C1 · 대각화되지 않아도 상태를 나누어 계산할 수 있을까?

A6에서는 같은 고윳값을 갖더라도 반복 반응이 다를 수 있음을 보았습니다. 이번에는 그 차이를 그대로 남겨 두면서도, 서로 다른 배율에 대응하는 상태들을 먼저 분리하겠습니다. 목적은 대각행렬을 억지로 만드는 것이 아니라 각 부분을 따로 계산한 뒤 더해도 원래 계산과 같도록 만드는 것입니다.

앞으로 쓰는 세 성분은 기준 상태에서 벗어난 무차원 편차입니다. 경제모형에서는 생산·재고 등의 변수를 기준 단위로 나눈 편차, 물리모형에서는 선형화한 상태의 성분으로 읽을 수 있습니다. 아래 숫자는 구조를 확인하기 위한 교육용 계수이며 실측값은 아닙니다. 특히 배율 3과 5를 사용한 첫 예는 안정적인 장기 모형이 아닙니다.

1. 고유벡터 두 개만으로는 세 성분을 기록할 수 없다

A6의 행렬을 다시 적습니다.

\[\begin{split} J=\begin{pmatrix}3&1&0\\0&3&0\\0&0&5\end{pmatrix}, \qquad J\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3a+b\\3b\\5c\end{pmatrix}. \end{split}\]

세 번째 변수는 다른 변수와 무관하게 5배가 됩니다. 첫 두 변수는 서로 연결되어 있습니다. 두 번째 변수의 값이 첫 번째 변수의 다음 값에도 더해집니다.

배율 3의 고유벡터를 구하면

\[ (J-3I)(a,b,c)^{\mathsf T}=(b,0,2c)^{\mathsf T}=0 \]

이므로 \(b=c=0\)입니다. 배율 5에서는

\[ (J-5I)(a,b,c)^{\mathsf T}=(-2a+b,-2b,0)^{\mathsf T}=0 \]

이어서 먼저 \(b=0\), 다음 \(a=0\)입니다. 따라서 고유공간은 각각 \(\operatorname{span}(e_1)\)과 \(\operatorname{span}(e_3)\)입니다. 두 공간을 더해도 \(e_2\)를 표현할 수 없습니다.

그렇다고 \(e_2\)를 계산에서 버릴 수는 없습니다. \(Je_2=e_1+3e_2\)이므로 \(e_2\)는 실제로 첫 두 변수의 반응에 참여합니다. 고유벡터의 조건을 조금 넓히면 그 참여를 기록할 수 있을까요?

2. 배율을 뺀 작용을 두 번 하면 0이 되는 상태

\(M=J-3I\)로 놓으면

\[\begin{split} M=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&2\end{pmatrix}. \end{split}\]

한 번 적용하면 \(M(a,b,c)=(b,0,2c)\)이고, 한 번 더 적용하면

\[ M^2(a,b,c)=M(b,0,2c)=(0,0,4c). \]

따라서

\[ \ker M=\operatorname{span}(e_1),\qquad \ker M^2=\operatorname{span}(e_1,e_2). \]

세 번 적용해도 \(M^3(a,b,c)=(0,0,8c)\)여서 핵은 더 커지지 않습니다. \(e_2\)는 배율 3의 고유벡터는 아니지만, 배율을 빼고 두 번 작용시키면 0이 됩니다. 이런 벡터까지 모은 공간을 일반화 고유공간이라고 부릅니다.

여기서 \((J-3I)^2e_2=0\)은 \(J^2e_2=0\)과 전혀 다릅니다. 실제로

\[ J^2e_2=J(e_1+3e_2)=3e_1+3(e_1+3e_2)=6e_1+9e_2 \]

입니다. 0이 되는 것은 원래 반복이 아니라 배율 3을 뺀 반복입니다.

그림 37 첫 증가에는 고유벡터 \(e_1\)이, 두 번째 증가에는 \(e_2\)가 추가됩니다. 이후 핵은 같습니다. 그림의 세로축은 벡터의 길이가 아니라 공간의 차원입니다.

