A2 · 상태를 한 숫자로 평가하는 모든 방법#
생산계획을 정하면 가격으로 총수입을 계산합니다. 확률분포를 정하면 각 상태의 에너지로 평균 에너지를 계산합니다. 다항식을 정하면 한 점의 값이나 구간의 적분을 계산할 수 있습니다. 입력은 서로 다르지만, 여기에는 공통된 질문이 있습니다. 입력의 합과 배수를 존중하면서 숫자 하나를 얻는 규칙은 어떻게 표현할까요?
A1에서 선형사상 자체의 공간을 다루었습니다. 이번에는 출력이 숫자 하나인 경우를 집중해서 살펴봅니다. 행벡터를 단순히 가로로 적은 벡터라고 보지 않고, 무엇에 어떤 값을 부여하는 규칙인지 설명하겠습니다. 실수의 사칙연산, 다항식의 계수, B2의 기저와 A1의 사상공간을 사용합니다.
1. 생산계획과 가격표는 서로 다른 역할을 한다#
생산량 \(x=(x_1,x_2,x_3)\)를 단위가 정해진 세 활동의 실행량이라고 합시다. 수입 계수를 \(c=(2,3,5)\)로 정하면 총수입은
각 계수의 단위는 화폐/해당 활동 단위입니다. 생산량과 곱한 세 항은 모두 화폐 단위이므로 더할 수 있습니다. 교육용 고정 단가 모형이며, 수량에 따라 가격이 달라지거나 고정비가 발생하는 경우는 포함하지 않습니다.
두 계획 \(x,y\)를 합친 수입을 전개하면
계획을 실수 \(a\)배 하면
실제 생산은 비음수로 제한하지만 이 규칙은 변화량까지 다루기 위해 \(\mathbb R^3\) 전체에 정의합니다. 이런 숫자값 선형사상을 선형범함수라고 합니다. ‘범함수’라는 새 용어는 함수의 출력이 스칼라 하나라는 점을 표시합니다.
가격표를 바꾼 \(d=(1,1,1)\)도 다른 범함수 \(f_d\)를 만듭니다. 두 규칙을 더하면
입력 \(x\)를 바꾸는 것과 평가 규칙 \(f_c\)를 바꾸는 것은 다릅니다. 전자는 상태 공간에서, 후자는 범함수들의 공간에서 일어나는 연산입니다.
2. 어떤 수입은 자원 합계만 알아도 계산할 수 있다#
첫 수업의 자원 제약을 다시 사용하겠습니다.
자원 합계가 \((L,M)=(6,6)\)이면 모든 실수 해는
이고, 비음수 계획은 \(0\le t\le3\)입니다. 변화 방향은 \(h=(1,-2,1)\)입니다.
수입 계수를 이번에는 \(d=(2,3,4)\)로 정하면
정확한 생산량을 몰라도 수입이 정해집니다. 왜 그럴까요? 이 가격표는 자원 사용량만으로
라고 표현되기 때문입니다. 노동 한 단위에 수치 2, 원료 한 단위에 수치 1을 부여한 자원 평가와 같습니다. 이 계수들은 이번 모형의 등식 표현이며, 최적화 문제를 풀어 구한 균형가격이라는 뜻은 아닙니다.
반면 원래 \(c=(2,3,5)\)이면
같은 자원 합계를 만드는 계획끼리도 수입이 다릅니다. 두 가격표의 차이를 변화 방향에 대입하면
자원 기록으로 구분되지 않는 변화에 반응하지 않는 평가인지가 핵심입니다. 마지막에 이것을 소멸자라는 이름으로 정리하겠습니다.
그림 22 입력의 제약은 같고 평가 규칙만 다릅니다. 평평한 그래프는 해당 범함수가 변화 방향 \(h\)를 0으로 보내기 때문에 나타납니다.#
3. 평가·계수추출·적분도 같은 종류의 규칙이다#
\(V=P_2(\mathbb R)\)의 원소를 \(p(t)=a+bt+ct^2\)라고 합시다. 세 가지 규칙을 비교하겠습니다.
