보강 4-1. 세상을 Ax=b 로 옮겨 적기 - 선형대수

서른일곱 편 동안 우리는 행렬이 주어진 뒤의 이야기를 했다. $A$ 가 책상에 놓여 있으면 무엇을 할 수 있는지, 어떤 분해가 있는지, 언제 무너지는지를 배웠다.

이제 방향을 뒤집는다. 책상에 놓이는 것은 행렬이 아니라 표와 문서와 사람의 말이다.

“옆집 값을 모르면 우리 값을 못 정하겠는데요.” “이 부품이 자전거 한 대에 몇 개 들어가는지 아무도 몰라요.” “다섯 채 값을 다 맞히는 조합이 없는데 그럼 답이 없는 건가요?”

이 문장들이 이미 선형대수 문제다. 그런데 그렇게 안 보인다. 그것이 이 편의 전부다.

0. 두 가지 도구¶

문제를 풀기 전에 도구 두 개를 손에 쥐어야 한다. 60문제 내내 이 둘만 쓴다.

여섯 상자¶

세상의 물음은 여섯 모양 중 하나다. 어느 산업에서 왔는지는 상관없다. 물음의 모양이 상자를 정한다.

Definition 1의 상자 0이 제일 중요하다. 이것이 없으면 60문제를 다 푼 뒤에 “세상 모든 문제는 선형대수로 풀린다” 라는 잘못된 반사가 남는다. 그건 거짓이다.

상황이 책상에 놓이면 두 번만 물으면 된다. 규칙이 미지수에 1차인가, 그리고
줄과 미지수가 각각 몇 개인가. 그 둘이 상자를 정한다. — Figure 1:상황이 책상에 놓이면 두 번만 물으면 된다. 규칙이 미지수에 1차인가, 그리고 줄과 미지수가 각각 몇 개인가. 그 둘이 상자를 정한다.

번역 사다리 다섯 칸¶

상자를 고르려면 먼저 번역해야 한다. 번역은 늘 같은 다섯 칸을 채우는 일이다.

Figure 2:다섯째 칸이 나머지 넷을 정직하게 만든다. 답이 나왔다고 그 답이 뜻을 갖는 것은 아니다.

1막 · 받아 적는다¶

첫 막에서 하는 일은 하나다. 이름 붙은 양을 세로로 세우는 것.

여기 문제들은 상황이 이미 거의 방정식이다. 표에 적힌 수를 옮겨 적기만 하면 된다. 다만 무엇을 미지수로 둘지는 매번 정해야 한다.

1. 100억을 더 주문하면 얼마를 더 만들어야 하는가 ★★☆

상황

통계청이 세 부문(농림·제조·서비스) 거래표를 보내왔다. 표에는 각 부문이 한 해 동안 다른 부문 물건을 얼마나 썼는지, 그리고 총산출이 얼마였는지가 적혀 있다.

농림은 총산출 420억 중 자기 물건 210억, 제조 물건 32억, 서비스 물건 78억을 썼다. 제조는 총산출 320억 중 농림 84억, 제조 160억, 서비스 32억을 썼다. 서비스는 총산출 260억 중 농림 78억, 제조 26억, 서비스 104억을 썼다.

부처가 묻는다. “농림 제품을 100억 더 주문하면 농림은 얼마를 더 만들어야 하는가.” 담당자는 100억이라고 답하려다 멈칫한다. 농림을 더 만들려면 제조 물건이 더 필요하고, 제조를 더 만들려면 다시 농림 물건이 필요하기 때문이다.

세우기 표에 적힌 것은 금액인데 물어보는 것은 증가분이다. 금액을 그대로 미지수로 둘 것인가, 아니면 다른 것을 세로로 세울 것인가.

사다리	이 문제에서
① 세로로 세울 것	세 부문의 총산출 $\vv{x}$ , 셋
② 이미 아는 수	부문 밖으로 나가는 최종수요 $\vv{d}$ , 셋
③ 규칙 한 줄	부문 하나의 회계 항등식, 세 줄이고 셋 다 독립
④ 어느 상자	상자 1
⑤ 선대가 답하지 않는 것	계수가 내년에도 같다는 것. 기술이 바뀌면 표부터 다시 만들어야 한다

먼저 금액을 비율로 바꾼다. 각 열을 그 부문의 총산출로 나눈다. 농림 열은 $210/420 = 0.5$ , $84/420 = 0.2$ , $78/420$ 이 아니라 — 조심하자. 열은 "그 부문을 만드는 데 무엇이 들어갔는가"이므로 농림 총산출 420으로 나눌 것은 농림이 쓴 것이 아니라 농림을 만드는 데 들어간 것이다.

A = \begin{bmatrix} 0.5 & 0.1 & 0.3 \\ 0.2 & 0.5 & 0.1 \\ 0.1 & 0.2 & 0.4 \end{bmatrix}, \qquad A_{ij} = \frac{\text{부문 } j \text{ 를 만드는 데 든 부문 } i \text{ 의 양}}{\text{부문 } j \text{ 의 총산출}}

(1)

(1)의 세 열은 합이 전부 0.8 이다. 나머지 0.2 가 부가가치, 곧 임금과 이윤으로 나가는 몫이다.

이제 부문 $i$ 의 회계 항등식을 적는다. 만든 것은 남이 쓰거나 밖으로 나간다.

x_i = \underbrace{\sum_j A_{ij} x_j}_{\text{다른 부문이 쓴 것}} + \underbrace{d_i}_{\text{최종수요}}

(2)

(2)의 세 줄을 쌓고 미지수를 왼쪽으로 모으면 $\vv{x} - A\vv{x} = \vv{d}$ , 곧 다음이 된다.

(I - A)\vv{x} = \vv{d}, \qquad I - A = \begin{bmatrix} 0.5 & -0.1 & -0.3 \\ -0.2 & 0.5 & -0.1 \\ -0.1 & -0.2 & 0.6 \end{bmatrix}

(3)

(3)의 행렬식은 $\det(I-A) = 0.1$ 이라 가역이다. 그러니 상자 1이고 답이 하나다.

검산부터. 표를 제대로 읽었다면 $\vv{d} = (100, 50, 50)$ 을 넣었을 때 원래 총산출이 그대로 나와야 한다.

(I-A)^{-1}\begin{bmatrix}100\\50\\50\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}420\\320\\260\end{bmatrix}

(4)

(4)의 검산이 맞으니 표를 옳게 옮겼다. 이 검산을 반드시 먼저 하자.

이제 농림 주문을 10 늘려 $\vv{d} = (110, 50, 50)$ 으로 두고 다시 푼다.

\vv{x}' = (448,\ 333,\ 269), \qquad \vv{x}' - \vv{x} = (28,\ 13,\ 9)

(5)

농림은 10이 아니라 28을 더 만들어야 한다. (5)에서 제조가 13, 서비스가 9를 함께 더 만든다. 아무도 주문하지 않았는데 말이다.

빠지기 쉬운 곳 — 행과 열을 바꿔 쓰면 답이 통째로 틀린다. $A_{ij}$ 의 $j$ 가 "만드는 쪽"이고 $i$ 가 "들어가는 쪽"이다. 표가 반대로 정리돼 오는 일이 흔하니 (4)의 검산이 그래서 필요하다.

회수 : L02 소거 · L03 역행렬 · L08 유일해의 조건

2. 옆집 값을 모르면 우리 값을 못 정한다 ★☆☆

세우기 사다리 다섯 칸을 적어라. 셋째 칸에서 "옆집 값을 모르면"이라는 말이 행의 어느 자리에 앉는지가 이 문제의 전부다.

사다리	이 문제에서
① 세로로 세울 것	세 가게의 값 $\vv{p}$ , 100원 단위로 셋
② 이미 아는 수	기본 손님 수에서 계약 물량을 뺀 것, $\vv{b} = (12, 16, 12)$
③ 규칙 한 줄	가게 하나의 청산 조건, 세 줄이고 셋 다 독립
④ 어느 상자	상자 1
⑤ 선대가 답하지 않는 것	값이 양수라는 보장. 풀고 나서 눈으로 확인한다

가게 $i$ 의 손님 수를 적는다. 자기 값에는 -3, 옆집 둘에는 각각 +1 이다.

D_i = a_i - 3p_i + p_j + p_k

(6)

(6)의 식을 계약 물량 $c_i = 48$ 과 같게 놓고 미지수를 왼쪽으로 모은다.

3p_i - p_j - p_k = a_i - c_i

(7)

(7)의 세 줄을 쌓으면 계수행렬이 이렇게 생겼다.

A = \begin{bmatrix}3&-1&-1\\-1&3&-1\\-1&-1&3\end{bmatrix} = 4I - \vv{1}\vv{1}^{\mathsf T}, \qquad \vv{b} = \vv{a} - \vv{c} = (12,\ 16,\ 12)

(8)

(8)의 모양이 상황의 두 문장을 그대로 옮겨 놓은 것이다. 대각의 3 이 자기 값에 대한 반응이고 비대각의 -1 이 옆집 값에 대한 반응이다.

이 꼴이면 역행렬을 소거 없이 쓸 수 있다. $\vv{1}^{\mathsf T}\vv{1} = 3$ 이므로 $(\vv{1}\vv{1}^{\mathsf T})^2 = 3\,\vv{1}\vv{1}^{\mathsf T}$ 이고, 따라서

(4I - \vv{1}\vv{1}^{\mathsf T})(I + \vv{1}\vv{1}^{\mathsf T}) = 4I + 4\vv{1}\vv{1}^{\mathsf T} - \vv{1}\vv{1}^{\mathsf T} - 3\vv{1}\vv{1}^{\mathsf T} = 4I

(9)

가 된다. (9)의 양변을 4로 나누면 역행렬이 곧바로 나온다.

A^{-1} = \tfrac{1}{4}\left(I + \vv{1}\vv{1}^{\mathsf T}\right)

(10)

(10)에 $\vv{b}$ 를 곱하면 $\vv{1}\vv{1}^{\mathsf T}\vv{b}$ 가 성분합 40 을 세 칸에 뿌리는 것이므로

\vv{p} = \tfrac{1}{4}\left(\vv{b} + 40\cdot\vv{1}\right) = \tfrac{1}{4}(52,\ 56,\ 52) = (13,\ 14,\ 13)

(11)

이다. 곧 1300원, 1400원, 1300원이다.

검산. 커피집 손님은 $60 - 3(13) + 14 + 13 = 48$ 로 계약 물량과 같다. 홍차집은 $64 - 3(14) + 13 + 13 = 48$ , 코코아집은 $60 - 3(13) + 13 + 14 = 48$ 이다. 세 줄 모두 맞고 셋 다 양수다.

