I5 · [조망] 예측의 직교성에서 효율성과 자산가격으로#
같은 수요 평균을 서로 다른 모형에서 추정한다#
I2에서 쓴 네 경제상태를 다시 보겠습니다. 수요는 \(Y=(1,3,2,6)\)백만 단위이고 상태확률은 각각 \(1/4\)입니다. 평균 수요는 \(\mu=3\). 독립 표본의 평균으로 추정하면 한 관측이 평균 추정에 주는 중심화된 변화는
그런데 상태확률이 자유롭게 바뀌는 모형과 두 집단의 비율만 바뀌는 모형은 같은 추정 문제가 아닙니다. \(h=(-1,-1,1,1)\) 방향으로만 확률이 움직인다고 하자. 작은 \(t\)에서 \(p_j(t)=(1+th_j)/4\)이며 \(|t|<1\)이면 모두 양수입니다. 합은 1이고
\(Eh^2=1\)이므로 이 한 방향 모형의 도함수는 \(\phi_{\rm restricted}=h\)로 표현됩니다. 분산은 1입니다. 전체 확률모형에서의 표현자 \(Y-3\)를 \(h\)의 span으로 사영한 결과입니다. 더 강한 모형 가정이 더 작은 효율성 경계를 주는 이유를 네 숫자로 확인했습니다. 데이터가 알려 준 정보와 연구자가 가정으로 제한한 모형을 함께 기록해야 합니다.
그림 173 가로축은 상태 번호, 세로축은 평균 수요의 변화 단위다. 제한모형 표현자는 전체모형 표현자의 사영이다. 그림에서 분산이 줄었다는 사실은 제한모형이 실제 경제를 올바르게 설명한다는 증거가 아니다.#
이 장은 준모수 통계와 무한상태 자산가격의 조망입니다. 접공간에서의 사영·Riesz 표현, 편향의 곱 구조, 유한상태 무차익거래와 최소노름 가격결정은 직접 증명합니다. 반면 이 기하를 모든 정칙 추정량의 점근 하한으로 연결하는 convolution·국소점근최소최대 정리와 무한상태 금융의 위상 조건은 외부 이론으로 명시합니다. 수치실험을 그 외부 정리의 증명으로 사용하지 않습니다.
확률모형의 접공간과 경로미분#
기준분포 \(P\)에서 평균 0 제곱적분가능 함수의 공간을 \(L_0^2(P)\)라 합니다. 매끄러운 부분모형 \(P_t\)의 점수 \(s\)는 확률밀도에 대한 일차 변화입니다. 일반적인 정확한 조건은 공통 지배측도에 대해
라는 이차평균 미분가능성입니다. 유한상태의 \(p_j(t)=p_j(1+ts_j)\)는 모든 \(p_j>0\), \(Es=0\)일 때 이 조건을 만족합니다.
가능한 양방향 경로의 점수들이 만드는 닫힌 선형포를 접공간 \(\mathcal T\)로 정의합니다. 따라서 이 정의의 \(\mathcal T\)는 닫힌 부분공간입니다. 일방향 제약의 접원뿔과 혼동하지 않습니다. 모든 양의 유한상태 확률을 허용하면 \(\mathcal T=L_0^2(P)\)이고, 첫 예의 제한모형에서는 \(\mathcal T=\operatorname{span}(h)\)입니다.
목표 범함수 \(\Psi(P)\)가 각 경로에서 미분가능하고, 그 도함수가 점수만으로 정해지는 유계 선형함수 \(\dot\Psi:\mathcal T\to\mathbb R\)로 연장된다고 하자. 그러면 I2의 Riesz 표현으로 유일한 \(\phi\in\mathcal T\)가 있어
이 \(\phi\)를 정준기울기 또는 효율적 영향함수(EIF)라 합니다. 다른 \(b\in L_0^2(P)\)가 같은 모든 도함수를 표현하면 \(b-\phi\perp\mathcal T\)이고
이 최소분산 표현자 성질은 순수한 Hilbert 공간 정리입니다. 아직 임의의 통계추정량이 이 표현자를 영향함수로 갖는다는 결론은 아닙니다.
