E9 · 동적 모형 II: 공통 추세, 안정해의 경계조건, 최적 정책#
1. 두 가격은 떠돌아도 가격 차이는 돌아올 수 있다#
두 시장의 로그가격 편차를 \(y_t=(y_{1t},y_{2t})^T\)라 합시다. 로그 기준을 고정했으므로 차이는 상대가격의 로그입니다. 가격 차이가 크면 첫 시장이 더 빠르게 조정되는 모형을
로 놓습니다. 충격은 시점 간 독립, 평균 0, 공분산 \(I\)라고 가정합니다. 장기 조정행렬과 수준 전이는
가격 차이 \(d_t=\beta^Ty_t\)를 계산하면 \(\beta^T\alpha=-1/2\)이므로
차이는 안정적입니다. 반면 \(q=(1/5,4/5)^T\)에는 \(q^T\alpha=0\)이므로 \(c_t=q^Ty_t=c_{t-1}+q^T\varepsilon_t\)는 랜덤워크입니다. \(\operatorname{Var}(q^T\varepsilon)=17/25>0\)여서 공통 추세가 실제로 움직입니다. 변환 \(y\mapsto(d,c)\)의 행렬식은 1이므로 두 좌표는 원래 가격을 완전히 설명합니다.
초기값 \(y_0=(1,0)^T\)에 충격을 0으로 두면 \(d_0=1,c_0=1/5\)입니다. 역변환으로
두 가격은 0으로 가지 않고 같은 \(1/5\)로 갑니다. ‘차이가 안정적’이라는 말과 ‘수준 전체가 안정적’이라는 말을 구별해야 합니다.
그림 155 초기 상태는 \((1,0)\)이다. 점을 잇는 선은 이산 시점 표시이며 확률표본 경로가 아니다. 점선은 공통 추세 좌표 \(1/5\)다.#
2. 계수와 공적분 관계의 수 사이에 필요한 조건#
위 예에서는 \(\operatorname{rank}\Pi=1\)이고 안정적인 가격 차이도 하나입니다. 일반적으로 \(\Pi=\alpha\beta^T\)의 계수만으로 I(1) 구조를 결론낼 수 없습니다. \(\Pi=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\)이면 계수는 1이지만 \(A=I+\Pi\)가 단위근 Jordan 블록입니다. 둘째 좌표가 랜덤워크이고 첫째는 그것을 누적하여 I(2)가 될 수 있습니다.
VAR의 지연다항식을 \(\Phi(z)=I-A_1z-\cdots-A_pz^p\)라 합시다. \(\Phi(1)=-\alpha\beta^T\)이고 \(\alpha,\beta\)가 계수 \(0\le r<d\)라고 합시다. \(r=0\)이면 \(\Phi(1)=0\)이며 두 핵 기저를 전체 공간의 정규직교 기저로 택합니다. \(\alpha_\perp,\beta_\perp\)는 각각 전치의 핵에 대한 정규직교 기저입니다. \(G=-\Phi'(1)\)라 두면 단순 단위근의 핵심 조건은
\(z=1\) 부근에서 \(\Phi(z)^{-1}\)의 극이 정확히 1차이면 누적 충격은 한 번만 등장합니다. 이때
이고 \(H\)는 \(z=1\)에서 해석적입니다. 다른 근은 닫힌 단위원 밖에 있고 충격의 공분산은 PD라고 추가 가정하면, 안정적 필터 부분과 \(C\sum_{s\le t}\varepsilon_s\)의 공통 추세로 나뉩니다. 초기조건은 적합한 초기항을 더합니다. 안정 부분을 처음부터 정상으로 두려면 정상 초기화를 사용해야 합니다.
\(\beta^TC=0\)이므로 \(\beta^Ty_t\)는 누적 부분을 지웁니다. \(C\)의 계수는 \(d-r\)이고 충격 공분산이 PD이면 정확히 그 수의 비퇴화 추세가 남습니다. 따라서 공적분 공간은 \(\operatorname{col}\beta\)입니다. 이 논리가 rank 주장에 빠져 있던 조건들입니다.
Smith 표준형으로는 \(z=1\)에서 사라지는 \(d-r\)개 불변인자가 각각 \((1-z)\)를 정확히 한 번 포함한다는 말입니다. 더 높은 거듭제곱이면 역행렬에 더 높은 극이 생깁니다. 다항식 전체의 Smith 분해를 수치로 계산할 필요는 없으며 마지막 절의 국소 블록 소거가 이 조건을 직접 증명합니다.
