A4 · 반복 계산을 작은 공간과 다항식으로 정리하기#
시간에 따라 상태가 바뀔 때 모든 성분을 매번 처음부터 계산해야 할까요? 어떤 변화들은 계속 같은 부분공간에 머물고, 어떤 변화들은 다른 성분으로 전달됩니다. 그 차이를 알면 반복 계산을 더 작은 문제로 나눌 수 있습니다.
이번 단원에서는 두 변수의 선형 동역학, 반복 적용을 기록하는 다항식, 과거 관측값을 불러오는 지연연산자를 연결합니다. 마지막에는 필요한 다항식 나눗셈과 Bézout 항등식까지 증명합니다. 이 장의 무한급수 부분에서는 시간 범위와 유계 조건을 명시합니다. 유한 행렬의 역이 존재하는 것과 무한한 시간 동안 반응이 제어되는 것은 다른 질문입니다.
1. 한쪽으로만 영향을 주는 두 변수의 변화#
기준 상태에서 벗어난 두 반응량을 \((x_n,y_n)\)이라고 합시다. 두 변수는 이미 단위를 정규화해 무차원이며, 시간 \(n=0,1,\ldots\)은 같은 길이의 관측 간격입니다. 교육용 선형 모형을
로 정합니다. 두 번째 반응은 자기 자신의 과거값만 사용하지만 첫 번째 반응은 두 성분 모두의 영향을 받습니다. 특정 경제·물리계의 추정계수가 아니라, 결합 방향을 손으로 확인하기 위해 정한 계수입니다.
라고 쓰면 상태 \(z_n=(x_n,y_n)^\top\)에 대해 \(z_{n+1}=Tz_n\)입니다.
초기값이 \((a,0)\)이면 다음 상태는 \((a/2,0)\)이고 그다음도 두 번째 성분이 0입니다. 따라서
은 \(T\)를 적용해도 그 안에 머뭅니다. 이런 부분공간을 불변부분공간이라고 합니다.
그러나 세로축은 불변이 아닙니다. \(Te_2=(1,1/4)\)가 세로축 밖에 있기 때문입니다. 첫 번째 좌표축이 불변이라는 사실만으로 두 좌표가 독립적으로 움직인다고 결론내리면 안 됩니다.
2. 부분공간에 제한하는 것과 그 차이를 무시하는 것#
\(U\) 안에서만 상태를 고려하면 \(T(a,0)=(a/2,0)\)이므로 1차원 규칙 \(a\mapsto a/2\)가 됩니다. 이것을 제한사상 \(T|_U\)라고 부릅니다.
이번에는 \(U\) 방향의 차이를 무시하고 두 번째 성분만 구별합시다. \((x,y)\)와 \((x+a,y)\)는 같은 동치류입니다. 두 입력을 적용한 출력 차이는
입니다. 따라서 입력 대표를 달리 골라도 출력의 동치류는 같습니다. 몫 \(V/U\)에는 \(y\mapsto y/4\)라는 규칙이 유도됩니다.
이 두 작은 규칙만으로 원래 \(T\)의 모든 정보를 얻었을까요? 아닙니다. 첫 성분에 더해지는 \(y_n\)의 효과는 남아 있습니다. 원래 행렬의 대각 블록 \(1/2,1/4\)는 제한과 몫의 작용을 기록하고, 오른쪽 위의 1은 그 사이의 영향을 기록합니다.
그림 28 가로축의 불변성은 두 번째 성분으로 새 영향이 생기지 않는다는 뜻입니다. 세로축은 불변이 아니므로 두 표준좌표가 따로 움직이는 모형은 아닙니다.#
3. 다른 방향을 고르면 두 부분이 독립적으로 움직인다#
\(w=(-4,1)\)을 골라 \(T\)를 적용하면
따라서 \(W=\operatorname{span}\{w\}\)도 불변입니다. \(e_1\)과 \(w\)는 독립입니다. \(a e_1+bw=(a-4b,b)=0\)에서 \(b=0,a=0\)이기 때문입니다.