첫째, 입력 \(t=1\)에서 값을 읽는 규칙은
둘째, \(t\)항의 계수만 읽는 규칙은 \(b_1(p)=b\)입니다. 셋째, \(0\)부터 \(2\)까지 적분하는 규칙은 다항식 적분 공식에 의해
여기서는 미적분학의 단항식 적분 공식을 출발 전제로 사용합니다. 각 식이 계수 \(a,b,c\)에 대한 선형식이므로 합과 배수에 대한 성질을 성분별로 확인할 수 있습니다. 예를 들어 \(q=d+et+ft^2\)이면
하지만 \(p\mapsto p(1)^2\)는 선형이 아닙니다. \(p(t)=1\)이면 \(p(1)^2=1\)인데 \(2p\)의 값은 \((2p(1))^2=4\)여서 원래 값의 두 배 2와 다릅니다.
확률의 경우도 주의해야 합니다. 에너지값 \(e_j\)를 고정하면 \(p\mapsto\sum_j e_jp_j\)는 확률 성분에 대해 선형입니다. 반면 분산 \(\sum_j e_j^2p_j-(\sum_j e_jp_j)^2\)은 마지막 제곱 때문에 전체 확률 공간에서 선형이 아닙니다. 첫 수업에서 특정 평균을 고정한 선분 위의 분산이 매개변수에 선형이었던 것과 구별해야 합니다.
4. 다항식의 세 관측값을 좌표로 사용할 수 있을까?#
\(p(t)=a+bt+ct^2\)에서 \(p(0),p(1),p(2)\)를 모두 관측했다고 합시다. 각각 \(y_0,y_1,y_2\)라 쓰면
둘째 식에서 첫째 식을 빼면 \(b+c=y_1-y_0\)입니다. 셋째 식에서 첫째 식을 빼면 \(2b+4c=y_2-y_0\)입니다. 이 식에서 앞 식의 두 배를 빼면
따라서
대입하고 관측값별로 묶으면
여기서
예를 들어 \(\ell_0(0)=1\), \(\ell_0(1)=\ell_0(2)=0\)입니다. 나머지도 직접 대입하면
이 함수들은 모든 \(p\)를 생성합니다. \(\alpha_0\ell_0+\alpha_1\ell_1+\alpha_2\ell_2=0\)을 세 점에 대입하면 순서대로 \(\alpha_0=\alpha_1=\alpha_2=0\)이므로 독립이기도 합니다. 따라서 \(\ell_0,\ell_1,\ell_2\)는 기저입니다.
그림 23 세 평가 규칙 \(e_j(p)=p(j)\)는 이 기저에서 각각 자기 계수 하나를 읽습니다. 곡선끼리의 교차가 아니라 표시된 세 관측점의 값이 기저·쌍대기저 관계를 결정합니다.#
\(p=2+3t+t^2\)이면 \((y_0,y_1,y_2)=(2,6,12)\)입니다. 실제로
관측값 세 개로 원래 다항식을 정확하게 복원했습니다. 여기에는 \(p\)의 차수가 2 이하라는 가정이 필요합니다. \(p(t)+a\,t(t-1)(t-2)\)는 세 관측점에서 같은 값을 가지므로, 3차까지 허용하면 더 이상 유일하지 않습니다.
5. 한 평가 규칙을 다른 평가들의 결합으로 쓰기#
앞의 기저 표현에 적분을 적용하면
각 적분을 계산해 봅시다.
따라서 모든 \(p\in P_2(\mathbb R)\)에 대해
입력 하나에 대한 등식이 아니라 규칙 자체의 등식
입니다. \(p=2+3t+t^2\)에서는 \((2+24+12)/3=38/3\)이고, 직접 적분한 \(4+6+8/3=38/3\)과 같습니다.
이를 모든 연속함수에 대한 항등식으로 확대할 수는 없습니다. \(p(t)=t^4\)의 실제 적분은 \(32/5\), 위 가중합은 \((0+4+16)/3=20/3\)으로 다릅니다. 범함수의 등식에도 정의역이 들어 있습니다.