빠지기 쉬운 곳 — "옆집이 오르면 우리 손님이 는다"를 부호 +1 로 옮기는 자리. 대체재이므로 양수다. 보완재였다면 음수이고, 그러면 $A$ 의 비대각이 +1 이 되어 행렬이 통째로 달라진다. 부호 하나가 경제학의 전부다.

회수 : L01 행 관점 · L03 역행렬 · L02 소거를 쓰지 않아도 되는 경우

3. 서로를 보고 고치기가 멈추는 자리 ★★☆

세우기 각자 따로 최적화한 조건이 셋 있다. 그 셋을 한꺼번에 놓으면 무엇이 되는가.

사다리	이 문제에서
① 세로로 세울 것	세 회사의 생산량 $\vv{q}$ , 셋
② 이미 아는 수	시장 크기에서 원가를 뺀 것, $\vv{r} = (90, 80, 70)$
③ 규칙 한 줄	회사 하나의 1계조건, 세 줄이고 셋 다 독립
④ 어느 상자	상자 1
⑤ 선대가 답하지 않는 것	이것이 정말 균형인지. 1계조건은 필요조건일 뿐이다

회사 $i$ 의 이윤은 $(P - c_i)q_i = (100 - Q - c_i)q_i$ 다. $q_i$ 로 미분해 0 으로 놓으면

100 - Q - q_i - c_i = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad 2q_i + \sum_{j\neq i} q_j = 100 - c_i

(12)

이다. (12)의 왼쪽에서 자기 몫만 계수가 2인 것이 핵심이다. 자기가 한 개 더 만들면 시장 값이 내려가는 손해를 자기 물량 전체에 대해 진다.

세 줄을 쌓으면 다음과 같다.

M\vv{q} = \vv{r}, \qquad M = I + \vv{1}\vv{1}^{\mathsf T} = \begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix}

(13)

(13)의 $M$ 이 문제 2의 $A$ 와 같은 꼴이다. $\vv{1}^{\mathsf T}\vv{1}=3$ 이니 같은 방법으로 역행렬이 나온다.

M^{-1} = I - \tfrac{1}{4}\vv{1}\vv{1}^{\mathsf T} = \tfrac{1}{4}\begin{bmatrix}3&-1&-1\\-1&3&-1\\-1&-1&3\end{bmatrix}

(14)

(14)에 $\vv{r}$ 을 곱하면 $\vv{q} = (30, 20, 10)$ 이고 $Q = 60$ , $P = 40$ 만원이다.

검산이 예쁘다. (12)의 조건을 $q_i = P - c_i$ 로 다시 쓸 수 있는데, $40-10=30$ , $40-20=20$ , $40-30=10$ 으로 정확히 맞는다.

감도. 3사 원가가 1만원 오르면 어떻게 되는가. (14)의 셋째 열이 그 답이다.

\Delta\vv{q} = M^{-1}(0,0,-1)^{\mathsf T} = (0.25,\ 0.25,\ -0.75)

(15)

(15)에서 3사가 0.75 줄고 나머지 둘이 0.25씩 는다. 합이 -0.25 이므로 시장 전체는 줄고 값은 오른다.

한걸음 더 — 3사 원가가 계속 오르면 언제 3사가 시장에서 밀려나는가. $q_3 > 0$ 을 풀면 $c_3 < 130/3 = 43.33$ 만원이다. $c_3 = 40$ 에서도 $\vv{q} = (32.5,\ 22.5,\ 2.5)$ 로 아직 살아 있다.

그 너머에서는 선형계가 답을 주지만 그 답이 뜻이 없다. $q_3$ 이 음수로 나오고, 음수 생산은 없다. 다섯째 칸이 여기서 값을 한다.

회수 : L03 역행렬 · L20 감도와 크래머 · L08 해가 있어도 쓸 수 없는 경우

4. 승수 4가 4/3으로 깎이는 자리 ★☆☆

세우기 미지수가 하나라고 생각했는데 둘이었다. 둘째 미지수는 어디서 왔는가.

사다리	이 문제에서
① 세로로 세울 것	소득 $Y$ 와 이자율 $r$ , 둘
② 이미 아는 수	$(1000,\ 250)$
③ 규칙 한 줄	시장 하나의 균형 조건, 두 줄이고 둘 다 독립
④ 어느 상자	상자 1
⑤ 선대가 답하지 않는 것	두 시장이 실제로 동시에 청산된다는 가정 자체

K\begin{bmatrix}Y\\r\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1000\\250\end{bmatrix}, \qquad K = \begin{bmatrix}0.25 & 200\\0.25 & -100\end{bmatrix}

(16)

(16)에서 첫 줄에서 둘째 줄을 빼면 $Y$ 가 사라진다.

300\,r = 750 \qquad\Longrightarrow\qquad r = 2.5, \qquad 0.25\,Y = 1000 - 200(2.5) = 500 \qquad\Longrightarrow\qquad Y = 2000

(17)

(17)의 답을 검산하면 $0.25(2000) + 200(2.5) = 1000$ , $0.25(2000) - 100(2.5) = 250$ 이다.

이제 승수를 묻는다. 지출이 1 늘면 소득이 얼마나 느는가. 우변을 $(1,0)$ 으로 바꿔 풀면 된다. $\det K = 0.25(-100) - 200(0.25) = -75$ 이므로

\frac{dY}{dG} = \frac{\begin{vmatrix}1 & 200\\0 & -100\end{vmatrix}}{\det K} = \frac{-100}{-75} = \frac{4}{3} \approx 1.333

(18)

(18)의 계산이 크래머 공식(L20)이다. 교과서의 4가 아니라 4/3 이다. 셋 중 둘이 이자율 상승에 먹혔다.

어디로 갔는가. 승수 4는 화폐시장 줄을 아예 빼고 계산한 값이다. 곧 $K$ 의 둘째 줄을 지우고 $r$ 을 0으로 고정한 것과 같다. 줄을 하나 빼면 계가 달라진다.

빠지기 쉬운 곳 — "승수"라는 말이 하나의 수인 것처럼 들리지만, 실은 어떤 계를 풀었느냐에 따라 달라지는 값이다. 무엇을 고정하고 무엇을 풀었는지 말하지 않은 승수는 아무 뜻이 없다.

회수 : L02 소거 · L20 크래머 공식과 비교정태

5. 시장에 없는 증서의 값 ★★☆

세우기 없는 물건의 값을 묻고 있다. 무엇을 미지수로 두면 없는 것의 값이 나오는가.

사다리	이 문제에서
① 세로로 세울 것	경우별 1만원의 오늘 값 $\vv{q}$ , 셋
② 이미 아는 수	거래되는 세 증권의 오늘 값 $\vv{p}$
③ 규칙 한 줄	증권 하나의 값 등식, 세 줄이고 셋 다 독립
④ 어느 상자	상자 1
⑤ 선대가 답하지 않는 것	경우가 정말 셋뿐인지. 넷째 경우가 있으면 계가 통째로 다르다

증권 하나의 오늘 값은 경우별 지급을 경우별 값으로 가중한 합이다.

D\vv{q} = \vv{p}, \qquad D = \begin{bmatrix}1&1&1\\3&2&1\\1&2&4\end{bmatrix}, \qquad \vv{p} = (0.95,\ 1.95,\ 2.10)

(19)

(19)의 행이 증권이고 열이 경우다. $\det D = -1$ 이라 역행렬이 전부 정수로 떨어진다.

D^{-1} = \begin{bmatrix}-6&2&1\\11&-3&-2\\-4&1&1\end{bmatrix} \qquad\Longrightarrow\qquad \vv{q} = (0.30,\ 0.40,\ 0.25)

(20)

호황 증서는 0.30만원이다. 시장에 없는데도 값이 정해졌다. 다른 셋으로 복제할 수 있기 때문이다.

(20)의 셋이 모두 양수인 것이 중요하다. 하나라도 음수면 공짜 돈을 만드는 조합이 있다는 뜻이고, 그런 시장은 오래 못 간다.

성분합도 뜻이 있다.

q_H + q_M + q_L = 0.95

(21)

(21)의 합은 "어느 경우든 1만원"을 오늘 사는 값, 곧 무위험 할인계수다. 무위험이자율이 $1/0.95 - 1 = 5.26\%$ 다. 국채 값과 정확히 같은 것이 검산이다.

같은 표를 가로로도 읽는다. 호황 증서를 실제로 만들려면 세 증권을 몇 주씩 사야 하는가. 이번에는 보유량 $\vv{\theta}$ 가 미지수이고 열 방향으로 읽는다.

D^{\mathsf T}\vv{\theta} = \vv{e}_H \qquad\Longrightarrow\qquad \vv{\theta} = (-6,\ 2,\ 1)

(22)

(22)에서 국채를 6주 팔고 우량주 2주, 성장주 1주를 산다. 값을 매기면 $-6(0.95) + 2(1.95) + 1(2.10) = 0.30$ 으로 (20)의 값과 같다.

같은 행렬을 세로로 한 번, 가로로 한 번 읽었다. $D$ 로 풀면 값이 나오고 $D^{\mathsf T}$ 로 풀면 복제 방법이 나온다. L05가 말한 전치가 여기서 산다.

회수 : L03 역행렬 · L05 전치 · L08 유일해

6. 채권 세 종목에서 시점별 값을 뽑는다 ★☆☆

세우기 문제 5와 물음이 같다. 그런데 계수행렬이 특별하게 생겼다. 그 모양이 계산을 얼마나 줄여 주는가.

사다리	이 문제에서
① 세로로 세울 것	시점별 할인계수 $\vv{d} = (d_1, d_2, d_3)$
② 이미 아는 수	세 채권의 오늘 값
③ 규칙 한 줄	채권 하나의 값 등식, 세 줄
④ 어느 상자	상자 1
⑤ 선대가 답하지 않는 것	부도 위험이 없다는 가정

만기 오름차순으로 행에 쌓으면 만기 뒤 현금흐름이 0이므로 오른쪽 위가 전부 0이다.

C\vv{d} = \vv{P}, \qquad C = \begin{bmatrix}100&0&0\\5&105&0\\6&6&106\end{bmatrix}

(23)

(23)의 $C$ 가 하삼각이다. 이것이 이 문제의 전부다. L04에서 소거의 목표가 삼각꼴을 만드는 것이었는데, 여기서는 소거가 이미 끝난 상태로 자료가 도착했다. 전진대입만 하면 된다.

d_1 = \frac{95}{100} = 0.95

(24)

d_2 = \frac{99.25 - 5(0.95)}{105} = \frac{94.5}{105} = 0.90

(25)

d_3 = \frac{101.20 - 6(0.95) - 6(0.90)}{106} = \frac{90.1}{106} = 0.85

(26)

(26)까지 나눗셈 세 번으로 끝났다. 무이표금리는 $z_1 = 1/0.95 - 1 = 5.26\%$ , $z_2 = 0.90^{-1/2} - 1 = 5.41\%$ , $z_3 = 0.85^{-1/3} - 1 = 5.57\%$ 로 우상향한다.

