12회 · 최적 검정과 결정 · 노트

2 균일최강력 검정과 단조가능도비

예제 1.3의 기각역 $\bar x>1.645/\sqrt n$은 $\mu_1$의 값에 의존하지 않았다. 그러면 이 검정은 $\mu_1=0.1$에 대해서도, $\mu_1=10$에 대해서도 동시에 최강력이다. 이렇게 대립가설 전체에서 한꺼번에 최선인 검정이 언제 있는가?

2.1 정의

정의 2.1 (균일최강력 검정) $H_0:\theta\in\Omega_0$ 대 $H_1:\theta\in\Omega_1$에서, 크기가 $\alpha$ 이하이고 모든 $\theta\in\Omega_1$에서 크기 $\alpha$ 이하인 다른 어떤 검정보다 검정력이 작지 않은 검정을 균일최강력(UMP) 검정이라 한다.

정의 2.2 (단조가능도비) 실수 모수 $\theta$의 분포족이 통계량 $T(\x)$에 대해 단조가능도비(MLR)를 갖는다는 것은, $\theta_1<\theta_2$이면 가능도비 $f(\x;\theta_2)/f(\x;\theta_1)$이 $T(\x)$의 감소하지 않는 함수라는 것이다.

예제 2.3 (지수족은 단조가능도비를 갖는다) 1-모수 지수족 $f(\x;\theta)=h(\x)\exp\bigl(c(\theta)T(\x)-d(\theta)\bigr)$에서 $c$가 증가함수이면 $\tfrac{f(\x;\theta_2)}{f(\x;\theta_1)}=\exp\bigl((c(\theta_2)-c(\theta_1))T(\x)-\cdots\bigr)$이 $T$의 증가함수다. 정규 평균($T=\sum x_i$), 정규 분산(평균을 알 때, $T=\sum(x_i-\mu)^2$), Poisson과 Bernoulli($T=\sum x_i$), 지수분포의 평균($T=\sum x_i$)이 모두 그렇다. 지수족이 아닌 $\mathrm U(0,\theta)$도 $T=X_{(n)}$에 대해 단조가능도비를 갖는다(연습 2.2). Cauchy 위치모형은 갖지 않는다(연습 1.3).

2.2 Karlin–Rubin 정리

정리 2.4 (Karlin–Rubin (1956)) 분포족이 $T$에 대해 단조가능도비를 가지면, $H_0:\theta\le\theta_0$ 대 $H_1:\theta>\theta_0$에서

$$\varphi^*(\x)=\begin{cases}1,&T(\x)>c,\\\gamma,&T(\x)=c,\\0,&T(\x)<c\end{cases}\qquad(E_{\theta_0}\varphi^*=\alpha)$$

는 크기 $\alpha$의 UMP 검정이다. 그 검정력 함수 $\gamma(\theta)=E_\theta\varphi^*$는 감소하지 않는다.

증명 전략 단조가능도비 덕분에 “$T>c$”는 어느 두 모수값 사이에서도 가능도비의 위쪽 집합이다. 그래서 $\varphi^*$는 모든 단순 대 단순 문제의 Neyman–Pearson 검정이 되고, 정리 1.2와 따름정리 1.5를 차례로 쓴다.

1. $\theta'<\theta''$를 고정한다. 단조가능도비로 $f(\x;\theta'')/f(\x;\theta')=g\bigl(T(\x)\bigr)$이고 $g$는 감소하지 않는다. $k=g(c)$로 둔다.정의 2.2

2. $f(\x;\theta'')>kf(\x;\theta')$이면 $g(T)>g(c)$이므로 $T>c$, 곧 $\varphi^*=1$이다. $f(\x;\theta'')<kf(\x;\theta')$이면 $T<c$, 곧 $\varphi^*=0$이다.$g$의 단조성 [T2] 대우

3. 따라서 $\varphi^*$는 $\theta'$ 대 $\theta''$의 Neyman–Pearson 꼴이고, 자기 크기 $E_{\theta'}\varphi^*$의 최강력 검정이다.2, 정리 1.2(b)

4. $E_{\theta''}\varphi^*\ge E_{\theta'}\varphi^*$이다. 검정력 함수는 감소하지 않는다.3, 따름정리 1.5(b)

5. 크기는 $\sup_{\theta\le\theta_0}E_\theta\varphi^*=E_{\theta_0}\varphi^*=\alpha$이다.4

6. $\theta_1>\theta_0$과, $H_0$ 전체에서 크기가 $\alpha$ 이하인 검정 $\varphi$를 아무거나 고른다. 특히 $E_{\theta_0}\varphi\le\alpha$이다.크기의 정의

7. 3을 $\theta'=\theta_0$, $\theta''=\theta_1$에 쓰면 $\varphi^*$는 크기 $\alpha$의 최강력 검정이므로 $E_{\theta_1}\varphi^*\ge E_{\theta_1}\varphi$이다. $\theta_1$이 아무것이었으므로 UMP다.6, 정의 2.1

조건 확인 가능도비는 $\infty$를 값으로 가질 수 있다(연습 2.2). $f(\x;\theta')=0<f(\x;\theta'')$인 점에서는 $f''-kf'>0$이므로 2의 분류가 그대로 맞는다. 또 3에서 쓰는 정리 1.2(b)의 증명은 경계 $\{f''=kf'\}$ 위의 검정의 값을 쓰지 않으므로, 경계에서 $\varphi^*$가 $\gamma$와 다른 값을 가져도 된다.

11회 4절의 지수족은 UMP 검정의 무대이기도 하다. 충분통계량 하나($T$)가 추정에서도 검정에서도 모든 정보를 담는다.

