11회 · 충분성 · 워크북

D. 퀄형

여러 절의 도구를 잇는 종합 문제다. 머리의 제한 시간을 재고, 노트를 덮고 푼다. UMVUE를 구하는 문제는 “완비충분통계량 찾기 → 불편추정량 하나 → 조건부기댓값”의 순서를 답안에 드러낸다.

D1 지수분포의 생존확률 ★★★

정리 3.3, 5.2, 4회 정리 4.2 · 제한 40분

$X_1,\dots,X_n\iid$ Exp(평균 $\theta$), $n\ge2$이고 $c>0$은 알려진 상수다. $\tau(\theta)=P_\theta(X_1>c)=e^{-c/\theta}$의 UMVUE를 구한다. $S=\sum X_i$이다.

1. (a)

   $S$가 완비충분통계량임을 보여라.

2. (b)

   $X_1/S\sim$ 베타$(1,n-1)$이고 $X_1/S$가 $S$와 독립임을 보여라.

3. (c)

   $P(X_1>c\mid S=s)=(1-c/s)^{n-1}$ ($s>c$), $0$ ($s\le c$)임을 보이고 UMVUE를 적어라.

4. (d)

   $n=5$, $\sum x_i=10$, $c=1$이면 UMVUE의 값은 얼마인가? MLE $e^{-c/\bar x}$와 비교하라.

힌트

(b) $X_1$은 감마$(1,\theta)$, $\sum_{i\ge2}X_i$는 감마$(n-1,\theta)$이고 독립이다. 4회의 베타–감마 관계. 독립은 Basu로도 나온다($X_1/S$는 척도에 불변). (c) 베타$(1,n-1)$의 꼬리는 $P(B>u)=(1-u)^{n-1}$.

풀이

(a) 밀도 $\tfrac1\theta e^{-x/\theta}$는 자연모수 $\eta=-1/\theta\in(-\infty,0)$, $T(x)=x$인 지수족이고 자연모수 공간이 열린 구간이므로 정리 4.5로 $S$는 완비충분이다.

(b) $X_1\sim$ 감마$(1,\theta)$와 $X_2+\cdots+X_n\sim$ 감마$(n-1,\theta)$는 독립이므로 4회 정리 4.2(베타와 감마)로 $X_1/S\sim$ 베타$(1,n-1)$이고 $S$와 독립이다. Basu로도 같다. $X_1/S$는 $X_i\mapsto bX_i$에 대해 변하지 않아 보조이고 $S$는 완비충분이다.

(c) $W=1\{X_1>c\}$는 $\tau$의 불편추정량이다. (b)의 독립으로 $P(X_1>c\mid S=s)=P(X_1/S>c/s\mid S=s)=P(B>c/s)$이고, $B\sim$ 베타$(1,n-1)$의 밀도 $(n-1)(1-u)^{n-2}$를 적분하면 $(1-c/s)^{n-1}$ ($c<s$)이다. $s\le c$이면 $X_1\le S\le c$이므로 0이다. 정리 3.3으로 UMVUE는 $\varphi(S)=(1-c/S)^{n-1}1\{S>c\}$이다.

(d) $(1-0.1)^4=0.6561$. MLE는 $e^{-1/2}=0.6065$이다. 표본이 커지면 $(1-c/S)^{n-1}\approx e^{-c(n-1)/S}\to e^{-c/\theta}$로 두 추정량이 가까워진다.

최종답 (c) $(1-c/S)^{n-1}\ (S>c)$ (d) $0.9^4=0.6561$

D2 Poisson에서 “정확히 한 번”의 확률 ★★★

정리 2.1, 3.3, 4.5 · 제한 30분

$X_1,\allowbreak \dots,\allowbreak X_n\iid\mathrm{Poi}(\lambda)$이고 $\tau(\lambda)=P(X=1)=\lambda e^{-\lambda}$이다. $T=\sum X_i$이다.

1. (a)

   $\tau$의 불편추정량을 하나 찾아라.