3. 관측 좌표에서는 분리가 바로 보이지 않을 수 있다

원래 성분 대신 \(x=(a+c,b+c,c)^{\mathsf T}\)를 기록한다고 합시다. 세 번째 상태의 변화가 첫 두 기록에도 함께 들어갑니다.

\[\begin{split} x=Sz,\qquad S=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}, \quad S^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}. \end{split}\]

역관계는 \(a=x_1-x_3\), \(b=x_2-x_3\), \(c=x_3\)입니다. 이를 갱신식에 넣으면

\[\begin{split} \begin{aligned} x_1'&=a'+c'=3(x_1-x_3)+(x_2-x_3)+5x_3 =3x_1+x_2+x_3,\\ x_2'&=b'+c'=3(x_2-x_3)+5x_3=3x_2+2x_3,\\ x_3'&=5x_3. \end{aligned} \end{split}\]

따라서 기록된 좌표의 행렬은

\[\begin{split} A=SJS^{-1}= \begin{pmatrix}3&1&1\\0&3&2\\0&0&5\end{pmatrix}. \end{split}\]

이 좌표에서 두 공간은

\[ G_3=\{(a,b,0):a,b\in\mathbb R\},\qquad G_5=\{c(1,1,1):c\in\mathbb R\} \]

입니다. 임의의 \(x\)를 실제로 나누면

\[ x=(x_1-x_3,x_2-x_3,0)+x_3(1,1,1). \]

첫 항은 \(G_3\), 둘째는 \(G_5\)에 있습니다. 두 항의 합은 성분별로 \((x_1,x_2,x_3)\)입니다. 또한 두 공간의 교집합에서 세 번째 성분은 \(c=0\)이어야 하므로 영벡터만 남습니다. 따라서 분해가 유일합니다.

예를 들어 \(x=(4,2,1)\)이면

\[ x=(3,1,0)+(1,1,1). \]

각 항에 \(A\)를 적용하면 \((10,3,0)\)과 \((5,5,5)\)입니다. 합은 \((15,8,5)\)이며 직접 계산한 \(Ax=(12+2+1,6+2,5)\)와 같습니다. 중요한 점은 그림에서 수직인지가 아니라, 각 부분이 작용 뒤에도 자기 공간에 머문다는 사실입니다.

4. 상태를 나누는 계산을 행렬의 다항식으로 만들기

매번 좌표를 바꾸지 않고 \(x_3(1,1,1)\)을 바로 고를 수 있습니다. 먼저

\[\begin{split} B=A-3I=\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&2\\0&0&2\end{pmatrix} \end{split}\]

를 제곱합니다. 첫 행의 세 번째 성분은 \(0\cdot1+1\cdot2+1\cdot2=4\)이고, 둘째와 셋째 행의 세 번째 성분도 각각 4입니다. 다른 성분은 모두 0입니다. 따라서

\[\begin{split} P_5=\frac14(A-3I)^2 =\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&1\\0&0&1\end{pmatrix},\qquad P_3=I-P_5 =\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&-1\\0&0&0\end{pmatrix}. \end{split}\]

\(P_5x=(x_3,x_3,x_3)\)이고 \(P_3x=(x_1-x_3,x_2-x_3,0)\)입니다. 이미 구한 두 항과 같습니다. 한 번 고른 성분을 다시 골라도 변하지 않으므로 \(P_i^2=P_i\)입니다. \(P_5x\)를 \(P_3\)에 넣으면 \((0,0,0)\)이고 반대 순서도 0입니다.

이 계수가 우연히 맞은 이유는 다음 다항식 항등식에 있습니다.

\[ 1=\frac{(z-3)^2}{4}-\frac{(z-5)(z-1)}4. \]

실제로 오른쪽 분자는 \((z^2-6z+9)-(z^2-6z+5)=4\)입니다. 두 인수 \((z-3)^2\)와 \(z-5\)가 서로소이므로 A4의 Bézout 분해(정리 43)가 작동한 것입니다.

그림 38 사영은 상태의 두 성분을 선택합니다. 여기서 직합은 직교분해를 뜻하지 않으며, 두 공간 사이의 각도를 정할 내적을 사용하지 않았습니다.

