C4 · 여러 방향을 함께 기록하면 무엇을 알 수 있을까?#
선형사상은 한 벡터를 보냅니다. 그런데 두 변화가 서로 독립적인지, 세 변화가 실제로 세 방향을 만드는지 알고 싶을 때에는 벡터를 하나씩만 보아서는 부족합니다. 이번 장에서는 여러 벡터를 함께 넣되 각 입력에는 선형인 기록을 만듭니다.
출발 예는 평면의 두 변위입니다. 물리적 변위라면 두 성분의 단위를 같은 길이 단위로 정했다고 가정합니다. 경제학에서는 두 모수의 변화가 두 관측값에 미치는 반응을 정규화한 좌표로 읽을 수도 있습니다. 후자의 수치를 곧바로 물리적 넓이라고 해석하지는 않습니다.
C5의 행렬식은 여기서 만든 기록의 특별한 경우로 등장합니다. 따라서 이 장에서는 행렬식 공식을 증명의 근거로 먼저 사용하지 않습니다.
1. 두 벡터에서 순서에 민감한 한 숫자 만들기#
\(u=(u_1,u_2)\), \(v=(v_1,v_2)\)에서
을 계산합시다. \(u=(2,1)\), \(v=(1,2)\)이면 \(2\cdot2-1\cdot1=3\)입니다. 순서를 바꾸면 \(1\cdot1-2\cdot2=-3\)입니다.
이 식은 첫 입력에 선형입니다. 예를 들어
둘째 입력에서도 같은 분배법칙으로 선형입니다. 또한 \(\omega(u,u)=u_1u_2-u_2u_1=0\)입니다. 입력 두 개가 같으면 값이 0이 되는 성질을 교대성이라고 부릅니다.
\(u\)에 평행한 성분을 \(v\)에 더하면
입니다. 이 계산은 두 번째 벡터의 평행 성분을 바꾸어도 기록이 같다는 것을 말합니다. 무엇이 유지되는지를 식으로 먼저 확인했습니다.
2. 이 숫자와 넓이의 관계를 작은 경우에서 읽기#
\(u=(1,0)\), \(v=(s,h)\)이면 \(\omega(u,v)=h\)입니다. 밑변 길이가 1이고 높이가 \(|h|\)인 평행사변형의 넓이는 \(|h|\)입니다. \(s\)를 바꾸어도 높이는 같으므로 넓이는 같습니다. \(h\)의 부호는 어느 쪽으로 두 번째 변위를 택했는지 구별합니다.
더 일반적으로 \(u=(a,0)\)이면 값은 \(ah\)입니다. 밑변 길이가 \(|a|\), 높이가 \(|h|\)인 넓이와 절댓값이 같습니다. 여기서 사용한 것은 평면 기하의 밑변×높이 공식입니다. 일반 차원에서의 부피와 선형변환의 관계는 C5에서 별도의 전제와 함께 다룹니다.
그림 46 두 번째 변에 첫 번째 변을 더해도 \(\omega\)는 1입니다. 비교 그림의 축 비율과 눈금은 같습니다. 넓이와 부호를 구별하기 위해 꼭짓점의 순서도 표시했습니다.#
3. 세 성분에서는 어떤 두 방향을 기록해야 할까?#
\(u,v\in F^3\)이면 좌표평면이 세 개입니다. 각 평면에서 같은 계산을 하면
를 얻습니다. 이 세 수를 서로 다른 기저 기호에 붙여
라고 씁니다. 여기서 \(e_{ij}=e_i\wedge e_j\)입니다. 이 기호는 원래 \(F^3\)의 벡터가 아니라 두 방향을 기록하는 새로운 공간의 벡터입니다.
\(u=e_1+e_2\), \(v=e_2+e_3\)라면
가운데 같은 벡터 두 개의 항은 0입니다. \(e_2\wedge e_1\) 같은 역순 항이 생기면 \(-e_1\wedge e_2\)로 정렬합니다. 이렇게 반복된 인덱스를 제거하고 남은 인덱스를 순서대로 정렬하는 계산이 쐐기곱의 기본 규칙입니다.
