H7 · 이차형식, 관성, Loewner 순서, Schur 보원과 행렬 펜슬#
1. 총량을 유지하면서 비용을 줄일 수 있는가#
두 활동의 기준 생산량 주변에서 실행량을 조정한다고 합시다. 기준량에서의 변화가 \(x_1,x_2\)이며, 각각 정한 생산단위로 나눈 무차원 수치입니다. 변화에는 음수도 허용하지만 실제 생산량이 음수가 되지 않을 만큼 기준량과 허용 범위를 정했다고 가정합니다. 비용은 한 화폐단위로 나눈 수치로 기록하고, 이번 교육용 모형에서는 다음 이차식을 정확한 비용 함수로 사용합니다.
실제 매끄러운 비용의 국소 근사에 이 식을 사용하려면 기준점의 기울기와 Hessian으로 계수를 추정하고 고차 나머지도 관리해야 합니다. 여기서는 그 통계 문제를 가정하지 않습니다. 먼저 정확한 이차 모형을 끝까지 풉니다.
행렬곱의 각 성분은 \(Hx=(2x_1+x_2,x_1+2x_2)^T\)이므로
비대각 성분은 양쪽에서 한 번씩 나타나 교차항의 계수가 2입니다. 완전제곱으로 정리하면
\(x\ne0\)이면 두 제곱을 동시에 0으로 만들 수 없습니다. 두 번째가 0이면 \(x_2=0\), 그때 첫 번째가 0이면 \(x_1=0\)이기 때문입니다. 따라서 모든 0 아닌 변화에 이차 증가분이 양수입니다. 이를 \(H\)가 양정치라고 합니다.
총변화를 \(x_1+x_2=2\)로 고정합시다. \(x_1=t\), \(x_2=2-t\)를 대입하면
따라서 유일한 최소점은 \(x=(1/2,3/2)^T\), 최소값은 \(-1/4\)입니다. 음의 값은 기준에 비해 비용이 줄어든다는 뜻입니다. 추가로 \(x_1,x_2\ge0\)을 부과하더라도 \(0\le t\le2\) 안에 이 최소점이 있어 답은 같습니다. 반대로 \(t\ge1\)이 추가되면 최솟값은 \(t=1\)에서 생깁니다. 행렬의 양정치성과 실제 허용 집합을 구별해야 합니다.
이제 \(H\)를 \(K=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\)로 바꾸면 \(z=(1,-1)^T\)에서 \(z^TKz=1-4+1=-2\)입니다. 총량을 보존하는 변화 \(z\)가 음의 곡률을 가집니다. 같은 제약에 대입한 비용은 \(-t^2+3t-2\)로, 실수 \(t\) 전체에서는 아래로 유계가 아닙니다. 유한 구간을 제한하면 경계 최소점이 생길 수 있지만, 내부의 정지점은 최소점이 아닙니다.
그림 79 왼쪽 등고선은 선형항을 뺀 \(x^THx\)이고, 오른쪽은 선형항까지 포함한 \(f(t,2-t)\)입니다. 같은 제약선 위에서도 곡률의 부호에 따라 최소점의 성격이 달라집니다. 음의 \(t\)도 변화량으로 허용한 표시이며 생산량 자체가 아닙니다.#
2. 변수 변경은 왜 양쪽에 행렬을 곱하는가#
새 변수 \(y\)로 \(x=Sy\)라 놓으면 비용의 이차항은
이 변환을 합동이라고 부릅니다. 한편 선형사상 \(x\mapsto Hx\)의 입력과 출력 좌표를 모두 새 기저로 기록하면 \(S^{-1}HS\)가 됩니다. 이것은 상사입니다. 이차식의 값과 선형사상의 좌표식은 서로 다른 계산입니다.
예를 들어 \(S=\operatorname{diag}(2,1)\)이면
\(H\)의 고윳값은 3, 1입니다. 합동한 행렬은 자취 10, 행렬식 12이므로 고윳값이 \(5\pm\sqrt{13}\)입니다. 둘 다 양수이지만 원래 값과 다릅니다. 상사한 행렬은 대칭이 아니어도 특성다항식이 \(\lambda^2-4\lambda+3\)으로 원래 고윳값을 유지합니다.
합동이 보존하는 것은 양·음·영 고윳값의 개수입니다. 이를 관성 \(\operatorname{In}(A)=(n_+,n_-,n_0)\)이라고 합니다. 이번 \(H\)는 \((2,0,0)\), \(K\)는 고윳값 3, \(-1\)이어서 \((1,1,0)\)입니다. \(S\)가 가역이어야 모든 변화 방향이 새 좌표에서 빠짐없이 표현됩니다. 예를 들어 \(S=(1,0)^T\)처럼 차원을 줄이면 \(S^TKS=1\)로 음의 방향을 버릴 수 있습니다.
3. 완전제곱과 LDL 분해로 부호를 읽는다#
첫 절의 완전제곱은 다음 분해와 같은 계산입니다.
실제로 \(LD=\begin{pmatrix}2&0\\1&3/2\end{pmatrix}\)이고, 다시 \(L^T\)를 곱하면 둘째 대각은 \(1/2+3/2=2\)가 됩니다. \(y=L^Tx\)라 쓰면 \(x^THx=2y_1^2+(3/2)y_2^2\)입니다. 대각값 2와 \(3/2\)는 고윳값이 아니라 소거 피벗이며, 그 부호만으로 관성을 읽을 수 있습니다.
세 활동으로 늘린
도 직접 소거할 수 있습니다. 첫째 교차항을 없애면
따라서 \(L\)의 아래 비대각은 \(l_{21}=1/2\), \(l_{32}=2/3\), \(l_{31}=0\)이고 피벗은 \(2,3/2,4/3\)입니다. 관성은 \((3,0,0)\), 행렬식은 피벗 곱 \(4\)입니다. 선행 주소행렬식은 \(2,3,4\)여서 피벗이 연속한 행렬식의 비 \(2/1,3/2,4/3\)라는 것도 확인됩니다.
다만 \(J=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)는 가역이어도 첫 피벗이 0입니다. 첫 좌표로 나누는 소거를 강행할 수 없습니다. 이 경우 \(J\) 전체를 \(2\times2\) 대각 블록으로 남기면 그 블록의 고윳값 \(1,-1\)로 관성을 읽습니다. 일반 대칭행렬에서도 순열과 \(1\times1\)·\(2\times2\) 블록을 허용하면 LDL 분해를 구성할 수 있습니다. 존재 증명은 마지막 절에서 설명하며, 안정적인 피벗 선택 알고리즘은 N2의 주제입니다.