2.3 양쪽 가설에는 UMP가 없다

예제 2.5 (정규 평균의 양쪽 검정) $X_i\iid\N(\mu,1)$, $n=25$, $H_0:\mu=0$ 대 $H_1:\mu\ne0$. UMP 검정이 있다면 $\mu_1>0$에서는 한쪽 검정 $\bar x>1.645/5$와 같은 검정력을, $\mu_1<0$에서는 $\bar x<-1.645/5$와 같은 검정력을 가져야 한다(정리 1.2(c)의 유일성). 두 기각역은 다르므로 하나의 검정이 둘 다일 수 없다. 흔히 쓰는 양쪽 검정 $|\bar x|>1.96/5$는 $\mu=0.4$에서 검정력 0.516으로 한쪽 검정의 0.639보다 낮다. 대신 $\mu=-0.3$에서 0.323을 갖는다. 한쪽 검정은 이 쪽에서 0.0008이다(그림 2.1).

증명 없이 쓰는 사실 (균일최강력 불편 검정) 양쪽 가설에서는 기준을 낮춘다. 모든 $\theta\in\Omega_1$에서 검정력이 크기 이상인 검정을 불편이라 한다. 불편 검정 가운데서는 UMP가 있을 수 있다. 지수족의 양쪽 검정에서 “$T<c_1$ 또는 $T>c_2$” 꼴의 검정(정규 평균이면 $|z|>1.96$)이 그것이다(Lehmann–Romano, Testing Statistical Hypotheses, 4장). 이 과정에서는 증명하지 않는다.

그림 2.1 왼쪽: 정규 평균($n=25$)에서 한쪽 검정(파랑)과 양쪽 검정(빨강)의 검정력 함수. 오른쪽($\mu>0$)에서는 한쪽 검정이 낫고, 왼쪽에서는 한쪽 검정의 검정력이 0으로 간다. 오른쪽: 이항 검정($n=20$, $H_0:p\le0.3$)의 검정력 함수는 단조증가한다(정리 2.4). 확률화하지 않은 검정(점선)은 크기가 0.05에 못 미친다.

연습문제

연습 2.1 (지수족의 단조가능도비 ★) 정규 분산($\mu$를 앎)에서 $H_0:\sigma^2\le1$ 대 $H_1:\sigma^2>1$의 UMP 검정을 구하라. $c(\sigma^2)=-\tfrac1{2\sigma^2}$은 증가함수다.

풀이

$f=(2\pi\sigma^2)^{-n/2}\exp\bigl(-\tfrac1{2\sigma^2}\sum(x_i-\mu)^2\bigr)$에서 $c(\sigma^2)=-\tfrac1{2\sigma^2}$이 증가하므로 $T=\sum(X_i-\mu)^2$에 대해 단조가능도비. UMP 검정은 $T>c$이고 $H_0$의 경계 $\sigma^2=1$에서 $T\sim\chi^2(n)$이므로 $c=\chi^2_{n,\alpha}$.

연습 2.2 (균등분포의 단조가능도비 ★★) $\mathrm U(0,\theta)$가 $X_{(n)}$에 대해 단조가능도비를 가짐을 보이고(가능도비는 $\infty$를 허용한다), $H_0:\theta\le1$ 대 $H_1:\theta>1$의 UMP 검정 “$X_{(n)}>(1-\alpha)^{1/n}$이면 기각”을 얻어라.

풀이

$\theta_1<\theta_2$이면 $\tfrac{f(\x;\theta_2)}{f(\x;\theta_1)}=(\theta_1/\theta_2)^n$ ($x_{(n)}\le\theta_1$), $\infty$ ($\theta_1<x_{(n)}\le\theta_2$)로 $x_{(n)}$의 감소하지 않는 함수다. 정리 2.4으로 $X_{(n)}>c$가 UMP이고, $P_1(X_{(n)}>c)=1-c^n=\alpha$에서 $c=(1-\alpha)^{1/n}$.

연습 2.3 (Poisson의 UMP ★) 기병대 자료($n=280$)에서 $H_0:\lambda\le0.61$ 대 $H_1:\lambda>0.61$의 크기 0.05 UMP 검정(비확률화, 정규근사 없이)의 기각역 $T\ge c$를 구하고, 관측 $T=196$으로 결론을 내려라(9회 예제 5.3과 비교).

풀이

$H_0$의 경계 $\lambda=0.61$에서 $T\sim\mathrm{Poi}(170.8)$이고 $P(T\ge c)\le0.05$인 가장 작은 정수 $c$는 194다(실제 크기 0.043, 노트북). $T=196\ge194$이므로 크기 0.05에서 기각한다. 한쪽 $p$-값은 $P(T\ge196)=0.03$ 정도다. 9회의 양쪽 검정($p=0.05$–$0.07$)은 기각하지 못했다. 한쪽 가설을 미리 정했다면 결론이 달라진다.

연습 2.4 (불편성 ★★) 예제 2.5의 양쪽 검정 $|\bar x|>1.96/\sqrt n$은 불편임을 보여라. 한쪽 검정은 왜 양쪽 가설에 대해 불편이 아닌가?

풀이

검정력 $\gamma(\mu)=\Phi(-1.96-\sqrt n\mu)+1-\Phi(1.96-\sqrt n\mu)$는 $\mu=0$에서 최솟값 0.05를 갖는다($\gamma'(0)=0$이고 볼록). 따라서 모든 $\mu\ne0$에서 0.05 이상이다. 한쪽 검정은 $\mu<0$에서 검정력이 0.05보다 작아 불편이 아니다.

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