# 제43장 · 표시가 없는 문제

:::{admonition} 이 장
:class: seealso

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|---|---|
| **사용 도구** | 제1~36장 전부. 특히 [제6장](../part1/ch06.md) 비율 · [제10장](../part2/ch10.md) 방정식 · [제11장](../part2/ch11.md) 부등식 · [제12장](../part2/ch12.md) 지수 · [제18장](../part2/ch18.md) 연립방정식 · [제22장](../part3/ch22.md) 로그 · [제31장](../part3/ch31.md) 최적화 · [제33장](../part3/ch33.md) 정적분. 그리고 [제37장](ch37.md)부터 [제42장](ch42.md)까지 |
| **선행 내용** | [제42장](ch42.md) 쌓임과 잉여 |
| **요지** | 사용할 도구가 지정되지 않은 문제에 대해 모형화 다섯 단계를 직접 구성하고 도구를 직접 선택한다. |
:::

## 도입

금요일 저녁, 지영은 부동산에서 종이 두 장을 받았다. 한 장에는 "전세 $2$억", 다른 한 장에는 "보증금 $2{,}000$만 / 월세 $70$만"이라고 적혀 있다. 종이 어디에도 *비율*이라는 말은 없다. *복리*도, *기회비용*도, *일차방정식*도 없다. 주어진 것은 몇 개의 수치와 어느 쪽을 선택할 것인가라는 물음뿐이다.

이 책의 문제들은 지금까지 도구 표시를 달고 있었다. 제12장 아래에 놓인 문제는 지수법칙으로 풀었고, 제31장 아래에 놓인 문제는 미분해서 $0$으로 놓았다. 장 제목이 사용할 도구를 지정하는 역할을 했다. 그것은 학습 과정에서 필요한 장치였으나, 부동산에서 받아 온 종이에는 그런 장치가 없다.

**이 장의 문제에는 도구 표시가 없다.** 어느 장에서 배운 것을 사용해야 하는지 문제가 알려 주지 않는다. 모형화 다섯 단계도 미리 채워져 있지 않다. 상황을 읽고, 무엇을 모르는지 정하고, 무엇을 아는지 골라내고, 둘을 잇는 식을 세우고, 그 식이 어느 장의 도구인지 스스로 판단해야 한다. 이것이 이 장의 과제이다.

표시가 없다는 것은 도구가 새롭다는 뜻이 아니다. 사용할 도구는 여전히 이 책 안에 있고, 대부분은 제1부와 제2부의 것이다. 달라지는 것은 **도구를 선택하는 주체**뿐이다. 선택의 기준은 학습으로 익힐 수 있다. 다음 두 절이 그 기준을 정리한다.

## 도구를 고르는 기준 — 네 가지 물음

상황을 읽은 뒤 다음 네 가지를 먼저 확인한다. 네 물음의 답이 정해지면 사용할 도구가 대부분 결정된다.

| 물음 | 구분 기준 | 왼쪽이면 | 오른쪽이면 |
|---|---|---|---|
| ① **총량인가, 변화인가** | "얼마인가" / "얼마나 빨리 바뀌는가" | 사칙연산·비율([제6장](../part1/ch06.md)) | 변화율·도함수([제24장](../part3/ch24.md), [제26장](../part3/ch26.md)) |
| ② **한 시점인가, 기간인가** | "지금 잔액" / "$1$년 동안" | 그대로 읽는다 | 누적·정적분([제32장](../part3/ch32.md), [제33장](../part3/ch33.md)) |
| ③ **곱으로 쌓이는가, 더하기로 쌓이는가** | "매년 $3\%$씩" / "매년 $30$만 원씩" | 지수·로그([제12장](../part2/ch12.md), [제22장](../part3/ch22.md)) | 일차식([제9장](../part2/ch09.md), [제10장](../part2/ch10.md)) |
| ④ **맞아떨어지는 점인가, 가장 큰 값인가** | "언제 같아지는가" / "언제 최대인가" | 방정식([제10장](../part2/ch10.md), [제16장](../part2/ch16.md), [제18장](../part2/ch18.md)) | 미분해서 $0$([제31장](../part3/ch31.md)) |

### ① 총량인가, 변화인가

"전기요금이 $8$만 원이다"와 "전기요금이 오르고 있다"는 서로 다른 종류의 문장이다. 앞은 값이고 뒤는 기울기다. 값을 묻는 물음에 도함수를 적용하면 답이 나오지 않고, 기울기를 묻는 물음에 값만 계산해도 답이 되지 않는다.

구분 기준은 문장에 **"한 개 더"에 해당하는 표현**이 있는지이다. "한 잔 더 팔면 얼마가 남는가", "$1$킬로와트시를 더 쓰면 얼마를 더 내는가", "$1$년 더 늦추면 연금이 얼마나 늘어나는가" — 이런 물음은 전부 변화율이고, 경제학에서는 여기에 **한계**(marginal)라는 이름을 붙인다. 한계비용은 한 단위 더 만들 때 늘어나는 비용이고, 한계수입은 한 단위 더 팔 때 늘어나는 수입이다. "한계"라는 표현이 있으면 도함수를 사용한다.

### ② 한 시점인가, 기간인가

"통장 잔액 $500$만 원"과 "월급 $300$만 원"은 단위부터 다르다. 앞은 어느 한 순간에 측정되는 양이고(**스톡**), 뒤는 기간이 있어야 뜻이 정해지는 양이다(**플로우**). 월급에서 "월"을 떼면 $300$만 원이 무엇을 뜻하는지 정해지지 않지만, 잔액에는 뗄 기간이 없다.

플로우를 기간에 걸쳐 모으면 스톡이 된다. 매달 $300$만 원을 $12$달 받으면 $3{,}600$만 원이 쌓인다. 흘러드는 양이 일정하면 곱셈으로 계산되고, 흘러드는 양이 시간에 따라 달라지면 그것이 정적분이다. 반대로 스톡의 변화 속도를 물으면 도함수다. **적분과 미분은 스톡과 플로우를 서로 변환하는 두 방향**이며, 이렇게 정리해 두면 어느 쪽을 사용할지 판단할 수 있다.

### ③ 곱으로 쌓이는가, 더하기로 쌓이는가

이 물음이 실제 문제에서 가장 자주 구분을 요구한다. 매년 같은 **금액**이 붙으면 일차식이고, 매년 같은 **비율**이 붙으면 지수함수다.

$$\text{매년 } 30 \text{만 원씩}: \quad y = 1000 + 30t \qquad\qquad \text{매년 } 3\%\text{씩}: \quad y = 1000 \times 1.03^{\,t}$$

물가, 이자, 인구, 감가, 유행 — "$\%$"라는 기호를 달고 반복되는 양은 대부분 오른쪽에 해당한다. 그리고 오른쪽이면 **"언제"를 묻는 순간 로그가 필요해진다.** $1.03^t = 2$ 를 $t$ 에 대해 푸는 방법은 로그뿐이다.

### ④ 맞아떨어지는 점인가, 가장 큰 값인가

"언제 본전인가", "몇 개를 팔아야 적자가 아닌가", "두 요금제가 같아지는 통화량은" — 이런 물음은 전부 **양쪽을 식으로 쓰고 등호로 잇는 것**이다. 미지수가 하나면 일차·이차방정식, 조건이 둘이면 연립방정식이다. 수요와 공급이 만나는 **균형**도 두 식을 등호로 이은 것이다.

반면 "가장", "최대", "최적"이 들어가면 방정식이 아니라 최적화다. 목표를 미지수 하나의 함수로 쓰고, 미분해서 $0$ 으로 놓는다. 여기서 빈번한 오류는 **무엇을 최대로 할지 정하지 않고 계산을 시작하는 것**이다. 매출을 최대로 하는 가격과 이윤을 최대로 하는 가격은 다르다. 이 장의 문제 11에서 두 값이 실제로 다르게 나온다.

### 네 물음은 대개 겹친다

현실의 문제는 하나만 묻지 않는다. "물가를 감안하면 이 대출의 실질 부담이 $8$년 뒤 얼마인가"는 ②(기간)와 ③(곱으로 쌓임)이 겹친 물음이고, "수수료가 오르면 값이 얼마나 오르고 그때 소비자가 잃는 것은 얼마인가"는 ④(균형)와 ②(누적)가 겹친 물음이다. 겹칠 때는 **순서대로 하나씩 처리한다.** 균형을 먼저 구하고, 구한 균형점으로 넓이를 계산하는 순서이다. 한 번에 모두 세우면 식이 복잡해져 오류가 생긴다.

문장에서 도구로 바로 연결되는 대응도 정리해 둔다. 예외 없는 규칙은 아니지만 도구를 처음 고르는 기준으로는 충분하다.

| 문장에 이런 말이 있으면 | 대개 이 도구다 |
|---|---|
| "몇 퍼센트", "$\sim$당", "$\sim$ 대비", "인상률" | 비율([제6장](../part1/ch06.md)) |
| "매년 $\bigcirc\%$씩", "복리", "물가", "감가" | 지수([제12장](../part2/ch12.md)) |
| "몇 년 걸리나", "언제 두 배", "언제 절반" | 로그([제22장](../part3/ch22.md)) |
| "언제 본전", "손익분기", "같아지는 지점" | 방정식([제10장](../part2/ch10.md), [제16장](../part2/ch16.md)) |
| "최소 몇 개", "$\sim$ 이상이면", "넘으려면" | 부등식([제11장](../part2/ch11.md)) |
| "두 조건을 동시에", "균형", "만나는 점" | 연립방정식([제18장](../part2/ch18.md)) |
| "한 개 더", "한계", "속도", "기울기" | 도함수([제26장](../part3/ch26.md), [제27장](../part3/ch27.md)) |
| "가장 큰", "최적", "얼마로 정해야" | 최대·최소([제31장](../part3/ch31.md)) |
| "모두 합쳐서"(변하는 양을), "누적", "총" | 정적분([제33장](../part3/ch33.md)) |

## 도구를 적용하기 전에 — 단위, 기준, 시점

도구를 옳게 골라도 재료를 잘못 넣으면 답이 틀린다. 실제 문제에서 답을 틀리게 만드는 원인은 대개 계산의 난도가 아니라 다음 세 가지다.

**기준량을 정한다.** $\%$ 는 항상 무언가에 대한 비율이다. "$20\%$ 할인 후 $20\%$ 인상"이 원래 값으로 돌아오지 않는 이유는 두 $20\%$ 의 기준이 다르기 때문이다. $10{,}000$ 원에서 $20\%$ 를 깎으면 $8{,}000$ 원, 거기서 $20\%$ 를 올리면 $9{,}600$ 원이다. 문제를 읽은 뒤 가장 먼저 확인할 것은 **"이 퍼센트는 무엇에 대한 퍼센트인가"** 이다.

**명목과 실질을 구분한다.** *명목*은 그 시점의 돈 액수 그대로이고, *실질*은 물가로 나눠 물건 기준으로 고친 값이다. $10$년 전 월급 $200$만 원과 지금 월급 $260$만 원을 그대로 비교하면 $30\%$ 올랐지만, 그동안 물가가 $40\%$ 올랐다면 구입할 수 있는 물건의 양은 오히려 줄었다. 규칙은 하나다.

$$\text{실질} = \frac{\text{명목}}{\text{물가지수 비율}}$$

돈이 **다른 시점**에 놓여 있으면 항상 이 물음을 먼저 확인한다. 반대로 같은 시점의 두 금액을 비교할 때는 물가로 나눠도 순위가 바뀌지 않는다. 같은 수로 나누기 때문이다.

**스톡과 플로우를 섞지 않는다.** 잔액에 월급을 더하는 것은 가능하지만, 잔액과 월급을 나란히 놓고 "어느 쪽이 큰가"를 묻는 것은 성립하지 않는다. 단위가 다르면 비교가 성립하지 않는다. 비교하려면 한쪽을 다른 쪽 단위로 옮겨야 한다 — 월급에 기간을 곱해 쌓아 스톡으로 만들거나, 잔액에 이자율을 곱해 플로우로 만든다.

**부호를 미리 정한다.** 특히 **탄력성** — 어떤 값이 $1\%$ 변할 때 다른 값이 몇 $\%$ 변하는지를 나타내는 수 — 은 부호에서 오류가 자주 발생한다. 수요의 가격탄력성은 값이 오르면 수요가 줄기 때문에 음수다. 관례상 절댓값으로 표기하는 경우가 많은데, 계산 도중에 부호를 잃으면 결론이 반대로 나온다. 절댓값을 쓸 것인지 부호를 살릴 것인지 **처음에 정하고 계산 전체에서 일관되게 유지한다.**

## 수학적 모형의 한계

여기서부터가 이 장의 결론이자 제4부 전체의 결론이다. 앞의 여섯 장에서 물가를 다루고, 복리를 다루고, 균형을 세우고, 탄력성을 재고, 한계를 미분하고, 잉여를 적분했다. 그 모든 계산이 공통으로 하지 **않는** 일이 다섯 가지 있다.

### 모형은 가정 위에서만 성립한다

[제40장](ch40.md)에서 수요곡선을 직선으로 그렸다. 그것은 세상이 직선이어서가 아니라 직선이 다루기 쉽기 때문이다. 이 장의 문제 7에서 중고차 값이 매년 정확히 $20\%$ 씩 빠진다고 놓는데, 실제 중고차는 첫해에 훨씬 크게 빠진다. 문제 9에서 노동시장을 완전경쟁으로 놓지만, 동네 편의점 시장이 완전경쟁인지는 확인되지 않았다.

가정이 틀렸다는 뜻이 아니다. **가정이 있다는 사실을 누락하는 것**이 문제다. 계산 결과를 진술할 때는 항상 앞에 조건절이 붙어야 한다. "수요가 직선이고 다른 조건이 그대로라면, 고용은 $20\%$ 줄어든다." 조건절을 제거하면 계산은 예측이 아니라 단정이 되고, 그 단정은 대개 성립하지 않는다.

### 데이터가 없으면 식도 없다

문제 13이 이것만 다룬다. 미지수를 정하고 식을 세우는 데까지는 수학이 담당하지만, 그 식에 넣을 숫자는 수학이 만들어 주지 않는다. 좌석 이용률을 모르면 스터디카페의 매출을 계산할 방법이 없다. 없는 숫자를 임의의 값으로 채우고 소수점 둘째 자리까지 답을 내는 것은, 정밀해 **보이는** 답을 만드는 일이지 정확한 답을 만드는 일이 아니다.

