Lecture 20. 크래머 공식, 역행렬, 부피

두 강의에 걸쳐 행렬식의 성질과 공식을 다뤘지만, 아직 한 번도 "그래서 행렬식이 무엇이냐"는 물음에 답하지 않았다. 성질의 목록도 아니고 $n!$ 개의 합도 아닌, 이 수의 정체는 무엇인가.

답은 놀랍도록 단순하다. 부피이다. 행렬의 열들이 만드는 평행육면체의 부피가 곧 $|\det A|$ 이고, 부호는 그 도형이 뒤집혔는지를 말해 준다. L9에서 슬라이더로 눌러 납작하게 만들었던 그 도형이 사실 처음부터 행렬식이었다.

가는 길에 L19에서 만든 여인수를 써서 역행렬의 공식과 크래머 공식도 얻는다. 다만 그 둘은 곁가지이고, 이번 강의의 심장은 3절의 부피이다.

1. 역행렬 공식¶

L19에서 여인수를 잔뜩 만들어 놓았다. 그것으로 무엇을 할 수 있는가.

여인수를 제자리에 늘어놓은 행렬을 $C$ 라 하자. $(i, j)$ 성분이 $C_{ij}$ 이다. 그리고 $A$ 와 $C^{\mathsf{T}}$ 를 곱해 보자. 놀라운 일이 벌어진다.

대각 성분은 왜 $\det A$ 인가¶

$(A C^{\mathsf{T}})_{ii}$ 는 $A$ 의 $i$ 행과 $C^{\mathsf{T}}$ 의 $i$ 열의 곱이다. $C^{\mathsf{T}}$ 의 $i$ 열은 $C$ 의 $i$ 행이므로

인데, 이것은 L19의 $i$ 행에 대한 여인수 전개((22))와 글자 그대로 같다. 곧 $\det A$ 이다.

비대각 성분은 왜 0인가¶

여기가 이 절의 핵심이다. $i \neq k$ 일 때

이다. 곱해지는 여인수는 $k$ 행의 것인데, 계수는 $i$ 행의 성분이다. 줄이 어긋나 있다.

이 합을 여인수 전개로 읽어 보자. $A$ 의 $k$ 행을 $i$ 행으로 갈아끼운 행렬을 $A'$ 이라 하자. $A'$ 의 $k$ 행 여인수는 $k$ 행을 지우고 계산하는 것이라 $A$ 의 것과 똑같고, $A'$ 의 $k$ 행 성분은 $a_{ij}$ 이다. 그러므로 (3)의 합은 정확히 $\det A'$ 이다.

그런데 $A'$ 은 $i$ 행과 $k$ 행이 같다. L18의 성질 1((2))에 의해 행렬식이 0이다.

말로만 들으면 손에 잡히지 않으니 숫자로 한 번 확인하자. L19에서 쓰던 행렬이다.

$(1, 3)$ 성분을 계산해 보자. $A$ 의 1행과 $C$ 의 3행을 짝지어 곱하는 자리이다.

우연이 아니다. 이 합은 $A$ 의 3행을 1행으로 갈아끼운 행렬을 3행으로 여인수 전개한 것이다.

$A'$ 의 3행 여인수는 3행을 지우고 계산하는 것이라 $A$ 의 것과 똑같고, 3행 성분만 $1, 2, 1$ 로 바뀌었다. 그래서 (5)의 합이 $\det A'$ 이고, 두 행이 같으니 0이다. 나머지 여섯 개의 비대각 성분도 같은 이유로 0이다.

(1)의 양변을 $\det A$ 로 나누면 역행렬이 나온다.

$C^{\mathsf{T}}$ 를 딸림행렬(adjugate)이라 부른다.

$2 \times 2$ 로 확인하자. $C_{11} = d$, $C_{12} = -c$, $C_{21} = -b$, $C_{22} = a$ 이므로

L3에서 손으로 유도했던 그 공식이다((34)).

2. 크래머 공식¶

역행렬 공식이 있으니 해도 바로 쓸 수 있다. $\vv{x} = A^{-1}\vv{b}$ 를 성분으로 풀어쓰면 된다. 다만 첨자가 한 번 뒤집히는 자리가 있으니 천천히 가자.

(8)의 공식에서 $A^{-1} = C^{\mathsf{T}}/\det A$ 였다. 전치가 붙어 있으므로 $\left(A^{-1}\right)_{ji}$ 는 $C_{ji}$ 가 아니라 $C_{ij}$ 이다.