3. Johansen의 대수: 잔차 블록의 정준상관#
단기 시차와 결정항을 먼저 회귀로 제거한 차분 잔차를 \(R_0\), 수준 시차 잔차를 \(R_1\)이라 합시다. 두 행렬은 \(T\times d\)이며 \(S_{ij}=R_i^TR_j/T\)로 둡니다. 결정항을 어떤 공간에 제한하는지는 통계모형의 일부입니다. 여기서는 두 블록이 이미 주어졌고 \(S_{00},S_{11}\succ0\)라고 가정합니다.
\(R_0=R_1\beta\alpha^T+E\)에서 \(\beta\)를 고정하면 최소제곱은
잔여 공분산은 \(S_{00}-S_{01}\beta(\beta^TS_{11}\beta)^{-1}\beta^TS_{10}\)입니다. Gaussian 조건부 우도에서 공분산도 최적화하면 이 행렬의 로그행렬식을 최소화합니다. \(\beta^TS_{11}\beta=I\)로 정규화하고 백색화하면 CCA와 같은
가 나옵니다. \(\lambda_j\)는 정준상관의 제곱입니다. 고윳값이 모두 1보다 작으면 계수 \(r\)의 최대우도 잔여행렬식은 \(\det S_{00}\prod_{j\le r}(1-\lambda_j)\)입니다. 비제약 계수 \(d\)와 비교한 통계량은 \(-T\sum_{j>r}\log(1-\lambda_j)\)입니다.
이 식을 얻었다고 통상 카이제곱 임계값을 사용할 수는 없습니다. 공적분 검정의 영가설 분포는 단위근과 결정항 지정에 의존하는 비표준 분포입니다. 이 장은 그 확률극한을 증명하지 않습니다.
손계산 예로 \(S_{00}=S_{11}=I_2\), \(S_{01}=\operatorname{diag}(4/5,3/10)\)이면 \(\lambda_1=16/25\), \(\lambda_2=9/100\). 계수 1에서 잔여 공분산은 \(\operatorname{diag}(9/25,1)\)이고, 계수 2와의 로그우도 비교에는 \(-T\log(91/100)\)이 남습니다. E7의 정준상관 계산을 여기서는 축소계수 회귀로 읽습니다.
4. 공적분 좌표와 구조 충격의 회전#
\(\Pi=\alpha\beta^T\)에 가역 \(H\)를 사용하면 \((\alpha H^{-1})(\beta H^T)^T=\Pi\)입니다. 식별되는 공적분 공간과 그 공간의 경제적 이름은 다릅니다. \(r=1\)에서도 \(\beta\)를 2배 하면 \(\alpha\)를 절반으로 해야 하며 조정계수의 숫자만 비교해서는 안 됩니다.
축약형 충격 공분산 \(\Sigma\succ0\)에서 \(\varepsilon=B u\), \(\operatorname{Cov}u=I\)라고 하면 \(BB^T=\Sigma\)입니다. 한 인수 \(B_0\)를 고정할 때 모든 정사각 가역 해는 \(B=B_0Q\), \(Q^TQ=I\)입니다. \(\Sigma^{1/2}\)의 유일성과 구조 충격 인수의 유일성은 다릅니다.
하삼각·양의 대각이라는 제약은 Cholesky 인수를 유일하게 만듭니다. 장기 제약은 안정계의 \((I-A)^{-1}B\) 또는 공적분계의 영구 반응 \(CB\)에 부과합니다. 단위근계에 존재하지 않는 \((I-A)^{-1}\)을 사용하지 않습니다. 부호제약은 일반적으로 여러 회전을 남겨 집합식별을 줍니다. 등식 제약 수가 직교군의 차원 \(d(d-1)/2\)와 같다는 것만으로 전역 유일성은 증명되지 않습니다. 국소적으로도 제약의 미분이 독립이어야 합니다. RWZ 계열 식별 판정은 이 독립성과 모형별 정규화를 정밀화하는 별도 결과이며, 여기서는 개수 세기로 대체하지 않습니다.
\(\Sigma=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)의 \(B_0=\begin{pmatrix}\sqrt2&0\\1/\sqrt2&\sqrt{3/2}\end{pmatrix}\)에 회전 \(Q(\theta)\)를 곱하면 첫 충격은
두 성분이 양수라는 조건만으로 \(\theta\) 하나를 고를 수 없습니다. 첫 열은 회전각에 따라 달라져도 \(BB^T\)는 같습니다.
그림 156 좌표는 각 가격에 대한 한 표준편차 구조 충격의 즉시 반응이다. 사분면 부호제약은 타원의 일부를 남기지만 보통 한 점으로 줄이지 않는다.#
Gaussian 행렬 \(G\)의 QR에서 삼각인수 대각을 양수로 고정하면 \(Q\)는 Haar 균등 직교행렬입니다. 실제 QR 출력에는 그 부호 규칙이 보장되지 않으므로 \(Q\)의 열에 \(\operatorname{sign}(R_{jj})\)를 곱합니다. 영 대각은 연속 Gaussian에서 확률 0입니다. \(O(d)\) 전체와 \(\det Q=1\)인 회전군 \(SO(d)\)는 서로 다르며, 충격 부호 정규화는 또 다른 선택입니다.