6. 쌍대기저는 좌표를 읽는 규칙이다#
기저 \(B=(v_1,\ldots,v_n)\)가 주어지면 \(v=\sum_j a_jv_j\)의 \(i\)번째 계수를 읽는 함수를 \(\varphi_i(v)=a_i\)로 정합니다. 좌표 표현이 유일하므로 이 규칙이 잘 정의됩니다. 기저벡터를 넣으면
이 숫자를 \(\delta_{ij}\)라고 씁니다. 이 범함수 목록을 쌍대기저라고 합니다. 앞의 다항식에서는 \((\ell_0,\ell_1,\ell_2)\)의 쌍대기저가 \((e_0,e_1,e_2)\)였습니다.
임의의 선형범함수 \(f\)도
이므로
로 표현됩니다. 범함수를 알기 위해 모든 입력을 하나씩 관측할 필요가 없습니다. 입력 기저에서의 값만 알면 됩니다. 그러나 기저가 아닌 몇 개의 입력에서 값이 같다는 사실만으로 두 범함수가 같다고 결론낼 수는 없습니다.
7. 벡터 좌표와 범함수 좌표는 서로 다른 방향으로 변한다#
\(\mathbb R^2\)에서 옛 표준기저 대신 \(b_1=(1,0)\), \(b_2=(1,2)\)를 사용합시다. 새 좌표를 \(z\)라 하면 원래 벡터는
\(x_2=2z_2\)이므로 \(z_2=x_2/2\)이고, \(x_1=z_1+z_2\)이므로 \(z_1=x_1-x_2/2\)입니다. 따라서 새 쌍대기저는
행으로 모으면 \(P^{-1}\)입니다.
각 범함수의 계수를 열로 적어 나란히 모으면 이 행렬의 전치인 \(P^{-T}\)입니다. \(P^{-1}\)과 \(P^{-T}\)가 서로 모순되는 공식인 것이 아니라, 범함수들을 행에 모았는지 열에 모았는지가 다릅니다.
이번에는 범함수 하나 \(f(x)=2x_1+3x_2\)를 고정하고 그 좌표를 바꿉시다.
옛 계수열 \((2,3)^\top\)에서 새 계수열 \((2,8)^\top\)로 바뀌며, 이는 \(P^\top(2,3)^\top\)입니다. 쌍대기저 자체의 변화와 고정된 범함수의 계수 변화도 구별해야 합니다.
\(x=(5,6)\)이면 \(z=(2,3)\)입니다. 평가값은
으로 같습니다. 기저와 계수가 함께 바뀌어 평가값을 보존합니다.
8. 특정 변화를 무시하는 범함수를 모두 찾기#
2절의 \(U=\operatorname{span}\{h\}\), \(h=(1,-2,1)\)을 생각합시다. 범함수 \(f(x)=a x_1+b x_2+c x_3\)가 \(U\)의 모든 원소에서 0이 되려면
이어야 합니다. \(t=1\)을 넣으면 \(a-2b+c=0\)이고, 이 조건이면 모든 \(t\)에서 실제로 0입니다. 필요충분조건을 얻었습니다.
\(a=\alpha\), \(b=\alpha+\beta\)로 놓으면 \(c=2b-a=\alpha+2\beta\)입니다. 따라서
자원 합계에서 구분되지 않는 변화를 모두 무시하는 평가는 노동·원료 합계의 결합으로 정확히 표현됩니다. 이런 범함수 전체를 \(U^0\)로 씁니다. \(U\)가 입력 벡터들의 집합인 반면 \(U^0\)는 평가 규칙들의 집합입니다.
그림 24 그림은 별도의 2차원 예 \(U=\operatorname{span}(1,2)\)입니다. 왼쪽 좌표는 입력 \((x_1,x_2)\), 오른쪽 좌표는 범함수의 계수 \((a,b)\)입니다. 두 직선을 같은 종류의 대상이라고 혼동하지 않도록 공간을 나누어 그렸습니다.#
부분공간이 커지면 그것을 모두 0으로 보내야 한다는 조건도 강해집니다. 예를 들어 입력 공간 전체를 0으로 보내는 것은 영범함수뿐입니다. 반대로 \(\{0\}\)만 0으로 보내라는 조건은 모든 선형범함수가 만족합니다. 이 포함 방향의 반전도 마지막에 증명하겠습니다.
