C7 · 반복 계산을 끝없이 새로 해야 할까?#
행렬을 열 번, 백 번 곱할 때마다 새로운 연산자가 생기는 것처럼 보입니다. 그러나 \(n\)차원 상태의 선형 갱신은 유한 개의 거듭제곱 사이에 반드시 관계를 갖습니다. A6에서는 최소다항식으로 그 관계를 찾았고, C5에서는 특성다항식을 행렬식으로 정의했습니다. 이번에는 특성다항식 자체가 그 관계를 준다는 사실을 증명하겠습니다.
한 명제를 세 번 증명하는 목적은 분량을 늘리는 것이 아닙니다. 첫 증명은 불변부분공간을 사용하고, 둘째는 다항식 계수를 비교하며, 셋째는 복소수 행렬의 작은 변화를 이용합니다. 각 방법이 무엇을 가정하는지, 왜 ‘그냥 행렬을 대입하면 된다’는 주장은 증명이 아닌지 확인하겠습니다.
1. 충격 이후의 두 상태를 기록하기#
두 상태 \(a_k,b_k\)는 균형에서 벗어난 무차원 편차입니다. \(k\)는 한 기간을 단위로 센 정수 시점입니다. 선형화된 교육용 갱신식
을 사용하겠습니다. 수준이 아니라 편차이므로 성분은 음수여도 됩니다. 외부 충격은 초기값에만 넣고 이후에는 새로운 충격이 없다고 가정합니다.
\(A=\frac12I+N\), \(N=\left[\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}\right]\)이고 \(N^2=0\)입니다. 따라서 C2의 이항 전개로
하지만 이 식을 모른다고 해도 \(A^2\)를 한 번 계산하면 다음 관계를 얻습니다.
이 등식에 \(A^k\)를 곱하면
\(x_0=(0,1)^{\mathsf T}\)라면 \(x_1=(1,1/2)^{\mathsf T}\)이고
두 상태를 동시에 갱신하지 않고 첫 성분만 관측하더라도 \(a_{k+2}=a_{k+1}-a_k/4\)입니다. 동일한 선형관계를 고정 관측이 보존하기 때문입니다. 이 관계가 장기 안정성을 단독으로 보장하는 것은 아닙니다. 계수가 달라지면 해가 증가할 수도 있습니다.
그림 55 점들이 정수 시점의 실제 값입니다. 연결선은 읽기를 돕는 표시이며 연속시간 해가 아닙니다. 첫 성분은 \(k2^{-(k-1)}\)이고 둘째는 \(2^{-k}\)입니다.#
2. 특성다항식을 계산한 뒤 행렬 다항식으로 읽기#
C5의 정의를 사용하면
이제 \(c_A(A)\)라는 표기는
를 뜻합니다. 숫자 \(\frac14\) 대신 \(\frac14I\)를 쓰는 이유는 세 항이 모두 같은 크기의 행렬이어야 더할 수 있기 때문입니다. 1절에서 확인한 관계는 정확히 \(c_A(A)=0\)입니다.
일반 \(n\times n\) 행렬에서
라면 \(c_A(A)=A^n+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots+c_1A+c_0I\)입니다. 결과는 스칼라가 아니라 \(n\times n\) 행렬입니다. Cayley–Hamilton 정리는 이 행렬이 0이라고 주장합니다.
3. 왜 ‘행렬식 안에 A를 넣으면 0’은 증명이 아닌가?#
\(\det(zI-A)\)를 만들 때 \(z\)는 각 행렬 성분과 같은 종류의 스칼라입니다. \(z=A\)라고 적으면 대각 위치의 \(z-a_{ii}\)는 이제 행렬과 스칼라의 차가 됩니다. 모든 스칼라를 \(a_{ij}I\)로 올려 해석한다면 \(n\times n\) 블록행렬이 생기며, 이것은 \(A-A\)라는 하나의 행렬이 아닙니다.
더 중요한 문제는 행렬 계수 다항식에 대한 대입이 항상 곱을 보존하지 않는다는 점입니다.