임의의 \((x,y)\)는
로 유일하게 나뉩니다. 즉 \(V=U\oplus W\)입니다. 이 두 부분은 각각 \(1/2\), \(1/4\)배가 되므로
\(n=0\)에서는 원래 분해이며, 한 번 더 \(T\)를 적용하면 각 항의 배율에 다시 \(1/2\), \(1/4\)를 곱하므로 귀납적으로 모든 \(n\)에서 성립합니다.
특히 \(z_0=e_2=(0,1)\)이면
\(n=1\)에서는 \((1,1/4)\)이고 \(n=2\)에서는 \((3/4,1/16)\)입니다. 원래 점화식으로도 \(x_2=(1/2)\cdot1+1/4=3/4\)를 얻습니다.
부분공간을 나누었다는 말은 계산을 생략한다는 뜻이 아닙니다. 처음 한 번 분해계수 \(x+4y,y\)를 구하고, 그 뒤에는 각 계수의 거듭제곱을 계산한다는 뜻입니다.
4. 연산자에 다항식을 넣는다는 말#
실수 변수 \(z\)의 다항식 \(p(z)=z^2-\frac34z+\frac18\)을 생각합시다. \(z\) 대신 행렬 \(T\)를 넣으면
입니다. 상수항에는 숫자만 더하는 것이 아니라 항등사상 \(I\)를 곱합니다.
행렬곱을 직접 전개하면
따라서
반복 계산에 관계식이 생겼습니다.
양쪽에 \(T^n\)을 곱하면 \(T^{n+2}=\frac34T^{n+1}-\frac18T^n\)입니다. 특정 입력 \(v\)에 적용하면 벡터열 \(T^nv\)도 같은 2차 점화식을 만족합니다. 행렬의 거듭제곱을 모두 새로운 대상으로 취급할 필요가 없습니다.
\(p(z)\)는 \((z-\frac12)(z-\frac14)\)로 인수분해됩니다. 이 곱을 \(T\)에 대입해도 \((T-\frac12I)(T-\frac14I)\)가 됩니다. 한 연산자의 다항식들은 서로 교환하므로 인수 순서를 바꿀 수도 있습니다. 서로 다른 임의의 두 행렬이 교환한다는 뜻은 아닙니다.
5. 다항식으로 두 불변 성분을 직접 꺼내기#
\(T\)가 \(e_1\)에는 \(1/2\), \(w\)에는 \(1/4\)로 작용하므로, 전자에는 1을 주고 후자에는 0을 주는 다항식을 찾고 싶습니다.
이면 \(r(1/2)=1\), \(r(1/4)=0\)입니다. 따라서
실제로 \(P(x,y)=(x+4y,0)\)이어서 \(U\)의 성분만 남깁니다. 나머지 성분은
직접 확인하면
\(P\)의 제곱은 첫 행 \((1,4)\)가 그대로 남고, \(Q^2\)는 \(Q(-4y,y)=(-4y,y)\)로 확인할 수 있습니다. \(P\)는 \(w\)에 0을 주고 \(Q\)는 \(e_1\)에 0을 주므로 두 교차 합성도 0입니다.
이 계산의 근거가 되는 다항식 항등식은
두 인수의 결합으로 1을 만들었습니다. 일반적인 서로소 다항식에도 이런 항등식이 존재하며, 이를 Bézout 항등식이라고 합니다. 마지막 절에서 존재와 분해 정리를 증명합니다.
6. 한 초기값에서 도달할 수 있는 공간#
\(v=e_2\)에서 시작하면
첫 두 벡터는 독립입니다. \(a(0,1)+b(1,1/4)=0\)에서 첫 성분은 \(b=0\), 둘째는 \(a=0\)입니다. 셋째 벡터는
로 이미 앞의 두 벡터의 결합입니다. 그다음도 같은 관계식으로 앞의 공간에 머뭅니다. 따라서 이 초기값에서 반복 적용으로 생성되는 공간은 2차원입니다.