빠지기 쉬운 곳 — 만기 순으로 정렬하지 않으면 삼각꼴이 깨지고 소거를 해야 한다. 자료를 어떤 순서로 쌓느냐가 계산량을 정한다. L04가 말한 순열이 여기서 산다.

회수 : L04 삼각꼴과 전진대입 · L02 소거

7. 자전거 한 대에 볼트가 몇 개 들어가는가 ★☆☆

세우기 표를 따라 내려가는 일이 왜 반드시 끝나는가. 그 사실이 행렬의 어떤 성질인가.

사다리	이 문제에서
① 세로로 세울 것	품목별 총소요량, 넷
② 이미 아는 수	최종 주문 (자전거 10, 바퀴 5)
③ 규칙 한 줄	품목 하나의 소요 관계, 네 줄
④ 어느 상자	상자 1 (그리고 상자 4의 급수가 유한하게 끊긴다)
⑤ 선대가 답하지 않는 것	불량률과 로트 크기. 실제 구매량은 이보다 많다

품목을 1 자전거, 2 프레임조립, 3 바퀴, 4 볼트로 두고 $N_{ij}$ 를 "품목 $i$ 한 단위에 직접 들어가는 품목 $j$ 의 수량"이라 하면

N = \begin{bmatrix} 0&1&2&0\\ 0&0&0&4\\ 0&0&0&2\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}

(27)

이다. (27)의 $N$ 은 엄격 상삼각이다. 상위 품목부터 정렬했기 때문인데, 그렇게 정렬할 수 있다는 것 자체가 부품표에 순환이 없다는 뜻이다. 어떤 부품도 자기 자신을 (돌고 돌아서라도) 품지 않는다.

거듭제곱을 해 보자.

N^2 = \begin{bmatrix}0&0&0&8\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}, \qquad N^3 = 0

(28)

(28)의 $N^2$ 첫 행 $(0,0,0,8)$ 이 "자전거에서 두 단계 내려가면 볼트 8개"다. 그리고 세 단계를 내려가면 아무것도 없다. $N$ 이 멱영이다.

총소요는 직접 + 한 단계 + 두 단계 + ... 를 다 더한 것이다.

T = I + N + N^2 + N^3 + \cdots = I + N + N^2

(29)

(29)의 급수가 유한 항에서 저절로 끊긴다. 담당자의 걱정에 대한 답이 이것이다. 순환이 없으면 따라 내려가는 일은 반드시 끝난다.

T = \begin{bmatrix} 1&1&2&8\\ 0&1&0&4\\ 0&0&1&2\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}

(30)

(30)의 첫 행이 자전거 한 대의 전체 부품표다. 볼트 8개인데, 프레임조립 하나가 4를 먹고 바퀴 둘이 2씩 해서 4를 먹으니 합이 8이다.

주문 $(10, 0, 5, 0)$ 에 대한 총소요는

10\,(1,1,2,8) + 5\,(0,0,1,2) = (10,\ 10,\ 25,\ 90)

(31)

이므로 볼트 90개, 바퀴 25개다.

부품표에 순환이 없으면 N 이 멱영이고, 그래서 무한급수가 유한 항에서 멈춘다.
빨간 첫 행이 자전거 한 대의 전체 부품표다. — Figure 3:부품표에 순환이 없으면 $N$ 이 멱영이고, 그래서 무한급수가 유한 항에서 멈춘다. 빨간 첫 행이 자전거 한 대의 전체 부품표다.

한걸음 더 — 만약 부품표에 순환이 있다면(예컨대 재생 원료가 되돌아온다면) $N^k$ 가 0이 되지 않는다. 그때는 급수가 수렴하는지를 따로 물어야 하고, 답은 $\rho(N) < 1$ 이다. 문제 11에서 그 경우를 만난다.

빠지기 쉬운 곳 — $\det(I - N) = 1$ 이다. 대각이 전부 1인 삼각행렬이기 때문이다. 그래서 이 계는 어떤 부품표에서도 항상 풀린다. 순환이 없는 한 그렇다.

회수 : L03 역행렬 · L28 멱영행렬 · L18 삼각행렬의 행렬식

8. 네 주 생산계획을 누적으로 적는다 ★☆☆

세우기 한 주씩 따라가는 일은 한 줄짜리 규칙을 52번 쓰는 것이다. 그 52줄을 한꺼번에 쌓으면 무엇이 되는가.

사다리	이 문제에서
① 세로로 세울 것	주말 재고 $\vv{I} = (I_1, I_2, I_3, I_4)$
② 이미 아는 수	생산량에서 수요를 뺀 것, 그리고 기초재고 8
③ 규칙 한 줄	한 주의 재고 수지, 네 줄
④ 어느 상자	상자 1
⑤ 선대가 답하지 않는 것	재고가 음수가 되면 안 된다는 것. 계는 음수를 태연히 내놓는다

한 주의 규칙은 들어온 것에서 나간 것을 빼면 남는다이다.

I_t = I_{t-1} + p_t - d_t \qquad\Longleftrightarrow\qquad -I_{t-1} + I_t = p_t - d_t

(32)

(32)의 네 줄을 쌓으면 계수행렬이 이렇게 생겼다.

D\vv{I} = (\vv{p} - \vv{d}) + I_0\vv{e}_1, \qquad D = \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\-1&1&0&0\\0&-1&1&0\\0&0&-1&1 \end{bmatrix}

(33)

(33)의 $D$ 는 대각이 전부 1인 하삼각이다. 그 자체가 L04의 $L$ 이다. 그리고 그 역이 아주 예쁘다.

S = D^{-1} = \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&1&1&0\\1&1&1&1 \end{bmatrix}

(34)

(34)의 $S$ 는 누적합 행렬이다. 곧 재고 수지의 역은 누적이다. 차분의 반대가 합이라는 것을 행렬이 그대로 말한다.

이제 평준화 생산량을 정한다. 넷째 주말 재고가 0이어야 하므로 $8 + 4p - (20+30+25+25) = 0$ , 곧 $p = 23$ 이다.

\vv{p} - \vv{d} = (3,\ -7,\ -2,\ -2) \qquad\Longrightarrow\qquad S(\vv{p}-\vv{d}) = (3,\ -4,\ -6,\ -8)

(35)

(35)에 기초재고 8을 더하면 다음이 답이다.

\vv{I} = (3,-4,-6,-8) + 8 = (11,\ 4,\ 2,\ 0)

(36)

검산. 한 주씩 따라가면 $8+23-20=11$ , $11+23-30=4$ , $4+23-25=2$ , $2+23-25=0$ 이다. (36)의 답과 정확히 같다.

한걸음 더 — 기초재고가 8이 아니라 3이었다면 $\vv{I} = (-2,\ \ldots)$ 로 첫 주부터 음수다. 계는 태연히 답을 내놓지만 재고가 음수인 창고는 없다. 그것을 막으려면 $\vv{I} \ge \vv{0}$ 이라는 조건을 붙여야 하고, 그 순간 이 문제는 선형계획이 된다. 다섯째 칸이 또 값을 한다.

회수 : L04 삼각행렬과 $L$ · L03 역행렬의 뜻

9. 선반이 세 칸뿐인 검사대 ★★☆

세우기 미지수가 무엇인지부터 정해야 한다. 시간이 미지수인가, 개수가 미지수인가.

사다리	이 문제에서
① 세로로 세울 것	상태 $0,1,2,3$ 에 머무는 시간 비율 $\vv{p}$ , 넷
② 이미 아는 수	도착률 2, 처리율 4, 그리고 “합이 1”
③ 규칙 한 줄	상태 하나의 흐름 균형, 네 줄인데 독립은 셋
④ 어느 상자	상자 2 (영공간이 1차원)
⑤ 선대가 답하지 않는 것	도착이 정말 무작위인지. 몰려 오면 이 모형이 깨진다

상태를 "선반에 놓인 개수"로 두고 열이 출발 상태인 생성행렬을 쓴다.

G = \begin{bmatrix} -2&4&0&0\\ 2&-6&4&0\\ 0&2&-6&4\\ 0&0&2&-4 \end{bmatrix}

(37)

(37)의 네 열의 합이 전부 0이다. 나가는 것과 들어오는 것이 맞아야 하기 때문이다. 그래서 $G$ 는 특이하고, 균형 조건 $G\vv{p} = \vv{0}$ 은 영공간을 찾는 문제다.

$G$ 가 삼중대각인 것이 손계산을 가능하게 한다. 옆 칸으로만 오가므로 이웃한 두 상태 사이의 흐름이 따로 맞아떨어져야 한다.

2\,p_0 = 4\,p_1 \qquad\Longrightarrow\qquad p_1 = \tfrac{1}{2}p_0

(38)

(38)의 관계가 첫 줄에서 나오고, 같은 논리가 계속 이어진다.

2\,p_n = 4\,p_{n+1} \qquad\Longrightarrow\qquad \vv{p} \propto \left(1,\ \tfrac12,\ \tfrac14,\ \tfrac18\right)

(39)

(39)의 꼴이 공비 $1/2$ 인 등비수열이다. 성분합이 1이 되도록 맞추면 분모가 $1+\frac12+\frac14+\frac18 = \frac{15}{8}$ 이므로

\vv{p} = \frac{1}{15}\,(8,\ 4,\ 2,\ 1) = (0.5333,\ 0.2667,\ 0.1333,\ 0.0667)

(40)

이다. (40)에서 되돌려 보내는 비율은 $1/15 = 6.7\%$ 다. 선반이 꽉 차 있는 시간 비율이 그것이기 때문이다.

평균 재고는 $\left(0\cdot8 + 1\cdot4 + 2\cdot2 + 3\cdot1\right)/15 = 11/15 = 0.733$ 개다.

한걸음 더 — 선반을 하나 더 놓으면 $\vv{p} \propto (16,8,4,2,1)/31$ 이 되어 거절률이 $1/31 = 3.2\%$ 로 절반이 된다. 하나 더 놓으면 $1/63$ 이다. 선반 하나마다 거절률이 반씩 준다. 공비가 $1/2$ 이기 때문이고, 그 공비는 도착률과 처리율의 비다.