5. 핵이 한 번 멈추면 다시 커질 수 없는 이유

다른 선형사상 \(R\)에도

\[ \{0\}=\ker R^0\subseteq\ker R\subseteq\ker R^2\subseteq\cdots \]

가 성립합니다. \(R^kv=0\)이면 \(R^{k+1}v=R0=0\)이기 때문입니다.

어떤 단계에서 \(\ker R^k=\ker R^{k+1}\)이라고 합시다. \(R^{k+2}v=0\)이면 \(Rv\in\ker R^{k+1}=\ker R^k\)입니다. 따라서 \(R^{k+1}v=0\)이고 다시 가정에 의해 \(v\in\ker R^k\)입니다. 결국 다음 핵도 같습니다. 같은 논증을 반복할 수 있습니다.

차원이 \(n\)이면 진포함이 일어날 때마다 차원이 적어도 1 증가합니다. 0에서 시작해 \(n\)을 넘을 수 없으므로 \(n\)번째 핵에서는 반드시 안정화되어 있습니다. 그래서 일반화 고유공간을

\[ G(\lambda,T)=\ker(T-\lambda I)^n \]

으로 정의해도 “몇 번까지 확인해야 하는가”가 불분명하지 않습니다.

원래 예에서 \(G(3,J)\)는 2차원이고 \(G(5,J)\)는 1차원입니다. 앞 숫자를 \(m(3)=2\), 뒤 숫자를 \(m(5)=1\)로 기록하겠습니다. 이것이 이 단계에서의 대수적 중복도입니다. 최소다항식에 나타나는 지수와 공간의 차원은 일반적으로 같지 않습니다. \(3I_4\)의 최소다항식은 \(z-3\)이지만 \(m(3)=4\)입니다.

6. 사라지는 부분과 역으로 되돌릴 수 있는 부분

\(R=J-3I\)에서는 \(\ker R^3=\operatorname{span}(e_1,e_2)\)이고 \(\operatorname{im}R^3=\operatorname{span}(e_3)\)입니다. 첫 공간에서는 충분히 반복하면 0이 됩니다. 둘째 공간에서는 \(Re_3=2e_3\)이므로 \(1/2\)배하여 되돌릴 수 있습니다.

일반적으로도 \(n\)차원에서

\[ V=\ker R^n\oplus\operatorname{im}R^n \]

입니다. 이를 Fitting 분해라고 부릅니다. 왜 교집합이 0일까요? \(v=R^nu\)이면서 \(R^nv=0\)이면 \(R^{2n}u=0\)입니다. 안정화 때문에 \(u\in\ker R^n\)이고 \(v=0\)입니다. 두 공간의 차원 합은 차원정리로 \(n\)이므로 전체를 생성합니다.

이 결과는 “가역인 부분”과 “0으로 소멸하는 부분”을 구별하는 데 쓰입니다. 다만 \(R=T-\lambda I\)에 적용했다면 원래 시간 변화 \(T\)가 소멸한다는 뜻은 아닙니다.

7. 배율 부분과 추가 연결 부분을 따로 쓰기

3절의 행렬에서

\[\begin{split} D=3P_3+5P_5=3I+2P_5 =\begin{pmatrix}3&0&2\\0&3&2\\0&0&5\end{pmatrix}, \end{split}\]

\[\begin{split} N=A-D=\begin{pmatrix}0&1&-1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} \end{split}\]

입니다. \(N(x_1,x_2,x_3)=(x_2-x_3,0,0)\)이므로 \(N^2=0\)입니다. \(D\)는 \(G_3\)에서 3배, \(G_5\)에서 5배이므로 각 공간의 기저를 붙이면 대각화됩니다.

\(D,N\) 모두 \(A\)의 다항식이므로 서로 가환합니다. 따라서

\[ A^2=(D+N)^2=D^2+DN+ND+N^2=D^2+2DN. \]

이 분해는 서로 다른 배율을 \(D\)에, 같은 배율 안의 추가 연결을 \(N\)에 기록합니다. 다음 C2에서 추가 연결의 길이를 조사하면 모든 거듭제곱을 계산할 수 있습니다. 현재는 최소다항식이 일차식으로 완전히 분해되는 체에서 이 분해를 주장합니다. 임의의 체에서 같은 형태의 대각화 가능 \(D\)가 존재한다고 말하지 않습니다.

