14회 · 분산분석과 실험설계 · 워크북

A. 계산 드릴

작은 실험의 배정을 직접 세고, 분산분석표를 손으로 채운다. 답이 수나 식으로 떨어지므로 다 풀면 뒤의 최종답이나 노트북의 check()로 맞춰 본다. 계산기는 마지막 나눗셈과 제곱근에만 쓴다.

A1 배정 지시변수의 적률 ★

보조정리 1.3 · 6분

단위 10개 가운데 4개를 처치에 배정하는 완전무작위설계에서 (a) $EW_i$, (b) $\Var W_i$, (c) $i\ne j$일 때 $\Cov(W_i,W_j)$를 구하라.

힌트

$W_i$는 0 또는 1이다. 두 단위가 함께 처치에 들어갈 확률은 $\binom82/\binom{10}4$이다.

풀이

(a) $P(W_i=1)=\binom93/\binom{10}4=\tfrac{84}{210}=\tfrac25$. (b) $\Var W_i=\tfrac25\cdot\tfrac35=\tfrac6{25}$. (c) $P(W_i=W_j=1)=\binom82/\binom{10}4=\tfrac{28}{210}=\tfrac2{15}$이므로 $\Cov(W_i,\allowbreak W_j)=\tfrac2{15}-\tfrac4{25}=\tfrac{10-12}{75}=-\tfrac2{75}$이다. 보조정리 1.3의 식 $-\tfrac{n_Tn_C}{n^2(n-1)}=-\tfrac{24}{900}$과 같다. 검산: $10\cdot\tfrac6{25}+90\cdot\bigl(-\tfrac2{75}\bigr)=\tfrac{12}5-\tfrac{12}5=0=\Var\sum_iW_i$.

최종답 (a) $\tfrac25$ (b) $\tfrac6{25}$ (c) $-\tfrac2{75}$

A2 단위 넷의 Neyman 분산 ★★

정리 1.4 · 15분

단위 4개의 잠재적 결과가 다음과 같다. 두 단위를 무작위로 골라 처치한다($n_T=n_C=2$).

단위	1	2	3	4
$y_i(1)$	5	7	6	10
$y_i(0)$	3	4	6	7

(a) 평균 처치효과 $\bar\tau$를 구하라. (b) 정리 1.4로 $\Var\hat\tau$를 구하라. (c) 6가지 배정을 모두 적어 $\hat\tau$의 값들을 구하고 (a)와 (b)를 확인하라.

힌트

$S_1^2$, $S_0^2$, $S_\tau^2$는 모두 분모 $n-1=3$인 분산이다. $\tau_i=(2,3,0,3)$이다.

풀이

(a) $\tau_i=(2,3,0,3)$이므로 $\bar\tau=2$이다. (b) $\bar y(1)=7$, $S_1^2=\tfrac{4+0+1+9}3=\tfrac{14}3$이다. $\bar y(0)=5$, $S_0^2=\tfrac{4+1+1+4}3=\tfrac{10}3$이다. $S_\tau^2=\tfrac{0+1+4+1}3=2$이다. 정리 1.4로 $\Var\hat\tau=\tfrac{14/3}2+\tfrac{10/3}2-\tfrac24=\tfrac73+\tfrac53-\tfrac12=\tfrac72$이다. (c) 처치 집합마다 $\hat\tau=\bar y_T-\bar y_C$는 $\{1,2\}$: $6-6.5=-0.5$, $\{1,3\}$: $5.5-5.5=0$, $\{1,4\}$: $7.5-5=2.5$, $\{2,3\}$: $6.5-5=1.5$, $\{2,4\}$: $8.5-4.5=4$, $\{3,4\}$: $8-3.5=4.5$이다. 합이 12이므로 평균은 2이고, 제곱의 평균은 $\tfrac{0.25+0+6.25+2.25+16+20.25}6=7.5$이므로 분산은 $7.5-4=3.5$이다.

최종답 (a) $\bar\tau=2$ (b) $\tfrac72$

A3 컵 열 개의 감별 ★

예제 1.8, 정리 1.7 · 6분

컵 10개 가운데 무작위로 고른 5개에 우유를 먼저 붓고, 숙녀에게 그 5개를 고르게 한다. 숙녀가 가리지 못한다면(날카로운 귀무가설) (a) 다섯 개를 모두 맞힐 확률과 (b) 넷 이상 맞힐 확률을 구하라.

