# 제38장 · 물가와 화폐 — 비율로 보는 세상

:::{admonition} 이 장
:class: seealso

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|---|---|
| **사용 도구** | [제6장](../part1/ch06.md) 비·비율·백분율 · [제4장](../part1/ch04.md) 소수 · [제7장](../part1/ch07.md) 지수 · [제3장](../part1/ch03.md) 분수 나눗셈 |
| **선행 내용** | [제37장](ch37.md) 모형화 다섯 단계 |
| **요지** | 돈의 크기는 적힌 숫자가 아니라 **비율**로 측정하며, 물가·실질·환율은 모두 "기준량이 무엇인가" 하나로 정리된다. |
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## 도입

$20$ 년 전 통장의 마지막 잔액이 $3{,}000{,}000$ 원이라고 하자. 숫자만 보면 오늘 통장에 든 $3{,}000{,}000$ 원과 동일하다. 그러나 그 금액으로 구입할 수 있는 재화의 양은 두 시점에서 같지 않다. 당시에는 중고차 한 대에 해당하는 금액이었고, 현재는 그렇지 않다.

여기서 두 값이 어긋난다. 통장의 숫자는 $20$ 년 동안 $1$ 원도 변하지 않았으나, 그 숫자가 가리키던 **양**은 줄어들었다. 화폐 단위는 길이를 재는 자와 달리 눈금의 크기가 해마다 변하는 측정 단위다. 여러 해에 걸친 금액을 비교하려면, 그 사이에 단위의 크기가 얼마나 변했는지를 먼저 확정해야 한다.

경제 기사의 수치가 곧바로 해석되지 않는 원인은 두 가지다. 첫째는 화폐 단위의 크기가 시간에 따라 변한다는 사실이고, 둘째는 퍼센트를 더하고 빼는 수로 다루는 습관이다. "임금 $3\%$ 인상", "예금 금리 $3.5\%$", "환율 $25\%$ 급등"은 모두 수치는 제시되어 있으나, 그 수치가 무엇에 대한 비율인지가 문장에 명시되어 있지 않다.

이 장에서 새로 도입하는 수학은 없다. [제6장](../part1/ch06.md)에서 다룬 두 명제 — **기준량이 분모다**, **퍼센트 변화는 곱셈이다** — 만으로 물가지수, 실질임금, 실질금리, 구매력, 환율이 모두 같은 구조의 문제가 된다. 이 장의 목적은 계산 절차를 익히는 것이 아니라, 서술된 문장에서 기준량을 식별하는 것이다.

## 물가지수 — 장바구니를 하나의 수로 요약하기

"물가가 올랐다"는 진술을 수로 옮기려면 먼저 정의를 확정해야 한다. **물가**는 어떤 한 물건의 가격이 아니다. 쌀값, 버스요금, 휴대폰 요금, 학원비는 제각기 다른 속도로 변하므로, 이 여럿을 하나의 수로 종합하는 절차가 필요하다.

종합하는 절차는 단순하다. **장바구니(basket)** 를 하나 정한다. 대표적인 가구가 한 달 동안 사는 물건의 종류와 수량을 고정하는 것이다. 그리고 **그 고정된 장바구니를 채우는 데 드는 돈**을 해마다 계산한다. 물건의 종류와 수량이 고정되어 있으므로, 비용이 달라진다면 그 원인은 가격 변화뿐이다.

| 품목 | 한 달 수량 | $2020$ 년 가격 | $2020$ 년 금액 | $2025$ 년 가격 | $2025$ 년 금액 |
|---|---|---|---|---|---|
| 쌀 $10$ kg | $1$ 포 | $30{,}000$ 원 | $30{,}000$ 원 | $33{,}000$ 원 | $33{,}000$ 원 |
| 라면 | $20$ 개 | $1{,}000$ 원 | $20{,}000$ 원 | $1{,}200$ 원 | $24{,}000$ 원 |
| 시내버스 | $50$ 회 | $1{,}000$ 원 | $50{,}000$ 원 | $1{,}250$ 원 | $62{,}500$ 원 |
| **합계** | | | $100{,}000$ 원 | | $119{,}500$ 원 |

같은 장바구니가 $100{,}000$ 원에서 $119{,}500$ 원이 되었다. 이 두 수의 **비**가 곧 물가의 변화다.

$$\frac{119{,}500}{100{,}000} = 1.195$$

이 $1.195$ 에 $100$ 을 곱한 값을 물가지수로 정의한다.

$$\text{물가지수}_t = \frac{t\text{년 장바구니 비용}}{\text{기준연도 장바구니 비용}} \times 100$$

$2020$ 년을 **기준연도**로 정하면 $2020$ 년 지수는 정의상 $100$ 이고, $2025$ 년 지수는 $119.5$ 이다.

$100$ 을 곱해 두는 이유는 다음과 같다. 비율 그 자체($1.195$)로 두어도 정보량은 동일하다. 다만 $100$ 을 곱해 두면 지수에서 $100$ 을 빼는 것만으로 "기준연도 대비 몇 퍼센트"가 바로 읽힌다. $119.5 - 100 = 19.5$, 곧 $19.5\%$ 상승이다. 지수는 비율에 백분율의 형식을 부여한 값이다.

여기서 확인할 사항이 하나 있다. **지수에는 단위가 없다.** $119.5$ 는 $119.5$ 원이 아니다. 원으로 잰 두 금액을 나눈 값이므로 원이 분자와 분모에서 약분되어 사라진다([제6장](../part1/ch06.md)의 단위 약분과 같다). 지수 $119.5$ 가 뜻하는 것은 "기준연도의 $1.195$ 배" 하나뿐이다.

:::{admonition} 소비자물가지수(CPI)
:class: note
**소비자물가지수(CPI, Consumer Price Index)** — 가구가 실제로 소비하는 대표 품목 묶음을 고정해 두고, 그 묶음을 사는 데 드는 비용을 기준연도 대비 비율로 나타낸 지수.