이것을 (10)의 자리에 넣는다.

이제 1절과 같은 방식으로 이 합을 읽는다. 첨자를 보면 $j$ 가 고정이고 $i$ 로 더하고 있다. 곧 열에 대한 여인수 전개의 모양이다(L19의 (23)).

$A$ 의 $j$ 열을 $\vv{b}$ 로 갈아끼운 행렬을 $B_j$ 라 하자. 두 가지가 맞아떨어진다. 첫째로 $B_j$ 의 $j$ 열 여인수는 그 열을 지우고 계산하는 것이라 갈아끼운 자리를 보지 않으므로 $A$ 의 것과 똑같다. 둘째로 $B_j$ 의 $j$ 열 성분이 바로 $b_i$ 이다. 그러므로 (12)의 합이 $\det B_j$ 를 $j$ 열로 전개한 것과 글자 그대로 같다.

예제¶

L2에서 소거로 풀었던 문제이다. $\vv{b} = (2, 12, 2)$ 이고 $\det A = 10$ 이었다. 열을 하나씩 $\vv{b}$ 로 갈아끼우고 행렬식을 구한다.

세 행렬식이 각각 $20, 10, -20$ 이다. 나누면 해가 나온다.

$\vv{x} = (2, 1, -2)$ 이다. 소거로 얻은 답과 같다.

아름답다. 해를 명시적인 공식 하나로 쓸 수 있다. 그런데 대가가 있다. $n \times n$ 을 풀려면 $\det A$ 와 $\det B_1, \dots, \det B_n$, 곧 $n+1$ 개의 행렬식이 필요하다. 소거 한 번으로 끝나는 일을 $n+1$ 배로 늘려 놓은 셈이다.

L19에서 만난 태도가 다시 나온다. 옳은 공식과 쓰는 방법은 다르다.

3. 행렬식은 부피이다¶

이제 이번 강의의 심장이다. 행렬식이 부피라는 것을 어떻게 확신할 수 있는가.

부피를 직접 계산해서 $n!$ 개 항의 합과 같은지 확인하는 것은 끔찍한 일이다. 다행히 그럴 필요가 없다. 증명 전략이 아름답다.

L18에서 세 개의 공리를 만족하는 함수가 값을 하나로 정한다는 것을 보았다. $2 \times 2$ 에서 $ad - bc$ 가 유일하게 나온 것이 그 예이다. 그러므로 이렇게 하면 된다.

세 공리를 하나씩 확인하자. 여기서 부피는 방향까지 담은 부호 있는 부피로 본다. $n$ 개의 행 $\vv{r}_1, \dots, \vv{r}_n$ 이 만드는 평행육면체의 부호 있는 부피를 $V(\vv{r}_1, \dots, \vv{r}_n)$ 이라 쓰자.

① 단위 정육면체의 부피는 1이다¶

$A = I$ 이면 행이 $\vv{e}_1, \dots, \vv{e}_n$ 이고 도형이 한 변의 길이가 1인 정육면체이다. 부피가 1이고, 표준기저는 방향이 $+$ 이므로 부호도 $+$ 이다.

② 두 변을 바꾸면 부호가 뒤집힌다¶

두 행을 맞바꿔도 도형 자체는 조금도 변하지 않는다. 같은 벡터들이 같은 평행육면체의 변을 이루기 때문이다. 변하는 것은 그 벡터들을 나열한 순서, 곧 방향뿐이다.

2차원에서는 두 벡터의 순서를 바꾸면 꼭짓점을 도는 방향이 반시계에서 시계로 뒤집히고, 3차원에서는 오른손 좌표계가 왼손 좌표계가 된다. 눈으로 확인할 수 있는 사실이다.

③ 한 행에 대해 선형이다¶

셋 중에 이것이 가장 덜 뻔하다. 제대로 따져 보자.

$i$ 행만 움직이고 나머지 $n-1$ 개의 행은 붙박아 둔다. 붙박은 행들이 만드는 $(n-1)$ 차원 밑면의 부피를 $B$ 라 하고, 그 밑면에 수직인 단위벡터를 $\hat{\vv{n}}$ 이라 하자.

부피는 밑면 곱하기 높이이다. 그리고 높이는 움직이는 행의 밑면에 수직인 성분의 길이이다. L15에서 배운 그대로이다. 부호까지 살리면 그 성분이 내적 하나로 적힌다.

