들어가며#
연립방정식의 답을 구한 뒤에도 질문은 남습니다. 왜 어떤 문제에는 답이 여러 개일까요? 좌표를 바꾸어도 같은 것으로 남는 것은 무엇일까요? 손으로는 맞는 계산이 컴퓨터에서는 왜 불안정해질까요?
이 책은 계산에서 만난 이런 질문을 정의와 증명으로 이어 가는 선형대수 교재입니다. 작은 행렬을 직접 계산하고, 그 결과가 무엇을 뜻하는지 설명한 다음, 같은 주장이 어느 범위에서 성립하는지 살펴봅니다. 경제학의 생산과 회귀, 물리학의 상태와 변화, 수치계산의 오차가 그 출발점이 됩니다.
이 책에서 함께 배울 것#
먼저 벡터공간과 선형사상을 통해 계산의 구조를 읽습니다. 기저와 좌표를 구별하고, 해의 존재와 유일성을 핵과 상의 언어로 설명하며, 고윳값과 내적이 주는 정보를 증명으로 연결합니다.
이어서 컴퓨터가 저장하는 수와 정확한 실수의 차이를 살펴봅니다. 같은 최소제곱 문제도 푸는 방법과 문제의 조건에 따라 정확도가 달라질 수 있습니다. 답을 얻는 방법뿐 아니라 그 답의 잔차와 오차를 해석하는 방법을 배웁니다.
이 두 관점은 회귀, 최적화, 동적 모형에서 다시 만납니다. 응용의 공식을 외우기보다 어떤 공간에서 무엇을 사영하고, 어떤 가정 아래 무엇을 추정하는지 이해하는 것이 목표입니다.
아홉 개의 장면으로 보는 책의 여정#
아래 그림은 같은 선형대수의 대상이 관점을 바꿀 때 어떻게 달리 보이는지를 나타냅니다. 각 설명이 화면의 중심에 올 때 그림도 함께 바뀝니다.
계산을 구조의 언어로 다시 읽습니다
연립방정식에서 출발해 벡터공간, 선형사상, 기저와 반례의 문법을 세웁니다. 익숙한 계산이 어떤 가정 위에 놓였는지 확인하는 다리입니다.
제0부 시작하기 →행렬보다 먼저, 변환 자체를 봅니다
선형사상과 쌍대성, 불변부분공간과 최소다항식을 따라갑니다. 좌표가 달라져도 남는 구조가 무엇인지 분리해 냅니다.
제1부 시작하기 →복잡한 작용을 분해하고 다시 조립합니다
표준형, 텐서, 외대수와 행렬미분은 여러 방향의 변화를 한꺼번에 기록합니다. 행렬식과 Cayley–Hamilton 정리가 그 구조를 묶습니다.
제2부 시작하기 →길이와 각도를 되찾으면 스펙트럼이 보입니다
내적, 수반, 스펙트럼 정리, 특이값과 이차형식을 하나의 기하로 연결합니다. 근사와 섭동을 판단할 기준도 여기서 나옵니다.
제3부 시작하기 →정확한 식과 실제 계산 사이의 틈을 측정합니다
부동소수점, 조건수, 안정성, 반복법과 무작위화를 다룹니다. 답을 계산하는 것에서 더 나아가 그 답을 얼마나 믿을지 평가합니다.
제4부 시작하기 →제약과 최적성의 기하를 읽습니다
분리정리, 쌍대성, KKT 조건과 최적화 알고리즘을 선형대수의 언어로 설명합니다. 등고선이 경계에 닿는 그림을 증명으로 바꿉니다.
제5부 시작하기 →사영의 관점으로 추정과 동학을 연결합니다
회귀, 추론, GMM, 요인모형과 동적 경제모형을 다룹니다. 공식마다 어떤 공간과 가정이 숨어 있는지 추적합니다.
제6부 시작하기 →벡터가 함수가 되어도 질문은 이어집니다
완비성, Hilbert 공간, 콤팩트 작용소와 고차원 확률로 범위를 넓힙니다. 유한차원에서 당연했던 성질을 하나씩 다시 점검합니다.
제7부 시작하기 →서로 다른 경로를 하나의 구조로 모읍니다
앞에서 사용한 가정을 다시 읽고, 하나의 데이터에 일곱 계산 경로를 적용합니다. 계산·기하·확률·경제학의 연결을 스스로 설명하며 여정을 마칩니다.
제8부 시작하기 →어디에서 시작하면 좋을까요?#
이 책은 앞 권의 선형대수 강의노트에서 다룬 소거법, 행렬곱, 기저와 차원, 내적을 출발점으로 삼습니다. 모든 내용을 완벽히 기억할 필요는 없습니다. B0의 진단 문제를 풀면서 필요한 부분을 확인할 수 있습니다.
계산과 개념을 연결하는 감각부터 되살리고 싶다면 첫 수업 · 제약을 만족하는 상태와 변화를 먼저 읽어 보세요. 하나의 생산 계획을 여러 관점에서 따라가는 선택 읽기입니다. 본문을 차례로 공부하려면 B0 · 이 책의 사용법에서 시작하면 됩니다.
한 장을 읽는 방법#
처음에는 문제의 상황과 변수의 뜻을 확인하고, 작은 예제의 계산을 직접 따라 적어 보세요. 그림에서는 계산한 대상이 어디에 나타나는지 찾아봅니다. 연습문제는 풀이를 보기 전에 자신의 답과 근거를 먼저 적는 것이 좋습니다.
장의 마지막에는 앞서 계산한 내용을 정의와 정리로 다시 씁니다. 새로운 기호가 어렵다면 그 기호가 가리키던 예제로 돌아가세요. 계산과 증명을 오가면서 읽는 것이 이 책의 기본 학습 방법입니다.
코드는 손계산을 확인하거나 더 큰 문제를 실험하는 데 사용합니다. 처음 읽을 때 모든 코드를 실행할 필요는 없습니다. 직접 실험할 때에는 실습 안내를 참고하세요. 실행 결과가 주장을 뒷받침하는 예인지, 모든 경우에 대한 증명인지도 함께 구별해 봅시다.
이제 같은 조건을 만족하는 여러 답에서 출발해 보겠습니다. B0의 첫 문제로 이동하기.