5회 · 정규분포의 탄생과 Galton의 타원 · 워크북

A. 계산 드릴

정의와 공식을 손으로 돌린다. 답이 수나 식으로 떨어지므로 다 풀면 뒤의 최종답이나 노트북의 check()로 맞춰 본다. 표준정규표가 필요한 곳에는 값을 문제에 적어 두었다.

A1 이항분포의 정규 근사 ★

정리 1.2, 따름정리 1.3 · 10분

$S\sim\mathrm{Bin}(400,\allowbreak \tfrac12)$이다. (a) 정리 1.2의 국소 근사로 $P(S=210)$의 근삿값을 $\varphi$로 쓰고 수치를 구하라 ($\varphi(1)=0.24197$). (b) 연속성 보정을 한 정규 근사로 $P(190\le S\le210)$을 $\Phi$로 쓰고 수치를 구하라 ($\Phi(1.05)=0.85314$).

힌트

$np=200$, $\sqrt{npq}=10$이다. (b)는 정수 $190,\dots,210$이 실수축에서 $[189.5,\ 210.5]$를 차지한다는 것을 쓴다.

풀이

(a) $x_k=(210-200)/10=1$이므로 $P(S=210)\approx\varphi(1)/10=e^{-1/2}/(10\sqrt{2\pi})\approx0.02420$이다. 정확한 값은 $0.024207$로 상대오차가 $0.04\%$다.

(b) $P(190\le S\le210)\approx\Phi\bigl(\tfrac{210.5-200}{10}\bigr)-\Phi\bigl(\tfrac{189.5-200}{10}\bigr)=2\Phi(1.05)-1\approx0.7063$이다. 정확한 값은 $0.70629$이고, 보정 없이 $2\Phi(1)-1=0.6827$을 쓰면 $3\%$p 넘게 어긋난다.

최종답 (a) $\varphi(1)/10\approx0.02420$ (b) $2\Phi(1.05)-1\approx0.7063$

A2 mgf로 적률 구하기 ★

정리 1.8(ii) · 10분

$X\sim\N(\mu,\sigma^2)$이다. mgf $M_X(t)=e^{\mu t+\sigma^2t^2/2}$만 써서 (a) $EX^3$을 $\mu,\sigma$로 나타내고, (b) $E(X-\mu)^6$을 구하라.

힌트

(a)는 $M_X$를 세 번 미분해 $t=0$을 넣는다. (b)는 $X-\mu$의 mgf $e^{\sigma^2t^2/2}$를 거듭제곱급수로 펼쳐 $t^6$의 계수를 읽는 편이 빠르다.

풀이

(a) $M'=(\mu+\sigma^2t)M$, $M''=\bigl[\sigma^2+(\mu+\sigma^2t)^2\bigr]M$, $M'''=\bigl[2\sigma^2(\mu+\sigma^2t)+(\mu+\sigma^2t)\{\sigma^2+(\mu+\sigma^2t)^2\}\bigr]M$이다. $t=0$에서 $EX^3=2\sigma^2\mu+\mu(\sigma^2+\mu^2)=\mu^3+3\mu\sigma^2$이다.

(b) $e^{\sigma^2t^2/2}=\sum_k\frac{\sigma^{2k}t^{2k}}{2^kk!}$이고 $t^6$의 계수는 $\frac{\sigma^6}{8\cdot6}$이다. 이것이 $E(X-\mu)^6/6!$이므로 $E(X-\mu)^6=\frac{720}{48}\sigma^6=15\sigma^6$이다. $15=5\cdot3\cdot1$로 노트 연습 1.9의 $(2k-1)!!$와 같다.

최종답 (a) $\mu^3+3\mu\sigma^2$ (b) $15\sigma^6$

A3 두 정규의 제곱합 ★

따름정리 1.9 · 8분

$Z_1,Z_2\iid\N(0,1)$이다. (a) $P(Z_1^2+Z_2^2>4)$를 구하라. (b) $P(Z_1^2+Z_2^2\le c)=0.9$인 $c$를 구하라.

힌트

$\chi^2(2)=\Gamma(1,2)$는 평균 2인 지수분포다. 꼬리는 $P(W>w)=e^{-w/2}$이다.

풀이

따름정리 1.9로 $W=Z_1^2+Z_2^2\sim\chi^2(2)$이고, 밀도 $\tfrac12e^{-w/2}$에서 $P(W>w)=e^{-w/2}$이다. (a) $e^{-2}\approx0.1353$. (b) $e^{-c/2}=0.1$에서 $c=2\log10\approx4.605$이다.