8. 실수에서 회전 성분이 남는 경우

실수 행렬

\[\begin{split} R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} \end{split}\]

은 \(R^2=-I\)를 만족하지만 실수 고유벡터는 없습니다. \(R(a,b)=(-b,a)=\lambda(a,b)\)이면 \(a=\lambda b\), \(-b=\lambda a\)에서 \((1+\lambda^2)b=0\)이고, 실수에서는 \(b=a=0\)이기 때문입니다.

\(T=\operatorname{diag}(2,R)\)라면 최소다항식은 \((z-2)(z^2+1)\)입니다. 첫 성분을 고르는 사영은

\[ P_2=\frac{T^2+I}{5} \]

입니다. 첫 좌표에서는 \((4+1)/5=1\), 회전 평면에서는 \((-I+I)/5=0\)이 됩니다. 따라서 실수에서도 분해되지만, 두 번째 성분은 실수 고유공간이 아니라 기약 이차식에 대응하는 공간입니다.

그림 39 실수에서 더 나눌 수 없는 이차인수가 존재합니다. 이차인수의 거듭제곱에 대응하는 공간은 2차원보다 클 수도 있습니다. 그림은 거듭제곱 지수가 1인 가장 작은 예입니다.

9. 정확한 사영과 민감한 사영을 구별하기

\(\delta\ne0\)일 때

\[\begin{split} A_\delta=\begin{pmatrix}0&1\\0&\delta\end{pmatrix}, \qquad P_\delta=\frac{A_\delta}{\delta} =\begin{pmatrix}0&1/\delta\\0&1\end{pmatrix} \end{split}\]

는 고윳값 \(\delta\) 성분으로의 사영입니다. 곱하면 \(P_\delta^2=P_\delta\)가 정확히 성립합니다. 그런데 입력 \((0,\eta)\)의 작은 오차는 \((\eta/\delta,\eta)\)로 옮겨집니다. \(\delta=10^{-6}\), \(\eta=10^{-8}\)이면 첫 성분 오차가 \(10^{-2}\)입니다.

따라서 “정확한 사영 공식이 있다”와 “측정 오차를 작게 유지한다”는 별개의 주장입니다. 모든 사영 오차가 특정 조건수의 제곱으로 증가한다는 보편 법칙은 여기서 주장하지 않습니다.

from sympy import Matrix, eye, zeros, Rational
A=Matrix([[3,1,1],[0,3,2],[0,0,5]])
P5=(A-3*eye(3))**2/4
P3=eye(3)-P5
assert P5==Matrix([[0,0,1],[0,0,1],[0,0,1]])
assert P3**2==P3 and P5**2==P5
assert P3*P5==P5*P3==zeros(3)
assert A*P3==P3*A and A*P5==P5*A
D=3*P3+5*P5
N=A-D
assert N**2==zeros(3) and D*N==N*D
assert [3-((A-3*eye(3))**k).rank() for k in range(4)]==[0,1,2,2]
R=Matrix([[0,-1],[1,0]])
T=Matrix.diag(2,R)
assert (T*T+eye(3))/5==Matrix.diag(1,0,0)
print("사영·핵 사슬·배율과 멱영 분해 검산 통과")

사영·핵 사슬·배율과 멱영 분해 검산 통과

10. 직접 써 보는 문제와 전체 풀이

문제 1 · 사영으로 실제 상태 나누기

3절의 좌표에서 \(x=(2,-1,3)\)을 분해하고 한 단계 반응을 구하세요.

풀이. \(P_5x=(3,3,3)\)이고 \(P_3x=(-1,-4,0)\)입니다. 두 항의 합은 \((2,-1,3)\)입니다. 반응은 \(A(-1,-4,0)=(-7,-12,0)\), \(A(3,3,3)=(15,15,15)\)여서 합이 \((8,3,15)\)입니다. 직접 대입해도 \((6-1+3,-3+6,15)\)로 같습니다.

문제 2 · 계수에서 일반화 고유공간 읽기

5차원에서 \(T-3I\)의 첫 세 거듭제곱 계수가 \(3,2,2\)이면 무엇을 알 수 있나요?

