A3 · 출력의 평가를 입력으로 옮기면 무엇을 알 수 있을까?

자원 사용량으로 비용을 계산하는 규칙이 있다고 합시다. 생산계획을 자원량으로 바꾸고 다시 비용으로 바꾸어도 되지만, 두 계산을 합쳐 생산량에서 곧바로 비용을 계산할 수도 있습니다. 이때 평가 규칙의 계수는 어떤 방향으로 이동할까요?

이번 단원에서는 이 과정을 전치사상으로 정의합니다. 이어서 같은 도구로 해의 존재 조건, 행계수와 열계수의 같음, 회귀모형에서 구분할 수 있는 계수의 결합을 설명합니다. A2의 쌍대기저·소멸자와 A1의 선형사상·기저 확장을 사용합니다. 내적과 직교사영은 증명의 전제가 아닙니다.

1. 자원을 평가하는 가격을 생산활동별 가격으로 바꾸기

B3의 네 활동 모형을 그대로 사용합니다. 입력은 \(x\in\mathbb R^4\), 출력은 노동·원료·점수 기록 \(b\in\mathbb R^3\)입니다.

\[\begin{split} Tx=Ax,\qquad A=\begin{pmatrix} 1&0&1&2\\ 0&1&1&1\\ 1&1&2&3 \end{pmatrix}. \end{split}\]

점수는 노동과 원료를 정해진 환산계수로 점수 단위로 바꾸어 합한 기록이므로 수치상 \(S=L+M\)입니다. 단위가 다른 물리량을 아무 계수 없이 더한 것이 아닙니다.

출력의 평가를 \(g(L,M,S)=2L+M\)으로 정합시다. 계수의 단위는 각 자원 단위당 화폐입니다. \(g\)에 생산계획의 출력을 대입하면

\[\begin{split} \begin{aligned} g(Tx) &=2(x_1+x_3+2x_4)+(x_2+x_3+x_4)\\ &=2x_1+x_2+(2+1)x_3+(4+1)x_4\\ &=2x_1+x_2+3x_3+5x_4. \end{aligned} \end{split}\]

생산활동별 평가 계수는 \((2,1,3,5)\)입니다. 행렬로 쓰면

\[ \begin{pmatrix}2&1&0\end{pmatrix}A =\begin{pmatrix}2&1&3&5\end{pmatrix}. \]

평가 계수를 모두 열로 기록하면 같은 식이

\[\begin{split} A^\top\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\1\\3\\5\end{pmatrix} \end{split}\]

입니다. 전치행렬이 나타난 이유는 출력의 평가를 입력의 평가로 바꾸고 있기 때문입니다. 입력벡터 자체를 역으로 복원한 것이 아닙니다.

2. 계산 방향과 평가 방향을 따로 적기

\(T:V\to W\)는 입력 상태를 출력 상태로 보냅니다. 출력의 범함수 \(g\in W^*\)를 고르면, 입력에 대한 평가 \(g\circ T\)는 \(V^*\)의 원소입니다. 따라서

\[ T':W^*\to V^*,\qquad T'(g)=g\circ T \]

로 정의합니다. 이때 \(T'\)가 전치사상입니다.

구체적인 값 하나를 확인해 봅시다. \(x=(1,2,1,0)\)이면 \(Tx=(2,3,5)\)입니다. 출력에서 계산하면 \(g(Tx)=2\cdot2+3=7\)입니다. 입력에서 계산하면 \((T'g)(x)=2\cdot1+1\cdot2+3\cdot1+5\cdot0=7\)입니다.

그림 25 전치사상은 출력벡터를 입력벡터로 돌려보내는 역함수가 아닙니다. 출력의 평가 규칙을 입력에 적용 가능한 평가 규칙으로 바꿉니다. 두 경로의 최종 숫자는 같습니다.

앞의 \(g\)는 \((2,1,0)\)으로 표현했습니다. \((1,0,1)\)이라는 출력 평가도 같은 생산활동별 가격을 만듭니다.

\[ L+S=L+(L+M)=2L+M \]

이기 때문입니다. 두 출력 범함수는 \(\mathbb R^3\) 전체에서는 다르지만, 실제 가능한 출력 평면에서는 같습니다. 그 차이 \(w=(-1,-1,1)\)이 주는 평가는

\[ w^\top b=-L-M+S \]

이며 모든 가능한 출력에서 0입니다. 이것이 \(\ker T'\)의 구체적인 원소입니다.

