8회 · 추론의 기초 · 워크북

A. 계산 드릴

정의와 공식을 손으로 돌린다. 답이 수나 식으로 떨어지므로 다 풀면 뒤의 최종답이나 노트북의 check()로 맞춰 본다. 분위수는 표나 계산기에서 읽는다. 표준정규의 위쪽 분위수는 $z_{0.05}=1.645$, $z_{0.025}=1.960$, $z_{0.10}=1.282$를 쓴다.

A1 균등분포의 둘째 순서통계량 ★

따름정리 1.3 · 8분

$X_1,\allowbreak \dots,\allowbreak X_5\iid\mathrm U(0,\allowbreak 1)$이다. (a) $E X_{(2)}$를 구하라. (b) $P(X_{(2)}\le\tfrac12)$를 구하라.

힌트

(a) $X_{(2)}$의 밀도는 베타 밀도다. (b)는 밀도를 적분하지 말고 “$\tfrac12$ 이하인 관측이 2개 이상”의 확률로 센다.

풀이

(a) 따름정리 1.3에서 $F(x)=x$이므로 $f_{(2)}(x)=20x(1-x)^3$, 곧 $\mathrm{Beta}(2,4)$이고 평균은 $\tfrac2{2+4}=\tfrac13$이다. (b) $\tfrac12$ 이하인 관측의 수는 $\mathrm b(5,\tfrac12)$이므로 $P(X_{(2)}\le\tfrac12)=1-P(\text{0개})-P(\text{1개})=1-\tfrac{1+5}{32}=\tfrac{13}{16}$이다.

최종답 (a) $\tfrac13$ (b) $\tfrac{13}{16}$

A2 지수 표본의 최솟값과 최댓값 ★

3회 예제 3.5 · 8분

$X_1,\dots,X_4$가 독립이고 평균 2인 지수분포를 따른다. (a) $EX_{(1)}$, (b) $P(X_{(4)}\le2)$를 구하라.

힌트

$P(X_{(1)}>x)=P(X_1>x)^4$이고 $P(X_{(4)}\le x)=P(X_1\le x)^4$이다.

풀이

(a) $P(X_{(1)}>x)=(e^{-x/2})^4=e^{-2x}$이므로 $X_{(1)}$은 평균 $\tfrac12$인 지수분포다. (b) $P(X_{(4)}\le2)=(1-e^{-1})^4\approx0.160$이다.

최종답 (a) $\tfrac12$ (b) $(1-e^{-1})^4\approx0.160$

A3 노획한 일련번호 ★

정리 1.6 · 6분

일련번호 $1,\dots,N$인 전차 가운데 4대를 노획했더니 번호가 19, 40, 42, 60이었다. (a) 정리 1.6의 불편추정량 $\hat N$의 값, (b) 적률법 추정량 $2\bar X-1$의 값을 구하라.

힌트

$\hat N=\frac{k+1}kM-1$이다.

풀이

(a) $M=60$, $k=4$이므로 $\hat N=\tfrac54\cdot60-1=74$이다. (b) $\bar X=\tfrac{161}4=40.25$이므로 $2\bar X-1=79.5$이다. 두 추정값은 다르지만 둘 다 불편이다. 분산은 $\hat N$ 쪽이 $\tfrac{k+2}3=2$배 작다.

최종답 (a) $74$ (b) $79.5$

A4 최댓값의 분포 ★★

정리 1.6 · 10분

$\{1,\dots,100\}$에서 4개를 비복원으로 뽑은 최댓값을 $M$이라 하자. (a) $EM$을 구하라. (b) $P(M\le50)$을 구하라.

힌트

(b) $M\le50$은 네 개가 모두 $\{1,\dots,50\}$에서 뽑히는 것이다.

풀이

(a) 정리 1.6으로 $EM=\tfrac{4\cdot101}5=80.8$이다. (b) $P(M\le50)=\binom{50}4/\binom{100}4=\tfrac{230300}{3921225}=\tfrac{188}{3201}\approx0.0587$이다. 네 번호의 최댓값이 절반 아래에 머물 확률은 6% 정도다.

최종답 (a) $80.8$ (b) $\tfrac{188}{3201}\approx0.0587$

A5 지수 수명의 정확한 구간 ★★

정리 2.2 · 10분

수명이 평균 $\theta$인 지수분포를 따르는 부품 5개의 수명의 합이 400시간이었다. 노트 예제 2.3의 축량으로 $\theta$의 95% 신뢰구간을 구하라. ($\chi^2_{10,0.025}=20.483$, $\chi^2_{10,0.975}=3.247$)

힌트

$\frac2\theta\sum X_i\sim\chi^2(2n)$이다. 구간은 $\bigl[\frac{2\sum X_i}{\chi^2_{2n,\alpha/2}},\allowbreak \ \frac{2\sum X_i}{\chi^2_{2n,1-\alpha/2}}\bigr]$이다.