최종답 (a) $e^{-2}\approx0.1353$ (b) $2\log10\approx4.605$

A4 두 선형결합의 결합분포 ★

정리 3.8 · 8분

$\X\sim\N_3(\bmu,\Sigma)$이고 $Y_1=X_1+X_2$, $Y_2=X_2-X_3$이다.

$$\bmu=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix},\qquad \Sigma=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&3&1\\0&1&1\end{pmatrix}$$

(a) $\Var Y_1$, (b) $\Var Y_2$, (c) $\Cov(Y_1,Y_2)$, (d) $\Corr(Y_1,Y_2)$를 구하라. $(Y_1,Y_2)$의 분포는 무엇인가?

힌트

$\mathbf Y=C\X$, $C=\smat{1&1&0\\0&1&-1}$로 쓰고 $C\Sigma C\T$를 계산한다.

풀이

$C=\smat{1&1&0\\0&1&-1}$이면 $C\bmu=(3,2)\T$이고

$$C\Sigma=\begin{pmatrix}3&4&1\\1&2&0\end{pmatrix},\qquad C\Sigma C\T=\begin{pmatrix}7&3\\3&2\end{pmatrix}.$$

(a) 7, (b) 2, (c) 3, (d) $3/\sqrt{14}\approx0.802$. 정리 3.8로 $\mathbf Y\sim\N_2\bigl((3,\allowbreak 2)\T,\allowbreak \ C\Sigma C\T\bigr)$이다.

최종답 (a) $7$ (b) $2$ (c) $3$ (d) $3/\sqrt{14}\approx0.802$

A5 독립이 되는 계수 ★

정리 3.11 · 8분

$(X_1,X_2)$는 결합정규이고 $\Var X_1=4$, $\Var X_2=1$, $\Cov(X_1,X_2)=1$이다. (a) $X_1-aX_2$가 $X_2$와 독립이 되는 $a$를 구하라. (b) $X_1+bX_2$가 $X_1-2X_2$와 독립이 되는 $b$를 구하라.

힌트

두 선형결합은 함께 결합정규이므로(정리 3.8) 공분산이 0이면 독립이다(정리 3.11).

풀이

두 선형결합 $(U,V)$는 $\X$의 선형변환이므로 결합정규이고, 정리 3.11로 독립 $\iff$ $\Cov(U,V)=0$이다. (a) $\Cov(X_1-aX_2,X_2)=1-a=0$에서 $a=1$이다. 이것은 정리 C의 $B=\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}$이다. (b) $\Cov(X_1+bX_2,\allowbreak \,X_1-2X_2)=4-2\cdot1+b\cdot1-2b\cdot1=2-b=0$에서 $b=2$이다.

최종답 (a) $a=1$ (b) $b=2$

A6 이변량 조건부분포 ★

따름정리 3.19 · 8분

$(X,Y)$는 이변량 정규이고 $\mu_X=\mu_Y=0$, $\sigma_X=2$, $\sigma_Y=3$, $\rho=0.5$이다. (a) $E[Y\mid X=2]$, (b) $\Var(Y\mid X=2)$, (c) $E[X\mid Y=3]$을 구하라.

힌트

$E[Y\mid X=x]=\rho\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}x$, $\Var(Y\mid X)=\sigma_Y^2(1-\rho^2)$. (c)는 $X$와 $Y$의 자리를 바꾼다.

풀이

따름정리 3.19로 (a) $0.5\cdot\tfrac32\cdot2=\tfrac32$, (b) $9(1-0.25)=\tfrac{27}4$, (c) $0.5\cdot\tfrac23\cdot3=1$이다. 표준화하면 $X=2$는 $z=1$, 조건부 평균 $\tfrac32$는 $Y$의 단위로 $0.5$, 곧 $\rho z$다. $Y=3$에서 $X$의 기대값 1도 $X$의 단위로 $0.5=\rho\cdot1$이다. 양쪽 방향 모두 평균 쪽으로 당겨진다.

최종답 (a) $\tfrac32$ (b) $\tfrac{27}4$ (c) $1$

A7 등상관 세 변수 ★★

정리 3.13, 3.15 · 10분

$\X\sim\N_3(\mathbf0,\Sigma)$, $\Sigma=\smat{2&1&1\\1&2&1\\1&1&2}$이다. $X_1\mid(X_2,X_3)=(1,2)$의 (a) 평균과 (b) 분산을 구하라. 정밀도행렬로 검산하라.