빠지기 쉬운 곳 — $G\vv{p}=\vv{0}$ 만으로는 답이 정해지지 않는다. 영공간이 1차원이라 스칼라 배가 전부 답이기 때문이다. "합이 1"이라는 줄을 반드시 더해야 하나로 정해진다. 이것이 상자 2가 상자 1로 바뀌는 순간이다.

회수 : L06 영공간 · L07 자유변수 · L24 마코브의 정상상태

10. 검사원의 판정표를 되돌린다 ★☆☆

세우기 표는 “진짜에서 판정으로” 가는 방향인데 묻는 것은 반대 방향이다. 표를 뒤집을 것인가, 계를 세워 풀 것인가.

사다리	이 문제에서
① 세로로 세울 것	진짜 등급 비율 $\vv{x}$ , 셋
② 이미 아는 수	관측된 판정 비율 $\vv{b} = (0.32, 0.45, 0.23)$
③ 규칙 한 줄	판정 등급 하나의 구성, 세 줄이고 셋 다 독립
④ 어느 상자	상자 1
⑤ 선대가 답하지 않는 것	오분류율이 오늘도 어제와 같다는 것

열이 진짜 등급, 행이 판정 등급인 오분류표를 쓴다.

M = \begin{bmatrix}0.9&0.1&0\\0.1&0.8&0.1\\0&0.1&0.9\end{bmatrix}, \qquad M\vv{x} = \vv{b}

(41)

(41)의 열 합이 전부 1이다. 진짜로 상인 것은 어딘가로 반드시 가기 때문이다. $\det M = 0.63$ 이라 가역이고, 풀면 다음이 나온다.

\vv{x} = (0.30,\ 0.50,\ 0.20)

(42)

검산. $0.9(0.3) + 0.1(0.5) = 0.32$ , $0.1(0.3)+0.8(0.5)+0.1(0.2) = 0.45$ , $0.1(0.5)+0.9(0.2) = 0.23$ 으로 (42)의 답이 관측과 정확히 맞는다.

여기서 진짜 물음은 따로 있다. 관측이 조금 틀렸다면 답이 얼마나 흔들리는가. $M$ 이 대칭이므로 고윳값을 손으로 잡을 수 있다.

M\vv{1} = \vv{1}, \qquad M(1,0,-1)^{\mathsf T} = 0.9\,(1,0,-1)^{\mathsf T}, \qquad M(1,-2,1)^{\mathsf T} = 0.7\,(1,-2,1)^{\mathsf T}

(43)

(43)의 고윳값이 $1,\ 0.9,\ 0.7$ 이다. 되돌릴 때는 역수가 곱해지므로 증폭 배율이 최대 $1/0.7 = 1.43$ 배다. 관측 오차가 1.43배까지만 커진다. 안전한 편이다.

한걸음 더 — 검사원이 더 서툴러 오분류가 심해지면 어떻게 되는가. 가장 작은 고윳값이 0에 가까워지고 증폭 배율이 폭발한다. 극단적으로 검사원이 등급을 아예 못 가리면 $M$ 의 열이 전부 같아져 랭크가 1로 떨어지고 되돌릴 수 없다.

이것이 보강 2의 조건수 이야기다. 여기서는 $\kappa(M) = 1/0.7 = 1.43$ 으로 좋다.

회수 : L03 역행렬 · L21 고윳값 · L20 되돌리기의 안정성

2막 · 옮겨 적는다¶

1막은 표가 이미 방정식이었다. 2막은 다르다. 되먹임, 조정, 적합을 등식으로 직접 만들어야 한다.

여기서 처음으로 사다리 셋째 칸이 어려워진다. 규칙 한 줄을 쓰는 일이 "표를 옮겨 적기"가 아니라 "현상을 식으로 옮기기"가 되기 때문이다.

11. 파급의 라운드를 센다 ★★☆

세우기 앞 문제와 답은 같다. 그런데 왜 같은가. 라운드를 다 더한 것과 역행렬을 곱한 것이 왜 같은 수인가.

사다리	이 문제에서
① 세로로 세울 것	총생산 $\vv{x}$ (앞과 같다)
② 이미 아는 수	새 주문 $\vv{d} = (100,50,50)$
③ 규칙 한 줄	이번에는 규칙이 아니라 누적이다
④ 어느 상자	상자 4 (되풀이한다)
⑤ 선대가 답하지 않는 것	라운드가 실제로 시간 순서로 일어나는지. 모형은 시점을 말하지 않는다

1라운드는 주문 그 자체 $\vv{d}$ 다. 그 생산을 하려면 투입이 필요하고 그것이 2라운드 $A\vv{d}$ 다. 다시 그 투입을 만들려면 $A^2\vv{d}$ 가 필요하다.

\vv{x} = \vv{d} + A\vv{d} + A^2\vv{d} + \cdots = \left(I + A + A^2 + \cdots\right)\vv{d}

(44)

(44)의 괄호가 무한급수다. 이것이 $(I-A)^{-1}$ 과 같으려면 수렴해야 하고, 수렴 조건은 스펙트럼 반지름이 1보다 작다는 것이다.

\rho(A) < 1 \qquad\Longleftrightarrow\qquad (I + A + A^2 + \cdots) = (I-A)^{-1}

(45)

(45)의 조건은 L22의 $A^k$ 이야기 그대로다. 스칼라 $1+r+r^2+\cdots = 1/(1-r)$ 이 $|r|<1$ 에서만 맞는 것과 같다.

이 표에서 $\rho(A)$ 를 손으로 구할 수 있다. (1)의 세 열 합이 전부 0.8 이었다. 곧 $\vv{1}^{\mathsf T}A = 0.8\,\vv{1}^{\mathsf T}$ 이므로 0.8 이 왼쪽 고유벡터 $\vv{1}$ 에 붙은 고윳값이다.

\text{고윳값} = 0.8,\quad 0.3 + 0.1i,\quad 0.3 - 0.1i \qquad\Longrightarrow\qquad \rho(A) = 0.8

(46)

(46)의 나머지 둘은 절댓값이 $\sqrt{0.1} = 0.316$ 이라 0.8 보다 작다. 그러니 $\rho(A) = 0.8 < 1$ 이고 급수가 수렴한다.

경제 언어로 옮기면 열 합 0.8 은 "1원어치를 만드는 데 0.8원어치 중간재가 든다"는 뜻이고, 나머지 0.2원이 밖으로 샌다. 매 라운드 20%씩 새기 때문에 되돌이가 잦아든다.

세 라운드까지 더해 보자.

\left(I + A + A^2\right)\vv{d} = (222,\ 143,\ 123), \qquad \text{합} = 488

(47)

참값이 1000이므로 (47)의 값은 48.8%다. 남은 51.2%가 정확히 $0.8^3 = 0.512$ 다.

99%를 채우려면 $0.8^k \le 0.01$ , 곧 $k = 21$ 라운드가 필요하다. 총승수는 $1/(1-0.8) = 5$ 이고, 실제로 $1000/200 = 5$ 다.

왼쪽에서 라운드마다 더해지는 양이 정확히 0.8 배씩 준다.
오른쪽에서 부분합이 (I-A)^{-1}\vv{d} 로 올라간다. 급수를 더하는 것이
역행렬을 구하는 것이다. — Figure 4:왼쪽에서 라운드마다 더해지는 양이 정확히 0.8 배씩 준다. 오른쪽에서 부분합이 $(I-A)^{-1}\vv{d}$ 로 올라간다. **급수를 더하는 것이 역행렬을 구하는 것이다.**

한걸음 더 — 만약 열 합이 1을 넘는 표를 받았다면? $\rho(A) > 1$ 이 되어 급수가 발산하고, $(I-A)^{-1}$ 이 존재하더라도 성분에 음수가 섞인다. 음수 산출은 뜻이 없다. 그런 표는 물리적으로 불가능한 경제를 적은 것이다.

회수 : L21 고윳값 · L22 $A^k$ 와 수렴 · L03 역행렬의 급수 표현

12. 검사와 재작업 사이를 몇 번 오가는가 ★★☆

세우기 되돌아오는 흐름이 있다. 문제 7의 부품표와 무엇이 다른가.

사다리	이 문제에서
① 세로로 세울 것	각 상태를 거치는 평균 횟수
② 이미 아는 수	상태 사이의 이동 비율
③ 규칙 한 줄	상태 하나를 거치는 횟수의 수지, 세 줄
④ 어느 상자	상자 1 (되풀이가 유한하게 끝나므로)
⑤ 선대가 답하지 않는 것	재작업품의 불량률이 신품과 같다는 가정

흡수 상태(양품, 폐기)를 빼고 일시 상태만 남긴다. 상태 순서는 (가공, 검사, 재작업)이고 이 책 규약대로 열이 출발 상태다.

Q = \begin{bmatrix}0&0&0\\1&0&1\\0&0.2&0\end{bmatrix}, \qquad I - Q = \begin{bmatrix}1&0&0\\-1&1&-1\\0&-0.2&1\end{bmatrix}

(48)

(48)에서 $\det(I-Q) = 1 - 0.2 = 0.8$ 이다.

각 상태를 거치는 평균 횟수는 문제 7과 똑같은 급수다.

N = I + Q + Q^2 + \cdots = (I - Q)^{-1}

(49)

가공에서 출발했을 때를 보자. (49)의 첫 열이 답이다.

N_{:,1} = (1,\ 1.25,\ 0.25)

(50)

(50)에서 검사를 평균 1.25회, 재작업을 평균 0.25회 거치고 총 2.5단계가 걸린다.

손으로 확인. 검사는 처음에 반드시 한 번 간다. 그중 20%가 재작업으로 갔다가 다시 검사로 온다. 그중 다시 20%가... 곧 $1 + 0.2 + 0.2^2 + \cdots = 1/(1-0.2) = 1.25$ 다.

흡수 확률도 구할 수 있다. 흡수 행렬을 $R$ 이라 하면

RN \qquad\Longrightarrow\qquad (\text{양품},\ \text{폐기}) = (0.875,\ 0.125) = \left(\tfrac78,\ \tfrac18\right)

(51)

이다. (51)에서 하루 1000개를 넣으면 검사 1250회, 재작업 250회, 양품 875개, 폐기 125개다.

빠지기 쉬운 곳 — 열 규약과 행 규약을 섞는 것. 이 책은 열이 출발 상태다. 자료가 행 기준으로 오면 반드시 전치해야 한다. L24가 이미 경고한 함정이고, 여기서 틀리면 1250이 아니라 엉뚱한 수가 나온다.

회수 : L03 역행렬 · L22 급수 · L24 흡수 마코브

13. 예비품 없는 병렬 펌프는 몇 시간을 버티는가 ★★☆

세우기 두 대가 동시에 살아 있을 때 고장은 두 배 빨리 온다. 그 사실이 계의 어디에 들어가는가.