유한차원 점수벡터 \(S\), 가역 정보행렬 \(I=E[SS^T]\), 목표의 도함수 벡터 \(a\)이면 \(\phi=a^TI^{-1}S\)이고 \(E\phi^2=a^TI^{-1}a\). E4의 Cramér–Rao 식이 복구됩니다. 정칙 점근선형 추정량이
이며 모든 국소 경로에 대해 올바르게 반응한다는 조건 아래 \(b\)는 위 도함수를 표현해야 합니다. 따라서 분산은 \(E\phi^2\) 이상입니다. 더 일반적인 정칙 추정량의 극한분포가 \(N(0,E\phi^2)\)와 독립 잡음의 합성곱이라는 결론에는 LAN와 적절한 정칙성 가정이 더 필요합니다. 제곱손실의 국소점근최소최대 하한도 동일한 정칙 실험 조건에서 읽습니다. 한 점에서만 빨라지는 Hodges형 추정량은 국소 대안 전체에서 정칙이라는 조건을 만족하지 않습니다. 이 외부 연결은 Kosorok의 준모수 추론 교재를 따릅니다.
점수를 잔차화하면 무엇을 통제하는가#
관심모수 \(\theta\)의 점수 \(S_\theta\)와 방해모수 접공간 \(\mathcal T_\eta\)가 있다고 하자. 정보가 중복되는 부분을 제거한 점수는
\(\theta\)가 스칼라이고 \(I_{\rm eff}=E S_{\rm eff}^2>0\)이면 정준기울기는 \(\phi=I_{\rm eff}^{-1}S_{\rm eff}\)입니다. 여기서는 전체 접공간이 \(\overline{\operatorname{span}(S_\theta)+\mathcal T_\eta}\)이고 방해모수 방향에서 목표 도함수가 0이라고 가정합니다. \(\mathcal T_\eta\)가 유한 점수벡터의 span이면 보통의 가중 최소제곱 잔차화이며, E4의 효율정보와 FWL의 같은 사영 계산입니다.
예를 구체화하자. 부분선형모형
에서 \(Y\)는 수요, \(D\)는 표준화 가격, \(X\)는 관측 통제변수입니다. \(J=Ev^2>0\)라 합시다. 조건부 Gaussian·상수분산 \(\sigma^2\)를 추가한 모형의 점수는 \(S_\theta=D\varepsilon/\sigma^2\), 함수경로 \(g_t=g_0+ta\)의 점수는 \(a(X)\varepsilon/\sigma^2\)입니다. 방해점수가 단순히 \(a(X)\)인 것은 아닙니다. 투영의 오차제곱은
이므로 최소의 \(a\)는 \(m_0(X)\). 따라서 \(S_{\rm eff}=v\varepsilon/\sigma^2\), \(I_{\rm eff}=J/\sigma^2\), \(\phi=v\varepsilon/J\), 경계는 \(\sigma^2/J\)입니다. \((D,X)\)의 미지 분포가 만드는 점수는 조건부 평균 0인 오차점수와 직교합니다.
이분산 모형에서는 위 비가중 잔차가 효율적이라고 일반화하지 않습니다. 예컨대 알려진 조건부분산 \(\sigma^2(D,X)\)의 Gaussian 평균 모형에서는 \(a_*(X)=E[D/\sigma^2\mid X]/E[1/\sigma^2\mid X]\)라는 가중 조건부 평균이 나옵니다. 어떤 확률모형을 놓았는지가 효율성의 일부입니다.