힌트

$\Sigma_{22}=\smat{2&1\\1&2}$의 역행렬은 $\tfrac13\smat{2&-1\\-1&2}$이다. $\Sigma^{-1}=\tfrac14\smat{3&-1&-1\\-1&3&-1\\-1&-1&3}$.

풀이

$\Sigma_{12}=(1,1)$이므로 $B=\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}=\tfrac13(1,\allowbreak 1)$이다. (a) $\bmu_{1\cdot2}=\tfrac13(x_2+x_3)=1$. (b) $\Sigma_{11\cdot2}=2-\tfrac13(1+1)=\tfrac43$.

검산: $\Lambda=\Sigma^{-1}=\tfrac14\smat{3&-1&-1\\-1&3&-1\\-1&-1&3}$에서 정리 3.15로 $1/\Lambda_{11}=\tfrac43$, $-\Lambda_{12}/\Lambda_{11}=-\Lambda_{13}/\Lambda_{11}=\tfrac13$로 일치한다.

최종답 (a) $1$ (b) $\tfrac43$

A8 정밀도행렬에서 읽기 ★★

정리 3.15 · 10분

$\X\sim\N_3(\mathbf0,\Sigma)$이고 정밀도행렬이 $\Lambda=\Sigma^{-1}=\smat{2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2}$이다. (a) $\Var(X_1\mid X_2,X_3)$, (b) $E[X_1\mid X_2=1,\,X_3=5]$, (c) $\Cov(X_1,X_3)$을 구하라. $X_1$과 $X_3$은 독립인가? $X_2$가 주어지면 어떤가?

힌트

(a)(b)는 정리 3.15로 $\Lambda$의 첫 행만 쓴다. (c)는 $\Sigma=\Lambda^{-1}$이 필요하다. $\det\Lambda=4$.

풀이

정리 3.15로 (a) $1/\Lambda_{11}=\tfrac12$, (b) $-\tfrac{\Lambda_{12}}{\Lambda_{11}}x_2-\tfrac{\Lambda_{13}}{\Lambda_{11}}x_3=\tfrac12\cdot1+0\cdot5=\tfrac12$이다. $X_3$의 값은 영향을 주지 않는다.

(c) $\Sigma=\Lambda^{-1}=\tfrac14\smat{3&2&1\\2&4&2\\1&2&3}$이므로 $\Cov(X_1,X_3)=\tfrac14\ne0$이다. 결합정규에서 무상관이 아니므로 $X_1$과 $X_3$은 독립이 아니다. 그러나 $\Lambda_{13}=0$이므로 $X_2$가 주어지면 조건부 독립이다(노트 연습 3.11). 예제 3.16과 반대 구조다.

최종답 (a) $\tfrac12$ (b) $\tfrac12$ (c) $\tfrac14$

A9 90% 확률 타원 ★

정리 3.17, 따름정리 3.18 · 8분

$\X\sim\N_2(\mathbf0,\Sigma)$, $\Sigma=\smat{4&2\\2&2}$이다. 확률 0.9를 담는 타원 $\{\x:\x\T\Sigma^{-1}\x\le c^2\}$의 (a) $c^2$과 (b) 넓이를 구하라.

힌트

$n=2$이면 $P(Q\le c^2)=1-e^{-c^2/2}$. 넓이는 $\pi c^2\sqrt{|\Sigma|}$.

풀이

(a) $1-e^{-c^2/2}=0.9$에서 $c^2=2\log10\approx4.605$. (b) $|\Sigma|=8-4=4$이므로 넓이는 $\pi\cdot2\log10\cdot2=4\pi\log10\approx28.94$이다.

최종답 (a) $2\log10\approx4.605$ (b) $4\pi\log10\approx28.94$

A10 두 정규의 혼합 ★

명제 5.4 · 8분

확률 $0.3$으로 $\N(0,1)$, 확률 $0.7$로 $\N(4,4)$에서 뽑은 $X$의 (a) 평균과 (b) 분산을 구하라. 분산 가운데 집단 평균의 차이에서 오는 몫은 얼마인가?

힌트

집단 지시변수 $I$에 대한 전분산 공식: 집단 안의 분산의 평균 + 집단 평균의 분산.

풀이

(a) $0.3\cdot0+0.7\cdot4=2.8$. (b) $E[\Var(X\mid I)]=0.3\cdot1+0.7\cdot4=3.1$, $\Var(E[X\mid I])=0.3\cdot0.7\cdot16=3.36$이므로 $6.46$이다. 평균 차이에서 오는 몫은 $3.36/6.46=52\%$다.