4. 양정치와 준양정치의 판정은 다르다#
대칭행렬에 대해 모든 선행 주소행렬식이 양수이면 양정치입니다. 앞의 \(A\)는 바로 그 예입니다. 하지만 양수를 0 이상으로 바꾸면 충분조건이 되지 않습니다.
선행 부분만 보면 놓친 둘째 \(1\times1\) 주소행렬의 행렬식이 \(-1\)입니다. 준양정치 \(A\succeq0\)의 행렬식 판정에는 같은 인덱스로 행과 열을 고르는 모든 주소행렬식이 0 이상이어야 합니다. 예를 들어 \(\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)는 주소행렬식 \(1,1,0\)이고 이차식이 \((x_1+x_2)^2\)여서 준양정치이지만 양정치는 아닙니다.
양정치에서는 Cholesky \(A=RR^T\)의 가역 삼각인자를 만들 수 있습니다. 위 LDL에서 \(R=LD^{1/2}\)로 두면 됩니다. 준양정치 경계에서는 양의 피벗만 쓰는 이 알고리즘이 멈출 수 있습니다. 수치적인 작은 음수 고윳값을 정확한 0으로 볼 것인지는 허용오차와 자료 오차의 문제이며, H6의 Weyl 상한으로 그 크기를 판단할 수 있습니다.
5. 모든 방향에서 더 큰 이차값을 갖는다는 뜻#
대칭행렬 \(A,B\)에 대해 \(A\preceq B\)를 \(x^TAx\le x^TBx\)가 모든 실수 \(x\)에서 성립하는 것으로 정의합니다. 동치로 \(B-A\succeq0\)입니다. 이것이 Loewner 순서입니다. 성분별 대소와는 다릅니다.
이므로 \(I\preceq H\)입니다. 반면 \(A_1=\operatorname{diag}(2,1)\), \(A_2=\operatorname{diag}(1,2)\)에서는
가 \(e_1\)에서 양수, \(e_2\)에서 음수입니다. 어느 행렬도 다른 행렬보다 크지 않습니다. 두 행렬은 고윳값 목록·자취·행렬식까지 같지만 모든 방향의 비교는 성립하지 않습니다. 이런 순서를 반순서라고 합니다.
예를 들어 두 오차벡터의 공분산을 \(A_1,A_2\)라 가정하면, 방향 \(c\)의 선형 관측 \(c^Tx\)에 대한 분산 수치는 \(c^TA_ic\)입니다. \(c=e_1\)에서는 두 번째가 더 작고 \(c=e_2\)에서는 첫 번째가 더 작습니다. 특정 목적 방향을 정해야 하나를 고를 수 있습니다. 여기서는 공분산이 주어졌을 때의 대수적 비교만 하며 추정량의 불편성이나 효율성 정리를 전제하지 않습니다.
그림 80 가로축은 라디안 단위의 방향각입니다. 왼쪽은 우열이 방향마다 바뀌는 경우, 오른쪽은 모든 방향에서 \(x^THx\ge x^TIx\)인 경우입니다. 반주기 \(0\le\theta\le\pi\)로 모든 직선 방향을 한 번씩 비교합니다.#
양정치 행렬의 역행렬을 취하면 순서는 뒤집힙니다. \(I\preceq H\)의 경우
그러나 제곱은 순서를 보존하지 않습니다. \(A=\operatorname{diag}(1,2)\), \(B=A+\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}\)를 택하면 \(0\prec A\preceq B\)인데
이 실패는 비가환 곱의 교차항 때문에 생깁니다. 양의 제곱근은 반대로 순서를 보존합니다. 마지막 절에서 역행렬 순서와 성분별 적분으로 이 사실을 증명합니다.
6. 일부 변수를 먼저 최적화하면 남는 이차식#
다음 세 변수의 이차식을 생각합시다.
앞의 두 변수를 \(u=(u_1,u_2)^T\), 마지막을 \(v\)라 쓰면 값은 \(u^THu+2v b^Tu+cv^2\)입니다. \(v\)를 고정하고 \(u\)를 자유롭게 선택할 때 어떤 값이 남을까요?
따라서 완전제곱은
\(H\succ0\)이므로 첫 항의 최소값은 \(u=-H^{-1}bv=(-v/3,-v/3)^T\)에서만 0입니다. 남는 계수는 \(7/3\)입니다. 일반적으로 \(C-B^TA^{-1}B\)를 블록행렬 \(\begin{pmatrix}A&B\\B^T&C\end{pmatrix}\)의 Schur 보원이라고 부릅니다. \(A\)가 가역이어야 이 식이 정의되고, 최소화 해석에는 \(A\succ0\)이 추가로 필요합니다.
이 예에서 전체 행렬식은 \(\det H\cdot(7/3)=3\cdot7/3=7\)입니다. 직접 전개해도 \(2(6-1)-(3-1)+(1-2)=7\)입니다. 또한 역행렬의 마지막 대각은 \(3/7\)입니다. 이 값은 남은 이차계수의 역수이며 전체 마지막 대각 \(3\)의 역수 \(1/3\)과 다릅니다.
그림 81 왼쪽 단면은 \(u_1=u_2\)에서 실제 최소점을 포함합니다. 오른쪽에서 \(u\)를 조정하면 \(v\)마다 값이 낮아집니다. 일반적인 최소화 증명은 본문의 양정치 완전제곱에 있고, 이 단면 그림만으로 대신하지 않습니다.#
가역 가정을 제거할 때#
\(A\succeq0\)이지만 특이하면 \(A^{-1}\)을 쓰지 못합니다. \(A=0\), \(B=1\), \(C=1\)인 \(2\times2\) 예에서는 이차식 \(2uv+v^2\)가 \(v=1\), \(u\to-\infty\)에서 내려갑니다. \(C\)가 양수라는 정보만으로 전체를 준양정치라고 할 수 없습니다. 필요한 추가 조건은 \(B\)의 각 열이 \(\operatorname{range}(A)\) 안에 있는 것입니다. 이 조건을 만족하면 유사역행렬 \(A^\dagger\)로 바꾸어 완전제곱을 할 수 있고, 최소화하는 \(u\)에는 \(\ker A\)만큼의 자유도가 남습니다.