9. 벡터를 모든 평가값으로 구별할 수 있을까?#
서로 다른 두 벡터 \(u,v\)가 모든 선형범함수에서 같은 값을 갖는다고 합시다. 차이 \(w=u-v\)가 0이 아니라면, \(w\)를 기저의 첫 벡터로 포함시키고 그 첫 좌표를 읽는 범함수 \(\varphi\)를 만들 수 있습니다. 그러면
이므로 모든 평가가 같다는 가정에 모순입니다. 따라서 모든 선형평가가 같으면 벡터도 같습니다. 필요한 범함수를 직접 구성했다는 점을 보세요.
한 벡터 \(v\)를 고정하고 범함수 \(f\)를 입력받아 \(f(v)\)를 돌려주는 규칙을 생각할 수도 있습니다.
이것은 범함수를 평가하는 범함수, 즉 이중쌍대 \(V^{**}\)의 원소입니다. \(J(v)(af+bg)=af(v)+bg(v)\)이므로 실제로 선형입니다. 이 정의에는 기저 선택이 없습니다.
반면 \(V\)와 \(V^*\)를 연결하려고 ‘기저벡터 \(v_i\)를 대응하는 \(\varphi_i\)로 보낸다’고 정하면 선택에 의존합니다. 실수 직선에서 기저를 \(e\)로 쓰면 \(e\)는 \(e\)의 계수를 읽는 규칙에 대응합니다. 기저를 \(2e\)로 쓰면 \(e=(1/2)(2e)\)이며 새 좌표함수도 옛 좌표함수의 \(1/2\)배입니다. 같은 방식으로 만든 대응은 \(e\)를 옛 규칙의 \(1/4\)배로 보냅니다. 따라서 두 대응은 같지 않습니다.
이중쌍대 대응이 기저에 의존하지 않는다는 말은 이처럼 정의 자체를 검사해서 확인할 수 있습니다. 모든 벡터와 쌍대벡터를 무조건 같은 대상으로 취급한다는 뜻은 아닙니다.
10. 계산 확인과 직접 써 보는 문제#
from sympy import Matrix, Rational, symbols, expand, integrate, eye
t = symbols("t")
ell = [(t-1)*(t-2)/2, -t*(t-2), t*(t-1)/2]
evaluation = Matrix([[p.subs(t,j) for p in ell] for j in [0,1,2]])
assert evaluation == eye(3)
assert expand(2*ell[0]+6*ell[1]+12*ell[2]) == 2+3*t+t*t
assert [integrate(p,(t,0,2)) for p in ell] == [Rational(1,3),Rational(4,3),Rational(1,3)]
P = Matrix([[1,1],[0,2]])
dual_rows = Matrix([[1,-Rational(1,2)],[0,Rational(1,2)]])
assert dual_rows*P == eye(2)
x, c = Matrix([5,6]), Matrix([2,3])
z, cnew = P.inv()*x, P.T*c
assert (c.T*x)[0] == (cnew.T*z)[0] == 28
h = Matrix([1,-2,1])
assert Matrix([[1,1,1],[0,1,2]])*h == Matrix([0,0])
print("관측 기저, 적분 가중치, 쌍대변환, 소멸자 검산 통과")
관측 기저, 적분 가중치, 쌍대변환, 소멸자 검산 통과
문제 1 · 가격표를 자원평가로 바꾸기#
\(c=(3,5,7)\)이 \(h=(1,-2,1)\)을 소멸시키는지 확인하고, \(f_c=\alpha f_L+\beta f_M\)의 계수를 구하세요.
풀이. \(3-2\cdot5+7=0\)입니다. 첫 성분에서 \(\alpha=3\), 둘째 성분에서 \(\alpha+\beta=5\)이므로 \(\beta=2\)입니다. 셋째 성분도 \(\alpha+2\beta=3+4=7\)입니다. 따라서 \(f_c=3f_L+2f_M\)이고 자원 합계가 \((6,6)\)이면 값은 \(18+12=30\)입니다.
문제 2 · 쌍대기저 직접 구하기#
기저 \((b_1,b_2)=((1,1),(1,-1))\)의 두 좌표함수를 구하세요.
