AN INTERACTIVE FIELD GUIDE / SPATIAL EDITION NOW IN THREE DIMENSIONS

생산함수 추정, 그 질문의 역사

보이지 않는
생산성을,
어떻게 추정할까.

한 줄의 생산함수 뒤에 숨은 90여 년의 논쟁.
기술의 표면을 돌리고, 기업의 선택을 드러내며
보이지 않는 생산성을 공간으로 이해하는 여정.

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FIG. 00 / THE PRODUCTION LANDSCAPE3D VIEW

표면은 기준 기술, 점은 기업의 관측값.
드래그로 회전 · 교육용 모의자료

07 CHAPTERS20 SEMINAL PAPERS대학원 미시계량 · 산업조직전체 계보 먼저 보기 ↗

00 / THE GEOMETRY OF IDENTIFICATION

같은 자료.
다른 차원의 이해.

기술은 표면이고, 자료는 기업의 선택이다.
네 장면을 따라가며 둘 사이의 차이를 탐색하세요.

PRODUCTION OBSERVATORY01 / 04

기술의 표면

K · L · Q / LEVELS

2D 등량곡선 보기 · 본문과 아래 실험을 통해 같은 개념을 살펴볼 수 있습니다.

기준 생산함수 기업 관측값 생산성에 따른 산출 차이

공통 생산성 이동 ω̄0.00 노동 선택과 생산성의 상관 ρ0.60

공통 생산성을 움직이면 같은 투입에서 가능한 산출이 달라집니다.

개념 실험 · 최적화에서 추정한 기업행동이 아닌, 관계를 드러내기 위해 설계한 모의자료입니다. 산출 충격 ε는 생략했습니다.

SCENE 01 / THE TECHNOLOGY

표면은
생산의 가능성을 나타낸다.

자본 K와 노동 L의 조합마다 하나의 기준 산출 Q가 대응한다. Cobb–Douglas 기술을 공간에 펼치면 곡면이 된다.

공통 생산성 ω̄를 바꾸면 표면이 이동한다. 투입을 더 쓰는 것과, 같은 투입으로 더 생산하는 것은 공간에서도 다른 움직임이다.

TRY THIS ω̄ 슬라이더를 움직여 표면의 높이가 어떻게 변하는지 보세요.

SCENE 02 / THE OBSERVATIONS

우리는 표면 전체가 아닌,
기업의 선택을 본다.

점 하나는 기업 하나의 자본·노동·산출 조합이다. 기업별 생산성 ωᵢ가 다르므로 관측점은 기준 표면의 위아래에 놓인다.

이 실험에서 자본의 로그 편차는 생산성·노동 혁신과 직교하게 구성하고, 노동은 ρ가 커질수록 생산성과 함께 움직이게 만들었다. 높은 생산성의 기업이 많은 노동을 쓰는 선택의 패턴이다.

TRY THIS ρ를 0에서 0.9까지 움직이세요. 기술계수는 그대로인데 점의 배치는 바뀝니다.

SCENE 03 / THE LATENT COMPONENT

점과 표면 사이,
보이지 않던 차이.

수직선은 같은 K·L에서 기업의 산출과 기준 표면의 산출이 얼마나 다른지 보여준다. 여기서는 우리가 모의자료를 만들었으므로 그 원인을 알고 있다.

화면은 수준 단위다. 따라서 선의 길이 자체는 ωᵢ가 아니라 산출 차이 Qᵢ−Q̄다. 실제 자료에서는 기술도 미지이므로, 이 선을 그리는 일부터 식별 문제다.

LOOK CLOSER 아래 표면과 점의 높이를 비교하세요. 잔차를 안다는 것과 생산성을 식별했다는 것은 다릅니다.

SCENE 04 / THE PROJECTION

차원을 접으면,
무엇이 사라질까.

정면에서 바라보면 자본 축이 시야 뒤로 숨는다. 같은 노동에서도 자본과 생산성의 차이로 산출이 달라지지만, 2차원 산점도만으로 그 원인을 구분하기 어렵다.

투영은 생산함수 추정량이 아니다. 관측되는 관계가 기술의 인과적 효과와 같지 않을 수 있다는 기하학적 설명이다. 다음 장에서는 이 문제를 OLS 편의와 적률조건으로 정식화한다.