7. 제약식과 잔차화에서 같은 소거를 만난다#
첫 문제의 제약 행을 \(a=(1,1)\)라 쓰면 정지점 방정식은
승수 \(\nu\)는 제약을 포함한 정지점 방정식의 미지수입니다. 첫 식에서 \(x=H^{-1}(g-a^T\nu)\)이므로
\(H^{-1}g=(0,1)^T\), \(aH^{-1}a^T=2/3\)이어서 \((2/3)\nu=-1\), \(\nu=-3/2\)입니다. 되돌리면
전체 정지점 행렬의 Schur 보원은 \(-2/3\)이므로 관성은 \((2,1,0)\)입니다. 전체 행렬에 음의 방향이 있어도 제약 위의 최소점은 유일합니다. 실제 허용 변화 \(z=t(1,-1)\)에서는 \(z^THz=2t^2>0\)입니다. 이차 목적함수의 곡률과 승수까지 넣은 연립방정식의 관성을 혼동하지 않아야 합니다.
잔차화도 같은 계산입니다. 최소제곱의 설명변수를 \([X_1\ X_2]\)로 나누고 \(X_1\)이 열독립이라고 합시다. 정규방정식 첫 줄에서
이를 둘째 줄에 넣고 \(M_1=I-X_1(X_1^TX_1)^{-1}X_1^T\)라 놓으면
왼쪽 계수가 바로 Gram 행렬의 Schur 보원입니다. H1의 \(X_1=(1,1,1)^T\), \(X_2=(-1,0,1)^T\), \(y=(1,1,4)^T\)에서는 \(X_1^TX_2=-1+0+1=0\), \(X_2^TX_2=2\), \(X_2^Ty=-1+0+4=3\)입니다. 따라서 \(\beta_2=3/2\), \(\beta_1=(1+1+4)/3=2\)를 되찾습니다. 역행렬을 쓰는 마지막 단계는 \(X_2^TM_1X_2\)가 가역일 때이며, 이는 잔차화된 열들이 독립이라는 뜻입니다.
공분산 블록에서 선형 예측 잔차의 공분산, 정보행렬에서 방해모수 제거, 이차 조절비용에서 입력 제거도 같은 블록식을 만듭니다. 예를 들어 결정론적 조절비용 \(u^TRu+(Fx+Gu)^TP(Fx+Gu)\)에서 \(P\succeq0\), \(R\succ0\)이면 \(u\)의 계수는 \(D=R+G^TPG\succ0\)이고, \(u=-D^{-1}G^TPFx\)를 대입한 잔여계수는 \(F^TPF-F^TPGD^{-1}G^TPF\)입니다. 이것이 Riccati 갱신의 소거 부분입니다. 확률적 조건부분산, 정보량, 무한기간 최적제어의 해석은 E0 이후에 해당 가정을 갖추어 다룹니다.
8. 행렬식과 역행렬의 볼록성#
양정치 \(A\)는 고윳값이 양수여서 \(\log\det A\)가 실수로 정의됩니다. \(A(t)=A+tD\succ0\), \(D=D^T\)인 구간에서 C6의 미분법을 적용하면
마지막 값은 \(C=A(t)^{-1/2}DA(t)^{-1/2}\)의 \(\operatorname{tr}(C^2)=\sum_{ij}C_{ij}^2\)입니다. \(D\ne0\)이면 \(C\ne0\)이므로 양수입니다. 따라서 \(-\log\det\)는 양정치 행렬들의 볼록 집합에서 엄격히 볼록합니다. 행렬식 자체가 볼록하다는 뜻은 아닙니다.
구체적으로 \(H+tI\)는 \(t>-1\)에서 양정치이고
양정치 제약의 경계 \(t\downarrow-1\)에서는 값이 무한대로 갑니다. 설계 행렬의 정보량을 행렬식으로 요약하는 계산이나, 양정치 제약을 가진 최적화에서 이 함수를 사용하는 이유를 이 작은 예에서 볼 수 있습니다. 통계적 최적성은 별도 가정이 필요한 다음 단계입니다.
또 다른 요약량은 역행렬의 자취입니다. \(H+tI\)에서는
이 값은 방향별 역곡률을 더한 수치입니다. 작은 고윳값이 0에 가까워지면 그 역수가 커져 전체 값도 커집니다. 행렬식의 로그와 다른 목적함수지만 양정치 선분 위에서 볼록하다는 성질을 공유합니다. 일반 행렬 방향에서도 성립하는지는 마지막 절에서 성분 합으로 확인합니다.
9. 질량이 다르면 어떤 진동 방향을 비교하는가#
두 변위 \(q_1,q_2\)를 미터로, 질량행렬 \(B=\operatorname{diag}(2,1)\)을 kg으로, 강성행렬 \(H\)의 수치를 N/m로 해석하는 별도의 교육용 진동 모형을 생각합시다. 첫 변위의 양의 방향은 오른쪽, 둘째 변위의 양의 방향은 왼쪽으로 잡습니다. 양끝을 고정하고 단위 강성의 바깥 용수철 두 개와 연결 용수철 한 개를 쓰면 위치에너지는 \((q_1^2+(q_1+q_2)^2+q_2^2)/2=q^THq/2\)입니다. 두 좌표의 양의 방향을 반대로 잡았기 때문에 교차항이 양수입니다. 감쇠와 외력은 없다고 가정합니다. 운동방정식은 \(B\ddot q+Hq=0\)입니다. \(q(t)=x\cos(\omega t)\)를 넣으면
\(\lambda=\omega^2\)의 단위는 초\(^{-2}\)입니다. 이것이 일반화 고유문제입니다. 성분으로 쓰면 \((2-2\lambda)x_1+x_2=0\), \(x_1+(2-\lambda)x_2=0\)이고,
따라서 \(\lambda_\pm=(3\pm\sqrt3)/2\), \(x_\pm=(1,1\pm\sqrt3)^T\)입니다. 두 벡터의 보통 내적은 \(1+(1+\sqrt3)(1-\sqrt3)=-1\)이지만
직교성은 질량 가중 내적에서 성립합니다. 각 제곱길이는 \(6\pm2\sqrt3\)이므로 그 제곱근으로 나누면 \(B\)-정규직교 벡터가 됩니다.
일반 대칭 \(A\), 양정치 \(B\)에 대해서도 \(B=LL^T\)를 사용해 \(C=L^{-1}AL^{-T}\)로 옮기면 대칭 표준 고유문제가 됩니다. 직접 \(B^{-1}A\)를 만들면 정확산술에서는 같은 고윳값이지만 표준 내적에서의 대칭성이 사라집니다. 이 예에서는 \(B^{-1}H=\begin{pmatrix}1&1/2\\1&2\end{pmatrix}\)입니다. 수치 계산에서는 역행렬을 명시적으로 만들기보다 삼각 연립방정식을 풀어 \(C\)를 구성합니다. 이것만으로 조건이 나쁜 \(B\)의 민감도가 사라지는 것은 아닙니다.