3. 불가능한 기록에는 모순을 보여 주는 평가가 있다

\(Ax=b\)를 풀려고 하는데 \(b=(6,4,11)\)이라고 합시다. 소거법을 끝까지 하지 않아도

\[ w=(-1,-1,1)^\top,\qquad A^\top w=0 \]

인 벡터를 이용할 수 있습니다. 각 성분을 확인하면

\[\begin{split} A^\top w= \begin{pmatrix} -1+1\\-1+1\\-1-1+2\\-2-1+3 \end{pmatrix} =0. \end{split}\]

따라서 어떤 입력을 넣어도

\[ w^\top Ax=(A^\top w)^\top x=0 \]

입니다. 그런데 요구한 출력에서는

\[ w^\top b=-6-4+11=1. \]

해가 있다면 같은 값이 0이면서 1이어야 합니다. 모순이므로 해가 없습니다. 이 \(w\)는 불가능성을 확인하는 짧은 증거입니다.

\(b=(6,4,10)\)이면 이 검사는 0을 줍니다. 이번 모형에서는 이 조건 하나가 충분합니다. \(x=(6,4,0,0)\)를 넣어 직접 해를 구성할 수 있기 때문입니다. 일반적인 행렬에서도 출력을 모두 소멸시키는 범함수들이 요구한 \(b\)를 모두 소멸시키면 해가 존재한다는 사실이 성립합니다. 단, 모든 범함수를 검사한다는 양화 조건을 빼면 안 됩니다. 마지막 절에서 분리 보조정리로 충분성을 증명합니다.

4. 입력에서 필요한 평가가 출력만으로 계산될 조건

이번에는 생산량을 정확히 몰라도 어떤 비용 \(f_c(x)=c^\top x\)를 계산하고 싶다고 합시다. 출력만으로 계산할 수 있으려면 같은 출력을 주는 모든 입력에서 비용도 같아야 합니다.

B3의 핵은

\[ h_1=(-1,-1,1,0),\qquad h_2=(-2,-1,0,1) \]

로 생성됩니다. 따라서 필요조건은

\[ c^\top h_1=-c_1-c_2+c_3=0,\qquad c^\top h_2=-2c_1-c_2+c_4=0. \]

즉,

\[ c_3=c_1+c_2,\qquad c_4=2c_1+c_2. \]

이 조건이면 실제로

\[\begin{split} \begin{aligned} c^\top x &=c_1x_1+c_2x_2+(c_1+c_2)x_3+(2c_1+c_2)x_4\\ &=c_1(x_1+x_3+2x_4)+c_2(x_2+x_3+x_4)\\ &=c_1L+c_2M. \end{aligned} \end{split}\]

따라서 충분하기도 합니다. 출력 평가의 계수를 \((c_1,c_2,0)\)으로 고르면 \(A^\top(c_1,c_2,0)^\top=c\)입니다.

반면 활동 3의 생산량 하나만 읽는 \(c=(0,0,1,0)\)은 \(c^\top h_1=1\)이어서 출력만으로 계산할 수 없습니다. 해에 \(t h_1\)을 더하면 출력은 그대로지만 활동 3의 양은 \(t\)만큼 달라집니다.

여기서 두 질문을 구별하세요. 하나는 어떤 \(b\)가 실제 출력이 될 수 있는지입니다. 다른 하나는 어떤 입력 평가 \(c\)를 출력만으로 계산할 수 있는지입니다. 전자는 \(\ker T'\), 후자는 \(\operatorname{im}T'\)와 연결됩니다.

5. 네 부분공간은 두 공간이 아니라 네 자리에 놓인다

우리 행렬 \(A\)의 열은

\[ a_1=(1,0,1),\quad a_2=(0,1,1),\quad a_3=a_1+a_2,\quad a_4=2a_1+a_2 \]

입니다. 첫 두 열은 첫 두 성분을 비교하면 독립이므로 상의 차원은 2입니다. 핵 차원은 \(4-2=2\)입니다.