3차원에서는 이 공간도 우연히 3차원이지만, 4차원의 두 방향 기록은 \(12,13,14,23,24,34\)로 6차원입니다. 따라서 쐐기곱을 일반적으로 원래 공간의 벡터와 동일시하지 않습니다.
4. 같은 방향이 중복되면 왜 정보가 사라지는가?#
\(u,v\)가 종속이면 둘 중 하나가 0이거나 한 벡터가 다른 벡터의 배수입니다. \(\omega(u,cu)=c\omega(u,u)=0\)처럼 쐐기도 0입니다. 세 벡터 중 하나가 나머지 둘의 결합이라면
입니다. 새 방향을 추가하지 못하면 기록이 0이 되는 것입니다.
역방향, 즉 독립이면 쐐기가 0이 아니라는 사실은 그림만으로는 증명되지 않습니다. 마지막 절에서 독립 목록을 기저로 확장하고 기저변환이 쐐기 공간에서도 가역임을 확인하여 증명하겠습니다.
관측의 예로 두 모수 변화 \(\theta=(s,t)\)를 세 관측 변화 \((s,t,s+t)\)로 보내는 행렬을 봅시다.
두 열의 쐐기는 \(e_{12}+e_{13}-e_{23}\)입니다. 첫 두 관측만으로 이미 두 모수를 구별할 수 있고, 세 번째 관측은 첫 둘의 합입니다. 쐐기의 어느 성분이 0이 아닌지는 어떤 관측 쌍이 두 독립 방향을 유지하는지 기록합니다.
5. 선형변환 뒤의 두 방향을 한꺼번에 계산하기#
다음 변환을 적용합시다.
두 방향의 기저를 하나씩 보냅니다.
마지막은 네 항을 모두 전개합니다.
따라서 두 방향의 공간 위 행렬은
입니다. 열은 순서대로 \(e_{12},e_{13},e_{23}\)의 상입니다. 원래 행렬과 같은 3×3 크기지만 작용하는 공간이 다릅니다.
그림 47 두 번째 행렬의 각 열은 본문에서 전개한 쐐기곱의 계수입니다. 첫 행렬의 원소를 단순히 제곱해 얻는 행렬이 아닙니다.#
6. 교대와 반대칭은 같은 말일까?#
두 입력을 바꾸면 부호가 바뀌는 조건을 반대칭이라고 부릅니다. 교대이면
에서 대각 항이 0이므로 \(f(u,v)=-f(v,u)\)입니다. 이 방향은 모든 체에서 성립합니다.
반대로 반대칭이면 \(f(u,u)=-f(u,u)\)에서 \(2f(u,u)=0\)입니다. \(2\ne0\)인 체에서는 2로 나누어 교대성을 얻습니다. 그러나 \(\mathbb F_2\)에서는 2가 0이므로 결론이 나오지 않습니다.
정확한 반례는 \(f(u,v)=u_1v_1\)입니다. 표수 2에서는 마이너스가 플러스와 같아 \(f(u,v)=-f(v,u)\)이지만 \(f(e_1,e_1)=1\)이므로 교대가 아닙니다.
반면 \(u_1v_2+u_2v_1\)은 표수 2에서 \(f(u,u)=2u_1u_2=0\)이므로 실제로 교대입니다. 이 식을 반례로 쓰면 틀립니다. 정의에 직접 대입해 보아야 합니다.
7. 여러 입력의 순서에 부호를 붙이기#
세 입력의 순서를 \((1,2,3)\)에서 \((2,3,1)\)로 바꾸려면 인접한 두 위치를 두 번 교환할 수 있습니다. 따라서 교대형식의 값은 두 번 부호가 바뀌어 원래와 같습니다. \((2,1,3)\)은 한 번 교환하므로 반대 부호입니다.