여기가 열쇠이다. $B$ 와 $\hat{\vv{n}}$ 은 붙박은 행들만으로 정해지므로 $\vv{r}$ 이 어떻게 변하든 상수이다. 그러면 (18)의 오른쪽은 $\vv{r}$ 에 대한 내적에 상수를 곱한 것이고, 내적은 선형이다.

공리 ③이 확인되었다. "밑면이 고정된 채 높이만 변한다"는 말의 정확한 뜻이 (18)의 내적이다.

붙박은 행들이 종속이라 밑면이 납작한 경우도 걸리지 않는다. 그러면 $B = 0$ 이라 (18)의 양변이 늘 0이고, 등식이 $0 = 0$ 으로 성립한다.

세 개가 다 맞았다¶

L18에서 세 공리를 만족하는 함수는 하나뿐임을 보았다. 부호 있는 부피가 그 셋을 만족하니 행렬식일 수밖에 없다. 절댓값을 씌우면 부호가 떨어져 나간다.

$\det A^{\mathsf{T}} = \det A$ 이므로 행으로 말하든 열로 말하든 같은 값이다.

네 문장이 등호로 이어진다¶

$\det A = 0$ 이라는 말은 여러 얼굴을 가진다. 지금까지 배운 것을 나란히 놓아 보자.

말로 옮기면 이렇다. 부피가 0이라는 것은 공간을 납작하게 눌렀다는 뜻이고, 납작하게 눌렀다는 것은 정보를 잃었다는 뜻이고, 정보를 잃었다는 것은 되돌릴 수 없다는 뜻이다.

세 번째 고리는 L9의 종속이고, 네 번째는 L6의 영공간이며, 마지막은 L3의 역행렬이다. 서로 다른 강의에서 따로 배운 것들이 하나의 사슬로 이어진다(L18의 (23)).

4. 삼각형, 그리고 부호¶

부피 이야기의 부산물이 하나 있다. 원점과 두 점 $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ 가 만드는 삼각형을 보자.

두 벡터가 만드는 평행사변형에 대각선을 그으면 삼각형 둘로 나뉜다. 그 둘은 합동이다. 한쪽을 대각선의 중점을 중심으로 180도 돌리면 다른 쪽에 정확히 포개지기 때문이다. 그러므로 삼각형의 넓이는 평행사변형의 절반이다.

원점을 지나지 않는 삼각형¶

꼭짓점이 $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $(x_3, y_3)$ 인 일반적인 삼각형은 어떤가. 평행이동해서 한 꼭짓점을 원점으로 보내면 된다. 넓이는 평행이동으로 변하지 않는다.

첫 꼭짓점을 원점으로 보내면 나머지 두 꼭짓점이 두 변의 벡터가 된다.

전개해서 정리하면 뺄셈이 사라진 대칭적인 모양으로 바꿀 수 있다. 세 꼭짓점을 그대로 늘어놓고 1로 채운 열을 하나 붙인 $3 \times 3$ 행렬이다.

두 식이 같다는 것은 소거 한 번으로 확인된다. 1행을 2행에서 빼고, 1행을 3행에서 뺀다. 다른 행의 배수를 더하는 연산이므로 L18의 성질 3에 의해 행렬식이 변하지 않는다.

3열이 $1, 0, 0$ 이 되었다. 3열로 여인수 전개하면 항이 하나만 남는다.

부호가 $(-1)^{1+3} = +1$ 이므로 (24)의 $2 \times 2$ 가 그대로 나온다. 두 식이 같다.

부호가 말하는 것¶

부호는 방향이다. 2차원에서는 반시계가 시계로 뒤집히는지, 3차원에서는 오른손 좌표계가 왼손이 되는지를 말한다.

L17의 직교행렬에서 이것이 깔끔하게 갈린다. $Q^{\mathsf{T}}Q = I$ 의 양변에 행렬식을 취하면

이다. $\det A^{\mathsf{T}} = \det A$ 를 쓴 결과이다. 길이를 보존하니 부피도 보존되는 것이 당연하고, 남는 것은 부호뿐이다. +1 이면 순수한 회전, -1 이면 반사가 섞인 것이다.

5. 야코비안 — 미적분에서 만났던 그 값¶

다변수 적분에서 변수를 바꿀 때 무언가를 곱해 주어야 했다. 극좌표로 바꿀 때 $dx\,dy$ 가 $r\,dr\,d\theta$ 가 되면서 $r$ 이 어디선가 나타났다. 그 $r$ 이 이것이다.