를 봅시다. 형식적 변수 \(z\)는 계수와 가환하므로 다항식에서 \(zB=Bz\)입니다. 계수를 왼쪽에 두고 \(z^j\)를 \(A^j\)로 바꾸는 평가를 \(E_A\)라 하면
그런데 인수를 먼저 평가하고 곱하면
두 결과가 다릅니다. 따라서 다항식 항등식에서 모든 \(z\)를 \(A\)로 바꾸고 곱도 그대로 보존된다고 주장할 수 없습니다. 둘째 증명에서는 실제 계수가 \(A\)의 다항식임을 먼저 확인합니다.
코드에서도 곱 기호를 확인해야 합니다. NumPy의 성분별 곱과 행렬곱은 다릅니다. \(A=\left[\begin{smallmatrix}1&2\\3&4\end{smallmatrix}\right]\)에서 \(A\)와 \(I\)의 성분별 곱에서 \(A\)를 빼면 \(\left[\begin{smallmatrix}0&-2\\-3&0\end{smallmatrix}\right]\)이고 행렬식은 \(-6\)이지 0이 아닙니다. 반대로 행렬곱으로 \(AI-A=0\)을 확인해도 그것이 \(c_A(A)\)의 평가를 구현한 것은 아닙니다.
4. 첫 방법: 삼각행렬은 부분공간을 차례로 줄인다#
먼저 상삼각행렬 \(T\)의 대각 성분이 \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\)이라고 합시다. \(V_j=\operatorname{span}(e_1,\ldots,e_j)\)라 두면 상삼각이라는 조건은 \(T(V_j)\subseteq V_j\)를 뜻합니다.
\(x=\sum_{i=1}^j x_ie_i\)에 대해 \((T-\lambda_jI)x\)의 \(e_j\) 성분은 \(\lambda_jx_j-\lambda_jx_j=0\)입니다. \(j\)보다 큰 성분도 원래 0입니다. 따라서
이제 \(v\in V_n\)에 오른쪽부터 \((T-\lambda_nI)\), 그다음 \((T-\lambda_{n-1}I)\)를 적용하면 \(V_{n-1},V_{n-2}\)로 차례로 들어갑니다. 마지막에는 \(V_0=\{0\}\)입니다.
C5에서 상삼각행렬의 특성다항식이 \(\prod_j(z-\lambda_j)\)임을 증명했으므로 이것이 \(c_T(T)=0\)입니다. 고윳값이 서로 달라야 한다는 가정은 쓰지 않았습니다.
\(A=STS^{-1}\)이면 \(A^k=ST^kS^{-1}\)이고 \(c_A=c_T\)이므로 \(c_A(A)=Sc_T(T)S^{-1}=0\)입니다. A6의 삼각화 정리는 최소다항식이 그 체에서 일차인수로 분해될 때 적용됩니다. 복소수에서는 가능하지만 임의의 체에서 곧바로 그렇다고 말할 수 없습니다. 일반 체로의 확대는 마지막 절에서 따로 완성하겠습니다.
5. 둘째 방법을 작은 행렬에서 먼저 보기#
를 사용하면
이고
여인수 항등식은
왼쪽을 전개하면
상수항을 비교하여 \(-A^2+5A=-2I\), 즉 \(A^2-5A-2I=0\)을 얻습니다. 이 과정에서는 행렬식 안에 행렬을 대입하지 않았습니다. 스칼라 변수에 대한 다항식의 계수를 비교했을 뿐입니다.
손으로 검산하면 \(A^2=\left[\begin{smallmatrix}7&10\\15&22\end{smallmatrix}\right]\)이고 \(5A+2I\)도 같은 행렬입니다. 일반 차원에서는 여인수 행렬의 계수를 높은 차수부터 차례로 읽으면 동일한 소거가 일어납니다.