한국의 소비자물가지수는 약 $460$ 개 품목으로 장바구니를 구성하고, 기준연도는 $5$ 년마다 갱신한다. 현재 사용하는 기준은 $2020$ 년 $= 100$ 이다.
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장바구니 방식에서는 다음 성질이 따라 나온다. **각 품목이 지수에 미치는 영향은 그 품목의 지출 비중에 비례한다.** 위 표에서 품목별 상승률을 각각 구하면 다음과 같다.

$$\text{쌀} +10\%, \qquad \text{라면} +20\%, \qquad \text{버스} +25\%$$

세 수의 단순평균은 $\dfrac{10 + 20 + 25}{3} \approx 18.3\%$ 이다. 그러나 실제 지수는 $19.5\%$ 올랐다. 두 값은 일치하지 않는다. 지출 비중($30\%$, $20\%$, $50\%$)을 가중치로 사용해 다시 계산한다.

$$0.30 \times 10 + 0.20 \times 20 + 0.50 \times 25 = 3 + 4 + 12.5 = 19.5$$

값이 정확히 일치한다. 물가지수는 품목별 상승률의 **가중평균**이고, 가중치는 지출 비중이다. 따라서 가장 많이 오른 품목이 지수를 가장 많이 움직이는 것이 아니라, **상승률과 지출 비중의 곱이 큰 품목**이 지수를 가장 많이 움직인다.

## 인플레이션율 — 지수의 변화율

**인플레이션(inflation)** 은 물가 수준이 지속적으로 오르는 현상이고, **인플레이션율**은 그 오름의 속도, 곧 물가지수의 변화율이다.

$$\pi_t = \frac{I_t - I_{t-1}}{I_{t-1}} \times 100 \ (\%)$$

식 자체는 [제6장](../part1/ch06.md)의 증가율과 동일하다. 이 장에서 오류가 발생하는 지점은 계산이 아니라 **분모**다. 다음 세 해의 지수를 검토한다.

| 연도 | 소비자물가지수 ($2020 = 100$) | 전년 대비 인플레이션율 |
|---|---|---|
| $2023$ | $110.0$ | — |
| $2024$ | $113.3$ | $+3.0\%$ |
| $2025$ | $115.0$ | $+1.5\%$ |

$2024$ 년: $\dfrac{113.3 - 110.0}{110.0} = \dfrac{3.3}{110.0} = 0.03$, 곧 $3.0\%$.

$2025$ 년: $\dfrac{115.0 - 113.3}{113.3} = \dfrac{1.7}{113.3} \approx 0.0150$, 곧 약 $1.5\%$.

여기서 두 가지를 확인한다.

**첫째, 인플레이션율의 기준량은 기준연도의 $100$ 이 아니라 직전 해의 지수다.** $2025$ 년 값을 $\dfrac{115.0 - 100}{100} = 15\%$ 로 계산하면 그것은 인플레이션율이 아니라 $2020$ 년 대비 **누적** 상승률이다. 두 값은 정의가 서로 다르지만 같은 지수표에서 계산되므로 혼동되기 쉽다.

**둘째, 인플레이션율이 $3.0\%$ 에서 $1.5\%$ 로 떨어진 것은 물가가 내렸다는 뜻이 아니다.** 지수는 $113.3$ 에서 $115.0$ 으로 계속 올랐다. 상승률이 낮아지는 것을 **디스인플레이션(disinflation)** 이라 하고, 지수 자체가 내려가는 것 — 인플레이션율이 음수가 되는 것 — 을 **디플레이션(deflation)** 이라 한다. 기사 제목의 "물가 상승세 둔화"는 앞의 것을 가리키며 뒤의 것을 가리키지 않는다. 변화율이 감소하는 것과 값 자체가 감소하는 것은 서로 다른 사건이다.

## 명목과 실질 — 물가 변동의 보정

**명목(nominal)** 값은 그때그때의 화폐 단위로 잰 값이다. 통장에 찍힌 숫자, 계약서에 쓰인 금액이 이에 해당한다. **실질(real)** 값은 물가 변동을 걷어내고 잰 값, 곧 그 금액이 실제로 어느 정도의 양에 해당하는지를 나타내는 값이다. 명목값은 단위의 크기 변화를 보정하지 않은 값이고, 실질값은 그 보정을 마친 값이다.

보정은 나눗셈 하나로 이루어진다. 물가수준을 $P_t = I_t / 100$ 이라 하고($I$ 는 지수), 명목임금을 $W_t$ 라 하면

$$w_t = \frac{W_t}{P_t} = \frac{W_t}{I_t / 100}$$

이 $w_t$ 를 **실질임금**이라 하고, 단위는 "기준연도의 원"이다. 지수가 $119.5$ 인 해에 월급 $3{,}000{,}000$ 원을 받는 경우 실질임금은 $3{,}000{,}000 \div 1.195 \approx 2{,}510{,}460$ 원, 곧 기준연도 물가로 환산하면 약 $251$ 만 원에 해당한다.

### 실질 증가율 — 빼기가 아니라 나누기

명목임금이 $g$ 만큼 오르고 물가가 $\pi$ 만큼 올랐을 때, 실질임금의 증가율을 구한다. 통상 $g - \pi$ 로 계산하지만 이는 **근사**다. 정확한 식은 다음과 같이 유도된다.

$$\frac{w_1}{w_0} = \frac{W_1 / P_1}{W_0 / P_0} = \frac{W_1}{W_0} \times \frac{P_0}{P_1} = \frac{1 + g}{1 + \pi}$$

분수를 분수로 나누는 자리에서 [제3장](../part1/ch03.md)의 "뒤집어 곱한다"가 그대로 쓰였다. 따라서 실질 증가율 $r$ 는 다음을 만족한다.

$$1 + r = \frac{1 + g}{1 + \pi}, \qquad r = \frac{1 + g}{1 + \pi} - 1$$

이 마지막 식을 통분해 정리하면 근사식과의 관계가 드러난다.

$$r = \frac{(1+g) - (1+\pi)}{1 + \pi} = \frac{g - \pi}{1 + \pi}$$

**정확한 실질 증가율은 $g - \pi$ 를 $1 + \pi$ 로 한 번 더 나눈 값이다.** 따라서 $\pi$ 가 충분히 작아 $1 + \pi \approx 1$ 로 볼 수 있는 범위에서만 $r \approx g - \pi$ 가 성립한다.