일반적으로 순열 \(\sigma\)에서 앞에 있는 큰 수와 뒤에 있는 작은 수의 쌍을 역전이라 하고 그 수를 \(I(\sigma)\)라고 씁니다. 부호를 \(\operatorname{sgn}\sigma=(-1)^{I(\sigma)}\)로 정의합니다.
인접 두 위치를 바꾸면 두 원소 사이의 역전 하나만 홀짝이 바뀝니다. 다른 원소와의 역전은 두 위치를 합쳐 세면 총수가 그대로입니다. 따라서 인접 교환 한 번마다 부호가 바뀝니다. 임의의 순열은 역전된 인접 쌍을 차례로 교환하여 정렬할 수 있습니다. 그 횟수의 홀짝은 정해진 \(I(\sigma)\)의 홀짝과 같으므로 교환 방법과 무관합니다.
멀리 떨어진 두 위치의 교환도 인접 교환 \(2d-1\)번으로 만들 수 있어 홀수 번입니다. 두 순열을 합성할 때는 교환 목록을 이어 붙일 수 있으므로 부호가 곱해집니다. 이렇게 부호의 정의가 교대성 계산에 일관되게 사용됩니다.
8. 최상위 교대형식은 한 값으로 정해진다#
3차원에서 세 입력에 선형이고 교대인 \(f\)를 생각합시다. 각 벡터를 기저로 전개하면 \(f(u,v,w)\)는 27개 항의 합입니다. 인덱스가 중복된 항은 교대성으로 0이고, 살아남은 항은 \(1,2,3\)을 한 번씩 쓰는 여섯 순서뿐입니다.
그 여섯 값은 각각 \(f(e_1,e_2,e_3)\)에 부호만 곱한 값입니다. 따라서 하나의 값을 지정하면 나머지가 모두 정해집니다. 실제로 \(u=e_1+e_2\), \(v=e_2+e_3\), \(w=e_1+e_3\)이면 다음 두 항만 살아남습니다.
다른 여섯 전개 항에는 같은 기저벡터가 두 번 들어갑니다. 이 예의 입력에는 각기 두 항만 있으므로 실제 전개는 \(2^3=8\)항입니다. 일반적인 세 성분 입력의 27항과 혼동하지 않습니다.
\(n\)차원에서는 같은 논리로 \(n\)개 입력의 교대형식이 \(f(e_1,\ldots,e_n)\) 한 값으로 결정됩니다. 하지만 “많아야 1차원”과 “정확히 1차원”은 다릅니다. 실제로 0 아닌 형식이 존재함도 마지막 절에서 구성합니다.
9. 몇 개의 방향을 유지하는지가 계수다#
\(\operatorname{rank}T=r\)이면 상 안에서 독립인 벡터를 최대 \(r\)개 고를 수 있습니다. 따라서 \(k>r\)개의 벡터를 보낸 뒤 쐐기를 취하면 항상 0입니다.
반대로 \(k\le r\)이면 상에서 독립인 \(w_1,\ldots,w_k\)를 고르고 각각 \(w_i=Tv_i\)인 입력을 고를 수 있습니다. 이때 \(Tv_1\wedge\cdots\wedge Tv_k\ne0\)입니다. 그러므로
그림 48 그림의 수는 원소의 크기가 아니라 \(\Lambda^kT\)의 계수입니다. \(k>r\)에서 정확히 0이 되는 경계가 나타납니다. 이 계산은 정확한 대수적 계수에 관한 것으로, 자료 오차가 있을 때의 계수 추정 문제와 구분합니다.#
\(u=(1,0)\), \(v=(1,\delta)\)이면 두 방향의 기록은 \(\delta\)입니다. \(\delta\ne0\)이면 독립이지만 작은 \(\delta\)에서 두 번째 성분의 작은 오차가 구별을 어렵게 만듭니다. 그렇다고 이 숫자의 절댓값을 단위와 무관한 식별 강도로 쓰면 안 됩니다. 둘째 관측의 단위를 \(c\)배 바꾸면 값도 \(c\delta\)가 됩니다. 정규화와 오차모형은 별도로 필요합니다.