전치의 핵은 \(A^\top(\alpha,\beta,\gamma)^\top=0\)에서 구할 수 있습니다. 첫째·둘째 성분이 \(\alpha+\gamma=0\), \(\beta+\gamma=0\)이므로

\[ (\alpha,\beta,\gamma)=\gamma(-1,-1,1). \]

나머지 두 식은 이 조건에서 자동으로 0입니다. 따라서 전치의 핵 차원은 1입니다. 전치의 정의역은 3차원인 출력 쌍대공간이므로 상 차원은 \(3-1=2\)입니다.

공간	어디의 원소인가?	이번 예의 의미	차원
\(\ker T\)	입력 공간 \(V=\mathbb R^4\)	기록에 보이지 않는 생산량 변화	2
\(\operatorname{im}T\)	출력 공간 \(W=\mathbb R^3\)	가능한 자원·점수 기록	2
\(\ker T'\)	출력 쌍대 \(W^*\)	모든 가능한 기록에서 0인 평가	1
\(\operatorname{im}T'\)	입력 쌍대 \(V^*\)	출력만으로 계산할 수 있는 입력 평가	2

그림 26 상태를 보내는 \(T\)와 평가를 보내는 \(T'\)의 방향이 반대입니다. 핵·상 사이의 관계는 소멸자 관계이며, 이 단계에서는 내적이나 직각을 정의하지 않았습니다.

행렬의 행들은 원래 입력 공간의 범함수입니다. 행을 전치하여 열로 표시하면 \(A^\top\)의 열들이 됩니다. 따라서 행들이 생성하는 공간의 차원은 \(\operatorname{rank}T'\)입니다. 다음 증명에서 이것이 \(\operatorname{rank}T\)와 같음을 보이므로 행계수와 열계수가 같습니다.

6. 회귀계수 전체는 몰라도 일부 결합은 알 수 있다

설명변수 \(t=0,1,2\)에서 반응을 관측하고, 잡음 없는 교육용 선형모형을

\[ y(t)=\beta_0+\beta_1t+\beta_2(1+t) \]

로 적읍시다. \(t\)는 무차원이며 각 항은 반응과 같은 단위입니다. 세 계수를 사용했지만 세 번째 설명변수 \(1+t\)는 앞의 두 설명변수의 합입니다.

\[\begin{split} X=\begin{pmatrix} 1&0&1\\ 1&1&2\\ 1&2&3 \end{pmatrix},\qquad X\beta=y. \end{split}\]

반응이 \(y=(2,5,8)\)이면 모형식을 묶어서

\[ y(t)=(\beta_0+\beta_2)+(\beta_1+\beta_2)t \]

로 씁니다. \(t=0\)에서 \(\beta_0+\beta_2=2\), \(t=1\)과 \(t=0\)의 차이에서 \(\beta_1+\beta_2=3\)입니다. 따라서 모든 계수 해는

\[ \beta=(2-s,3-s,s),\qquad s\in\mathbb R. \]

각 계수는 유일하지 않습니다. 그러나 두 결합

\[ \alpha=\beta_0+\beta_2,\qquad \gamma=\beta_1+\beta_2 \]

는 각각 2,3으로 유일합니다. 이들은 관측의 선형결합으로 표현됩니다.

\[ \alpha=y(0),\qquad \gamma=y(1)-y(0). \]

첫 결합의 입력 계수는 \((1,0,1)\)이고 \(X^\top(1,0,0)^\top=(1,0,1)^\top\)입니다. 둘째 결합은 \((0,1,1)\)이고

\[ X^\top(-1,1,0)^\top=(0,1,1)^\top \]

입니다. 둘 다 전치의 상에 들어 있습니다.

반면 \(\beta_2\)만 읽는 계수 \((0,0,1)\)은 핵 방향 \((-1,-1,1)\)에 값 1을 주므로 전치의 상에 없습니다. 관측으로 이 계수 하나만 분리할 수 없습니다.

그림 27 왼쪽에서는 계수들이 변하지만 오른쪽의 예측은 같습니다. 관측으로 구별되는 것은 각 계수 자체가 아니라 \(\beta_0+\beta_2\)와 \(\beta_1+\beta_2\)입니다.