오차의 크기도 식으로 표현된다.

$$(g - \pi) - \frac{g-\pi}{1+\pi} = (g - \pi) \cdot \frac{\pi}{1 + \pi}$$

곧 **오차는 (명목과 물가의 차이) × (물가상승률에 관한 인자)** 이므로, 물가상승률이 낮고 명목과 물가의 격차가 작을수록 근사의 정확도가 높아진다. 수치로 확인하면 다음과 같다.

| $g$ (명목) | $\pi$ (물가) | 근사 $g - \pi$ | 정확 $\dfrac{1+g}{1+\pi} - 1$ | 차이 |
|---|---|---|---|---|
| $3\%$ | $2\%$ | $1.00\%\text{p}$ | $0.98\%$ | $0.02\%\text{p}$ |
| $5\%$ | $3\%$ | $2.00\%\text{p}$ | $1.94\%$ | $0.06\%\text{p}$ |
| $3\%$ | $10\%$ | $-7.00\%\text{p}$ | $-6.36\%$ | $0.64\%\text{p}$ |
| $10\%$ | $25\%$ | $-15.00\%\text{p}$ | $-12.00\%$ | $3.00\%\text{p}$ |
| $100\%$ | $80\%$ | $20.00\%\text{p}$ | $11.11\%$ | $8.89\%\text{p}$ |

물가가 $2\sim3\%$ 대일 때 근사의 오차는 $0.1\%$ 포인트 미만이다. "명목임금 $3\%$ 인상, 물가 $2\%$ — 실질로는 $1\%$"라는 서술은 이 범위에서 타당하다. 그러나 표의 마지막 행이 보여 주듯, 물가가 두 자릿수를 넘는 고인플레이션 국면에서 $g - \pi$ 를 사용하면 실질 소득 증가를 두 배 가까이 과대평가하게 된다. **근사식은 틀린 식이 아니라 적용 범위가 좁은 식이다.** 그 범위가 어디까지인지를 확정하는 것이 이 절의 목적이다.

### 명목금리와 실질금리

같은 식이 이자에도 그대로 적용된다. **명목금리**는 은행 창구에 게시된 이자율이고, **실질금리**는 물가 상승분을 걷어낸 뒤의 수익률이다. 명목금리를 $i$, 물가상승률을 $\pi$ 라 하면

$$1 + r = \frac{1 + i}{1 + \pi}, \qquad r = \frac{i - \pi}{1 + \pi} \approx i - \pi$$

이 관계를 **피셔 방정식(Fisher equation)** 이라 한다. 근사식 $r \approx i - \pi$ 는 앞의 표가 제시한 조건에서만 사용한다.

여기서 한 가지를 명확히 해 둔다. 실질금리를 계산할 때 쓰는 $\pi$ 는 **그 기간 동안 실제로 실현된** 물가상승률이다. 그런데 예금에 가입하는 시점에는 그 값이 아직 확정되어 있지 않다. 그래서 실무에서는 두 가지를 구분한다. 나중에 확정되는 **사후 실질금리**와, 지금 시점의 **기대 물가상승률**로 계산한 **사전 실질금리**다. 이 장의 계산은 모두 사후 실질금리에 해당한다. 기대를 수로 다루는 방법은 이 책의 범위 밖이다.

```{image} /_static/figs/ch38_nominal_real.svg
:alt: 명목임금 +3%, 물가 +5%, 실질임금 -1.9%
:width: 420px
:align: center
:class: chfig
```


## 구매력 — $1$ 만 원으로 살 수 있는 양

**구매력(purchasing power)** 은 일정한 금액으로 살 수 있는 재화의 **양**이다. 측정 대상이 금액이 아니라 양이라는 점이 정의의 핵심이다.

양을 구하는 계산은 [제1장](../part1/ch01.md)에서 다룬 나눗셈, 곧 "몇 묶음인가"를 묻는 계산이다.

$$10{,}000 \div 1{,}000 = 10 \qquad \text{“1만 원 안에 1,000원짜리 라면이 10개 들어간다”}$$

앞의 장바구니 표와는 별개의 예로, 라면값이 $1{,}250$ 원으로 오른 경우를 계산한다.

$$10{,}000 \div 1{,}250 = 8$$

$10$ 개에서 $8$ 개가 되었다. 여기서 두 비율이 일치하지 않는 현상이 나타난다.

$$\text{가격 상승률} = \frac{250}{1{,}000} = 25\%, \qquad \text{개수 감소율} = \frac{2}{10} = 20\%$$

**가격이 $25\%$ 오르면 살 수 있는 양이 $25\%$ 줄어드는 것이 아니다.** 가격이 $1.25$ 배가 되면 살 수 있는 개수는 그 **역수**인 $\dfrac{1}{1.25} = 0.8$ 배가 된다. 곱셈에서 나눗셈으로 넘어가면서 비율이 역수로 바뀐다. 한쪽의 기준량은 옛 가격이고 다른 쪽의 기준량은 옛 개수이므로, 두 비율은 서로 다른 값이 된다.