10. 쐐기를 정의대로 전개하는 코드#
다음 코드는 행렬식 함수를 호출하지 않고, 기저벡터의 곱을 전개하고 중복 인덱스를 제거합니다. 인덱스는 Python에서 0부터 시작하며 기저 목록은 사전식 순서입니다.
from itertools import combinations, product
from sympy import Matrix, eye
def wedge_columns(X):
X=Matrix(X)
n,k=X.shape
indices=list(combinations(range(n),k))
values={I:0 for I in indices}
for rows in product(range(n),repeat=k):
if len(set(rows))<k:
continue
coefficient=1
for j,i in enumerate(rows):
coefficient*=X[i,j]
inversions=sum(rows[a]>rows[b] for a in range(k) for b in range(a+1,k))
values[tuple(sorted(rows))]+=(-1)**inversions*coefficient
return Matrix(len(indices),1,[values[I] for I in indices])
def exterior(T,k):
T=Matrix(T)
row_sets=list(combinations(range(T.rows),k))
col_sets=list(combinations(range(T.cols),k))
result=Matrix.zeros(len(row_sets),len(col_sets))
for j,J in enumerate(col_sets):
result[:,j]=wedge_columns(T[:,list(J)])
return result
T=Matrix([[1,1,0],[0,1,1],[0,0,2]])
assert exterior(T,2)==Matrix([[1,1,1],[0,2,2],[0,0,2]])
S=Matrix([[0,1,0],[1,0,0],[0,0,1]])
assert exterior(S*T,2)==exterior(S,2)*exterior(T,2)
C=Matrix([[1,0],[0,1],[1,1]])
assert wedge_columns(C)==Matrix([1,1,-1])
assert wedge_columns(Matrix.zeros(2,3)).shape==(0,1)
assert exterior(Matrix.zeros(2,3),3).shape==(0,1)
for r in range(5):
P=Matrix.diag(*([1]*r+[0]*(4-r)))
for k in range(1,5):
assert (exterior(P,k).is_zero_matrix)==(k>r)
print("성분 전개·함자성·계수 경계 검산 통과")
성분 전개·함자성·계수 경계 검산 통과
코드의 반복 횟수는 빠르게 커집니다. 이 구현의 목적은 계산 규칙을 검증하는 것이지 큰 행렬의 계수를 구하는 알고리즘을 제공하는 것이 아닙니다.
11. 직접 써 보는 문제와 전체 풀이#
문제 1 · 쐐기 계수 계산#
\(u=(1,2,0)\), \(v=(0,1,3)\)의 쐐기를 구하세요.
풀이. \(12\) 성분은 \(1\cdot1-2\cdot0=1\), \(13\) 성분은 \(1\cdot3-0\cdot0=3\), \(23\) 성분은 \(2\cdot3-0\cdot1=6\)입니다. 따라서 \(e_{12}+3e_{13}+6e_{23}\)입니다.
문제 2 · 교대형식이 0이 되는 입력#
교대 삼선형형식에서 \(f(u,v,2u-3v)\)를 구하세요.
풀이. 셋째 입력에 대한 선형성으로 \(2f(u,v,u)-3f(u,v,v)\)입니다. 각각 입력이 중복되어 0이므로 답은 0입니다. 처음 두 벡터의 독립성을 가정할 필요도 없습니다.
문제 3 · 두 번의 변환 합성#
5절의 \(T\) 뒤에 \(S=\operatorname{diag}(2,1,1)\)을 적용할 때 \(\Lambda^2(ST)\)를 구하세요.