10. 다음 시점의 계수가 0이면: 행렬 펜슬#
이제 양정치인 \(B\)라는 가정을 제거합니다. 무차원 편차 \(x_t=(k_t,c_t,y_t)^T\)에 대해 다음 결정론적 차분 제약을 가정합시다.
세 번째 식은 \(0=k_t+c_t-y_t\)입니다. 다음 시점의 변수가 없는 정적 관계이므로 \(\Gamma_0\)를 역행렬로 바꿀 수 없습니다. 지수형 경로 \(x_t=\lambda^t z\)를 찾는 대수는 \((\Gamma_1-\lambda\Gamma_0)z=0\)입니다. 이런 매개변수 행렬 \(A-\lambda B\)를 행렬 펜슬이라고 합니다.
이 예의 행렬식은 셋째 열로 전개하면
행렬 크기는 3이지만 다항식 차수는 2입니다. 유한 고윳값은 \(1/2,2\)이고 남은 하나를 무한 고윳값으로 기록합니다. 이를 단순한 표현 약속 이상으로 보려면 동차좌표를 사용합니다. \((\alpha,\beta)\ne(0,0)\)와 그 0 아닌 공통배를 같은 점으로 보고 \(\det(\beta A-\alpha B)=0\)을 풉니다. \(\beta\ne0\)에서는 \(\lambda=\alpha/\beta\), \(\beta=0\)은 무한점입니다.
정칙 펜슬은 \(\det(A-\lambda B)\)가 영다항식이 아닌 경우입니다. \(B\)가 특이해도 정칙일 수 있습니다. 반대로 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}3&1\\6&2\end{pmatrix}\)이면 두 번째 행이 항상 첫 번째 행의 두 배여서 행렬식이 항등적으로 0입니다. 이것은 특이 펜슬이고 고윳값을 정해진 개수의 근으로 세는 이 장의 정칙 이론이 적용되지 않습니다.
무한 고윳값 개수는 \(n-\deg\det(A-\lambda B)\)입니다. \(n-\operatorname{rank}B\)로 항상 계산하면 안 됩니다. \(A=I_2\), \(B=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\)이면 행렬식은 상수 1이어서 무한 고윳값이 2개이지만 \(2-\operatorname{rank}B=1\)입니다.
안정 경로의 방향과 좌표를 복원한다#
위 차분식에서 \(z=(2,1,3)^T\)에 대해 직접 곱하면
따라서 \(x_t=a(1/2)^tz\)는 매 시점 모든 식을 만족하며 0으로 수렴합니다. \(k_0\)가 주어지면 \(a=k_0/2\), \(c_t=k_t/2\), \(y_t=3k_t/2\)입니다. 이 교육용 결정론적 문제에서는 유계 경로의 유일성도 직접 확인할 수 있습니다. \(y_t=k_t+c_t\)를 앞의 두 식에 넣으면
이 행렬의 서로 다른 고윳값은 \(1/2,2\)이고 독립 고유벡터는 \((2,1)\), \((1,-2)\)입니다. 일반 초기값은 이 둘의 유일한 선형결합입니다. \(2^t\)항이 있으면 유계가 아니므로 그 계수는 0이어야 합니다. 안정 방향의 첫 성분이 2로 0이 아니어서 주어진 \(k_0\)가 남은 계수를 유일하게 정합니다. 안정 방향의 개수만 맞고 첫 성분이 0이라면 이런 복원은 실패합니다. 합리적 기대와 충격을 포함한 일반 Blanchard–Kahn 정리는 이 계산과 동일시하지 않고 E9에서 별도로 다룹니다.
두 가역 행렬 \(P,Q\)로 \((A,B)\)를 \((PAQ,PBQ)\)로 바꾸는 것을 강동치라고 합니다. 이는 방정식의 가역 결합과 미지수의 가역 변경을 각각 허용합니다. 유니터리 \(Q,Z\)로 \(Q^*AZ=S\), \(Q^*BZ=T\)를 모두 상삼각으로 만드는 일반화 Schur 형에서는 고윳값을 \(\alpha_i=s_{ii}\), \(\beta_i=t_{ii}\)의 쌍으로 기록합니다. 정의와 반환 규약은 LAPACK의 일반화 Schur 설명과 같습니다. 이 분해의 존재와 앞부분 공간의 의미는 마지막 절에서 증명합니다. 대규모 QZ 반복 알고리즘은 N5에서 이어 다룹니다.
11. 계산 코드#
아래 셀은 본문의 분해·최소점·일반화 고유쌍을 검사합니다. NumPy만 사용하며, 일반 정리의 증명은 다음 절들에 있습니다.
import numpy as np
H = np.array([[2., 1.], [1., 2.]])
L = np.array([[1., 0.], [.5, 1.]])
assert np.allclose(L @ np.diag([2., 1.5]) @ L.T, H)
b = np.ones((2, 1))
M = np.block([[H, b], [b.T, np.array([[3.]])]])
schur = 3. - (b.T @ np.linalg.solve(H, b)).item()
assert np.isclose(schur, 7/3)
assert np.isclose(np.linalg.inv(M)[2, 2], 3/7)
KKT = np.block([[H, b], [b.T, np.zeros((1, 1))]])
assert np.allclose(np.linalg.solve(KKT, [1., 2., 2.]), [.5, 1.5, -1.5])
B = np.diag([2., 1.])
LB = np.linalg.cholesky(B)
left = np.linalg.solve(LB, H)
C = np.linalg.solve(LB, left.T).T
lam, Q = np.linalg.eigh(C)
S = np.linalg.solve(LB.T, Q)
assert np.allclose(lam, [(3-np.sqrt(3))/2, (3+np.sqrt(3))/2])
assert np.allclose(S.T @ B @ S, np.eye(2))
assert np.allclose(H @ S, (B @ S) * lam)
G0 = np.diag([1., 1., 0.])
G1 = np.array([[.5, -.9, .3], [-.6, 1.7, 0.], [1., 1., -1.]])
z = np.array([2., 1., 3.])
assert np.allclose(G1 @ z, .5 * G0 @ z)
print("H7: LDL, Schur, constrained solution, generalized eigenpairs verified")
H7: LDL, Schur, constrained solution, generalized eigenpairs verified
12. 직접 풀어 보는 연습과 전체 풀이#
연습 1. 세 변수의 관성과 합동#
§3의 \(A\)에 대해 \(S=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}\)의 합동을 구하고 고윳값이 보존되는지 판단하세요.
