8회 · 추론의 기초 · 워크북

D. 퀄형

여러 절과 앞 회차의 도구를 잇는 종합 문제다. 머리의 제한 시간을 재고, 노트를 덮고 푼다. 모형과 가정을 적는 것부터 답안의 일부다.

D1 균등분포 상한의 가장 짧은 구간 ★★★

정리 2.2 · 제한 35분

$X_1,\allowbreak \dots,\allowbreak X_n\iid\mathrm U(0,\allowbreak \theta)$, $M=X_{(n)}$, $0<\alpha<1$이다.

1. (a)

   $M/\theta$가 축량임을 보이고 그 분포함수를 구하라.

2. (b)

   $0\le a<b\le1$이고 $P(a\le M/\theta\le b)=1-\alpha$이면 $[M/b,\ M/a]$가 정확한 $1-\alpha$ 구간임을 보여라. 그 길이를 $a$, $b$로 써라.

3. (c)

   제약 $b^n-a^n=1-\alpha$ 아래에서 길이를 가장 작게 하는 $(a,b)$가 $b=1$, $a=\alpha^{1/n}$임을 보여라.

4. (d)

   $n=5$, $M=4.2$, $\alpha=0.05$이면 가장 짧은 구간의 위쪽 끝은?

힌트

(c) $a$를 $b$의 함수 $a(b)=(b^n-(1-\alpha))^{1/n}$로 보고 $L(b)=\frac1{a(b)}-\frac1b$를 미분한다. $a'(b)=b^{n-1}/a^{n-1}$이다.

풀이

(a) $P(M/\theta\le x)=P(\text{모든 }X_i\le x\theta)=x^n$ ($0\le x\le1$)은 $\theta$와 무관하다. (b) $\{a\le M/\theta\le b\}=\{M/b\le\theta\le M/a\}$이므로(정리 2.2) 포함확률은 모든 $\theta$에서 $1-\alpha$이다. 길이는 $M(\tfrac1a-\tfrac1b)$이다. (c) $a(b)^n=b^n-(1-\alpha)$를 미분하면 $a'=b^{n-1}/a^{n-1}$이다. $L(b)=1/a-1/b$이면

$$L'(b)=-\frac{a'}{a^2}+\frac1{b^2}=-\frac{b^{n-1}}{a^{n+1}}+\frac1{b^2}=\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a^{n+1}b^2}<0$$

이다($a<b$). $L$이 감소하므로 허용되는 가장 큰 $b=1$에서 최소이고, 그때 $a=\alpha^{1/n}$이다. 노트 연습 2.2의 구간 $[M,\ M\alpha^{-1/n}]$이 가장 짧다. (d) $4.2\cdot0.05^{-1/5}=4.2\cdot1.8206\approx7.646$이다.

최종답 (d) $4.2\cdot0.05^{-1/5}\approx7.646$

D2 지수 수명의 검정과 구간 ★★★

정리 3.4, 3.5, 4.2 · 4회 정리 3.7 · 제한 40분

수명이 평균 $\theta$인 지수분포를 따르는 부품 $n$개를 검사한다. $H_0:\theta=\theta_0$ 대 $H_1:\theta<\theta_0$을 $T=2\sum X_i/\theta_0$로 검정한다.

1. (a)

   $H_0$ 아래에서 $T\sim\chi^2(2n)$임을 보이고, $T\le\chi^2_{2n,1-\alpha}$일 때 기각하는 검정의 크기가 $\alpha$임을 보여라.

2. (b)

   검정력 함수가 $\gamma(\theta)=P\bigl(\chi^2(2n)\le\frac{\theta_0}\theta\chi^2_{2n,1-\alpha}\bigr)$임을 보여라. $\theta$에 대해 어떻게 변하는가?

3. (c)

   이 검정을 모든 $\theta_0$에 대해 뒤집어 $\theta$의 $1-\alpha$ 위쪽 신뢰한계를 만들어라.