6. 셋째 방법: 서로 다른 고윳값으로 접근하기#
복소수 행렬에서 \(T=\left[\begin{smallmatrix}2&1\\0&2\end{smallmatrix}\right]\)는 대각화되지 않지만
는 \(\varepsilon\ne0\)이면 고윳값이 서로 달라 대각화됩니다. 실제 고유벡터를 열로 두면
\(\varepsilon\to0\)이면 \(T_\varepsilon\to T\)입니다. 대각화 가능한 각 행렬에서 \(c_{T_\varepsilon}(T_\varepsilon)=0\)을 알고 있고, 이 표현이 행렬 성분의 다항식이라 연속이므로 극한에서도 0입니다.
그렇다고 대각화 계산이 안정적이라는 뜻은 아닙니다. 역행렬은
이어서 작은 \(\varepsilon\)에서 큰 성분이 나타납니다. 존재와 수치적 안정성은 다른 질문입니다.
그림 56 왼쪽은 간격 \(|\varepsilon|\), 오른쪽은 \(1/|\varepsilon|\)입니다. 두 고윳값이 구별되는 행렬이 아무리 가까이 있어도, 그 고유벡터 좌표변환을 균일하게 잘 계산할 수 있다는 결론은 나오지 않습니다.#
여기서 연속성은 각 성분의 보통 실수·복소수 극한입니다. 유한 개 성분의 합과 곱의 연속성을 출발 전제로 쓰며 H0의 아직 증명하지 않은 일반 노름 동치 정리를 순환 인용하지 않습니다.
7. 거듭제곱·역행렬·관측의 재귀를 얻기#
5절의 \(A\)에서는 \(A^2=5A+2I\)입니다. 따라서
행렬을 매번 처음부터 곱하는 대신 두 스칼라 계수를 갱신할 수 있습니다. \(A^k=\alpha_kA+\beta_kI\)라면
또한 \(A(A-5I)=2I\)이므로
이는 역행렬을 다항식으로 표현할 수 있다는 결과입니다. 큰 행렬에서 이 식으로 계산하는 것이 선형계 풀이보다 더 정확하다고 보장하지 않습니다.
일반 상태식 \(x_{k+1}=Ax_k+Bu_k\), 출력 \(y_k=Cx_k\)를 생각합시다. \(A\)는 \(n\times n\), \(B\)는 \(n\times r\), \(C\)는 \(s\times n\)입니다. 한 번의 입력이 이후 출력에 주는 계수는 \(H_k=CA^kB\)입니다. \(c_A(A)=0\)에 왼쪽 \(CA^k\), 오른쪽 \(B\)를 곱하면
각 출력·입력 쌍의 반응에 같은 스칼라 재귀가 적용됩니다. 차수는 최소다항식으로 더 줄일 수 있고, 관측되지 않는 성분 때문에 더 줄어들 수도 있습니다.
다만 재귀 차수와 최소 상태 차원을 같다고 할 수는 없습니다. \(A=\lambda I_2\), \(B=C=I_2\)이면 최소다항식 차수는 1이고 \(H_k=\lambda^kI_2\)입니다. 그러나 \(H_0=I_2\)의 계수가 2이므로 1차원 상태로는 \(H_0=\widetilde C\widetilde B\)를 만들 수 없습니다. 오른쪽의 계수는 최대 1이기 때문입니다.
유한 블록 Hankel 행렬도
로 인수분해되므로 계수가 \(n\) 이하입니다. 각 블록에서 \(CA^iA^jB=CA^{i+j}B\)임을 확인하면 됩니다. 계수와 최소실현의 완전한 동치 이론까지 여기서 이미 증명한 것은 아닙니다.
8. 예쁜 항등식과 좋은 계산법은 다를 수 있다#
\((z-1)^{12}\)를 \(z=1.01\)에서 계산한다고 합시다. 인수 형태의 참값은 \(0.01^{12}=10^{-24}\)입니다. 전개형에는
처럼 큰 양·음 항들이 섞입니다. 각 항에 작은 반올림오차가 생기면, 매우 작은 최종값에 비해 그 오차가 커질 수 있습니다.