Neyman 직교성은 일차 편향을 지운다#
추정용 모멘트를 \(\psi(W;\theta,g,m)=(D-m(X))(Y-\theta D-g(X))\)로 놓겠습니다. 여기서 기대값은 진짜 분포를 고정하고 계산합니다. \(a=\widehat g-g_0\), \(b=\widehat m-m_0\)를 고정함수로 보면
\(E[v\mid X]=E[\varepsilon\mid X]=0\)이므로
\(a\)만 움직이거나 \(b\)만 움직일 때 일차 도함수가 0입니다. 이것이 Neyman 직교성입니다. \(|Eab|\le\|a\|_2\|b\|_2\)이므로 \(\sqrt n\|a\|_2\|b\|_2=o_P(1)\)이면 이 편향은 일차 극한에서 사라집니다. 각각 \(o_P(n^{-1/4})\)는 충분조건 하나이며 한쪽이 더 빠르면 다른 쪽은 더 느려도 됩니다. 단순 \(O_P(n^{-1/4})\) 둘만으로는 \(o_P(1)\)이 되지 않습니다.
그림 174 \(EX^2=1\), \(a(X)=aX\), \(b(X)=bX\)에서 모멘트 편향은 정확히 \(ab\)다. 선은 학습기 성능을 가정한 Monte Carlo 결과가 아니라 계산한 모집단 항등식이다. 추정량 편향은 추가로 모멘트의 \(\theta\) 도함수로 나누어야 한다.#
직교성만으로 효율성까지 얻지는 않습니다. 비상수 양의 함수 \(w(X)\)를 곱한 \(w(X)(D-m)(Y-\theta D-g)\)도 같은 두 일차 도함수가 0입니다. \(v,\varepsilon\)가 \(X\)와 독립이고 동분산이면 정규화한 영향함수의 분산은
비상수 \(w\)에는 엄격한 부등식입니다. 직교 모멘트가 반드시 EIF라는 동치는 성립하지 않습니다.
교차적합은 학습에 사용하지 않은 관측에서 이 모멘트를 평가합니다. 한 평가 fold의 학습표본을 조건으로 두면 \(a,b\)가 고정되고, \(va\)의 조건부 평균은 0입니다. 추가로 \(E[v^2\mid X]\le C\)이면 평가표본 크기 \(n_f\)에
따라서 nuisance 일치성이 이 항을 작게 합니다. \(b\varepsilon\)도 같은 방식입니다. \(ab\)의 평균은 여전히 \(Eab\)이며 교차적합이 이를 0으로 만들지는 않습니다. 그 중심화된 변동에는 예컨대 \(\|ab\|_2=o_P(1)\) 같은 조건을 함께 둡니다. 고정된 유한 fold 수에서 각 fold를 이렇게 통제한 뒤 합칩니다. 서로 다른 fold 전체가 독립이라고 가정할 필요는 없습니다. nuisance의 품질·적분가능성·\(J>0\)은 별도로 남습니다. DML 원논문은 직교 모멘트와 교차적합의 역할을 구분합니다.
실무에서 직접 학습하기 쉬운 것은 \(g_0\)보다 \(\ell_0(X)=E[Y\mid X]=\theta_0m_0(X)+g_0(X)\)입니다. 부분화 모멘트는
\(\delta\ell=\widehat\ell-\ell_0\), \(b=\widehat m-m_0\)일 때 그 평균 편향은 \(E[b\delta\ell]-\theta_0E[b^2]\). 구조적 \(g\) 버전의 \(Eab\)와 정확히 같은 식이라고 쓰지 않습니다. 아래 구현은 이 부분화 버전을 사용합니다.
import numpy as np
rng=np.random.default_rng(445)
n=1200; X=rng.normal(size=(n,8)); v=rng.normal(size=n); eps=rng.normal(size=n)
m0=X[:,0]+.5*X[:,1]**2; g0=.5*X[:,0]**2+X[:,1]
D=m0+v; Y=D+g0+eps; ell0=m0+g0
F=np.column_stack([np.ones(n),X,X[:,0]**2,X[:,1]**2])
fold=np.arange(n)%2; mh=np.zeros(n); lh=np.zeros(n)
for k in range(2):
tr=fold!=k; te=~tr
# Fit only on the other fold; penalty and basis are fixed in advance.
penalty=np.diag(np.r_[0.,np.full(F.shape[1]-1,10.)])