풀이

$2\sum X_i=800$이므로 구간은 $[800/20.483,\allowbreak \ 800/3.247]=[39.06,\allowbreak \ 246.4]$시간이다. 점추정값 $\bar x=80$에 대해 오른쪽으로 훨씬 길다. 표본이 5개뿐이면 큰 $\theta$를 배제하기 어렵다.

최종답 (a) $39.06$ (b) $246.4$

A6 균등분포의 상한 ★

정리 2.2 · 8분

$X_1,\allowbreak \dots,\allowbreak X_4\iid\mathrm U(0,\allowbreak \theta)$에서 $M=X_{(4)}=3.0$이었다. 축량 $M/\theta$로 만든 90% 구간 $[M,\ M\alpha^{-1/n}]$의 위쪽 끝을 구하라.

힌트

$P(M/\theta\le x)=x^n$이다. $\alpha=0.1$, $n=4$.

풀이

$P(0.1^{1/4}\le M/\theta\le1)=1-0.1=0.9$이고 이것을 $\theta$에 대해 풀면 $M\le\theta\le M\cdot0.1^{-1/4}$이다. 위쪽 끝은 $3\cdot10^{1/4}\approx5.335$이다.

최종답 $3\cdot10^{1/4}\approx5.335$

A7 비율의 Wald 구간 ★

정리 2.4 · 6분

400명 가운데 88명이 “예”라고 답했다. 비율의 95% Wald 구간의 (a) 아래쪽 끝, (b) 위쪽 끝을 구하라($z=1.96$).

힌트

$\hat p\pm1.96\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}$.

풀이

$\hat p=0.22$, 표준오차 $\sqrt{0.22\cdot0.78/400}=0.0207$이므로 $0.22\pm0.0406=[0.1794,\allowbreak \ 0.2606]$이다. $np=88$이 크므로 Wald 구간을 써도 된다(노트 7.3절과 비교).

최종답 (a) $0.1794$ (b) $0.2606$

A8 분포를 가정하지 않는 중앙값의 구간 ★

정리 2.6 · 8분

연속분포의 표본 $n=15$에서 구간 $[X_{(4)},X_{(12)}]$가 중앙값을 덮을 확률을 정확히 구하라.

힌트

$K\sim\mathrm b(15,\tfrac12)$에 대해 $P(4\le K\le11)$이다. 대칭이므로 양쪽 꼬리 $P(K\le3)$을 두 번 뺀다.

풀이

정리 2.6으로 $P(4\le K\le11)=1-2P(K\le3)=1-2\cdot\tfrac{1+15+105+455}{32768}=1-\tfrac{1152}{32768}=\tfrac{247}{256}\approx0.965$이다.

최종답 $\tfrac{247}{256}\approx0.965$

A9 이항 검정의 크기와 검정력 ★★

정의 3.2 · 10분

$X\sim\mathrm b(20,p)$로 $H_0:p=\tfrac12$ 대 $H_1:p>\tfrac12$를 검정하며 $X\ge15$이면 기각한다. (a) 크기, (b) $p=0.7$에서의 검정력을 구하라.

힌트

(a) $\sum_{k=15}^{20}\binom{20}k=15504+4845+1140+190+20+1$이다. (b)는 같은 합에 $0.7^k0.3^{20-k}$을 곱한다.

풀이

(a) $\tfrac{21700}{2^{20}}=\tfrac{5425}{262144}\approx0.0207$이다. (b) $\sum_{k=15}^{20}\binom{20}k0.7^k0.3^{20-k}\approx0.416$이다. 크기를 0.05에 가깝게 하려면 기각역을 $X\ge14$로 넓혀야 하는데, 그러면 크기가 $0.058$로 0.05를 넘는다. 이산분포에서는 크기를 정확히 0.05로 맞출 수 없다.

최종답 (a) $\tfrac{5425}{262144}\approx0.0207$ (b) $0.4164$

A10 표본 크기 ★

정리 3.4 · 8분

$\sigma$를 아는 정규 평균의 한쪽 $z$ 검정을 크기 0.05로 할 때, $\delta=0.25\sigma$의 차이를 검정력 0.9로 잡으려면 최소 몇 개의 관측이 필요한가?

