B3 · 합계를 알면 원래 상태를 얼마나 알 수 있을까?

B0·B1에서 노동과 원료의 합계만으로는 세 생산량을 유일하게 정할 수 없음을 보았습니다. 이번에는 그 계산을 한 단계 더 진행합니다. 어떤 관측값은 가능하고 어떤 것은 불가능한지, 관측값을 고정하면 자유롭게 바꿀 수 있는 수가 몇 개인지를 구하겠습니다.

B2에서 다룬 선형결합·기저·부분공간을 사용합니다. 행렬식과 내적은 사용하지 않습니다. 구체적인 생산계획과 다항식의 미분을 계산한 뒤, 마지막 절에서 모든 유한차원 선형사상에 적용되는 차원정리를 증명합니다.

1. 기록이 세 줄이어도 독립된 정보는 두 개일 수 있다

B0·B1의 생산 모형에 네 번째 활동을 추가합시다. 실행량 \(x_1,\ldots,x_4\)는 연속적으로 나눌 수 있으며 실제 생산계획에서는 비음수입니다. 노동과 원료 사용량은 다음과 같습니다.

자원	활동 1	활동 2	활동 3	활동 4
노동시간	1	0	1	2
원료 kg	0	1	1	1

활동 2가 노동 없이 원료를 소비한다는 것은 이 교육용 모형의 가정입니다. 현실의 모든 생산기술을 묘사하는 표는 아닙니다. 계수는 실행량에 무관하게 일정하고, 활동들을 합치면 자원 사용량이 더해진다고 가정합니다.

기록 장부가 노동 \(L\), 원료 \(M\)에 더해 점수 \(S\)도 기록한다고 합시다. 점수는 노동 한 시간에 1점, 원료 1kg에 1점을 주어 합산한 값입니다. 단위가 다른 시간을 질량에 직접 더한 것이 아니라, 정해진 환산계수를 통해 점수라는 새 단위로 합친 것입니다. 수치로는 \(S=L+M\)입니다.

따라서 기록은

\[\begin{split} Ax= \begin{pmatrix} 1&0&1&2\\ 0&1&1&1\\ 1&1&2&3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}L\\M\\S\end{pmatrix}. \end{split}\]

각 행을 풀어 쓰면

\[\begin{split} \begin{aligned} x_1+x_3+2x_4&=L,\\ x_2+x_3+x_4&=M,\\ x_1+x_2+2x_3+3x_4&=S. \end{aligned} \end{split}\]

첫 두 식을 더한 왼쪽이 셋째 식의 왼쪽과 같습니다. 따라서 해가 존재하려면 반드시 \(S=L+M\)이어야 합니다. 예를 들어 \((L,M,S)=(6,4,11)\)은 불가능합니다. 첫 두 합계가 맞는다면 마지막 합계는 10이어야 하기 때문입니다.

반대로 \(S=L+M\)이면 실수 해 \(x=(L,M,0,0)\)이 있습니다. 따라서 실수 해가 존재하는 정확한 조건은 \(S=L+M\)입니다. 생산계획의 비음수 조건은 별도로 검사해야 합니다. 이 모형에서는 \(L,M\ge0\)이면 방금 해가 비음수이므로 실제 계획도 존재합니다.

2. 모든 해를 두 개의 매개변수로 쓰기

이제 기록을 \((6,4,10)\)으로 고정합시다. \(x_3=s\), \(x_4=t\)라고 놓으면 첫 두 식에서

\[ x_1=6-s-2t,\qquad x_2=4-s-t \]

를 얻습니다. 셋째 식에도 넣어 확인해 봅시다.

\[\begin{split} \begin{aligned} x_1+x_2+2x_3+3x_4 &=(6-s-2t)+(4-s-t)+2s+3t\\ &=10+(-s-s+2s)+(-2t-t+3t)\\ &=10. \end{aligned} \end{split}\]

따라서 모든 실수 \(s,t\)가 대수적 해를 줍니다. 반대로 어떤 해라도 그 해의 세 번째·네 번째 성분을 \(s,t\)로 고르면 위 식으로 돌아옵니다. 빠진 해가 없습니다.

\[\begin{split} x= \begin{pmatrix}6\\4\\0\\0\end{pmatrix} +s\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\\0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}-2\\-1\\0\\1\end{pmatrix}. \end{split}\]

앞의 벡터를 \(x_p\), 뒤의 두 변화벡터를 \(h_1,h_2\)라고 부릅시다. 실제로

\[\begin{split} Ah_1= \begin{pmatrix}-1+1\\-1+1\\-1-1+2\end{pmatrix}=0, \qquad Ah_2= \begin{pmatrix}-2+2\\-1+1\\-2-1+3\end{pmatrix}=0. \end{split}\]

변화를 더해도 기록이 변하지 않습니다. \(ah_1+bh_2=0\)이면 셋째 성분에서 \(a=0\), 넷째에서 \(b=0\)입니다. 따라서 두 변화는 독립입니다.