사다리	이 문제에서
① 세로로 세울 것	상태별 평균 잔여 시간 $\vv{m}$ , 둘
② 이미 아는 수	“한 시간은 무조건 흐른다”, 곧 $\vv{1}$
③ 규칙 한 줄	상태 하나의 기대시간 수지, 두 줄
④ 어느 상자	상자 1
⑤ 선대가 답하지 않는 것	고장이 지수분포라는 것. 마모형 고장이면 이 모형이 틀린다

일시 상태는 (2대 가동, 1대 가동)이고 흡수 상태는 (0대 가동)이다. 2대 가동에서는 두 대가 각각 시간당 1건이니 총 이탈률이 2 다.

Q_T = \begin{bmatrix}-2&0\\2&-1\end{bmatrix} \qquad\Longrightarrow\qquad -Q_T = \begin{bmatrix}2&0\\-2&1\end{bmatrix}, \qquad \det(-Q_T) = 2

(52)

평균 흡수 시간은 $(-Q_T)^{\mathsf T}\vv{m} = \vv{1}$ 을 푸는 것이다. 열 규약이므로 전치가 붙는다.

\begin{bmatrix}2&-2\\0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}m_2\\m_1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} \qquad\Longrightarrow\qquad m_1 = 1, \qquad m_2 = \tfrac{1 + 2(1)}{2} = 1.5

(53)

(53)에서 두 대에서 출발하면 평균 1.5시간이지 2시간이 아니다.

왜 그런가. 두 대가 다 살아 있는 동안은 고장이 두 배 빨리 오므로 그 구간이 평균 0.5시간뿐이다. 그다음 한 대 구간이 1시간이다. 합쳐 1.5시간이다. "두 대니까 두 배"는 고장률이 더해진다는 사실을 빼먹은 것이다.

한걸음 더 — 여기에 수리공 한 명을 붙이면 어떻게 되는가. 수리율이 시간당 2대라면

Q_T = \begin{bmatrix}-2&2\\2&-3\end{bmatrix} \qquad\Longrightarrow\qquad \vv{m} = (2.5,\ 2)

(54)

가 된다. (54)에서 1.5시간이 2.5시간으로 는다. 수리공 한 명이 버티는 시간을 1.67배로 만든다. 펌프를 한 대 더 사는 것과 견줘 볼 수 있는 숫자다.

회수 : L03 역행렬 · L23 연속시간 · L24 흡수 상태

14. 지금 정상이라는 사실은 답에 남는가 ★☆☆

세우기 물음이 둘이다. 하나는 정상상태이고 하나는 기억이 얼마나 가는가다. 둘째 물음의 답은 어느 고윳값에 있는가.

사다리	이 문제에서
① 세로로 세울 것	상태별 시간 비율 $\vv{p}$ , 셋
② 이미 아는 수	전이 비율, 그리고 “합이 1”
③ 규칙 한 줄	상태 하나의 균형, 세 줄인데 독립은 둘
④ 어느 상자	상자 4
⑤ 선대가 답하지 않는 것	전이율이 설비 나이와 무관하다는 것. 오래된 기계는 다르다

이 책 규약대로 열의 합이 1인 마코브 행렬로 쓴다.

A = \begin{bmatrix}0.8&0.1&1\\0.2&0.7&0\\0&0.2&0\end{bmatrix}, \qquad \text{열 합} = (1,\ 1,\ 1)

(55)

(55)의 셋째 열이 $(1,0,0)$ 인 것은 "고장 나면 반드시 정상으로 돌아온다"는 뜻이다.

정상상태는 $A\vv{p} = \vv{p}$ , 곧 $(A-I)\vv{p} = \vv{0}$ 에 합이 1이라는 줄을 얹은 것이다. 풀면

\vv{p} = \frac{1}{27}(15,\ 10,\ 2) = (0.5556,\ 0.3704,\ 0.0741)

(56)

이다. (56)에서 고장으로 서 있는 달이 $2/27 = 7.4\%$ , 가동률이 $25/27 = 92.6\%$ 다.

둘째 물음. 고윳값 전부를 보면 답이 나온다.

\lambda = 1,\quad 0.4,\quad 0.1

(57)

(57)에서 $\lambda_1 = 1$ 이 정상상태를 주고, 나머지 둘은 절댓값이 1보다 작아 시간이 가면 사라진다. 곧 초기 상태는 답에 남지 않는다.

얼마나 빨리 사라지는가는 $|\lambda_2| = 0.4$ 가 정한다. 실제로 따라가 보자.

A^2\vv{e}_1 = (0.660,\ 0.300,\ 0.040), \quad A^4\vv{e}_1 = (0.5726,\ 0.3590,\ 0.0684), \quad A^8\vv{e}_1 = (0.5560,\ 0.3701,\ 0.0739)

(58)

(58)의 세 벡터가 $\vv{p}$ 에서 각각 0.1044, 0.0170, 0.0004 만큼 떨어져 있다. 뒤쪽 비가 $0.0004/0.0170 = 0.0256 = 0.4^4$ 로 정확히 맞는다.

앞쪽 비 $0.0170/0.1044 = 0.163$ 은 0.4⁴ 보다 크다. 셋째 고윳값 0.1 의 몫이 아직 남아 있기 때문이다. 시간이 가면 가장 느린 것만 남으므로 비가 $|\lambda_2|$ 로 수렴한다.

왼쪽에서 네 가지 출발점이 전부 같은 곳으로 간다. 오른쪽 로그 눈금에서 그 수렴이
정확히 0.4^k 의 기울기를 따른다. 어디서 출발했는지는 남지 않고,
얼마나 빨리 잊는지만 \lambda_2 가 말한다. — Figure 5:왼쪽에서 네 가지 출발점이 전부 같은 곳으로 간다. 오른쪽 로그 눈금에서 그 수렴이 정확히 $0.4^k$ 의 기울기를 따른다. **어디서 출발했는지는 남지 않고, 얼마나 빨리 잊는지만 $\lambda_2$ 가 말한다.**

빠지기 쉬운 곳 — $\lambda_2$ 가 1에 가까우면 "장기 평균"을 쓰는 것이 위험하다. 0.4 라면 다섯 달이면 잊지만 0.95 라면 백 달이 지나도 초기 상태가 남는다. 정상상태를 인용하기 전에 $\lambda_2$ 부터 보자.

회수 : L06 영공간 · L21 고윳값 · L22 대각화 · L24 마코브

15. 30분 뒤의 가용도에 장기 평균을 써도 되는가 ★★☆

세우기 앞 문제는 "언제 멈추는가"였고 이번엔 "지금부터 30분"이다. 시간이 이산이 아니라 연속이다. 무엇이 달라지는가.

사다리	이 문제에서
① 세로로 세울 것	시각 $t$ 의 상태 확률 $\vv{p}(t)$ , 셋
② 이미 아는 수	고장률·수리율, 그리고 지금 상태
③ 규칙 한 줄	상태 하나의 확률 변화율, 세 줄
④ 어느 상자	상자 4 (이번엔 미분방정식)
⑤ 선대가 답하지 않는 것	수리공이 한 명이라는 것이 계에 이미 들어갔는지 확인해야 한다

상태 (2대, 1대, 0대), 열이 출발 상태인 생성행렬을 쓴다.

G = \begin{bmatrix}-2&2&0\\2&-3&2\\0&1&-2\end{bmatrix}, \qquad \text{열 합} = (0,\ 0,\ 0)

(59)

(59)에서 확률의 변화는 $d\vv{p}/dt = G\vv{p}$ 이고, 해가 $\vv{p}(t) = e^{Gt}\vv{p}(0)$ 다. L23 그대로다.

$G$ 의 고윳값을 구하면 다음과 같다.

\lambda = 0,\quad -2,\quad -5

(60)

(60)의 $\lambda=0$ 이 정상상태를 주고, 음수 둘이 시간과 함께 사라진다. 이산일 때 $|\lambda|<1$ 이던 조건이 연속에서는 $\operatorname{Re}\lambda<0$ 이 된다.

정상분포는 $\lambda=0$ 의 고유벡터를 정규화한 것이다.

\vv{p}_\infty = \tfrac{1}{5}(2,\ 2,\ 1) \qquad\Longrightarrow\qquad \text{장기 가용도} = 1 - \tfrac15 = \tfrac45 = 80\%

(61)

담당자의 80%는 맞다. 그런데 팀장의 물음은 다르다. 두 대 다 멀쩡한 상태에서 출발하면 시간에 따른 가용도가 이렇게 된다.

A(t) = \frac45 + \frac13 e^{-2t} - \frac{2}{15}e^{-5t}

(62)

(62)에 $t=0$ 을 넣으면 $\frac{12}{15}+\frac{5}{15}-\frac{2}{15} = 1$ 로 정확히 맞는다. 지금 멀쩡하니 가용도가 1인 것이 당연하다.

A(0.5) = 0.9117, \qquad A(1) = 0.8442, \qquad A(5) = 0.8000

(63)

(63)에서 30분 뒤 가용도는 91.2%로 80%가 아니다. 다섯 시간쯤 지나야 장기 평균에 닿는다.

언제부터 장기 평균을 써도 되는가. 느린 쪽 고윳값이 -2 이므로 시간 상수가 $1/2$ 시간이다. 그 서너 배, 곧 한 시간 반쯤 지나면 초기 상태의 기억이 5% 아래로 떨어진다.

빠지기 쉬운 곳 — 문제 14와 이 문제는 둘 다 "정상상태"를 구했지만 하나는 $\lambda=1$ 이고 하나는 $\lambda=0$ 이다. 이산이냐 연속이냐를 먼저 정하지 않으면 무엇을 찾아야 하는지도 모른다.

회수 : L21 고윳값 · L23 $e^{At}$ · L24 정상상태

16. 표를 어느 방향으로 쓸 것인가 ★☆☆

세우기 표가 이미 행렬처럼 생겼다. 그런데 그대로 쓰면 되는가.

사다리	이 문제에서
① 세로로 세울 것	점유율 $\vv{x}$ , 셋
② 이미 아는 수	전환 비율표
③ 규칙 한 줄	회사 하나의 다음 달 점유율, 세 줄
④ 어느 상자	상자 4
⑤ 선대가 답하지 않는 것	전환율이 3년 내내 같다는 것. 가장 의심스러운 가정이다

부서가 준 표는 행의 합이 1이다. “A사 가입자 중” 이라는 말이 행을 정하기 때문이다.

T = \begin{bmatrix}0.8&0.12&0.08\\0.2&0.72&0.08\\0.2&0.12&0.68\end{bmatrix}, \qquad T\vv{1} = \vv{1}

(64)

그런데 이 책의 규약은 열의 합이 1이다. 그러니 전치해서 써야 한다.