풀이. \((x,y)=a(1,1)+b(1,-1)=(a+b,a-b)\)입니다. 두 성분을 더하면 \(2a=x+y\), 빼면 \(2b=x-y\)입니다. 따라서 \(\varphi_1(x,y)=(x+y)/2\), \(\varphi_2(x,y)=(x-y)/2\)입니다. \(b_1\)에 넣으면 \((1,0)\), \(b_2\)에 넣으면 \((0,1)\)이 나옵니다.
문제 3 · 한 점에서 0인 다항식의 소멸자#
\(U=\{p\in P_2(\mathbb R):p(1)=0\}\)의 소멸자를 구하세요.
풀이. B2에서 \(U\)의 기저는 \((t-1,t^2-1)\)임을 확인했습니다. 범함수 \(f(a+bt+ct^2)=ra+sb+qc\)가 두 기저에 0을 주려면 \(-r+s=0\), \(-r+q=0\)입니다. 따라서 \(s=q=r\)이고 \(f(p)=r(a+b+c)=r p(1)\)입니다. 즉 \(U^0=\operatorname{span}\{e_1\}\)입니다.
문제 4 · 관측 세 개로 3차도 복원할 수 있을까?#
\(p=0\)과 \(q=t(t-1)(t-2)\)의 세 평가값을 비교하고, \(P_3\)에서 평가 세 개가 모든 범함수를 생성하지 못하는 이유를 설명하세요.
풀이. 두 다항식은 0,1,2에서 모두 0입니다. 그러나 \(q\)의 \(t^3\) 계수는 1이고 \(p\)는 0입니다. 따라서 \(t^3\) 계수를 읽는 범함수는 세 평가값만으로 계산할 수 없습니다. 실제로 세 평가의 어떤 선형결합도 \(q\)에 0을 주기 때문입니다.
11. 지금까지의 내용을 수학의 언어로 정리해 봅시다#
가격·평가·관측의 계산을 이제 하나의 언어로 정리합니다. 앞의 입력 공간과 평가 규칙의 공간을 구별하면서, 정의와 증명을 차례로 살펴봅시다. 11.1~11.5에서는 \(V\)가 유한차원이라고 가정하고, 11.6에서만 무한차원의 예를 따로 다룹니다.
11.1 범함수와 쌍대기저#
정의 10 (선형범함수)
체 \(F\) 위의 벡터공간 \(V\)에서 \(F\)로 가는 선형사상 \(f:V\to F\)를 선형범함수라 합니다.
정의 11 (쌍대공간)
\(V^*=L(V,F)\)를 쌍대공간이라 합니다. 연산은 \((af+bg)(v)=af(v)+bg(v)\)입니다.
A1의 사상공간 증명에서 \(W=F\)로 두면 이 연산이 벡터공간을 정의합니다. \(F\)는 자기 자신 위에서 기저 \((1)\)을 가지므로 차원이 1입니다. 다음 증명은 차원 공식에 의존하지 않고 쌍대기저를 직접 구성합니다.
정리 32 (쌍대기저의 존재·유일성과 생성)
\(B=(v_1,\ldots,v_n)\)이 \(V\)의 기저이면 \(\varphi_i(v_j)=\delta_{ij}\)인 범함수들이 유일하게 존재하고 \(V^*\)의 기저를 이룹니다. 따라서 \(\dim V^*=n\)입니다.
증명. 기저 좌표를 읽는 \(\varphi_i(\sum_j a_jv_j)=a_i\)로 구성합니다. 표현이 유일하므로 잘 정의되고, \(\varphi_i(\alpha u+\beta v)=\alpha\varphi_i(u)+\beta\varphi_i(v)\)는 좌표 결합에서 바로 얻습니다. 기저에서 지정한 값이 같은 다른 범함수는 모든 선형결합에서 같으므로 유일합니다.