이제 비음수 조건을 추가하면

\[ s\ge0,\quad t\ge0,\quad s+2t\le6,\quad s+t\le4 \]

입니다. \(t\)의 범위부터 구하면 \(s\ge0\)과 \(s+2t\le6\)에서 \(0\le t\le3\)입니다. 고정된 \(t\)에서

\[ 0\le s\le\min(6-2t,4-t). \]

두 상한은 \(6-2t=4-t\), 즉 \(t=2\)에서 만납니다. 따라서 꼭짓점을 \((s,t)\) 순서로 쓰면 \((0,0),(4,0),(2,2),(0,3)\)입니다.

그림 10 전체 실수 해는 \((s,t)\) 평면 전체와 대응하지만, 생산량이 비음수인 해는 칠한 사각형에만 대응합니다. 축은 원래 생산량 네 개 중 \(x_3=s\), \(x_4=t\)입니다.

해집합의 차원은 2라고 말할 수 있지만, 비음수 생산계획 집합 자체는 벡터공간이 아닙니다. 예를 들어 \((s,t)=(4,0)\)은 허용되지만 그 두 배 \((8,0)\)은 허용되지 않습니다. 앞으로 차원정리에서 세는 것은 등식의 선형 구조입니다.

3. 합계가 되는 값 전체와 사라지는 변화 전체

행렬 \(A\)가 입력 \(x\)를 출력 \(Ax\)로 보내는 규칙을 \(T\)라고 쓰겠습니다. 임의의 실수 \(a,b\)와 입력 \(u,v\)에 대해 각 행에서 분배법칙을 사용하면

\[ A(au+bv)=aAu+bAv \]

입니다. 이런 규칙을 선형사상이라고 합니다.

출력이 0인 입력의 집합을 핵 또는 영공간이라 하며 \(\ker T\)로 씁니다. 이번에는

\[ \ker T=\{sh_1+th_2:s,t\in\mathbb R\} \]

입니다. 앞에서 모든 동차 해를 풀었고 \(h_1,h_2\)가 독립임을 확인했으므로 차원은 2입니다.

출력으로 실제 만들 수 있는 벡터 전체를 상이라 하며 \(\operatorname{im}T\)로 씁니다. 행렬의 열을 \(a_1,\ldots,a_4\)라고 하면

\[ Ax=x_1a_1+x_2a_2+x_3a_3+x_4a_4. \]

이번 행렬에서는

\[ a_1=(1,0,1),\quad a_2=(0,1,1),\quad a_3=a_1+a_2,\quad a_4=2a_1+a_2. \]

따라서 첫 두 열만으로 모든 출력을 만들 수 있습니다. \(ca_1+da_2=(c,d,c+d)=0\)이면 \(c=d=0\)이므로 둘은 독립입니다. 상의 차원도 2입니다.

\[ \operatorname{im}T=\{(L,M,L+M):L,M\in\mathbb R\}. \]

관측 성분이 세 개라도 상의 차원은 2입니다. 셋째 기록이 앞의 둘에서 결정되기 때문입니다. 입력 네 개에서 기록으로 구별되는 두 자유도를 빼면, 기록에 보이지 않는 두 자유도가 남았습니다.

\[ 4=2+2. \]

이 등식을 단순히 방정식 개수를 세어서 얻은 것은 아닙니다. 독립인 입력 변화와 독립인 출력 각각의 기저를 직접 찾았습니다.

4. 기준해를 바꾸어도 전체 해는 같다

\((s,t)=(1,1)\)을 대입하면 또 다른 해 \(x_q=(3,2,1,1)\)을 얻습니다. 두 해의 차이는

\[ x_q-x_p=(-3,-2,1,1)=h_1+h_2. \]

어떤 해 \(x=x_p+sh_1+th_2\)도

\[ x=x_q+(s-1)h_1+(t-1)h_2 \]

로 쓸 수 있습니다. 기준해가 달라지면 매개변수 값이 달라지지만, 표현하는 해의 집합은 같습니다.

