Lecture 13. 중간 정리 — 행렬 하나를 완전히 해부하기

열두 편이 지났다. 소거를 배웠고, 분해를 배웠고, 부분공간을 정의했고, 네 부분공간의 지도까지 그렸다. 그런데 실제로 행렬 하나를 받았을 때 무엇부터 봐야 하는가.

이번 강의에서는 새 개념을 들여오지 않는다. 대신 지금까지 흩어져 있던 결과들이 사실은 소거에서 나온 하나의 수 $r$ 에서 갈라져 나온 것임을 보인다. 그 과정에서 $A$ 를 $A = CR$ 이라는 두 조각으로 쪼개는 방법을 얻는데, 이 등식 하나에 L7부터 L11까지의 이야기가 전부 들어 있다. 마지막으로 앞으로 계속 꺼내 쓸 절차 하나를 만들어 둔다.

1. 피벗 하나가 동시에 세는 세 가지¶

소거를 하면 피벗이 $r$ 개 나온다. 이 하나의 수가 왜 그렇게 많은 것을 결정하는가. 피벗이 서로 다른 세 가지를 동시에 세기 때문이다. 하나씩 확인하자.

(1) 독립인 행의 개수¶

소거는 행공간을 바꾸지 않는다. 행에 하는 연산이 전부 행들의 결합이고, 되돌릴 수도 있기 때문이다(L10의 (5)). 그러니 $A$ 의 행공간을 보려면 $R$ 의 행을 보면 된다.

$R$ 의 0이 아닌 행은 $r$ 개이고, 이들은 독립이다. 그 결합이 영벡터라고 하자.

$i$ 번째 행의 피벗이 있는 열을 보자. RREF에서는 그 열이 피벗 자리에만 1이고 나머지는 전부 0이다. 따라서 (1)의 그 자리는 $c_i \cdot 1$ 뿐이고, 이것이 0이므로 $c_i = 0$ 이다. 모든 $i$ 에 대해 같으므로 독립이다.

(2) 독립인 열의 개수¶

소거는 열 사이의 종속 관계를 바꾸지 않는다. $A\vv{x} = \vv{0}$ 과 $R\vv{x} = \vv{0}$ 의 해가 정확히 같기 때문이다(L10의 (13)). 열의 결합이 0이 되는 계수의 모임이 곧 영공간이므로, $A$ 의 열들이 만드는 종속 관계와 $R$ 의 열들이 만드는 종속 관계가 같다.

$R$ 에서 피벗열은 서로 다른 자리에 1을 하나씩 가진 표준기저벡터이므로 독립이고, 자유열은 L9의 (15)에서 보았듯 피벗열의 결합이다. 그러므로 독립인 열은 $r$ 개이다.

여기서 주의할 것이 하나 있다. 차원이 $r$ 이라는 것만 옮겨 오고, 기저는 $A$ 에서 가져와야 한다. 소거는 열공간 자체를 옮겨 버리기 때문이다(L10의 (12)).

(3) 정해지는 변수의 개수¶

$r$ 개의 열에 피벗이 있으므로 피벗 변수가 $r$ 개, 자유 변수가 $n - r$ 개이다. 자유 변수 하나에 1을 주고 나머지에 0을 주면 특수해가 하나씩 나오고, 그것들이 영공간의 기저였다(L7의 (31)).

같은 논리를 $A^{\mathsf{T}}$ 에 적용하면 된다. $A^{\mathsf{T}}$ 는 $n \times m$ 이고 랭크는 L10의 Theorem 1에 의해 역시 $r$ 이므로

이다. 네 개가 모두 $r$ 에서 나왔다.

2. 세 가지 세기를 하나의 등식으로 : $A = CR$¶

1절의 세 가지는 따로따로 증명되었다. 그런데 이것들을 등식 하나로 묶을 수 있다. 행렬 두 개를 만들자.

• $C$ — $A$ 의 피벗열을 순서대로 모은 $m \times r$ 행렬

• $R$ — $A$ 의 기약 사다리꼴에서 0이 아닌 행을 모은 $r \times n$ 행렬

이름이 겹치니 주의하자. 여기서의 $R$ 은 기약 사다리꼴 전체가 아니라 0인 행을 잘라 낸 $r \times n$ 조각이다.

증명. $A$ 의 $j$ 번째 열이 $C$ 곱하기 $R$ 의 $j$ 번째 열과 같음을 보이면 된다. 행렬 곱을 열별로 보는 L3의 방식((6))에서 $CR$ 의 $j$ 열은 $C(R \text{의 } j \text{열})$ 이기 때문이다. 두 경우로 나눈다.

