 5 · 중복 고윳값이 항상 문제인가?#
\(D=\operatorname{diag}(2,2,3)\)의 최소다항식을 구하고 대각화 여부를 설명하세요.
풀이. 이미 대각행렬입니다. \(p(D)=0\)일 조건은 \(p(2)=p(3)=0\)이므로 최소다항식은 \((z-2)(z-3)\)입니다. 대각성분 2가 반복되어도 최소다항식에 \((z-2)^2\)가 필요한 것은 아닙니다. 고윳값의 반복과 최소다항식 인수의 반복은 다른 정보입니다.
12. 지금까지의 내용을 수학의 언어로 정리해 봅시다#
이 절에서는 \(V\)가 체 \(F\) 위의 유한차원 공간이고 \(n=\dim V\ge1\)이라고 가정합니다. 복소수 조건이 필요한 상삼각화에서는 이를 따로 명시합니다. 앞의 계산에서 쓴 ‘가장 짧은 관계’와 ‘독립적으로 움직이는 좌표’를 정확한 정의와 증명으로 연결합니다.
12.1 전체를 소멸시키는 다항식의 존재#
A1에서 \(\dim L(V,V)=n^2\)를 증명했습니다. 따라서 \(I,T,\ldots,T^{n^2}\)는 종속이고, 0 아닌 다항식 \(p\)에 대해 \(p(T)=0\)입니다. 이것으로 존재 자체는 확보됩니다. 차수 \(n\) 이하라는 더 좋은 상계에는 추가 증명이 필요합니다.
정리 49 (차수 \(n\) 이하의 소멸다항식)
\(n\)차원 공간의 선형사상 \(T\)에는 차수 \(n\) 이하인 모닉 소멸다항식이 존재합니다.
증명. 차원에 대한 귀납법을 사용합니다. 0차원 공간에서는 다항식 1을 사용하며 항등사상도 영사상이므로 소멸합니다. 이제 \(n>0\)에서 \(v\ne0\)을 고르고 A4의 첫 종속관계로
를 얻습니다. 순환공간 \(U=C_T(v)\)의 기저는 \(v,\ldots,T^{d-1}v\)이므로 차원은 \(d\)입니다. \(p(T)T^kv=T^kp(T)v=0\)이므로 \(p(T)\)는 \(U\) 전체를 소멸시킵니다.
\(U\)는 불변이므로 몫 위의 \(\overline T\)가 정의됩니다. 몫 차원은 \(n-d<n\)이고 귀납가정에 의해 차수 \(n-d\) 이하의 모닉 \(q\)가 \(q(\overline T)=0\)을 만족합니다. 다항식 작용을 동치류에서 계산하면 \(q(\overline T)(x+U)=q(T)x+U\)이므로 \(q(T)x\in U\)입니다. 따라서 모든 \(x\)에서 \(p(T)q(T)x=0\)입니다.
곱 \(pq\)는 모닉이고 차수는 \(d+\deg q\le n\)입니다. 이 곱이 전체를 소멸시키므로 귀납이 완성됩니다. \(\square\)
한 초기값의 관계를 바로 전체 관계라고 주장하지 않고, 그 초기값이 생성하지 못한 몫공간을 별도로 처리했습니다.
12.2 최소다항식의 정의·유일성·나눗셈 판정#
정의 15 (최소다항식)
\(T\)를 소멸시키는 0 아닌 다항식들 중 차수가 최소이고 최고차항 계수가 1인 다항식을 \(m_T\)라 합니다.
존재는 앞 정리에서 얻습니다. 차수가 최소인 다항식을 최고차항 계수로 나누면 모닉으로 만들 수 있습니다.
정리 50 (최소다항식의 나눗셈 판정)
\(m_T\)는 유일하며, 임의의 \(p\)에 대해 \(p(T)=0\)일 필요충분조건은 \(m_T\)가 \(p\)를 나누는 것입니다.
증명. \(p=q m_T+r\)로 나누어 \(r=0\) 또는 \(\deg r<\deg m_T\)로 만듭니다. \(p(T)=0\)이면 \(r(T)=p(T)-q(T)m_T(T)=0\)입니다. 최소성에 의해 0 아닌 낮은 차수의 소멸다항식은 없으므로 \(r=0\)입니다. 따라서 나눕니다. 반대로 \(p=q m_T\)이면 대입의 곱 보존으로 \(p(T)=q(T)m_T(T)=0\)입니다.