Cayley–Hamilton에서도 \(A^n\)과 여러 \(c_jA^j\)를 더해 정확히 0을 얻는 등식이 유한정밀도에서는 작은 잔차만 남긴다는 보장이 없습니다. 반대로 잔차가 작다고 원하는 다른 계산이 정확하다는 보장도 없습니다. 정리의 참·거짓과 구현의 정확도를 구분해야 합니다.
그림 57 표시 대상은 행렬 자체가 아니라 상쇄를 분리해 보여 주는 스칼라 다항식 \((z-1)^{12}\)입니다. 기준값은 실제 이진 부동소수점 입력을 고정밀도로 옮겨 계산합니다. 0 오차는 로그 그림에서 제외합니다.#
9. 정확산술로 확인하는 코드#
Horner 평가는 다항식 계수를 높은 차수부터 읽으며 \(R\leftarrow AR+cI\)를 반복합니다. 각 단계의 차원을 유지하므로 행렬식에 잘못 대입하는 연산과 구별됩니다.
import sympy as s
def evaluate_matrix(coefficients,A):
A=s.Matrix(A)
R=s.zeros(A.rows)
for c in coefficients:
R=A*R+c*s.eye(A.rows)
return R
def faddeev(A):
A=s.Matrix(A); n=A.rows
B=s.eye(n); coefficients=[s.Integer(1)]
for k in range(1,n+1):
c=-s.trace(A*B)/k
coefficients.append(c)
B=A*B+c*s.eye(n)
return coefficients,B
A=s.Matrix([[1,2],[3,4]])
coeff=A.charpoly().all_coeffs()
assert coeff==[1,-5,-2]
assert evaluate_matrix(coeff,A)==s.zeros(2)
assert A.inv()==(A-5*s.eye(2))/2
for n in range(1,6):
T=s.Matrix(n,n,lambda i,j: (2*i+3*j+1)%7-3)
cs,B=faddeev(T)
assert cs==T.charpoly().all_coeffs()
assert B==s.zeros(n)
assert evaluate_matrix(cs,T)==s.zeros(n)
for p in [2,5]:
assert evaluate_matrix(cs,T).applyfunc(lambda x:int(x)%p)==s.zeros(n)
print("행렬 평가·특성다항식·계수 재귀·소수 표수 검산 통과")
행렬 평가·특성다항식·계수 재귀·소수 표수 검산 통과
코드의 Faddeev 계산은 유리수에서 \(k\)로 나눕니다. 소수 표수 \(p\)에서 \(k=p\)이면 그 나눗셈은 불가능합니다. 마지막 검사는 정수에서 얻은 항등식을 소수로 줄이는 것이며, 유한체에서 나눗셈 알고리즘을 그대로 실행한 것이 아닙니다.
10. 직접 써 보는 문제와 전체 풀이#
문제 1 · 세제곱 관계에서 다섯제곱 얻기#
\(c_A(z)=z^3-2z^2+z\)일 때 \(A^5\)를 줄이고 가역성을 판정하세요.
풀이. \(A^3=2A^2-A\)이므로 \(A^4=2A^3-A^2=3A^2-2A\)입니다. 다시 \(A^5=3A^3-2A^2=4A^2-3A\). 상수항은 \((-1)^3\det A=0\)이므로 가역이 아닙니다.
문제 2 · 최소다항식과 특성다항식은 같은가?#
\(A=\operatorname{diag}(2,2,5)\)에서 두 다항식을 구하세요.
풀이. \(c_A(z)=(z-2)^2(z-5)\)입니다. \(p(A)=\operatorname{diag}(p(2),p(2),p(5))\)이므로 소멸 조건은 \(p(2)=p(5)=0\). 두 일차인수가 서로소여서 \(m_A(z)=(z-2)(z-5)\)입니다. \(m_A\mid c_A\)이지만 차수는 2와 3으로 다릅니다.
문제 3 · 전부 관측하지 않으면?#
1절의 \(A\)에서 \(B=(1,0)^{\mathsf T}\), \(C=(1,0)\)일 때 \(H_k\)의 재귀를 구하세요.