반면 \(v=e_1\)에서 시작하면 \(T^nv=2^{-n}e_1\)이므로 1차원만 생성합니다. 같은 연산자라도 어떤 초기값을 사용했는지에 따라 보이는 부분이 달라집니다. 한 초기값에서 얻은 다항식 관계가 연산자 전체에 적용되는 관계라고 곧바로 결론내리면 안 됩니다.
벡터 \(v,Tv,\ldots,T^{m-1}v\)가 만드는 공간은 수치선형대수에서 Krylov 공간이라고 부릅니다. 여기서는 이름보다 생성 과정을 기억하면 됩니다. 모든 반복벡터를 포함하는 최소 불변부분공간이 \(\operatorname{span}\{T^kv:k\ge0\}\)입니다.
7. 지연연산자는 과거값을 읽는 선형사상이다#
이번 절에서는 한쪽 수열 \(y=(y_0,y_1,\ldots)\)을 사용하고 초기 경계값 \(y_{-1}=0\)으로 고정합니다. 지연연산자 \(L\)을
로 정의합니다. 선형성은 각 시점에서 \(L(ay+bz)_n=a(Ly)_n+b(Lz)_n\)으로 확인됩니다. 첫 시점에서도 양쪽이 모두 0입니다.
점화식
은
로 쓸 수 있습니다. 여기의 \(\varepsilon\)는 지정된 입력 또는 충격 수열입니다. 아직 확률변수나 백색잡음이라는 가정을 하지 않았습니다.
초기 충격이 \(\varepsilon=(1,0,0,\ldots)\)이면
처음 \(N\)개 성분만 기록하는 유한 행렬 \(L_N\)은 아래 대각선에 1이 있고 나머지는 0입니다. \(N\)번 지연하면 모든 성분이 경계 밖으로 밀려 \(L_N^N=0\)입니다. 그래서 임의의 실수 \(\phi\)에 대해
입니다. 실제 곱은 모든 중간항이 소거되어 \(I-\phi^NL_N^N=I\)가 됩니다.
따라서 \(\phi=1.5\)여도 유한 절단행렬의 역은 존재합니다. 하지만 충격 반응 \(1.5^n\)은 시간에 따라 커집니다. 유한계의 가역성과 무한 시간의 안정성을 혼동하면 안 됩니다.
그림 29 유한 절단행렬은 세 경우 모두 가역입니다. 반면 장기 충격 반응은 다릅니다. 세로축은 로그 눈금이고, 점들은 이산 시점의 값입니다.#
8. 무한급수는 어느 입력들에서 의미가 있는가?#
유계 실수 수열들의 공간을
라고 씁니다. 크기를 \(\|y\|_\infty=\sup_n|y_n|\)로 측정합니다. 지연하면 값의 일부를 이동하고 0을 추가하므로 \(\|Ly\|_\infty\le\|y\|_\infty\)입니다.
\(|\phi|<1\)이고 입력 \(\varepsilon\)가 유계이면
를 정의할 수 있습니다. 각 시점의 합은 유한하고
따라서 결과 수열도 유계입니다. 점화식에 넣으면
\(n=0\)에서는 \(y_0=\varepsilon_0\)이므로 같은 결론입니다.
연산자의 부분합 \(B_N=\sum_{k=0}^{N-1}\phi^kL^k\)와 완전한 해의 차이는 모든 시점에 대해
따라서 입력 크기를 1 이하로 제한해도 오차가 같은 상계로 0에 갑니다. 이것이 여기서 무한급수가 연산자 노름으로 수렴한다는 뜻입니다. 각 시점에서 성립하는 형식적 식만 적고 수렴을 생략한 것이 아닙니다.