4. (d)

   $n=10$, $\theta_0=1000$, $\sum x_i=6000$, $\alpha=0.05$이다($\chi^2_{20,0.95}=10.851$). 기각하는가? $p$-값($P(\chi^2(20)\le12)=0.0839$), $\theta=500$에서의 검정력($P(\chi^2(20)\le21.70)=0.643$), 위쪽 신뢰한계를 구하라.

힌트

(a) $X_i/\theta$는 $\Gamma(1,1)$이고 4회 정리 3.7로 합은 $\Gamma(n,1)$이다. (c) 수락역 $\{2\sum x_i/\theta_0>c\}$를 $\theta_0$에 대해 푼다. $p$-값은 작은 $T$가 $H_0$에 불리하다는 것에 맞춰 $P(T\le t)$이다.

풀이

(a) $X_i/\theta_0\sim\Gamma(1,1)$이므로 4회 정리 3.7로 $\sum X_i/\theta_0\sim\Gamma(n,\allowbreak 1)$이고 $2\Gamma(n,1)=\chi^2(2n)$이다. 크기는 $P(\chi^2(2n)\le\chi^2_{2n,1-\alpha})=\alpha$이다. (b) 참값이 $\theta$이면 $2\sum X_i/\theta\sim\chi^2(2n)$이고 $T=\tfrac\theta{\theta_0}\cdot2\sum X_i/\theta$이므로 $P(T\le c)=P(\chi^2(2n)\le\tfrac{\theta_0}\theta c)$이다. $\theta$가 작을수록 커진다. (c) 수락역은 $2\sum x_i/\theta_0>c$, 곧 $\theta_0<2\sum x_i/c$이다. 쌍대성(정리 3.5)으로 $\bigl(0,\allowbreak \ 2\sum X_i/\chi^2_{2n,1-\alpha}\bigr)$가 $1-\alpha$ 신뢰집합이다. (d) $T=12>10.851$이므로 기각하지 않는다. $p=P(\chi^2(20)\le12)=0.0839$. 검정력은 $\gamma(500)=P(\chi^2(20)\le2\cdot10.851)=0.643$이다. 위쪽 한계는 $12000/10.851\approx1106$시간이다. 평균 수명이 1000시간이라는 주장은 기각되지 않지만, 표본 10개로는 참 평균이 500시간이어도 셋에 하나꼴로 놓친다.

최종답 (a) $0.0839$ (b) $0.643$ (c) $1106$

D3 지수분포의 중앙값 ★★★

정리 1.4, 2.6 · 제한 35분

$X_1,\dots,X_n$이 평균 $\theta$인 지수분포를 따른다. 모집단의 중앙값을 $m$이라 하자.

1. (a)

   $m=\theta\log2$임을 보여라.

2. (b)

   정리 1.4로 표본중앙값의 점근분산을 구하라. 답을 $c\,\theta^2/n$으로 쓸 때 $c$는?

3. (c)

   다른 추정량 $(\log2)\bar X$의 분산을 구하고, 표본중앙값의 점근 상대효율 $\frac{\Var((\log 2)\bar X)}{\text{표본중앙값의 점근분산}}$을 구하라.

4. (d)

   분포를 가정하지 않는 대칭 구간 $[X_{(i)},X_{(101-i)}]$로 $n=100$에서 신뢰계수 0.95 이상을 얻는 가장 큰 $i$는? (정리 2.6, 정규근사로 어림한 뒤 확인한다.)

5. (e)

   (d)의 구간의 정확한 신뢰계수는? ($K\sim\mathrm b(100,\tfrac12)$에서 $P(K\le39)=0.0176$)

힌트

(b) $f(m)=\frac1\theta e^{-m/\theta}=\frac1{2\theta}$이다. (d) $i\approx50-1.96\cdot5$. (e) $P(40\le K\le60)=1-2P(K\le39)$.