잡음이 있는 모형에서 \(E[y]=X\beta\)라고 가정한다면 \(X^\top w=c\)일 때 \(E[w^\top y]=c^\top\beta\)도 성립합니다. 이는 기대값의 선형성에서 나오지만, 분산이 최소인지나 인과적으로 해석할 수 있는지는 다른 가정과 증명이 필요합니다. 이 단원은 정확한 선형 식별 구조를 다룹니다.

7. 두 계산을 합성하면 전치의 순서는 왜 반대인가?

\(T:V\to W\), \(S:W\to Z\)를 순서대로 적용하고 최종 출력의 범함수 \(h\in Z^*\)를 평가합시다.

\[ h(S(Tx)) \]

라는 한 숫자가 나옵니다. 먼저 \(h\)를 \(W\) 위의 평가로 옮기면 \(S'h=h\circ S\)입니다. 이것을 다시 \(V\)로 옮기면 \(T'(S'h)=(h\circ S)\circ T\)입니다. 따라서

\[ (ST)'=T'S'. \]

이것은 행렬 전치 공식을 외운 결과가 아니라 입력에서 실제 평가되는 숫자를 비교한 결과입니다.

행렬 예를 하나 확인하겠습니다.

\[\begin{split} A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}. \end{split}\]

입력에 \(A\) 다음 \(B\)를 적용하면

\[\begin{split} BA=\begin{pmatrix}1&2\\3&7\end{pmatrix}, \qquad (BA)^\top=\begin{pmatrix}1&3\\2&7\end{pmatrix}. \end{split}\]

한편

\[\begin{split} A^\top B^\top =\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&3\\2&7\end{pmatrix} \end{split}\]

로 일치합니다. 순서를 바꾸지 않은 \(B^\top A^\top\)는 \(\begin{pmatrix}7&3\\2&1\end{pmatrix}\)이어서 다릅니다.

8. 전치와 수반, 등식과 비음수 제약을 구별하기

전치는 범함수의 합성으로 정의되었으므로 내적이 필요하지 않습니다. 반면 수반은 내적을 지정한 뒤

\[ \langle Tx,y\rangle_W=\langle x,T^*y\rangle_V \]

를 만족하는 사상입니다. 실제 차이를 2차원 예로 확인해 봅시다. \(T(x_1,x_2)=x_1+x_2\)이고 입력 내적을

\[ \langle x,z\rangle_V=2x_1z_1+x_2z_2 \]

로, 출력 내적은 통상적인 실수 곱으로 정합니다. 이때 \(T^*y=(y/2,y)\)이면

\[ \langle x,T^*y\rangle_V =2x_1(y/2)+x_2y=(x_1+x_2)y =\langle Tx,y\rangle_W. \]

수반의 열은 \((1/2,1)\)입니다. 그러나 표준 쌍대기저에서 전치행렬은 \((1,1)^\top\)입니다. 서로 다른 공간과 추가 구조를 사용한 계산입니다. 일반 수반 이론은 H2에서 증명합니다.

또한 \(Ax=b\)의 실수 해 존재와 \(x\ge0\)까지 만족하는 해 존재는 다릅니다. \(A=(1,1)^\top\), \(b=(-1,-1)^\top\)이면 실수 해 \(x=-1\)이 있지만 비음수 해는 없습니다. \(w=(1,0)^\top\)를 고르면

\[ A^\top w=1\ge0,\qquad w^\top b=-1<0. \]

\(x\ge0\)인 해가 있다면 \(w^\top b=(A^\top w)x\ge0\)이어야 하므로 모순입니다. 이런 부호를 이용한 증거는 등식의 전치핵 증거와 다릅니다. 이 계산은 증거의 충분성을 보여 주지만, 모든 비음수 해 부재에 이런 증거가 존재한다는 Farkas 정리 전체를 증명한 것은 아닙니다. 그 방향은 최적화 단원에서 다룹니다.