두 최소 모닉 다항식이 있다면 서로를 나눕니다. 차수가 같고 둘 다 모닉이므로 몫은 상수 1이며 두 다항식이 같습니다. \(\square\)
소멸다항식 전체 \(\mathcal I_T=\{p:p(T)=0\}\)는 아이디얼입니다. 합과 음수배는 선형성으로 닫혀 있고, \(p(T)=0\)이면 \((qp)(T)=q(T)p(T)=0\)입니다. 앞 판정에 의해 정확히 \((m_T)\)입니다. A4의 주아이디얼 성질이 구체적으로 실현된 것입니다.
12.3 근과 고윳값, 역행렬#
정리 51 (최소다항식의 근)
\(\lambda\in F\)에 대해 \(\lambda\)가 \(T\)의 고윳값일 필요충분조건은 \(m_T(\lambda)=0\)입니다.
증명. \(Tv=\lambda v\), \(v\ne0\)이면 귀납적으로 \(T^kv=\lambda^kv\)입니다. 따라서 \(m_T(T)v=m_T(\lambda)v=0\)이고 \(v\ne0\)이므로 \(m_T(\lambda)=0\)입니다.
역으로 \(m_T(\lambda)=0\)이면 나눗셈으로 \(m_T(z)=(z-\lambda)q(z)\)입니다. \(T-\lambda I\)가 가역이라고 가정하면
의 왼쪽에 역을 곱하여 \(q(T)=0\)을 얻습니다. \(q\)는 모닉이고 차수가 더 작으므로 최소성에 모순입니다. 따라서 \(T-\lambda I\)는 가역이 아니며, 유한차원의 단사·가역 동치에 의해 핵에 0 아닌 벡터가 있습니다. \(\square\)
특히 \(T\)가 가역일 조건은 \(m_T(0)\ne0\)입니다. \(m_T(z)=a_0+a_1z+\cdots+z^d\)이고 \(a_0\ne0\)이면
대괄호가 \(T\)의 다항식이므로 반대 순서의 곱도 \(I\)입니다. 따라서 역은 이 다항식입니다.
12.4 복소수에서의 상삼각화와 불변 깃발#
정리 52 (복소 상삼각화)
복소 유한차원 공간의 모든 선형사상은 어떤 기저에서 상삼각행렬로 표현됩니다. 이는 \(0=V_0\subset V_1\subset\cdots\subset V_n=V\), \(\dim V_k=k\)인 불변부분공간의 목록이 존재하는 것과 동치입니다.
증명. 차원 0,1은 직접 성립합니다. \(n>1\)에서 A5의 존재 정리로 고유벡터 \(v_1\)을 고르면 \(V_1=\operatorname{span}(v_1)\)이 불변입니다. 몫 \(V/V_1\)은 \(n-1\)차원 복소 공간이므로 귀납가정으로 상삼각 기저를 가집니다. 그 기저 동치류의 대표를 \(v_2,\ldots,v_n\)으로 고릅니다.
이 전체 목록은 기저입니다. 생성은 임의의 동치류를 대표들의 결합으로 표현한 뒤 남는 \(V_1\) 성분을 \(v_1\)으로 보충하여 얻습니다. 독립은 전체 관계를 몫으로 보내 먼저 \(v_2,\ldots,v_n\)의 계수가 0임을 얻고, 마지막 \(v_1\) 계수도 0임을 확인하면 됩니다.
몫에서 상삼각이므로 \(Tv_j\)는 \(v_2,\ldots,v_j\)의 결합에 \(V_1\) 원소를 더한 꼴입니다. 따라서 \(Tv_j\in\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_j)\)이고 행렬은 상삼각입니다.
상삼각 기저에서 첫 \(k\)개를 생성하는 \(V_k\)는 불변이므로 위 목록을 얻습니다. 역으로 그런 목록이 주어지면 \(V_k\)의 기저를 하나씩 확장해 기저를 만들 수 있고 \(Tv_k\in V_k\)이므로 상삼각입니다. \(\square\)
목록을 직접 구성하는 관점에서도 같은 과정을 읽을 수 있습니다. \(V_k\)를 이미 얻었으면 \(V/V_k\)에서 고유직선 하나를 고르고 그 직선의 원상을 \(V_{k+1}\)로 둡니다. 몫에서의 불변성으로 원상도 불변이고, 새 독립 동치류 하나가 추가되므로 차원은 하나 증가합니다. 이 단계가 유한 번 반복되어 불변 깃발을 만듭니다.
12.5 상삼각행렬의 대각에서 읽는 정보#
상삼각행렬 \(A\)의 대각이 모두 0이 아니면 \(Ax=b\)를 마지막 행부터 순서대로 유일하게 풀 수 있으므로 가역입니다. 어떤 대각이 0이면 처음 0인 대각의 위치를 \(j\)라 합시다. 동차식을 풀 때 \(x_j=1\), \(x_{j+1}=\cdots=x_n=0\)으로 놓습니다. \(j\)번째 행과 그 아래 행은 모두 0이 됩니다. \(i<j\)의 대각은 0이 아니므로 위로 올라가며 \(x_i\)를 결정할 수 있습니다. 따라서 0 아닌 핵벡터가 있어 가역이 아닙니다.