이제, 식별의 문제로 ↓

01 / THE IDENTIFICATION PROBLEM

기업은 알고 있다.
연구자는 모르는 것을.

생산성이 높은 기업은 더 많은 투입을 선택한다.
이 단순한 사실이 회귀계수의 해석을 바꾼다.

MARSCHAK & ANDREWS · 1944

기술을 추정하는가,
선택을 관측하는가?

기업은 자신의 생산성 를 보고 노동과 중간재를 선택한다. 연구자는 투입과 산출만 본다. 그래서 산출과 투입의 상관관계에는 기술적 효과와 기업의 선택이 함께 들어 있다.

단순화한 단일 투입 모형에서는 OLS의 확률극한을 다음처럼 분해할 수 있다.

여기서는 ε와 x가 직교한다고 가정한다. 다중 투입 모형에서 개별 계수의 편의 방향은 일반적으로 단정할 수 없다.

READ THE FIGURE

오른쪽에서 투입 선택과 생산성의 상관을 높여보자. 기술 자체를 바꾸지 않아도 OLS 선은 가팔라진다.

LAB 01

선택이 만드는 기울기

직접 조작

02 / AN INTELLECTUAL GENEALOGY

하나의 답이,
다음 질문이 되다.

기술의 측정, 기업의 선택, 시장의 힘.
세 갈래의 문헌이 만나 현대의 추정법을 만든다.

생산기술 · 식별 기업 동학 · 재배분 수요 · 시장지배력논문을 선택하면 상세 해설이 열립니다 ↗

연결선은 이 사이트의 개념적 읽기 경로입니다. 직접 인용 관계의 전수조사가 아니며, 2D 지도에서는 연도 간 간격을 가독성을 위해 조정했습니다.

03 / THE CONTROL-FUNCTION REVOLUTION

관측되지 않는 것을
선택으로 역산하기.

스크롤을 내리며 OP → LP → ACF → GNR의 질문을 따라가세요.
같은 문제가 다른 가정 아래 어떻게 변하는지 살펴봅니다.

IDENTIFICATION NOTE01 / 04

1996

선택을 뒤집다.

가정이 바뀌면, 식별되는 대상도 바뀐다.

01 — INVESTMENT AS A PROXY

Olley & Pakes 1996

투자는 생산성에 반응한다. 자본을 고정했을 때 투자가 생산성에 대해 엄격히 증가한다면, 투자함수를 뒤집어 생산성을 관측변수의 함수로 표현할 수 있다.

여기서 투자는 도구변수가 아니라 생산성을 통제하는 대리변수다. 생산성의 Markov 과정과 투입 시점에 대한 조건이 이후 식별을 뒷받침한다. 생존확률도 추정해 선택적 퇴출을 다룬다.

가정의 가격 스칼라 미관측 생산성 · 조건부 단조성 · 양의 투자 구간 · 생존 선택 모형.

02 — INTERMEDIATE INPUTS AS A PROXY

Levinsohn & Petrin 2003

투자는 불연속적이고 0인 관측치가 많다. 더 자주 조정되는 중간재 수요를 생산성의 대리변수로 사용할 수 있을까?

대리변수를 바꾸면 사용 가능한 관측치가 늘어난다. 하지만 중간재 수요에 영향을 주는 가격과 다른 충격, 노동의 결정 시점은 여전히 중요하다.

다음 질문 노동도 같은 상태변수들의 함수라면, 첫 단계에서 노동의 효과를 별도로 구별할 수 있을까?

03 — FUNCTIONAL DEPENDENCE

Ackerberg, Caves & Frazer 2015

유연한 통제함수가 노동의 변동까지 흡수하면, 첫 단계 회귀를 잘 적합하더라도 노동계수가 식별되지 않을 수 있다.

ACF는 적절한 투입 시점과 정보집합을 명시하고 생산성 혁신에 대한 적률조건으로 계수를 식별한다. 이는 OP·LP가 언제나 실패한다는 주장이 아니다.

핵심 구분 좋은 적합도 ≠ 식별. 어떤 투입 변동이 생산성 혁신과 직교하는지를 먼저 설명해야 한다.

04 — GROSS OUTPUT IDENTIFICATION

Gandhi, Navarro & Rivers 2020

중간재를 명시적으로 포함하는 총산출 생산함수에는 또 다른 식별 문제가 있다. 유연투입이 상태변수와 생산성으로 결정되면, 표준 대리변수 접근만으로는 독립적인 변동이 부족할 수 있다.