풀이. \(A^kB=2^{-k}B\)이므로 \(H_k=2^{-k}\). 따라서 \(H_{k+1}=H_k/2\)라는 일차 재귀를 만족합니다. 행렬의 최소다항식은 이차지만 이 입력은 일반화 고유벡터 방향을 여기하지 않아 더 짧은 관계가 생깁니다.
문제 4 · 작은 섭동이 대각화의 균일한 계산을 보장하는가?#
6절에서 \(S_\varepsilon^{-1}(0,\delta)^{\mathsf T}\)를 구하세요.
풀이. 곱하면 \((-\delta/\varepsilon,\delta/\varepsilon)^{\mathsf T}\)입니다. \(\delta=10^{-8}\), \(\varepsilon=10^{-6}\)이면 좌표 변화는 \((-10^{-2},10^{-2})\)입니다. 고유벡터가 존재한다는 사실만으로 입력 오차가 그 좌표에서도 작게 유지되지는 않습니다.
문제 5 · 표수 2에서의 항등식#
\(\mathbb F_2\) 위에서 \(A=\left[\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\right]\)를 생각하세요.
풀이. \(c_A(z)=z^2-1=z^2+1=(z+1)^2\)이고 \(A^2=I\). 따라서 \(c_A(A)=I+I=0\)입니다. \(A\ne I\)이므로 \(m_A\ne z+1\)이고 \(m_A=(z+1)^2\)입니다. 두 근이 분리되지 않아도 정리는 성립합니다. \(1/2\)가 필요한 계수 알고리즘은 이 체에서 사용할 수 없습니다.
11. 지금까지의 내용을 수학의 언어로 정리해 봅시다#
앞에서는 유한 재귀를 직접 얻고 세 증명의 계산을 살펴보았습니다. 이제 같은 내용을 일반 체 위의 정리로 완성하겠습니다. 위상적 셋째 증명만 실수·복소수의 성분별 극한을 사용합니다.
11.1 첫 증명과 체 확대의 정당화#
삼각화는 A6의 정리 52, 서로소 다항식의 Bézout 항등식은 A4의 정리 43에서 확인할 수 있습니다. 아래에서는 삼각화에 필요한 체의 분해 조건도 마련합니다.
정리 65 (Cayley–Hamilton 정리)
체 \(F\) 위의 \(A\in M_n(F)\)에 대해 \(c_A(A)=0\)입니다.
첫 증명. 삼각화 가능한 경우는 4절에서 증명했습니다. 임의의 \(F\)에서는 다항식이 분해되는 체 \(K\)를 다음과 같이 만들 수 있습니다.
먼저 \(a\sim b\)를 \(p\mid(a-b)\)로 정의하고 동치류를 \([a]\)라 씁니다. 덧셈과 곱은 \([a]+[b]=[a+b]\), \([a][b]=[ab]\)입니다. 대표를 \(a+pu\), \(b+pv\)로 바꾸면 합의 차는 \(p(u+v)\), 곱의 차는 \(p(ub+av+puv)\)이므로 동치류가 바뀌지 않습니다. 따라서 이 연산들은 잘 정의됩니다. 상수 \(c\)가 0과 같은 류라면 양의 차수 다항식 \(p\)가 상수 \(c\)를 나누므로 \(c=0\)입니다.
기약다항식 \(p\in F[z]\)에 대해 \(F[z]/(p)\)의 0 아닌 원소 \([a]\)는 \(p\nmid a\)이므로 \(\gcd(a,p)=1\)입니다. A4의 Bézout 식 \(ua+vp=1\)을 잉여류로 보내면 \([u][a]=[1]\)입니다. 따라서 이 몫은 체이고 상수의 포함은 단사입니다. \([z]\)는 \(p\)의 근입니다. 주어진 다항식에서 아직 근이 없는 기약인수를 고르고 이 과정을 적용하면 적어도 일차인수 하나를 떼어 낼 수 있습니다. 남은 차수가 한 단계마다 줄어드므로 유한 번의 확대 뒤 모든 인수가 일차가 됩니다.