힌트

$n\ge\bigl((z_\alpha+z_\beta)\sigma/\delta\bigr)^2$, $\beta=0.1$이다.

풀이

$n\ge\bigl(\tfrac{1.645+1.282}{0.25}\bigr)^2=(11.71)^2=137.0$이므로 138개다. 정확한 분위수 $z_{0.05}=1.6449$, $z_{0.1}=1.2816$으로 계산해도 137.02이므로 답은 같다.

최종답 $138$

A11 주어진 평균에서의 검정력 ★

정리 3.4 · 8분

$X_i\iid\N(\mu,10^2)$, $n=25$로 $H_0:\mu\le100$을 크기 0.05의 한쪽 $z$ 검정으로 한다. $\mu=105$에서의 검정력을 구하라.

힌트

$\gamma(\mu)=\Phi\bigl(\sqrt n(\mu-\mu_0)/\sigma-z_\alpha\bigr)$.

풀이

$\sqrt{25}\cdot5/10=2.5$이므로 $\gamma(105)=\Phi(2.5-1.645)=\Phi(0.855)\approx0.804$이다.

최종답 $0.8038$

A12 $p$p-값 ★

정의 4.1 · 6분

$z$ 검정통계량의 관측값이 $2.3$이었다. (a) 양쪽 $p$-값, (b) 한쪽($H_1:\mu>\mu_0$) $p$-값을 구하라. ($\Phi(2.3)=0.98928$)

힌트

양쪽이면 $P(|Z|\ge2.3)$이다.

풀이

(a) $2(1-0.98928)=0.0214$. (b) $0.0107$. 같은 자료가 어느 대립가설을 미리 정했느냐에 따라 두 배 다른 $p$-값을 준다.

최종답 (a) $0.0214$ (b) $0.0107$

A13 주사위의 적합도 ★

정리 5.1 · 8분

주사위를 120번 던져 눈 1–6이 각각 18, 23, 16, 21, 18, 24번 나왔다. (a) 공평한 주사위에 대한 Pearson $X^2$, (b) 그 근사 $p$-값을 구하라. ($P(\chi^2(5)\ge2.5)=0.776$)

힌트

기대도수는 모두 20이다. 자유도는 $6-1$.

풀이

(a) $X^2=\tfrac{4+9+16+1+4+16}{20}=\tfrac{50}{20}=2.5$. (b) 자유도 5에서 $p\approx0.776$이다. 공평한 주사위와 잘 맞는다. 기대도수가 모두 20이므로 근사도 믿을 만하다.

최종답 (a) $X^2=2.5$ (b) $0.776$

A14 $2\times2$2×2 표의 독립성 ★

따름정리 5.2 · 6분

치료(가, 나)와 결과(좋음, 나쁨)의 표가 가: (30, 20), 나: (20, 30)이다. (a) 독립성 검정의 $X^2$, (b) 근사 $p$-값을 구하라. ($P(\chi^2(1)\ge4)=0.0455$)

힌트

기대도수는 모두 25다. 노트 연습 5.3의 공식으로도 확인한다.

풀이

(a) 네 칸 모두 $|O-E|=5$이므로 $X^2=4\cdot\tfrac{25}{25}=4$. 공식으로는 $\tfrac{100(900-400)^2}{50^4}=4$. (b) 자유도 1에서 $p=0.0455$이다.

최종답 (a) $X^2=4$ (b) $0.0455$

A15 동시 신뢰구간의 배수 ★

명제 8.3 · 6분

평균 20개에 대해 동시에 95% 이상으로 덮는 Bonferroni 구간 $\bar x_j\pm c\cdot\mathrm{se}_j$를 만든다(양쪽, 정규근사). $c$를 구하라. ($\Phi(3.023)=0.99875$)

힌트

구간마다 놓칠 확률을 $0.05/20$로 한다. 양쪽 구간이므로 한쪽 꼬리는 그 절반이다.

풀이

각 구간이 놓칠 확률을 $0.05/20=0.0025$로 하면, 놓치는 사건들의 합집합에 Boole 부등식을 써서(명제 8.3과 같은 논리) 하나라도 놓칠 확률이 0.05 이하다. 양쪽 구간이므로 한쪽 꼬리가 $0.00125$이고 $c=z_{0.00125}\approx3.023$이다. 구간 하나만이면 1.96이므로 동시 보장의 대가로 구간이 1.54배 넓어진다.

최종답 $z_{0.00125}\approx3.023$

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