M = T^{\mathsf T} = \begin{bmatrix}0.8&0.2&0.2\\0.12&0.72&0.12\\0.08&0.08&0.68\end{bmatrix}, \qquad \vv{1}^{\mathsf T}M = \vv{1}^{\mathsf T}

(65)

(65)의 전치를 빼먹으면 답이 통째로 틀린다. 이 한 줄이 이 문제의 전부다.

이 $M$ 은 특별한 꼴을 갖고 있다. $\vv{\pi} = (0.5, 0.3, 0.2)$ 에 대해

M = 0.4\,\vv{\pi}\vv{1}^{\mathsf T} + 0.6\,I

(66)

가 성립한다. (66)의 꼴이 랭크 1 더하기 스칼라 항등행렬이므로 고윳값이 바로 읽힌다. $\vv{1}^{\mathsf T}\vv{\pi} = 1$ 이니

M\vv{\pi} = 0.4\,\vv{\pi} + 0.6\,\vv{\pi} = \vv{\pi}, \qquad \lambda = 1,\ 0.6,\ 0.6

(67)

이다. (67)에서 정상 점유율이 A 50%, B 30%, C 20% 다.

닫힌 꼴도 나온다. $\vv{x}_0 - \vv{\pi}$ 가 $\vv{1}$ 에 수직인 공간에 있고 거기서 $M$ 이 0.6 배이므로

\vv{x}_t = \vv{\pi} + 0.6^{\,t}\left(\vv{x}_0 - \vv{\pi}\right)

(68)

이다. $\vv{x}_0 = (1,0,0)$ 이면 (68)의 식이 $\vv{x}_1 = (0.80, 0.12, 0.08)$ , $\vv{x}_2 = (0.68, 0.192, 0.128)$ , $\vv{x}_3 = (0.608, 0.2352, 0.1568)$ 을 주고 표를 실제로 곱한 결과와 완전히 같다.

3년(36개월) 뒤라면 $0.6^{36} = 10^{-8}$ 이라 정상 점유율과 사실상 같다. 그런데 다섯째 칸을 보자. 36개월 내내 전환율이 같을 리가 없다. 답은 맞지만 답의 전제가 의심스럽다.

회수 : L05 전치 · L11 랭크 1 · L21 고윳값 · L24 마코브

17. 베타 2.5는 다섯 달치 표에서 어떻게 나왔는가 ★☆☆

세우기 다섯 개 비율이 다르다. 그런데 왜 하나의 숫자로 요약되는가.

사다리	이 문제에서
① 세로로 세울 것	베타 하나, 곧 미지수 1개
② 이미 아는 수	펀드 수익률 $\vv{b}$ , 다섯 개
③ 규칙 한 줄	한 달의 관계, 다섯 줄. 독립인 것은 하나뿐
④ 어느 상자	상자 3
⑤ 선대가 답하지 않는 것	시장이 펀드를 움직였다는 인과. 상관은 방향을 말하지 않는다

미지수 하나에 줄이 다섯이다. 줄이 미지수보다 많으면 대개 해가 없다. 실제로 다섯 비율이 다르니 $\beta\vv{a} = \vv{b}$ 를 만족하는 $\beta$ 는 없다.

그래서 물음을 바꾼다. 가장 가까운 것을 고른다. 어긋남 $\lVert\vv{b}-\beta\vv{a}\rVert$ 를 가장 작게 하는 $\beta$ 를 찾으면

\beta = \frac{\vv{a}^{\mathsf T}\vv{b}}{\vv{a}^{\mathsf T}\vv{a}}

(69)

이다. (69)의 공식이 L15의 직선 위로의 투영 공식 그대로다. 값을 넣으면

\vv{a}^{\mathsf T}\vv{a} = 4+1+0+1+4 = 10, \qquad \vv{a}^{\mathsf T}\vv{b} = 10+3+0+2+10 = 25 \qquad\Longrightarrow\qquad \beta = 2.5

(70)

보고서의 2.5가 (70)의 값이다. 다섯 비율의 평균(2.5, 3, —, 2, 2.5)이 아니라 제곱 가중 평균이다. 크게 움직인 달이 더 세게 반영된다.

잔차를 보자.

\vv{e} = \vv{b} - 2.5\,\vv{a} = (0,\ -0.5,\ 1,\ -0.5,\ 0)

(71)

(71)의 검산은 $\vv{a}^{\mathsf T}\vv{e} = 0 + 0.5 + 0 - 0.5 + 0 = 0$ 이다. 남은 것은 시장과 아무 상관이 없다. 그것이 최소제곱이 보장하는 유일한 것이다.

피타고라스도 맞는다.

\underbrace{\vv{b}^{\mathsf T}\vv{b}}_{64} = \underbrace{\beta^2\,\vv{a}^{\mathsf T}\vv{a}}_{62.5} + \underbrace{\vv{e}^{\mathsf T}\vv{e}}_{1.5}

(72)

(72)에서 $62.5/64 = 97.7\%$ 가 시장으로 설명되고 나머지가 고유 위험이다. 이 비율이 $R^2$ 다.

빠지기 쉬운 곳 — 셋째 달의 $1/0$ 이 계산 불가라고 그 달을 빼면 안 된다. 그 달도 $\vv{a}^{\mathsf T}\vv{a}$ 와 $\vv{a}^{\mathsf T}\vv{b}$ 에 각각 0을 보태며 정직하게 참여하고 있다. 투영은 자료를 버리지 않는다.

회수 : L14 직교 · L15 직선 위로의 투영 · L16 최소제곱

18. 광고비 효과와 가격 효과를 따로 뗄 수 있는가 ★☆☆

세우기 미지수가 둘이고 줄이 넷이다. 문제 17과 같은 상자인데 한 가지가 더 어렵다. 무엇인가.

사다리	이 문제에서
① 세로로 세울 것	광고비 계수와 가격 계수, 둘
② 이미 아는 수	매출 편차 $\vv{y}$ , 넷
③ 규칙 한 줄	한 분기의 관계, 네 줄. 독립인 것은 둘
④ 어느 상자	상자 3
⑤ 선대가 답하지 않는 것	광고가 매출을 올렸는지, 매출이 좋아 광고를 더 썼는지

X = \begin{bmatrix}-3&-1\\-1&-1\\1&1\\3&1\end{bmatrix}, \qquad X^{\mathsf T}X = \begin{bmatrix}20&8\\8&4\end{bmatrix}, \qquad X^{\mathsf T}\vv{y} = (48,\ 20)

(73)

(73)에서 두 열의 내적이 8 이다. 직교가 아니다. 문제 17에서는 열이 하나뿐이라 이 문제가 없었다.

$\vv{y}$ 가 두 열이 만드는 평면 밖에 있으므로 해가 없다. 대신 잔차가 두 열 모두에 수직이라는 조건을 건다.

X^{\mathsf T}\left(\vv{y} - X\vv{\beta}\right) = \vv{0} \qquad\Longleftrightarrow\qquad X^{\mathsf T}X\,\vv{\beta} = X^{\mathsf T}\vv{y}

(74)

(74)의 조건이 정규방정식이다. $\det(X^{\mathsf T}X) = 80-64 = 16$ 이므로 풀린다.

\begin{bmatrix}20&8\\8&4\end{bmatrix}\vv{\beta} = \begin{bmatrix}48\\20\end{bmatrix} \qquad\Longrightarrow\qquad \vv{\beta} = (2,\ 1)

(75)

(75)에서 광고비 1천만원당 매출 2억원, 가격 100원당 1억원이다. 둘의 몫이 갈렸다.

적합값은 $2\vv{x}_1 + \vv{x}_2 = (-7,-3,3,7)$ 이고 잔차는 다음과 같다.

\vv{e} = (1,\ -1,\ -1,\ 1), \qquad \vv{x}_1^{\mathsf T}\vv{e} = -3+1-1+3 = 0, \qquad \vv{x}_2^{\mathsf T}\vv{e} = -1+1-1+1 = 0

(76)

(76)에서 정규방정식 두 줄이 정확히 0이다. $R^2 = 1 - 4/120 = 29/30 = 96.7\%$ 다.

언제 갈라낼 수 없는가. 만약 가격이 광고비의 정확히 절반이었다면 $\vv{x}_2 = 0.5\,\vv{x}_1$ 이 되어

X^{\mathsf T}X = \begin{bmatrix}20&10\\10&5\end{bmatrix}, \qquad \det = 100 - 100 = 0

(77)

이 된다. (77)에서 $X^{\mathsf T}X$ 가 특이하고 계수를 갈라낼 수 없다. 합만 정해지고 각자는 정해지지 않는다. 이것이 다중공선성이고, 보강 2에서 본 조건수 이야기의 경제학판이다.

빠지기 쉬운 곳 — $\det(X^{\mathsf T}X) = 16$ 은 0이 아니지만 크지도 않다. 자료가 조금만 흔들려도 계수가 크게 움직인다는 뜻이다. 0이냐 아니냐가 아니라 얼마나 0에 가까우냐가 문제다.

회수 : L15 투영 · L16 정규방정식 · L09 독립

19. 실거래 다섯 건에서 평당 값과 층당 값을 뽑는다 ★★☆

세우기 문제 18과 같은 상자다. 그런데 이 자료는 특별하게 짜여 있다. 그것이 계산을 얼마나 줄이는가.

사다리	이 문제에서
① 세로로 세울 것	기준가·평당가·층당가, 셋
② 이미 아는 수	실거래가 다섯
③ 규칙 한 줄	한 채의 값 관계, 다섯 줄. 독립인 것은 셋
④ 어느 상자	상자 3
⑤ 선대가 답하지 않는 것	이 단지 밖으로 외삽하는 것. 다른 단지는 다른 계수를 갖는다

A = \begin{bmatrix}1&-2&1\\1&-1&-2\\1&0&0\\1&1&2\\1&2&-1\end{bmatrix}, \qquad \vv{b} = (7,\ 9,\ 8,\ 12,\ 9)

(78)

(78)의 세 열을 서로 내적해 보자.

\vv{a}_1^{\mathsf T}\vv{a}_2 = -2-1+0+1+2 = 0, \quad \vv{a}_1^{\mathsf T}\vv{a}_3 = 1-2+0+2-1 = 0, \quad \vv{a}_2^{\mathsf T}\vv{a}_3 = -2+2+0+2-2 = 0

(79)

(79)에서 세 열이 서로 직교다. 그러면 정규방정식의 계수행렬이 대각이 된다.

A^{\mathsf T}A = \operatorname{diag}(5,\ 10,\ 10), \qquad A^{\mathsf T}\vv{b} = (45,\ 7,\ 4)

(80)

(80)의 행렬이 대각이므로 연립을 풀 것도 없이 나눗셈 세 번이면 끝난다.