coef=np.linalg.solve(F[tr].T@F[tr]+penalty,F[tr].T@np.column_stack([D[tr],Y[tr]]))
mh[te],lh[te]=(F[te]@coef).T
vr=D-mh; yr=Y-lh
theta=vr@yr/(vr@vr); oracle=v@(Y-ell0)/(v@v)
influence=vr*(yr-theta*vr)/np.mean(vr**2)
se=np.sqrt(np.mean(influence**2)/n)
assert np.isfinite(theta) and se>0
print('cross-fit estimate, empirical SE, oracle:',theta,se,oracle)
# Finite-sign population: exact product-bias identity, without sampling error.
signs=np.array(np.meshgrid([-1.,1.],[-1.,1.],[-1.,1.])).reshape(3,-1)
x,vv,ee=signs; aa=.2*x; bb=.3*x
assert np.allclose(np.mean((vv-bb)*(ee-aa)),.06)
cross-fit estimate, empirical SE, oracle: 1.0131468046914653 0.026962550144001562 1.011680759134082
식별된 범함수라도 유계 표현자가 없을 수 있다#
밀도의 한 점 값 \(p(x_0)\)을 생각해 봅시다. 밀도는 a.e. 동치류이므로 우선 연속 버전을 갖는 모형처럼 점값이 잘 정의되는 조건을 지정합니다. \([0,1]\) 위 균등분포, \(x_0=1/2\)에서 \(\kappa(u)=(1-|u|)_+\), \(0<a<1/2\)라 놓고
를 택하면 \(Es_a=0\), \(\|s_a\|_2^2=2/3-a\)이지만 \(s_a(x_0)=a^{-1/2}-\sqrt a\to\infty\). 각 고정 \(a\)에서 충분히 작은 \(t\)에는 \(p_t=1+ts_a\)가 양의 연속 밀도입니다. 점밀도의 도함수는 \(s_a(x_0)\)이므로 \(L^2\) 노름에 유계일 수 없습니다. 정준기울기가 존재하지 않습니다.
통상적인 비모수 정칙 실험에서 이것은 모든 국소 대안에 안정적인 \(\sqrt n\)-정칙 추정을 막는 원인이 됩니다. 한 특별한 분포에서 빠른 추정량을 만들 수 없다는 주장과는 다릅니다. 1차원에서 두 번 매끄러운 밀도를 보통의 이차 커널로 추정할 때 편향 \(O(h^2)\)와 분산 \(O((nh)^{-1})\)의 균형이 \(h\asymp n^{-1/5}\), RMSE \(n^{-2/5}\)를 줍니다. 이 지수는 그 매끄러움 모형의 결과이며 모든 범함수·모든 추정법의 보편적 최선이 아닙니다. \(\int p^2\)도 영향함수만 쓰면 끝나는 것이 아니라 필요한 적분가능성·매끄러움과 나머지율을 확인해야 합니다.
부분식별은 허용된 집합을 추정한다#
관측이 수요를 구간 \(Y_L\le Y\le Y_U\)로만 알려 준다고 하자. 두 끝점이 적분가능하고 그 외 제약이 없으면 평균의 식별집합은
모든 허용 \(Y\)의 평균이 이 안에 있고, 임의의 \(0\le t\le1\)에 \(Y=(1-t)Y_L+tY_U\)를 택하여 구간 전체를 달성합니다. 추가적인 잠재변수 제약을 넣으면 이 구성도 다시 점검해야 합니다.
비어 있지 않은 볼록 컴팩트 \(K\subset\mathbb R^d\)의 지지함수는 \(h_K(u)=\sup_{x\in K}u^Tx\)입니다. 한 방향으로 가장 멀리 허용되는 값을 기록합니다. 위 구간에서 \(h_K(u)=uEY_U\) for \(u\ge0\), \(uEY_L\) for \(u<0\). 모든 부분식별집합이 자동으로 볼록한 것은 아닙니다. 볼록성을 확인했을 때에만 지지함수의 반공간 교차로 집합 전체를 복원합니다.