이럴 때 수학이 담당할 수 있는 일은 따로 있다. **모르는 것의 개수를 줄이고, 그 하나의 임계값을 정확히 확정하는 것**이다. "이 사업 될까?"라는 대답 불가능한 물음을 "좌석당 하루 $1.27$시간이 나오는가?"라는 관찰 가능한 물음으로 바꾸는 것이 계산의 성과이다.

### 상관과 인과는 다르다

[제26장](../part3/ch26.md)에서 배운 기울기는 "$x$ 가 변할 때 $y$ 가 함께 얼마나 변했는가"를 측정한다. 그 이상은 측정하지 않는다. 최저임금을 올린 지역에서 고용이 늘었다는 자료를 얻었다고 하자. 최저임금 인상이 고용을 늘린 것일 수도 있고, 경기가 좋아서 임금도 오르고 고용도 늘었을 수도 있다. 두 경우의 **기울기는 동일하게 나온다.**

이 책의 어떤 계산도 둘을 구분하지 못한다. 미분도, 적분도, 회귀선도 구분하지 못한다. 인과를 판별하려면 계산이 아니라 **비교할 대조군**이 필요하고, 그것은 실험 설계와 통계적 추론의 영역이다. 그러므로 "이 식에 따르면 $A$ 가 $B$ 의 원인이다"라는 문장은 거의 언제나 과잉 해석이다. 식이 제공한 정보는 "$A$ 와 $B$ 가 함께 움직였다"까지다.

### 평균은 개인을 말해주지 않는다

이 장의 문제 9에서 최저임금을 올리면 지역 전체의 임금소득이 $12\%$ 줄어든다는 답이 나온다. 그 내부를 보면, 계속 일하는 사람의 시급은 $10\%$ 올랐고 일자리를 잃은 사람의 소득은 $100\%$ 줄었다. **$-12\%$ 라는 하나의 수는 이 두 경우를 구분하지 못한다.**

문제 12의 평균단가도 같다. $450$킬로와트시를 쓴 집의 평균단가는 $182.6$원인데, 한 킬로와트시를 더 쓸 때 실제로 내는 돈은 $307$원이다. 평균은 지나온 모든 구간을 합쳐 하나로 만든 값이므로, 지금 시점의 결정에는 적합하지 않다. [제42장](ch42.md)에서 구한 잉여의 총합도 마찬가지다. 총 잉여가 늘어도 일부 주체는 손실을 본다. **총합과 평균은 분포 정보를 보존하지 않는다.** 분포를 다시 확인하는 것은 계산 바깥의 일이다.

### 숫자는 답을 주지 않고 답의 범위를 좁힌다

이것이 제4부 전체를 한 문장으로 줄인 것이다.

문제 5에서 연금 손익분기 나이 $82$세가 나온다. 이 숫자는 "연기하라"는 결론이 아니다. "$82$세를 넘겨 살면 연기가 이득"이라는 조건부 진술이다. 연기 여부는 건강, 가족력, 당장의 생활비, 그리고 우연이 함께 결정한다. 문제 8에서 하루 $99$잔이라는 수가 나오지만, 그 수는 "창업하라"도 "하지 마라"도 아니다. "이만큼 팔아야 한다"까지다.

계산의 산출물은 **결정이 아니라 조건부 문장**이다. 계산 전에는 선택지가 구분되지 않은 상태이고, 계산 후에는 "이 조건이면 이쪽, 저 조건이면 저쪽"으로 분기가 명시된다. 명시된 부분이 수학이 담당한 몫이고, 남은 조건을 판단하는 것은 계산의 영역이 아니다. 이 구분을 유지하면 계산 결과를 과대 해석하지도, 과소 해석하지도 않게 된다.

## 시나리오 문제

여기서부터 도구 표시가 없다. 문제를 읽고, 모형화 다섯 단계를 스스로 채우고, 어느 장의 도구를 사용할지 직접 선택한다. 막히면 위의 네 물음으로 돌아간다. 다섯 단계와 풀이는 접혀 있으므로, **먼저 스스로 작성한 뒤에** 펼친다.

### 문제 1 · 전세와 월세 사이  ★★☆

**상황** — 지영은 이사할 집 두 곳을 놓고 고민 중이다. 한 곳은 전세 보증금 $2$억 원, 다른 곳은 보증금 $2{,}000$만 원에 월세 $70$만 원이다. 두 집의 크기와 위치는 사실상 같다. 지영에게는 $2$억 원이 예금에 들어 있고, 그 예금의 금리는 연 $3.6\%$ 다. 대출은 쓰지 않는다.

**모형 설정** — 어느 쪽이 얼마나 싼가. 전세 보증금 $2$억 원은 나중에 돌려받는 돈인데, 이것을 "비용"으로 볼 것인가 아닌가. 본다면 무엇을 비용으로 세어야 하는가. 그리고 비교의 단위를 월로 맞출 것인가, 연으로 맞출 것인가.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 두 선택의 연간 비용 차이. 그리고 예금금리가 몇 $\%$ 를 넘으면 유불리가 뒤집히는지.

② **주어진 값** — 전세 보증금 $200{,}000{,}000$ 원, 월세 보증금 $20{,}000{,}000$ 원, 월세 $700{,}000$ 원, 예금금리 연 $3.6\%$. 보증금은 둘 다 계약이 끝나면 돌려받는다.

③ **관계식** — 보증금은 소멸하는 돈이 아니라 **묶이는 돈**이다. 묶인 동안 얻을 수 있었던 이자를 포기하는 것이 실제 비용이다. 이렇게 어떤 선택 때문에 포기하게 되는 다른 선택의 가치를 **기회비용**이라 한다.

$$\text{전세 연비용} = 200{,}000{,}000 \times r, \qquad \text{월세 연비용} = 20{,}000{,}000 \times r + 700{,}000 \times 12$$

두 식을 같게 놓으면 유불리가 뒤집히는 금리 $r$ 이 나온다.

④ **사용 도구** — [제6장](../part1/ch06.md) 비율 · [제10장](../part2/ch10.md) 일차방정식

⑤ **모형의 한계** — 전세 보증금 $2$억 원을 떼일 위험. 이 계산은 보증금이 $100\%$ 돌아온다고 전제하는데, 그 전제가 깨지면 손실은 위에서 계산한 어떤 금액보다도 크다. 위험의 값을 어떻게 매길지는 이 식 바깥의 문제이다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
**전세** — 묶이는 돈 $200{,}000{,}000$ 원. 포기하는 이자는

$$200{,}000{,}000 \times 0.036 = 7{,}200{,}000 \text{ 원/년} \ \to\ \text{월 } 600{,}000 \text{ 원}$$

**월세** — 묶이는 돈은 $20{,}000{,}000$ 원뿐이다.

$$20{,}000{,}000 \times 0.036 = 720{,}000 \text{ 원/년} \ \to\ \text{월 } 60{,}000 \text{ 원}$$

여기에 실제로 지출하는 월세 $700{,}000$ 원을 더한다.

$$60{,}000 + 700{,}000 = 760{,}000 \text{ 원/월}$$

**차이** — $760{,}000 - 600{,}000 = 160{,}000$ 원/월, 연으로는 $1{,}920{,}000$ 원.

**뒤집히는 금리** — $200{,}000{,}000\,r = 20{,}000{,}000\,r + 8{,}400{,}000$ 에서

$$180{,}000{,}000\,r = 8{,}400{,}000 \quad\to\quad r = \frac{8{,}400{,}000}{180{,}000{,}000} = 0.04666\ldots \approx 4.67\%$$

**답** — 전세가 월 $16$만 원, 연 $192$만 원 싸다. 예금금리가 약 $4.67\%$ 를 넘으면 그때부터는 월세가 유리해진다.

**검산** — $4.67\%$ 를 두 식에 대입한다. 전세 $200{,}000{,}000 \times 0.046667 = 9{,}333{,}333$ 원. 월세 $20{,}000{,}000 \times 0.046667 + 8{,}400{,}000 = 933{,}333 + 8{,}400{,}000 = 9{,}333{,}333$ 원. 같다.

**빈번한 오류** — 전세 보증금 $2$억 원을 전액 비용에 넣고 "전세가 $2$억, 월세가 연 $840$만 원이니 월세가 압도적으로 싸다"고 결론짓는 것. 보증금은 지출이 아니라 자산의 이동이다. 이 문제에서 스톡($2$억 원)과 플로우(연 $840$만 원)를 직접 비교하면 안 된다는 것이 핵심이다. 스톡을 이자율로 곱해 플로우로 바꾼 뒤에야 나란히 놓을 수 있다.

**확장** — 이 계산에서 나온 $4.67\%$ 는 시장에서 **전월세전환율**이라 부르는 값과 같다.

$$\text{전환율} = \frac{\text{연 월세}}{\text{전세 보증금} - \text{월세 보증금}} = \frac{8{,}400{,}000}{180{,}000{,}000}$$

부동산 광고를 볼 때 이 값을 계산해 예금금리(또는 전세대출 금리)와 비교하면 두 매물의 유불리가 결정된다. 전세금 일부를 대출로 충당한다면 기준은 예금금리가 아니라 **대출금리**가 된다. 대출금리가 더 높으므로 뒤집히는 지점도 그만큼 올라간다.
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### 문제 2 · 기간이 다른 두 투자안  ★★★

**상황** — 준호에게 두 가지 제안이 왔다. A는 $1{,}000$만 원을 넣으면 $3$년 뒤 $1{,}200$만 원을 주고, B는 같은 돈을 넣으면 $6$년 뒤 $1{,}450$만 원을 준다. 중간에 빼는 것은 둘 다 불가능하다. 같은 기간 동안 물가는 매년 $3\%$ 씩 오른다고 본다.

**모형 설정** — 총수익률만 보면 B가 $45\%$ 로 A의 $20\%$ 보다 크다. 그런데 기간이 다르다. 기간이 다른 두 수익을 어떤 값으로 바꿔야 나란히 놓을 수 있는가. 그리고 물가를 반영하면 순위가 바뀌는가, 바뀌지 않는가. (계산기 사용)

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — A와 B의 **연평균 수익률**, 그리고 물가를 걷어낸 **실질 연수익률**.

② **주어진 값** — A: $3$년에 $1.2$배. B: $6$년에 $1.45$배. 물가: 매년 $1.03$배.

③ **관계식** — 수익은 해마다 곱으로 쌓이므로, $t$ 년 동안 $k$ 배가 되었다면 연평균 배수 $x$ 는

$$x^{\,t} = k \quad\to\quad x = k^{1/t}$$

이고, 물가를 걷어낸 실질 배수는 명목 배수를 물가 배수로 나눈 값이다.

$$1 + r_{\text{실질}} = \frac{1 + r_{\text{명목}}}{1 + \pi}$$

④ **사용 도구** — [제12장](../part2/ch12.md) 지수법칙 · [제7장](../part1/ch07.md) 거듭제곱근 · [제22장](../part3/ch22.md) 로그

⑤ **모형의 한계** — A가 끝나는 $3$년 뒤부터 $6$년째까지 준호가 그 돈을 어디에 넣을지. A와 B를 같은 기준으로 놓으려면 남은 $3$년의 재투자 수익률을 알아야 하는데, 그 수익률은 현재 확정되지 않은 값이다. 이 계산은 그 빈칸을 "연평균으로 계속 굴린다"는 가정으로 채운 것이다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
**A의 연평균 배수** —

$$1.2^{1/3} = e^{\ln 1.2 / 3} = e^{0.182322/3} = e^{0.060774} \approx 1.06266$$

연 $6.27\%$.

**B의 연평균 배수** —

$$1.45^{1/6} = e^{\ln 1.45 / 6} = e^{0.371564/6} = e^{0.061927} \approx 1.06388$$

연 $6.39\%$.

**실질로 바꾼다** —

$$\text{A}: \ \frac{1.06266}{1.03} \approx 1.03171 \ \to\ 3.17\%, \qquad \text{B}: \ \frac{1.06388}{1.03} \approx 1.03290 \ \to\ 3.29\%$$

**답** — 연평균으로는 B가 근소하게 크다(명목 $6.39\%$ 대 $6.27\%$). 물가를 걷어내면 실질 $3.29\%$ 대 $3.17\%$ 로, 차이는 그대로 남지만 **명목 수익의 절반가량이 물가상승으로 상쇄된다.**

**검산** — $1.06266^3 = ?$ $1.06266^2 = 1.129246$, $\times 1.06266 = 1.19999$. $1.2$ 로 되돌아온다. $1.06388^6$ 은 $\left(1.06388^2\right)^3 = 1.131841^3$ 이고, $1.131841^2 = 1.281065$, $\times 1.131841 = 1.44999$. $1.45$ 로 되돌아온다. 실질 쪽은 $1.03 \times 1.03171 = 1.06266$, $1.03 \times 1.03290 = 1.06389$ 로 확인된다.

**빈번한 오류** — 두 가지다.

첫째, 총수익률을 기간으로 그냥 나누는 것. $45\% \div 6 = 7.5\%$ 라고 하면 B가 A($20\% \div 3 = 6.67\%$)보다 크게 유리해 보인다. 그러나 이자는 이자에 다시 붙으므로 나눗셈이 아니라 거듭제곱근이다. 실제 차이는 $0.12$ 포인트로 거의 없다.

둘째, 물가를 반영하면 순위가 바뀐다고 판단하는 것. **같은 기간의 두 대안을 같은 물가로 나누면 순위는 바뀌지 않는다.** 같은 수로 나누기 때문이다. 물가를 반영하는 이유는 순위를 정하기 위해서가 아니라, "$6.4\%$ 를 벌었다"가 실제로는 "$3.3\%$ 만큼 더 구입할 수 있게 되었다"는 뜻임을 확인하기 위해서다.

**확장** — 실질수익률을 "명목에서 물가를 빼면 된다"고 근사하면 $6.39 - 3.00 = 3.39\%$ 인데, 정확한 값은 $3.29\%$ 다. 근사가 $0.1$ 포인트만큼 크게 나온다. 물가상승률이 낮을 때는 이 근사가 사용 가능하지만, 물가가 두 자릿수로 오르는 상황에서는 오차가 커져 사용할 수 없다. 나눗셈이 원칙이고 뺄셈은 근사이다.