풀이

(a) $P(X\le m)=1-e^{-m/\theta}=\tfrac12$에서 $m=\theta\log2$이다. (b) $p=\tfrac12$, $f(m)=\tfrac1{2\theta}$이므로 점근분산은 $\tfrac{p(1-p)}{nf(m)^2}=\tfrac{1/4}{n/(4\theta^2)}=\tfrac{\theta^2}n$, $c=1$이다. (c) $\Var((\log2)\bar X)=(\log2)^2\theta^2/n$이므로 상대효율은 $(\log2)^2\approx0.480$이다. 지수분포를 믿는다면 중앙값은 평균을 쓴 추정량의 절반 정도의 효율이다. 대신 중앙값의 구간 (d)는 분포를 가정하지 않는다. (d) 정규근사로 $i\approx50-9.8=40.2$이다. 정리 2.6으로 $i=40$이면 $P(40\le K\le60)=0.9648$, $i=41$이면 $0.9431$이므로 $i=40$, 구간은 $[X_{(40)},X_{(61)}]$이다. (e) $1-2\cdot0.0176=0.9648$이다.

최종답 (b) $\theta^2/n$ (c) $(\log2)^2\approx0.480$ (d) $i=40$ (e) $0.9648$

D4 Poisson 적합도와 자유도 ★★★

정리 5.1, 5.2절의 상자 · 제한 35분

한 시간 단위 200개에서 사건 수를 세었다. 0회 62, 1회 60, 2회 42, 3회 20, 4회 이상 16이고, 4회 이상인 16개는 모두 정확히 4회였다.

1. (a)

   원자료의 평균으로 $\lambda$를 추정하라.

2. (b)

   범주 0, 1, 2, 3, 4 이상의 기대도수를 구하고 Pearson $X^2$를 계산하라. (기대도수 52.37, 70.17, 47.02, 21.00, 9.44)

3. (c)

   노트 5.2절의 규칙대로 자유도를 $5-1-1=3$으로 읽으면 $p$-값은? 모수를 추정하지 않은 것처럼 4로 읽으면? ($P(\chi^2(3)\ge8.39)=0.0386$, $P(\chi^2(4)\ge8.39)=0.0783$)

4. (d)

   $\lambda$를 범주로 묶기 전의 원자료로 추정했다. 이때 $X^2$의 참 극한분포는 어디에 있는가? 5% 수준의 결론에 대해 무엇을 말할 수 있는가?

힌트

(a) 사건의 총수는 $0\cdot62+1\cdot60+2\cdot42+3\cdot20+4\cdot16$이다. (d) 노트 5.2절 상자의 마지막 문장(Chernoff–Lehmann).

풀이

(a) 총수 $60+84+60+64=268$이므로 $\hat\lambda=1.34$이다. (b) $200\,e^{-1.34}1.34^k/k!$ ($k=0,\dots,3$)과 나머지 $200-\sum$가 주어진 기대도수다. $X^2=\tfrac{(62-52.37)^2}{52.37}+\tfrac{(60-70.17)^2}{70.17}+\tfrac{(42-47.02)^2}{47.02}+\tfrac{(20-21.00)^2}{21.00}+\tfrac{(16-9.44)^2}{9.44}\approx1.77+1.47+0.54+0.05+4.56=8.39$이다. 0회와 4회 이상이 기대보다 많고 1회가 적다. 과대산포의 모양이다. (c) 자유도 3이면 $p=0.0386$, 4이면 $p=0.0783$이다. (d) 원자료로 추정하면 $X^2$의 극한은 $\chi^2(3)$과 $\chi^2(4)$ 사이에 있다(Chernoff–Lehmann). 따라서 참 $p$-값은 0.0386과 0.0783 사이에 있고, 5% 수준의 결론은 이 자료로 정해지지 않는다. 범주로 묶은 자료에서 최소 $\chi^2$로 $\lambda$를 다시 추정하거나(그러면 자유도 3이 맞다), 추정까지 포함해 Monte Carlo 검정(노트 7.4절)으로 $p$-값을 직접 만들면 이 모호함이 없어진다.

최종답 (a) $\hat\lambda=1.34$ (b) $X^2=8.39$ (c) $0.0386$ (d) $0.0783$

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