일반적으로, 물가가 $1 + \pi$ 배가 되면 같은 돈의 구매력은 $\dfrac{1}{1 + \pi}$ 배가 된다. 화폐 한 단위의 크기가 그만큼 줄어든 것이다.

| 물가지수 | 기준연도 대비 물가 상승 | $10{,}000$ 원의 실질 가치 | 구매력 변화 |
|---|---|---|---|
| $100$ | $0\%$ | $10{,}000$ 원 | — |
| $125$ | $+25\%$ | $8{,}000$ 원 | $-20\%$ |
| $160$ | $+60\%$ | $6{,}250$ 원 | $-37.5\%$ |
| $200$ | $+100\%$ | $5{,}000$ 원 | $-50\%$ |
| $400$ | $+300\%$ | $2{,}500$ 원 | $-75\%$ |

물가가 두 배가 되면 구매력은 절반이 된다. $+100\%$ 와 $-50\%$ 는 같은 사건을 서로 다른 기준량으로 표현한 값이며, 이 비대칭은 이 장에서 가장 자주 다시 나타나는 구조다. 뒤에서 다루는 환율도 같은 구조를 갖는다.

```{image} /_static/figs/ch38_purchasing_power.svg
:alt: 연 3% 물가상승이 20년 이어질 때 구매력은 약 55로 줄어든다
:width: 480px
:align: center
:class: chfig
```


## 퍼센트 계산에서 주의할 네 가지

### 주의점 1 — 퍼센트 변화는 곱셈이다

$20\%$ 올랐다가 $20\%$ 내리면 처음 값으로 돌아오지 않는다.

$$1.2 \times 0.8 = 0.96$$

$4\%$ 감소한 값이다. 이유는 [제6장](../part1/ch06.md)에서 다룬 것과 같다. 올릴 때의 기준량은 옛 값이고 내릴 때의 기준량은 이미 오른 값이므로, 같은 "$20\%$"가 서로 다른 금액을 가리킨다. 처음 값으로 되돌리려면 $\dfrac{1}{0.96} - 1 \approx 4.17\%$ 를 올려야 한다.

이 구조는 물가·할인·수익률·환율에 공통으로 나타난다. **퍼센트는 더하는 수가 아니라 곱하는 인자다.** $+20\%$ 를 $\times 1.2$ 로, $-20\%$ 를 $\times 0.8$ 로 바꿔 적으면 이 유형의 오류는 대부분 예방된다.

### 주의점 2 — 여러 해의 상승률은 곱해서 쌓인다

물가가 세 해 동안 $5\%$, $3.6\%$, $2.3\%$ 올랐다면 누적 상승률은 $5 + 3.6 + 2.3 = 10.9\%$ 가 아니다.

$$1.05 \times 1.036 \times 1.023 = 1.1128\ldots \qquad \text{곧 약 } 11.28\%$$

이 지점이 [제7장](../part1/ch07.md)의 거듭제곱이 경제 계산에 쓰이는 자리다. 매년 같은 비율 $\pi$ 로 $n$ 년 오르면 누적 배율은 $(1+\pi)^n$ 이다. 반대로 $n$ 년 누적 배율이 $M$ 일 때 연평균 상승률은 산술평균이 아니라 **기하평균** $M^{1/n} - 1$ 로 구한다.

### 주의점 3 — 퍼센트와 퍼센트포인트

**퍼센트포인트($\%\text{p}$)** — 두 백분율의 산술적 **차이**. **퍼센트($\%$)** — 기준량에 대한 **비율**.

기준금리가 $3.0\%$ 에서 $3.5\%$ 로 오른 경우를 계산한다.

$$3.5 - 3.0 = 0.5\ \%\text{p} \qquad \text{그러나} \qquad \frac{0.5}{3.0} \approx 16.7\%\ \text{인상}$$

두 수 모두 옳다. 다만 앞의 것은 **차이**이고 뒤의 것은 **비율**이다. "금리가 $0.5\%$ 올랐다"고 쓰면 $3.0\% \times 1.005 = 3.015\%$ 라는 뜻이 되어, 기사가 서술하려던 것과 다른 수가 된다. 백분율로 표시된 양에서는 차이와 비율이 서로 다른 단위를 갖는다.

### 주의점 4 — 기준연도를 바꾸면 지수는 바뀌지만 상승률은 안 바뀐다

지수의 수치는 어느 해를 $100$ 으로 두는지에 따라 달라진다. **재기준화**는 모든 항을 새 기준연도의 옛 지숫값으로 나누고 $100$ 을 곱하는 연산이다.

$$I^{\text{새}}_t = \frac{I^{\text{옛}}_t}{I^{\text{옛}}_{\text{새 기준연도}}} \times 100$$

| 연도 | $2020 = 100$ | $2021 = 100$ | 전년 대비 |
|---|---|---|---|
| $2020$ | $100.00$ | $95.24$ | — |
| $2021$ | $105.00$ | $100.00$ | $+5.0\%$ |
| $2022$ | $110.25$ | $105.00$ | $+5.0\%$ |

$2020 \to 2021$ 의 상승률을 왼쪽 열로 계산하면 $\dfrac{105 - 100}{100} = 5.0\%$, 오른쪽 열로 계산하면 $\dfrac{100 - 95.24}{95.24} \approx 5.0\%$ 로 같다. 재기준화는 모든 항에 같은 수를 곱하는 연산이고 상승률은 두 항의 **비**이므로, 그 수가 분자와 분모에서 약분되기 때문이다. **지수의 절대적 크기에는 의미가 없다. 의미는 언제나 두 지숫값의 비에 있다.**

## 환율 — 이름과 방향이 반대인 수

**환율(exchange rate)** 은 두 통화의 교환 비율이다. 한국에서 "환율"이라 하면 보통 **원/달러**, 곧 $1$ 달러를 사는 데 드는 원화 금액을 뜻한다.

여기서 용어와 의미가 반대 방향이 된다. 원/달러 환율이 $1{,}200$ 원에서 $1{,}500$ 원으로 **올랐다**는 것은 달러 하나를 사는 데 원을 더 많이 내야 한다는 뜻, 곧 **원화의 가치가 떨어졌다**는 뜻이다. 곧 환율 상승은 원화 약세를 의미한다. 이름이 가리키는 방향과 뜻이 가리키는 방향이 서로 반대다.