여기서 \(T^{-1}(\{b\})\)라는 표기를 사용하겠습니다. 이것은 \(T(x)=b\)인 모든 \(x\)의 집합을 뜻하는 원상 표기입니다. \(T\)에 역함수가 존재한다는 뜻이 아닙니다. 이번 사상에는 서로 다른 입력이 같은 출력을 가지므로 역함수가 없습니다.

기준해를 하나 알고 있을 때

\[ T^{-1}(\{b\})=x_p+\ker T \]

입니다. 해 \(x\)에서 기준해를 빼면 \(T(x-x_p)=b-b=0\)이고, 핵의 벡터를 기준해에 더하면 \(T(x_p+z)=b+0=b\)입니다. 이 두 방향이 모두 필요합니다.

5. 생산량 대신 다항식의 변화율을 관측하기

무차원 시간 \(t\)에 따른 반응을 \(p(t)=a+bt+ct^2+dt^3\)로 적읍시다. 변화율만 관측한다면

\[ Dp=p'=b+2ct+3dt^2 \]

를 알게 됩니다. \(D:P_3(\mathbb R)\to P_2(\mathbb R)\)라는 표기는 차수 3 이하 다항식을 차수 2 이하 다항식으로 보낸다는 뜻입니다. 여기서는 단항식의 미분 공식이라는 미적분학 전제를 사용합니다. 다음 선형대수 계산은 그 공식에서 출발합니다.

예를 들어 관측된 변화율이 \(q(t)=2+6t\)라면 계수를 비교하여

\[ b=2,\qquad 2c=6,\qquad 3d=0 \]

이므로 \(c=3,d=0\)입니다. 상수 \(a\)는 관측에 나타나지 않습니다.

\[ p(t)=a+2t+3t^2,\qquad a\in\mathbb R. \]

핵은 상수 다항식 전체, 상은 \(P_2(\mathbb R)\) 전체입니다. 실제로 임의의 \(u+vt+wt^2\)에 대해 \(ut+\frac v2t^2+\frac w3t^3\)를 미분하면 그 다항식을 얻습니다. 따라서

\[ \dim P_3=4,\quad \dim\ker D=1,\quad\dim\operatorname{im}D=3. \]

이번에는 \(4=1+3\)입니다. 초기값 \(p(0)=5\)를 추가로 관측하면 \(a=5\)가 정해집니다. 변화율에는 없던 한 자유도를 추가 관측이 결정한 것입니다.

그림 11 왼쪽 세 곡선은 서로 다른 반응 수준이지만 오른쪽 변화율은 같습니다. 곡선 사이의 차이는 상수이며, 그 상수 다항식들이 미분사상의 핵을 이룹니다.

이 계산에서 2와 3으로 나누었습니다. \(\mathbb F_2\)에서는 \(D(t^2)=2t=0\)이므로 핵이 상수에 그치지 않습니다. 미분사상도 어느 체에서 계산하는지 밝혀야 합니다.

6. 상태를 유일하게 복원한다는 말의 조건

사상 \(T\)가 단사라는 것은 \(T(u)=T(v)\)이면 \(u=v\)라는 뜻입니다. 입력이 구별되면 출력도 구별되어야 합니다. 선형사상에서는 이것이 \(\ker T=\{0\}\)과 같습니다. 두 입력이 같은 출력을 갖는지 확인하는 문제를 그 차이가 핵에 들어가는지로 바꿀 수 있기 때문입니다.

전사라는 것은 공역에 선언한 모든 출력이 실제로 나온다는 뜻입니다. 생산 모형 \(T:\mathbb R^4\to\mathbb R^3\)은 전사가 아닙니다. \((6,4,11)\)은 나오지 않습니다. 공역을 \(\{(L,M,L+M)\}\)로 좁히면 같은 계산 규칙이 그 공역으로는 전사입니다. 따라서 전사 여부는 규칙뿐 아니라 공역에도 의존합니다.

단사이고 전사이면 각 출력에 정확히 하나의 입력이 있어 역함수를 정의할 수 있습니다. 선형사상의 역함수도 선형이라는 증명은 마지막 절에 있습니다.