풀이. \(AS=\begin{pmatrix}2&3&0\\1&3&2\\0&1&4\end{pmatrix}\)이므로
원래 자취는 6, 새 자취는 16이므로 고윳값 목록은 다릅니다. \(\det S=2\ne0\)이어서 관성은 원래 피벗 \(2,3/2,4/3\)의 부호가 주는 \((3,0,0)\)입니다. 행렬식은 \((\det S)^2\det A=4\cdot4=16\)입니다. 같은 결론을 얻는 데 새 고윳값을 근의 공식으로 구할 필요가 없습니다.
연습 2. 0인 첫 피벗#
\(J=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)를 \(1\times1\) 피벗만의 \(LDL^T\)로, \(L\)이 단위 하삼각인 형태로 분해할 수 있는지 보이세요.
풀이. \(L=\begin{pmatrix}1&0\\\ell&1\end{pmatrix}\), \(D=\operatorname{diag}(d_1,d_2)\)라 하면 첫 대각은 \(d_1=0\), 비대각은 \(\ell d_1=0\)이어야 합니다. 실제 비대각 1과 모순입니다. 두 좌표를 교환해도 \(J\)가 같아 해결되지 않습니다. 대신 \(D=J\), \(L=I\)인 블록 분해를 쓰거나 \((1,1)/\sqrt2,(1,-1)/\sqrt2\)로 합동해 \(\operatorname{diag}(1,-1)\)을 얻을 수 있습니다.
연습 3. 특이 Schur 보원#
\(A=\operatorname{diag}(1,0)\), \(b=(1,t)^T\), \(c=2\)일 때 \(\begin{pmatrix}A&b\\b^T&c\end{pmatrix}\succeq0\)인 \(t\)를 모두 찾으세요.
풀이. 이차식은 \(u_1^2+2u_1v+2t u_2v+2v^2\)입니다. \(v=1,u_1=-1\)이면 \(1+2t u_2\)입니다. \(t\ne0\)에서는 \(u_2\)의 부호와 크기로 이를 음수로 만들 수 있으므로 불가능합니다. \(t=0\)이면 식이 \((u_1+v)^2+v^2\ge0\)이어서 충분합니다. 이 경우 \(b\in\operatorname{range}(A)\)이고 \(c-b^TA^\dagger b=2-1=1\)입니다. \(u_2\)는 자유로워 전체는 양정치가 아닙니다.
연습 4. 역순과 제곱#
§5의 \(A=\operatorname{diag}(1,2)\), \(B=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}\)에 대해 역순을 직접 검산하세요.
풀이. \(\det B=5\)이고 \(B^{-1}=\frac15\begin{pmatrix}3&-1\\-1&2\end{pmatrix}\)이므로
하지만 \(B^2-A^2\)는 앞서 벡터 \((5,-4)\)에서 값 \(-4\)였으므로 제곱 순서는 실패합니다. 같은 양정치 쌍에서 두 연산의 차이를 확인했습니다.
연습 5. 제약의 총량을 바꾼다#
첫 문제의 제약을 \(x_1+x_2=b\)로 바꾸어 정지점·승수·최소값을 구하세요. 변화량의 실수 범위에 추가 제약은 없습니다.
풀이. \(x=(t,b-t)\)를 대입하면 \(f=t^2+(1-b)t+b^2-2b\)입니다. 완전제곱으로 \(t=(b-1)/2\)이고 \(x_2=(b+1)/2\)입니다. 승수식은 \((2/3)\nu=1-b\)이므로 \(\nu=3(1-b)/2\)입니다. 최소값은
\(v'(b)=3(b-1)/2=-\nu\)로, 제약식을 \(ax-b=0\)으로 쓴 부호와 일치합니다. \(b=2\)를 넣으면 \(x=(1/2,3/2)\), \(v=-1/4\)를 되찾습니다.
연습 6. 양정치 질량 가정을 뺀다#
\(A=\operatorname{diag}(1,-1)\), \(B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)의 일반화 고윳값을 구하세요.
풀이. \(\det(A-\lambda B)=\det\begin{pmatrix}1&-\lambda\\-\lambda&-1\end{pmatrix}=-1-\lambda^2\)이므로 \(\lambda=\pm\mathrm i\)입니다. 둘 다 실대칭이라는 사실만으로 실수 고윳값을 보장하지 못합니다. 여기서는 \(B\)가 부정치여서 \(x^TBx\)가 내적의 제곱노름이 아닙니다.
연습 7. 무한 고윳값과 유계 경로#
\(A=I_2\), \(B=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\)의 무한 고윳값 수와 \(Bx_{t+1}=Ax_t\)의 경로를 구하세요.
풀이. \(\det(A-\lambda B)=1\)이고 \(\det(\beta A-\alpha B)=\beta^2\)이므로 무한 고윳값은 중복도를 포함하여 2개입니다. 차분식은 \(x_{2,t+1}=x_{1,t}\), \(0=x_{2,t}\)입니다. 모든 \(t\ge0\)에서 둘째 식을 만족하면 \(x_{2,t+1}=0\)이므로 첫째 식에서 \(x_{1,t}=0\)입니다. 영경로만 가능합니다. 무한 고윳값을 큰 유한 성장률 하나로 대체하는 것이 아니라 제약 관계로 읽어야 합니다.
13. 지금까지의 내용을 수학의 언어로 정리해 봅시다#
지금까지 계산하고 설명한 내용을 수학에서는 다음과 같이 정의하고 정리합니다. 또한 왜 참인지 증명합니다. 실수에서는 전치 \(T\), 복소수에서는 켤레전치 \(*\)를 사용합니다. 아래는 둘을 포함하도록 자기수반 행렬로 적습니다. 내적은 \(\langle x,y\rangle=y^*x\)이며 첫째 인수에 선형입니다.
정리 1. Sylvester 관성법칙#
자기수반 \(A\in\mathbb C^{n\times n}\)와 가역 \(S\)에 대해 \(\operatorname{In}(S^*AS)=\operatorname{In}(A)\)입니다.
증명. H3의 스펙트럼 정리에 의해 양의 고윳값 공간 \(V_+\)에서 \(x^*Ax>0\)이고 \(\dim V_+=n_+\)입니다. 만약 이차식이 양정치인 공간 \(W\)의 차원이 \(n_+\)보다 크다면, 음·영 고유공간의 합 \(V_{\le0}\)는 차원 \(n-n_+\)이므로 \(\dim(W\cap V_{\le0})\ge1\)입니다. 그 교집합의 0 아닌 \(x\)는 동시에 양의 값과 0 이하의 값을 가져 모순입니다. 따라서 양정치 부분공간의 최대 차원은 정확히 \(n_+\)입니다.