그리고 $72$의 법칙으로 개략값을 확인한다. 연 $6.39\%$ 면 $72 \div 6.39 \approx 11.3$ 년에 돈이 두 배가 된다. 정확히 계산하면 $\ln 2 / \ln 1.06388 = 0.6931/0.06193 \approx 11.2$ 년이다. 실질 $3.29\%$ 로 보면 $72 \div 3.29 \approx 22$ 년이다. **물건 기준으로 재산이 두 배가 되는 데는 $22$년이 걸린다.**
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### 문제 3 · 연봉 협상 자리에서  ★★☆

**상황** — 민수의 올해 연봉은 $4{,}200$만 원이다. 회사가 내년 연봉을 $3\%$ 올려 주겠다고 했다. 지난 $1$년 동안 물가는 $3.6\%$ 올랐다. 민수는 "물가만큼"이 아니라 **실질로 $2\%$ 를 올려 받는 것**을 목표로 한다.

**모형 설정** — 회사가 제시한 $3\%$ 는 실질로 몇 $\%$ 인가. 그리고 실질 $2\%$ 인상을 만들려면 명목으로 몇 $\%$ 를 요구해야 하는가. 여기에 갈림길이 하나 있다. 연봉은 **앞으로** 받을 돈인데, 위에 주어진 $3.6\%$ 는 **지난** $1$년의 물가상승률이다. 어느 물가를 사용할 것인가.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 명목 인상률 $3\%$ 의 실질 값, 그리고 실질 $2\%$ 를 만드는 명목 인상률 $g$.

② **주어진 값** — 현재 연봉 $42{,}000{,}000$ 원, 제시 인상률 $3\%$, 물가상승률 $3.6\%$, 목표 실질 인상률 $2\%$.

③ **관계식** — 실질 배수는 명목 배수를 물가 배수로 나눈 것이다.

$$\frac{1 + g}{1 + \pi} = 1 + r_{\text{실질}} \quad\to\quad 1 + g = (1 + r_{\text{실질}})(1 + \pi)$$

두 배수를 **곱한다**는 점이 핵심이다. 더하는 것이 아니다.

④ **사용 도구** — [제6장](../part1/ch06.md) 백분율 · [제10장](../part2/ch10.md) 일차방정식 · [제19장](../part2/ch19.md) 유리식

⑤ **모형의 한계** — 민수가 그 금액을 요구할 수 있는 조건인지 여부. 이 계산은 "얼마를 요구해야 실질 $2\%$ 인가"만 답하고, 회사가 그것을 수용할지, 거절당했을 때의 대안이 있는지, 지금이 협상에 적절한 시점인지는 다루지 않는다. 숫자는 목표를 정할 뿐 협상력을 만들지 않는다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
**제시안의 실질 값** —

$$\frac{1.03}{1.036} \approx 0.99421 \quad\to\quad -0.579\% \approx -0.58\%$$

명목으로는 인상이지만 실질로는 **감소다.**

**목표를 만드는 명목 인상률** —

$$1 + g = 1.02 \times 1.036 = 1.05672 \quad\to\quad g = 5.672\% \approx 5.67\%$$

**필요한 연봉 금액** —

$$42{,}000{,}000 \times 1.05672 = 44{,}382{,}240 \text{ 원}$$

약 $4{,}438$만 원이다.

**답** — 회사의 $3\%$ 안은 실질로 $-0.58\%$, 즉 삭감이다. 실질 $2\%$ 인상을 얻으려면 명목 $5.67\%$, 금액으로는 약 $4{,}438$만 원을 요구해야 한다.

**검산** — $44{,}382{,}240 \div 1.036 = 42{,}840{,}000$ 원. 이것이 오늘의 물건 기준으로 환산한 내년 연봉이다. 그리고 $42{,}840{,}000 \div 42{,}000{,}000 = 1.02$ 이므로 정확히 실질 $2\%$ 다.

**빈번한 오류** — $2 + 3.6 = 5.6\%$ 로 더하는 것. 정확한 값 $5.672\%$ 와 $0.072$ 포인트 차이이고, 금액으로는 $42{,}000{,}000 \times 0.00072 \approx 30{,}000$ 원이다. 이 문제에서는 작지만, 물가가 높거나 여러 해를 이어 붙일 때는 이 오차가 곱으로 누적된다. 원칙은 곱셈, 덧셈은 근사이다.

또 하나. 명목 인상률 $3\%$ 가 양수인데 실질 인상률이 음수인 것은 모순이 아니다. 증가한 것은 명목 금액이고, 감소한 것은 **그 금액으로 구입할 수 있는 물건의 양**이다. 두 값은 서로 다른 양이다.

**확장** — 모형 설정에서 제시한 갈림길로 돌아간다. 연봉은 앞으로 $1$년간 받을 돈이므로, 원칙적으로는 **앞으로 $1$년의 물가상승률**로 나누어야 한다. 그런데 그 값은 아직 확정되지 않았다. 그래서 실무에서는 (가) 지난 $1$년의 실적치를 사용하거나, (나) 한국은행이나 정부가 발표한 전망치를 사용한다. 어느 쪽을 사용하든 그것은 **추정치를 대입한 것**이고, 답에는 "물가가 $3.6\%$ 라면"이라는 조건절이 반드시 붙는다. 협상에서도 이 조건절을 명시한 서술이 근거를 분명히 한다.
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### 문제 4 · 학자금 대출의 부담  ★★☆

**상황** — 은지는 졸업하며 학자금 대출 $2{,}400$만 원을 안았다. 고정금리 연 $2\%$ 이고, $8$년 뒤에 원금과 이자를 한 번에 갚는 조건이다. 그동안 물가는 매년 $3\%$ 씩 오르고, 은지의 연봉은 첫해 $3{,}000$만 원에서 매년 $1\%$ 씩 오른다고 하자.

**모형 설정** — $8$년 뒤 은지가 갚을 금액은 얼마이고, 그 부담은 지금보다 큰가 작은가. 여기서 정할 것이 있다. **"부담"을 무엇으로 측정할 것인가** — 그 돈으로 구입할 수 있는 물건의 양(물가 기준)인가, 아니면 그 돈이 은지 연봉의 몇 $\%$ 인가(소득 기준)인가. 두 기준이 같은 답을 주는지 확인한다. (계산기 사용)

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — $8$년 뒤 상환액(명목), 그것을 오늘의 물건값으로 고친 값, 그리고 그것이 그해 연봉에서 차지하는 비율.

② **주어진 값** — 원금 $2{,}400$만 원, 대출금리 연 $2\%$ 복리, 기간 $8$년, 물가 연 $3\%$, 연봉 첫해 $3{,}000$만 원에 연 $1\%$ 인상.

③ **관계식** — 셋 다 매년 같은 비율로 곱해지는 양이므로 전부 지수함수다.

$$\text{상환액} = 2400 \times 1.02^{8}, \qquad \text{물가 배수} = 1.03^{8}, \qquad \text{그해 연봉} = 3000 \times 1.01^{8}$$

실질 상환액은 첫 번째를 두 번째로 나눈 값이고, 소득 대비 부담은 첫 번째를 세 번째로 나눈 값이다.

④ **사용 도구** — [제12장](../part2/ch12.md) 지수법칙 · [제7장](../part1/ch07.md) 거듭제곱

⑤ **모형의 한계** — 은지의 연봉이 매년 $1\%$ 씩 오른다는 가정. 이직하면 계단 형태로 증가하고, 실직하면 $0$ 이 된다. 이 계산에서 결론을 뒤집는 것은 대출금리도 물가도 아니라 **임금 경로**인데, 그것이 가장 확인하기 어려운 값이다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
**명목 상환액** — $1.02^2 = 1.0404$, $1.02^4 = 1.0404^2 = 1.08243$, $1.02^8 = 1.08243^2 \approx 1.17166$.

$$2{,}400 \times 1.17166 \approx 2{,}812 \text{ 만 원}$$

**물가 배수** — $1.03^2 = 1.0609$, $1.03^4 = 1.12551$, $1.03^8 = 1.12551^2 \approx 1.26677$.

**물건 기준 실질 상환액** —

$$\frac{2{,}812}{1.26677} \approx 2{,}220 \text{ 만 원}$$

빌린 $2{,}400$만 원보다 **적다.**

**소득 기준 부담** — $1.01^8 \approx 1.08286$ 이므로 $8$년 뒤 연봉은 $3{,}000 \times 1.08286 \approx 3{,}249$만 원.

$$\frac{2{,}812}{3{,}249} \approx 0.866 \ \to\ 86.6\% \qquad \text{(오늘 기준은 } 2{,}400/3{,}000 = 80.0\% \text{)}$$

**답** — 기준이 다르면 답이 반대로 나온다. **물건 기준으로는 부담이 감소했고**($2{,}400 \to 2{,}220$만 원), **소득 기준으로는 증가했다**($80.0\% \to 86.6\%$).

**검산** — 실질금리를 먼저 구해 확인한다.

$$\frac{1.02}{1.03} \approx 0.990291 \quad\to\quad \text{연 } -0.97\%$$

$8$년이면 $0.990291^{8} \approx 0.92492$ 이고, $2{,}400 \times 0.92492 \approx 2{,}220$ 만 원. 위에서 두 단계로 구한 값과 같다.

**빈번한 오류** — "물가가 오르니 빚도 커진다"고 판단하는 것. 결과는 반대다. **고정금리 부채는 물가가 오를수록 실질로 감소한다.** 상환 금액은 계약서에 고정되어 있는데 그 금액으로 구입할 수 있는 물건의 양은 계속 줄어들기 때문이다. 명목금리 $2\%$ 가 물가상승률 $3\%$ 보다 낮아 실질금리가 음수가 된 것이 그 이유다.

두 번째로, 그 감소를 실제로 체감하려면 **은지의 소득도 물가만큼 올라야 한다**는 점. 이 문제에서 연봉은 연 $1\%$, 물가는 연 $3\%$ 로 올랐다. 물가보다 임금이 덜 오르면 실질임금이 감소하고, 그래서 물건 기준으로 가벼워진 부채가 소득 기준으로는 무거워진다. 두 답이 반대로 나오는 이유는 계산 오류가 아니라 **기준이 두 개**이기 때문이다.

**확장** — 어느 기준이 옳은가. 둘 다 옳고, 측정 대상이 다르다. "이 부채가 소득에서 차지하는 비중"을 알려면 소득 기준이 적합하다. 상환 재원이 소득이기 때문이다. "$8$년 전에 빌린 돈의 구매력이 얼마나 변했나"를 알려면 물가 기준이 적합하다. 실제 판단에 사용되는 것은 대개 소득 기준이다.

은지의 연봉이 물가와 같이 연 $3\%$ 올랐다면 $3{,}000 \times 1.26677 \approx 3{,}800$만 원이 되고, 부담은 $2{,}812/3{,}800 \approx 74.0\%$ 로 $80\%$ 보다 작아진다. **실질임금이 유지되는지 여부**가 이 문제의 결론을 가르는 조건이다.
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### 문제 5 · 연금을 언제부터 받을까  ★★☆

**상황** — 경수는 만 $63$세가 되어 국민연금을 받을 수 있게 되었다. 지금 받기 시작하면 월 $120$만 원이다. 그런데 수령을 최대 $5$년까지 미룰 수 있고, $1$년 미룰 때마다 연금액이 $7.2\%$ 씩 늘어난다. $5$년을 모두 미루면 $36\%$ 가 늘어난다. 경수는 아직 일할 수 있고, 미룬 $5$년 동안 생활비는 감당된다.

**모형 설정** — 지금부터 받는 것과 $5$년 뒤부터 더 많이 받는 것 중 어느 쪽이 이득인가. 이 물음에 답하려면 **비교의 기준**을 정해야 한다. 받은 돈을 단순 합산할 것인가, 아니면 먼저 받은 돈은 운용할 수 있으므로 나중 돈을 할인해서 볼 것인가. 그리고 무엇이 미지수인가 — 금액인가, 나이인가.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 미룬 쪽의 누적 수령액이 지금 받는 쪽과 같아지는 **나이**.

② **주어진 값** — 지금 받으면 월 $120$만 원. $5$년 미루면 월 $120 \times 1.36 = 163.2$만 원. 미루는 기간은 $5$년.

③ **관계식** — $68$세부터 $t$ 년이 지난 시점을 잡는다. 그때까지 각각 받은 개월 수를 세면, 지금 받는 쪽은 $12(5 + t)$ 개월, 미룬 쪽은 $12t$ 개월이다. 두 누적액을 같게 놓는다.

$$120 \times 12(5 + t) = 163.2 \times 12\,t$$

양변의 $12$ 는 소거된다. 남는 것은 $t$ 에 대한 일차방정식 하나이다.

④ **사용 도구** — [제10장](../part2/ch10.md) 일차방정식 · [제6장](../part1/ch06.md) 백분율

⑤ **모형의 한계** — 경수의 수명. 손익분기 나이는 "이 나이를 넘기면 미룬 쪽이 이득"이라는 조건부 진술이고, 넘길 가능성이 얼마인지는 다루지 않는다. 그리고 손익분기 기준으로 이득이 아니어도 미룰 이유(늦은 나이의 생활비를 늘리는 것)가 있을 수 있는데, 그것은 손익분기가 다루는 물음이 아니다.
:::

:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
**미룬 뒤 연금액** —

$$120 \times 1.36 = 163.2 \text{ 만 원/월}$$

**손익분기 방정식** —

$$120(5 + t) = 163.2\,t$$
$$600 + 120t = 163.2t$$
$$600 = 43.2t$$
$$t = \frac{600}{43.2} = 13.888\ldots \approx 13\text{년 } 11\text{개월}$$

**나이로 옮긴다** — 기준이 $68$세였으므로

$$68 + 13.89 \approx 81.9 \text{ 세}$$

**답** — 약 만 $82$세를 넘겨 생존하면 미룬 쪽이 이득이고, 그 전이면 지금부터 받는 쪽이 이득이다.

**검산** — $t = 13.889$ 를 양변에 대입한다. 왼쪽 $120 \times (5 + 13.889) = 120 \times 18.889 = 2{,}266.7$. 오른쪽 $163.2 \times 13.889 = 2{,}266.7$. 같다. 만 $82$세를 조금 넘긴 시점에서 두 누적액이 일치한다.