$j$ 가 $i$ 번째 피벗열인 경우. 기약 사다리꼴에서 $i$ 번째 피벗열은 $i$ 행에만 1이고 나머지는 0이므로, 0인 행을 잘라 낸 $R$ 에서도 그 열은 $\vv{e}_i$ 이다. 그러면

이다. $C$ 의 $i$ 열이 곧 $A$ 의 $j$ 열이기 때문이다.

$j$ 가 자유열인 경우. 소거는 열 사이의 종속 관계를 바꾸지 않으므로, $A$ 의 $j$ 열이 피벗열들의 어떤 결합인지는 기약 사다리꼴의 $j$ 열을 그대로 읽으면 된다 (L9의 (15)). 그 $j$ 열의 성분을 $\alpha_1, \dots, \alpha_r$ 이라 하면

인데, 오른쪽의 열벡터가 바로 $R$ 의 $j$ 열이다. 두 경우 모두 성립하므로 $A = CR$ 이다. $\square$

L7의 예로 확인해 보자. 피벗열은 1열과 3열이었다.

이 등식 하나가 말해 주는 것¶

첫째, 열공간의 기저가 $C$ 의 열이다. 열별 곱셈에 의해 $A$ 의 모든 열이 $C$ 의 열의 결합이므로 $\Col(A) \subseteq \Col(C)$ 이고, $C$ 의 열은 원래 $A$ 의 열이었으므로 $\Col(C) \subseteq \Col(A)$ 이다. 두 공간이 같다.

둘째, 행공간의 기저가 $R$ 의 행이다. 같은 등식을 L3의 행별 곱셈으로 읽으면 ((8)) $A$ 의 각 행은 $R$ 의 행들을 $C$ 의 그 행 성분으로 결합한 것이다. 그러므로 $A$ 의 행공간은 $R$ 의 행공간에 들어 있고, $R$ 의 행은 소거로 얻어진 것이라 반대 포함도 성립한다.

셋째, 두 랭크가 같다는 것이 등식의 모양에서 바로 나온다. $C$ 의 열이 $r$ 개이고 $R$ 의 행이 $r$ 개이다. 같은 $r$ 이다. L10의 Theorem 1에서는 소거를 따라가며 증명했는데, $A = CR$ 로 쓰면 한 줄로 끝난다.

넷째, $A$ 가 랭크 1 행렬 $r$ 개의 합이다. 곱셈을 L3의 바깥곱으로 보면 ((12))

이다. 여기서 $\vv{c}_k$ 는 $C$ 의 열, $\vv{r}_k^{\mathsf{T}}$ 는 $R$ 의 행이다. L11에서 랭크 1 행렬이 벽돌이라고 한 것이 이것이다. 벽돌은 정확히 $r$ 개 필요하다.

3. 네 가지 경우¶

L7에서 피벗열을 앞으로 모으면 기약 사다리꼴이 $\begin{bmatrix} I & F \\ 0 & 0\end{bmatrix}$ 이 된다고 했다((25)). 여기서 $I$ 는 언제나 있고 $F$ 와 0인 행은 있을 수도 없을 수도 있다. $r$ 이 $m$, $n$ 과 같은지에 따라 네 가지가 나온다.

해의 개수는 L8의 두 결과에서 바로 읽힌다. 해집합은 $\vv{x}_p + \Nul(A)$ 이므로 (L8의 (14)), 개수는 두 가지 질문으로 정해진다. 존재하는가, 그리고 영공간이 얼마나 큰가.

두 조건을 곱하면 네 칸이 채워진다.

첫 줄이 가역행렬이다. $r = m = n$ 이면 $F$ 도 없고 0인 행도 없으므로 열을 옮길 것도 없이 기약 사다리꼴이 $I$ 이다. 이것이 L3에서 가우스-조르당으로 $A^{-1}$ 을 구할 때 쓴 조건이었다((28)). $A = CR$ 로 보면 $C = A$, $R = I$ 인 셈이라 쪼갤 것이 없다.

4. 헷갈리기 쉬운 다섯 쌍¶

열공간 vs 행공간¶

차원이 둘 다 $r$ 이라는 것(L10의 Theorem 1)이 오히려 혼동을 만든다. 차원이 같을 뿐 사는 공간이 다르다. $\Col(A)$ 는 $\R^m$ 의 부분공간이고 $\Col(A^{\mathsf{T}})$ 는 $\R^n$ 의 부분공간이다. $m \neq n$ 이면 두 공간의 원소는 길이부터 다르므로 비교할 수도 없다.

영공간 vs 좌영공간¶

$\Nul(A)$ 는 $A\vv{x} = \vv{0}$ 의 해이고 $\Nul(A^{\mathsf{T}})$ 는 $A^{\mathsf{T}}\vv{y} = \vv{0}$ 의 해이다. 전자는 입력 쪽 $\R^n$, 후자는 출력 쪽 $\R^m$ 에 산다. 좌영공간을 전치 없이 쓰면 뜻이 분명해진다.

