Lecture 6. 열공간과 영공간

지난 강의에서 벡터공간과 부분공간을 정의했지만, 든 예는 전부 손으로 지어낸 것이었다. 평면 $x + y + z = 0$ 이 부분공간이라는 것은 확인했어도, 그런 평면이 어디서 오는지는 말하지 않았다.

이번 강의에서는 행렬 하나가 주어지면 부분공간이 저절로 따라 나온다는 것을 본다. 이름은 열공간(column space)과 영공간(null space)이다.

그리고 이 두 개념으로 다음 문장을 얻는다.

방정식을 푸는 문제가 어떤 점이 어떤 집합에 속하는가라는 문제로 바뀐다.

1. 열공간 (Column space)¶

L1에서 $A\vv{x}$ 가 $A$ 의 열들의 선형결합이라고 하였다. $\vv{x}$ 를 이리저리 바꾸면 열들을 여러 비율로 섞을 수 있다. 그렇다면 자연스러운 질문이 하나 생긴다. 섞어서 만들 수 있는 것을 전부 모으면 무엇이 되는가?

L1의 (33)에 의해 $A\vv{x} = x_1\vv{a}_1 + \cdots + x_n\vv{a}_n$ 이므로, 이 집합은 $A$ 의 열들의 모든 선형결합의 집합과 같은 것이다. 두 표현은 같은 것을 다르게 쓴 것이다.

정말 부분공간인가¶

이름에 공간이 들어갔으니 확인해야 한다. L5의 Definition 4에 따라 두 조건을 보면 된다. 계산은 $A(\vv{u} + \vv{v}) = A\vv{u} + A\vv{v}$ 와 $A(c\vv{u}) = cA\vv{u}$ 라는 성질만 쓴다.

먼저 원점이다. $\vv{x} = \vv{0}$ 을 넣으면 $A\vv{0} = \vv{0}$ 이므로

이다. 덧셈을 보자. $C(A)$ 의 원소 두 개를 잡으면 각각 $A\vv{x}_1$, $A\vv{x}_2$ 의 꼴이다. 이 둘을 더하면

가 되어 다시 $A(\text{어떤 벡터})$ 의 꼴이므로 $C(A)$ 안에 있다. 스칼라배도 마찬가지이다.

두 조건을 모두 만족하므로 $C(A)$ 는 부분공간이다. 증명에서 쓴 것은 행렬곱의 분배법칙뿐이고 $A$ 가 어떻게 생겼는지는 전혀 쓰지 않았다. 어떤 행렬이든 열공간은 부분공간이다.

어디에 있는가¶

$A$ 가 $m \times n$ 이면 $A\vv{x}$ 는 성분이 $m$ 개인 벡터이다. 따라서

이다. 열의 개수 $n$ 이 아니라 열의 길이 $m$ 이 사는 공간을 정한다.

예제¶

L1에서 다룬 행렬을 다시 가져온다.

세 번째 열이 앞의 두 열의 합이므로, L1의 (27)에서 본 것처럼 세 열의 어떤 결합도 앞의 두 열의 결합으로 다시 쓸 수 있다. 그러므로

이고, 이것은 $\R^3$ 안의 평면이다. 그 평면의 법선은 L1의 (28)에서 구한 $\vv{n} = (-36, 15, 1)$ 이다.

2. 열공간과 해의 존재¶

이제 (1)의 문장을 확인해 보자.

$A\vv{x} = \vv{b}$ 에 해가 있다는 것은 이 식을 만족하는 $\vv{x}$ 가 존재한다는 뜻이다. 그런데 (2)의 정의를 보면 $C(A)$ 는 정확히 그런 $A\vv{x}$ 들을 모아 놓은 집합이다. 따라서 두 문장은 같은 말이다.

증명이랄 것도 없이 정의를 다시 읽은 것이다. 그러나 문제를 보는 방식이 달라진다. 지금까지는 $\vv{x}$ 를 구하려고 소거를 했는데, 이제는 $\vv{b}$ 가 어느 집합에 속하는지만 보면 된다. 소속을 판정하는 것이 방정식을 푸는 것보다 쉬운 경우가 많다.

판정해 보기¶

(7)의 $A$ 에 대해 두 우변을 시험해 보자. $C(A)$ 는 법선이 $\vv{n} = (-36, 15, 1)$ 인 평면이므로, $\vv{b}$ 가 그 위에 있는지는 내적 한 번으로 판정된다.