**빈번한 오류** — "$36\%$ 를 더 주므로 미루는 것이 유리하다"고 즉시 결론짓는 것. $36\%$ 는 **매달 받는 금액**의 증가이고, 미루는 동안 $5$년치를 수령하지 못하는 손실이 앞쪽에 있다. 그 $60$개월치 $7{,}200$만 원을 매달 $43.2$만 원씩 더 받아 회수하려면 $167$개월, 즉 $14$년 가까이 걸린다.

또 하나. $t$ 를 "$63$세부터 센 햇수"로 잡아 놓고 답을 $63 + 13.89$ 로 읽으면 $5$년이 어긋난다. **기준점을 어디에 두었는지 식 옆에 명시하는 것**이 이런 오류를 막는다.

**확장** — 모형 설정에서 제시한 갈림길을 확인한다. 먼저 받은 돈은 예금에 넣어 운용할 수 있으므로, 엄밀하게는 나중 돈을 할인해서 비교해야 한다. 할인을 반영하면 뒤쪽에 몰려 있는 미룬 쪽의 돈이 더 크게 깎이므로 **손익분기 나이는 $82$세보다 뒤로 이동한다.** 실질 할인율을 얼마로 두느냐에 따라 몇 년씩 달라진다.

반대로 물가는 이 비교에서 상쇄된다 — 단, **실질로 환산해서 볼 때만** 그렇다. 국민연금은 매년 소비자물가에 연동해 조정되므로 두 대안의 매달 지급액이 같은 물가지수로 함께 조정된다. 그래서 각 지급액을 그 시점의 물가로 나눠 실질로 환산하면 두 흐름은 다시 월 $120$만 원과 월 $163.2$만 원이 되고, 실질 기준으로 비교하는 한 손익분기 나이는 변하지 않는다. 반대로 명목 금액을 그대로 더해서 비교하면 결과가 달라진다. 미룬 쪽의 돈은 뒤쪽에 몰려 있어 더 큰 물가 배수가 적용되므로, 명목 누적액끼리 비교하면 손익분기가 앞당겨진다. 시점이 다른 돈을 더할 때 양변에 곱해지는 수가 "같은 하나의 수"가 아니라 시점마다 다른 계수들이라는 점을 유의해야 한다.

현실에서는 여기에 다른 요인이 추가된다. 연금소득이 늘면 건강보험료 산정에 영향을 줄 수 있고, 다른 소득이 있으면 감액될 수도 있다. 이 식은 그중 어느 것도 포함하지 않는다. **손익분기 $82$세는 결정이 아니라 출발점이다.**
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### 문제 6 · 구독을 언제 끊을까  ★★☆

**상황** — 현우는 월 $13{,}900$원짜리 영상 구독을 사용하고 있다. 초기에는 관람 편수가 많았으나 점차 감소했다. $3$월에 $16$편, $4$월에 $12$편, $5$월에 $9$편을 봤다. 같은 영화를 낱개로 빌리면 편당 $3{,}500$원이다. 현재는 $5$월 말이다.

**모형 설정** — 언제 해지하는 것이 맞는가. 먼저 "본전"의 기준을 정해야 한다. 한 달에 몇 편을 봐야 구독이 낱개 대여보다 싼가. 그다음, 앞으로의 관람 편수를 어떻게 예측할 것인가 — 매달 같은 편수씩 줄어든다고 볼 것인가, 같은 **비율**로 줄어든다고 볼 것인가. 주어진 세 수치가 그 판단의 근거이다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 관람 편수가 손익분기 아래로 처음 떨어지는 달.

② **주어진 값** — 구독료 $13{,}900$원/월, 낱개 $3{,}500$원/편, 관람 편수 $16 \to 12 \to 9$.

③ **관계식** — 먼저 편수가 감소하는 방식을 확인한다. $12 - 16 = -4$, $9 - 12 = -3$ 으로 **차이는 일정하지 않다.** 반면 $12 \div 16 = 0.75$, $9 \div 12 = 0.75$ 로 **비율은 일정하다.** 곱으로 감소하는 양이므로 지수함수다. 첫 달을 $n = 0$ 으로 두면

$$N(n) = 16 \times 0.75^{\,n}$$

이고, 손익분기 편수 $b = 13{,}900 \div 3{,}500$ 에 대해 $N(n) < b$ 를 만족하는 가장 작은 정수 $n$ 을 찾는다.

④ **사용 도구** — [제12장](../part2/ch12.md) 지수법칙 · [제22장](../part3/ch22.md) 로그 · [제11장](../part2/ch11.md) 부등식

⑤ **모형의 한계** — 편수가 같아도 효용이 같지 않다는 점. 구독의 가치에는 "무엇을 볼지 고르는 자유"와 "$10$분 보고 중단하는 시도"가 포함되는데, 낱개 대여에서는 편당 $3{,}500$원이 부과되므로 그런 시도가 줄어든다. 편수를 세는 이 식은 편수 자체가 구독 때문에 늘어났을 가능성을 반영하지 못한다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
**손익분기 편수** —

$$b = \frac{13{,}900}{3{,}500} = 3.9714\ldots$$

즉 월 $4$편 이상 보면 구독이 싸고, $3$편 이하면 낱개가 싸다.

**부등식을 푼다** —

$$16 \times 0.75^{\,n} < 3.9714 \quad\to\quad 0.75^{\,n} < \frac{3.9714}{16} = 0.24821$$

양변에 로그를 취하는데, $\ln 0.75 < 0$ 이므로 **나눌 때 부등호가 뒤집힌다.**

$$n \ln 0.75 < \ln 0.24821 \quad\to\quad n > \frac{-1.39346}{-0.28768} = 4.844$$

$n$ 은 정수이므로 $n = 5$.

**달로 옮긴다** — $n = 0$ 이 $3$월이었으므로 $n = 5$ 는 $8$월이다.

| 달 | $n$ | 예상 편수 | 낱개로 치면 | 구독료와 비교 |
|---|---|---|---|---|
| $3$월 | $0$ | $16$ | $56{,}000$ 원 | 구독이 싸다 |
| $4$월 | $1$ | $12$ | $42{,}000$ 원 | 구독이 싸다 |
| $5$월 | $2$ | $9$ | $31{,}500$ 원 | 구독이 싸다 |
| $6$월 | $3$ | $6.8$ | $23{,}600$ 원 | 구독이 싸다 |
| $7$월 | $4$ | $5.1$ | $17{,}700$ 원 | 구독이 싸다 |
| $8$월 | $5$ | $3.8$ | $13{,}300$ 원 | **낱개가 싸다** |

**답** — 추세가 유지된다면 $7$월까지는 구독을 유지하는 것이 유리하고, $8$월분 결제 전에 해지하는 것이 맞다. 현재($5$월 말)를 기준으로 $6$월분과 $7$월분, 두 달을 더 사용하고 해지하는 것이다.

**검산** — $16 \times 0.75^4 = 16 \times 0.31641 = 5.0625$ 편으로 손익분기 $3.97$ 보다 위다. $16 \times 0.75^5 = 16 \times 0.23730 = 3.7969$ 편으로 아래다. $n = 5$ 가 처음으로 기준을 넘는 지점이 맞다.

**빈번한 오류** — 손익분기를 $3.97$ 에서 반올림해 "$4$편이면 본전"으로 두는 것. $4$편을 보면 낱개로는 $14{,}000$원이므로 구독이 아직 $100$원 싸다. 편수는 정수이므로 **부등식을 정수 조건까지 적용해야** 답이 나온다. 문장으로 옮기면 "월 $4$편 이상이면 구독"이지 "월 $4$편이면 무차별"이 아니다.

두 번째로, 차이가 $-4, -3$ 인 것을 보고 다음을 $-2$ 로 이어 붙이는 것. 그러면 $9 \to 7 \to 6 \to 6 \to \cdots$ 처럼 근거 없는 수열이 된다. 감소하는 **차이**가 아니라 감소하는 **비율**이 일정한지를 먼저 확인하는 것이 이 문제의 갈림길이다.

**확장** — 이 계산은 $0.75$라는 비율이 계속 유지된다는 가정에 전적으로 의존한다. 관측점은 세 개뿐이다. 세 점으로 그린 곡선을 다섯 달 앞까지 연장하는 것은 큰 외삽이고, 실제로는 새 작품이 추가되면 편수가 다시 증가할 수 있다.

그래서 실제로 더 유용한 결론은 날짜가 아니라 **규칙**이다. "매달 말에 이번 달 편수를 세고, $4$편 아래면 해지한다." 이 규칙은 예측을 필요로 하지 않는다. 계산의 실질적 산출물은 $8$월이라는 날짜가 아니라 $4$편이라는 **문턱값**이다.
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### 문제 7 · 중고차 값의 감가 속도  ★★☆

**상황** — 태호가 $3{,}200$만 원에 새 차를 샀다. 같은 모델의 중고 시세를 확인하니 $1$년 된 차가 $2{,}560$만 원, $2$년 된 차가 $2{,}048$만 원, $3$년 된 차가 약 $1{,}638$만 원이다. 태호는 차값이 $1{,}000$만 원 아래로 떨어지기 전에 매도할 계획이다.

**모형 설정** — $5$년 뒤 이 차의 값은 얼마이고, 언제 매도해야 하는가. 시세 세 개가 주어졌으므로 먼저 값이 **어떤 방식으로** 감소하는지 판별해야 한다. 매년 같은 금액이 감소하는가, 같은 비율이 감소하는가. 그리고 "언제"를 묻는 물음은 어떤 도구로 푸는가. (계산기 사용)

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — $5$년 뒤 차값, 값이 절반이 되는 시점, $1{,}000$만 원을 지나는 시점, 그리고 값이 **감소하는 속도**가 해마다 어떻게 달라지는지.

② **주어진 값** — $3{,}200 \to 2{,}560 \to 2{,}048 \to 1{,}638$(만 원). 비율을 확인하면 $2560/3200 = 0.8$, $2048/2560 = 0.8$, $1638/2048 \approx 0.8$ 로 일정하다.

③ **관계식** — 매년 $0.8$ 배씩 곱해지므로

$$V(t) = 3200 \times 0.8^{\,t} \quad (\text{만 원},\ t \text{는 연})$$

"언제"를 물으면 지수의 자리에 있는 $t$ 를 끌어내려야 하고, 그 도구는 로그다. "얼마나 빨리 감소하는가"를 물으면 미분한다.

④ **사용 도구** — [제12장](../part2/ch12.md) 지수법칙 · [제22장](../part3/ch22.md) 로그 · [제29장](../part3/ch29.md) 지수함수의 미분

⑤ **모형의 한계** — 이 차에 사고가 발생하는지, 주행거리가 얼마나 쌓이는지, 제조사가 모델을 단종하는지. 시세표는 "평균적인 상태의 그 모델"의 값이고, 태호의 차 한 대는 평균이 아니다. 식이 다루는 변수는 시간뿐인데, 실제 중고차 값을 정하는 변수는 시간 외에도 여럿이다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
**$5$년 뒤 값** — $0.8^5 = 0.32768$ 이므로

$$V(5) = 3200 \times 0.32768 = 1{,}048.576 \approx 1{,}049 \text{ 만 원}$$

**절반이 되는 시점** — $0.8^{\,t} = 0.5$ 에서

$$t = \frac{\ln 0.5}{\ln 0.8} = \frac{-0.69315}{-0.22314} \approx 3.11 \text{ 년}$$

**$1{,}000$만 원을 지나는 시점** — $3200 \times 0.8^{\,t} = 1000$, 즉 $0.8^{\,t} = 0.3125$.

$$t = \frac{\ln 0.3125}{\ln 0.8} = \frac{-1.16315}{-0.22314} \approx 5.21 \text{ 년}$$

**감소하는 속도** — $V(t) = 3200 \cdot 0.8^{\,t}$ 를 미분하면

$$V'(t) = 3200 \cdot 0.8^{\,t} \cdot \ln 0.8 = -714.06 \times 0.8^{\,t} \ \ (\text{만 원/년})$$

$$V'(0) \approx -714 \text{ 만 원/년}, \qquad V'(5) = -714.06 \times 0.32768 \approx -234 \text{ 만 원/년}$$

**답** — $5$년 뒤 약 $1{,}049$만 원. 절반이 되는 데 약 $3.1$년. $1{,}000$만 원을 지나는 것은 약 $5.2$년, 즉 $5$년 $3$개월쯤이므로 그 전에 매도해야 한다. 그리고 값이 감소하는 속도는 첫해에 연 $714$만 원, $5$년째에는 연 $234$만 원으로 **첫해가 $3$배 빠르다.**

**검산** — $t = 5.21$ 을 대입한다. $0.8^{5.21} = e^{5.21 \times (-0.22314)} = e^{-1.16256} \approx 0.31268$. $3200 \times 0.31268 = 1{,}000.6$ 만 원. $1{,}000$만 원 근처가 맞다. $t = 3.11$ 이면 $0.8^{3.11} = e^{-0.69397} \approx 0.49959$, $3200 \times 0.49959 = 1{,}598.7$ 만 원으로 $3{,}200$의 절반이다.

**빈번한 오류** — "매년 $20\%$ 씩 감소하므로 $5$년이면 $100\%$, 값이 $0$"이라고 계산하는 것. $20\%$ 는 매번 **그해 남은 값**에 대한 비율이지 처음 값에 대한 비율이 아니다. 기준량이 매년 새로 정해진다. 그래서 곱으로 감소하고, 아무리 여러 해가 지나도 정확히 $0$ 이 되지는 않는다.

두 번째로, $5$년째 값이 $1{,}049$만 원인 것을 보고 "$5$년째에 $1{,}000$만 원을 넘겼다"고 읽는 것. 아직 위에 있다. $1{,}000$만 원을 지나는 것은 $5.21$년이다.