이 관계는 수로 쓰면 명확해진다. 원화의 가치를 달러로 잰 값은 환율의 **역수**다.

$$\frac{1}{1{,}200} \approx 0.000833\ \text{달러} \quad \longrightarrow \quad \frac{1}{1{,}500} \approx 0.000667\ \text{달러}$$

환율의 상승률은 $\dfrac{1{,}500 - 1{,}200}{1{,}200} = 25\%$ 인데, 원화 가치의 하락률은

$$\frac{1/1500 - 1/1200}{1/1200} = \frac{1{,}200}{1{,}500} - 1 = 0.8 - 1 = -20\%$$

환율 상승률은 $25\%$, 원화 가치 하락률은 $20\%$ 이며, 이는 앞 절의 구매력과 **동일한 구조**다. 환율이 $1 + e$ 배가 되면 원화 가치는 $\dfrac{1}{1+e}$ 배가 되고, 따라서

$$\text{원화 가치 변화율} = \frac{1}{1+e} - 1 = \frac{-e}{1+e}$$

| 환율 상승률 $e$ | 원화 가치 변화율 |
|---|---|
| $+10\%$ | $-9.09\%$ |
| $+25\%$ | $-20.00\%$ |
| $+50\%$ | $-33.33\%$ |
| $+100\%$ | $-50.00\%$ |

두 수 모두 옳다. 기준량으로 삼은 대상이 서로 다를 뿐이다. 환율 상승률의 기준량은 **원으로 잰 달러값**이고, 가치 하락률의 기준량은 **달러로 잰 원화값**이다. 같은 날의 두 기사가 서로 다른 수치를 제목으로 제시하는 이유가 이것이다.

## 시나리오 문제

$16$ 개 문제는 모두 새로운 수학을 요구하지 않는다. 각 문제에서 수행하는 작업은 동일하다. 문장에서 기준량을 찾아내고, 더할 자리인지 곱할 자리인지 판별하는 것이다. 별표는 난이도를 나타낸다. ★☆☆ 기본 · ★★☆ 표준 · ★★★ 도전.
### 문제 1 · 지수표 세 줄  ★☆☆

**상황** — 아침 뉴스에 표가 한 장 제시되었다. "소비자물가지수($2020$ 년 $=100$)"라는 제목 아래 $2020$ 년 $100.0$, $2023$ 년 $111.2$, $2024$ 년 $114.0$ 이라고 적혀 있다. 진행자는 "지난해 물가상승률은 $2.5\%$ 였다"고 말한다. 시청자 게시판에는 다음 질문이 올라온다. "$114$ 면 $14\%$ 오른 거 아닌가요? 왜 $2.5\%$라고 하죠?"

**모형 설정** — 이 질문을 쓴 사람이 계산한 $14\%$ 와 진행자가 말한 $2.5\%$ 는 각각 무엇을 무엇으로 나눈 값인가. 둘 중 하나가 틀린 것인지, 아니면 둘 다 옳은데 서로 다른 것을 재고 있는지 먼저 판단하라. 그다음 $2020$ 년에 $1{,}000{,}000$ 원이던 장바구니가 $2024$ 년에 얼마가 되었는지 구하라.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — $2024$ 년의 전년 대비 인플레이션율, 그리고 $2024$ 년 장바구니 비용.

② **주어진 값** — 지수 $I_{2020}=100.0$, $I_{2023}=111.2$, $I_{2024}=114.0$. 지수는 단위 없는 비율이고, 기준연도 값이 $100$ 이다.

③ **관계식** — 누적 상승률은 기준연도를 분모로, 인플레이션율은 직전 해를 분모로 쓴다.
$$\text{누적} = \frac{114.0 - 100}{100}, \qquad \pi_{2024} = \frac{114.0 - 111.2}{111.2}$$
장바구니 비용은 지수에 비례하므로 $1{,}000{,}000 \times \dfrac{114.0}{100}$.

④ **사용 도구** — [제6장](../part1/ch06.md) 증가율의 기준량, [제4장](../part1/ch04.md) 소수 나눗셈

⑤ **모형의 한계** — 이 표는 "평균적인 장바구니"가 $14\%$ 비싸졌다고 말할 뿐, 이 시청자가 실제로 사는 물건들이 $14\%$ 비싸졌다고는 말하지 않는다. 표에는 장바구니의 내용물이 적혀 있지 않다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
누적 상승률($2020$ 년 대비 $2024$ 년):

$$\frac{114.0 - 100}{100} = \frac{14.0}{100} = 0.14 = 14.0\%$$

$2024$ 년 인플레이션율(전년 대비): (계산기 사용)

$$\frac{114.0 - 111.2}{111.2} = \frac{2.8}{111.2} \approx 0.02518 = 2.52\%$$

$2024$ 년 장바구니 비용:

$$1{,}000{,}000 \times \frac{114.0}{100} = 1{,}000{,}000 \times 1.14 = 1{,}140{,}000\ \text{원}$$

**답** — 둘 다 옳다. $14.0\%$ 는 $2020$ 년 대비 **$4$ 년 누적** 상승률, $2.52\%$ 는 $2023$ 년 대비 **한 해** 상승률이다. $2020$ 년에 $1{,}000{,}000$ 원이던 장바구니는 $2024$ 년에 $1{,}140{,}000$ 원이 되었다.

**검산** — $111.2 \times 1.0252 = 114.00$. 전년 지수에 구한 상승률을 곱하면 올해 지수가 되돌아온다. 누적 쪽도 $100 \times 1.14 = 114.0$ 으로 맞는다.

**빈번한 오류** — $\dfrac{2.8}{114.0} \approx 2.46\%$ 로 계산하는 것. 분자는 맞고 분모가 틀렸다. "$111.2$ **에서** $114.0$ 으로"의 조사가 기준량을 지목한다. 변하기 **전** 값이 분모다.

