14회 · 분산분석과 실험설계 · 워크북

D. 퀄형

여러 절과 앞 회차의 도구를 잇는 종합 문제다. 머리의 제한 시간을 재고, 노트를 덮고 푼다. 모형을 식으로 적는 것부터 답안의 일부다.

D1 블록을 무시하면 ★★★

정리 2.2, 3.2, 13회 보조정리 3.1 · 제한 40분

처치 3개를 블록 4개에 하나씩 무작위로 배치한 실험의 결과다.

	블록 1	블록 2	블록 3	블록 4
처치 1	10	12	15	19
처치 2	12	15	17	20
처치 3	14	16	19	23

1. (a)

   가법 모형 $y_{ij}=\mu+\tau_i+\beta_j+\varepsilon_{ij}$로 분산분석표를 만들고 처치의 $F$를 구하라.

2. (b)

   블록을 무시하고 일원분산분석을 하면 처치의 $F$는 얼마인가?

3. (c)

   블록의 제곱합을 구하고, 두 $F$가 다른 이유를 정리 3.2의 직교분해로 설명하라.

4. (d)

   가법 모형에서 $E\,\mathrm{MS}_{\text{처치}}=\sigma^2+\tfrac b{t-1}\sum_i\tau_i^2$ ($\sum\tau_i=0$)임을 증명하라.

힌트

처치 평균 14, 16, 18, 블록 평균 12, $14\tfrac13$, 17, $20\tfrac23$, 전체 평균 16이다. (d)는 처치 공간 위로의 사영 $P$에 대해 $E\|P\y\|^2=\|P\bmu\|^2+\sigma^2\tr P$를 쓴다.

풀이

(a) $\SS_{\text{처치}}=4\bigl[(14-16)^2+0+(18-16)^2\bigr]=32$, $\SS_{\text{블록}}=3\bigl[16+\tfrac{25}9+1+\tfrac{196}9\bigr]=\tfrac{374}3$, $\SS_T=\sum(y-16)^2=158$이므로 $\SS_E=158-32-\tfrac{374}3=\tfrac43$이다. 자유도는 2, 3, 6이고 $\mathrm{MS}_E=\tfrac29$이므로 $F=\tfrac{16}{2/9}=72$이다. (b) 블록을 무시하면 $\SS_W=158-32=126$, 자유도 9, $\mathrm{MS}_W=14$이므로 $F=\tfrac{16}{14}=\tfrac87\approx1.14$이다. (c) $\SS_{\text{블록}}=\tfrac{374}3\approx124.7$이다. 정리 3.2($r=1$, 가법)로 $\R^{12}$은 상수, 처치, 블록, 나머지의 직교공간으로 나뉜다. 블록을 무시하면 블록 공간의 제곱합이 오차에 섞여 $\mathrm{MS}$가 $\tfrac29$에서 14로 커진다. 처치의 제곱합은 두 분석에서 같다. 균형이어서 처치 공간과 블록 공간이 직교하기 때문이다. (d) 처치 공간의 사영 $P$는 $\y$를 $\bar y_{i\cdot}-\bar y$로 보내고 계수는 $t-1$이다. 13회 보조정리 3.1로 $E\|P\y\|^2=\|P\bmu\|^2+\sigma^2(t-1)$이고, $\bmu$의 처치 조각은 $\tau_i$(블록과 $\mu$는 처치 공간과 직교)이므로 $\|P\bmu\|^2=b\sum_i\tau_i^2$이다. 자유도로 나누면 식이 나온다.

최종답 (a) $F=72$ (b) $F=\tfrac87$ (c) $\SS_{\text{블록}}=\tfrac{374}3$

D2 여섯 단위의 무작위화 검정과 $t$t ★★★

정리 1.4, 1.7, 연습 1.3 · 제한 40분

단위 6개 가운데 3개를 무작위로 골라 처치했다. 처치군의 결과는 $8,10,12$, 대조군은 $5,6,9$이다.