**확장** — 미분해서 얻은 결과가 이 문제의 핵심이다. 새 차를 구입하고 첫해에 잃는 금액이 $5$년째에 잃는 금액의 $3$배다. 이것이 신차 구입 직후의 감가가 가장 크다는 사실의 근거이며, $1{,}\!\sim\!2$년 된 중고차의 수요가 많은 이유다. **감가가 가장 큰 구간을 이전 소유자가 이미 부담했기 때문이다.**

다만 실제 중고차 곡선은 이 식보다 첫해 낙폭이 더 크다. 등록되는 순간 "새 차"라는 지위를 잃어 값이 계단 형태로 떨어지고, 그 뒤로는 완만해진다. 즉 일정 비율 감가는 현실보다 **첫해를 과소평가**하는 모형이다. 첫해 낙폭을 따로 분리해 $V(t) = 3200 \times 0.70 \times 0.85^{\,t-1}$ 같은 식으로 수정하는 것이 실무의 방식이다. 첫해에 $30\%$ 를 감소시키고 그 뒤로는 매년 $15\%$ 씩 감소시키는 모형이어서 $V(1) = 2{,}240$만 원, $V(2) = 2{,}240 \times 0.85 = 1{,}904$만 원이 된다. 일정 비율 모형의 $2{,}560$만 원·$2{,}048$만 원과 비교하면 첫해가 더 가파르고 그 뒤가 더 완만하다. 그런데 그렇게 수정하는 순간 "$0.70$과 $0.85$ 두 숫자는 어디서 왔는가"라는 새 물음이 생긴다. 모형을 정교하게 만들수록 확정해야 할 숫자도 늘어난다.
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### 문제 8 · 창업할 것인가  ★★☆

**상황** — 수진은 현재 직장에서 세후 연봉 $3{,}600$만 원을 받는다. 퇴사하고 카페를 열 계획이다. 초기 투자는 보증금과 인테리어를 합쳐 $8{,}000$만 원이고, 이 돈은 연 $3\%$ 짜리 예금에서 인출한다. 매달 나가는 고정비는 임차료 $200$만, 인건비 $250$만, 기타 $50$만 원이다. 커피 한 잔은 $4{,}500$원에 팔고, 원두와 컵과 우유를 합친 재료비는 잔당 $1{,}300$원이다. 한 달에 $26$일 영업한다.

**모형 설정** — 한 달에 몇 잔을 팔아야 하는가. 그런데 "몇 잔을 팔아야 하는가"의 기준이 하나가 아니다. 현금 수지가 유지되기만 하면 되는가, 아니면 **직장을 그만둔 것이 손해가 아니어야** 하는가. 두 기준의 답이 얼마나 차이 나는지 확인한다.

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:class: tip
① **미지량** — 손익분기 판매량. 두 가지 기준으로 각각.

② **주어진 값** — 잔당 판매가 $4{,}500$원, 잔당 재료비 $1{,}300$원, 월 고정비 $5{,}000{,}000$원, 초기 투자 $80{,}000{,}000$원, 예금금리 $3\%$, 포기하는 연봉 $36{,}000{,}000$원(월 $3{,}000{,}000$원), 영업일 $26$일.

③ **관계식** — 한 잔을 더 팔 때마다 남는 돈은 판매가에서 재료비를 뺀 것이다. 이것을 **공헌이익**이라 한다. 고정비는 판매량과 무관하게 일정하므로, 공헌이익을 누적해 고정비를 덮으면 본전이다.

$$(\text{판매가} - \text{잔당 재료비}) \times Q = \text{덮어야 할 비용}$$

두 번째 기준에서는 오른쪽에 **기회비용**을 더한다. 포기한 연봉과 포기한 이자다. 수입에서 실제로 지출한 비용만 뺀 것을 회계적 이윤, 거기서 기회비용까지 뺀 것을 **경제적 이윤**이라 한다.

④ **사용 도구** — [제10장](../part2/ch10.md) 일차방정식 · [제11장](../part2/ch11.md) 부등식 · [제6장](../part1/ch06.md) 비율

⑤ **모형의 한계** — 하루 $99$잔을 팔 수 있는 입지인지 여부. 이 계산은 "얼마나 팔아야 하는가"만 답하고 "팔 수 있는가"는 답하지 않는다. 그것은 유동인구와 경쟁 점포의 문제이고, 식이 아니라 현장 조사로 답한다.
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:class: dropdown
**공헌이익** —

$$4{,}500 - 1{,}300 = 3{,}200 \text{ 원/잔}$$

**기준 ① 회계적 손익분기** — 덮어야 할 비용은 월 고정비 $5{,}000{,}000$원.

$$3{,}200\,Q = 5{,}000{,}000 \quad\to\quad Q = 1{,}562.5 \ \to\ 1{,}563 \text{ 잔/월}$$

$$1{,}563 \div 26 \approx 60.1 \ \to\ \text{하루 약 } 60 \text{ 잔}$$

**기준 ② 경제적 손익분기** — 기회비용을 더한다.

$$\text{포기한 연봉} = 3{,}000{,}000 \text{ 원/월}, \qquad \text{포기한 이자} = \frac{80{,}000{,}000 \times 0.03}{12} = 200{,}000 \text{ 원/월}$$

$$3{,}200\,Q = 5{,}000{,}000 + 3{,}200{,}000 = 8{,}200{,}000 \quad\to\quad Q = 2{,}562.5 \ \to\ 2{,}563 \text{ 잔/월}$$

$$2{,}563 \div 26 \approx 98.6 \ \to\ \text{하루 약 } 99 \text{ 잔}$$

**답** — 현금 수지가 유지되려면 하루 $60$잔, 직장을 그만둔 것이 손해가 아니려면 하루 $99$잔을 팔아야 한다. **기준을 바꾸면 필요한 매출이 $1.6$배가 된다.**

**검산** — $Q = 2{,}562.5$ 일 때 매출은 $4{,}500 \times 2{,}562.5 = 11{,}531{,}250$원, 재료비는 $1{,}300 \times 2{,}562.5 = 3{,}331{,}250$원, 고정비 $5{,}000{,}000$원. 남는 돈은 $11{,}531{,}250 - 3{,}331{,}250 - 5{,}000{,}000 = 3{,}200{,}000$원이고, 이것이 정확히 포기한 연봉과 이자의 합이다.

**빈번한 오류** — 기회비용을 계상하지 않는 것. 하루 $70$잔을 팔면 현금은 증가하므로 사업이 유지되는 것처럼 보이지만, 그 상태의 경제적 이윤은

$$3{,}200 \times (70 \times 26) - 8{,}200{,}000 = 5{,}824{,}000 - 8{,}200{,}000 = -2{,}376{,}000 \text{ 원/월}$$

으로 매달 $238$만 원의 손실이다. **회계적으로 흑자이면서 경제적으로 적자인 상태**는 창업에서 자주 발생한다. 명시적으로 지출되지 않는 비용이 지출되는 비용보다 클 수 있다.

**확장** — 모형 설정에서 초기 투자 $8{,}000$만 원을 어떻게 처리할지 확정하지 않았다. 위에서는 이자만 계상했는데, 보증금은 나중에 회수되지만 **인테리어는 회수되지 않는다.** 인테리어 비용을 $5{,}000$만 원으로 보고 $5$년에 걸쳐 나누어 비용으로 계상하면(**감가상각**) 월 $50{,}000{,}000 \div 60 \approx 833{,}000$ 원이 추가된다.

$$3{,}200\,Q = 8{,}200{,}000 + 833{,}000 = 9{,}033{,}000 \quad\to\quad Q \approx 2{,}823 \text{ 잔/월} \ \to\ \text{하루 약 } 109 \text{ 잔}$$

하루 $60$잔에서 $99$잔으로, 다시 $109$잔으로 이동한다. **같은 사업이라도 어느 비용까지 계상하느냐에 따라 손익분기가 세 가지로 달라진다.** 계산이 답을 바꾼 것이 아니라 물음이 바뀐 것이다. 창업 계획서를 검토할 때 가장 먼저 확인할 것은 매출 전망이 아니라 **어느 기준의 손익분기인가**이다.
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### 문제 9 · 최저임금을 올리면  ★★★

**상황** — 어느 지역의 시간제 노동시장을 조사했더니, 시간당 임금 $w$(원)에 따라 사업주들이 쓰려는 노동시간과 사람들이 일하려는 노동시간이 다음과 같았다. 단위는 월 만 시간이다. *(계산을 위해 만든 가상의 수치다.)*

$$Q_d = 300 - 0.02\,w, \qquad Q_s = -100 + 0.02\,w$$

이 지역이 최저임금을 시간당 $11{,}000$원으로 정하려 한다.

**모형 설정** — 최저임금을 정하기 전의 임금과 고용량은 얼마인가. 그리고 $11{,}000$원을 강제하면 무슨 일이 일어나는가. 여기서 확정할 것이 있다. 임금이 오르면 사업주가 원하는 시간과 노동자가 원하는 시간이 어긋나는데, **실제로 거래되는 양은 둘 중 어느 쪽인가.** 그리고 "효과"를 무엇으로 측정할 것인가 — 고용량인가, 지역 전체의 임금소득인가, 계속 일하는 사람의 소득인가.

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:class: tip
① **미지량** — 최저임금 전후의 임금·고용량, 초과공급의 크기, 지역 전체 임금소득의 변화.

② **주어진 값** — 두 식과 최저임금 $11{,}000$원. 최저임금은 "이 아래로는 거래 금지"를 뜻하는 **가격하한**이다.

③ **관계식** — 규제가 없을 때의 임금은 두 식이 같아지는 지점이다.

$$300 - 0.02w = -100 + 0.02w$$

가격하한이 균형보다 높으면 $Q_s > Q_d$ 가 되어 **초과공급**이 생긴다. 거래는 양쪽이 모두 동의해야 성립하므로 실제 고용량은 짧은 쪽, 즉 $\min(Q_d,\,Q_s)$ 다. 사업주가 사용하지 않으려는 시간을 노동자가 강제로 공급할 수는 없다.

④ **사용 도구** — [제18장](../part2/ch18.md) 연립방정식 · [제10장](../part2/ch10.md) 일차방정식 · [제21장](../part3/ch21.md) 그래프

⑤ **모형의 한계** — 감소한 $20$만 시간이 **누구의** 시간인지. 이 식은 시간만 세고 사람은 세지 않는다. 다섯 명이 해고되었을 수도 있고, 스무 명의 근무시간이 조금씩 감소했을 수도 있다. 두 경우의 계산 결과는 동일하지만 실제로 발생한 일은 전혀 다르다.
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**규제 없을 때의 균형** —

$$300 - 0.02w = -100 + 0.02w \quad\to\quad 400 = 0.04w \quad\to\quad w = 10{,}000 \text{ 원}$$
$$Q = 300 - 0.02 \times 10{,}000 = 300 - 200 = 100 \text{ 만 시간}$$

**최저임금 $11{,}000$원에서** —

$$Q_d = 300 - 220 = 80, \qquad Q_s = -100 + 220 = 120$$

$$\text{초과공급} = 120 - 80 = 40 \text{ 만 시간}, \qquad \text{실제 고용} = \min(80,\,120) = 80 \text{ 만 시간}$$

| | 임금 | 고용량 | 일하고 싶은 시간 | 지역 전체 임금소득 |
|---|---|---|---|---|
| 규제 전 | $10{,}000$ 원 | $100$ 만 시간 | $100$ 만 시간 | $100$ 억 원 |
| 규제 후 | $11{,}000$ 원 | $80$ 만 시간 | $120$ 만 시간 | $88$ 억 원 |

**임금소득** — 규제 전 $10{,}000 \times 1{,}000{,}000 = 100$억 원. 규제 후 $11{,}000 \times 800{,}000 = 88$억 원.

**답** — 이 모형에서는 임금이 $10\%$ 오르는 대신 고용이 $20\%$ 감소하고, 지역 전체의 임금소득은 $12\%$ 감소한다. 그리고 일할 의사가 있으나 고용되지 못하는 시간이 $40$만 시간 발생한다.

**검산** — 탄력성으로 확인한다. 노동수요의 임금탄력성은 원래 균형점에서

$$E_d = \frac{dQ_d}{dw} \cdot \frac{w}{Q} = -0.02 \times \frac{10{,}000}{100} = -2$$

절댓값이 $1$ 보다 크므로 **탄력적**이다. 탄력적일 때 값을 올리면 그 값에 쓰이는 총액은 감소한다. 총 임금소득이 $100$억에서 $88$억으로 감소한 것과 방향이 일치한다.

**빈번한 오류** — 세 가지다.

첫째, 고용량을 $Q_s = 120$ 으로 두는 것. 임금이 높으면 일하려는 사람은 늘지만, 그 사람들을 고용할지는 사업주가 결정한다. **가격하한에서는 언제나 짧은 쪽이 거래량이다.**

둘째, "임금이 $10\%$ 올랐으니 소득도 $10\%$ 늘었다"고 읽는 것. 시급과 총소득은 서로 다른 양이다. 시급은 상승했고 총소득은 감소했다.

셋째, $-12\%$ 라는 숫자를 그 지역 사람들의 평균 경험으로 읽는 것. 그 안에는 시급이 $10\%$ 오른 사람과 일자리를 잃은 사람이 함께 포함되어 있다. 어느 쪽도 $-12\%$ 를 겪지 않았다.

**확장** — 이 답을 현실의 예측으로 읽으면 안 되는 이유가 몇 가지 있다.

이 모형은 노동시장이 **완전경쟁**이라고 가정한다. 즉 사업주가 매우 많아서 임금을 결정할 힘이 어느 쪽에도 없다고 본다. 그런데 지방 소도시처럼 일자리를 제공하는 곳이 소수인 시장(**수요독점**)에서는 사업주가 임금을 균형보다 낮게 유지할 수 있고, 이때는 최저임금을 올리면 고용이 오히려 **증가할 수도** 있다. 같은 정책이 시장 구조에 따라 반대 결과를 낸다.

또한 이 식은 임금이 오르면 그 소득이 지역에서 소비되어 노동수요 곡선 자체를 이동시키는 경로를 포함하지 않는다. 실제 연구들에서 최저임금 인상에 따른 고용 감소는 이 계산이 제시하는 $20\%$ 보다 훨씬 작게, 때로는 통계적으로 구분되지 않을 만큼 작게 관측되는 경우가 많고, 이 주제는 경제학에서 논쟁이 진행 중이다.

그러므로 이 문제에서 확정적으로 얻은 것은 **"고용이 $20\%$ 감소한다"가 아니라 "이 가정 아래에서는 $20\%$ 감소한다"** 이다. 앞의 절에서 서술한 조건절이 이 자리에 붙는다.
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### 문제 10 · 배달 수수료는 누가 내는가  ★★★

**상황** — 한 지역의 배달 음식 시장을 값 $P$(원)와 하루 주문 수 $Q$(건)로 정리하면 다음과 같다. *(가상의 수치다.)*

$$Q_d = 300 - 0.01\,P, \qquad Q_s = -100 + 0.01\,P$$

배달 플랫폼이 가게에서 받는 수수료를 건당 $1{,}000$원 올렸다. 가게 주인들은 "결국 소비자가 다 내게 될 것"이라 하고, 소비자들은 "가게가 부담해야 한다"고 한다.