이 방법을 \(m_A\)에 적용해 \(K\)를 얻습니다. \(m_A(A)=0\)은 \(K\)에서도 성분이 그대로 0인 등식입니다. \(K\) 위 최소다항식은 이 다항식을 나누므로 분해됩니다. A6의 삼각화 정리를 적용하여 \(K\) 위에서 \(c_A(A)=0\)을 얻습니다. 행렬식의 성분 공식은 체를 바꾸어도 동일한 합과 곱이고 \(F\to K\)는 단사이므로, 원래 \(F\) 성분도 0입니다.
11.2 둘째 증명: 계수 비교와 가환성#
\(Q(z)=\operatorname{adj}(zI-A)\)라 쓰면 각 여인수의 차수는 최대 \(n-1\)이므로
C5의 여인수 증명은 유한 합과 곱, 부호 소거만 사용하므로 다항식환 \(F[z]\)에서도 성립합니다. 따라서
계수를 비교하면
첫 식에서 시작하여
를 얻고 귀납적으로
마지막 계수식 \(-AQ_0=c_0I\)에 넣으면 \(c_A(A)=0\)입니다. \(n=1\)에서도 \(Q_0=I\)와 마지막 식이 바로 결론을 줍니다.
또한 모든 \(Q_j\)가 \(A\)의 다항식이므로 \(A\)와 가환합니다. 이러한 계수들의 집합에서는
가 성립합니다. 중간의 \(A^i\)를 \(C_j\) 너머로 옮길 수 있기 때문입니다. 따라서 이 경우에만 평가가 곱을 보존한다는 방식의 설명도 정당합니다. 3절의 반례에서는 바로 이 가환성이 없었습니다.
이 증명은 나눗셈을 사용하지 않으므로 단위원이 있는 가환환의 행렬에도 그대로 적용됩니다. 이 사실을 첫 증명의 체 확대 논증과 혼동하지 않습니다.
11.3 셋째 증명: 복소수에서의 조밀성과 연속성#
대각행렬 \(D\)에서는 \(c_D(D)\)의 \(i\)번째 대각 성분이 \(\prod_j(\lambda_i-\lambda_j)=0\)이고 비대각 성분도 0입니다. 닮음변환으로 모든 대각화 가능한 행렬에서 정리가 성립합니다.
임의의 복소 \(A=STS^{-1}\)에 대해 \(T\)는 A6에 의해 상삼각으로 잡을 수 있습니다. \(T_\varepsilon=T+\varepsilon\operatorname{diag}(1,\ldots,n)\)라 두면 대각 성분은 \(\lambda_i+i\varepsilon\)입니다. 두 성분이 같은 경우는
뿐입니다. 유한 개 금지값을 피하면서 0으로 가는 실수 수열 \(\varepsilon_k\)를 고를 수 있습니다. 예를 들어 \(1/k\) 중 금지된 유한 개 항을 버리면 됩니다. 각 \(T_{\varepsilon_k}\)는 서로 다른 \(n\)개 고윳값을 가져 A6의 대각화 판정으로 대각화됩니다. \(A_k=ST_{\varepsilon_k}S^{-1}\)는 \(A\)로 성분별 수렴합니다.
\(c_A\)의 각 계수는 \(A\) 성분의 다항식이고, \(A^j\)의 각 성분도 유한 합과 곱이므로 \(A\mapsto c_A(A)\)는 성분별 연속입니다. 따라서 \(c_A(A)=\lim_kc_{A_k}(A_k)=0\)입니다.
실수행렬도 복소수행렬로 보고 이 결론을 가져올 수 있습니다. 다만 실수 고윳값으로 대각화 가능한 실수행렬이 모든 실수행렬에 조밀하다는 주장은 거짓입니다. \(\left[\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}\right]\)의 이차 특성다항식 판별식은 \(-4\)이고 충분히 가까운 실수행렬에서도 음수여서 실수 고윳값이 없습니다. 유한체에서는 이 위상적 접근 대신 첫째나 둘째 증명을 사용합니다.
11.4 최소다항식, 체 확대, 거듭제곱 공간#
나눗셈의 정확한 내부 근거는 A6의 정리 50입니다.