\(A-\lambda I\)에 이 결과를 적용하면, 고윳값은 정확히 대각성분들입니다. 단, 이것이 각 고유공간의 차원을 알려 주지는 않습니다. 6절에서 대각성분 3이 두 번 있어도 고유공간은 1차원이었습니다.
불변 깃발 관점에서 대각성분을 \(\lambda_k\)라 하면 \((T-\lambda_kI)V_k\subseteq V_{k-1}\)입니다. 따라서 \((T-\lambda_1I)\cdots(T-\lambda_nI)\)를 \(V_n\)에 적용하면 한 단계씩 내려가 마지막에 0이 됩니다. 이것은 복소 상삼각 표현에서도 차수 \(n\)의 소멸다항식을 얻는 별도 방법입니다. 특성다항식이나 행렬식의 정의를 사용한 것이 아닙니다.
12.6 대각화의 필요충분조건#
정리 53 (최소다항식에 의한 대각화 판정)
\(T\)가 \(F\) 위에서 대각화될 필요충분조건은 \(m_T(z)=\prod_{j=1}^r(z-\lambda_j)\)이며 \(\lambda_j\in F\)가 서로 다른 것입니다.
증명. 고유벡터 기저가 있으면 서로 다른 고윳값을 한 번씩만 사용한 \(q(z)=\prod_j(z-\lambda_j)\)가 모든 기저벡터, 따라서 전체를 소멸시킵니다. 나눗셈 판정으로 \(m_T\mid q\)입니다. 또한 앞의 근 정리로 모든 \(\lambda_j\)가 \(m_T\)의 근입니다. 서로 다른 근을 차례로 인수로 나누면 각각이 한 번 이상 나타나야 하며 \(q\)에는 한 번씩밖에 없으므로 모닉 다항식 \(m_T=q\)입니다.
역으로 이 형태를 가정합니다. \(r=1\)이면 \(T-\lambda_1I=0\)이므로 임의의 기저가 고유벡터 기저입니다. \(r>1\)이면 \(p=z-\lambda_1\), \(q=\prod_{j>1}(z-\lambda_j)\)는 서로소입니다. 실제로 \(q(\lambda_1)\ne0\)이므로 공약수 \(z-\lambda_1\)을 갖지 않습니다. A4의 분해 정리를 적용하면
둘째 공간은 불변이며 그 위의 제한사상을 \(q\)가 소멸시킵니다. 같은 서로소 분해를 \(q\)의 인수들에 반복하면 \(V=\bigoplus_jE_{\lambda_j}\)입니다. 각 고유공간의 기저를 이어 붙이면 생성하고, 직합성과 각 기저의 독립성으로 전체가 독립이므로 고유벡터 기저입니다. \(\square\)
근의 수에 관한 사용 사실도 확인해 둡니다. 0 아닌 \(d\)차 다항식에 서로 다른 근 \(\lambda_1,\ldots,\lambda_k\)가 있으면 차례로 나눌 때 이미 제거한 인수들이 다음 근에서 0이 아니므로 다음 인수도 계속 나누어집니다. 따라서 그 \(k\)개 일차식의 곱이 다항식을 나누고 \(k\le d\)입니다. ‘모든 근을 한 번 이상 포함한다’는 위 단계는 이 나눗셈 논증에 근거합니다.
12.7 가환족의 동시 대각화#
정리 54 (동시 대각화)
유한차원 \(V\) 위에서 각각 \(F\) 위로 대각화 가능하고 서로 가환하는 선형사상들의 족은 하나의 기저에서 모두 대각화됩니다.
증명. 차원에 대한 귀납법을 씁니다. 모든 사상이 스칼라 항등사상이면 어느 기저에서도 대각입니다. 그렇지 않으면 스칼라가 아닌 사상 \(T\) 하나를 고릅니다. 대각화 가능하므로 \(V\)는 \(T\)의 고유공간들의 직합입니다. 스칼라가 아니므로 고유공간이 둘 이상이고 각 차원은 전체보다 작습니다.
족의 다른 사상 \(S\)와 \(v\in E_\lambda(T)\)에 대해
이므로 각 고유공간은 모든 \(S\)에 불변입니다. 제한사상들도 대각화 가능합니다. 이유는 \(S\)의 최소다항식이 서로 다른 일차인수의 곱이고, 이 다항식이 제한도 소멸시키므로 제한의 최소다항식은 그것을 나누기 때문입니다. 앞의 판정으로 제한도 대각화됩니다. 제한들끼리의 가환성은 원래 합성의 가환성을 그대로 제한하면 얻습니다.