세 상태 시장의 가격결정 함수#
이제 금융 응용은 투자 권유가 아닌 한 기간 유한상태 모형입니다. 상태확률은 모두 \(1/3\)이며 채권은 오늘 가격 1에 내일 1을, 위험자산은 오늘 가격 \(4/5\)에 내일 \(X=(0,1,2)\)를 지급합니다. 가격과 지급의 단위는 같은 통화입니다. 확률할인인자 \(m\)의 가격식은
\(EX=1\), \(\operatorname{Var}X=2/3\)이므로 최소 제곱노름 해를 \(m_*=1-c(X-1)\)로 찾아 보겠습니다. \(E[m_*X]=1-c(2/3)=4/5\)에서 \(c=3/10\). 따라서
가격식에 영향을 주지 않는 방향은 \(z=(1,-2,1)\)이고 \(Ez=E[zX]=0\). 모든 해는 \(m=m_*+tz\). 엄격한 양성은 \(-7/10<t<1/2\)를 요구합니다. 따라서 무차익거래와 양의 SDF가 존재하지만 SDF는 유일하지 않습니다. 상태가격은 \(q_s=P_s m_s=m_s/3\)입니다. \(q\)와 \(m\)을 같은 좌표로 쓰면 확률가중 내적을 잃습니다.
그림 175 \(m=m_*+t(1,-2,1)\)에서 \(\operatorname{Var}(m)=3/50+2t^2\). 가로축 양 끝점을 제외한 열린 구간만 엄격히 양의 SDF다. 최소노름 해가 이 예에서는 양수지만 모든 시장에서 그런 것은 아니다.#
채권 가격을 그대로 두고 위험자산 가격을 \(9/5\)로 바꾸면 같은 계산의 \(m_*=(-1/5,1,11/5)\)는 음의 좌표를 갖습니다. 그래도 \(1/5<t<1/2\)에서는 \(m_*+tz>0\)이므로 시장은 무차익거래입니다. 선형 가격제약의 최소노름 해와 양성까지 제약한 최적해를 구별해야 합니다. 엄격한 양성집합은 열려 있으므로 그 안에서 최소값이 달성되지 않을 수도 있습니다.
평균 \(Em=a>0\)를 고정하고 초과수익 벡터 \(R^e\)의 평균을 \(\mu\), 양정치 공분산을 \(\Sigma\)라 합시다. \(E[mR^e]=0\)이면 \(E[(m-a)(R^e-\mu)]=-a\mu\)입니다. 최소분산 선형 표현자는
이것이 Hansen–Jagannathan 경계의 선형 가격제약 판본입니다. 오른쪽은 거래 가능한 모든 초과수익 포트폴리오의 최대 제곱 Sharpe 비율입니다. 양의 SDF 중 등호 달성은 \(m_*>0\) a.s.라는 추가 조건을 요구합니다. 같은 확률분포와 평균제약 아래 거래자산을 더하면 허용 SDF 집합이 줄어서 경계는 내려가지 않습니다. 서로 다른 표본·서로 다른 축소 공분산을 비교하면서 같은 단조성을 주장할 수는 없습니다.
Xpay=np.array([0.,1,2]); mstar=np.array([1.3,1.,.7]); z=np.array([1.,-2,1])
assert np.allclose([mstar.mean(),np.mean(mstar*Xpay)],[1,.8])
assert np.allclose([z.mean(),np.mean(z*Xpay)],[0,0])
for t in [-.6,0,.4]:
m=mstar+t*z
assert np.all(m>0)
assert np.allclose(np.var(m),.06+2*t*t)
mu=np.mean(Xpay-.8); variance=np.var(Xpay-.8)
assert np.allclose(mu*mu/variance,.06)
other=np.array([-.2,1.,2.2])+.3*z
assert np.all(other>0) and np.allclose(np.mean(other*Xpay),1.8)
print('minimum variance:',np.var(mstar),'state prices:',mstar/3)
minimum variance: 0.06000000000000002 state prices: [0.43333333 0.33333333 0.23333333]
무한상태로 가면 단순한 유한차원 무차익거래 조건만으로 엄격히 양의 연속 가격범함수를 얻을 수 없습니다. 소비공간, 양원뿔, 닫힘, 허용 거래전략과 no-free-lunch 형태의 조건을 함께 정해야 합니다. 또한 \(L^\infty\)의 모든 연속 쌍대가 \(L^2\) SDF로 표현되는 것도 아닙니다. 이 확장은 I1의 분리와 I2의 Riesz를 조건 없이 이어 붙인 한 줄 정리가 아닙니다. 유한상태와 일반 확률공간의 차이는 Delbaen의 가격법칙 논의를 참고합니다.