유한차원에서 입력과 출력 공간의 차원이 같다면 단사와 전사가 동치입니다. 하지만 ‘유한차원’과 ‘차원이 같다’를 빠뜨리면 안 됩니다. \(\mathbb R\to\mathbb R^2\), \(t\mapsto(t,0)\)은 단사지만 전사가 아니고, \(\mathbb R^2\to\mathbb R\), \((x,y)\mapsto x\)는 전사지만 단사가 아닙니다.

무한수열 공간에서는 같은 공간으로 가더라도 두 성질이 갈라집니다. 모든 실수 수열 \(a=(a_0,a_1,\ldots)\)에 대해

\[ R(a)=(0,a_0,a_1,\ldots),\qquad L(a)=(a_1,a_2,\ldots) \]

로 정합시다. \(R(a)=R(b)\)에서 두 번째 이후의 성분을 비교하면 \(a=b\)이므로 \(R\)은 단사입니다. 그러나 첫 성분이 1인 수열은 \(R\)의 출력이 아니므로 전사가 아닙니다. \(L\)은 임의의 \(b\)에 대해 \((0,b_0,b_1,\ldots)\)를 입력으로 주면 \(b\)가 나오므로 전사입니다. 하지만 \(L(1,0,0,\ldots)=L(0,0,\ldots)\)이므로 단사가 아닙니다.

7. 관측을 보존하면서 기준 입력을 고르는 방법

생산 모형으로 돌아갑시다. 입력 \(x\)의 첫 두 합계를 계산하여

\[ Px=(x_1+x_3+2x_4,\ x_2+x_3+x_4,\ 0,\ 0) \]

로 정합시다. 마지막 두 활동을 0으로 두고 같은 자원 사용량을 첫 두 활동에 배정한 입력입니다. \(P\)는 실제 최적 생산계획을 선택하는 규칙이 아니라, 대수적 기준 입력을 선택하는 규칙입니다.

두 번 적용하면 마지막 두 성분이 이미 0이므로

\[ P(Px)=Px. \]

이를 \(P^2=P\)라고 씁니다. 또

\[\begin{split} \begin{aligned} x-Px &=(-x_3-2x_4,-x_3-x_4,x_3,x_4)\\ &=x_3h_1+x_4h_2 \end{aligned} \end{split}\]

이므로 \(x-Px\in\ker A\)입니다. 따라서 \(A(Px)=Ax\)입니다.

모든 입력이

\[ x=Px+(x-Px) \]

로 나뉘었습니다. 앞부분은 \(C=\{(a,b,0,0)\}\)에, 뒷부분은 \(\ker A\)에 속합니다. 두 공간의 교집합은 0입니다. 핵의 벡터 \(sh_1+th_2\)가 \(C\)에도 들어가려면 마지막 두 성분 \(s,t\)가 0이어야 하기 때문입니다.

분해도 유일합니다. \(x=c+z=c'+z'\)이면 \(c-c'=z'-z\)가 \(C\)와 \(\ker A\) 양쪽에 속하므로 0입니다. 따라서 \(c=c'\), \(z=z'\)입니다. 이 상황을

\[ \mathbb R^4=C\oplus\ker A \]

라는 직합으로 적습니다. \(C\)는 핵의 여공간입니다.

이 \(P\)가 직교사영이라고 결론내리면 안 됩니다. 예를 들어 \(e_1\in C\)와 \(h_1\in\ker A\)의 통상적인 내적은 \(-1\)이지 0이 아닙니다. 이 절의 사영은 직각 조건 없이, 어느 부분을 남기고 어느 부분을 0으로 보낼지만 정한 대수적 사영입니다.

그림 12 직각이 필요하지 않음을 보여 주는 별도의 2차원 예입니다. \(P(x,y)=(x+y,0)\)이면 \((1,1)=(2,0)+(-1,1)\)이고, \(P(-1,1)=0\)입니다. 본문의 4차원 분해를 2차원에 그대로 투영한 그림은 아닙니다.

8. 같은 관측값을 가진 입력들을 하나의 대상으로 다루기

두 입력의 차이가 \(U=\ker A\)에 속하면 관측으로는 구분할 수 없습니다. \(x\)와 같은 관측값을 갖는 입력 전체를 \(x+U\)로 묶읍시다. 이런 집합 하나를 동치류라고 합니다.

동치류는 벡터 하나가 아니라 벡터들의 집합입니다. 예를 들어

\[ (6,4,0,0)+U=(3,2,1,1)+U \]

입니다. 두 기준 입력의 차이가 \(U\)에 속하기 때문입니다.