9. 계산 확인과 전체 풀이

from sympy import Matrix, symbols, zeros
A=Matrix([[1,0,1,2],[0,1,1,1],[1,1,2,3]])
w=Matrix([-1,-1,1])
assert A.T*w==zeros(4,1)
assert (w.T*Matrix([6,4,11]))[0]==1
assert A.T*Matrix([2,1,0])==Matrix([2,1,3,5])
assert A.rank()==A.T.rank()==2
X=Matrix([[1,0,1],[1,1,2],[1,2,3]])
s=symbols("s")
assert X*Matrix([2-s,3-s,s])==Matrix([2,5,8])
assert X.T*Matrix([1,0,0])==Matrix([1,0,1])
assert X.T*Matrix([-1,1,0])==Matrix([0,1,1])
assert X*Matrix([-1,-1,1])==zeros(3,1)
print("전치, 가해성 증거, 회귀계수 결합 검산 통과")

전치, 가해성 증거, 회귀계수 결합 검산 통과

문제 1 · 불가능성 증거

\(b=(3,7,9)\)가 생산 모형의 출력이 될 수 있는지 판정하세요.

풀이. \(w^\top b=-3-7+9=-1\)입니다. 모든 실제 출력에서는 \(w^\top Ax=0\)이므로 해가 없습니다. \((3,7,10)\)이라면 \(x=(3,7,0,0)\)이 해입니다.

문제 2 · 출력에서 계산 가능한 비용

\(c=(1,2,3,4)\)와 \(d=(1,2,3,5)\) 중 어느 것이 출력만으로 계산 가능한가요?

풀이. \(c\)는 \(c_3=c_1+c_2=3\), \(c_4=2c_1+c_2=4\)를 만족하므로 \(c^\top x=L+2M\)입니다. \(d\)는 둘째 조건을 어기며 \(d^\top h_2=-2-2+5=1\)입니다. 따라서 같은 출력을 유지하면서 \(d\)의 값을 바꿀 수 있습니다.

문제 3 · 관측 평균의 식별

6절의 모형에서 \(\beta_0+\beta_1+2\beta_2\)가 유일한지, 관측값으로 어떻게 계산하는지 쓰세요.

풀이. 이 결합은 \(\alpha+\gamma\)이므로 \(2+3=5\)입니다. 직접 \(s\)를 대입하면 \((2-s)+(3-s)+2s=5\)입니다. \(t=1\)에서 \(y(1)=\beta_0+\beta_1+2\beta_2\)이므로 두 번째 관측 하나로 계산합니다. 입력 계수 \((1,1,2)\)는 \(X^\top(0,1,0)^\top\)입니다.

문제 4 · 행계수와 열계수

\(C=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\end{pmatrix}\)의 네 공간 차원을 구하세요.

풀이. 둘째 행이 첫째 행의 두 배이므로 행계수는 1입니다. 열들은 \((1,2)\)의 1,2,3배이므로 열계수도 1입니다. 입력 차원은 3이어서 \(\dim\ker C=2\), 출력 차원은 2이어서 \(\dim\ker C^\top=1\)입니다. 두 상의 차원은 각각 1입니다.

10. 지금까지의 내용을 수학의 언어로 정리해 봅시다

출력을 평가하는 규칙을 입력으로 옮기면서 확인한 사실들을 정리합니다. 일반 정리는 같은 체 \(F\) 위의 유한차원 공간 \(V,W\)를 대상으로 합니다. 이번 증명에서는 행계수=열계수를 미리 가정하지 않습니다.

10.1 전치사상의 정의와 성질

정의 13 (전치사상)

선형사상 \(T:V\to W\)의 전치사상은 \(T':W^*\to V^*\), \(T'(g)=g\circ T\)입니다.

\(g\circ T\)가 선형인 이유는 \(g(T(ax+by))=g(aTx+bTy)=ag(Tx)+bg(Ty)\)입니다. 또한 범함수 입력에 대해 \(T'(ag+bh)(x)=a g(Tx)+b h(Tx)\)이므로 \(T'\) 자체도 선형입니다.

정리 36 (합·배수·합성의 전치)

크기가 맞는 선형사상들에 대해 \((S+T)'=S'+T'\), \((aT)'=aT'\), \((UT)'=T'U'\)입니다.