5. 예정 상태와 점프 변수: 근 개수 다음에 확인할 것#
완전예견 동차계 \(\Gamma_0z_{t+1}=\Gamma_1z_t\)를 생각해 봅시다. 먼저 \(\Gamma_0\)가 가역이고 단위원 위 근이 없다고 하자. \(z=(k,q)\)에서 \(k\)는 초기값이 주어진 예정 상태, \(q\)는 안정 경로를 맞추기 위해 선택할 점프 변수입니다. 안정부분공간의 기저를
로 나눕니다. 안정 초기값은 \(z_0=Z_sc\)이므로 반드시 \(Z_kc=k_0\)를 풀어야 합니다. 모든 \(k_0\)에 유일해가 있으려면 \(Z_k\)가 정사각 가역이어야 합니다. 그때 정책은 \(q_0=Z_qZ_k^{-1}k_0\)입니다.
\(A=\begin{pmatrix}1/2&0\\-3/2&2\end{pmatrix}\), \(k=z_1,q=z_2\)이면 안정 고유벡터는 \((1,1)^T\)입니다. 그래서 \(q_0=k_0\)이고 경로는 \(2^{-t}(k_0,k_0)^T\)입니다. 불안정근 하나와 점프 변수 하나라는 개수가 맞고, 예정 좌표 사영도 1로 가역입니다.
반례 \(A=\operatorname{diag}(2,1/2)\)에서는 개수는 같지만 안정공간이 \(\operatorname{span}e_2\)입니다. 예정 좌표 \(k=z_1\)의 사영은 0입니다. \(k_0\ne0\)이면 안정해가 없고, \(k_0=0\)이면 \(q_0\)를 임의로 골라도 안정적입니다. 개수만으로 유일성을 결론내릴 수 없습니다.
예정 상태 수를 \(p\), 안정공간 차원을 \(s\)라 하면, \(s<p\)에서는 모든 초기값에 대한 해가 불가능하지만 일부 초기값에는 해가 있을 수 있습니다. \(s>p\)라도 \(Z_k\)가 전사여야 모든 초기값을 맞출 수 있고, 그때 해의 자유도는 \(s-p\)입니다. 확률적 합리적기대계의 태양흑점 해에는 정보집합·마팅게일 차분 충격·적합성 조건이 더 필요합니다. 동차 완전예견계의 자유차원만으로 일반 확률균형 존재를 증명하지 않습니다. 이 안정경로 구성은 QuantEcon의 합리적기대 안정성 강의와 같은 경계조건 접근입니다.
6. 특이한 시점 행렬과 QZ#
\(\Gamma_0\)가 특이하면 역을 만들지 않고 펜슬 \(\Gamma_1-\lambda\Gamma_0\)를 씁니다. 정칙은 행렬식 다항식이 항등적으로 0이 아니라는 뜻입니다. 복소 일반화 Schur 분해는
이고 유한 근은 \(S_{ii}/T_{ii}\)입니다. 실수 QZ에서는 \(2\times2\) 블록이 있어 대각 원소 비만으로 복소쌍을 읽지 않습니다. \(T_{ii}=0\), \(S_{ii}\ne0\)는 무한 근이며 안정한 유한 근으로 취급하지 않습니다. 무한 근의 대수적 개수는 \(d-\deg\det(\Gamma_1-\lambda\Gamma_0)\)입니다.
예를 들어 \(\Gamma_0=\operatorname{diag}(1,0)\), \(\Gamma_1=\operatorname{diag}(1/2,1)\)이면 첫 좌표는 안정 동학, 둘째 방정식은 \(0=z_{2t}\)라는 대수 제약입니다. 무한 근 하나는 이 제약을 반영합니다. 특이 펜슬은 행렬식이 항등 0이며 중복 방정식이나 미정 제약을 나타낼 수 있습니다. 정칙 부분의 고윳값과 최소지수 등 더 세밀한 구조가 있을 수 있으므로 ‘고윳값이 전혀 정의되지 않는다’고 단정하지 않습니다.