\hat{\vv{x}} = \left(\frac{45}{5},\ \frac{7}{10},\ \frac{4}{10}\right) = (9,\ 0.7,\ 0.4)

(81)

(81)에서 평균 크기·평균 층의 기준가가 9억원, 면적 한 평이 0.7억원, 한 층이 0.4억원이다.

직교가 무엇을 준 것인가. 문제 18에서는 두 계수가 서로 얽혀 있어 연립을 풀어야 했다. 여기서는 면적을 빼도 층 계수가 안 바뀐다. 서로 간섭하지 않는다는 것, 그것이 직교의 뜻이다.

잔차는 $\vv{e} = (-1,\ 1.5,\ -1,\ 1.5,\ -1)$ 이고 세 열 모두와 직교한다.

한걸음 더 — 실제 부동산 자료가 이렇게 직교할 리는 없다. 넓은 집이 대개 높은 층에 있어서 두 열이 상관된다. 그러면 $A^{\mathsf T}A$ 가 대각에서 멀어지고 문제 18의 다중공선성 문제로 돌아간다.

직교하도록 자료를 만들 수 있는 자리가 있다. 실험을 직접 설계할 때다. 그것이 다음 문제다.

회수 : L14 직교 · L16 최소제곱 · L17 직교하면 쉬워진다

20. 작업일보에서 제품별 표준공수를 되뽑는다 ★☆☆

세우기 세 줄을 다 맞힐 수 없다. 그러면 무엇을 답이라고 부를 것인가.

사다리	이 문제에서
① 세로로 세울 것	제품별 대당 시간, 둘
② 이미 아는 수	일별 총시간 $\vv{b} = (7, 6, 16)$
③ 규칙 한 줄	하루의 시간 수지, 세 줄. 독립인 것은 둘
④ 어느 상자	상자 3
⑤ 선대가 답하지 않는 것	준비시간과 학습효과. 대당 시간이 일정하다는 가정

A = \begin{bmatrix}2&1\\1&2\\3&3\end{bmatrix}, \qquad \vv{b} = (7,\ 6,\ 16)

(82)

(82)에서 $\vv{b}$ 가 두 열이 만드는 평면 밖에 있다. 그래서 해가 없다.

"답이 없다"로 끝내지 않는다. 어긋남을 가장 작게 만드는 것을 답이라 부르기로 하면 잔차가 두 열에 수직이어야 하고, 그것이 정규방정식이다.

A^{\mathsf T}A = \begin{bmatrix}14&13\\13&14\end{bmatrix}, \qquad A^{\mathsf T}\vv{b} = (68,\ 67), \qquad \det(A^{\mathsf T}A) = 196-169 = 27

(83)

(83)의 두 줄은 $14a+13b=68$ 과 $13a+14b=67$ 이다. 더하면 $27(a+b)=135$ 이라 $a+b=5$ , 빼면 $a-b=1$ 이라 다음이 나온다.

\hat{\vv{x}} = (3,\ 2)

(84)

제품1이 3시간, 제품2가 2시간이다. 잔차는

\vv{e} = \vv{b} - A\hat{\vv{x}} = (7-8,\ 6-7,\ 16-15) = (-1,\ -1,\ 1)

(85)

이고 (85)의 잔차가 두 열과 직교한다. $-2-1+3=0$ , $-1-2+3=0$ 이다.

왼쪽은 척도 그대로다. 잔차가 \vv{b} 의 9%뿐이라 눈에 잘 안 띈다 —
적합이 이미 꽤 좋다는 뜻이다. 가운데는 \vv{p} 근처를 확대한 것이고,
거기서 남은 것이 평면에 정확히 수직으로 서 있는 것이 보인다. — Figure 6:왼쪽은 척도 그대로다. 잔차가 $\vv{b}$ 의 9%뿐이라 눈에 잘 안 띈다 — **적합이 이미 꽤 좋다는 뜻이다.** 가운데는 $\vv{p}$ 근처를 확대한 것이고, 거기서 남은 것이 평면에 정확히 수직으로 서 있는 것이 보인다.

언제 안 되는가. 사흘 내내 두 제품을 1대 대 1대로 만들었다면 $A$ 의 두 열이 비례하게 되어 랭크가 1로 떨어진다. 그러면 $a+b$ 만 정해지고 각자는 영영 정해지지 않는다. 자료를 아무리 많이 모아도 그렇다.

자료의 양이 아니라 자료의 방향이 문제다. 서로 다른 배합으로 만든 날이 있어야 갈라낼 수 있다.

회수 : L09 독립 · L14 직교 · L16 최소제곱

21. 여덟 번 돌린 실험에서 세 인자의 몫을 갈라낸다 ★☆☆

세우기 문제 19에서 직교가 계산을 대각으로 만들어 줬다. 이번에는 자료를 우리가 직접 만든다. 어떻게 만들면 좋은가.

사다리	이 문제에서
① 세로로 세울 것	평균과 세 인자의 효과, 넷
② 이미 아는 수	수율 여덟 개
③ 규칙 한 줄	실험 한 번의 결과, 여덟 줄. 독립인 것은 넷
④ 어느 상자	상자 3
⑤ 선대가 답하지 않는 것	두 인자가 함께 작용하는 효과. 그건 열을 더 넣어야 보인다

낮음을 -1, 높음을 +1 로 코드화하고 $X$ 의 열을 (상수항, 온도, 압력, 냉각)으로 세운다.

X = \begin{bmatrix} 1&-1&-1&-1\\ 1&1&-1&-1\\ 1&-1&1&-1\\ 1&1&1&-1\\ 1&-1&-1&1\\ 1&1&-1&1\\ 1&-1&1&1\\ 1&1&1&1 \end{bmatrix}

(86)

(86)에서 어느 두 열을 골라 성분끼리 곱해 더해도 0이다. 각 열의 자기 내적은 8이다. 그러니

X^{\mathsf T}X = 8I

(87)

가 된다. (87)의 등식이 완벽한 직교다. 문제 19에서는 운이 좋아 직교했지만 여기서는 우리가 그렇게 설계했다.

X^{\mathsf T}\vv{y} = (400,\ 48,\ -24,\ 16) \qquad\Longrightarrow\qquad \vv{\beta} = \tfrac18(400,\ 48,\ -24,\ 16) = (50,\ 6,\ -3,\ 2)

(88)

(88)에서 평균 50, 온도 효과 +6, 압력 효과 -3, 냉각 효과 +2 다. 정규방정식이 $8I\vv{\beta} = X^{\mathsf T}\vv{y}$ 라 완전히 분리되어 나눗셈 네 번으로 끝났다.

검산이 특별하다. 여덟 개 예측값을 전부 적어 보자.

50\mp6\pm3\mp2 \ \to\ (45,\ 57,\ 39,\ 51,\ 49,\ 61,\ 43,\ 55)

(89)

(89)의 값이 관측과 정확히 같다. 잔차가 0이다. 미지수 넷에 줄 여덟인데 어떻게 이럴 수 있는가 — 자료가 마침 정확히 이 모형을 따랐기 때문이고, 그래서 이 예제는 직교 설계의 계산을 보이기에 좋다.

여기가 실험계획법의 출발점이다. 자료를 관찰하기만 하면 열이 상관되어 문제 18처럼 얽히지만, 실험을 설계하면 직교하게 만들 수 있다. 그러면 인자를 하나 빼도 나머지 계수가 안 바뀐다.

회수 : L14 직교 · L16 최소제곱 · L17 직교행렬

22. 세 통화의 고시값이 서로 모순되지 않는가 ★★★

세우기 곱으로 적힌 관계다. 선형대수를 쓰려면 무엇을 해야 하는가.

사다리	이 문제에서
① 세로로 세울 것	통화별 “기준재 한 단위의 로그 가격” $\vv{p}$ , 셋
② 이미 아는 수	고시값의 로그 $\vv{y}$ , 셋
③ 규칙 한 줄	환전 하나, 세 줄. 독립인 것은 둘
④ 어느 상자	상자 2
⑤ 선대가 답하지 않는 것	수수료와 호가 스프레드. 실제로는 그것 때문에 대개 차익이 사라진다

곱은 선형이 아니다. 로그를 씌우면 곱이 합이 된다. 이 한 수가 전부다.

통화를 노드, 환전 방향을 간선으로 놓으면 L12의 결합행렬이 나온다.

A = \begin{bmatrix}-1&1&0\\0&-1&1\\1&0&-1\end{bmatrix}, \qquad \vv{y} = \left(\log 100,\ \log 10,\ \log\tfrac{1}{1000}\right) = (2,\ 1,\ -3)

(90)

(90)의 $A$ 는 각 행의 합이 0이다. 노드 전위 $p_i$ 를 두면 간선 값이 $y_e = p_{\text{머리}} - p_{\text{꼬리}}$ 이므로

A\vv{p} = \vv{y}

(91)

가 되고, 무차익이란 (91)에 해가 있다는 뜻이다. 곧 $\vv{y} \in \Col(A)$ 다.

$\Col(A)$ 를 확인하는 방법이 L10에 있다. $\vv{y}$ 가 열공간에 있으려면 $N(A^{\mathsf T})$ 의 모든 벡터와 직교해야 한다. 여기서 $N(A^{\mathsf T})$ 는 1차원이고 그 기저가 $\vv{1}$ 이다(세 간선이 한 루프를 이루므로).

\vv{1}^{\mathsf T}\vv{y} = 0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \text{루프를 한 바퀴 돌면 제자리}

(92)

오전: $2 + 1 - 3 = 0$ 이다. 무차익이고, 실제로 $\vv{p} = (0, 2, 3)$ 이 $A\vv{p} = \vv{y}$ 를 만족한다. 곱으로 확인해도 $100 \times 10 / 1000 = 1$ 이다.

오후: $\log(1/900) = -2.9542$ 이므로

\vv{1}^{\mathsf T}\vv{y}' = 2 + 1 - 2.9542 = 0.0458 \neq 0

(93)

이다. (93)에서 $\vv{y}'$ 이 열공간 밖이고 차익거래가 있다. 한 바퀴 돌면 $10^{0.0458} = 1.111$ 배, 곧 11.1%가 남는다. $100 \times 10 / 900 = 1.111$ 로 직접 확인된다.