또 하나는 지수 $114.0$ 을 "$114$ 원"이나 "$114$ 점"으로 읽는 것이다. 지수는 원을 원으로 나눈 값이라 단위가 없다. "$1.14$ 배"라는 뜻만 갖는다.

**확장** — $4$ 년간 누적 상승률이 $14.0\%$ 일 때 연평균 상승률은 $14 \div 4 = 3.5\%$ 가 아니다. 상승률은 곱해서 쌓이므로 $1.14^{1/4} - 1 \approx 3.33\%$ 다(계산기 사용). 검산: $1.0333^4 \approx 1.140$. 산술평균은 언제나 기하평균보다 **크거나 같다**(해마다 상승률이 같을 때만 두 값이 일치하고, 그 밖에는 항상 산술평균이 크다).
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### 문제 2 · 우리 동네 물가지수  ★★☆

**상황** — 어느 지역 상인회가 "우리 동네 물가지수"를 만들기로 했다. 대표적인 $4$ 인 가구가 한 달에 사는 물건 다섯 가지를 골라 $2024$ 년과 $2025$ 년 가격을 조사했다. 회장은 다섯 품목의 상승률을 더해 $5$ 로 나눈 $10\%$ 를 발표하려 한다.

| 품목 | 한 달 수량 | $2024$ 년 가격 | $2025$ 년 가격 | 상승률 |
|---|---|---|---|---|
| 쌀 $10$ kg | $1$ 포 | $30{,}000$ 원 | $31{,}500$ 원 | $+5\%$ |
| 계란 $30$ 구 | $2$ 판 | $7{,}000$ 원 | $8{,}400$ 원 | $+20\%$ |
| 우유 $1$ L | $10$ 개 | $2{,}500$ 원 | $2{,}750$ 원 | $+10\%$ |
| 라면 $5$ 개입 | $4$ 묶음 | $4{,}000$ 원 | $4{,}600$ 원 | $+15\%$ |
| 시내버스 | $40$ 회 | $1{,}500$ 원 | $1{,}500$ 원 | $0\%$ |

**모형 설정** — 회장의 $10\%$ 는 무엇의 평균인가. 물가지수가 재려는 것이 "가격들의 평균"인지 "장바구니 비용"인지 먼저 정하라. 그 선택에 따라 답이 달라진다. 어느 쪽이 이 가구의 살림에 일어난 일을 나타내는지 판단하라.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — $2024$ 년 $= 100$ 으로 놓았을 때 $2025$ 년 지수, 그리고 회장의 $10\%$ 와 어긋나는 이유.

② **주어진 값** — 다섯 품목의 수량(고정)과 두 해의 가격. 수량이 고정되어 있으므로 장바구니 비용의 변화는 오직 가격 변화다.

③ **관계식** — 각 해의 장바구니 비용을 먼저 구한 뒤 비를 만든다.
$$I_{2025} = \frac{\sum (\text{수량} \times 2025\text{년 가격})}{\sum (\text{수량} \times 2024\text{년 가격})} \times 100$$

④ **사용 도구** — [제6장](../part1/ch06.md) 비율, [제1장](../part1/ch01.md) 곱셈은 "몇 묶음"

⑤ **모형의 한계** — 계란값이 $20\%$ 오른 뒤에도 이 가구가 계속 $2$ 판을 산다는 보장은 없다. 장바구니를 고정한다는 것은 사람들이 비싸진 물건을 덜 사고 다른 것으로 갈아탈 가능성을 계산에서 제외하는 가정이다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
$2024$ 년 장바구니:

$$30{,}000 \times 1 = 30{,}000$$
$$7{,}000 \times 2 = 14{,}000$$
$$2{,}500 \times 10 = 25{,}000$$
$$4{,}000 \times 4 = 16{,}000$$
$$1{,}500 \times 40 = 60{,}000$$

합계 $30{,}000 + 14{,}000 + 25{,}000 + 16{,}000 + 60{,}000 = 145{,}000$ 원.

$2025$ 년 장바구니:

$$31{,}500 \times 1 = 31{,}500$$
$$8{,}400 \times 2 = 16{,}800$$
$$2{,}750 \times 10 = 27{,}500$$
$$4{,}600 \times 4 = 18{,}400$$
$$1{,}500 \times 40 = 60{,}000$$

합계 $31{,}500 + 16{,}800 + 27{,}500 + 18{,}400 + 60{,}000 = 154{,}200$ 원.

지수: (계산기 사용)

$$I_{2025} = \frac{154{,}200}{145{,}000} \times 100 \approx 106.34$$

**답** — $2024$ 년 $=100$ 기준으로 $2025$ 년 지수는 약 $106.3$, 곧 물가상승률 약 $6.34\%$ 다. 회장의 $10\%$ 는 지출 비중을 무시한 단순평균이므로 실제보다 크게 나온 값이다.

**검산** — 늘어난 금액을 직접 더해 확인한다. 쌀 $+1{,}500$, 계란 $+2{,}800$, 우유 $+2{,}500$, 라면 $+2{,}400$, 버스 $0$. 합이 $9{,}200$ 원이고, $154{,}200 - 145{,}000 = 9{,}200$ 원으로 일치한다. $\dfrac{9{,}200}{145{,}000} \approx 0.0634$.

지출 비중으로 가중평균을 내도 같은 값이 나와야 한다. 비중은 $\dfrac{30{,}000}{145{,}000} \approx 20.69\%$, $9.66\%$, $17.24\%$, $11.03\%$, $41.38\%$ 다.

$$0.2069(5) + 0.0966(20) + 0.1724(10) + 0.1103(15) + 0.4138(0) \approx 1.03 + 1.93 + 1.72 + 1.66 + 0 = 6.34$$

**빈번한 오류** — 상승률 다섯 개를 단순평균 내는 것. 가장 많이 오른 계란($+20\%$)의 지출 비중은 $9.7\%$ 에 불과하고, 가격이 변하지 않은 버스는 비중이 $41.4\%$ 다. 지수는 "가격들의 평균"이 아니라 **"장바구니 비용의 비"** 다.