QZ의 오른쪽 안정 열은 일반적으로 동일 좌표의 불변부분공간보다 감소부분공간(deflating subspace)으로 부르는 것이 정확합니다. 왼쪽 공간과 짝지어 두 행렬을 동시에 블록화합니다. 무한근이 있는 descriptor 계에서는 대수 제약과 초기 적합성을 먼저 확인한 뒤 예정 상태의 투영 조건을 사용합니다. 정칙성 하나만으로 모든 초기값의 해가 존재하지 않습니다. 구현의 근 순서와 반환값 규약은 SciPy ordqz 문서를 따릅니다.
7. 정책을 선택하면 안정성을 만들 수 있는가#
스칼라 상태 \(x_{t+1}=x_t+u_t\)에서 \(x\)는 목표로부터의 재고 편차, \(u\)는 조정량입니다. 단위를 같게 두고 비용 \(\sum_{t\ge0}(x_t^2+u_t^2)\)를 최소화합니다. 다음 시점 가치가 \(px^2\)이면 현재 선택은
따라서 최적 정책은 \(u=-p x/(1+p)\), 새 가치계수는 \(\mathcal R(p)=1+p/(1+p)\)입니다. 남은 기간 0의 비용을 0으로 놓으면 \(p_0=0\), \(p_1=1\), \(p_2=3/2\), \(p_3=8/5\)입니다. 극한은 \(p^2-p-1=0\)의 양의 근 \(p_*=(1+\sqrt5)/2\)입니다. 정책 \(u=-x/p_*\), 폐루프 계수 \(1/(1+p_*)=1/p_*^2\)는 1보다 작습니다.
그림 157 위는 남은 기간에 따른 비용계수, 아래는 로그 오차다. 반올림 수준 이후는 표시하지 않는다. 국소 오차 비는 폐루프 계수의 제곱 \(1/p_*^4\)로 간다.#
행렬 모형 \(x_{t+1}=Ax_t+Bu_t\), \(Q\succeq0\), \(R\succ0\)에서는 같은 완전제곱으로
\(P_0=0\)에서 시작한 반복은 유한기간 최적 가치입니다. 아래에서는 안정화 가능한 피드백이 존재하고 \((Q^{1/2},A)\)가 검출가능할 때 수렴과 유일한 PSD 안정화 해를 증명합니다. 검출가능성은 \(Av=\lambda v\), \(Q^{1/2}v=0\), \(|\lambda|\ge1\)인 비영 복소 \(v\)가 없다는 조건으로 사용합니다.
단조성과 압축성은 다릅니다. 스칼라 \(A=2,B=1,Q=R=1\)이면 \(\mathcal R(p)=1+4p/(1+p)\)이고 \(\mathcal R'(0)=4\)입니다. PSD 원뿔 전체에서 보통 절댓값 노름의 압축사상이 아닙니다. 안정화·검출가능성을 만족해도 이 반례는 유지됩니다. 안정화 해 근처의 미분은 \(E\mapsto A_c^TEA_c\), \(A_c=A-BF(P_*)\)이며 스펙트럼 반경은 \(\rho(A_c)^2<1\)입니다. 비정규 문제에서는 보통 노름의 매 단계 오차 비가 곧 이 값이라는 뜻은 아닙니다.
8. 필터와 제어의 쌍대성, 공간 모형의 행렬식#
정상 칼만 예측 공분산은
제어 DARE에 \((A,B,Q,R)\mapsto(A^T,H^T,Q_w,R_v)\)를 넣으면 정확히 이 식입니다. 갱신 후 공분산과 예측 공분산을 혼동하면 \(A\)의 위치가 틀립니다. 수치적으로 DARE는 안정 감소부분공간을 분리하는 심플렉틱 펜슬로 풀 수 있습니다. 안정공간을 \([U_1^T,U_2^T]^T\)로 나타낼 때 \(P=U_2U_1^{-1}\)의 대칭성·\(U_1\) 조건수·원래 DARE 잔차를 확인해야 합니다. 알고리즘 이름만으로 정확성을 보증하지 않습니다.
공간 모형 \(y=\rho Wy+X\beta+u\)에서는 \(u=(I-\rho W)y-X\beta\)이므로 밀도변환의 Jacobian이 \(|\det(I-\rho W)|\)입니다. \(W=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)이면 행렬식은 \(1-\rho^2\), \(|\rho|<1\)에서 로그는 \(\log(1-\rho^2)\)입니다. 고윳값 \(1,-1\)로 계산한 \(\log(1-\rho)+\log(1+\rho)\)와 같습니다.
\(\|\rho W\|<1\)에서는 \(\log\det(I-\rho W)=-\sum_{k\ge1}\rho^k\operatorname{tr}(W^k)/k\)입니다. \(m\)항 뒤의 절댓값 오차는 \(d q^{m+1}/((m+1)(1-q))\), \(q=\|\rho W\|<1\)로 제어됩니다. 일반 비대칭 \(W\)에 실수 대칭 Cholesky를 적용할 수 없으며 희소 LU, 구조에 맞는 고유분해 또는 추적 추정을 선택합니다. Hutchinson 표본오차와 급수 절단오차는 따로 계산해야 합니다.