연습문제와 전체 풀이#
1. 제한된 정보의 분산. 첫 네 상태 예에서 \(Y-3-h\)가 \(h\)에 직교함을 확인하라.
풀이. 잔여는 \((-1,1,-2,2)\)이고 내적은 \((1-1-2+2)/4=0\). 잔여분산은 \(10/4=5/2\). 따라서 전체 표현자 분산 \(7/2=1+5/2\). 제한모형에서 제거된 방향을 실제 모형이 허용한다면 분산 1 경계를 적용할 수 없습니다.
2. 직교성과 효율성을 구별하라. \(P(X=0)=P(X=1)=1/2\), \(w(0)=1,w(1)=2\)이고 \(v,\varepsilon\)는 서로 독립인 평균 0·분산 1 변수이고, 쌍 \((v,\varepsilon)\)은 \(X\)와 독립이라고 합시다.
풀이. 가중 모멘트도 nuisance 일차도함수가 0입니다. 하지만 \(Ew=3/2\), \(Ew^2=5/2\)이므로 영향함수 분산은 \((5/2)/(9/4)=10/9\). 비가중의 분산 1보다 큽니다. 직교성은 일차 민감도를 없애는 성질이며 효율성은 허용된 영향함수들 사이의 최소분산 성질입니다.
3. 부분화 점수의 편향. \(\delta\ell=aX\), \(\delta m=bX\), \(EX^2=1\), \(\theta_0=1\)일 때 편향을 구하라.
풀이. \(E[bX\,aX]-E[b^2X^2]=ab-b^2\). 구조적 \(g\) 오차는 \(\delta g=\delta\ell-\theta_0\delta m=(a-b)X\)이므로 \(E[\delta g\delta m]=b(a-b)\)와 일치합니다. \(a=0\)만으로 편향이 0이 되는 것은 아니며 \(\ell\) 추정과 \(g\) 추정을 혼동하면 잘못된 이중강건성 주장을 하게 됩니다.
4. 구간식별의 지지함수. \(EY_L=2,EY_U=5\)일 때 \(h(1),h(-1),h(2)\)를 구하라.
풀이. 각각 \(5,-2,10\)입니다. \(u=-1\)의 부등식 \(-x\le-2\)는 \(x\ge2\), \(u=1\)은 \(x\le5\)를 줍니다. 두 반공간의 교차가 정확히 식별구간입니다. \(h(-1)\)을 2로 쓰면 하한의 부호를 잘못 읽습니다.
5. 상태가격의 유일성. 세 상태 시장에 첫 상태에서만 1을 지급하는 자산을 하나 추가하라. 그 가격을 \(13/30\)으로 주면 SDF는 무엇인가?
풀이. 추가 가격식은 \(m_1/3=13/30\)이어서 \(m_1=13/10\). 기존 식과 합하면 \(t=0\)이고 \(m=m_*\). 세 지급벡터 \(\mathbf1,(0,1,2),(1,0,0)\)는 독립이므로 시장이 완전합니다. 양의 가격해가 존재하는 상황에서 완전성과 상태가격 유일성이 연결됩니다.
6. 불가능성의 범위. 점밀도 표현자가 없다는 논증에서 왜 연속 밀도 모형을 지정했는가?