오른쪽은 "$A$ 의 행들을 $y_i$ 로 결합했더니 0이 되었다"는 뜻이다. 소거에서 0인 행이 생기는 과정이 곧 이 결합을 찾아내는 과정이었다.

독립 vs 생성¶

독립은 너무 많지 않다는 조건이고 생성은 너무 적지 않다는 조건이다. 기저는 두 조건을 동시에 만족하는 자리이다. $\R^n$ 안의 벡터 $k$ 개에 대해

이므로 기저가 되려면 $k = n$ 이어야 한다. 이것이 차원이 유일한 이유였다(L9의 Theorem 1).

$U$ vs $R$¶

$U$ 는 피벗 아래만 0으로 만든 사다리꼴, $R$ 은 피벗 위까지 0으로 만들고 피벗을 1로 맞춘 기약 사다리꼴이다. 랭크를 세거나 $LU$ 분해를 할 때는 $U$ 로 충분하다. L7의 (28)에 나온 영공간 행렬처럼 특수해를 바로 읽어 내거나 2절처럼 $R$ 을 떼어 쓰려면 기약 사다리꼴이 필요하다.

부분공간 vs 해집합¶

$\Nul(A)$ 는 부분공간이지만 $A\vv{x} = \vv{b}$ 의 해집합은 $\vv{b} \neq \vv{0}$ 이면 부분공간이 아니다. 원점이 들어 있지 않고, 덧셈에 대해 닫혀 있지도 않다.

Figure 4의 왼쪽 그림에서 두 직선이 나란한 것이 이 사정을 보여 준다. 해집합은 부분공간을 평행이동한 것이지 부분공간 자체가 아니다.

5. 자주 하는 실수¶

마지막 것을 확인해 보자. $A = I$, $B = -I$ 이면 $\rank A = \rank B = n$ 인데 $A + B = 0$ 이라 $\rank(A + B) = 0$ 이다.

6. 해부 절차¶

지금까지의 것을 순서로 적으면 다음과 같다.

1. 크기를 적는다. $A$ 는 $m \times n$.

2. 소거해서 $R$ 을 얻고 피벗을 센다. 그 개수가 $r$.

3. 네 부분공간의 차원을 적는다. $r,\ n-r,\ r,\ m-r$.

4. 기저를 구한다. 앞의 둘은 $A = CR$ 의 두 조각이 그대로 답이다.

   • 행공간 — $R$ 의 행

   • 열공간 — $C$ 의 열, 곧 $A$ 의 피벗열

   • 영공간 — L7의 (28)에 나온 영공간 행렬 $N$ 의 열

   • 좌영공간 — $A^{\mathsf{T}}$ 를 같은 방법으로 처리

5. $\vv{b}$ 가 주어졌으면 $[A \mid \vv{b}]$ 를 소거해 $\vv{b} \in \Col(A)$ 인지 보고, 맞으면 특수해를 구해 $\vv{x}_p + \Nul(A)$ 로 답한다.

3번까지만 해도 해의 개수는 판정된다. 4번과 5번은 그 답을 구체적으로 쓰는 단계이다. 실습 파트에서 이 절차를 행렬해부(A, b) 함수 하나로 만들어 두고, 이후 강의에서 계속 쓴다.

7. 여기까지 심은 것과 회수한 것¶

하나가 남아 있다. L10에서 네 부분공간의 지도를 그리면서 행공간과 영공간을, 열공간과 좌영공간을 직각으로 놓아 두고는 왜 직각인지 설명하지 않았다. 그때는 직각이라는 말 자체를 쓸 수단이 없었다.

마치며...¶

이번 강의에서 다룬 것을 정리하면 다음과 같다.

여기서 한 번 돌아보자. 우리는 지금까지 길이도 각도도 한 번도 쓰지 않았다. 두 벡터가 얼마나 긴지, 사이각이 몇 도인지 물은 적이 없다. 오직 덧셈과 스칼라배, 그리고 거기서 나온 개념들만으로 여기까지 왔다. 부분공간을 정의했고, 차원을 셌고, 해의 개수를 판정했고, 네 부분공간의 지도를 그렸다.

다음 강의에서 내적을 도입한다. 그러면 두 벡터가 직각인지 물을 수 있게 되고, L10에서 미뤄 둔 것 — 두 쌍의 부분공간이 왜 직각으로 마주 보는지 — 을 마침내 확인할 수 있다. 지금까지 그린 모든 그림에 직각이 나타난다.

이번 강의의 내용을 파이썬으로 확인해 보려면 L13 실습 노트북으로 넘어가면 된다. $A = CR$ 을 직접 만들어 보고, 그것을 써서 행렬해부(A, b) 함수를 조립하며, 무작위 행렬로 네 경우가 모두 나오는지 시험해 볼 수 있다.