$\vv{b}_1$ 은 열공간 안에 있으므로 $A\vv{x} = \vv{b}_1$ 에는 해가 있다. 실제로 $\vv{b}_1 = \vv{a}_1 + \vv{a}_2$ 이므로 $\vv{x} = (1, 1, 0)$ 이 해이다. $\vv{b}_2$ 는 밖에 있으므로 해가 없다. 소거를 한 번도 하지 않고 판정했다.

3. 영공간 (Null space)¶

열공간은 우변 쪽 이야기였다. 이번에는 미지수 쪽을 본다.

부분공간인가¶

역시 확인한다. 원점은 $A\vv{0} = \vv{0}$ 이므로 언제나 들어 있다.

$\vv{x}_1, \vv{x}_2 \in N(A)$ 라 하자. 정의상 $A\vv{x}_1 = \vv{0}$ 이고 $A\vv{x}_2 = \vv{0}$ 이므로

이 되어 합도 영공간에 있다. 스칼라배도 마찬가지이다.

따라서 $N(A)$ 는 부분공간이다.

예제¶

(7)의 $A$ 에 대해 영공간을 실제로 구해 보자. 조건은 다음과 같다.

$\vv{a}_3 = \vv{a}_1 + \vv{a}_2$ 를 넣고 항을 모으면

가 된다. 여기서 $\vv{a}_1$ 과 $\vv{a}_2$ 는 서로 평행하지 않다. 만약 어느 한 계수가 0이 아니라면, 예를 들어 첫 계수를 $c \neq 0$ 이라 하고 둘째를 $d$ 라 하면 $\vv{a}_1 = -(d/c)\,\vv{a}_2$ 가 되어 두 벡터가 평행해진다. 이는 사실이 아니므로 두 계수가 모두 0이어야 한다.

$x_3$ 를 자유롭게 두면 $x_1 = -x_3$, $x_2 = -x_3$ 이므로

이다. 즉 $N(A)$ 는 $(1, 1, -1)$ 방향의 직선이다. 부호는 상수배로 흡수되므로 $(-1,-1,1)$ 과 $(1,1,-1)$ 중 어느 쪽으로 써도 같은 직선이다.

L1에서 이 행렬의 해가 무수히 많을 때 $(1, 1, -1)$ 의 배수를 더해도 해가 된다고 했는데, 그 방향이 바로 영공간이었다.

4. 두 공간은 어디에 있는가¶

여기서 자주 헷갈리는 것을 짚어 둔다. 두 공간은 서로 다른 공간에 산다.

이유는 간단하다. $C(A)$ 의 원소는 $A\vv{x}$ 이고 이것은 성분이 $m$ 개이다. $N(A)$ 의 원소는 $\vv{x}$ 자체이고 이것은 성분이 $n$ 개이다. 열공간은 도착지 쪽 이야기이고, 영공간은 출발지 쪽 이야기이다.

$A$ 가 정방행렬이면 $m = n$ 이라 둘 다 같은 $\R^n$ 안에 있게 되는데, 이 때문에 두 공간이 원래 같은 곳에 있는 것으로 오해하기 쉽다. 정방이 아닌 예를 하나 보면 분명해진다.

$B$ 는 $2 \times 3$ 이다. 열은 $(1,2)$, $(2,4)$, $(3,6)$ 인데 모두 $(1,2)$ 의 배수이므로 그 결합도 전부 $(1,2)$ 의 배수이다. 따라서 $C(B)$ 는 $\R^2$ 안의 직선이다.

영공간은 $B\vv{x} = \vv{0}$ 을 푸는 것인데, 두 번째 행이 첫 번째 행의 2배라 조건이 하나로 줄어든다.

이것은 $\R^3$ 안의 평면이다. 정리하면 다음과 같다.

5. 영공간과 가역성¶

L3에서 $A\vv{x} = \vv{0}$ 을 만족하는 $\vv{x} \neq \vv{0}$ 이 있으면 역행렬이 없다고 하였다. 이제 그 문장을 새 언어로 다시 쓸 수 있다.

왜 그런지는 영공간이 무엇을 재는지 보면 더 분명해진다. 서로 다른 두 벡터가 같은 곳으로 가는 경우를 따져 보자.

