Lecture 1. 연립방정식의 기하학

선형대수(Linear Algebra)는 연립방정식(system of linear equations)을 다루는 것에서 출발한다. 미지수가 $n$개이고 식도 $n$개인 연립방정식을 푸는 방법 자체는 우리가 이미 여러 번 해 온 것이라 익숙하다. 중고등학교에서 대입법이나 소거법으로 다뤄 본 내용이다.

이번 강의에서 다룰 것은 푸는 방법이 아니라 연립방정식을 어떤 관점에서 볼 것인가이다. 같은 연립방정식이라도 이를 보는 관점은 크게 두 가지가 있다. 하나는 방정식을 한 행(row)씩 보는 Row picture이고, 다른 하나는 계수를 열(column) 단위로 묶어서 보는 Column picture이다.

이번 강의에서는 2×2 시스템과 3×3 시스템에 대해 이 두 관점을 각각 살펴보고, 마지막으로 행렬과 벡터의 곱 $A\vv{x}$가 무엇을 뜻하는지 정리해 보도록 하자.

1. 연립방정식을 행렬로 나타내기¶

다음과 같이 식이 두 개, 미지수가 두 개인 시스템을 생각해 보자.

이 식에서 미지수의 계수만 모으면 $2 \times 2$ 행렬이 되고, 미지수와 우변은 각각 벡터로 쓸 수 있다.

이렇게 두면 시스템 전체를 다음과 같이 간단히 쓸 수 있다.

여기서 $A$를 계수행렬(coefficient matrix), $\vv{x}$를 미지수 벡터, $\vv{b}$를 우변 벡터라고 한다.

이 표기가 원래 식과 같은 내용인지 곱을 풀어서 확인해 보자. 행렬과 벡터의 곱은 각 행과 벡터를 성분끼리 곱해서 더하는 것이므로

이다. 이 벡터가 $\vv{b} = (0, 3)$ 과 같다는 것은 성분끼리 같다는 뜻이므로, 첫 성분에서 $2x - y = 0$ 이고 둘째 성분에서 $-x + 2y = 3$ 이다. (1)의 두 식과 정확히 같다.

앞으로 다룰 대부분의 문제는 이 형태로 정리된다.

2. Row picture¶

Row picture는 연립방정식을 한 행씩, 즉 한 방정식씩 보는 관점이다.

첫 번째 행은 $2x - y = 0$ 이다. $y$ 에 대해 정리하면

이므로 원점을 지나고 기울기가 2 인 직선이다. 두 번째 행 $-x + 2y = 3$ 도 같은 방법으로 정리하면

이 되어 기울기가 $1/2$ 이고 $y$ 절편이 $3/2$ 인 직선이다.

두 식을 동시에 만족하는 점은 두 직선이 함께 지나는 점, 즉 교점이다. 교점은 두 식을 연립해서 구한다. (5)의 $y = 2x$ 를 (6)의 $y$ 자리에 넣으면

이고, 이 값을 (5)에 넣으면 $y = 2 \cdot 1 = 2$ 이다. 따라서 해는 $(x, y) = (1, 2)$ 이다. 원래 두 식에 대입해 보면 $2 \cdot 1 - 2 = 0$ 이고 $-1 + 2 \cdot 2 = 3$ 이므로 둘 다 성립한다.

Figure 1에서도 두 직선이 $(1, 2)$ 에서 만나는 것을 볼 수 있다.

결론적으로 Row picture에서 각 행은 하나의 직선을 나타내고, 해는 그 직선들의 교점이다. 미지수가 세 개인 3차원 시스템이라면 각 행은 직선이 아니라 평면이 되고, 해는 세 평면의 교점이 된다.

3. Column picture¶

이번에는 같은 식의 항을 다른 방식으로 묶어 보자. $x$가 곱해진 항끼리, $y$가 곱해진 항끼리 세로로 모으면 다음과 같이 쓸 수 있다.

새로운 식을 유도한 것이 아니다. 스칼라를 벡터에 곱하고 두 벡터를 더한다는 정의를 그대로 적용해서 좌변을 풀어 보자.

이 벡터가 $(0, 3)$ 과 같다는 조건은 첫 성분에서 $2x - y = 0$, 둘째 성분에서 $-x + 2y = 3$ 이다. (1)의 두 식과 같은 내용이고, 항을 묶는 방향만 다르다. (4)의 결과와 비교해 보면 두 방식이 같은 곳에 도착한다는 것도 알 수 있다.