\(y^*S^*ASy=(Sy)^*A(Sy)\)이고 \(S\)는 가역이므로, \(S^*AS\)의 양정치 부분공간 \(W\)와 \(A\)의 양정치 부분공간 \(SW\)는 차원을 보존하며 일대일로 대응합니다. 역대응은 \(S^{-1}\)입니다. 따라서 \(n_+\)가 같습니다. \(-A\)에 같은 논증을 적용하면 \(n_-\)도 같습니다. 남은 차원 \(n_0=n-n_+-n_-\)도 같아집니다. ∎
스펙트럼 기저에서 각 0 아닌 고윳값의 좌표를 \(1/\sqrt{|\lambda_i|}\)로 배율 변경하면 \(A\)는 \(\operatorname{diag}(I_{n_+},-I_{n_-},0)\)와 합동입니다. 역으로 이 표준형이 같은 두 행렬은 각 가역 변환을 합성해 서로 합동입니다. 따라서 관성은 합동의 완전한 분류 불변량입니다.
정리 2. Schur 보원과 관성 덧셈#
\(M=\begin{pmatrix}A&B\\B^*&C\end{pmatrix}=M^*\), \(A\) 가역이라 합시다. \(D=C-B^*A^{-1}B\)이면
증명. 가운데와 오른쪽을 먼저 곱하면 \(\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}\)입니다. 왼쪽을 곱하면 아래 왼쪽은 \(B^*\), 아래 오른쪽은 \(B^*A^{-1}B+D=C\)가 되어 \(M\)과 일치합니다. 양끝은 서로 수반이며 가역이므로 정리 1로 \(\operatorname{In}(M)=\operatorname{In}(A)+\operatorname{In}(D)\)입니다.
블록대각의 고유공간은 두 블록의 고유공간을 0으로 확장한 것이어서 관성은 성분별로 더해집니다. 두 삼각인자의 행렬식은 1이므로 \(\det M=\det A\det D\)입니다. \(M\)까지 가역이면 \(D\)도 가역이고, 인자들의 역행렬을 역순으로 곱할 때 \((2,2)\) 블록은 \(D^{-1}\)입니다. ∎
특히 \(M\succ0\)일 필요충분조건은 \(A\succ0\)이고 \(D\succ0\)인 것입니다. 필요성에서 \(A\succ0\)은 벡터 \((u,0)\)에 적용하여 얻습니다. 그러면 \(A\)가 가역이므로 관성 공식을 적용할 수 있습니다. 충분성도 같은 공식에서 나옵니다. \(A\succ0\)일 때 최소화식은
이며 유일한 최소화자는 \(u=-A^{-1}Bv\)입니다. 이는 인자분해를 이차식에 적용한 완전제곱에서 첫 항의 양정치성으로 얻습니다.
특이한 경우에는 \(M\succeq0\)일 필요충분조건이
입니다. 증명. 필요성에서 \(A\succeq0\)은 \((u,0)\)로 얻습니다. \(z\in\ker A\)를 잡으면 \((tz,v)\)의 이차식은 \(2\operatorname{Re}(\overline t z^*Bv)+v^*Cv\)입니다. \(z^*Bv\ne0\)이면 \(t\)의 위상과 크기를 골라 음수로 만들 수 있습니다.
따라서 \(z^*Bv=0\)이고 H2의 네 부분공간 정리에 의해 \(Bv\in(\ker A)^\perp=\operatorname{range}(A)\)입니다. 이 조건 아래 \(AA^\dagger B=B\)이므로 \(u+A^\dagger Bv\)로 완전제곱을 하면 잔여항이 명시한 보원입니다. \(u=-A^\dagger Bv\)를 넣으면 그 준양정치성이 필요합니다.
역으로 세 조건이면 두 항 모두 음이 아니므로 \(M\succeq0\)입니다. 최소화자는 \(-A^\dagger Bv+\ker A\) 전체입니다. ∎
정리 3. LDL과 양정치·준양정치 판정#
자기수반 행렬에는 대칭 순열 후 \(LDL^*\) 분해가 존재하며 \(D\)를 \(1\times1\)·\(2\times2\) 자기수반 블록대각으로 택할 수 있습니다.
증명. 크기에 대한 귀납을 씁니다. 0 아닌 대각성분이 있으면 순열로 첫 위치에 옮긴 후 정리 2의 인자분해로 그 \(1\times1\) 블록을 소거합니다. 모든 대각이 0인데 행렬이 0이 아니면 어떤 \(a_{ij}\ne0\)이 있습니다. 이 둘을 처음으로 옮기면 \(\begin{pmatrix}0&a_{ij}\\\overline{a_{ij}}&0\end{pmatrix}\)는 행렬식 \(-|a_{ij}|^2\ne0\)이므로 \(2\times2\) 피벗으로 소거합니다.
남은 Schur 보원은 다시 자기수반이고 차원이 줄었으므로 귀납을 적용합니다. 남은 행렬이 0이면 영 \(1\times1\) 블록들을 남기고 끝냅니다. 뒤 단계의 순열은 이미 계산한 \(L\)의 아래 행들에도 적용하여 전체 하나의 순열과 단위 하삼각 인자로 모을 수 있습니다. 매 단계 가역 합동이므로 \(D\)의 각 블록 관성의 합이 \(A\)의 관성입니다. ∎
다음은 서로 동치이다: \(A\succ0\); 모든 고윳값이 양수; 모든 선행 주소행렬식 \(\Delta_k>0\); 양의 피벗을 가진 무순열 \(LDL^*\); 양의 대각을 갖는 가역 하삼각 \(R\)로 \(A=RR^*\); 가역 \(F\)로 \(A=F^*F\).
증명. 양정치와 고윳값 조건은 고유기저에서 \(x^*Ax=\sum\lambda_i|c_i|^2\)로 양방향이 성립합니다. 양정치이면 모든 선행 주부분행렬도 양정치이므로 고윳값의 곱인 \(\Delta_k\)가 양수입니다.