A6의 나눗셈 판정에서 소멸다항식은 모두 \(m_A\)의 배수입니다. 방금 \(c_A\)가 소멸다항식임을 증명했으므로 \(m_A\mid c_A\)입니다.
\(d=\deg m_A\)라 하면 \(I,A,\ldots,A^{d-1}\)은 독립입니다. 종속이면 차수 \(d\) 미만인 0 아닌 소멸다항식이 생겨 최소성에 모순입니다. 모든 다항식을 \(m_A\)로 나누어 \(p=qm_A+r\), \(\deg r<d\)로 쓰면 \(p(A)=r(A)\)이므로 이 \(d\)개 행렬이 \(F[A]\)의 기저입니다.
체 확대 \(K/F\)로 \(d\)가 줄지도 않습니다. 행렬을 열 쌓기하여 \(I,A,\ldots,A^{d-1}\)의 독립성을 검사하는 유한 선형계를 만듭니다. \(F\)에서 시행한 가우스 소거의 0 아닌 피벗은 \(K\)에서도 0이 아니므로 계수가 보존됩니다. 따라서 이 열들은 \(K\)에서도 독립이고 모닉 최소관계 \(m_A\)도 그대로입니다.
\(c_A\)와 \(m_A\)는 같은 기약인수들을 갖습니다. 하나는 나눔에서 따라옵니다. 반대로 기약 \(p\mid c_A\)이면 \(F[z]/(p)\)에 그 근 \(\alpha\)가 있습니다. 이 확대에서 \(\det(\alpha I-A)=0\)이므로 \(Ax=\alpha x\)인 \(x\ne0\)가 존재합니다. \(0=m_A(A)x=m_A(\alpha)x\)에서 \(m_A(\alpha)=0\), 즉 \(p\mid m_A\)입니다. 중복도까지 같다는 주장은 하지 않습니다.
11.5 Faddeev 계수 재귀의 증명과 표수 조건#
\(c_A(z)=z^n+a_1z^{n-1}+\cdots+a_n\)으로 쓰고 \(B_0=I\), \(B_k=AB_{k-1}+a_kI\)라 둡니다. 11.2의 계수 비교에 의해
행렬식을 성분별 미분하는 C5의 여인수 공식은 다항식의 형식 미분으로도 성립하므로
계수를 비교하여 \(0\le k<n\)에서 \(\operatorname{tr}B_k=(n-k)a_k\)를 얻습니다(\(a_0=1\)). \(k=n\)에서도 \(B_n=0\)이므로 이 등식이 성립합니다. 한편 재귀의 trace는
두 식을 빼면 \(ka_k=-\operatorname{tr}(AB_{k-1})\). 따라서 \(1,\ldots,n\)이 가역인 체에서
가 정당합니다. 표수 0 또는 표수 \(p>n\)이면 사용할 수 있습니다. Cayley–Hamilton 정리 자체에는 이 표수 제한이 없습니다.
11.6 증명 선택의 기준#
방법 |
범위 |
실제로 사용한 근거 |
|---|---|---|
삼각화와 체 확대 |
임의의 체 |
불변부분공간 사슬, 기약다항식 몫체, A6 삼각화 |
여인수의 계수 비교 |
단위원 있는 가환환까지 |
C5 여인수 항등식, 계수 비교 |
조밀성과 연속성 |
복소수, 이어 실수 |
A6 삼각화, 유한 금지값 회피, 성분별 극한 |
이 표는 세 증명을 대체하지 않습니다. 앞의 완전한 논증에서 어떤 가정을 사용했는지 다시 찾기 위한 요약입니다. 유리 표준형과 일반 행렬함수 이론을 이미 증명했다고 간주하지 않으며, 이후 필요한 곳에서 추가 구조를 도입합니다.
거듭제곱의 대수적 관계를 알면 반복식을 유한한 계산으로 줄일 수 있습니다. 다음 장부터는 오차와 벡터의 크기를 재는 규칙을 더하여, 계산 결과가 얼마나 가까운지도 묻습니다. H0로 이어 읽기.