반복 구현은 수학적으로 대칭인 갱신값에 \((P+P^T)/2\)를 적용합니다. 반올림으로 생긴 비대칭이 양정치 선형계 풀이의 삼각 저장 규약과 충돌하여 누적되는 것을 막기 위해서입니다. PSD를 강제로 만드는 고윳값 절단과는 다르며, 원래 방정식의 잔차를 별도로 검사합니다.
9. 계산으로 확인하기#
import numpy as np
import scipy.linalg as la
alpha=np.array([[-.4],[.1]]); beta=np.array([[1.],[-1.]])
Pi=alpha@beta.T; A=np.eye(2)+Pi
assert np.allclose(beta.T@A,.5*beta.T)
assert np.allclose(np.array([.2,.8])@A,[.2,.8])
G0=np.diag([1.,0.]); G1=np.diag([.5,1.])
S,T,aa,bb,Q,Z=la.ordqz(G1,G0,sort='iuc',output='complex')
assert np.allclose(Q.conj().T@G1@Z,S)
assert np.allclose(Q.conj().T@G0@Z,T)
assert abs(aa[0]/bb[0]-.5)<1e-12 and abs(bb[1])<1e-12
S01=np.diag([.8,.3]); roots=la.eigvalsh(S01.T@S01,np.eye(2))[::-1]
assert np.allclose(roots,[.64,.09])
print('cointegration roots, canonical squares:',la.eigvals(A),roots)
cointegration roots, canonical squares: [0.5+0.j 1. +0.j] [0.64 0.09]
def riccati(P,A,B,Q,R):
F=la.solve(R+B.T@P@B,B.T@P@A,assume_a='pos')
updated=Q+A.T@P@A-A.T@P@B@F
return (updated+updated.T)/2,F
Ac=np.array([[1.]]); Bc=np.ones((1,1)); Qc=np.ones((1,1)); Rc=np.ones((1,1))
P=np.zeros((1,1)); values=[0.]
for _ in range(35):
P,F=riccati(P,Ac,Bc,Qc,Rc); values.append(P.item())
Pstar=la.solve_discrete_are(Ac,Bc,Qc,Rc)
assert np.allclose(P,Pstar) and np.isclose(P.item(),(1+np.sqrt(5))/2)
new,F=riccati(Pstar,Ac,Bc,Qc,Rc)
assert la.norm(new-Pstar)<1e-12 and abs((Ac-Bc@F).item())<1
rng=np.random.default_rng(20260919)
B0=la.cholesky(np.array([[2.,1.],[1.,2.]]),lower=True)
G=rng.normal(size=(2,2)); O,Rtri=la.qr(G)
O=O*np.sign(np.diag(Rtri))[None,:]
assert np.allclose((B0@O)@(B0@O).T,B0@B0.T)
print('DARE value, feedback, closed loop:',P.item(),F.item(),(Ac-Bc@F).item())
DARE value, feedback, closed loop: 1.6180339887498947 0.6180339887498948 0.3819660112501052
10. 연습과 전체 풀이#
문제 1 — 공통 추세. 예제의 영구 충격행렬 \(C\)를 구하라.
풀이. 오른쪽 단위근 방향은 \((1,1)^T\), 왼쪽은 \(q=(1/5,4/5)^T\)이며 \(q^T(1,1)^T=1\)입니다. 따라서 \(C=\mathbf1q^T=\begin{pmatrix}1/5&4/5\\1/5&4/5\end{pmatrix}\). \(C^2=C\), \(AC=C\), \(\beta^TC=0\)을 곱으로 확인합니다. 첫 시장 충격은 장기에 두 가격을 모두 \(1/5\)만큼 바꿉니다.
문제 2 — I(2) 반례. \(\Pi=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\)의 핵심 조건은?
풀이. \(\alpha=e_1\), \(\beta=e_2\), \(\alpha_\perp=e_2\), \(\beta_\perp=e_1\)입니다. VAR(1)에서 \(G=A=I+\Pi\)이므로 \(K=e_2^TAe_1=0\). \(\Phi(z)=\begin{pmatrix}1-z&-z\\0&1-z\end{pmatrix}\)의 역 비대각은 \(z/(1-z)^2\)입니다. 이차 극이 단순 I(1) 표현을 깨뜨립니다.
문제 3 — 식별. \(\Sigma=I_2\)와 양의 첫 충격 반응만 주어졌을 때 인수는 유일한가?