\(|\phi|\ge1\)이면 반대로 모든 유계 입력이 유계 출력을 갖지는 않습니다. \(|\phi|>1\)에서는 초기 충격이 유계인데 해 \(\phi^n\)이 유계가 아닙니다. \(\phi=1\)에서는 입력 \(\varepsilon_n=1\)에 대해 \(y_n=n+1\)입니다. \(\phi=-1\)에서는 입력 \(\varepsilon_n=(-1)^n\)에 대해 \(y_n=(n+1)(-1)^n\)입니다. 직접 점화식에 넣으면 두 결과를 확인할 수 있습니다. 따라서 이 한쪽 경계 조건의 유계수열 공간에서는 \(|\phi|<1\)이 가역성의 정확한 조건입니다.
9. 시간의 범위를 바꾸면 결론도 바뀐다#
양쪽 시간 \(n\in\mathbb Z\)의 수열에서는 지연 \(L\)에 역 \(L^{-1}\), 즉 미래값을 읽는 연산자가 있습니다. \(|\phi|>1\)일 때에도
를 정의하면 유계 입력에 유계 해를 줄 수 있습니다. 절댓값의 합은 \(\|\varepsilon\|_\infty\sum_{k\ge1}|\phi|^{-k}\)로 유계입니다. 또
이므로 \(y_n-\phi y_{n-1}=\varepsilon_n\)입니다. 다만 이 해는 미래 입력을 사용합니다. 과거와 현재의 입력만으로 현재를 만드는 인과적 필터와 다릅니다.
따라서 “지연다항식의 역이 존재한다”는 문장에는 시간 범위, 경계 조건, 허용 수열, 인과성 요구가 들어가야 합니다. 이 장의 주된 결론은 7~8절의 한쪽 시간·0 경계·유계수열 조건입니다. 일반 ARMA 확률과정의 정상성 이론까지 증명한 것으로 확대하지 않습니다.
10. 두 번의 지연과 동반형 상태 표현#
다음 2차 점화식을 살펴봅시다.
지연다항식은
입니다. 두 일차 필터가 각각 앞 절의 \(|\phi|<1\) 조건을 만족하므로 한쪽 유계수열에서 역을 가지며, 두 역을 합성하면 전체 역을 얻습니다.
충격이 없는 경우 \(y_n=r^n\) 꼴을 대입하면
증감률 후보는 \(4/5,2/5\)입니다. 반면 지연다항식의 근은 \(5/4,5/2\)입니다. 서로 역수입니다.
상태를 \(s_n=(y_n,y_{n-1})^\top\)로 적으면
\(C\)를 이 행렬이라고 할 때 \(r=4/5\) 또는 \(2/5\)에 대해
행렬식을 사용하지 않고 동반행렬의 두 고윳값을 확인했습니다. 지연다항식 근이 단위원 바깥에 있고 이 상태행렬의 고윳값이 안에 있다는 두 표현은 이 예에서 같은 사실입니다.
그림 30 같은 모형에서 서로 다른 다항식을 보고 있습니다. 표시한 쌍은 \(z=1/r\)로 연결됩니다. 영 고윳값이나 고차 행렬 지연다항식에 관한 일반 분류는 이 그림만으로 결론내리지 않습니다.#
11. 계산 확인과 전체 풀이#
from sympy import Matrix, Rational, eye, zeros, symbols, expand
T=Matrix([[Rational(1,2),1],[0,Rational(1,4)]])
P=4*T-eye(2)
Q=eye(2)-P
assert P*P==P and Q*Q==Q and P*Q==Q*P==zeros(2)
assert T*T-Rational(3,4)*T+Rational(1,8)*eye(2)==zeros(2)
v=Matrix([0,1])
for n in range(8):
expected=Matrix([4*(Rational(1,2)**n-Rational(1,4)**n),Rational(1,4)**n])
assert T**n*v==expected
N=5
L=Matrix(N,N,lambda i,j:int(i==j+1))
for phi in [Rational(1,2),Rational(3,2)]:
B=sum((phi**k*L**k for k in range(N)),zeros(N))
assert (eye(N)-phi*L)*B==B*(eye(N)-phi*L)==eye(N)
z=symbols("z")
assert expand((1-Rational(4,5)*z)*(1-Rational(2,5)*z))==1-Rational(6,5)*z+Rational(8,25)*z*z
print("불변 분해, 반복 공식, 유한 지연 역행렬 검산 통과")
불변 분해, 반복 공식, 유한 지연 역행렬 검산 통과
문제 1 · 불변 여부를 직접 검사하기#
1절의 \(T\)에서 \(\operatorname{span}(1,1)\)은 불변인가요?