동치류를 더할 때 대표 입력을 하나씩 골라 \((x+U)+(y+U)=(x+y)+U\)라고 정하고 싶습니다. 그런데 다른 대표 \(x+u,y+v\)를 골라도 같아야 합니다. 합의 차이는

\[ (x+u+y+v)-(x+y)=u+v\in U \]

이고 배수의 차이는 \(a(x+u)-ax=au\in U\)입니다. 부분공간 조건이 정확히 대표 선택의 영향을 제거합니다. 모든 동치류의 공간을 \(V/U\)라고 씁니다.

핵 방향을 동치류 안에 묶은 뒤에는 첫 두 활동에 해당하는 두 좌표만 남습니다. B3의 마지막 절에서 몫의 연산과 차원을 확인하고, A1에서 관측 출력과 동치류가 정확히 일대일로 대응한다는 일반 정리를 증명하겠습니다.

9. 정확한 계산으로 점검하기

from sympy import Matrix, symbols, eye, zeros, diff
A = Matrix([[1,0,1,2], [0,1,1,1], [1,1,2,3]])
h1, h2 = Matrix([-1,-1,1,0]), Matrix([-2,-1,0,1])
s, t = symbols("s t")
xp = Matrix([6,4,0,0])
x = xp + s*h1 + t*h2
assert A*x == Matrix([6,4,10])
assert A*Matrix.hstack(h1,h2) == zeros(3,2)
assert A.rank() == 2 and len(A.nullspace()) == 2
P = Matrix([[1,0,1,2], [0,1,1,1], [0,0,0,0], [0,0,0,0]])
assert P*P == P and A*P == A
assert A*(eye(4)-P) == zeros(3,4)
for sv, tv in [(0,0),(4,0),(2,2),(0,3)]:
    assert all(v >= 0 for v in x.subs({s:sv,t:tv}))
assert diff(5+2*t+3*t*t,t) == 2+6*t
print("입력 차원 4 = 핵 차원 2 + 상 차원 2; 사영과 꼭짓점 검산 통과")

입력 차원 4 = 핵 차원 2 + 상 차원 2; 사영과 꼭짓점 검산 통과

이 코드는 다항식 항등식과 행렬곱을 정확하게 확인합니다. 아래의 일반 증명은 이 특정 행렬에 대한 검산과 별개의 작업입니다.

10. 직접 써 보는 문제와 전체 풀이

문제 1 · 기록 한 줄의 오류 찾기

\(b=(3,2,5)\)와 \(b'=(3,2,6)\)에 대해 각각 해의 존재를 판정하고, 존재하면 모든 실수 해를 구하세요.

풀이. 첫 기록은 \(5=3+2\)이므로 가능합니다. \(x_3=s,x_4=t\)로 놓으면

\[ x=(3-s-2t,2-s-t,s,t),\qquad s,t\in\mathbb R. \]

둘째 기록은 셋째 성분이 첫 두 성분의 합과 다르므로 불가능합니다. \(s,t\)를 아무리 바꾸어도 셋째 출력은 5이므로 6을 만들 수 없습니다.

문제 2 · 기준해를 바꾸기

\(x_p=(6,4,0,0)\) 대신 \(x_q=(2,1,2,1)\)을 기준으로 해를 쓰세요.

풀이. \(x_q=x_p+2h_1+h_2\)입니다. 따라서

\[ x=x_q+u h_1+v h_2 \]

이고, 이전 매개변수와의 관계는 \(s=u+2\), \(t=v+1\)입니다. 실제로 \(x_p+sh_1+th_2=x_q+(s-2)h_1+(t-1)h_2\)입니다. 기준해 변경은 해를 새로 만들거나 없애지 않습니다.

문제 3 · 미분과 초기값

\(Dp=1+4t+9t^2\), \(p(0)=-2\)를 만족하는 \(p\in P_3(\mathbb R)\)를 구하고 유일함을 설명하세요.

풀이. \(p=a+bt+ct^2+dt^3\)라 쓰면 \(b=1,2c=4,3d=9\)입니다. 따라서 \(b=1,c=2,d=3\)이고 \(p(0)=a=-2\)입니다. 답은 \(p=-2+t+2t^2+3t^3\)입니다. 두 해의 차이는 미분하면 0이므로 상수인데, 초기값 차이도 0이므로 그 상수가 0입니다.