GNR은 추가적인 유연투입 수요 변동의 필요성을 보이고, 최적화의 1계 조건을 변형한 비모수적 식별 전략을 제시한다.

해석의 경계 GNR의 기준 모형은 경쟁적 산출·투입시장 등의 조건을 사용한다. 이를 가변 마크업 환경으로 그대로 옮길 수는 없다.

A CLOSER LOOK / INVERTIBILITY

대리변수는 어떻게
생산성을 드러내는가?

자본과 다른 관련 상태를 고정한 단면.
관측한 투입에서 보이지 않는 생산성으로
거슬러 올라가는 논리를 직접 살펴보세요.

04 / INFORMATION SETS MATTER

추정의 핵심은,
기업의 시계에 있다.

변수 이름보다 중요한 것은 선택 시점이다.
생산성 혁신과 직교하는 정보가 유효한 도구의 출발점이다.

t − 1

자본을 결정

과거 정보에 기초한 투자로
다음 기의 자본이 정해진다.

START OF t

생산성을 관측

기업이 ω_t를 관측한다.
연구자는 이를 보지 못한다.

WITHIN t

유연투입을 선택

노동·중간재가 생산성에 반응한다.
노동의 시점은 모형마다 다르다.

END OF t

산출이 실현

선택 당시 예측하지 못한
산출 충격 ε_t가 실현된다.

예시적 timing입니다. ξ_t는 생산성 혁신, ε_t는 선택 이후 산출 충격입니다. 두 오차를 구분하고, Z_t의 유효성은 선택한 정보집합에서 정당화해야 합니다. 이 조건만으로 충분한 식별이 보장되는 것도 아닙니다.

05 / FROM PRODUCTIVITY TO MARKET POWER

생산성이 높은가.
가격이 높은가.

매출은 생산량이 아니다.
생산성 추정은 이 지점에서 산업조직론과 만난다.

HALL → DE LOECKER & WARZYNSKI → BOND ET AL.

생산탄력성에서
마크업으로.

마크업은 가격을 한계비용으로 나눈 값이다. 비용을 최소화하고 가변투입에 조정 마찰이 없으며 그 투입의 가격을 주어진 것으로 받아들이는 기업을 생각하자.

필요한 것은 물리적 산출의 탄력성 θ^V와 매출 대비 투입 지출 비중 α^V다. 산업 물가지수로 나눈 매출에도 기업별 상대가격은 남아 있다.

1계 조건에서 공식 유도하기 ＋

투입시장의 가격수용, 비용최소화, 내부해와 유연투입이라는 조건을 확인해야 한다. 지출 항목의 분류도 경험적으로 중요하다.

THE REVENUE TRAP

매출탄력성을 이 공식에 대입하면 물량 탄력성과 다른 대상을 사용하게 된다. 수요·가격에 대한 정보나 추가 제약 없이 이를 자동으로 해결할 수는 없다.

LAB 03

마크업의 산술

직접 조작

QUANTITYQ

물리적으로 얼마나 생산했는가

PRICEP

시장이 얼마를 지불하는가

REVENUER

우리가 흔히 관측하는 매출

06 / THE READING ROOM

이제, 원문으로.

질문을 가지고 읽으면 수식이 연결된다.
논문별 가정과 한계, 원문 링크를 모았습니다.

NEW / THE PAPER ATLAS20편의 논문을 수식 유도 · 시뮬레이션 · 현실의 지표까지 깊이 읽기→

YEARPAPER / CONTRIBUTIONREAD

서지 연도는 정식 출판 기준입니다. 일부 원문 링크는 공개 working paper 버전으로 연결됩니다. 저장한 논문은 이 브라우저에만 보관됩니다.

SUGGESTED ROUTE

처음 읽는다면, 이 순서로.

문제 정의 → OP / LP → ACF / GNR → 가격과 매출 → 마크업

수학적 준비: 조건부기댓값, 도구변수·GMM, 동태적 최적화. 이 초안의 시뮬레이션은 식별 논리를 설명하며 논문 추정량의 복제를 제공하지 않습니다.

보이지 않는생산성을,어떻게 추정할까.

같은 자료.다른 차원의 이해.