2. (b)

   (a)에 $T$로 조건을 걸어 UMVUE $\varphi(T)$를 구하라(답의 변수는 $t$와 $n$).

3. (c)

   $\varphi$가 UMVUE인 근거를 정리 번호로 적어라.

4. (d)

   $n=10$, $T=7$이면 UMVUE의 값은 얼마인가?

5. (e)

   같은 자료에서 MLE $\tau(\bar x)$의 값을 구하고 비교하라.

힌트

$W=1\{X_1=1\}$. $T=t$가 주어지면 $X_1\sim\mathrm b(t,\tfrac1n)$이다.

풀이

(a) $W=1\{X_1=1\}$은 $E_\lambda W=\lambda e^{-\lambda}$이므로 불편이다. (b) $T=t$가 주어지면 $X_1\sim\mathrm b(t,\tfrac1n)$이므로(노트 연습 1.1) $\varphi(t)=P(X_1=1\mid T=t)=t\cdot\tfrac1n\bigl(1-\tfrac1n\bigr)^{t-1}$이다. (c) $T$는 1-모수 지수족의 완비충분통계량이고(정리 4.5), $\varphi(T)$는 불편추정량에 조건을 건 것이므로 불편이다(정리 2.1(b)). 정리 3.3으로 유일한 UMVUE다. (d) $0.7\cdot0.9^6=0.3720$이다. (e) $\bar x=0.7$이므로 $0.7e^{-0.7}=0.3476$이다. 두 값의 차는 0.024이고, $\lambda=0.7$에서 UMVUE의 표준편차 0.051보다 작다.

최종답 (b) $\tfrac Tn(1-\tfrac1n)^{T-1}$ (d) $0.7\cdot0.9^6\approx0.3720$ (e) $0.7e^{-0.7}\approx0.3476$

D3 정규분포의 $\sigma$σ와 $\mu^2$μ² ★★★

정리 3.3, 4.5, 6회 정리 2.2 · 제한 35분

$X_1,\allowbreak \dots,\allowbreak X_n\iid\N(\mu,\allowbreak \sigma^2)$, $n\ge2$이다.

1. (a)

   $ES=\sigma\sqrt{\tfrac2{n-1}}\,\dfrac{\Gamma(n/2)}{\Gamma((n-1)/2)}$임을 보여라.

2. (b)

   $\sigma$의 UMVUE가 $c_nS$, $c_n=\sqrt{\tfrac{n-1}2}\,\dfrac{\Gamma((n-1)/2)}{\Gamma(n/2)}$임을 보여라.

3. (c)

   $c_5$를 닫힌 꼴과 소수로 구하라.

4. (d)

   $\mu^2$의 UMVUE를 구하고, $n=5$, $\bar x=3$, $s^2=2$일 때 값을 구하라.

5. (e)

   (d)의 UMVUE가 음수가 될 수 있는가? 7절의 터무니없는 UMVUE와 비교하라.

힌트

(a) $(n-1)S^2/\sigma^2\sim\chi^2(n-1)$이므로 $E\sqrt{V}$, $V\sim\chi^2(k)$를 감마 적분으로 구한다. (d) $E\bar X^2=\mu^2+\sigma^2/n$.

풀이

(a) $V=(n-1)S^2/\sigma^2\sim\chi^2(n-1)$이다(6회 정리 2.2). $k=n-1$이면

$$E\sqrt V=\int_0^\infty v^{1/2}\frac{v^{k/2-1}e^{-v/2}}{\Gamma(k/2)2^{k/2}}dv=\frac{\Gamma((k+1)/2)2^{(k+1)/2}}{\Gamma(k/2)2^{k/2}}=\sqrt2\,\frac{\Gamma(n/2)}{\Gamma((n-1)/2)}$$