1. (a)

   날카로운 귀무가설 아래 $\hat\tau=\bar y_T-\bar y_C$의 무작위화 분포를 모두 열거하고, 한쪽 $p$-값 $P(\hat\tau\ge\hat\tau_{\text{관측}})$을 구하라.

2. (b)

   Neyman의 분산 추정값 $\hat V=s_T^2/3+s_C^2/3$을 구하라.

3. (c)

   $\hat\tau/\sqrt{\hat V}$를 구하라.

4. (d)

   (a)의 $p$-값이 정확하다는 것의 근거와, (c)를 정규분포나 $t$ 분포와 비교할 때 무엇을 더 가정하는지 설명하라.

힌트

여섯 값의 합은 50이므로 $\hat\tau=(2\,\text{처치합}-50)/3$이다. 처치합이 30 이상인 3개짜리 부분집합을 센다.

풀이

(a) 관측된 $\hat\tau=10-\tfrac{20}3=\tfrac{10}3$이다. 귀무가설 아래 6개 값 $\{5,6,8,9,10,12\}$은 고정되고 $\binom63=20$가지 배정이 같은 확률이다. $\hat\tau=(2S-50)/3$ ($S$는 처치합)이므로 $\hat\tau\ge\tfrac{10}3\iff S\ge30$이다. 합이 30 이상인 부분집합은 $\{8,10,12\}=30$과 $\{9,10,12\}=31$의 둘뿐이므로 $p=\tfrac2{20}=\tfrac1{10}$이다. (b) $s_T^2=\tfrac{4+0+4}2=4$, $\bar y_C=\tfrac{20}3$이고 $s_C^2=\tfrac{(25+4+49)/9}2=\tfrac{13}3$이다. $\hat V=\tfrac43+\tfrac{13}9=\tfrac{25}9$이다. (c) $\tfrac{10/3}{5/3}=2$이다. (d) (a)는 정리 1.7로 배정이 실제로 무작위였다는 사실만으로 정확하다. (c)를 $t(4)$와 비교하면 두 군이 정규 모집단에서 왔다는 가정이 더해진다. 작은 표본에서 두 $p$-값은 다를 수 있다. 여기서 $t(4)$의 한쪽 $p$-값은 약 $0.058$이다.

최종답 (a) $\tfrac1{10}$ (b) $\tfrac{25}9$ (c) $2$

D3 분할구의 세 가지 표준오차 ★★★

명제 3.6, 예제 3.5 · 제한 35분

Yates의 귀리(예제 3.5): 블록 6개, 품종 3개(주구), 질소 4수준(세구)이고 $\mathrm{MS}_{\text{주구 오차}}=601.3$, $\mathrm{MS}_{\text{세구 오차}}=177.1$이다. 명제 3.6의 모형을 쓴다.

1. (a)

   $\sigma_w^2$의 추정값을 구하라.

2. (b)

   두 품종 평균의 차의 표준오차를 구하라.

3. (c)

   두 질소 수준 평균의 차의 표준오차를 구하라.

4. (d)

   같은 품종 안에서 두 질소 수준 평균의 차의 표준오차를 구하라.

각 분산을 모형에서 유도하고, 어느 오차 평균제곱으로 추정하는지 밝혀라.

힌트

품종 평균은 주구 6개, 세구 24개의 평균이다. 질소 평균은 18개 주구에서 세구를 하나씩 모은 것이어서 주구 효과가 두 평균에 똑같이 들어간다.

풀이

(a) $E\,\mathrm{MS}_{\text{주구}}=\sigma^2+4\sigma_w^2$, $E\,\mathrm{MS}_{\text{세구}}=\sigma^2$이므로 $\hat\sigma_w^2=(601.3-177.1)/4=106.05$이다. (b) 품종 평균의 분산은 $\sigma_w^2/6+\sigma^2/24=(4\sigma_w^2+\sigma^2)/24$이고, 두 품종은 다른 주구를 쓰므로 차의 분산은 $2(4\sigma_w^2+\sigma^2)/24$이다. 주구 오차로 추정하면 $\sqrt{2\cdot601.3/24}=7.08$이다. (c) 질소 평균은 18개 주구에서 세구 하나씩이다. 주구 효과 $\eta$는 두 질소 평균에 똑같이 들어가 차에서 지워지므로 분산은 $2\sigma^2/18$이고 $\sqrt{2\cdot177.1/18}=4.44$이다. (d) 같은 품종 안에서는 주구 6개에서 세구 하나씩이고 $\eta$가 지워지므로 분산은 $2\sigma^2/6$, 표준오차는 $\sqrt{2\cdot177.1/6}=7.68$이다. (c)보다 큰 것은 평균에 들어가는 세구가 6개뿐이기 때문이다.