풀이. 핵 차원은 \(2,3,3\)입니다. 두 번째와 세 번째 핵의 포함과 같은 차원으로 두 핵이 같고, 이후에도 안정화됩니다. 따라서 \(m(3)=3\), 고유공간 차원은 2입니다. 일반화 고유공간 위에서는 두 번이면 0이 되지만 한 번에는 핵이 전체가 아니므로 멱영 지수는 2입니다.

문제 3 · 중복도와 최소다항식의 지수

\(T=\operatorname{diag}(3,3,3,5)\)에서 \(m(3)\)과 최소다항식의 \((z-3)\) 지수를 비교하세요.

풀이. 첫 세 좌표가 모두 고유벡터이므로 \(G(3,T)\)는 3차원입니다. 한편 \((T-3I)(T-5I)=0\)이고 두 고윳값이 실제로 있으므로 최소다항식은 \((z-3)(z-5)\)입니다. 따라서 중복도는 3, 지수는 1입니다.

문제 4 · 가환하는 다른 규칙도 같은 성분을 보존하는가?

\(ST=TS\)이면 \(S\)가 \(\ker p(T)^e\)를 보존함을 보이세요.

풀이. 귀납으로 \(ST^j=T^jS\), 계수별 합으로 \(Sp(T)=p(T)S\)이며 같은 등식이 거듭제곱에도 성립합니다. \(p(T)^ev=0\)이면 \(p(T)^eSv=Sp(T)^ev=0\)입니다. 따라서 \(Sv\)도 같은 핵에 있습니다.

문제 5 · 두 부분공간이 모두 불변인 것만으로 충분한가?

\(T=I\)이고 \(U=W=\operatorname{span}(e_1)\)이면 \(V=\mathbb R^2\)를 두 공간의 직합으로 쓸 수 있나요?

풀이. 둘 다 불변이지만 합은 같은 직선이고 교집합도 그 직선입니다. 생성도, 분해의 유일성도 실패합니다. 불변성·전체 생성·직합성을 각각 확인해야 합니다.

11. 지금까지의 내용을 수학의 언어로 정리해 봅시다

지금까지 계산한 상태 분리와 사영을 수학에서는 다음과 같이 정의하고 정리합니다. 표현은 조금 딱딱해지지만 각 증명이 앞의 어느 계산을 일반화하는지 살펴봅시다. 아래에서는 \(V\)가 체 \(F\) 위의 \(n\)차원 공간이고 \(T:V\to V\)가 선형입니다.

11.1 안정화와 Fitting 분해

정리 55 (핵 사슬의 안정화와 Fitting 분해)

\(\ker R^k=\ker R^{k+1}\)이면 모든 \(j\ge k\)에서 \(\ker R^j=\ker R^k\)입니다. 특히 \(\ker R^n\)에서 안정화되고, \(V=\ker R^n\oplus\operatorname{im}R^n\)입니다. 두 성분은 \(R\)-불변이고 제한사상은 각각 멱영·가역입니다.

증명. 핵 안정화와 직합의 생성·유일성은 5·6절에서 임의의 \(R\)에 대해 증명했습니다. 불변성은 \(R^nRv=RR^nv\)에서 핵에 대해, \(R(R^nu)=R^n(Ru)\)에서 상에 대해 얻습니다. 핵 위에서는 정의대로 \(R^n=0\)입니다.

상의 제한사상이 단사임을 확인합시다. \(v\in\operatorname{im}R^n\)이고 \(Rv=0\)이면 \(v\in\ker R\subseteq\ker R^n\)이므로 직합성에 의해 \(v=0\)입니다. 자기 자신으로 가는 유한차원 단사는 전사이므로 가역입니다. \(\square\)

11.2 서로 다른 기약인수로 분리하기

0 아닌 모닉 다항식은 기약인수들의 곱으로 분해됩니다. 기약이 아니면 더 낮은 양의 차수 둘로 나누고 각 인수에 반복하면 차원이 아니라 다항식 차수가 줄어들어 유한 번에 끝납니다. 유일성에 필요한 사실도 확인합니다. 기약 \(p\)가 \(ab\)를 나누면서 \(a\)를 나누지 않으면 \(\gcd(p,a)=1\)입니다. A4의 Bézout 식 \(up+va=1\)에 \(b\)를 곱하면 \(b=upb+vab\)여서 \(p\mid b\)입니다. 이 성질을 인수들에 차례로 적용하고 모닉으로 정규화하면 인수 목록의 유일성을 얻습니다.