풀이. \(T(1,1)=(3/2,1/4)\)입니다. 이것이 \(a(1,1)\)이라면 두 성분이 같아야 하지만 \(3/2\ne1/4\)입니다. 따라서 불변이 아닙니다. 기저벡터 하나의 상이 해당 1차원 공간에 들어가지 않는 것으로 반례가 완성됩니다.
문제 2 · 초기값의 분해#
\(z_0=(2,-1)\)의 \(U,W\) 성분과 \(T^nz_0\)를 구하세요.
풀이. \(x+4y=2-4=-2\), \(y=-1\)이므로 \(z_0=-2e_1-w\)입니다. 따라서 \(T^nz_0=-2(1/2)^ne_1-(1/4)^nw\), 즉 \((-2(1/2)^n+4(1/4)^n,-(1/4)^n)\)입니다. \(n=0\)에서 \((2,-1)\)로 돌아갑니다.
문제 3 · 같은 인수를 쓰면 분해되는가?#
\(N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\)에 대해 \(\ker N^2=\ker N\oplus\ker N\)이라고 할 수 있나요?
풀이. \(N^2=0\)이므로 왼쪽은 \(\mathbb R^2\)입니다. \(\ker N=\operatorname{span}(e_1)\)이므로 두 핵의 합도 같은 직선이며 교집합도 0이 아닙니다. 두 인수 \(p(z)=q(z)=z\)가 서로소가 아니므로 분해 정리의 가정을 만족하지 않습니다.
문제 4 · 유한 역행렬과 장기 반응#
\(N=3\), \(\phi=2\)일 때 초기 충격의 세 시점 반응과 유한 역행렬을 구하세요.
풀이. 반응은 \((1,2,4)\)입니다. \(L_3^3=0\)이므로 역은 \(I+2L_3+4L_3^2=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0\\4&2&1\end{pmatrix}\)입니다. 이 역의 존재는 그 뒤의 반응 \(8,16,\ldots\)이 유계라는 뜻이 아닙니다.
문제 5 · 몫에서 대표 선택이 실패하는 경우#
세로축 \(W=\operatorname{span}(e_2)\)를 무시하고 \(T\)의 몫 작용을 정의하려 하면 왜 실패하나요?
풀이. \(0\)과 \(e_2\)는 \(W\)에 대한 같은 동치류입니다. 그러나 \(T0=0\), \(Te_2=(1,1/4)\)의 차이는 \(W\)에 속하지 않습니다. 같은 동치류에 다른 출력 동치류를 주므로 함수가 되지 않습니다. 불변성은 이 실패를 막는 정확한 조건입니다.
12. 지금까지의 내용을 수학의 언어로 정리해 봅시다#
반복 상태, 작은 공간, 다항식 관계를 이제 일반적으로 정의합니다. 이 절의 다항식은 체 \(F\)의 계수를 가지며, \(T:V\to V\)는 선형사상입니다. 무한급수의 수렴은 앞에서 별도로 지정한 실수 유계수열 공간에서만 주장했습니다.