최종답 (a) $106.05$ (b) $7.08$ (c) $4.44$ (d) $7.68$

D4 일원분산분석의 가능도비와 Wilks ★★★

정리 2.2, 9회 정리 5.2 · 제한 30분

정규 일원배치에서 $\sigma^2$을 모르는 채로 $H_0:\mu_1=\dots=\mu_t$를 검정한다.

1. (a)

   가능도비가 $\Lambda=(\SS_W/\SS_T)^{N/2}$이고 $-2\log\Lambda=N\log\bigl(1+\tfrac{t-1}{N-t}F\bigr)$임을 보여라.

2. (b)

   $t=3$, $N=12$, $F=4$이면 $-2\log\Lambda$는 얼마인가?

3. (c)

   $P\bigl(F(2,\allowbreak \nu)>f\bigr)=(1+2f/\nu)^{-\nu/2}$임을 보이고, (b)의 정확한 $p$-값을 구하라.

4. (d)

   Wilks의 근사 $\chi^2(2)$로 구한 $p$-값을 (c)와 비교하라.

힌트

(a) 정규 가능도의 최댓값은 $(2\pi\hat\sigma^2)^{-N/2}e^{-N/2}$이고 $\hat\sigma^2=\mathrm{RSS}/N$이다. (c) $F=\tfrac{E}{V/\nu}$로 쓰면 $E=\chi^2(2)/2\sim\mathrm{Exp}(1)$이다. $V$에 조건을 걸고 $\chi^2(\nu)$의 mgf를 쓴다.

풀이

(a) 평균에 제약이 없으면 $\hat\sigma^2=\SS_W/N$, 같다는 제약 아래에서는 $\hat\sigma_0^2=\SS_T/N$이고, 가능도의 최댓값은 $(2\pi\hat\sigma^2)^{-N/2}e^{-N/2}$이다. 따라서 $\Lambda=(\SS_W/\SS_T)^{N/2}$이다. $\SS_T/\SS_W=1+\SS_B/\SS_W=1+\tfrac{t-1}{N-t}F$이므로 $-2\log\Lambda=N\log\bigl(1+\tfrac{t-1}{N-t}F\bigr)$이다. (b) $12\log\bigl(1+\tfrac29\cdot4\bigr)=12\log\tfrac{17}9\approx7.632$이다. (c) $F=E/(V/\nu)$, $E\sim\mathrm{Exp}(1)$이 $V\sim\chi^2(\nu)$와 독립이므로 $P(F>f)=E\bigl[P(E>fV/\nu\mid V)\bigr]=Ee^{-fV/\nu}=(1+2f/\nu)^{-\nu/2}$이다. 마지막은 $\chi^2(\nu)$의 mgf를 $t=-f/\nu$에서 쓴 것이다. $\nu=9$, $f=4$이면 $(17/9)^{-9/2}=(9/17)^{9/2}\approx0.0572$이다. (d) $P\bigl(\chi^2(2)>12\log\tfrac{17}9\bigr)=e^{-6\log(17/9)}=(9/17)^6\approx0.0220$이다. $N=12$에서는 Wilks의 근사가 $p$-값을 2.6배 작게 준다. 정확한 $F$ 검정이 있는 문제에서 근사를 쓸 이유가 없다.

최종답 (b) $12\log\tfrac{17}9\approx7.632$ (c) $(9/17)^{9/2}\approx0.0572$ (d) $(9/17)^6\approx0.0220$

워크북 PDF풀이판 PDF답 확인