(8)의 좌변은 두 개의 벡터에 각각 스칼라를 곱해서 더한 형태이다. 이런 형태를 선형결합(Linear Combination)이라고 한다.

그러면 이 식은 무엇을 묻고 있는가? 결국 알아내야 할 것은, 좌변의 두 벡터를 어떤 비율로 결합해야 우변의 벡터가 만들어지는가이다. $x = 1$, $y = 2$를 넣어 보면

가 되어 우변과 일치한다.

Row picture에서 해 $(1, 2)$는 두 직선의 교점이었다. Column picture에서 같은 해 $(1, 2)$는 두 열벡터를 결합하는 계수이다. 같은 방정식이므로 해는 당연히 같고, 해가 무엇을 나타내는지가 다를 뿐이다.

여기서 한 가지를 더 생각해 보자. 위에서는 $x$와 $y$를 특정한 값으로 고정했다. 만약 $x$와 $y$에 아무 실수나 넣을 수 있다면 좌변은 어떤 벡터들을 만들어낼 수 있는가?

우변에 아무 벡터 $(b_1, b_2)$ 를 놓고 풀 수 있는지 따져 보면 답이 나온다. (9)에 의해 이 문제는 다음 연립방정식과 같다.

첫 식을 2배 해서 둘째 식에 더하면 $y$ 가 지워진다.

같은 방법으로 첫 식에 둘째 식의 2배를 더하면 $x$ 가 지워진다.

분모의 3 은 $\vv{b}$ 와 무관하게 정해지는 값이고 0이 아니다. 따라서 우변이 어떤 벡터로 바뀌더라도 해가 존재한다. 두 열벡터의 선형결합이 평면 전체를 만들어낸다는 뜻이다. $b_1 = 0$, $b_2 = 3$ 을 넣으면 $x = 3/3 = 1$, $y = 6/3 = 2$ 로 앞에서 구한 해와 같다.

여기서 분모 3 이 어디서 왔는지 눈여겨볼 만하다. 계수를 따라가 보면 $2 \cdot 2 - (-1)(-1) = 3$ 이다. 이 값이 0이 아닌 것은 두 열이 같은 직선 위에 있지 않기 때문이다. 만약 두 열이 평행했다면 이 값이 0이 되어 위의 나눗셈을 할 수 없게 된다.

4. 3차원에서의 Row picture¶

이번에는 미지수가 세 개인 시스템을 보자.

각 행은 3차원 공간에서 하나의 평면(plane)을 나타낸다. 왜 평면인지 확인해 보자.

첫 번째 식 $x + 2y + 3z = 6$ 의 좌변은 벡터 $\vv{n} = (1, 2, 3)$ 과 $\vv{x} = (x, y, z)$ 의 내적으로 볼 수 있다.

이 식을 만족하는 점 하나를 아무거나 잡아 $\vv{p}$ 라 하자. 예를 들어 $\vv{p} = (0, 0, 2)$ 는 $3 \cdot 2 = 6$ 이므로 이 식을 만족한다. 그러면 $\vv{n} \cdot \vv{p} = 6$ 이므로, 다른 점 $\vv{x}$ 가 같은 식을 만족할 조건을 다음과 같이 바꿔 쓸 수 있다.

마지막 식은 $\vv{x} - \vv{p}$ 가 $\vv{n}$ 과 수직이라는 뜻이다. 즉 이 식을 만족하는 점들은 $\vv{p}$ 에서 출발해 $\vv{n}$ 에 수직인 방향으로만 이동한 점들이고, 그 모임이 평면이다. 이때 $\vv{n}$ 을 그 평면의 법선벡터(normal vector)라 한다. 법선벡터는 계수행렬의 한 행이 그대로 된다는 점을 기억해 두자.

나머지 두 행도 각각 평면이고, 세 평면이 공통으로 지나는 점이 이 시스템의 해가 된다.

해 구하기¶

미지수를 하나씩 지워 가며 풀어 보자. 먼저 둘째 식과 셋째 식에서 $x$ 를 없앤다. 둘째 식에서 첫째 식의 2배를 빼고, 셋째 식에서 첫째 식의 6배를 빼면 된다.