각 고유공간에서 귀납가정으로 공통 고유벡터 기저를 고르고, 이 기저들을 이어 붙입니다. \(T\)는 각 공간에서 스칼라이고 다른 모든 사상도 그 안의 공통 기저에서 대각이므로 전체 족을 동시에 대각화합니다. \(\square\)
역으로 동시에 대각화되는 사상들은 가환합니다. 같은 기저에서 대각행렬의 각 성분 곱이 체의 곱셈이므로 교환하고, 기저를 되돌려도 합성 등식이 보존되기 때문입니다.
12.8 복소 가환족의 동시 상삼각화#
각각 대각화 가능하다는 가정을 빼도, 복소수에서는 가환족을 동시에 상삼각화할 수 있습니다. 먼저 공통 고유벡터가 존재함을 차원 귀납으로 보겠습니다. 모든 사상이 스칼라이면 임의의 0 아닌 벡터를 고릅니다. 그렇지 않으면 스칼라가 아닌 \(T\)의 고유공간 하나를 고릅니다. A5에 의해 그 공간은 0이 아니며, 전체 공간과 같다면 \(T\)가 스칼라가 되므로 진부분공간입니다. 가환성으로 다른 모든 사상이 그 공간을 보존합니다. 더 작은 차원에 귀납가정을 적용하면 공통 고유벡터가 존재합니다.
이 공통 고유직선 \(U\)를 몫으로 보내면 유도사상들도 서로 가환합니다. 실제로 \(\overline S\overline T(v+U)=STv+U=TSv+U=\overline T\overline S(v+U)\)입니다. 몫에서 귀납적으로 공통 상삼각 기저를 고르고 각 동치류의 대표를 고릅니다. 공통 고유벡터를 첫 번째에 놓고 그 뒤에 이 대표들을 몫 기저의 순서대로 붙이면, 12.4와 같은 이유로 모든 사상이 동시에 상삼각입니다. 대각화 가능성을 가정하지 않았으므로 위쪽 비대각성분은 남을 수 있습니다.
12.9 짧은 관계식에서 읽는 분류와 한계#
사영은 \(m_P\mid z(z-1)\)이어서 대각화됩니다. 대합 \(T^2=I\)는 \(m_T\mid(z-1)(z+1)\)이고 표수가 2가 아닐 때 대각화됩니다. 표수 2에서는 \(N\ne0\), \(N^2=0\)인 위의 \(N\)에 대해 \((I+N)^2=I+2N+N^2=I\)이지만 최소다항식이 \((z-1)^2\)여서 대각화되지 않습니다.
멱영사상은 어떤 \(k\)에 대해 \(T^k=0\)인 사상입니다. 최소의 그런 양의 정수 \(k\)를 고르면 최소다항식은 \(z^k\)입니다. 나눗셈 판정에서 \(m_T\mid z^k\)이므로 \(m_T=z^j\)이고, \(T^j=0\)의 최소성 때문에 \(j=k\)입니다. \(T\ne0\)이면 \(k>1\)이므로 대각화 불가능합니다. 대각화된 멱영사상은 대각성분이 모두 0이어서 영사상뿐입니다.
최소다항식은 관계와 대각화 여부를 알려 주지만 상사 분류의 모든 정보는 아닙니다. 연습 3의 두 행렬처럼 같은 최소다항식에서도 계수가 다를 수 있습니다. 다음 파트에서는 어떤 크기의 불변부분공간들이 몇 개 필요한지까지 추가로 분석합니다.
앞의 계산 |
수학적 표현 |
|---|---|
모든 입력에 성립하는 가장 낮은 차수 관계 |
최소다항식 \(m_T\) |
다른 모든 관계는 그 관계의 배수 |
나눗셈 판정 |
입력 좌표를 순서대로 누적하며 보존 |
상삼각화·불변 깃발 |
서로 다른 배율 성분으로 전체를 분해 |
중복 없는 완전분해와 대각화 |
여러 규칙에 같은 좌표를 사용 |
가환족의 동시 대각화 |
대각화 가능하지만 좌표가 민감 |
고유벡터 기저의 조건수 |
최소다항식은 대각화 여부를 알려 주지만 같은 고윳값 안의 모든 구조를 정하지는 않습니다. 다음 장에서는 서로 다른 기약인수에 대응하는 공간부터 분리하여 남은 구조를 분석합니다. C1로 이어 읽기.