12.1 불변성과 몫 위의 작용#
정리 41 (불변부분공간의 세 표현)
부분공간 \(U\)에 대해 \(T(U)\subseteq U\)이면 제한 \(T|_U:U\to U\)와 몫 작용 \(\overline T(v+U)=Tv+U\)가 선형사상으로 정의됩니다. \(V\)가 유한차원이면 \(U\)의 기저를 앞에 둔 전체 기저에서 행렬은 \(\begin{pmatrix}A&B\\0&C\end{pmatrix}\)이며, \(A\)는 제한, \(C\)는 몫의 행렬입니다. 역으로 이 블록 모양이면 \(U\)는 불변입니다.
증명. 제한의 출력이 \(U\)에 머무는 것은 불변성이고, 선형성은 \(T\)의 선형성입니다. 몫에서는 \(v-w\in U\)이면 \(Tv-Tw=T(v-w)\in U\)여서 대표와 무관합니다. \(\overline T(a(v+U)+b(w+U))=T(av+bw)+U=aTv+bTw+U\)로 선형성도 확인됩니다.
\(U\)의 기저벡터들의 상은 \(U\) 안에 있으므로 그 열들의 아래 좌표는 모두 0입니다. 위쪽 좌표가 제한의 행렬 \(A\)입니다. 추가 기저벡터의 상에서 \(U\) 성분을 지우면 아래 좌표 \(C\)만 남으므로 몫의 행렬입니다. 역으로 아래 왼쪽 블록이 0이면 \(U\)의 기저들의 상이 \(U\)에 있고, 모든 결합의 상도 \(U\)에 있으므로 불변입니다. \(\square\)
\(V=U\oplus W\)에서 두 공간이 모두 불변이면 두 기저를 이어 붙였을 때 양쪽 교차 블록이 0이어서 블록 대각입니다. 역으로 블록 대각이면 각 블록 좌표공간의 상이 자기 공간 안에 있어 둘 다 불변입니다.
12.2 다항식 대입과 불변 핵·상#
\(p(z)=\sum_i a_iz^i\)에 대해 \(p(T)=\sum_i a_iT^i\), \(T^0=I\)로 정의합니다. 합과 스칼라배는 계수별로 보존됩니다. 곱에서는
다항식 계수는 체에서 교환하므로 순서를 바꾸어도 같고, 따라서 \(p(T)q(T)=q(T)p(T)\)입니다. 특히 \(Tp(T)=p(T)T\)입니다.
\(v\in\ker p(T)\)이면 \(p(T)Tv=Tp(T)v=0\)이어서 핵은 불변입니다. \(v=p(T)u\)가 상의 원소이면 \(Tv=Tp(T)u=p(T)Tu\)가 다시 상이므로 상도 불변입니다. 둘 다 0과 선형결합에 닫혀 있다는 것은 선형사상의 핵·상 정리에서 이미 증명했습니다.
12.3 다항식 나눗셈과 주아이디얼#
정리 42 (다항식 나눗셈)
\(d\ne0\)이면 임의의 \(f\in F[z]\)에 대해 \(f=qd+r\), \(r=0\) 또는 \(\deg r<\deg d\)인 \(q,r\)이 유일하게 존재합니다.
증명. \(f=0\) 또는 \(\deg f<\deg d\)이면 \(q=0,r=f\)입니다. 그 외에는 최고차항을 \(a z^m\), \(b z^n\)이라고 합시다. \(b\ne0\)이므로 \(c=(a/b)z^{m-n}\)를 만들 수 있습니다. \(f-cd\)의 최고차항이 소거되어 차수가 줄어듭니다. 새 다항식에서도 차수가 \(n\) 이상이면 같은 과정을 반복합니다. 차수는 음이 아닌 정수이고 매번 줄어드므로 유한 번 뒤 멈춥니다. 뺀 항들을 더한 것이 \(q\), 남은 것이 \(r\)입니다.