문제 4 · 사영의 역방향을 검사하기

\(Q=2I\)이면 \(\operatorname{im}Q=V\), \(\ker Q=\{0\}\)입니다. 이것만으로 \(Q^2=Q\)인가요? \(V\ne\{0\}\)인 실수 공간을 사용하세요.

풀이. 아닙니다. \(V=\operatorname{im}Q\oplus\ker Q\)이지만 \(Q^2=4I\ne2I=Q\)입니다. 상과 핵이 직합을 이룬다는 사실만으로는 상 위에서 \(Q\)가 항등이라는 조건을 얻을 수 없습니다. 올바른 사영 정리에는 이 조건 또는 직접적인 \(P^2=P\)가 필요합니다.

11. 지금까지의 내용을 수학의 언어로 정리해 봅시다

지금까지는 관측값과 입력을 직접 계산했습니다. 이제 같은 내용을 임의의 체 \(F\) 위의 공간 \(V,W\)와 선형사상 \(T\)의 언어로 적습니다. 앞의 계산과 각 문장의 역할을 연결하며 읽어 봅시다.

11.1 핵·상·해집합

선형사상은 \(T(au+bv)=aT(u)+bT(v)\)를 모든 \(a,b,u,v\)에 대해 만족하는 함수입니다. \(T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0)\)에서 \(T(0)\)를 빼면 \(T(0)=0\)입니다. 또한 \(T(-v)=-T(v)\)입니다.

정리 10 (핵과 상은 부분공간이다)

\(\ker T=\{v:T(v)=0\}\)와 \(\operatorname{im}T=\{T(v):v\in V\}\)는 각각 \(V,W\)의 부분공간입니다.

증명. 핵은 \(T(0)=0\)에 의해 0을 포함합니다. \(u,v\in\ker T\)이면 \(T(au+v)=aT(u)+T(v)=0\)이므로 \(au+v\)도 핵에 있습니다. 상도 \(T(0)=0\)을 포함합니다. 상의 두 원소를 \(T(u),T(v)\)로 쓰면 \(aT(u)+T(v)=T(au+v)\)가 다시 상의 원소입니다. B2의 부분공간 판정을 두 집합에 각각 적용합니다. \(\square\)

정리 11 (해집합 구조)

\(T(x_p)=b\)이면 \(T^{-1}(\{b\})=x_p+\ker T\)입니다. 해가 존재할 필요충분조건은 \(b\in\operatorname{im}T\)입니다.

증명. 해 \(x\)이면 \(T(x-x_p)=T(x)-T(x_p)=b-b=0\)이므로 \(x=x_p+(x-x_p)\)가 오른쪽에 있습니다. 반대로 \(x=x_p+z\), \(z\in\ker T\)이면 \(T(x)=b+0=b\)이므로 왼쪽에 있습니다. 존재 조건은 상의 정의, 즉 어떤 \(x\)에 대해 \(T(x)=b\)라는 문장 그 자체입니다. \(\square\)

\(x_p+U\) 꼴의 집합을 아핀 부분공간이라고 합니다. \(b\ne0\)인 해집합은 0을 포함하지 않으므로 선형 부분공간이 아닙니다. 하지만 계수 합이 1인 두 해의 결합은 다시 해입니다.

\[ T((1-a)x+ay)=(1-a)b+ab=b. \]

비음수 제약까지 보존하려면 일반적으로 \(0\le a\le1\)을 요구합니다. 아핀 결합과 볼록 결합의 차이는 바로 이 계수 범위입니다.

11.2 차원정리의 완전 증명

정리 12 (차원정리)

\(V\)가 유한차원이고 \(T:V\to W\)가 선형이면 \(\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T\)입니다.

증명. B2의 유한차원 부분공간 기저 존재에 의해 \(\ker T\)의 기저 \(u_1,\ldots,u_k\)를 고를 수 있습니다. 기저 확장 정리로 이를

\[ u_1,\ldots,u_k,v_1,\ldots,v_r \]

라는 \(V\)의 기저로 확장합니다. 따라서 \(\dim V=k+r\)입니다. 이제 \(T(v_1),\ldots,T(v_r)\)가 상의 기저라는 사실을 두 부분으로 증명합니다.