풀이. \(S\)는 \(e_{12},e_{13}\)을 2배 하고 \(e_{23}\)은 그대로 둡니다. 따라서 \(\Lambda^2S=\operatorname{diag}(2,2,1)\)이고 곱은 \(\begin{pmatrix}2&2&2\\0&4&4\\0&0&2\end{pmatrix}\)입니다. 원래 \(ST=\begin{pmatrix}2&2&0\\0&1&1\\0&0&2\end{pmatrix}\)의 두 열씩 쐐기를 전개해도 같은 결과입니다.
문제 4 · 표수 2의 반례 확인#
\(\mathbb F_2\)에서 \(f(u,v)=u_1v_1\)과 \(g(u,v)=u_1v_2+u_2v_1\) 중 교대인 것을 고르세요.
풀이. \(f(e_1,e_1)=1\)이므로 \(f\)는 교대가 아닙니다. \(g(u,u)=2u_1u_2=0\)이므로 \(g\)는 교대입니다. 둘 다 입력 교환으로 값이 같고 표수 2에서는 이것이 반대칭 조건이기도 합니다.
문제 5 · 관측을 합성할 때 살아남는 항#
\(A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\1&1\end{pmatrix}\)에 대해 두 방향의 계수를 합성하세요.
풀이. \(A\)의 열 쌍 \(12,13,23\)의 계수는 \(1,1,-1\)입니다. \(B\)의 행 쌍에서 계산한 계수도 \(1,1,-1\)입니다. 합성의 계수는 \(1\cdot1+1\cdot1+(-1)(-1)=3\)입니다. 직접 \(AB=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)에서 계산하면 \(2\cdot2-1\cdot1=3\)입니다.
12. 지금까지의 내용을 수학의 언어로 정리해 봅시다#
이제 여러 입력의 선형성과 교대성을 정의하고, 쐐기 공간의 존재부터 차원·함자성·계수 판정까지 증명합니다. \(V\)는 체 \(F\) 위의 \(n\)차원 공간입니다. 교대공간 자체는 모든 체에서 구성하며, 팩토리얼로 나누는 교대화만 별도의 표수 가정을 사용합니다.
12.1 다중선형형식과 교대화#
각 입력을 따로 고정했을 때 나머지 입력에 선형인 \(f:V^k\to F\)를 \(k\)-선형형식이라 합니다. 두 입력이 같으면 0이 되는 형식을 교대형식이라 합니다. 기저에서 지정한 \(n^k\)개 값 \(f(e_{i_1},\ldots,e_{i_k})\)는 다중선형 전개로 모든 값을 유일하게 결정하고, 임의로 지정한 값도 그 전개식으로 형식을 만듭니다. 따라서 전체 형식 공간의 차원은 \(n^k\)입니다.
\(k!\)가 \(F\)에서 가역일 때
로 교대화합니다. 두 입력이 같으면 그 둘을 교환한 순열끼리 항을 짝지을 수 있고 부호가 반대여서 합은 0입니다. 따라서 교대형식입니다. 원래 \(f\)가 교대이면 각 항은 \(\operatorname{sgn}(\sigma)^2f(v_1,\ldots,v_k)=f(v_1,\ldots,v_k)\)여서 합이 \(k!f\)입니다. 따라서 \(\operatorname{Alt}f=f\)이고 \(\operatorname{Alt}^2=\operatorname{Alt}\)입니다.
\(k!\)가 0이면 이 정규화는 할 수 없습니다. 부호합 자체는 정의되어도 교대형식을 고정하는 사영이라고 결론내릴 수 없습니다. 다음 구성은 이 나눗셈을 사용하지 않습니다.
12.2 모든 체에서 쐐기 공간 만들기#
각 \(k\)에 대해 크기 \(k\)의 부분집합 \(I=\{i_1<\cdots<i_k\}\subseteq\{1,\ldots,n\}\)에 대응하는 기호 \(e_I\)를 기저로 갖는 공간을 만듭니다. \(k=0\)에서는 \(e_\varnothing=1\)을 기저로 하는 \(F\)이고, \(k>n\)이면 영공간입니다.