**모형 설정** — 수수료 $1{,}000$원 중 실제로 소비자에게 이전되는 몫은 얼마인가. 먼저 수수료가 부과되었을 때 **어느 곡선이 어느 방향으로 이동하는지** 확정해야 한다. 그리고 "누가 얼마를 잃었는가"를 측정하려면 값의 변화만으로 충분한가, 아니면 다른 양이 필요한가.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 수수료 이후의 값과 주문 수, 소비자에게 전가되는 비율, 그리고 소비자·가게·플랫폼이 각각 얻고 잃은 크기.

② **주어진 값** — 두 식과 수수료 $1{,}000$원. 수수료는 가게가 부담한다.

③ **관계식** — 가게가 건당 $1{,}000$원을 부담하면, 이전에 $P$ 원을 받고 공급하던 양을 이제는 $P + 1{,}000$ 원을 받아야 공급한다. 즉 공급곡선이 위로 $1{,}000$원 이동한다. 식으로는 $P$ 자리에 $P - 1{,}000$ 을 대입한다.

$$Q_s' = -100 + 0.01(P - 1{,}000)$$

새 균형을 구한 뒤, 손실과 이득의 크기는 곡선과 값 사이의 **넓이**로 측정한다([제42장](ch42.md)). 소비자가 지불할 의사가 있던 값과 실제로 지불한 값의 차이를 모은 것이 **소비자잉여**, 가게가 받아도 좋다고 평가한 값과 실제로 받은 값의 차이를 모은 것이 **생산자잉여**다.

④ **사용 도구** — [제18장](../part2/ch18.md) 연립방정식 · [제9장](../part2/ch09.md) 식 세우기 · [제32장](../part3/ch32.md) 넓이로서의 적분

⑤ **모형의 한계** — 값이 오른 뒤 소비자가 배달 대신 **직접 구매하거나 조리하는** 선택으로 이동하는 것. 이 모형의 수요곡선은 "이 시장 안에서" 값에 따라 주문이 감소하는 것만 나타내고, 그 수요가 어디로 이동했는지는 나타내지 않는다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
**수수료 전 균형** —

$$300 - 0.01P = -100 + 0.01P \quad\to\quad 400 = 0.02P \quad\to\quad P = 20{,}000 \text{ 원}, \quad Q = 100 \text{ 건}$$

**수수료 후 균형** — $Q_s' = -110 + 0.01P$ 이므로

$$300 - 0.01P = -110 + 0.01P \quad\to\quad 410 = 0.02P \quad\to\quad P = 20{,}500 \text{ 원}, \quad Q = 95 \text{ 건}$$

| | 소비자가 내는 값 | 가게가 받는 값 | 주문 수 |
|---|---|---|---|
| 수수료 전 | $20{,}000$ 원 | $20{,}000$ 원 | $100$ 건 |
| 수수료 후 | $20{,}500$ 원 | $19{,}500$ 원 | $95$ 건 |
| 변화 | $+500$ 원 | $-500$ 원 | $-5$ 건 |

$1{,}000$원 중 소비자가 $500$원, 가게가 $500$원을 부담한다. **정확히 절반씩**이다.

**넓이로 측정한다** — 두 식을 값에 대해 풀면 $P = 30{,}000 - 100Q$(수요), $P = 100Q + 10{,}000$(공급)이다.

$$\text{수수료 전}: \quad \text{소비자잉여} = \tfrac{1}{2}(30{,}000 - 20{,}000)(100) = 500{,}000 \text{ 원}$$
$$\text{생산자잉여} = \tfrac{1}{2}(20{,}000 - 10{,}000)(100) = 500{,}000 \text{ 원}$$

$$\text{수수료 후}: \quad \text{소비자잉여} = \tfrac{1}{2}(30{,}000 - 20{,}500)(95) = 451{,}250 \text{ 원}$$
$$\text{생산자잉여} = \tfrac{1}{2}(19{,}500 - 10{,}000)(95) = 451{,}250 \text{ 원}$$

$$\text{플랫폼 수입} = 1{,}000 \times 95 = 95{,}000 \text{ 원}$$

**답** — 수수료 $1{,}000$원은 소비자와 가게가 정확히 절반씩 부담한다. 소비자는 하루 $48{,}750$원, 가게는 $48{,}750$원을 잃고, 플랫폼은 $95{,}000$원을 얻는다. 잃은 합이 얻은 것보다 $2{,}500$원 큰데, 이 차액은 어느 주체에게도 귀속되지 않는다.

**검산** — 두 가지로 확인한다.

첫째, 총합. 수수료 전 잉여의 합은 $500{,}000 + 500{,}000 = 1{,}000{,}000$원. 후에는 $451{,}250 + 451{,}250 + 95{,}000 = 997{,}500$원. 차이 $2{,}500$원이 소멸한 몫(**사중손실**)이고, 이것은 성립하지 않게 된 거래 $5$건 위에 놓인 삼각형이다.

$$\tfrac{1}{2} \times 1{,}000 \times 5 = 2{,}500 \text{ 원}$$

둘째, 탄력성 공식. 원래 균형점에서

$$|E_d| = 0.01 \times \frac{20{,}000}{100} = 2, \qquad |E_s| = 0.01 \times \frac{20{,}000}{100} = 2$$

$$\text{소비자 부담 비율} = \frac{|E_s|}{|E_s| + |E_d|} = \frac{2}{2 + 2} = 0.5$$

앞에서 직접 구한 $50\%$ 와 같다.

**빈번한 오류** — "수수료는 가게에 부과했으니 가게가 전부 부담한다"거나, 반대로 "값이 올랐으니 소비자가 전부 부담한다"고 단정하는 것. **부과 대상과 실제 부담 주체는 서로 다른 문제다.** 부담의 분배는 부과 대상이 아니라 두 곡선의 탄력성이 결정한다.

또 하나. 가게의 손실을 매출 감소로 측정하는 것. 매출은 $20{,}000 \times 100 = 200$만 원에서 $19{,}500 \times 95 = 185.25$만 원으로 $14.75$만 원 감소했지만, 그중 상당 부분은 판매되지 않게 된 $5$건의 **재료비도 함께 감소한** 몫이다. 실제로 가게가 잃은 것은 잉여의 감소분 $48{,}750$원이다. 매출과 이익을 혼동하지 않는다.

**확장** — 부담이 절반씩이 된 것은 이 문제에서 두 곡선의 기울기가 대칭이기 때문이다. 값이 올라도 수요가 크게 줄지 않는 시장이라면 결과가 달라진다. 수요를 $Q_d = 200 - 0.005P$ 로 바꾼다. 같은 점 $(20{,}000,\ 100)$ 을 지나지만 훨씬 가파르다.

$$200 - 0.005P = -110 + 0.01P \quad\to\quad 310 = 0.015P \quad\to\quad P \approx 20{,}667 \text{ 원}$$

소비자 부담이 $667$원, 즉 $67\%$ 로 증가한다. 탄력성으로 확인하면 $|E_d| = 0.005 \times 200 = 1$, $|E_s| = 2$ 이므로 $2/(2+1) = 2/3$ 로 일치한다.

**덜 탄력적인 쪽이 더 많이 부담한다**는 것이 여기서 얻는 결론이다. 대체재가 없어 수요나 공급을 줄이기 어려운 쪽이 더 큰 몫을 부담한다. 담배세, 유류세, 플랫폼 수수료가 모두 같은 구조다.
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### 문제 11 · 소금빵 값을 얼마로  ★★☆

**상황** — 동네 빵집을 운영하는 예린은 소금빵을 $3{,}000$원에 팔아 하루 $120$개를 판매한다. 한 주 동안 $3{,}500$원으로 올려 본 결과 하루 $100$개가 판매되었다. 소금빵 하나를 만드는 데 드는 재료비와 포장비는 $1{,}200$원이다. 임차료와 인건비는 생산량과 무관하게 하루 $18$만 원으로 일정하다.

**모형 설정** — 값을 얼마로 정해야 하는가. 그 전에 두 가지를 확정해야 한다. 첫째, 관측점이 두 개뿐인데 그 사이와 바깥을 어떻게 연결할 것인가. 둘째, **무엇을 가장 크게 만들 것인가** — 하루 매출인가, 하루 이익인가. 이 둘의 답이 같은지 확인한다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 이익을 가장 크게 만드는 값 $P$ 와 그때의 판매량·이익. 그리고 매출을 가장 크게 만드는 값도 따로.

② **주어진 값** — $(3{,}000,\ 120)$ 과 $(3{,}500,\ 100)$ 두 점. 개당 변동비 $1{,}200$원, 하루 고정비 $180{,}000$원.

③ **관계식** — 두 점을 직선으로 연결한다(선형 수요 가정). 기울기는

$$\frac{100 - 120}{3{,}500 - 3{,}000} = \frac{-20}{500} = -0.04$$

이므로 $Q = 240 - 0.04P$. 이익은 개당 남는 돈에 개수를 곱하고 고정비를 뺀 것이다.

$$\pi(P) = (P - 1{,}200)(240 - 0.04P) - 180{,}000$$

가장 큰 값을 찾으므로 미분해서 $0$ 으로 놓는다.

④ **사용 도구** — [제13장](../part2/ch13.md) 전개 · [제27장](../part3/ch27.md) 미분규칙 · [제31장](../part3/ch31.md) 최적화 · [제30장](../part3/ch30.md) 그래프 분석

⑤ **모형의 한계** — 한 주짜리 실험이 일 년의 반응을 대표하는지 여부. 값을 올린 첫 주에는 기존 고객이 그대로 구매할 수 있지만, 몇 달 뒤 가격 인상에 대한 인식이 정착되면 수요곡선 자체가 왼쪽으로 이동한다. 이 식의 두 점은 **짧은 기간의 반응**만 반영한다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
**이익 함수를 전개한다** —

$$\pi(P) = (P - 1{,}200)(240 - 0.04P) - 180{,}000$$
$$= 240P - 0.04P^2 - 288{,}000 + 48P - 180{,}000$$
$$= -0.04P^2 + 288P - 468{,}000$$

**미분해서 $0$ 으로 놓는다** —

$$\pi'(P) = -0.08P + 288 = 0 \quad\to\quad P = 3{,}600 \text{ 원}$$

$\pi''(P) = -0.08 < 0$ 이므로 최대다.

**그때의 값들** —

$$Q = 240 - 0.04 \times 3{,}600 = 240 - 144 = 96 \text{ 개}$$
$$\pi = (3{,}600 - 1{,}200) \times 96 - 180{,}000 = 230{,}400 - 180{,}000 = 50{,}400 \text{ 원}$$

**매출을 최대로 하면** — $R(P) = P(240 - 0.04P) = 240P - 0.04P^2$ 이므로

$$R'(P) = 240 - 0.08P = 0 \quad\to\quad P = 3{,}000 \text{ 원}, \quad R = 3{,}000 \times 120 = 360{,}000 \text{ 원}$$

**답** — 이익을 가장 크게 하는 값은 $3{,}600$원(하루 $96$개, 이익 $50{,}400$원)이고, 매출을 가장 크게 하는 값은 $3{,}000$원(하루 $120$개, 매출 $360{,}000$원)이다. **둘은 다르다.**

**검산** — 세 값에서 이익을 직접 비교한다.

| 값 | 판매량 | 개당 남는 돈 | 이익(고정비 차감 전) |
|---|---|---|---|
| $3{,}000$ 원 | $120$ 개 | $1{,}800$ 원 | $216{,}000$ 원 |
| $3{,}500$ 원 | $100$ 개 | $2{,}300$ 원 | $230{,}000$ 원 |
| $3{,}600$ 원 | $96$ 개 | $2{,}400$ 원 | $230{,}400$ 원 |
| $3{,}700$ 원 | $92$ 개 | $2{,}500$ 원 | $230{,}000$ 원 |

$3{,}600$원이 최대점이고, 양옆으로 대칭적으로 감소한다. 이차함수의 꼭짓점이 맞다.

$3{,}600$원에서 매출을 보면 $3{,}600 \times 96 = 345{,}600$원으로 $360{,}000$원보다 작다. 매출을 포기하고 이익을 얻은 것이다.

**빈번한 오류** — 고정비 $18$만 원을 이익 함수 안에 넣고 미분한 뒤 "고정비가 크니 값을 더 올려야 한다"고 결론짓는 것. 고정비는 상수이므로 **미분하면 소거된다.** 실제로 위 계산에서 $-468{,}000$ 이라는 상수는 $\pi'$ 에 아무 항도 남기지 않았다. 고정비는 "영업을 할 것인가 말 것인가"를 결정하지만 "값을 얼마로 할 것인가"에는 영향을 주지 않는다. 임차료가 올랐다는 이유로 빵값을 올리는 것은 이 모형에서 근거가 없다.

두 번째로, 무엇을 최대로 할지 정하지 않고 시작하는 것. 매출을 늘리는 방향과 이익을 늘리는 방향은 이 문제에서 정반대($3{,}000$원과 $3{,}600$원)를 가리킨다.

**확장** — 최적 가격에서 수요의 가격탄력성을 계산하면

$$E_d = -0.04 \times \frac{3{,}600}{96} = -1.5$$

이고, 값에서 변동비가 차지하지 않는 몫은

$$\frac{P - MC}{P} = \frac{3{,}600 - 1{,}200}{3{,}600} = \frac{2}{3} = \frac{1}{1.5} = \frac{1}{|E_d|}$$

이다. **이익이 최대인 지점에서는 이 비율이 언제나 탄력성의 역수와 같다.** 수요가 값에 둔감할수록($|E_d|$ 가 작을수록) 값을 원가보다 크게 매길 수 있다는 뜻이고, 반대로 대체재가 많은 상품은 값이 원가 근처까지 내려간다. 명품과 생수의 가격 구조가 다른 이유가 이 관계로 설명된다.