먼저 상의 임의의 원소 \(y\)를 고릅니다. \(y=T(x)\)인 \(x\in V\)가 있고, 기저 표현으로

\[ x=\sum_{i=1}^k a_iu_i+\sum_{j=1}^r b_jv_j. \]

선형성을 적용하면

\[ y=T(x) =\sum_i a_iT(u_i)+\sum_jb_jT(v_j) =\sum_jb_jT(v_j). \]

\(T(u_i)=0\)이므로 앞의 합이 사라졌습니다. 따라서 후보 벡터들이 상을 생성합니다.

독립성을 위해 \(\sum_jc_jT(v_j)=0\)이라고 합시다. 선형성으로 \(T(\sum_jc_jv_j)=0\)이므로 \(\sum_jc_jv_j\in\ker T\)입니다. 핵의 기저로 표현하여 어떤 \(d_i\)에 대해

\[ \sum_jc_jv_j=\sum_id_iu_i \]

를 얻습니다. 이항하면

\[ \sum_i(-d_i)u_i+\sum_jc_jv_j=0. \]

전체 목록이 \(V\)의 기저여서 독립이므로 모든 \(d_i,c_j\)가 0입니다. 따라서 상의 후보들도 독립입니다.

생성과 독립을 모두 보였으므로 \(\dim\operatorname{im}T=r\)입니다. \(\dim\ker T=k\)와 합쳐 결론을 얻습니다. \(k=0\) 또는 \(r=0\)일 때는 해당 합을 빈 합으로 읽으면 같은 증명이 성립합니다. \(\square\)

11.3 단사·전사·가역

정리 13 (같은 유한차원의 두 공간 사이)

\(\dim V=\dim W=n<\infty\)이면 선형사상 \(T:V\to W\)에 대해 단사, 전사, 가역이 동치입니다.

증명. 먼저 \(T\)가 단사이면 \(T(v)=0=T(0)\)에서 \(v=0\)이므로 핵은 \(\{0\}\)입니다. 역으로 핵이 \(\{0\}\)이면 \(T(u)=T(v)\)에서 \(u-v\in\ker T\), 따라서 \(u=v\)입니다.

단사이면 차원정리로 \(\dim\operatorname{im}T=n\)입니다. \(\operatorname{im}T\subseteq W\)이고 차원이 같으므로 두 공간은 같습니다. 이 마지막 사실은 상의 기저를 \(W\)의 기저로 확장할 때 추가할 원소가 없다는 B2의 기저 확장 논증으로 얻습니다. 따라서 전사입니다. 전사이면 상의 차원이 \(n\)이고, 차원정리로 핵의 차원이 0이므로 단사입니다.

전단사이면 역함수 \(S\)가 존재합니다. \(y=T(u)\), \(z=T(v)\)로 쓰면

\[ S(ay+bz)=S(T(au+bv))=au+bv=aS(y)+bS(z). \]

따라서 역함수도 선형이고 가역입니다. 반대로 역함수가 존재하면 같은 출력에 두 입력이 있을 수 없고 모든 출력에 입력이 있으므로 전단사입니다. \(\square\)

11.4 직합·여공간·사영

\(U+Z=\{u+z:u\in U,z\in Z\}\)는 부분공간입니다. 0은 \(0+0\)으로 들어 있고,

\[ a(u_1+z_1)+(u_2+z_2) =(au_1+u_2)+(az_1+z_2) \]

가 같은 집합에 있기 때문입니다. \(V=U+Z\)이고 \(U\cap Z=\{0\}\)일 때 \(V=U\oplus Z\)라고 씁니다. 교집합 조건과 표현의 유일성은 7절에서 보인 뺄셈 논증으로 동치입니다.

유한차원 \(V\)에서 \(U\)의 기저를 전체 기저로 확장하고, 추가한 벡터들의 생성공간을 \(Z\)라 하면 \(V=U\oplus Z\)입니다. 생성 성질로 합이 전체이고, 교집합에 있는 벡터의 두 표현을 빼면 전체 기저의 독립성으로 그 벡터가 0입니다. 따라서 여공간은 존재합니다. 그러나 기저 확장 선택이 달라지면 \(Z\)도 달라질 수 있습니다.

정리 14 (대수적 사영의 정확한 특징)

\(P:V\to V\)가 선형일 때 \(P^2=P\)이면 \(V=\operatorname{im}P\oplus\ker P\)이고, \(P\)는 상 위에서 항등입니다. 역으로 \(V=U\oplus Z\)가 주어지면 \(P(u+z)=u\)는 잘 정의된 선형사상이며 \(P^2=P\), \(\operatorname{im}P=U\), \(\ker P=Z\)입니다.