정리 56 (준분해정리와 다항식 사영)

최소다항식이 \(m_T=\prod_{i=1}^s q_i\), \(q_i=p_i^{e_i}\)이고 \(p_i\)가 서로 다른 모닉 기약다항식이면 \(V=\bigoplus_i W_i\), \(W_i=\ker q_i(T)\)입니다. 각 성분 사영은 \(T\)의 다항식이며 제한사상의 최소다항식은 정확히 \(q_i\)입니다.

증명. \(Q_i=m_T/q_i\)라 놓습니다. \(\gcd(Q_i,q_i)=1\)이므로 \(a_iQ_i+b_iq_i=1\)인 다항식들이 존재합니다. \(h_i=a_iQ_i\)라고 하면 \(h_i\)는 \(q_i\)로 나눈 나머지가 1이고 다른 \(q_j\)로 나눈 나머지는 0입니다.

\(\sum_i h_i-1\)은 모든 \(q_j\)로 나누어집니다. 서로소 다항식들 각각이 어떤 다항식을 나누면 그 곱도 나눕니다. 두 인수의 경우 \(f=ag\), \(b\mid ag\), \(\gcd(a,b)=1\)에서 Bézout 식을 곱해 \(b\mid g\)를 얻고, 이를 반복하면 됩니다. 따라서 \(m_T\mid\sum_i h_i-1\)입니다.

\(P_i=h_i(T)\)로 놓으면 \(\sum_iP_i=I\)입니다. 또한 \(q_i h_i=a_i m_T\)이므로 \(P_i v\in W_i\)입니다. \(w\in W_i\)에는 \(h_i=1-b_iq_i\)여서 \(P_iw=w\)입니다. \(j\ne i\)에는 \(q_i\mid h_j\)이므로 \(P_jw=0\)입니다.

그러므로 모든 \(v\)는 \(\sum_iP_iv\)로 생성됩니다. 관계 \(\sum_iw_i=0\)에 \(P_j\)를 적용하면 \(w_j=0\)이므로 직합입니다. 사영의 곱과 제곱도 이 작용에서 \(P_iP_j=0\), \(P_i^2=P_i\)로 확인됩니다. \(P_i\)는 \(T\)와 가환하므로 \(W_i\)는 불변입니다.

제한의 최소다항식 \(r_i\)는 \(q_i\)를 나눕니다. 만약 더 낮은 인수라면 \(r_iQ_i\)가 \(W_i\)에서는 \(r_i\) 때문에, 다른 \(W_j\)에서는 \(Q_i\)에 포함된 \(q_j\) 때문에 0으로 작용합니다. 따라서 전체를 소멸시키면서 \(m_T\)보다 차수가 낮아 모순입니다. \(W_i=0\)인 경우에도 \(Q_i\)만으로 전체를 소멸시켜 모순이므로 각 성분은 0이 아닙니다. \(\square\)

11.3 일반화 고유공간과 중복도

정의 16 (일반화 고유공간과 두 중복도)

\(\lambda\in F\)에 대해 \(G(\lambda,T)=\ker(T-\lambda I)^n\)이라 합니다. 고윳값인 경우 \(m(\lambda)=\dim G(\lambda,T)\)를 이 단계의 대수적 중복도, \(\dim\ker(T-\lambda I)\)를 기하적 중복도라 합니다.

\(m_T\)가 \(F\)에서 일차인수로 완전히 분해되면 앞 정리에서 \(q_i=(z-\lambda_i)^{e_i}\)입니다. \(W_i\) 위에서는 \(T-\lambda_iI\)가 지수 \(e_i\)의 멱영사상입니다. 다른 \(W_j\)에서는 \(z-\lambda_i\)와 \(q_j\)의 Bézout 식이 역을 주므로 \(T-\lambda_iI\)가 가역입니다. 따라서 \(\ker(T-\lambda_iI)^n=W_i\)입니다. 여기서 \(e_i\le\deg m_T\le n\)을 사용했습니다.