왜 편미분을 모아 놓은 행렬이 나오는가¶

좌표 변환 $x = x(r, \theta)$, $y = y(r, \theta)$ 는 선형변환이 아니다. 그런데 행렬식은 선형변환의 부피 배율이었다. 어떻게 연결되는가.

답은 충분히 확대하면 어떤 매끄러운 변환도 선형변환으로 보인다는 것이다. 한 점 $(r_0, \theta_0)$ 근처에서 아주 조금 움직였을 때 $x$ 와 $y$ 가 얼마나 변하는지는 전미분으로 적힌다.

두 줄을 행렬로 묶으면 정체가 드러난다.

$J$ 가 바로 그 점 근처에서 좌표 변환을 흉내 내는 선형변환이다. 이것을 야코비 행렬이라 한다.

이제 $(r, \theta)$ 평면의 아주 작은 직사각형 $dr \times d\theta$ 를 보자. 그 두 변은 $(dr, 0)$ 과 $(0, d\theta)$ 이고, $J$ 를 지나면 $J$ 의 두 열에 각각 $dr$ 과 $d\theta$ 를 곱한 벡터가 된다. 곧 직사각형이 평행사변형으로 옮겨 간다. 3절에 의해 그 평행사변형의 넓이는 $|\det J|$ 에 원래 넓이를 곱한 것이다.

극좌표로 계산해 보자¶

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ 를 편미분해서 $J$ 를 채운다.

곱해 주던 $r$ 은 아주 작은 사각형이 좌표 변환으로 얼마나 늘어나는지의 부피 배율이었다. 원점에서 멀어질수록 같은 $d\theta$ 가 더 긴 호를 그으니 배율이 $r$ 에 비례한다. $r = 0$ 에서 배율이 0인 것도 맞는다. 원점에서는 $\theta$ 를 아무리 돌려도 제자리이므로 그 자리에서 좌표 변환이 납작하게 눌린다.

미적분에서 이유도 모르고 곱하던 값의 정체가 행렬식이다.

6. 자주 하는 오해¶

크래머 공식이 실용적이라는 오해¶

교과서가 이 공식을 강조해서 생기는 착각이다. $3 \times 3$ 까지는 손으로 할 만하지만 $n + 1$ 개의 행렬식이 필요하다는 사실은 변하지 않는다. 실무에서 쓰지 않는다.

부피가 음수일 수 있다는 오해¶

부피는 $|\det A|$ 이므로 음수가 아니다. 부호는 부피의 일부가 아니라 방향 정보이다. 둘을 붙여 "부호 있는 부피"라고 부를 때는 그것이 방향까지 담은 값이라는 뜻이다.

행렬식이 크면 좋다는 오해¶

L18에서 한 이야기의 짝이다. 행렬식이 크다는 것은 많이 늘렸다는 뜻일 뿐이고 좋다는 뜻이 아니다. 어느 방향으로 얼마나 늘렸는지는 행렬식 하나로 알 수 없다. 부피 배율은 방향별 배율을 전부 곱해 놓은 값이라, 한 방향으로 100배 늘이고 다른 방향으로 100분의 1로 줄여도 행렬식은 1이다.

마치며...¶

세 강의에 걸친 행렬식 이야기가 끝났다.

그런데 이상한 점이 하나 있다. 행렬식에 세 강의를 썼는데 정작 왜 배웠는지는 아직 말하지 않았다. 방정식을 푸는 데는 소거가 빠르고, 역행렬을 구하는 데도 가우스-조르당이 빠르다. 부피를 알아서 좋기는 하지만 그것만으로 세 강의를 쓸 이유가 되지는 않는다.

다음 강의에서 다음 방정식을 만나는 순간 알게 된다.

이 식을 이제 이렇게 읽을 수 있다. 부피가 0이 되도록 $\lambda$ 를 고른다. $A - \lambda I$ 가 공간을 납작하게 누르도록, 곧 영공간이 원점보다 커지도록 만드는 $\lambda$ 를 찾는 것이다. 세 강의가 없었으면 이 식은 외워야 할 공식이었을 것이다.

그리고 그 방정식이 이 교재의 후반부 전체를 여는 열쇠가 된다.

이번 강의의 내용을 파이썬으로 확인해 보려면 L20 실습 노트북으로 넘어가면 된다. 딸림행렬로 역행렬을 만들어 np.linalg.inv 와 대조하고, 크래머 공식과 소거의 속도를 재 보며, 단위 정육면체가 평행육면체로 옮겨 가는 것을 회전시켜 가며 볼 수 있다.