증명. \(x=Px+(x-Px)\)에서 첫 항은 상에 있고,

\[ P(x-Px)=Px-P^2x=0 \]

이므로 둘째 항은 핵에 있습니다. 교집합의 원소 \(y\)는 \(y=Px\)이면서 \(Py=0\)입니다. 그러나 \(Py=P^2x=Px=y\)이므로 \(y=0\)입니다. 또한 상의 \(y=Px\)에 대해 \(Py=y\)이므로 상 위에서 항등입니다.

역으로 직합의 유일 분해 덕분에 \(P(u+z)=u\)는 대표 분해에 의존하지 않습니다. \(a(u+z)+(u'+z')=(au+u')+(az+z')\)에 적용하면 \(aP(u+z)+P(u'+z')\)이므로 선형입니다. \(P(u)=u\)이므로 \(P^2=P\)입니다. 출력은 항상 \(U\)에 있고 모든 \(u\in U\)가 자기 자신의 출력이므로 상은 \(U\)입니다. \(P(u+z)=0\)일 조건은 \(u=0\)이므로 핵은 \(Z\)입니다. \(\square\)

11.5 몫공간과 차원

정리 15 (몫공간)

부분공간 \(U\subseteq V\)에 대해 \(x\sim y\)를 \(x-y\in U\)로 정하면 동치관계입니다. 동치류의 집합 \(V/U\)는 8절의 연산으로 벡터공간이 되며, 유한차원에서는 \(\dim(V/U)=\dim V-\dim U\)입니다.

증명. \(x-x=0\in U\)이므로 반사적입니다. \(x-y\in U\)이면 \(y-x=-(x-y)\in U\)이므로 대칭적입니다. \(x-y,y-z\in U\)이면 \(x-z=(x-y)+(y-z)\in U\)이므로 추이적입니다.

동치류가 \(x+U\)임은 \(y-x\in U\)와 \(y=x+u\)가 같은 조건이라는 데서 나옵니다. 연산의 대표원 독립성은 8절의 차이 계산으로 증명했습니다. 영원소는 \(0+U=U\), \(x+U\)의 역원은 \(-x+U\)입니다. 나머지 공리는 대표에서 확인합니다. 예를 들어

\[ ((x+U)+(y+U))+(z+U)=((x+y)+z)+U =(x+(y+z))+U \]

이므로 결합법칙이며, \(a((x+U)+(y+U))=(a(x+y))+U=(ax+ay)+U\)로 분배법칙입니다. 교환법칙, 다른 분배법칙, \((ab)(x+U)=a(b(x+U))\), \(1(x+U)=x+U\)도 각각 \(V\)의 동일한 등식 양쪽에 \(U\)를 붙여 얻습니다.

차원을 계산하려고 \(U\)의 기저 \(u_1,\ldots,u_k\)를 \(V\)의 기저 \(u_1,\ldots,u_k,v_1,\ldots,v_r\)로 확장합니다. 임의의 \(x\)의 기저 표현에서 \(u_i\)항은 동치류에서 0이므로

\[ x+U=\sum_j b_j(v_j+U). \]

따라서 이 \(r\)개 동치류가 생성합니다. \(\sum_jc_j(v_j+U)=U\)이면 \(\sum_jc_jv_j\in U\)입니다. 이를 \(\sum_i d_iu_i\)로 표현하고 이항하면 전체 기저의 독립성으로 모든 \(c_j=0\)입니다. 따라서 동치류들도 독립이며 몫 차원은 \(r=(k+r)-k\)입니다. \(\square\)

계산에서 확인한 사실	수학의 표현
출력 기록이 될 수 있는 값	\(\operatorname{im}T\)
기록을 바꾸지 않는 입력 변화	\(\ker T\)
기준해와 모든 허용 변화	\(T^{-1}(\{b\})=x_p+\ker T\)
입력 자유도 = 사라지는 자유도 + 출력 자유도	차원정리
유일한 두 성분으로 입력을 나눔	직합과 사영
구별되지 않는 입력들을 하나로 취급	몫공간 \(V/\ker T\)

핵과 상의 차원으로 해의 자유도와 가능한 관측값을 구했습니다. 다음 장에서는 같은 사상을 다른 기저로 기록할 때 행렬과 계수가 어떻게 바뀌는지 추적합니다. B4로 이어 읽기.