힌트

맞힌 개수 $K$는 초기하분포를 따른다. $P(K=k)=\binom5k\binom5{5-k}/\binom{10}5$이다.

풀이

$\binom{10}5=252$이다. (a) $P(K=5)=\tfrac1{252}$이다. (b) $P(K=4)=\tfrac{\binom54\binom51}{252}=\tfrac{25}{252}$이므로 $P(K\ge4)=\tfrac{26}{252}=\tfrac{13}{126}\approx0.103$이다. 넷을 맞혀도 5%에서 의미가 없고, 다섯을 모두 맞혀야 한다.

최종답 (a) $\tfrac1{252}$ (b) $\tfrac{13}{126}\approx0.103$

A4 다섯 짝의 부호 뒤집기 ★

예제 1.9, 정리 1.7 · 10분

짝 5개의 차이(처치 $-$ 대조)가 $3,\ -1,\ 4,\ 2,\ 5$이다. 짝마다 동전으로 처치를 정했다고 보고, 날카로운 귀무가설 아래 $\sum d_i$의 무작위화 분포로 (a) 한쪽 $p$-값 $P(\sum\pm|d_i|\ge13)$과 (b) 양쪽 $p$-값 $P(|\sum\pm|d_i||\ge13)$을 구하라.

힌트

$|d_i|$는 $1,2,3,4,5$이고 합은 15다. 부호를 바꾼 값들의 합을 $s$라 하면 $\sum\pm|d_i|=15-2s$이다.

풀이

$2^5=32$가지 부호가 같은 확률이다. 부호를 $-$로 바꾼 $|d_i|$들의 합을 $s$라 하면 합은 $15-2s$이고, $15-2s\ge13\iff s\le1$이다. $s=0$(아무것도 바꾸지 않음)과 $s=1$($|d_i|=1$만 바꿈, 관측값이 이것이다)의 2가지이므로 (a) $p=\tfrac2{32}=\tfrac1{16}$이다. (b) 분포가 0에 대해 대칭이므로 $\le-13$인 것도 2가지이고 $p=\tfrac4{32}=\tfrac18$이다.

최종답 (a) $\tfrac1{16}$ (b) $\tfrac18$

A5 일원분산분석표를 손으로 ★

정리 2.2 · 10분

세 처치의 관측값이 A: $4,6,8$, B: $7,9,11$, C: $10,12,14$이다. (a) $\SS_B$, (b) $\SS_W$, (c) $F$를 구하라.

힌트

처치 평균은 6, 9, 12이고 전체 평균은 9다. 처치 안의 편차는 모두 $-2,0,2$이다.

풀이

처치 평균은 6, 9, 12, 전체 평균은 9다. (a) $\SS_B=3\bigl[(6-9)^2+0+(12-9)^2\bigr]=54$. (b) 처치마다 편차가 $-2,0,2$이므로 $\SS_W=3\cdot8=24$. (c) 자유도는 $2$와 $6$이므로 $F=\tfrac{54/2}{24/6}=\tfrac{27}4=6.75$이다. 검산: 전체 제곱합 $\sum(y-9)^2=78=54+24$.

최종답 (a) $54$ (b) $24$ (c) $\tfrac{27}4$

A6 비중심 $\chi^2$χ²의 적률 ★

정리 2.5 · 6분

$\X\sim\N_3(\bmu,I)$이고 $\bmu=(1,2,2)\T$이다. $Q=\|\X\|^2$에 대해 (a) 비중심도 $\lambda$, (b) $EQ$, (c) $\Var Q$를 구하라.

힌트

정리 2.5(d)를 쓴다.

풀이

(a) $\lambda=\|\bmu\|^2=1+4+4=9$. (b) $EQ=k+\lambda=12$. (c) $\Var Q=2k+4\lambda=6+36=42$.

최종답 (a) $9$ (b) $12$ (c) $42$

A7 비중심 $\chi^2$χ²의 mgf ★

정리 2.5(b)(c) · 8분

$Q\sim\chi^2(2,\lambda=2)$이다. (a) $Ee^{Q/4}$를 구하라. (b) 정리 2.5(c)의 혼합 표현에서 $Q$가 자유도 2인 중심 $\chi^2$에서 나올 확률 $P(J=0)$을 구하라.

힌트

(a) mgf $(1-2t)^{-k/2}\exp\bigl(\tfrac{\lambda t}{1-2t}\bigr)$에 $t=\tfrac14$를 넣는다. (b) $J\sim\mathrm{Poi}(\lambda/2)$이다.