그리고 매출 최대점에서는 $E_d = -0.04 \times 3{,}000/120 = -1$ 이다. **탄력성이 정확히 $-1$ 인 지점이 매출의 최대점**이라는 것도 함께 확인된다.
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### 문제 12 · 전기요금 고지서  ★★☆

**상황** — 여름에 지호네 집 전기 사용량이 $450$킬로와트시(kWh)까지 증가했다. 요금표를 보면 단가가 구간마다 다르다. *(실제 요금표를 단순화한 값이다. 기본요금은 없다고 하자.)*

| 구간 | 단가 |
|---|---|
| $0 \sim 200$ kWh | $120$ 원/kWh |
| $200 \sim 400$ kWh | $214$ 원/kWh |
| $400$ kWh 초과 | $307$ 원/kWh |

지호는 창문 단열 필름과 서큘레이터에 $30$만 원을 투자해 여름 석 달 동안 매달 $50$kWh 를 절약하는 방안을 검토 중이다.

**모형 설정** — 이번 달 요금은 얼마인가. 그리고 $50$kWh 를 절약하면 얼마가 감소하는가. 두 번째 물음이 갈림길이다. 절약액을 **평균단가**로 계산할 것인가, **그 구간의 단가**로 계산할 것인가. 두 답이 크게 다르다면 어느 쪽이 맞는가.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — $450$kWh 의 요금, 평균단가, $50$kWh 절약의 실제 금액, 그리고 $30$만 원을 회수하는 데 걸리는 햇수.

② **주어진 값** — 구간별 단가 세 개, 사용량 $450$kWh, 절약량 월 $50$kWh, 절약 기간 연 $3$개월, 투자액 $300{,}000$원.

③ **관계식** — 구간 단가는 "한 단위를 더 쓸 때 내는 값", 즉 **한계 단가**다. 총요금은 이 한계 단가를 사용량만큼 누적한 것이다.

$$\text{총요금} = \int_0^{Q} p(q)\,dq$$

여기서 $p(q)$ 는 계단 모양이므로 적분은 직사각형 세 개의 넓이 합으로 계산된다. 평균단가는 그 넓이를 밑변으로 나눈 값이다.

$$\text{평균단가} = \frac{1}{Q}\int_0^{Q} p(q)\,dq$$

절약은 **맨 위 구간부터** 감소한다.

④ **사용 도구** — [제32장](../part3/ch32.md) 넓이로서의 적분 · [제42장](ch42.md) 구간 평균 · [제6장](../part1/ch06.md) 비율

⑤ **모형의 한계** — 단열 필름을 시공했을 때 실제로 매달 $50$kWh 가 감소하는지 여부. 이 수치는 제조사의 시험 조건에서 산출된 값이고, 지호네 집의 창 방향·층수·에어컨 사용 습관에 따라 절반이 될 수도 두 배가 될 수도 있다. 요금 계산은 정확하지만 그 입력값은 정확하지 않다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
**이번 달 요금** — 구간을 하나씩 채운다.

$$200 \times 120 = 24{,}000 \text{ 원}$$
$$200 \times 214 = 42{,}800 \text{ 원}$$
$$50 \times 307 = 15{,}350 \text{ 원}$$
$$\text{합계} = 82{,}150 \text{ 원}$$

**평균단가** —

$$\frac{82{,}150}{450} \approx 182.6 \text{ 원/kWh}$$

**$50$kWh 를 절약하면** — 감소하는 것은 맨 위 구간이므로 단가는 $307$원이다.

$$50 \times 307 = 15{,}350 \text{ 원}$$

**평균단가로 잘못 계산하면** —

$$50 \times 182.6 \approx 9{,}130 \text{ 원}$$

실제보다 $6{,}220$원 적은 $9{,}130$원, 즉 실제 절약액의 약 $60\%$ 에 해당하는 값이 나온다.

**투자 회수** — 여름 석 달간 절약하므로

$$15{,}350 \times 3 = 46{,}050 \text{ 원/년} \quad\to\quad \frac{300{,}000}{46{,}050} \approx 6.5 \text{ 년}$$

평균단가로 계산했다면 $27{,}390$원/년, 회수에 약 $11$년이 걸린다고 잘못 판단하게 된다.

**답** — 요금은 $82{,}150$원, 평균단가는 약 $182.6$원이지만 절약 판단에 사용해야 할 단가는 $307$원이다. $50$kWh 절약은 매달 $15{,}350$원을 감소시키고, $30$만 원은 약 $6.5$년에 회수된다.

**검산** — $400$kWh 를 사용했을 때의 요금을 따로 구해 차이를 확인한다.

$$24{,}000 + 42{,}800 = 66{,}800 \text{ 원}$$
$$82{,}150 - 66{,}800 = 15{,}350 \text{ 원}$$

절약액과 정확히 같다.

**빈번한 오류** — 평균단가로 절약액을 계산하는 것. 이 문제의 핵심이다. **평균은 지나온 모든 구간을 합쳐 하나로 만든 값**이므로, 지금 여기서 한 단위를 줄일 때의 효과와는 무관하다. 지금의 결정에 사용하는 값은 언제나 **한계** 값이다.

두 번째로, "누진제이므로 $50$kWh 를 절약하면 아래 구간 단가도 낮아진다"고 판단하는 것. 이 요금표는 구간별로 다른 단가를 적용하는 방식이므로, 아래 구간의 단가는 그대로이고 맨 위 구간만 짧아진다. (구간을 넘는 순간 **전체**에 높은 단가를 적용하는 방식이라면 계산이 완전히 달라지는데, 그런 요금표라면 구간 경계 바로 위에서 사용량을 조금 줄이는 것만으로 요금이 크게 감소한다. 요금표의 방식을 먼저 확인해야 한다.)

**확장** — 이 문제의 계단 그래프는 [제32장](../part3/ch32.md)에서 다룬 리만합 그림과 동일하다. 가로축이 사용량, 세로축이 한계 단가, 넓이가 총요금이다. 단가가 계단이 아니라 매끄러운 곡선이라면 직사각형 세 개 대신 정적분을 계산할 뿐, 구조는 같다.

그리고 여기서 얻은 구조는 전기요금 바깥에서도 적용된다. 소득세도 같은 구조다. 연봉이 한 구간을 넘었을 때 **넘은 부분에만** 높은 세율이 적용되므로, "구간을 넘으면 손해"라는 진술은 이 방식의 요금표·세율표에서는 성립하지 않는다. 평균세율과 한계세율을 구분하지 못하면 여기서 오류가 발생한다.
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### 문제 13 · 답을 낼 수 없는 사업 계획  ★★★

**상황** — 친구가 무인 스터디카페를 같이 하자고 제안했다. 확인된 조건은 다음과 같다. 보증금 $3{,}000$만 원, 인테리어와 좌석 설치에 $7{,}000$만 원. 월 임차료 $180$만 원, 관리비와 전기료 $60$만 원. 좌석은 $40$석이고 $24$시간 무인 운영, 요금은 시간당 $2{,}500$원. 이 자금은 예금(연 $3\%$)에서 인출한다. 친구는 "계산해 보고 알려 줘"라고 했다.

**모형 설정** — 이 사업을 해야 하는가. 이 물음에 답이 나오는가. 나오지 않는다면, **무엇을 더 알아야 답이 나오는가.** 그리고 알아도 답이 확정되지 않는 것은 무엇인가. 이 문제의 답안은 숫자 하나가 아니라 그 목록이다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 월 매출. 그런데 매출을 결정하는 값이 주어지지 않았다. 매출은 이용량에 달려 있고, 이용량은 상권에 달려 있다.

② **주어진 값** — 비용 쪽은 전부 확정되어 있다. 임차료, 관리비, 투자액, 금리, 좌석 수, 시간당 요금.

③ **관계식** — 모르는 것을 **하나의 미지수로 압축한다.** 좌석 하나가 하루 평균 몇 시간 이용되는지를 $h$ 라 두면

$$\text{월 매출} = 40 \times h \times 30 \times 2{,}500 = 3{,}000{,}000\,h \ \text{원}$$

비용 쪽은 전부 상수이므로, 손익분기는 $h$ 에 대한 일차방정식 하나가 된다.

④ **사용 도구** — [제9장](../part2/ch09.md) 변수와 식 · [제10장](../part2/ch10.md) 일차방정식 · [제6장](../part1/ch06.md) 비율

⑤ **모형의 한계** — $h$ 의 값. 이것이 이 문제의 핵심이다. 식은 완전하게 세워지지만 대입할 숫자가 없다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
답 대신, **여기까지가 수학이 담당할 수 있는 범위**임을 보인다.

**첫째 — 비용을 한 줄로 모은다.**

$$\text{현금 고정비} = 1{,}800{,}000 + 600{,}000 = 2{,}400{,}000 \text{ 원/월}$$
$$\text{묶인 돈 } 1 \text{억 원의 기회비용} = \frac{100{,}000{,}000 \times 0.03}{12} = 250{,}000 \text{ 원/월}$$
$$\text{인테리어 } 7{,}000\text{만 원의 감가상각}(5\text{년}) = \frac{70{,}000{,}000}{60} \approx 1{,}166{,}667 \text{ 원/월}$$

$$\text{합계} \approx 3{,}816{,}667 \text{ 원/월}$$

**둘째 — 모르는 것을 하나로 줄인다.** 매출은 $3{,}000{,}000\,h$ 이므로

$$3{,}000{,}000\,h = 3{,}816{,}667 \quad\to\quad h \approx 1.272 \text{ 시간}$$

$0.272 \times 60 \approx 16$ 분이므로, **좌석 하나가 하루 평균 $1$시간 $16$분 이상 이용되어야 한다.** $24$시간 기준 이용률로는 약 $5.3\%$ 다.

**셋째 — 그 값 주변에서 무슨 일이 일어나는지 확인한다.**

| 좌석당 하루 이용시간 $h$ | 월 매출 | 월 경제적 이익 |
|---|---|---|
| $0.8$ 시간 | $240$ 만 원 | $-142$ 만 원 |
| $1.0$ 시간 | $300$ 만 원 | $-82$ 만 원 |
| $1.27$ 시간 | $382$ 만 원 | $0$ |
| $2.0$ 시간 | $600$ 만 원 | $+218$ 만 원 |
| $3.0$ 시간 | $900$ 만 원 | $+518$ 만 원 |

$h$ 가 $1$ 에서 $2$ 로 두 배가 될 때 이익은 $-82$만에서 $+218$만으로 부호가 바뀐다. **결과 전체가 이 값 하나에 의존한다.**

**답** — 확정되지 않는다. 대신 물음이 바뀌었다. "이 사업 될까?"는 답할 수 없는 물음이었지만, "이 상권에서 좌석당 하루 $1.27$시간이 나오는가?"는 답할 수 있는 물음이다. 그리고 이 물음은 계산이 아니라 **관찰**로 답한다 — 근처 스터디카페를 여러 시간대에 방문해 이용 중인 좌석 수를 세는 방법이다.

**검산** — $h = 1.272$ 를 대입한다. 매출 $3{,}000{,}000 \times 1.272 = 3{,}816{,}000$원. 비용 $3{,}816{,}667$원. 거의 같다. 그리고 이 매출은 하루로 환산하면 $127{,}200$원, 시간당 요금 $2{,}500$원으로 나누면 하루 약 $51$시간이 이용된다는 뜻이다. $40$석이 각각 $24$시간, 총 $960$시간이 공급되므로 그중 $5.3\%$ 다.

**더 알아야 답이 나오는 것** —

- 반경 $500$m 안의 경쟁 점포 수와 총 좌석 수
- 인근 대학·고등학교·학원의 수와 통학 인구
- 이용량의 요일별·시간대별 분포(평일 저녁에만 몰리면 좌석 $40$석이 활용되지 않는다)
- 시험기간과 방학의 편차 — 연평균 $h$ 가 같아도 진폭이 크면 임차료를 충당하지 못하는 달이 발생한다
- 정기권 이용 비중. 정기권은 시간당 단가가 낮으므로 같은 이용시간이라도 매출이 감소한다
- 임대차 계약 기간과 임차료 인상 조항
- 폐업할 때 인테리어와 좌석을 얼마에 처분할 수 있는지(회수율이 $0$ 이면 위 감가상각 가정이 낙관적이다)

**알아도 답이 확정되지 않는 것** —

- $2$년 뒤 인접 건물에 더 크고 새로운 시설이 들어올지
- 학교가 이전하거나 학원가가 이동할지
- 무인 매장에서 발생하는 사고·기물 파손의 빈도

**빈번한 오류** — $h$ 를 모르는 상태에서 "$40$석이므로 좌석당 하루 $6$시간 정도는 이용될 것"이라고 대입해 월 매출 $1{,}800$만 원, 월 이익 $1{,}418$만 원이라는 답을 내는 것. 계산은 정확하지만 그 정확함이 결과를 보증하지 않는다. **추측한 숫자를 대입해 정확하게 계산하면, 정확해 보이는 추측이 산출된다.**

**확장** — 위 계산에는 단순화가 하나 포함되어 있다. 묶인 자금 $1$억 원 전부에 기회비용을 계상하면서 동시에 인테리어를 감가상각했는데, 인테리어가 상각되는 만큼 묶인 자본도 감소하므로 엄밀하게는 기회비용을 다소 과대 계상한 것이다. 그 차이는 $h$ 를 $1.27$ 에서 $1.24$ 근처로 낮추는 정도이고, $h$ 자체를 모르는 상황에서는 의미가 없는 정밀도이다.

**모르는 값의 오차가 다른 모든 오차를 압도할 때, 나머지를 정교하게 다듬는 것은 의미가 없다.** 어디까지 정밀하게 계산할지 정하는 것도 판단이고, 그 판단은 계산이 대신하지 않는다.
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### 문제 14 · 유행이 퍼지는 속도  ★★★

**상황** — 어느 대학가에서 새 앱이 확산되고 있다. 개발자가 집계한 이용자 수는 첫 주 $50$명, 둘째 주 $100$명, 셋째 주 $200$명, 넷째 주 $400$명이다. 개발자는 "매주 두 배씩 늘고 있으니 $15$주째에는 이만큼"이라며 투자자에게 제시할 숫자를 계산해 달라고 요청했다. 이 대학의 재학생은 약 $2$만 명이다.