즉 영공간은 같은 곳으로 가는 두 점의 차이를 모아 놓은 집합이다. 영공간에 0이 아닌 벡터가 있다면 서로 다른 두 점이 같은 곳으로 간다는 뜻이고, 그러면 도착점만 보고 출발점을 알아낼 수 없으므로 되돌리는 변환이 존재할 수 없다.

반대로 $N(A) = \{\vv{0}\}$ 이면 (23)에 의해 $A\vv{u} = A\vv{v}$ 일 때 반드시 $\vv{u} = \vv{v}$ 이다. 서로 다른 점은 서로 다른 곳으로 간다.

L3에서 정육면체가 납작해지는 것을 보았는데, 납작해지는 방향이 바로 영공간이다.

6. 우변이 0이 아닐 때의 해집합¶

영공간은 $A\vv{x} = \vv{0}$ 의 해집합이었고, 부분공간이었다. 그러면 $\vv{b} \neq \vv{0}$ 일 때 $A\vv{x} = \vv{b}$ 의 해집합도 부분공간인가?

아니다. $\vv{x} = \vv{0}$ 을 넣으면 $A\vv{0} = \vv{0}$ 인데 이것은 $\vv{b}$ 가 아니다. 즉 원점이 해가 아니므로, L5에서 본 것처럼 부분공간일 수 없다.

그러면 무엇인가. 해가 하나라도 있다고 하고 그것을 $\vv{x}_p$ 라 하자. $\vv{x}$ 가 또 다른 해라면

이므로 $\vv{x} - \vv{x}_p \in N(A)$ 이다. 거꾸로 $\vv{x}_n \in N(A)$ 를 아무거나 잡으면

이므로 $\vv{x}_p + \vv{x}_n$ 도 해이다. 양쪽을 합치면 해집합이 정확히 무엇인지 나온다.

즉 해집합은 영공간을 해 하나만큼 평행이동한 것이다. 부분공간은 아니지만 부분공간을 옮겨 놓은 것이라 모양은 같다. 영공간이 직선이면 해집합도 직선이고, 평면이면 평면이다.

(7)의 예로 확인해 보자. $\vv{b}_1 = (3,7,3)$ 에 대해 $\vv{x}_p = (1,1,0)$ 이 해였고, $N(A)$ 는 $(1,1,-1)$ 방향의 직선이었다. 따라서 해집합은 다음과 같다.

L1에서 "해 하나를 찾았다면 $(1,1,-1)$ 의 아무 배수를 더해도 해가 된다"고 한 것이 바로 이 식이다.

여기까지는 $\vv{x}_p$ 와 $N(A)$ 를 이미 알고 있다고 가정하고 이야기했다. 실제로 그것들을 어떻게 구하는지는 아직 다루지 않았다.

마치며...¶

이번 강의에서 다룬 것을 정리하면 다음과 같다.

그리고 세 가지 결과를 얻었다.

• $A\vv{x} = \vv{b}$ 에 해가 있다는 것은 $\vv{b} \in C(A)$ 라는 뜻이다

• 영공간이 원점보다 크면 서로 다른 두 점이 같은 곳으로 가고, 역행렬이 없다

• $\vv{b} \neq \vv{0}$ 일 때 해집합은 $\vv{x}_p + N(A)$, 즉 영공간을 평행이동한 것이다

마지막 결과는 해집합의 모양을 알려 주지만, $\vv{x}_p$ 와 $N(A)$ 를 어떻게 구하는지는 말해 주지 않는다. 지금까지는 세 번째 열이 앞의 두 열의 합이라는 것이 눈에 보이는 예제만 다루었다. 그런 관계가 보이지 않는 행렬이라면 어떻게 해야 하는가.

다음 강의에서는 $A\vv{x} = \vv{0}$ 을 소거로 푸는 방법을 다룬다. 거기서 피벗 변수와 자유 변수라는 구분이 나오고, 영공간의 모양이 그 구분에서 결정된다.

이번 강의의 내용을 파이썬으로 확인해 보려면 L6 실습 노트북으로 넘어가면 된다. 무작위 $\vv{x}$ 를 많이 만들어 $A\vv{x}$ 가 정말 한 평면 위에만 떨어지는지 보고, $\vv{b}$ 가 열공간 안에 있는지를 판정하는 함수를 직접 만들어 볼 수 있다.