이고 $S=\sigma\sqrt{V/(n-1)}$이므로 주어진 식이 나온다. (b) (a)로 $c_nS$는 불편이고 $(\bar X,S^2)$는 완비충분이므로(정리 4.5) 정리 3.3으로 UMVUE다. (c) $c_5=\sqrt2\,\tfrac{\Gamma(2)}{\Gamma(5/2)}=\sqrt2\cdot\tfrac{4}{3\sqrt\pi}=\tfrac{4\sqrt2}{3\sqrt\pi}\approx1.0638$이다. $S$는 $\sigma$를 약 6% 작게 추정한다. (d) $E\bar X^2=\mu^2+\sigma^2/n$, $ES^2=\sigma^2$이므로 $\bar X^2-S^2/n$은 불편이고 UMVUE다. 값은 $9-0.4=8.6$이다. (e) $\bar X^2<S^2/n$이면 음수다. $\mu^2\ge0$인데 음수로 추정할 수 있다. 노트 예제 7.2의 $(-1)^X$처럼 불편이라는 조건이 값의 범위를 지키지 못한다. $\max(\bar X^2-S^2/n,0)$은 평균제곱오차가 더 작지만 불편이 아니다.

최종답 (c) $c_5=\tfrac{4\sqrt2}{3\sqrt\pi}\approx1.0638$ (d) $8.6$

D4 균등분포의 분포함수 값 ★★★

정리 2.1, 3.3 · 제한 35분

$X_1,\allowbreak \dots,\allowbreak X_n\iid\mathrm U(0,\allowbreak \theta)$이고 $c>0$은 알려진 상수다. $\tau(\theta)=P_\theta(X_1\le c)=\min(c/\theta,\allowbreak 1)$의 UMVUE를 구한다. $M=X_{(n)}$이다.

1. (a)

   $M=m$이 주어지면 확률 $\tfrac1n$로 $X_1=m$이고, 나머지 확률로 $X_1\sim\mathrm U(0,m)$임을 설명하라.

2. (b)

   $\varphi(m)=E\bigl[1\{X_1\le c\}\bigm|M=m\bigr]$을 구하라.

3. (c)

   $\varphi(M)$이 UMVUE인 근거를 적어라.

4. (d)

   $n=4$, $M=5$, $c=2$이면 UMVUE의 값은 얼마인가?

힌트

(a) 대칭으로 최댓값이 $X_1$일 확률은 $\tfrac1n$이고, 최댓값이 아닌 관측은 $(0,m)$에서 균등하다(8회의 순서통계량). (b) $m\le c$와 $m>c$를 나눈다.

풀이

(a) 표본은 교환가능하므로 $n$개 가운데 $X_1$이 최댓값일 확률은 $\tfrac1n$이다. $X_1$이 최댓값이 아니면, $M=m$이 주어질 때 최댓값이 아닌 $n-1$개는 $(0,m)$에서 독립인 균등분포다(독일 전차의 연속판, 노트 연습 2.2와 같은 논리). (b) $m\le c$이면 $X_1\le M\le c$이므로 $\varphi(m)=1$이다. $m>c$이면 $\varphi(m)=\tfrac1n\cdot0+\tfrac{n-1}n\cdot\tfrac cm=\tfrac{(n-1)c}{nm}$이다. (c) $1\{X_1\le c\}$는 불편이고 $M$은 완비충분이므로(예제 3.2(c)) 정리 2.1과 3.3으로 $\varphi(M)$이 UMVUE다. 직접 확인: $\theta>c$이면 $\int_0^c\tfrac{nm^{n-1}}{\theta^n}dm+\int_c^\theta\tfrac{(n-1)c}{nm}\tfrac{nm^{n-1}}{\theta^n}dm=\tfrac{c^n}{\theta^n}+\tfrac{c(\theta^{n-1}-c^{n-1})}{\theta^n}=\tfrac c\theta$이다. (d) $\tfrac{3\cdot2}{4\cdot5}=\tfrac3{10}$이다. MLE $c/M=0.4$보다 작다.

최종답 (d) $\tfrac3{10}$

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