풀이. 일반 밀도는 영측도 한 점에서 바꾸어도 같은 분포이므로 \(p(x_0)\) 자체가 분포의 함수가 아닐 수 있습니다. 연속 버전을 지정하면 분포가 점값을 결정합니다. 그 뒤에도 좁고 높은 연속 점수 \(s_a\)가 유계 \(L^2\) 노름과 발산하는 점값을 가지므로 경로도함수의 연속성이 실패합니다. 먼저 목표의 정의·식별, 다음 정칙성을 확인하는 순서입니다.
지금까지의 내용을 수학의 언어로 정리해 봅시다#
이제 직접 계산한 네 연결을 정리합니다. 통계적 정칙성의 모든 확률론을 증명했다고 주장하지 않고, 그 이론이 소비하는 Hilbert 공간 기하와 유한상태 가격결정을 완전히 증명합니다.
정리 1 · 정준기울기와 효율적 점수. 닫힌 접공간 \(\mathcal T\) 위 유계 선형 도함수에는 유일한 표현자 \(\phi\in\mathcal T\)가 있고 이는 모든 \(L_0^2\) 표현자 중 최소노름입니다. \(\mathcal T=\overline{\operatorname{span}(S_\theta)+\mathcal T_\eta}\), 목표 도함수가 \(S_\theta\)에서 1, \(\mathcal T_\eta\)에서 0이며 \(I_{\rm eff}>0\)이면 \(\phi=S_{\rm eff}/I_{\rm eff}\)입니다.
증명. Riesz는 유계성·선형성·완비한 닫힌 부분공간이라는 세 조건 아래 표현자를 줍니다. 두 표현자의 차이 \(w\)는 모든 \(s\in\mathcal T\)에 \(E[ws]=0\)이므로 \(w\perp\mathcal T\). 따라서 \(\|\phi+w\|^2=\|\phi\|^2+\|w\|^2\)이고 최소점은 유일합니다. 효율적 점수는 사영잔차라 \(\mathcal T_\eta\)에 직교하고 \(E[S_{\rm eff}S_\theta]=E S_{\rm eff}^2\). 따라서 \(S_{\rm eff}/I_{\rm eff}\)는 지정한 모든 생성방향의 도함수를 표현합니다. 연속성으로 닫힌 span 전체에도 성립하고 유일성으로 정준기울기입니다. \(\square\)
정리 2 · 볼록 컴팩트 집합의 복원. 비어 있지 않은 볼록 컴팩트 집합 \(K\)는 \(\bigcap_u\{x:u^Tx\le h_K(u)\}\)와 같습니다. 따라서 두 집합의 지지함수가 같을 필요충분조건은 두 집합이 같은 것입니다.
증명. \(x\in K\)이면 모든 부등식을 만족합니다. \(x\notin K\)라면 최근접점 \(p\in K\)가 있습니다. 임의의 \(y\in K\)와 \(0\le t\le1\)에 \(p+t(y-p)\in K\). 거리제곱을 전개하고 \(t\downarrow0\)으로 보내면 \((x-p)^T(y-p)\le0\). \(u=x-p\)를 택하면 \(h_K(u)\le u^Tp<u^Tx\)이므로 \(x\)는 교차집합에서 제외됩니다. 복원식이 양방향을 증명합니다. 또한 \(c\ge0\)에 \(h_K(cu)=ch_K(u)\)이고 \(h_K(u+v)\le h_K(u)+h_K(v)\)는 supremum 정의에서 각각 따릅니다. \(\square\)
정리 3 · 유한상태 무차익거래와 양의 가격. \(S\)개 양의 확률 상태, 지급행렬 \(A\in\mathbb R^{S\times N}\), 가격 \(p\)를 갖는 시장에 가격 1·지급 \(\mathbf1\)인 채권이 포함되어 있다고 하자. 초기비용이 0 이하이고 지급이 비음수이며 비용절감 또는 지급 중 적어도 하나가 엄격히 양수인 포트폴리오가 없을 필요충분조건은 \(A^Tq=p\)인 \(q\gg0\)가 존재하는 것입니다. 이때 \(q\)가 유일할 필요충분조건은 \(\operatorname{rank}A=S\)입니다.