임의의 \(f\)에 대해 6절의 계산 \(f=\sum_j f(v_j)\varphi_j\)로 생성을 확인했습니다. \(\sum_j c_j\varphi_j=0\)이면 \(v_i\)에 대입하여 \(c_i=0\)을 얻습니다. 모든 \(i\)에 대해 적용하면 독립입니다. 따라서 기저이며 길이가 \(n\)입니다. \(\square\)
11.2 기저변환의 세 가지 기록#
새 기저벡터의 옛 좌표를 열로 하는 행렬을 \(P\)라고 합시다. 옛 좌표 \(x\)와 새 좌표 \(z\)는 \(x=Pz\)를 만족합니다. 새 좌표함수들을 행으로 모은 행렬 \(D\)는 모든 \(z\)에서 \(DPz=z\)를 만족해야 하므로 \(D=P^{-1}\)입니다. 각 새 범함수의 옛 계수를 열로 모으면 \(D^\top=P^{-T}\)입니다.
고정된 범함수의 옛 계수를 열 \(c\)로 쓰면 \(f(x)=c^\top x\)입니다. 대입하여
이므로 새 쌍대기저에 대한 계수는 \(P^\top c\)입니다. 이 세 등식은 다른 대상을 기록하므로 구분해서 사용합니다.
11.3 소멸자와 차원#
정의 12 (소멸자)
부분공간 \(U\subseteq V\)의 소멸자는 \(U^0=\{f\in V^*: f(u)=0\text{ for every }u\in U\}\)입니다.
영범함수는 \(U^0\)에 들어갑니다. \(f,g\in U^0\)이면 모든 \(u\in U\)에서 \((af+g)(u)=a0+0=0\)이므로 부분공간입니다.
정리 33 (소멸자의 기저와 차원)
\(\dim V=n\), \(\dim U=k\)이면 \(\dim U^0=n-k\)입니다.
증명. \(U\)의 기저 \(u_1,\ldots,u_k\)를 \(V\)의 기저 \(u_1,\ldots,u_k,v_{k+1},\ldots,v_n\)으로 확장하고 쌍대기저를 \(\varphi_1,\ldots,\varphi_n\)이라고 합시다. \(f=\sum_i c_i\varphi_i\)가 \(U\)를 소멸시키려면 특히 \(f(u_j)=c_j=0\) \(j\le k\)인 모든 \(j\)에 대해 성립해야 합니다. 역으로 그 계수들이 0이면 \(u=\sum_{j\le k}a_ju_j\)에서 \(f(u)=\sum_{j\le k}a_jf(u_j)=0\)입니다.
따라서 \(U^0\)는 \(\varphi_{k+1},\ldots,\varphi_n\)으로 생성됩니다. 이들은 전체 쌍대기저의 일부여서 독립입니다. 정확히 \(n-k\)개이므로 결론을 얻습니다. \(\square\)
이 증명은 \(U\)를 방정식으로 표현하는 방법도 줍니다.
왼쪽이면 해당 좌표들이 0이고, 오른쪽이면 기저 표현에서 \(U\) 밖의 좌표가 모두 0이어서 \(v\in U\)입니다. 생성벡터 \(k\)개와 독립 제약 \(n-k\)개는 같은 부분공간의 두 표현입니다.
11.4 분리와 이중쌍대#
보조정리 5 (부분공간에서 벗어난 벡터의 분리)
\(v\notin U\)이면 \(f|_U=0\), \(f(v)=1\)인 선형범함수 \(f\)가 존재합니다.
증명. \(U\)의 기저에 \(v\)를 붙인 목록은 독립입니다. 관계 \(\sum_i a_iu_i+bv=0\)에서 \(b\ne0\)이면 \(v\)가 \(U\)의 원소가 되어 모순이고, \(b=0\)이면 \(U\)의 기저 독립성으로 모든 \(a_i=0\)입니다. 이 목록을 전체 기저로 확장하고, \(v\)의 계수만 읽는 쌍대기저 원소를 \(f\)로 고르면 요구한 두 값을 갖습니다. \(\square\)
정리 34 (이중쌍대 동형)
\(J:V\to V^{**}\), \(J(v)(f)=f(v)\)는 기저 선택 없이 정의되는 선형동형입니다.