결국 \(V=\bigoplus_iG(\lambda_i,T)\)이고 중복도의 합은 \(n\)입니다. 기하적 중복도는 이 공간의 부분공간 차원이므로 \(1\le\dim E_{\lambda_i}\le m(\lambda_i)\)입니다. 마지막 부등식의 등호는 제한의 멱영 부분이 0일 때, 즉 \(e_i=1\)일 때와 동치입니다. 앞의 \(3I_4\)처럼 등호가 성립해도 중복도 자체는 1보다 클 수 있습니다. C5에서 이 정의가 특성다항식의 근 중복도와 일치함을 증명합니다.

11.4 대각화 가능 부분과 멱영 부분

정리 57 (완전분해되는 경우의 가환 분해)

\(m_T\)가 \(F\)에서 완전히 분해되면 \(T=D+N\), \(DN=ND\)이고 \(D\)는 대각화 가능, \(N\)은 멱영인 분해가 유일하게 존재합니다. \(D,N\)은 모두 \(T\)의 다항식입니다.

증명. 앞의 사영을 사용하여 \(D=\sum_i\lambda_iP_i\), \(N=T-D\)로 정의합니다. \(W_i\) 위에서 \(D=\lambda_iI\), \(N=T-\lambda_iI\)입니다. 따라서 \(D\)는 각 \(W_i\)의 기저를 붙인 기저에서 대각이고, \(e=\max e_i\)라 하면 각 공간에서 \(N^e=0\), 따라서 전체에서 \(N^e=0\)입니다. 두 사상은 \(T\)의 다항식이므로 가환합니다.

유일성을 위해 \(T=D'+N'\)도 같은 조건을 만족한다고 합시다. \(D'\)와 \(N'\)는 서로 가환하므로 각각 \(T\)와 가환하고, 따라서 \(D=p(T)\)와도 가환합니다. 특히 \(D,D'\)는 A6의 동시 대각화 정리(정리 54)를 적용할 수 있어 \(D-D'\)도 대각화 가능합니다.

또한 \(N=T-D\)와 \(N'=T-D'\)는 가환합니다. \(N^a=0\), \((N')^b=0\)이면 이항 전개에서 \((N'-N)^{a+b-1}\)의 각 항은 \(N\)의 지수가 \(a\) 이상이거나 \(N'\)의 지수가 \(b\) 이상이므로 모두 0입니다. 따라서 \(D-D'=N'-N\)은 멱영입니다. 대각화 가능한 멱영사상은 고윳값이 모두 0인 대각행렬이므로 영사상입니다. \(D=D'\)이고 \(N=N'\)입니다. \(\square\)

11.5 실수 기약인수의 의미

실수 다항식을 복소수에서 인수분해하면 비실수 근은 켤레쌍입니다. 실수 계수 때문에 \(p(\bar z)=\overline{p(z)}\)이고 나눗셈을 반복해 중복 횟수도 같습니다. 한 쌍의 곱은

\[ (z-a-ib)(z-a+ib)=z^2-2az+a^2+b^2,\qquad b\ne0 \]

입니다. 실수 \(z\)에서는 \((z-a)^2+b^2>0\)이므로 실근이 없고 기약 이차식입니다. 따라서 실 준분해는 실근의 일반화 고유공간과 이런 이차인수의 거듭제곱 핵으로 구성됩니다. 고차원 이차 성분을 바로 독립적인 2×2 블록들의 합이라고 결론내리면 같은 근 안의 멱영 연결을 놓칩니다.

앞에서 한 계산	수학의 언어
배율을 빼고 여러 번 작용시켜 0인 상태 찾기	일반화 고유공간
각 성분을 유일하게 골라 따로 갱신하기	불변 직합과 다항식 사영
사라지는 부분과 되돌릴 수 있는 부분 나누기	Fitting 분해
같은 배율 안의 추가 연결을 남겨 두기	\(T=D+N\)
실수에서 고유직선이 없는 성분 유지하기	기약 이차인수의 준분해

서로 다른 고윳값의 성분을 분리한 뒤에도 각 성분 안에는 멱영 작용이 남을 수 있습니다. 다음 장에서는 그 작용을 사슬로 기록하고, 핵 차원의 증가량에서 사슬의 길이를 읽습니다. C2로 이어 읽기.