증명. 모든 범함수 \(g\)와 입력 \(x\)에서 \([(S+T)'g](x)=g(Sx+Tx)=g(Sx)+g(Tx)\)이므로 첫 식입니다. \([(aT)'g](x)=g(aTx)=a g(Tx)\)이므로 둘째 식입니다. \(h\)가 \(U\)의 출력공간의 범함수이면

\[ [(UT)'h](x)=h(U(Tx))=[U'h](Tx)=[T'(U'h)](x) \]

이므로 셋째 식입니다. 임의의 범함수와 입력에서 값이 같아 사상 자체가 같습니다. \(\square\)

10.2 왜 쌍대기저에서 전치행렬인가?

입력 기저를 \((v_j)\), 출력 기저를 \((w_i)\), 대응하는 쌍대기저를 \((\varphi_j),(\psi_i)\)라고 합시다. \(Tv_j=\sum_i a_{ij}w_i\)이면

\[ (T'\psi_i)(v_j)=\psi_i(Tv_j) =\sum_k a_{kj}\psi_i(w_k) =\sum_k a_{kj}\delta_{ik}=a_{ij}. \]

A2의 범함수 표현에 의해

\[ T'\psi_i=\sum_j a_{ij}\varphi_j. \]

따라서 \(T'\) 행렬의 \(i\)번째 열, \(j\)번째 성분이 \(a_{ij}\)이며 원래 행렬의 행·열 위치가 바뀝니다. 이것이 \([T']=[T]^\top\)의 증명입니다. 쌍대공간에 임의의 다른 기저를 사용하면 추가 기저변환이 필요합니다.

10.3 전치핵과 전치상의 소멸자 표현

정리 37 (네 부분공간의 관계)

\(\ker T'=(\operatorname{im}T)^0\)이고 \(\operatorname{im}T'=(\ker T)^0\)입니다.

증명. \(g\in\ker T'\)라는 말은 \(T'g=0\), 즉 모든 \(v\)에서 \(g(Tv)=0\)이라는 뜻입니다. 이는 상의 모든 원소를 \(g\)가 소멸시킨다는 조건과 같으므로 첫 등식입니다.

둘째 등식의 한쪽 포함부터 보겠습니다. \(f=T'g\)이고 \(v\in\ker T\)이면 \(f(v)=g(Tv)=g(0)=0\)입니다. 따라서 \(\operatorname{im}T'\subseteq(\ker T)^0\)입니다.

역으로 \(f\in(\ker T)^0\)라고 합시다. 우선 상 위에서

\[ g_0(Tv)=f(v) \]

로 정의합니다. 같은 출력 \(Tv=Tu\)를 다른 입력으로 나타내면 \(v-u\in\ker T\)이므로 \(f(v)-f(u)=f(v-u)=0\)입니다. 따라서 잘 정의됩니다. 또한

\[ g_0(aTv+bTu)=g_0(T(av+bu)) =f(av+bu)=a f(v)+b f(u) \]

이므로 상 위의 선형범함수입니다.

이제 \(\operatorname{im}T\)의 기저를 \(W\)의 기저로 확장합니다. 원래 기저에서는 \(g_0\)의 값을 사용하고, 추가 기저에서는 0을 지정하여 A1의 확장 정리로 \(W\) 전체의 범함수 \(g\)를 얻습니다. 모든 \(v\)에서 \(g(Tv)=g_0(Tv)=f(v)\)이므로 \(T'g=f\)입니다. 역포함이 증명되었습니다. \(\square\)

이 증명은 행계수와 열계수의 같음을 먼저 사용하지 않았습니다. 따라서 다음 차원 증명이 순환논증이 되지 않습니다.

10.4 행계수와 열계수

정리 38 (전치는 계수를 보존한다)

\(\operatorname{rank}T'=\operatorname{rank}T\)입니다. 따라서 모든 유한 행렬의 행계수와 열계수는 같습니다.