증명. \(q\gg0\)가 있으면 \(p^Th=q^TAh\). 비음수 지급의 가격은 비음수이고, 비영 비음수 지급에는 엄격히 양수입니다. 따라서 정의한 차익거래는 불가능합니다.
역으로 채권을 사용해 초기비용을 상쇄하면 무차익거래는 선형공간 \(L=\{Ah-(p^Th)\mathbf1:h\in\mathbb R^N\}\)와 비음수 원뿔의 교차가 \(\{0\}\)이라는 조건과 동치입니다. 단체 \(\Delta=\{d\ge0:\mathbf1^Td=1\}\)와 \(L\)은 만나지 않습니다. \(\Delta\)의 컴팩트성과 \(L\)의 닫힘으로 \(\|d-P_Ld\|^2\)의 최소점 \(d_*\)가 있고 최소값은 양수입니다.
\(q_0=d_*-P_Ld_*\)라 놓으면 \(q_0\perp L\). 임의의 \(d\in\Delta\)에 최소조건의 방향도함수를 적용하여 \(q_0^T(d-d_*)\ge0\)을 얻습니다. \(q_0^Td_*=\|q_0\|^2>0\)이므로 각 단위벡터 \(e_s\in\Delta\)에 \(q_{0s}\ge\|q_0\|^2>0\). 정규화 \(q=q_0/(\mathbf1^Tq_0)\)는 양수이고 \(q^T(Ah-(p^Th)\mathbf1)=0\)에서 \(A^Tq=p\)입니다.
완전하면 \(A^T\)가 단사여서 해는 유일합니다. 불완전하면 \(0\ne z\in\ker A^T\)를 고릅니다. 유한개 좌표에서 \(q_s>0\)이므로 충분히 작은 양·음 \(t\)에 \(q+tz\gg0\)가 유지됩니다. 따라서 해가 여러 개입니다. 무한차원에서는 이 마지막 양성 여유가 자동으로 존재하지 않습니다. \(\square\)
정리 4 · HJ 최소분산 경계. \(R^e\in L^2\), \(\Sigma\succ0\), \(Em=a>0\), \(E[mR^e]=0\)인 모든 실수 \(m\in L^2\)에 본문의 분산 경계가 성립합니다. 등호는 \(m=m_*\) a.s.일 때뿐입니다.
증명. \(Z=R^e-\mu\), \(c=-a\Sigma^{-1}\mu\)라 놓겠습니다. 가격제약은 \(E[Z(m-a)]=-a\mu=\Sigma c\).
따라서 \(w=m-a-c^TZ\)는 \(Ew=0\), \(E[Zw]=0\)입니다. 피타고라스로 \(\operatorname{Var}(m)=c^T\Sigma c+Ew^2=a^2\mu^T\Sigma^{-1}\mu+Ew^2\). 최소점은 \(w=0\)으로 유일합니다.
한편 임의의 포트폴리오 \(b\)에 Cauchy–Schwarz를 \(\Sigma^{1/2}b\)와 \(\Sigma^{-1/2}\mu\)에 적용하면 \((b^T\mu)^2/(b^T\Sigma b)\le\mu^T\Sigma^{-1}\mu\), \(\mu\ne0\)이면 \(b\propto\Sigma^{-1}\mu\)에서 등호입니다. \(\mu=0\)이면 모든 비영 \(b\)의 비율이 0입니다. 추가 양성제약의 등호 여부는 \(m_*\)의 부호를 별도로 확인합니다. \(\square\)
응용의 결론은 선택한 모형과 허용하는 변화 방향에 따라 달라집니다. 다음 장에서는 지금까지 사용한 정리로 돌아가, 어느 가정을 지우면 어떤 결론이 실패하는지 함께 점검합니다. S1로 이어 읽기.