두 기저 기호의 곱을 다음과 같이 정하고 쌍선형으로 확장합니다.
여기서 \(c(I,J)\)는 \(i\in I,j\in J\) 중 \(i>j\)인 쌍의 수입니다. 합집합의 인덱스는 항상 증가 순서로 적습니다.
결합법칙을 확인합시다. 세 집합 중 인덱스가 중복되면 어느 순서로 곱해도 0입니다. 중복이 없으면 양쪽에서 지수는 \(c(I,J)+c(I,K)+c(J,K)\)로 같습니다. 따라서 \((e_I\wedge e_J)\wedge e_K=e_I\wedge(e_J\wedge e_K)\)이고, 쌍선형 확장으로 모든 원소에 성립합니다.
\(|I|=p,|J|=q\)이고 겹치지 않으면 \(c(I,J)+c(J,I)=pq\)이므로 \(\alpha\wedge\beta=(-1)^{pq}\beta\wedge\alpha\)입니다. 또한 \(v=\sum_i a_ie_i\)에 대해 \(v\wedge v\)의 대각 항은 0이고 \(i,j\)와 \(j,i\) 항은 서로 상쇄됩니다. 표수 2에서도 합이 0이므로 \(v\wedge v=0\)입니다.
이렇게 만든 \(k\)차 공간을 \(\Lambda^kV\)라 합니다. 정의에서 기저가 명시되었으므로
12.3 기저를 사용한 구성이 기저에 의존하지 않는 이유#
위 곱으로 \(\tau(v_1,\ldots,v_k)=v_1\wedge\cdots\wedge v_k\)는 다중선형이고 교대입니다. 교환 법칙으로 같은 입력 둘을 이웃하게 옮긴 다음 \(v\wedge v=0\)을 적용하면 됩니다.
임의의 벡터공간 \(U\)에 값을 갖는 교대 다중선형사상 \(\beta\)가 주어졌다고 합시다. \(e_I\)의 값을 \(\beta(e_{i_1},\ldots,e_{i_k})\)로 정하면 유일한 선형사상 \(\widetilde\beta:\Lambda^kV\to U\)가 생깁니다. 각 입력을 전개하면 중복 인덱스 항은 양쪽 모두 0이고, 남은 항은 같은 정렬 부호를 가지므로 \(\beta=\widetilde\beta\circ\tau\)입니다.
또한 \(e_I\)들은 단순 쐐기이므로 이 성질을 갖는 선형사상은 유일합니다. 따라서 C3의 텐서곱과 같은 보편성질의 논증으로, 다른 기저에서 만든 공간 사이에도 기본 쐐기를 보존하는 유일한 동형이 있습니다. 몫공간으로 외대수를 구성하는 방법도 있지만, 여기서는 동등한 기저 구성을 직접 완성했습니다.
12.4 최상위 교대형식의 1차원성#
정리 62 (최상위 교대형식)
\(n\)차원 공간에서 \(n\)-선형 교대형식의 공간은 정확히 1차원입니다.
증명. 8절의 일반 전개에서 형식은 \(f(e_1,\ldots,e_n)\)에 의해 결정되므로 차원은 1 이하입니다. 존재를 위해 위에서 구성한 \(\Lambda^nV\)의 기저 \(e_{1\cdots n}\)의 계수를 읽는 선형범함수를 \(\ell\)이라 놓습니다. 그러면 \(f(v_1,\ldots,v_n)=\ell(v_1\wedge\cdots\wedge v_n)\)은 교대형식이고 \(f(e_1,\ldots,e_n)=1\)이므로 0이 아닙니다. 따라서 차원은 1입니다. \(\square\)
구체적인 전개식도 얻습니다. 열벡터 \(v_j=\sum_i a_{ij}e_i\)에서 정렬한 계수는
이 식은 미리 가정한 행렬식 정의가 아니라 쐐기 전개의 계수입니다. C5에서 이 계수를 행렬식이라고 부릅니다.