풀이. 첫 열 \((\cos\theta,\sin\theta)^T\)의 \(0<\theta<\pi/2\) 전체가 허용됩니다. 두 번째 열을 직교 단위벡터로 정하면 모든 경우 \(BB^T=I\). 부호제약은 연속적인 해집합을 남깁니다.
문제 4 — 경계조건. \(A=\operatorname{diag}(2,1/2)\)에서 \(k_0=0\)이면 유일한가?
풀이. \(k_t=0\), \(q_t=2^{-t}q_0\)이고 모든 \(q_0\)가 안정 경로입니다. 개수 조건은 맞지만 \(Z_k=0\)이므로 유일하지 않습니다. \(k_0\ne0\)이면 첫 좌표가 폭발하여 안정 경로가 없습니다.
문제 5 — Riccati. 황금비 정책의 비용을 직접 합하라.
풀이. \(f=1/p_*\), \(a_c=1/p_*^2\)이면 \(x_t=a_c^tx_0\), \(u_t=-fx_t\). 비용은 \((1+f^2)/(1-a_c^2)x_0^2\). \(p_*^2=p_*+1\)을 사용하면 이 계수는 \(p_*\)이며 Bellman 계산과 일치합니다.
문제 6 — 압축 반례. \(\mathcal R(p)=1+4p/(1+p)\)는 \([0,\infty)\)에서 압축인가?
풀이. \([\mathcal R(h)-\mathcal R(0)]/h=4/(1+h)\to4\). 1보다 작은 전역 Lipschitz 상수는 존재하지 않습니다. 안정화 해 근처의 국소 수렴과 전역 압축은 별개입니다.
문제 7 — 공간행렬식. \(W\)가 두 시장을 교환할 때 급수를 정리하라.
풀이. 홀수 \(k\)의 trace는 0, 짝수는 2입니다. 따라서 \(-\sum_{j\ge1}\rho^{2j}/j=\log(1-\rho^2)\)입니다. 이는 \(|\rho|<1\)에서 수렴합니다. 경계 \(|\rho|=1\)은 행렬식이 0이므로 밀도변환이 가역이지 않습니다.
11. 지금까지의 내용을 수학의 언어로 정리해 봅시다#
가격 차이의 안정성에는 단위근의 차수가, 안정 초기값의 유일성에는 좌표 사영의 가역성이, 최적 정책의 수렴에는 안정화가능성과 검출가능성이 필요했습니다. 이제 앞에서 확인한 조건을 분리하여 공적분의 국소 대수와 정책의 무한기간 극한까지 증명합니다.
정리 1. 단순 단위근의 국소 대수#
2절의 계수 조건 아래 \(K\)가 가역일 필요충분조건은 \(\Phi(z)^{-1}\)의 \(z=1\) 극이 1차이고 그 잔여 계수가 계수 \(d-r\)인 것입니다. 이때 잔여는 제시한 \(C\)입니다.
증명. \(h=1-z\)로 두면 \(\Phi(z)=\Phi(1)+hG+O(h^2)\)입니다. \(r=0\)이면 전체가 \(hG+O(h^2)\)이므로 아래의 Schur 보원 논증을 전체 행렬에 직접 적용합니다. \(r>0\)에서는 행·열에 각각 \([U_\alpha,\alpha_\perp]^T\), \([U_\beta,\beta_\perp]\)라는 직교기저를 사용합니다. \(U_\alpha,U_\beta\)는 \(\alpha,\beta\)의 상 기저입니다. 변환된 행렬은
아래 Schur 보원은 \(hK+O(h^2)\)입니다. \(K\)가 가역이면 그 역은 \(h^{-1}K^{-1}+O(1)\). 블록 역의 비대각에는 \(O(h)\)가 곱해지므로 유계이고 위 블록도 유계입니다. 따라서 유일한 극의 계수는 원좌표에서 \(\beta_\perp K^{-1}\alpha_\perp^T\)입니다.
역으로 전체 역이 1차 극 이하이면 블록 역의 아래 블록도 그렇습니다. Schur 보원 \(hK+O(h^2)\)와 그 역 \(h^{-1}L+O(1)\)의 곱은 \(KL+O(h)=I\)여야 합니다. 따라서 \(K\)가 가역입니다. 이 국소 분해에서 아래 \(d-r\)방향 각각의 영점 차수는 1이며 Smith 불변인자의 해당 영점 차수와 같습니다. 다른 근이 단위원 밖이면 나머지 유리함수 필터는 단위원보다 큰 원판에서 해석적이어서 계수가 기하 감소합니다. 이는 안정 부분과 한 번 누적한 충격의 분해를 줍니다. PD 충격 공분산과 \(\operatorname{rank}C=d-r\)로 추세 공분산도 그 계수이며 그 왼쪽 핵은 정확히 \(\operatorname{col}\beta\)입니다. ∎
정리 2. 축소계수 회귀의 정준상관 해#
\(S_{00},S_{11}\succ0\)이고 백색화 교차공분산의 특이값이 모두 1보다 작으면 3절의 우도 최소는 상위 \(r\)개 정준방향에서 얻습니다.