**모형 설정** — $15$주째 이용자 수는 몇 명인가. 계산한 뒤 그 숫자가 성립하는지 판단한다. 성립하지 않는다면 **이 모형이 언제부터 깨지는지**를 계산할 수 있는가. 그리고 깨진 뒤의 곡선은 이 책의 도구로 어디까지 다룰 수 있는가.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — $15$주째 이용자 수. 그리고 매주 두 배라는 가정이 성립하지 않게 되는 시점.

② **주어진 값** — $50 \to 100 \to 200 \to 400$, 재학생 약 $20{,}000$명.

③ **관계식** — 비율이 일정하므로 첫 주를 $n = 0$ 으로 두면 $N(n) = 50 \times 2^{\,n}$ 이다. 그런데 확산 대상이 유한하다는 조건을 넣으면 식이 달라진다. 아직 사용하지 않는 사람이 줄어들수록 확산 속도도 줄어야 하므로

$$\frac{dN}{dt} = r\,N\left(1 - \frac{N}{K}\right)$$

가 된다. $K$ 는 확산이 끝났을 때의 이용자 수다. **오른쪽은 $N$ 에 대한 이차식**이다.

④ **사용 도구** — [제12장](../part2/ch12.md) 지수법칙 · [제22장](../part3/ch22.md) 로그 · [제21장](../part3/ch21.md) 이차함수의 꼭짓점 · [제26장](../part3/ch26.md) 도함수의 뜻

⑤ **모형의 한계** — $K$ 의 값. 재학생 전부가 언젠가 사용할 것인가, 아니면 관심층 $6{,}000$명이 상한인가. $K$ 를 모르면 곡선의 높이가 정해지지 않고, 그러면 $15$주째 값도 정해지지 않는다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
여기서도 답 대신 **어디까지 확정할 수 있는지**를 보인다.

**첫째 — 제시된 대로 계산한다.** $15$주째는 $n = 14$ 이므로

$$N(14) = 50 \times 2^{14} = 50 \times 16{,}384 = 819{,}200 \text{ 명}$$

재학생이 $2$만 명인 대학에서 $81$만 명. **이 숫자는 성립하지 않는다.** 계산이 틀린 것이 아니라 모형이 틀렸다.

**둘째 — 모형이 언제 깨지는지 계산한다.** $50 \times 2^{\,n} = 20{,}000$ 에서

$$2^{\,n} = 400 \quad\to\quad n = \frac{\ln 400}{\ln 2} = \frac{5.9915}{0.6931} \approx 8.64$$

$n = 8$(아홉째 주)이면 $50 \times 256 = 12{,}800$명, $n = 9$(열째 주)면 $50 \times 512 = 25{,}600$명으로 재학생 수를 초과한다. **늦어도 열째 주에는 지수 모형이 반드시 깨진다.** 그러므로 $15$주째 예측은 계산할 근거가 없는 값이다. 이 판정은 계산으로 확정된다.

**셋째 — 깨진 뒤의 식을 읽는다.** 위의 로지스틱 식에서 오른쪽을 전개하면

$$\frac{dN}{dt} = rN - \frac{r}{K}N^2$$

$N$ 에 대한 **위로 볼록한 이차식**이다. $N = 0$ 과 $N = K$ 에서 $0$ 이고, 꼭짓점은 두 근의 중점이다.

$$N = \frac{K}{2} \quad\to\quad \left.\frac{dN}{dt}\right|_{\max} = r \cdot \frac{K}{2}\left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{rK}{4}$$

**확산이 가장 빠른 시점은 전체의 절반이 사용할 때**다. 이것은 이차함수의 꼭짓점만으로 완전히 확정된 결론이며, 추가 가정을 요구하지 않는다.

초기에는 $N$ 이 $K$ 에 비해 매우 작아 $1 - N/K \approx 1$ 이므로 사실상 지수증가다. 매주 두 배였으므로 $r = \ln 2 \approx 0.693$/주. $K = 20{,}000$ 이라면

$$N = 10{,}000 \text{ 일 때 } \frac{rK}{4} = \frac{0.693 \times 20{,}000}{4} \approx 3{,}466 \text{ 명/주}$$

**넷째 — 이 책의 도구가 미치지 못하는 지점을 밝힌다.** $N(t)$ 의 **식 자체**를 얻으려면 위 미분방정식을 풀어야 한다. 필요한 재료는 대부분 이 책에 있다. 좌우를 분리해

$$\frac{dN}{N\left(1 - N/K\right)} = r\,dt$$

로 놓고 왼쪽을 부분분수로 분해한다. 이것은 유리식을 다루는 일([제19장](../part2/ch19.md))의 연장이지만, 하나의 분수를 여러 분수의 합으로 되돌리는 부분분수 분해 자체는 이 책에서 다루지 않았다. 분해한 모양은

$$\frac{K}{N(K - N)} = \frac{1}{N} + \frac{1}{K - N}$$

이고, 양변을 적분하면([제33장](../part3/ch33.md)) $\ln N - \ln(K - N) = rt + C$ 에서

$$N(t) = \frac{K}{1 + A e^{-rt}}$$

가 나온다. 로그의 적분은 이 책에서 다루었고, 부분분수 분해만 추가로 학습하면 된다. **부족한 것은 계산 기술이 아니라 "미분이 포함된 식을 푼다"는 발상**이고, 그것이 미분방정식이라는 별도의 영역이다.

**답** — $15$주째 이용자 수는 구할 수 없다. 이유는 두 가지다.

첫째, 식을 얻어도 $K$ 를 모른다. $K = 20{,}000$ 인지 $6{,}000$ 인지에 따라 $15$주째 값이 세 배 넘게 달라진다. 그리고 $K$ 를 정할 근거가 현재 자료 안에 없다.

둘째, $r$ 이 일정하다는 보장이 없다. 학기 중과 방학이 다르고, 경쟁 앱이 등장하면 $r$ 만이 아니라 $K$ 자체가 감소한다. 관측점 네 개는 전부 $N \ll K$ 인 구간에 있어서, 곡선이 꺾이는 부분에 대해 정보를 제공하지 않는다.

**확정할 수 있는 것** — 그래도 세 가지는 확정된다.

1. $81$만 명은 불가능하다. 지수 모형은 늦어도 열째 주에 깨진다.
2. 이용자가 전체의 절반에 도달할 때 확산이 가장 빠르고, 그 뒤로는 계속 느려진다.
3. $K$ 를 확정하면 나머지가 따라온다. 그러므로 지금 필요한 것은 예측이 아니라 $K$ 를 좁히는 조사다.

**검산** — $n = 8.64$ 를 대입한다. $2^{8.64} = e^{8.64 \times 0.6931} = e^{5.989} \approx 399$. $50 \times 399 = 19{,}950$ 명으로 $20{,}000$ 근처가 맞다. 그리고 꼭짓점 공식은 $N = 0$ 과 $N = K$ 가 근인 이차식의 대칭축이 $N = K/2$ 라는 것과 같으므로 따로 미분하지 않아도 확인된다.

**빈번한 오류** — 관측점 네 개가 지수함수에 정확히 맞는 것을 보고 "모형이 잘 맞는다"고 판단하는 것. 네 점이 맞는 것은 아직 **곡선이 꺾이기 전 구간**에 있기 때문이다. 로지스틱 곡선의 초반은 지수함수와 구별되지 않는다. **관측 구간 안에서 잘 맞는다는 사실은 관측 구간 밖에서도 맞는다는 보증이 되지 않는다.**

**확장** — 이 구조는 앱 확산에만 나타나는 것이 아니다. 감염병의 확산 초기, 신제품의 보급률, 어떤 기술의 채택률이 전부 같은 형태다. 그래서 "지수적으로 늘고 있다"는 서술을 볼 때 확인할 것이 하나 있다. **$K$ 는 얼마인가.** 유한한 대상에서 지수증가는 언제나 한시적 상태이고, 그 상태가 언제 끝나는지가 중요한 정보다.
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## 적용 범위와 한계

이 장은 도구 표시를 제거한 연습이었지만, 아직 제거하지 못한 것이 여럿 남아 있다.

**숫자가 이미 주어져 있었다.** 열네 문제 모두 상황 설명 안에 필요한 수치가 포함되어 있었다. 문제 13의 $h$ 와 문제 14의 $K$, 두 곳만 비워 두었다. 현실에서는 대개 그 반대다. 숫자를 수집하는 일 — 시세를 조사하고, 계약서의 조항을 읽고, 통계 자료를 확인하고, 직접 세는 일 — 이 계산보다 훨씬 오래 걸린다. 이 책은 그 과정을 다루지 않았다.

**도구가 이 책 안에 있다는 보장이 있었다.** 문제 14를 제외한 열세 문제는 제1~36장의 도구만으로 풀렸다. 현실의 문제에는 그런 보장이 없다. 필요한 도구가 아직 학습하지 않은 것일 수도 있고, 수학이 아니라 법률이나 의학의 영역일 수도 있다. **"이것은 내 도구로 다룰 수 없는 문제다"라고 판정하는 것도 능력**인데, 이 장의 문제는 도구가 모두 갖추어져 있어 그 연습에 적합하지 않다.

**한 사람의 결정만 다뤘다.** 문제 11에서 예린이 값을 $3{,}600$원으로 올리면, 인근 빵집도 값을 조정할 것이다. 그러면 예린의 수요곡선이 다시 이동한다. 서로가 서로의 선택에 반응하는 상황은 이 책의 도구로 다룰 수 없고, 게임이론이라는 별도의 영역이 필요하다.

**불확실성을 확률로 다루지 않았다.** 문제 5의 손익분기 나이 $82$세는 "몇 살까지 사는가"를 하나의 숫자로 가정해야 사용할 수 있는데, 실제 수명은 하나의 숫자가 아니라 분포다. 문제 13의 좌석 이용률도 마찬가지다. "$h = 1.5$"가 아니라 "$h$ 가 $0.8$에서 $2.5$ 사이에 있고 $1.4$ 근처일 가능성이 가장 높다"가 정확한 서술이다. 그렇게 서술하고 계산하는 방법이 확률과 통계다. 이 책 전체에서 확률은 다루지 않았고, 그것이 이 책에서 다루지 않은 가장 큰 영역이다.

**시간에 따라 변하는 상태를 식으로 푸는 방법이 없다.** 문제 14에서 도구가 미치지 못한 지점이다. 미분과 적분은 다루었지만, 미분이 포함된 식을 푸는 방법은 다루지 않았다. 그 부분을 학습하면 확산, 냉각, 개체 수, 이자와 상환이 결합된 모형을 다룰 수 있다.

## 요약과 다음 단계

제4부에서 다룬 것은 하나다. **말을 식으로 옮기는 절차.** 모형화 다섯 단계를 구성하고([제37장](ch37.md)), 물가를 나눗셈으로([제38장](ch38.md)), 이자를 거듭제곱으로([제39장](ch39.md)), 시장을 두 직선의 교점으로([제40장](ch40.md)), "한 개 더"와 민감도를 도함수와 비율의 비율로([제41장](ch41.md)), 쌓임과 잉여를 넓이로([제42장](ch42.md)) 옮겼다. 그리고 이 장에서는 사용할 도구가 지정되지 않은 상태에서 그 변환을 직접 수행했다.

새로 배운 수학은 없다. 제4부에서 사용한 도구는 전부 제1~36장의 것이다. 달라진 것은 **문제가 제시되는 경로**였다. 교과서에서 제시되던 문제가 부동산, 고지서, 계약서, 창업 제안의 형태로 제시된 것이다.

그래서 이 책의 마지막 문장은 계산에 관한 것이 아니다.

$$\textbf{숫자는 답을 주지 않는다. 답의 범위를 좁혀 줄 뿐이다.}$$

문제 5는 "$82$세"라는 조건을 제시했고, 문제 8은 "하루 $99$잔"이라는 문턱을 제시했고, 문제 13은 "좌석당 $1$시간 $16$분"이라는 관찰 과제를 제시했다. 어느 것도 결정이 아니었다. 결정은 사람이 한다. 다만 계산하기 전과 후는 다르다. 계산 전에는 선택지가 구분되지 않은 상태이고, 계산 후에는 조건에 따른 분기가 드러난다. **구분되지 않은 상태를 조건부 분기로 바꾸는 것**, 그것이 지난 마흔세 장에서 다룬 수학의 기능이다.

### 이후의 학습 방향

[제36장](../part3/ch36.md) 끝에서 네 방향을 제시했다. 제4부를 마친 시점에서 그 넷은 다르게 읽힌다. 이 장에서 확인된 한계가 각각 어느 방향과 이어지는지 정리한다. 원칙은 제36장과 같다. **한 번에 하나만 선택한다.**

| 방향 | 이 장의 어느 한계와 이어지는가 | 선행 |
|---|---|---|
| **① 선형대수** | 문제 9·10의 연립방정식이 변수 수십 개로 커지면 행렬이 필요하다. 자료가 표로 축적되는 모든 작업의 기초다 | 제2부면 충분 |
| **② 다변수 미적분** | 문제 11에서 값 하나만 정했지만, 실제로는 값·광고비·영업시간을 동시에 정해야 한다. 변수 여러 개의 최적화가 그것이다 | 미적분 전체 |
| **③ 엄밀한 미적분(해석학)** | 이 장에서 "극한을 이렇게 사용해도 되는가"라는 의문이 반복되었다면 | 미적분 + 증명 |
| **④ 증명** | 문제 9·14에서 "이 가정 아래에서는"이라고 조건을 명시했던 그 절차의 정식 형태 | 없음 |

그리고 이 장이 남긴 두 영역은 그 넷 바깥에 있다.

**확률과 통계** — 문제 5의 수명, 문제 13의 이용률, 문제 3의 물가 전망처럼 "하나의 숫자로 확정할 수 없는 값"을 다루는 방법. 제4부의 문제를 실제로 적용하려면 사실상 반드시 필요하고, 미적분의 준비가 적어도 시작할 수 있다. 위 표의 ①과 함께 학습하면 특히 잘 연결된다.

**미분방정식** — 문제 14에서 확인된 한계에 대응한다. 재료의 절반(치환적분, [제34장](../part3/ch34.md))은 이미 다루었고, 보통 ②와 함께 학습한다.

넷 중 하나든 여기 둘 중 하나든, 선택한 뒤의 학습 방법은 동일하다. 매일 일정량을 손으로 계산하고, 막히면 해당 선행 내용으로 돌아가 다시 확인한다. 이 책에서 사용한 방법이 그것이다.