스무 개면 몇 개를 확인하는가. L12의 오일러 공식이 답한다. 노드 $n$ 개, 간선 $m$ 개, 연결이면

\dim N(A^{\mathsf T}) = m - n + 1

(94)

이 독립인 루프의 개수다. (94)의 값이 확인해야 할 관계의 수다. 통화 20개가 전부 서로 환전되면 $m = \binom{20}{2} = 190$ 이고 $190 - 20 + 1 = 171$ 개다. 모든 삼각형( $\binom{20}{3} = 1140$ 개)을 확인할 필요가 없다. 171개면 나머지가 따라온다.

한걸음 더 — $\vv{p}$ 는 유일하지 않다. 전위 전체에 상수를 더해도 같은 $\vv{y}$ 를 주기 때문이다. 곧 $N(A) = \operatorname{span}(\vv{1})$ 이고, 경제적으로는 기준 통화를 무엇으로 잡든 상관없다는 뜻이다. 상자 2의 "답이 여럿"이 여기서는 결함이 아니라 자유도다.

회수 : L05 전치 · L10 네 부분공간 · L12 결합행렬과 오일러 공식

코다 · 표시가 없다¶

여기 두 문제에는 막도 상자도 적혀 있지 않다. 앞의 스물둘처럼 위치가 답을 알려주지 않는다. 사다리를 처음부터 채워야 한다.

23. ★☆☆

사다리	이 문제에서
① 세로로 세울 것	두 나라의 소득 $\vv{Y}$ , 둘
② 이미 아는 수	외생지출 $\vv{E} = (1000, 0)$
③ 규칙 한 줄	나라 하나의 소득 결정, 두 줄이고 둘 다 독립
④ 어느 상자	상자 1
⑤ 선대가 답하지 않는 것	환율이 고정이라는 것. 움직이면 계수가 바뀐다

\vv{Y} = A\vv{Y} + \vv{E}, \qquad A = \begin{bmatrix}0.6&0.1\\0.1&0.6\end{bmatrix} \qquad\Longrightarrow\qquad (I-A)\vv{Y} = \vv{E}

(95)

(95)의 $A$ 는 비대각이 0.1 이다. 상대 나라 소득이 늘면 우리 물건을 사 준다는 것이 그 자리에 앉는다. 실무자는 이 항을 통째로 뺀 셈이다.

I - A = \begin{bmatrix}0.4&-0.1\\-0.1&0.4\end{bmatrix}, \qquad \det(I-A) = 0.16 - 0.01 = 0.15

(96)

(96)에서 역행렬을 구하면

(I-A)^{-1} = \frac{1}{0.15}\begin{bmatrix}0.4&0.1\\0.1&0.4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}8/3 & 2/3\\ 2/3 & 8/3\end{bmatrix}

(97)

이고, (97)에 $\vv{E}$ 를 곱하면 다음이 답이다.

\vv{Y} = \left(\tfrac{8000}{3},\ \tfrac{2000}{3}\right) = (2666.7,\ 666.7)

(98)

2500이 아니라 2666.7이다. 그리고 아무 돈도 쓰지 않은 상대 나라 소득이 666.7억원 늘었다.

어디서 차이가 났는가. 실무자의 2.5는 $A$ 의 비대각을 0으로 둔 값, 곧 $1/(1-0.6)$ 이다. 되돌아오는 흐름을 넣으면 승수가 $8/3 = 2.667$ 로 커진다.

한걸음 더 — 상대 나라가 수입을 막으면(비대각을 0으로) 어떻게 되는가. 자기 나라 승수가 2.5로 줄어든다. 무역 상대의 성장이 우리에게도 이득이라는 말이 이 행렬 한 칸에 들어 있다.

회수 : L03 역행렬 · L20 행렬식 · L22 급수로 본 승수

24. ★★☆

사다리	이 문제에서
① 세로로 세울 것	한 번 주문량 $Q$ , 하나
② 이미 아는 수	연간 사용량 3600, 주문비 50000, 보관비 1000
③ 규칙 한 줄	적을 수 없다
④ 어느 상자	상자 0
⑤ 선대가 답하지 않는 것	이 문제 전체

연간 총비용을 적어 보자.

C(Q) = 50000\cdot\frac{3600}{Q} + 1000\cdot\frac{Q}{2} = \frac{1.8\times10^{8}}{Q} + 500\,Q

(99)

(99)에서 미지수 $Q$ 가 한 항에서는 분모에, 다른 항에서는 분자에 있다. 이런 것은 $a\,Q = b$ 꼴로 옮길 수 없다. 어떤 $A$ 와 $\vv{b}$ 를 갖다 놓아도 $AQ = \vv{b}$ 가 (99)의 식을 표현하지 못한다.

사다리 셋째 칸이 비는 것이 답이다. 이것은 상자 0이다.

이 문제의 도구는 미분이다. $C'(Q) = 0$ 을 풀면

-\frac{1.8\times10^{8}}{Q^2} + 500 = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad Q^{*} = \sqrt{\frac{1.8\times10^{8}}{500}} = \sqrt{360000} = 600

(100)

이다. (100)에서 한 번에 600개씩, 연 6회 주문한다.

팀장의 직관이 맞았다. 최적점에서 두 값이 같아진다.

\underbrace{50000\cdot\frac{3600}{600}}_{300000} = \underbrace{1000\cdot\frac{600}{2}}_{300000}, \qquad C(600) = 600000

(101)

(101)의 등식이 우연이 아니다. $a/Q + bQ$ 꼴은 항상 두 항이 같을 때 최소다. 산술·기하 평균 부등식이 그것을 말한다.

한걸음 더 — 그렇다고 이 문제가 선형대수와 아무 상관이 없는 것은 아니다. $Q$ 를 고정해 놓고 여러 부품을 동시에 다루면, 창고 용량 제약 아래에서 비용을 최소로 하는 문제가 되고 그때는 이차형식과 정부호가 등장한다.

"선형이 아니다"는 "선형대수가 영영 쓸모없다"가 아니라 "지금 이 물음에는 아니다"는 뜻이다.

회수 : 해당 없음

이 편의 회수표¶

문제	현실의 말	선형대수의 말	상자	회수
1	100억 주문하면 얼마를 더 만드나	$(I-A)\vv{x}=\vv{d}$	1	L02 L03 L08
2	옆집 값을 모르면 못 정한다	$(4I-\vv{1}\vv{1}^{\mathsf T})\vv{p}=\vv{b}$	1	L01 L03
3	서로를 보고 고치기가 멈춘다	$(I+\vv{1}\vv{1}^{\mathsf T})\vv{q}=\vv{r}$	1	L03 L20
4	승수가 4가 아니다	$2\times2$ 계와 크래머	1	L02 L20
5	시장에 없는 증서의 값	$D\vv{q}=\vv{p}$ , $D^{\mathsf T}\vv{\theta}=\vv{e}$	1	L03 L05
6	2년 뒤 1원의 오늘 값	하삼각 전진대입	1	L02 L04
7	볼트가 몇 개 들어가나	$N$ 이 멱영, $T=I+N+N^2$	1	L03 L28
8	주마다 몇 개를 만드나	$D^{-1}$ 이 누적합	1	L03 L04
9	되돌려 보내는 비율	$G\vv{p}=\vv{0}$ 에 합 1	2	L06 L07 L24
10	판정표를 되돌린다	$M\vv{x}=\vv{b}$ , $\kappa=1.43$	1	L03 L21
11	되돌이가 몇 바퀴 도나	$\sum A^k = (I-A)^{-1}$ , $\rho(A)=0.8$	4	L21 L22
12	검사를 몇 번 하나	$N=(I-Q)^{-1}$	1	L03 L24
13	두 대면 두 배로 버티나	$(-Q_T)^{\mathsf T}\vv{m}=\vv{1}$	1	L03 L23
14	지금 정상인 게 남나	$A\vv{p}=\vv{p}$ , $\lambda_2=0.4$	4	L21 L22 L24
15	30분 뒤 가용도	$\dot{\vv{p}}=G\vv{p}$ , $e^{Gt}$	4	L21 L23
16	표를 어느 방향으로 쓰나	$M=T^{\mathsf T}$ , 랭크 1 + $0.6I$	4	L05 L11 L24
17	베타 2.5가 어디서 왔나	$\beta=\vv{a}^{\mathsf T}\vv{b}/\vv{a}^{\mathsf T}\vv{a}$	3	L14 L15 L16
18	광고와 가격을 가를 수 있나	$X^{\mathsf T}X\vv{\beta}=X^{\mathsf T}\vv{y}$	3	L15 L16 L09
19	평당·층당 얼마인가	$A^{\mathsf T}A$ 가 대각	3	L14 L16 L17
20	대당 몇 시간인가	정규방정식, $\vv{e}\perp\Col(A)$	3	L09 L14 L16
21	셋 중 무엇이 듣나	$X^{\mathsf T}X=8I$	3	L14 L16 L17
22	공짜 돈이 있나	$\vv{y}\in\Col(A)$ , 오일러 공식	2	L05 L10 L12
23	승수 2.5가 맞나	$(I-A)^{-1}$ , 비대각이 핵심	1	L03 L20
24	한 번에 얼마씩 주문하나	없음	0	해당 없음

마치며...¶

이 편에서 스물넷을 옮겨 적었다. 돌아보면 같은 일이 반복됐다.

미지수를 정하는 것이 첫 결정이다. 문제 1에서 증가분이 아니라 총산출을 세웠고, 문제 5에서 증권 값이 아니라 경우별 값을 세웠다. 무엇을 세로로 세우느냐가 문제의 난이도를 바꾼다.
같은 행렬이 다른 산업에서 나온다. 레온티예프 역행렬 $(I-A)^{-1}$ 과 흡수 마코브의 기본행렬 $(I-Q)^{-1}$ 은 같은 물건이다. 문제 1과 문제 12이 같은 상자에서 나왔다.
규약을 못 박지 않으면 답이 통째로 틀린다. 문제 16의 전치 한 번이 그 예다.
풀렸다고 답이 뜻을 갖는 것은 아니다. 문제 3의 음수 생산, 문제 8의 음수 재고가 그것을 보였다.
선형이 아닌 것도 있다. 문제 24에서 사다리 셋째 칸이 비었고, 그것을 알아채는 것이 답이었다.

다음 편에서는 더 어려운 일을 한다. 지금까지는 미지수가 상황에 이미 이름을 갖고 있었다. 3막에서는 없던 미지수를 발명해야 하고, 4막에서는 무엇을 최소로 할지 우리가 정해야 한다.

이번 글의 내용을 파이썬으로 확인해 보려면 보강 4-1 실습 노트북으로 넘어가면 된다. 스물네 문제의 답을 전부 검산하고, 계수를 흔들어 어디서 모형이 무너지는지 보고, 일부러 틀린 번역(전치를 빼먹기, 행 규약과 열 규약 섞기)을 실행해 결과가 얼마나 어긋나는지 확인할 수 있다.