두 표현이 있다면 \((q-q')d=r'-r\)입니다. \(q-q'\ne0\)이면 왼쪽 차수는 \(\deg(q-q')+\deg d\ge\deg d\)이고, 오른쪽은 0이거나 차수가 \(\deg d\) 미만입니다. 모순이므로 \(q=q'\), 이어서 \(r=r'\)입니다. 다항식 곱의 차수 법칙은 최고차항 계수의 곱이 체에서 0이 아니라는 B2의 논증을 사용했습니다. \(\square\)
다항식의 아이디얼은 0을 포함하고 덧셈과 덧셈역원에 닫혀 있으며, 그 원소에 임의의 다항식을 곱해도 들어 있는 부분집합입니다. 0 아닌 아이디얼에서 최소 차수의 0 아닌 원소를 골라 최고차항 계수로 나누고 최고차항 계수 1인 \(d\)를 얻습니다. 임의의 \(f\)를 \(d\)로 나누면 나머지 \(r=f-qd\)도 아이디얼에 들어 있습니다. 최소성 때문에 \(r=0\)이어야 합니다. 따라서 모든 \(f\)가 \(d\)의 배수이며 아이디얼은 \((d)\)입니다. 이런 환을 주아이디얼 정역이라고 합니다. 영아이디얼은 \((0)\)입니다.
12.4 Bézout 항등식과 서로소 분해#
\(p,q\)가 동시에 0은 아니라고 합시다. \(ap+bq\) 형태의 모든 다항식은 아이디얼을 이룹니다. 두 결합을 더하거나 임의 다항식을 곱해도 같은 형태이며, 역원도 계수의 부호를 바꾸면 됩니다. 앞의 정리로 이 아이디얼은 어떤 최고차항 계수 1인 \(d\)로 생성됩니다.
\(p,q\)가 이 아이디얼에 있으므로 \(d\)는 둘을 나눕니다. 모든 공약수는 모든 \(ap+bq\), 특히 \(d\)도 나누므로 \(d\)는 최대공약수입니다. 따라서 서로소, 즉 최고차항 계수 1인 최대공약수가 1이면
인 다항식 \(a,b\)가 존재합니다.
정리 43 (서로소 다항식의 핵 분해)
\(p,q\)가 서로소이면 \(\ker(pq)(T)=\ker p(T)\oplus\ker q(T)\)입니다.
증명. \(ap+bq=1\)을 \(T\)에 대입하면 \((ap)(T)+(bq)(T)=I\)입니다. \(v\in\ker(pq)(T)\)에 대해
라고 분해합니다. 첫 항에 \(p(T)\)를 적용하면 \(b(T)(pq)(T)v=0\)이므로 첫 항은 \(\ker p(T)\)에 있습니다. 둘째 항에 \(q(T)\)를 적용해도 같은 이유로 0이므로 둘째 항은 \(\ker q(T)\)에 있습니다. 따라서 왼쪽이 오른쪽 합에 포함됩니다.
역으로 \(u\in\ker p(T)\)이면 \((pq)(T)u=q(T)p(T)u=0\)이고, \(w\in\ker q(T)\)도 \((pq)(T)w=0\)입니다. 선형성에 의해 \(u+w\)도 왼쪽에 속합니다.
교집합의 원소 \(z\)에는 \(p(T)z=q(T)z=0\)이므로 \(z=a(T)p(T)z+b(T)q(T)z=0\)입니다. 따라서 합은 직합입니다. 두 핵의 불변성은 12.2에서 증명했습니다. \(\square\)
이 증명에서 \(P=(bq)(T)\)와 \(Q=(ap)(T)\)는 \(\ker(pq)(T)\) 위에서 두 성분을 고르는 사영입니다. 이 공간이 \(V\) 전체인 경우에만 곧바로 전체 공간의 사영이라고 말합니다. 일반적인 \(v\)에 대해 \((pq)(T)v=0\)을 확인하지 않고 \(P^2=P\)라고 주장하면 안 됩니다.