증명. \(J(v)\)의 선형성은 9절에서 확인했습니다. 입력 \(v\)에 대한 선형성도 모든 \(f\)에서
이므로 성립합니다. \(v\ne0\)이면 분리 보조정리에서 \(U=\{0\}\)으로 두어 \(f(v)=1\)인 \(f\)를 얻습니다. 따라서 \(J(v)\ne0\)이고 핵이 0이므로 단사입니다. 쌍대기저 정리를 두 번 적용하면 \(\dim V^{**}=\dim V^*=\dim V\)입니다. 같은 유한차원 사이의 단사는 전사이므로 동형입니다. \(\square\)
\(U^{00}\)은 엄밀하게는 \(V^{**}\)의 부분공간입니다. \(J\)로 \(V\)와 연결했을 때 \(J(U)=U^{00}\)입니다. \(u\in U\)이면 \(f\in U^0\)에 대해 \(J(u)(f)=f(u)=0\)이므로 한쪽 포함입니다. 반대로 \(v\notin U\)이면 분리 보조정리의 \(f\in U^0\)가 \(J(v)(f)=1\)을 주므로 \(J(v)\notin U^{00}\)입니다. \(J\)가 전사이므로 이것이 나머지 포함도 증명합니다.
11.5 합과 교집합의 반전#
정리 35 (소멸자의 합·교집합 공식)
유한차원 \(V\)의 부분공간 \(U,W\)에 대해
증명. \(f\)가 \(U+W\)를 소멸시키면 \(U,W\) 각각도 소멸시킵니다. 반대로 둘을 소멸시키면 \(f(u+w)=f(u)+f(w)=0\)이므로 합을 소멸시킵니다. 첫 등식입니다.
\(g\in U^0\), \(h\in W^0\)이면 \(x\in U\cap W\)에서 \((g+h)(x)=0\)이므로 \(U^0+W^0\subseteq(U\cap W)^0\)입니다. 역포함을 위해 차원을 계산합니다. \(n=\dim V\), \(u=\dim U\), \(w=\dim W\), \(d=\dim(U\cap W)\)라 합시다. B5의 부분공간 합 공식과 첫 등식으로
포함된 두 유한차원 부분공간의 차원이 같으므로 등식입니다. \(\square\)
11.6 무한차원에서 무엇을 조심해야 하나?#
유한 개의 0 아닌 성분만 갖는 수열들의 공간 \(F^{(\mathbb N)}\)에는 표준기저 \(e_0,e_1,\ldots\)가 있습니다. 임의의 무한 계수열 \((a_0,a_1,\ldots)\)에 대해
를 정할 수 있습니다. \(x\)의 지지가 유한하므로 실제 합은 항상 유한하고, 계수열 \(a\)가 수렴할 필요가 없습니다. 반대로 범함수의 값 \(f(e_j)\)를 알면 모든 유한지지 입력의 값을 알 수 있습니다. 따라서 대수적 쌍대는 모든 계수열과 대응합니다.
예를 들어 \(a_j=1\)인 규칙은 모든 좌표를 더합니다. 좌표함수들의 유한 선형결합으로는 이 규칙을 표현할 수 없습니다. 유한 결합에 쓰이지 않은 \(e_j\)에서 그 결합은 0이지만 좌표합 규칙은 1이기 때문입니다. 유한차원에서 쌍대기저가 전체를 생성한 증명을 무한 목록에 그대로 적용하면 이 지점에서 실패합니다. 이 단원은 무한차원의 쌍대 차원에 대한 일반적인 기수 정리를 사용하지 않습니다.
앞에서 계산한 것 |
수학의 표현 |
|---|---|
상태를 선형적으로 한 숫자로 평가 |
\(f\in V^*\) |
기저 계수 하나만 읽기 |
쌍대기저 \(\varphi_i\) |
특정 변화에 반응하지 않는 모든 평가 |
소멸자 \(U^0\) |
모든 평가가 같으면 상태도 같음 |
분리 보조정리 |
벡터를 고정하고 평가 규칙의 값을 읽음 |
\(J(v)\in V^{**}\) |
벡터와 그 벡터를 평가하는 범함수를 구별했습니다. 다음 장에서는 출력에서의 평가를 입력으로 옮기는 전치사상을 만들고, 이를 해의 존재 조건에 적용합니다. A3로 이어 읽기.