풀이

(a) $t=\tfrac14$이면 $1-2t=\tfrac12$이므로 $Ee^{Q/4}=(\tfrac12)^{-1}\exp\bigl(\tfrac{2\cdot\frac14}{\frac12}\bigr)=2e\approx5.437$이다. (b) $J\sim\mathrm{Poi}(1)$이므로 $P(J=0)=e^{-1}\approx0.368$이다.

최종답 (a) $2e\approx5.437$ (b) $e^{-1}\approx0.368$

A8 검정력의 비중심도 ★

정리 2.8 · 8분

일원배치에서 처치 3개, 처치마다 5개 단위, 참 평균이 $(10,12,14)$, $\sigma=2$이다. (a) $F$ 검정의 비중심도 $\lambda$를 구하라. (b) $\sigma=4$이면 $\lambda$는 얼마인가?

힌트

$\lambda=\sum_in_i(\mu_i-\bar\mu)^2/\sigma^2$이고 $\bar\mu=12$이다.

풀이

(a) $\lambda=5\bigl[(10-12)^2+0+(14-12)^2\bigr]/4=40/4=10$. (b) $\sigma$가 두 배이면 $\lambda$는 네 배로 줄어 $\tfrac{10}4=\tfrac52$이다. 같은 검정력을 얻으려면 처치마다 단위가 대략 네 배 필요하다.

최종답 (a) $10$ (b) $\tfrac52$

A9 $2\times2$2×2 배치의 다섯 조각 ★★

정리 3.2 · 15분

칸마다 2개씩의 관측이 있다.

	B1	B2
A1	3, 5	6, 8
A2	7, 9	14, 16

(a) $\SS_A$, (b) $\SS_B$, (c) $\SS_{AB}$, (d) $\SS_E$, (e) 상호작용의 $F$를 구하라.

힌트

칸 평균은 4, 7, 8, 15, 전체 평균은 8.5다. 상호작용 조각은 $\bar y_{ij\cdot}-\bar y_{i\cdot\cdot}-\bar y_{\cdot j\cdot}+\bar y_{\cdot\cdot\cdot}$이다.

풀이

칸 평균은 A1B1 4, A1B2 7, A2B1 8, A2B2 15이고, A 평균은 5.5와 11.5, B 평균은 6과 11, 전체 평균은 8.5다. (a) $\SS_A=br\sum_i(\bar y_{i\cdot\cdot}-\bar y)^2=4(9+9)=72$. (b) $\SS_B=ar\sum_j(\bar y_{\cdot j\cdot}-\bar y)^2=4(6.25+6.25)=50$. (c) 상호작용 조각은 $4-5.5-6+8.5=1$, $7-5.5-11+8.5=-1$, $-1$, $1$이므로 $\SS_{AB}=r\cdot4=8$. (d) 칸마다 편차가 $\pm1$이므로 $\SS_E=4\cdot2=8$. (e) 자유도는 1과 $ab(r-1)=4$이므로 $F_{AB}=\tfrac{8/1}{8/4}=4$이다. 검산: $\SS_T=\sum(y-8.5)^2=138=72+50+8+8$.

최종답 (a) $72$ (b) $50$ (c) $8$ (d) $8$ (e) $4$

A10 분할구의 두 오차 ★

명제 3.6 · 8분

주구마다 세구가 3개인 분할구 설계에서 주구 효과의 분산이 $\sigma_w^2=2$, 세구 오차의 분산이 $\sigma^2=3$이다. (a) $E\,\mathrm{MS}_{\text{주구 오차}}$와 (b) $E\,\mathrm{MS}_{\text{세구 오차}}$를 구하라. (c) 두 품종이 각각 주구 6개(세구 18개)를 받았을 때, 두 품종 평균의 차의 분산을 구하라.

힌트

명제 3.6의 4를 세구의 수 3으로 바꾼다. 한 품종 평균의 분산은 $\sigma_w^2/6+\sigma^2/18$이다.

풀이

(a) $\sigma^2+3\sigma_w^2=3+6=9$. (b) $\sigma^2=3$. (c) 한 품종의 평균에는 주구 6개의 $\eta$ 평균과 세구 18개의 $\varepsilon$ 평균이 들어 있으므로 분산은 $\tfrac26+\tfrac3{18}=\tfrac12$이다. 두 품종은 서로 다른 주구를 쓰므로 차의 분산은 $1$이다. 이것은 $2\cdot\tfrac{9}{18}$, 곧 주구 오차의 기대평균제곱으로 쓴 값과 같다.