역으로 모든 \(\Delta_k>0\)이면 첫 피벗이 양수입니다. 첫 소거 후 남은 블록의 선행 행렬식은 \(\Delta_{j+1}/\Delta_1>0\)이므로 귀납적으로 모든 피벗이 양수인 LDL을 얻습니다. 매 단계 행렬식은 피벗의 누적곱이므로 \(d_k=\Delta_k/\Delta_{k-1}\), \(\Delta_0=1\)입니다. \(R=LD^{1/2}\)로 Cholesky를 얻고 \(F=R^*\)로 Gram 표현을 얻습니다. 끝으로 가역 \(F\)이면 \(x^*F^*Fx=\|Fx\|^2>0\)이므로 처음으로 돌아갑니다. ∎
준양정치 판정은 모든 주소행렬식이 0 이상인 것과 동치입니다. 증명. 필요성은 주부분행렬의 준양정치성과 고윳값 곱으로 얻습니다. 충분성을 위해 \(p(t)=\det(tI+A)\)를 열별 다중선형성으로 전개합니다. \(A\)의 열을 고른 인덱스 집합 \(J\)와 나머지 \(te_i\) 열을 고르면 그 항은 \(t^{n-|J|}\det A_{J,J}\)입니다. 항등 열들이 같은 행·열 위치를 지워 부호는 양수입니다.
따라서 모든 계수가 음이 아니고 최고차 계수는 1입니다. \(t>0\)에서 \(p(t)>0\)입니다. \(A\)에 음의 고윳값 \(\lambda\)가 있었다면 \(t=-\lambda>0\)에서 \(p(t)=0\)이 되어 모순입니다. 자기수반 고윳값은 모두 실수이므로 모든 고윳값이 0 이상이고 \(A\succeq0\)입니다. ∎
정리 4. Loewner 순서와 행렬함수#
자기수반 행렬들의 \(\preceq\)는 반순서입니다. 임의 크기의 \(S\)에 대해 \(A\preceq B\)이면 \(S^*AS\preceq S^*BS\)이며, 가역 \(S\)이면 역도 성립합니다.
증명. 반사성과 추이성은 이차식의 \(0\le0\) 및 부등식 덧셈입니다. 양쪽 순서가 성립하면 \(D=A-B\)의 이차식은 항상 0입니다. \(e_i\)를 넣으면 \(d_{ii}=0\), \(e_i+e_j\)와 \(e_i+\mathrm i e_j\)를 넣으면 각각 비대각의 실수부와 허수부가 0입니다. 따라서 \(D=0\)으로 반대칭성이 성립합니다. 합동 단조성은 \(y^*S^*(B-A)Sy=(Sy)^*(B-A)(Sy)\ge0\)이고, 가역이면 \(x=Sy\)로 모든 \(x\)를 표현해 역을 얻습니다. §5의 대각 예는 전순서가 아님을 보입니다. ∎
같은 공간의 모든 단위벡터에 대한 이차식 부등식에 H5의 Courant–Fischer의 최소·최대 연산을 적용하면 내림차순 고윳값도 \(\lambda_i(A)\le\lambda_i(B)\)입니다. 합하면 자취 단조성, \(0\preceq A\preceq B\)에서 음이 아닌 고윳값을 곱하면 행렬식 단조성이 나옵니다. 역은 §5의 비교 불가능한 같은 스펙트럼 쌍이 반증합니다.
\(0\prec A\preceq B\)이면 \(B^{-1}\preceq A^{-1}\)입니다. 증명. \(C=A^{-1/2}BA^{-1/2}\succeq I\)이고 고윳값이 모두 1 이상입니다. 따라서 \(C^{-1}\preceq I\)입니다. \(B=A^{1/2}CA^{1/2}\)를 뒤집으면 \(B^{-1}=A^{-1/2}C^{-1}A^{-1/2}\preceq A^{-1}\)입니다. ∎
\(0\preceq A\preceq B\)이면 \(A^{1/2}\preceq B^{1/2}\)입니다. 증명. 스칼라 \(a\ge0\)에서
입니다. \(a>0\)이면 \(t=\sqrt a\,s\)로 치환하고 \(\int_0^\infty(1+s^2)^{-1}ds=\pi/2\)를 쓰며, \(a=0\)이면 피적분함수가 \(t>0\)에서 0입니다. H3의 대각화로 이 식을 각 고윳값에 적용할 수 있습니다. \(t>0\)에 대해 역순 정리로 \((t^2I+B)^{-1}\preceq(t^2I+A)^{-1}\)입니다. 그러므로
벡터별 이차식을 적분하면 부등식이 보존되고 위 스칼라 적분식으로 양의 제곱근 순서를 얻습니다. 일반 \(0<p<1\)의 Löwner–Heinz 정리는 여기서 사용하지 않습니다. ∎
정리 5. 로그 행렬식과 역행렬 자취#
양정치 원뿔은 볼록이고 \(-\log\det A\)는 그 위에서 엄격히 볼록합니다. 또한 \(\operatorname{tr}(A^{-1})\)는 볼록합니다.
증명. \(A,B\succ0\), \(0\le t\le1\)이면 0 아닌 \(x\)에 대해 \(x^*((1-t)A+tB)x=(1-t)x^*Ax+t x^*Bx>0\)이므로 선분이 원뿔 안에 있습니다. \(D=B-A\ne0\)일 때 §8의 두 번째 도함수는 양수입니다. 실수 한 변수의 미적분학에서 도함수의 엄격한 증가가 엄격한 볼록 부등식을 주므로 모든 서로 다른 두 끝점에 대해 결론이 성립합니다.
역행렬 자취는 C6의 역행렬 미분을 두 번 적용하여
을 얻습니다. \(A(t)^{-1}=U\operatorname{diag}(a_i)U^*\), \(a_i>0\), \(F=U^*DU\)라 쓰면 오른쪽 절반은 \(\sum_{i,j}a_i^2a_j|F_{ij}|^2\ge0\)입니다. 따라서 선분별로 볼록하고 행렬 집합에서도 볼록합니다. ∎
정리 6. 일반화 고유문제의 동시 합동대각화#
\(A=A^*\), \(B\succ0\)이면 가역 \(S\)와 실수 대각 \(\Lambda\)가 있어 \(S^*BS=I\), \(S^*AS=\Lambda\), \(AS=BS\Lambda\)입니다.
증명. 정리 3의 Cholesky \(B=LL^*\)를 쓰겠습니다. \(C=L^{-1}AL^{-*}\)는 \(C^*=C\)이고 H3의 스펙트럼 정리로 \(C=Q\Lambda Q^*\)입니다. \(S=L^{-*}Q\)는 가역이며
\(AS= LQ\Lambda\)이고 \(BS=LL^*L^{-*}Q=LQ\)이므로 \(AS=BS\Lambda\)입니다. 역으로 \(Ax=\lambda Bx\), \(x\ne0\)이면 \(q=L^*x\ne0\)에 대해 \(Cq=\lambda q\)여서 다른 고윳값은 없습니다. \(B^{-1}A=L^{-*}CL^*\)는 \(C\)와 상사이지만 보통 대칭은 아닙니다. 가중 내적 \(\langle x,y\rangle_B=y^*Bx\)에서는 \(\langle B^{-1}Ax,y\rangle_B=y^*Ax=\langle x,B^{-1}Ay\rangle_B\)로 자기수반입니다. ∎
Rayleigh 몫은 \(x^*Ax/(x^*Bx)=q^*Cq/(q^*q)\)입니다. 가역 대응 \(q=L^*x\)가 부분공간 차원을 보존하므로 H5의 내림차순 Courant–Fischer는 그대로
가 됩니다. 순서를 오름차순으로 바꾸면 차원 지표도 함께 바꾸어야 합니다.