**확장** — 이 가구가 자가용을 사서 버스를 타지 않게 되는 경우를 계산한다. 버스가 빠진 장바구니는 $2024$ 년 $85{,}000$ 원, $2025$ 년 $94{,}200$ 원이 되어 상승률이 $\dfrac{9{,}200}{85{,}000} \approx 10.8\%$ 로 오른다. 같은 가격표를 놓고도 장바구니가 달라지면 물가상승률이 달라진다. 문제 $11$ 이 이 논점을 본격적으로 다룬다.
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### 문제 3 · 기준연도를 바꿔 오라는 지시  ★★☆

**상황** — 회사 보고서에 $2015$ 년 $=100$ 으로 만든 물가지수 계열이 실려 있다. 팀장의 지시는 다음과 같다. "우리 사업이 $2020$ 년에 시작했으니 $2020$ 년을 $100$ 으로 바꿔서 다시 뽑아 주세요." 옆자리 동료는 "기준을 바꾸면 상승률도 다 다시 계산해야 하는 것 아니냐"고 묻는다.

| 연도 | 지수 ($2015 = 100$) |
|---|---|
| $2015$ | $100.0$ |
| $2018$ | $105.0$ |
| $2020$ | $112.0$ |
| $2023$ | $126.0$ |
| $2025$ | $134.4$ |

**모형 설정** — 기준연도를 옮긴다는 것은 각 항에 무엇을 하는 연산인가. 모든 항에 같은 수를 곱하는 것인지, 각 항마다 다른 수를 더하는 것인지 판단하라. 그 답이 정해지면 동료의 질문에 대한 답도 함께 정해진다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — $2020$ 년 $=100$ 기준으로 다시 쓴 지수 다섯 개. 그리고 상승률이 바뀌는지 여부.

② **주어진 값** — $2015$ 년 $=100$ 기준 계열. 새 기준연도인 $2020$ 년의 옛 지숫값이 $112.0$.

③ **관계식** — 새 기준연도의 값이 $100$ 이 되도록 계열 전체를 나눈다.
$$I^{\text{새}}_t = \frac{I^{\text{옛}}_t}{112.0} \times 100$$
상승률은 두 지숫값의 **비**이므로 $\dfrac{I^{\text{새}}_t}{I^{\text{새}}_{t-1}} = \dfrac{I^{\text{옛}}_t / 112}{I^{\text{옛}}_{t-1} / 112}$ 에서 $112$ 가 약분된다.

④ **사용 도구** — [제6장](../part1/ch06.md) 비, [제3장](../part1/ch03.md) 분수의 약분

⑤ **모형의 한계** — 재기준화는 숫자를 다시 쓰는 연산이지 장바구니를 다시 짜는 작업이 아니다. 통계청이 실제로 기준연도를 개편할 때는 장바구니 품목과 가중치도 함께 바꾸기 때문에, 그때는 두 계열을 이렇게 단순히 이어 붙일 수 없다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
모든 항을 $112.0$ 으로 나누고 $100$ 을 곱한다.

$$2015: \ \frac{100.0}{112.0} \times 100 \approx 89.29$$
$$2018: \ \frac{105.0}{112.0} \times 100 = 93.75$$
$$2020: \ \frac{112.0}{112.0} \times 100 = 100.00$$
$$2023: \ \frac{126.0}{112.0} \times 100 = 112.50$$
$$2025: \ \frac{134.4}{112.0} \times 100 = 120.00$$

| 연도 | $2015 = 100$ | $2020 = 100$ |
|---|---|---|
| $2015$ | $100.0$ | $89.29$ |
| $2018$ | $105.0$ | $93.75$ |
| $2020$ | $112.0$ | $100.00$ |
| $2023$ | $126.0$ | $112.50$ |
| $2025$ | $134.4$ | $120.00$ |

**답** — 위 표의 오른쪽 열이다. 동료의 질문과 달리 상승률은 다시 계산할 필요가 없다. 재기준화로 상승률이 바뀌지 않기 때문이다.

**검산** — $2020 \to 2023$ 상승률을 두 기준으로 각각 계산한다.

옛 기준: $\dfrac{126.0 - 112.0}{112.0} = \dfrac{14.0}{112.0} = 0.125 = 12.5\%$

새 기준: $\dfrac{112.50 - 100.00}{100.00} = 12.5\%$ — 같다.

$2015 \to 2018$ 도 확인한다. 옛 기준 $\dfrac{5.0}{100.0} = 5.0\%$, 새 기준 $\dfrac{93.75 - 89.29}{89.29} = \dfrac{4.46}{89.29} \approx 5.0\%$ — 같다.

**빈번한 오류** — 각 항에서 $12$ 를 **빼서** $2020$ 년을 $100$ 으로 맞추는 것($112 - 12 = 100$). 그러면 $2015$ 년이 $88.0$, $2025$ 년이 $122.4$ 가 되는데, 이 계열로 $2020 \to 2023$ 을 계산하면 $\dfrac{114 - 100}{100} = 14\%$ 로 원래의 $12.5\%$ 와 어긋난다. 지수는 비율이지 위치가 아니다. 비율을 옮길 때는 나누는 것이지 빼는 것이 아니다.