이제 미지수가 두 개인 식 두 개가 남았다.

여기서 $y$ 를 없앤다. 둘째 식에 첫째 식의 15배를 더하면

이므로 $-77z = -154$, 즉 $z = 2$ 이다. 이 값을 $y - 4z = -8$ 에 넣으면 $y - 8 = -8$ 이므로 $y = 0$ 이고, 다시 첫째 식에 넣으면 $x + 0 + 6 = 6$ 이므로 $x = 0$ 이다.

세 식에 대입해 보면 $6 = 6$, $4 = 4$, $2 = 2$ 가 되어 모두 성립한다. 이렇게 미지수를 하나씩 지워 가며 푸는 절차는 다음 강의에서 소거법이라는 이름으로 정리한다.

여기서 3차원 그림을 다룰 때 주의할 점이 하나 있다. 3차원 그림은 보는 각도에 따라 다르게 보인다. 어떤 각도에서는 평면 한 장이 거의 선처럼 납작하게 보여서 두 장만 있는 것처럼 보이기도 하고, 세 평면이 만나는 점이 다른 평면에 가려서 보이지 않기도 한다. 따라서 그림 한 장만으로 판단하지 말고 여러 각도에서 확인해야 한다. 실습 노트북에는 이 그림을 마우스로 회전시킬 수 있도록 해 두었다.

미지수가 더 늘어나면 Row picture는 그림으로 나타내기 어렵다. 미지수가 네 개이면 각 방정식은 4차원 공간 안의 3차원 초평면(hyperplane)이 되고, 이것을 종이 위에 그릴 방법은 없다.

5. 3차원에서의 Column picture¶

같은 시스템의 항을 열로 묶으면 다음과 같다.

3차원 벡터 세 개를 결합해서 우변의 벡터를 만드는 문제이다. 해가 $(0, 0, 2)$이므로 첫 번째와 두 번째 열은 쓰지 않고 세 번째 열만 2배 하면 된다는 뜻이다. 실제로 계산해 보면

가 되어 우변과 일치한다.

Column picture는 미지수가 늘어나도 형태가 달라지지 않는다. 미지수가 아홉 개라면 아홉 개의 벡터를 결합하는 문제가 되고, 벡터의 차원과 개수만 늘어날 뿐 주어진 벡터들을 결합해서 목표 벡터를 만든다는 구조는 그대로 유지된다.

6. 모든 $\vv{b}$에 대해 해가 존재하는가¶

지금까지는 우변 $\vv{b}$가 주어진 상태에서 해를 구했다. 이번에는 질문을 바꿔 보자. $\vv{b}$를 아무 벡터로 바꾸어도 항상 해가 존재하는가?

Column picture로 보면 이 질문은 다음과 같이 바뀐다. $A$의 세 열의 선형결합으로 3차원 공간의 모든 벡터를 만들어낼 수 있는가?

세 열벡터가 한 평면 위에 놓여 있지 않다면 답은 '그렇다’이다. 세 벡터를 적절히 결합하면 3차원 공간의 어느 점에도 도달할 수 있다. 4절과 5절에서 다룬 시스템이 그런 경우이다.

그러나 세 열벡터가 모두 한 평면 위에 놓여 있다면 상황이 달라진다. 예를 들어 다음 행렬을 보자.

세 번째 열이 첫 번째 열과 두 번째 열의 합으로 되어 있다.

이 사실이 왜 문제가 되는지 식으로 확인해 보자. 세 열을 $\vv{a}_1, \vv{a}_2, \vv{a}_3$ 이라 하면 $\vv{a}_3 = \vv{a}_1 + \vv{a}_2$ 이므로, 세 열의 임의의 결합을 다음과 같이 두 개짜리 결합으로 다시 쓸 수 있다.

$x, y, z$ 에 무엇을 넣든 결과는 언제나 $\vv{a}_1$ 과 $\vv{a}_2$ 의 선형결합이다. 도달할 수 있는 곳은 이 두 벡터가 만드는 평면뿐이고, 세 번째 열은 그 평면을 넓히는 데 아무 기여도 하지 못한다.

그 평면이 어떤 평면인지는 법선벡터로 나타낼 수 있다. $\vv{a}_1$ 과 $\vv{a}_2$ 에 동시에 수직인 벡터를 외적으로 구하면 다음과 같다.