12.5 순환부분공간과 첫 종속 관계#
정리 44 (한 벡터가 생성하는 최소 불변부분공간)
\(C_T(v)=\operatorname{span}\{T^kv:k\ge0\}\)는 \(v\)를 포함하는 최소 \(T\)-불변부분공간입니다. \(v\ne0\)이고 첫 종속이 \(v,Tv,\ldots,T^dv\)에서 발생하면 \(v,\ldots,T^{d-1}v\)가 그 기저입니다.
증명. \(T(\sum_k a_kT^kv)=\sum_k a_kT^{k+1}v\)이므로 생성공간은 불변입니다. \(T^0v=v\)를 포함합니다. 다른 불변부분공간이 \(v\)를 포함하면 \(Tv,T^2v,\ldots\)도 귀납적으로 포함하며 그 모든 유한 결합도 포함합니다. 따라서 최소입니다.
첫 종속 관계 \(\sum_{k=0}^d a_kT^kv=0\)에서 \(a_d\ne0\)이어야 합니다. 그렇지 않으면 더 짧은 목록이 종속이 되어 ‘첫’이라는 조건에 모순입니다. \(a_d\)로 나누어 \(T^dv\)를 앞의 \(d\)개 결합으로 표현합니다. 그 앞 목록의 마지막 원소를 \(T\)로 보내도 이 결합으로 돌아오고, 다른 원소들은 다음 원소로 가므로 그 생성공간은 이미 불변입니다. 따라서 모든 반복벡터를 포함합니다. 앞 목록은 첫 종속의 정의상 독립이므로 기저입니다. \(\square\)
\(V\)가 \(n\)차원이면 \(n+1\)개의 반복벡터는 종속이므로 이 과정은 유한 번에 멈춥니다. \(v=0\)인 경우 생성공간은 \(\{0\}\)이고 기저는 빈 목록입니다.
12.6 한쪽 유계수열의 역을 명확히 정리하기#
실수 \(\phi\)와 7절의 한쪽 지연 \(L\)에 대해 \(I-\phi L\)이 \(\ell^\infty(\mathbb N_0)\)에서 가역일 필요충분조건은 \(|\phi|<1\)입니다. 충분성은 8절에서 유계 입력마다 유계 해를 구성하고 균일 오차 상계를 증명했습니다. 유일성도 확인해야 합니다. 동차식 \(y_n=\phi y_{n-1}\)와 \(y_{-1}=0\)에서 \(y_0=0\), 이어서 모든 \(y_n=0\)이므로 핵이 0입니다. 따라서 구성한 해는 유일합니다. 그 구성은 선형이며 크기 상계가 있으므로 유계 역입니다.
필요성은 8절의 세 입력으로 증명됩니다. \(|\phi|>1\), \(\phi=1\), \(\phi=-1\)에서 각각 유계 입력이 유계 해를 갖지 않으므로 전사가 아니며 가역이 아닙니다. 이 증명은 일반 Banach 공간에 대한 Neumann 정리를 인용한 것이 아니라, 명시한 수열 공간에서 직접 완성한 증명입니다.
계산에서 확인한 내용 |
수학의 언어 |
|---|---|
반복해도 같은 공간에 머묾 |
불변부분공간 |
무시한 차이가 다음에도 무시 가능 |
몫 위의 유도연산자 |
반복 작용 사이의 선형 관계 |
\(p(T)\) |
서로 다른 인수에 대응하는 성분 분리 |
Bézout 핵 분해 |
한 초기값에서 생성되는 모든 반복 |
순환·Krylov 공간 |
절단행렬 역과 장기 안정성의 차이 |
공간·경계·노름의 명시 |
반복벡터의 관계를 다항식으로 기록하면 긴 계산을 줄일 수 있습니다. 다음 장에서는 반복해도 방향이 바뀌지 않는 벡터가 언제 존재하는지, 계산하는 체를 구별하며 증명합니다. A5로 이어 읽기.