12.5 유도사상과 독립성 판정#
\(T:V\to W\)가 선형이면 \((v_1,\ldots,v_k)\mapsto Tv_1\wedge\cdots\wedge Tv_k\)는 교대 다중선형입니다. 따라서 앞 보편성질로
인 유일한 선형사상이 존재합니다. 두 사상 \(S,T\)를 합성하면 단순 쐐기에서 \(\Lambda^k(ST)=\Lambda^kS\,\Lambda^kT\)이고, 단순 쐐기들이 생성하므로 전체에서 같습니다. 항등사상의 외적 거듭제곱도 항등입니다. 따라서 \(T\)가 가역이면 \(\Lambda^kT\)의 역은 \(\Lambda^k(T^{-1})\)입니다.
종속 목록의 쐐기는 4절의 선형 전개로 0입니다. 독립 목록은 기저로 확장할 수 있습니다. 원래 기저에서 그 새 기저로 보내는 가역사상 \(S\)를 택하면 독립 목록의 쐐기는 \(\Lambda^kS(e_1\wedge\cdots\wedge e_k)\)입니다. 괄호 안은 0 아닌 기저벡터이고 \(\Lambda^kS\)는 가역이므로 그 상도 0이 아닙니다. 따라서 독립일 필요충분조건은 쐐기가 0이 아닌 것입니다.
9절의 계수 판정은 이 결과를 사용한 양방향 증명으로 완성됩니다. 더 나아가 \(\operatorname{im}\Lambda^kT=\Lambda^k(\operatorname{im}T)\)입니다. 왼쪽의 생성원은 상 안의 벡터들의 쐐기이고, 반대로 그런 쐐기의 각 인자에 원상을 택하면 왼쪽에서 얻습니다. 따라서 계수가 \(r\)이면 \(\operatorname{rank}\Lambda^kT=\binom rk\)입니다.
12.6 성분 공식과 합성의 전개#
행렬 \(T=(t_{ij})\)에서 입력 기저 \(e_J\), 출력 기저 \(e_I\)를 증가 순서로 놓으면
증명. \(Te_{j_1}\wedge\cdots\wedge Te_{j_k}\)를 전개합니다. 중복 행 인덱스는 0이 되고, 고정된 행 집합 \(I\)를 만드는 항은 그 인덱스의 모든 순열입니다. 각 항을 증가 순서로 정렬할 때 부호가 \(\operatorname{sgn}\sigma\)가 되고 곱의 계수는 표시한 것과 같습니다. \(\square\)
\(A:F^m\to F^k\), \(B:F^k\to F^m\)에 함자성을 적용하면
이는 \(\Lambda^k(AB)=\Lambda^kA\,\Lambda^kB\)의 1×1 성분을 행렬곱으로 읽은 것입니다. C5의 명칭으로는 Cauchy–Binet 공식이며, 11절 문제 5에서 세 항을 실제로 계산했습니다.
앞에서 수행한 일 |
수학의 언어 |
|---|---|
입력마다 따로 선형인 기록 |
다중선형형식 |
같은 방향을 두 번 넣으면 0 |
교대성 |
여러 방향의 계수를 별도 공간에 기록 |
외적 거듭제곱 \(\Lambda^kV\) |
변환 뒤의 방향을 함께 계산 |
\(\Lambda^kT\) |
독립 방향이 몇 개 남는지 검사 |
외적 거듭제곱에 의한 계수 판정 |
쐐기곱은 여러 방향의 독립성을 하나의 대상으로 기록합니다. 다음 장에서는 최상위 쐐기 공간에 대한 작용을 숫자로 읽어 행렬식을 정의하고 부피 변화와 연결합니다. C5로 이어 읽기.