도달 가능한 점 $\vv{v}$ 는 모두 $\vv{a}_1$ 과 $\vv{a}_2$ 의 결합이므로 $\vv{n} \cdot \vv{v} = 0$ 을 만족한다. 이것이 (18)에서 본 평면의 조건이다.

이제 우변이 $\vv{b} = (6, 4, 2)$ 인 경우를 확인해 보자.

0이 아니므로 $\vv{b}$ 는 그 평면 위에 있지 않다. 세 열을 아무리 결합해도 $\vv{b}$ 에 도달할 수 없으므로 이 시스템에는 해가 없다.

반대로 $\vv{b}$ 가 그 평면 위에 있다면 해가 존재한다. 그런데 이때 해는 하나로 정해지지 않는다. (26)의 양변을 한쪽으로 옮겨 쓰면

이다. 즉 계수 $(1, 1, -1)$ 로 결합하면 영벡터가 된다. 그러므로 해 $(x_0, y_0, z_0)$ 를 하나 찾았다면, 거기에 $(1, 1, -1)$ 의 아무 배수를 더해도 여전히 해가 된다.

$t$ 가 어떤 실수여도 성립하므로 해는 무수히 많다.

정리하면 $\vv{b}$ 가 그 평면 밖에 있으면 해가 없고, 평면 위에 있으면 해가 무수히 많다. 해가 정확히 하나인 경우는 없다.

이렇게 열들이 공간 전체를 만들어내지 못하는 행렬을 특이행렬(singular matrix)이라고 하며, 이 경우 역행렬이 존재하지 않는다.

같은 상황을 Row picture 쪽에서 보면 어떻게 되는가? 세 평면이 한 점에서 만나지 않고 삼각기둥의 옆면처럼 배치되거나, 한 직선을 함께 지나게 된다. 두 관점 모두 같은 사실을 다르게 표현한 것이다.

7. $A\vv{x}$는 무엇인가¶

마지막으로 행렬과 벡터의 곱 $A\vv{x}$를 정리하고 넘어가자.

$A\vv{x}$를 계산하는 방법은 보통 다음과 같이 배운다. 결과 벡터의 $i$번째 성분은 $A$의 $i$번째 행과 $\vv{x}$의 내적(dot product)이다.

한편 Column picture는 같은 계산을 다음과 같이 본다.

두 식이 같은 결과를 준다는 것은 성분을 따라가면 확인된다. (33)의 우변에서 $i$ 번째 성분만 꺼내 보자. 벡터의 합의 $i$ 번째 성분은 각 벡터의 $i$ 번째 성분의 합이고, $\vv{a}_j$ 의 $i$ 번째 성분은 $a_{ij}$ 이므로

가 되고, 이것은 (32)의 우변과 같다. 두 식은 같은 계산을 다르게 묶어 쓴 것이다. 벡터를 통째로 다루느냐 성분 하나씩 다루느냐의 차이뿐이다.

다만 이 교재에서는 (33)의 관점을 기준으로 삼는다. Column picture가 곧 이 식이기 때문이다.

마치며...¶

이번 강의에서는 연립방정식을 보는 두 가지 관점을 살펴보았다. 정리하면 다음과 같다.

두 관점은 같은 방정식을 다르게 묶은 것이므로 해는 같다. 다만 미지수가 많아지면 Row picture는 그림으로 나타내기 어려운 반면, Column picture는 벡터를 결합한다는 구조가 그대로 유지된다.

또한 $A$의 열들이 한 평면 안에 갇히는 경우, 즉 특이행렬인 경우에는 $\vv{b}$에 따라 해가 없을 수도 있고 무수히 많을 수도 있다는 것을 확인하였다.

여기까지 우리는 해를 그림으로 확인하거나 대입해서 맞춰 보았다. 미지수가 두세 개일 때는 그렇게 할 수 있지만, 개수가 많아지면 이 방법은 쓸 수 없다. 다음 강의에서는 연립방정식을 기계적으로 푸는 방법인 소거법(Elimination)에 대해 알아보도록 하자.

이번 강의의 내용을 파이썬으로 직접 확인해 보려면 L1 실습 노트북으로 넘어가면 된다. 위의 3차원 그림들을 마우스로 회전시켜 볼 수 있고, 결합 계수를 슬라이더로 바꿔 가며 확인할 수 있다.