정리 7. 정칙 펜슬의 유한 부분과 무한 부분#
복소 정칙 펜슬 \(A-\lambda B\)는 가역 좌우 변환으로
꼴이 됩니다. \(J\)는 Jordan 형이고 \(N\)은 멱영입니다. \(n-\deg\det(A-\lambda B)=\dim N\)이며 이 수는 \(n-\operatorname{rank}B\) 이상입니다.
증명. 영다항식이 아닌 행렬식은 유한 개의 근만 가지므로 \(A-cB\)가 가역인 \(c\)를 고를 수 있습니다. \(G=(A-cB)^{-1}B\)라 놓으면
C1·C2의 일반화 고유공간 분해로 가역 \(Q\)를 골라 \(Q^{-1}GQ=\operatorname{diag}(G_1,N_0)\)로 만듭니다. \(G_1\)은 0 아닌 고윳값 부분이므로 가역이고 \(N_0\)는 멱영입니다. 첫 블록에 왼쪽에서 \(G_1^{-1}\)을 곱하면 \(G_1^{-1}+cI-\lambda I\)입니다. \(G_1^{-1}+cI\)를 다시 Jordan 형 \(J\)로 상사변환합니다.
둘째 블록은 \(I+cN_0-\lambda N_0\)입니다. \(I+cN_0\)는 유한 기하급수로 가역이고 왼쪽에 그 역행렬을 곱하면 \(I-\lambda N\)이 되며 \(N=(I+cN_0)^{-1}N_0\)입니다. 두 인자는 가환하고 \(N_0^m=0\)이면 \(N^m=(I+cN_0)^{-m}N_0^m=0\)입니다. 필요하면 \(N\)도 Jordan 형으로 옮길 수 있습니다. 모든 좌우 인자는 가역이며 \(\lambda\)에 의존하지 않으므로 강동치입니다.
멱영 \(N\)의 \(\det(I-\lambda N)=1\)이므로 행렬식 차수는 \(\dim J\)입니다. 동차 행렬식은 0 아닌 상수배를 제외하면 \(\det(\beta J-\alpha I)\beta^{\dim N}\)입니다. \(\beta=0\)의 중복도가 \(\dim N\)임이 확인됩니다. 변환된 \(B\)는 \(\operatorname{diag}(I,N)\)이므로 \(\operatorname{rank}B=\dim J+\operatorname{rank}N\)입니다. 따라서 \(n-\operatorname{rank}B=\dim N-\operatorname{rank}N\le\dim N\)이고 등호는 \(N=0\)일 때에만 성립합니다. ∎
정리 8. 일반화 Schur 형과 감소부분공간#
복소 정칙 펜슬에는 유니터리 \(Q,Z\)가 존재하여 \(Q^*AZ=S\), \(Q^*BZ=T\)가 모두 상삼각입니다. 동차 고윳값을 원하는 순서로 선택할 수 있습니다. 그 앞 \(k\)개 열 \(Z_1\)이 만드는 \(X\)는 \(\dim(AX+BX)=\dim X=k\)를 만족합니다. 이런 공간을 이 장에서는 오른쪽 감소부분공간(deflating subspace)이라 합니다. 여기서 감소라는 번역은 벡터 크기가 줄어든다는 뜻이 아닙니다.
증명. 차원에 대해 귀납합니다. 정리 7로 유한 또는 무한 고윳값이 존재합니다. 선택한 \((\alpha,\beta)\ne(0,0)\)에 대해 단위 \(z\)를 \(\beta Az=\alpha Bz\)가 되도록 잡습니다. \(Az,Bz\)가 동시에 0이면 모든 \(\lambda\)에서 \((A-\lambda B)z=0\)이 되어 정칙성과 모순입니다.
따라서 둘 중 0 아닌 공통 방향을 단위벡터 \(q\)로 잡습니다. 각각 정규직교 기저로 확장한 \(Z,Q\)로 변환하면 두 첫 열은 모두 \(e_1\)의 배수입니다. 남은 블록을 \((A_2,B_2)\)라 하면 전체 행렬식은 \((s_{11}-\lambda t_{11})\det(A_2-\lambda B_2)\)입니다. 첫 인자는 영다항식이 아니고 전체도 그러하므로 남은 펜슬도 정칙입니다. 남은 차원에서 귀납적으로 같은 작업을 하면 동시 상삼각이 됩니다. 선택한 근의 선형 동차 인자 하나가 제거되므로 남은 원하는 순서를 귀납적으로 고를 수 있습니다.
상삼각 구조로 \(AZ_1=Q_1S_{11}\), \(BZ_1=Q_1T_{11}\)입니다. 따라서 \(AX+BX\subseteq\operatorname{range}(Q_1)\)여서 차원은 \(k\) 이하입니다. 한편 가역인 \(A-cB\)를 고르면 \((A-cB)X\subseteq AX+BX\)이고 그 차원은 \(k\)이므로 반대 부등식이 성립합니다. 결과적으로 차원은 정확히 \(k\)입니다. ∎
앞 블록의 고윳값이 모두 유한이면 \(T_{11}\)은 가역입니다. 경로 \(x_t=Z_1w_t\)에 대한 \(Bx_{t+1}=Ax_t\)는 \(T_{11}w_{t+1}=S_{11}w_t\)로 줄어듭니다. \(Z_1\)의 지정된 상태좌표 블록이 정방 가역일 때에는 주어진 상태에서 \(w_t\)와 나머지 좌표가 유일하게 복원됩니다. 본문의 \((2,1,3)\)은 이 조건을 성분별로 확인한 예입니다. 일반 확률적 동태모형의 해 존재·유일성은 기대연산자와 허용 경로 조건을 추가해야 하므로 이 대수적 결론만으로 대신하지 않습니다.
이차형식의 부호와 펜슬의 분해는 정적 제약과 동적 관계를 작은 블록으로 나눕니다. 다음 장에서는 사상에 함수를 적용하여 반복과 시간에 따른 변화를 계산합니다. H8로 이어 읽기.