최종답 (a) $2.8$ (b) $6.46$

A11 오염된 정규의 첨도 ★

명제 5.3 · 10분

$\varepsilon=0.05$, $\sigma_c=5$인 오염된 정규 $f(x)=(1-\varepsilon)\varphi(x)+\tfrac{\varepsilon}{\sigma_c}\varphi(x/\sigma_c)$에서 (a) $\Var X$와 (b) 첨도 $EX^4/(\Var X)^2$을 구하라. 정규의 첨도 3과 비교하라.

힌트

$EX^2=(1-\varepsilon)+\varepsilon\sigma_c^2$, $EX^4=3\bigl[(1-\varepsilon)+\varepsilon\sigma_c^4\bigr]$.

풀이

(a) $\Var X=0.95+0.05\cdot25=2.2$. (b) $EX^4=3(0.95+0.05\cdot625)=3\cdot32.2=96.6$이므로 첨도는 $96.6/4.84=\tfrac{2415}{121}\approx19.96$이다. 자료의 5%만 표준편차가 5배인 집단에서 와도 첨도는 정규의 여섯 배를 넘는다.

최종답 (a) $2.2$ (b) $\tfrac{2415}{121}\approx19.96$

A12 시험과 재시험 ★★

따름정리 3.19 · 10분

실력 $T\sim\N(100,10^2)$, 성적 $X=T+E_1$, $Y=T+E_2$, $E_1,E_2\iid\N(0,5^2)$이 $T$와 독립이다. 첫 성적이 $X=130$인 사람에 대해 (a) $E[Y\mid X=130]$, (b) $\Var(Y\mid X=130)$, (c) $P(Y>130\mid X=130)$을 구하라 ($\Phi(0.894)=0.8144$).

힌트

$\Var X=\Var Y=125$, $\Cov(X,Y)=100$, 상관 $\rho=0.8$.

풀이

$(X,Y)$는 독립 정규 $(T,E_1,E_2)$의 선형변환이므로 결합정규이고 $\Var X=\Var Y=125$, $\Cov=100$, $\rho=0.8$이다. (a) $100+0.8\cdot30=124$. (b) $125(1-0.64)=45$. (c) $P\bigl(Z>\tfrac{130-124}{\sqrt{45}}\bigr)=1-\Phi(0.894)\approx0.186$이다. 첫 시험에서 130점을 받은 사람의 81%는 재시험에서 그보다 낮은 점수를 받는다. 실력이 변하지 않아도 그렇다.

최종답 (a) $124$ (b) $45$ (c) $1-\Phi(6/\sqrt{45})\approx0.186$

A13 사분면 확률 ★

노트 연습 3.4 · 6분

$(X_1,X_2)$가 표준화 이변량 정규이고 $\rho=0.5$이다. (a) $P(X_1>0,X_2>0)$, (b) $P(X_1>0,X_2<0)$을 구하라.

힌트

노트 연습 3.4의 식 $\tfrac14+\tfrac{\arcsin\rho}{2\pi}$. (b)는 $P(X_1>0)=\tfrac12$에서 뺀다.

풀이

(a) $\tfrac14+\tfrac{\pi/6}{2\pi}=\tfrac14+\tfrac1{12}=\tfrac13$. (b) $P(X_1>0)-P(X_1>0,\allowbreak X_2>0)=\tfrac12-\tfrac13=\tfrac16$이다. $\rho=0$이면 두 값이 모두 $\tfrac14$이다.

최종답 (a) $\tfrac13$ (b) $\tfrac16$

A14 두 정규 사이의 KL ★

명제 6.2 · 8분

$\mathrm{KL}\bigl(\N(0,\allowbreak 1)\,\Vert\,\N(1,\allowbreak 4)\bigr)$를 구하라. 순서를 바꾼 $\mathrm{KL}\bigl(\N(1,\allowbreak 4)\,\Vert\,\N(0,\allowbreak 1)\bigr)$과 같은가?

힌트

명제 6.2에서 $n=1$: $\tfrac12\bigl[\sigma_0^2/\sigma_1^2+(\mu_1-\mu_0)^2/\sigma_1^2-1+\log(\sigma_1^2/\sigma_0^2)\bigr]$.

풀이

$\tfrac12\bigl[\tfrac14+\tfrac14-1+\log4\bigr]=\log2-\tfrac14\approx0.443$이다. 순서를 바꾸면 $\tfrac12[4+1-1-\log4]=2-\log2\approx1.307$로 다르다. KL은 대칭이 아니다.

최종답 $\log2-\tfrac14\approx0.443$

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