증명. 고정 \(\beta\)의 잔차의 정규방정식은 \(S_{01}\beta-\alpha\beta^TS_{11}\beta=0\)이라 제시한 \(\widehat\alpha\)를 줍니다. \(V=S_{11}^{1/2}\beta\)를 정규직교화하고 \(C=S_{00}^{-1/2}S_{01}S_{11}^{-1/2}\)라 두면 잔여 행렬식은
마지막 등식은 두 곱 \(AB,BA\)의 비영 고윳값 일치 또는 블록 행렬식 소거로 따릅니다. 압축행렬 \(V^TC^TCV\)의 내림차순 고윳값 \(\mu_j\)에는 Courant–Fischer에 의해 \(\mu_j\le\lambda_j(C^TC)\)입니다. 전체 공간에서의 최대화보다 \(\operatorname{col}V\)로 제한한 최대화가 클 수 없기 때문입니다. 모두 1보다 작으므로 \(\prod_{j\le r}(1-\mu_j)\ge\prod_{j\le r}(1-\lambda_j)\). 상위 고유벡터를 택하면 등호입니다. 프로파일 우도비 식은 두 최적 행렬식의 로그 차로 얻습니다. 이 대수 증명은 검정의 영가설 분포를 포함하지 않습니다. ∎
정리 3. 인수 회전과 Haar 추출#
\(B_0B_0^T=\Sigma\succ0\)일 때 \(BB^T=\Sigma\)의 정사각 해는 정확히 \(B_0Q\), \(Q\) 직교입니다.
증명. \(Q=B_0^{-1}B\)이면 \(QQ^T=B_0^{-1}\Sigma B_0^{-T}=I\)입니다. 정사각이므로 \(Q\)는 가역이고 \(Q^TQ=I\)도 성립합니다. 역으로 직교 \(Q\)를 넣으면 공분산이 같습니다. 하삼각 양대각 인수 두 개의 비는 하삼각 직교 양대각입니다. 첫 행의 노름과 직교성부터 차례로 보면 이 행렬은 항등이므로 Cholesky 인수는 유일합니다.
Haar 추출은 정규행렬의 왼쪽 직교불변성과 양대각 QR의 유일성을 씁니다. 고정 직교 \(O\)에 \(OG\)는 \(G\)와 같은 분포입니다. \(G=QR\)이면 \(OG=(OQ)R\)도 양대각 QR이므로 추출된 \(Q\)의 분포는 왼쪽 직교변환에 불변입니다. 콤팩트 직교군의 불변 확률측도 존재·유일성을 외부 전제로 Haar 분포라고 부릅니다. ∎
정리 4. 안정 초기값의 존재와 유일성#
가역 시점행렬의 동차계, 단위원 위 근 없음, 안정공간 기저 \(Z_s\) 아래 주어진 \(k_0\)의 안정해는 \(Z_kc=k_0\)와 일대일 대응합니다. 모든 초기값에 유일해일 필요충분조건은 \(Z_k\)의 정사각 가역성입니다.
증명. 안정·불안정 일반화 고유공간으로 분해하면 안정공간 밖 성분은 거듭제곱 아래 0으로 가지 않습니다. 각 Jordan 블록의 지수율과 다항 인자로 확인할 수 있습니다. 따라서 안정 초기값은 정확히 \(Z_sc\)이며 기저 열의 독립성으로 \(c\)와 일대일입니다. 예정 좌표를 추출하면 \(Z_kc=k_0\). 모든 \(k_0\)에 존재는 전사성, 유일성은 단사성이므로 둘이 함께이면 정사각 가역입니다. 특정 \(k_0\)에서는 상에 속하는지와 핵 차원으로 존재와 자유도를 각각 판정합니다. ∎
정리 5. Riccati의 단조성, 수렴, 안정화 해#
\(Q\succeq0\), \(R\succ0\)이고 어떤 피드백 \(F_0\)에 \(A-BF_0\)가 안정하다고 가정합니다. 또한 7절의 검출가능성 조건을 가정합니다. 그러면 \(P_n=\mathcal R^n(0)\)은 증가하여 유일한 PSD 안정화 해 \(P_*\)로 수렴합니다. 임의 \(P_0\succeq0\)의 반복도 같은 극한입니다.