최종답 (a) $9$ (b) $3$ (c) $1$

A11 독립인 검정 열 개 ★

명제 4.2 · 6분

참인 귀무가설 10개를 독립인 검정으로 확인한다. (a) 각각을 Bonferroni의 크기 $0.005$로 하면 FWER은 얼마인가? (b) 각각을 $0.05$로 하면?

힌트

독립이면 하나도 기각하지 않을 확률은 곱이다.

풀이

(a) $1-0.995^{10}\approx0.0489$로 0.05보다 조금 작다. Bonferroni의 한계 0.05와의 차이는 독립일 때도 작다. (b) $1-0.95^{10}\approx0.401$이다.

최종답 (a) $1-0.995^{10}\approx0.0489$ (b) $1-0.95^{10}\approx0.401$

A12 Scheffé와 Tukey의 기준 ★

정리 4.4, 4.6 · 8분

처치 4개, 처치마다 6개, 오차의 평균제곱 $s^2=10$, 자유도 $\nu=20$인 일원배치다. $F_{3,20,0.05}=3.098$, $q_{4,20,0.05}=3.958$을 쓴다. (a) 대비 하나의 $t$ 통계량에 대한 Scheffé의 기준값 $\sqrt{qF_{q,\nu,\alpha}}$를 구하라. (b) Tukey의 정직한 유의차 HSD를 구하라.

힌트

(a) $q=t-1=3$이다. (b) $\mathrm{HSD}=q_{t,\nu,\alpha}\,s/\sqrt n$이다.

풀이

(a) $\sqrt{3\cdot3.098}=\sqrt{9.294}=3.049$이다. 대비 하나의 $t$ 구간 기준 $t_{20,0.025}=2.086$보다 크다. (b) $\mathrm{HSD}=3.958\sqrt{10/6}=3.958\cdot1.291=5.11$이다. 짝의 차이가 5.11보다 크면 유의하다.

최종답 (a) $\sqrt{3\cdot3.098}\approx3.049$ (b) $3.958\sqrt{10/6}\approx5.11$

A13 짝 넷의 효율 ★★

정리 5.1 · 10분

대조 아래의 잠재적 결과가 짝 $(a_i,\allowbreak b_i)=(10,\allowbreak 12),\allowbreak \ (14,\allowbreak 15),\allowbreak \ (8,\allowbreak 7),\allowbreak \ (12,\allowbreak 14)$이다. 처치효과는 상수다. (a) 8개 값의 분산 $S^2$(분모 7), (b) 짝 안의 분산 $S_w^2=\tfrac1{2m}\sum(a_i-b_i)^2$, (c) 짝 설계의 상대효율 $S^2/S_w^2$을 구하라.

힌트

8개 값의 평균은 11.5다. 짝 안의 차이는 $-2,-1,1,-2$이다.

풀이

(a) 편차의 제곱은 $2.25,\allowbreak 0.25,\allowbreak 6.25,\allowbreak 12.25,\allowbreak 12.25,\allowbreak 20.25,\allowbreak 0.25,\allowbreak 6.25$이고 합이 60이므로 $S^2=\tfrac{60}7\approx8.57$. (b) $\sum(a_i-b_i)^2=4+1+1+4=10$이므로 $S_w^2=\tfrac{10}8=\tfrac54$. (c) $\tfrac{60/7}{5/4}=\tfrac{48}7\approx6.86$이다. 짝의 두 값이 거의 같아서 짝 설계 하나가 완전무작위설계 7개에 가까운 값을 한다.

최종답 (a) $\tfrac{60}7$ (b) $\tfrac54$ (c) $\tfrac{48}7\approx6.86$

A14 공변량 보정과 표본 크기 ★

정리 8.2 · 6분

실험 전 지표와 실험 중 지표의 상관이 $\rho=0.6$이다. (a) 공변량 보정으로 $\hat\tau$의 분산이 몇 배가 되는가? (b) 보정 없이 군마다 1000명이 필요한 정밀도를 보정하면 몇 명으로 얻는가?

힌트

분산은 $1-\rho^2$배이고, 같은 분산에 필요한 표본 크기도 같은 배수로 준다.

풀이

(a) $1-0.36=0.64=\tfrac{16}{25}$배. (b) 분산은 $1/n$에 비례하므로 $1000\cdot0.64=640$명이다.

최종답 (a) $0.64$ (b) $640$

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