증명. 앞 정리와 A2의 소멸자 차원 공식, B3의 차원정리를 차례로 적용하면

\[\begin{split} \begin{aligned} \operatorname{rank}T' &=\dim(\ker T)^0\\ &=\dim V-\dim\ker T\\ &=\operatorname{rank}T. \end{aligned} \end{split}\]

표현행렬의 열공간 차원은 상의 차원이고, 전치행렬의 열들은 원래 행렬의 행을 열로 기록한 것입니다. 따라서 행계수=열계수가 따라옵니다. \(\square\)

이 결과로 \(T\)가 단사일 조건은 \(\operatorname{rank}T=\dim V\)이며 이는 \(\operatorname{rank}T'=\dim V^*\), 즉 \(T'\)의 전사성과 같습니다. \(T\)가 전사일 조건은 \(\operatorname{im}T=W\)이며, 그 소멸자가 \(\{0\}\)인 조건과 같아 \(T'\)의 단사성과 동치입니다. 후자의 역은 소멸자 차원 공식에서 바로 확인됩니다.

10.5 유한차원 선형 가해성의 대안

정리 39 (등식 가해성의 판정)

\(T:V\to W\)와 \(b\in W\)에 대해 다음은 동치입니다.

1. \(Tx=b\)인 \(x\)가 존재합니다.

2. 모든 \(g\in\ker T'\)에 대해 \(g(b)=0\)입니다.

해가 없으면 \(T'g=0\), \(g(b)=1\)인 \(g\)가 존재합니다.

증명. \(b=Tx\)이고 \(T'g=0\)이면 \(g(b)=g(Tx)=(T'g)(x)=0\)이므로 필요조건입니다.

해가 없으면 \(b\notin\operatorname{im}T\)입니다. A2의 분리 보조정리를 \(U=\operatorname{im}T\)에 적용하면 \(U\)를 소멸시키고 \(b\)에 값 1을 주는 \(g\)가 존재합니다. 첫 관계에 의해 \(g\in\ker T'\)입니다. 따라서 조건 2가 실패합니다. 그 대우로 조건 2가 성립하면 해가 존재합니다. \(\square\)

첫 경우와 이런 증거가 있는 경우는 동시에 성립할 수 없습니다. \(b=Tx\)이면 \(g(b)=0\)이어야 해서 \(g(b)=1\)과 모순입니다. 복소수에서도 같은 대수적 명제가 성립하며, 이 증명에는 켤레나 양수·음수의 순서가 필요하지 않습니다.

10.6 관측으로 결정되는 선형결합

정리 40 (입력 평가의 관측 가능성)

\(f\in V^*\)에 대해 다음 세 조건은 동치입니다.

1. \(Tu=Tv\)이면 \(f(u)=f(v)\)입니다.

2. \(f\in(\ker T)^0\)입니다.

3. 어떤 \(g\in W^*\)에 대해 \(f=T'g\)입니다.

증명. 조건 1에서 \(u\in\ker T\), \(v=0\)을 넣으면 \(f(u)=f(0)=0\)이므로 조건 2입니다. 조건 2에서 \(Tu=Tv\)이면 \(u-v\in\ker T\)이고 \(f(u)-f(v)=f(u-v)=0\)이므로 조건 1입니다. 조건 2와 3의 동치는 전치상의 소멸자 표현입니다. \(\square\)

출력 평가 \(g\)가 유일할 필요는 없습니다. 두 선택의 차이는 \(T'\)의 핵에 들어 있습니다. 반대로 \(T'g=T'h\)이면 \(g-h\in\ker T'\)이므로 모든 실제 출력에서 두 평가가 같습니다. 2절의 \((2,1,0)\)과 \((1,0,1)\)이 바로 이 경우입니다.

실제 질문	확인할 수학적 조건
이 기록이 실제 출력일 수 있는가?	\(b\in\operatorname{im}T\)
불가능함을 한 계산으로 보일 수 있는가?	\(T'g=0\), \(g(b)\ne0\)
입력 전체 없이 이 비용만 알 수 있는가?	\(f\in\operatorname{im}T'\)
같은 출력을 만드는 입력 변화는 무엇인가?	\(\ker T\)
출력 평가의 중복은 무엇인가?	\(\ker T'\)

전치사상은 출력의 제약과 입력에서 관측 가능한 결합을 연결합니다. 다음 장에서는 한 사상을 반복 적용할 때 유지되는 부분공간과 다항식 관계를 살펴봅니다. A4로 이어 읽기.