증명. 임의 \(x\)에
\(R+B^TPB\succ0\)이므로 완전제곱으로 유일한 최소 \(u=-F(P)x\)와 공식을 얻습니다. \(P_1\preceq P_2\)이면 모든 \(u\)에서 목적함수가 순서화되므로 최소도 순서화됩니다. \(\mathcal R(0)=Q\succeq0\)이어서 \(P_n\)은 증가합니다.
안정 정책 \(F_0\)의 무한비용 행렬 \(\overline P=\sum_{j\ge0}(A-BF_0)^{Tj}(Q+F_0^TRF_0)(A-BF_0)^j\)는 유한합니다. 유한기간 최소비용은 이 정책의 비용 이하이므로 \(P_n\preceq\overline P\). 모든 \(x\)의 이차형식이 수렴하고 편극으로 모든 성분이 수렴하여 PSD 극한 \(P_*\)가 존재합니다. 역행렬은 \(R\succ0\) 때문에 연속이므로 고정점입니다.
\(F=F(P_*)\), \(A_c=A-BF\)로 놓으면 완전제곱의 등호에서 \(P_*=Q+F^TRF+A_c^TP_*A_c\)입니다. \(A_cv=\lambda v\), \(|\lambda|\ge1\)이면
왼쪽은 비양, 오른쪽은 비음입니다. 따라서 \(Q^{1/2}v=0,Fv=0\)이고 \(Av=A_cv=\lambda v\)가 되어 검출가능성에 모순입니다. 따라서 \(A_c\)는 안정합니다. Lyapunov 급수로 \(P_*\)는 이 안정 정책의 무한비용과 같고, 모든 정책의 무한비용은 각 유한기간 최소비용 이상이므로 \(P_*\)가 무한기간 최적값입니다.
다른 PSD 안정화 고정점 \(\widetilde P\)에 대해서도 완전제곱하면 각 단계 비용이 \(x_t^T\widetilde P x_t-x_{t+1}^T\widetilde P x_{t+1}\)에 비음 제곱을 더한 값입니다. \(P_*\) 정책은 안정하므로 합의 마지막 상태항이 0으로 갑니다. 따라서 그 비용 \(P_*\)는 \(\widetilde P\) 이상입니다. 반대로 \(\widetilde P\)의 안정 정책 비용은 \(\widetilde P\)이고 최적값 \(P_*\) 이상입니다. 양쪽 부등식으로 같습니다.
임의 종단비용 \(P_0\succeq0\)에는 \(\mathcal R^n(0)\preceq\mathcal R^n(P_0)\)입니다. \(P_*\) 정책을 \(n\)기간 사용하면
우변은 \(P_*\)로 가므로 조임으로 모든 PSD 초기값의 수렴을 얻습니다. 전역 압축을 가정하지 않은 증명입니다. ∎
정리 6. 국소 미분과 로그행렬식 급수#
안정화 해에서 \(D\mathcal R(P_*)[E]=A_c^TEA_c\)입니다. \(q=\|\rho W\|<1\)일 때 8절의 trace 급수와 절단상한이 성립합니다.
증명. 최소화 표현을 미분하면 최적 \(u\)에 대한 일차 미분은 일차 최적조건 때문에 0이고 \(P\)의 변화만 남아 \(x^TD\mathcal R(P)[E]x=[(A-BF(P))x]^TE[(A-BF(P))x]\)입니다. 모든 \(x\)에서 이차형식이 같고 양쪽 행렬이 대칭이므로 행렬 등식도 성립합니다. vec 미분의 행렬은 \(A_c^T\otimes A_c^T\)라 스펙트럼 반경은 \(\rho(A_c)^2\). 이에 맞는 동치 노름에서는 작은 근방의 압축을 얻지만 원래 노름에서 모든 단계의 동일 비율을 주장하지 않습니다.
로그행렬식은 \(f(t)=\log\det(I-t\rho W)\), \(0\le t\le1\)로 두겠습니다. 이 구간에 특이가 없고 행렬식은 1에서 연속이므로 양수입니다. Jacobi 미분과 Neumann 급수로 \(f'(t)=-\sum_{k\ge1}t^{k-1}\rho^k\operatorname{tr}(W^k)\). 노름의 기하상한으로 균일 절대수렴하므로 적분을 교환해 급수를 얻습니다. 꼬리는 \(\sum_{k>m}dq^k/k\le dq^{m+1}/((m+1)(1-q))\)입니다. ∎
단위근의 개수만으로는 공적분이나 동적 해의 유일성을 판단할 수 없음을 확인했습니다. 다음 장에서는 공분산·정밀도·상태공간의 분해를 이용해 확률벡터와 전체 경로를 직접 생성합니다. E10로 이어 읽기.