**확장** — $89.29$ 라는 수의 의미는 "$2015$ 년 물가는 $2020$ 년 물가의 $89.29\%$ 수준"이다. 이를 바꾸어 말하면 $2015 \to 2020$ 사이에 $\dfrac{100 - 89.29}{89.29} \approx 12.0\%$ 올랐다는 뜻이며, 이는 옛 기준의 $\dfrac{112 - 100}{100} = 12.0\%$ 와 정확히 같다. $100 - 89.29 = 10.71$ 을 보고 "$10.7\%$ 올랐다"고 읽으면 안 된다. 기준량이 $89.29$ 이지 $100$ 이 아니다.
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### 문제 4 · "물가 상승세 둔화"라는 제목  ★★☆

**상황** — 뉴스 자막에 "물가 상승률 $3$ 년째 둔화"라고 제시되었다. $2022$ 년 $5.0\%$, $2023$ 년 $3.6\%$, $2024$ 년 $2.3\%$ 라는 수치가 함께 나온다. 그런데 시청자 게시판의 반응은 반대다. "둔화라고 하지만 장 보러 가면 $3$ 년 전보다 훨씬 비싸다." 두 진술은 서로 모순되지 않는다.

**모형 설정** — "둔화"라는 말이 가리키는 것은 지수인가 지수의 변화율인가. 그리고 시청자가 체감하는 것은 어느 쪽인가. 이 둘을 구분한 다음, $2021$ 년 말을 $100$ 으로 놓고 $3$ 년 뒤의 지수를 구하라. 세 상승률을 더할 것인지 곱할 것인지 판단하라.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — $3$ 년간 누적 물가 상승률, 그리고 "둔화"와 "더 비싸다"가 동시에 참일 수 있는 이유.

② **주어진 값** — 연도별 인플레이션율 $5.0\%,\ 3.6\%,\ 2.3\%$. 세 수 모두 **양수**다.

③ **관계식** — 각 해의 상승은 직전 해 수준을 기준량으로 삼으므로 배율이 곱해진다.
$$\frac{I_{2024}}{I_{2021}} = 1.05 \times 1.036 \times 1.023$$

④ **사용 도구** — [제7장](../part1/ch07.md) 거듭제곱, [제6장](../part1/ch06.md) 퍼센트는 곱하는 인자

⑤ **모형의 한계** — 인플레이션율이 왜 $5.0\%$ 에서 $2.3\%$ 로 내려왔는지는 이 계산에 없다. 금리를 올렸기 때문인지, 국제 유가가 떨어졌기 때문인지, 공급망이 정상화됐기 때문인지 — 원인은 이 수치 바깥에 있다.
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지수를 한 해씩 쌓아 간다. $2021$ 년 말 $= 100$ 으로 놓는다.

$$2022: \ 100 \times 1.05 = 105.00$$
$$2023: \ 105.00 \times 1.036 = 108.78$$
$$2024: \ 108.78 \times 1.023 = 111.28$$

누적 배율은 $1.05 \times 1.036 \times 1.023 \approx 1.1128$, 곧 $11.28\%$ 상승이다.

단순합은 $5.0 + 3.6 + 2.3 = 10.9\%$ 로 $0.38$ 퍼센트포인트 작다.

$3$ 년 전에 보관해 둔 현금 $1{,}000{,}000$ 원의 구매력은 (계산기 사용)

$$\frac{1{,}000{,}000}{1.1128} \approx 898{,}634\ \text{원}$$

$$1 - \frac{1}{1.1128} \approx 0.1014 \quad \longrightarrow \quad 10.14\%\ \text{감소}$$

**답** — 둘 다 참이다. 인플레이션율(**변화율**)은 $5.0 \to 3.6 \to 2.3$ 으로 내려갔고, 물가지수(**수준**)는 $100 \to 105.00 \to 108.78 \to 111.28$ 로 계속 올랐다. $3$ 년 누적 $11.28\%$ 상승이다. 보관해 둔 $100$ 만 원은 약 $89.9$ 만 원어치가 되었다.

**검산** — $111.28 \div 108.78 = 1.0230$, $108.78 \div 105.00 = 1.0360$, $105.00 \div 100 = 1.0500$. 세 상승률이 그대로 되돌아온다. 구매력 쪽도 $898{,}634 \times 1.1128 \approx 1{,}000{,}000$ 원이다.

**빈번한 오류** — 첫째, 세 상승률을 더하는 것($10.9\%$). 물가가 낮을 때는 오차가 작지만 해가 쌓일수록 벌어진다. 둘째, "상승률이 낮아졌다"를 "물가가 내렸다"로 읽는 것. 물가가 내리려면 인플레이션율이 **음수**가 되어야 한다(디플레이션). 셋째, 물가가 $11.28\%$ 올랐으니 구매력이 $11.28\%$ 줄었다고 계산하는 것. 구매력은 역수이므로 $10.14\%$ 감소다.

**확장** — 이 $3$ 년의 연평균 상승률을 구한다. 단순평균은 $\dfrac{10.9}{3} \approx 3.633\%$ 이고, 정확한 기하평균은 $1.1128^{1/3} - 1 \approx 3.627\%$ 다(계산기 사용). 차이는 $0.006$ 퍼센트포인트다. **수가 작을 때는 산술평균이 기하평균의 좋은 근사가 된다.** 실질 증가율의 근사식이 성립하는 조건과 같은 사정이다.
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### 문제 5 · 김밥 몇 줄  ★☆☆

**상황** — 대학생 박지현은 한 달 점심값 예산을 $200{,}000$ 원으로 정해 놓았다. 학교 앞 김밥집이 한 줄 $4{,}000$ 원 하던 것을 $5{,}000$ 원으로 올렸다. 가게 사장은 "$1{,}000$ 원밖에 올리지 않았다"고 말한다.

**모형 설정** — 지현이 잃은 것을 "원"으로 잴 것인가 "줄"로 잴 것인가. 두 가지 방식으로 각각 계산하고, 나온 두 퍼센트가 왜 다른지 설명하라. 어느 쪽이 지현의 점심에 실제로 일어난 일인지 판단하라.

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① **미지량** — 가격 인상 전후에 살 수 있는 김밥 줄 수, 그 감소율, 그리고 가격 상승률과의 관계.

② **주어진 값** — 예산 $200{,}000$ 원(고정), 가격 $4{,}000 \to 5{,}000$ 원.

③ **관계식** — 살 수 있는 개수는 "예산 안에 가격이 몇 번 들어가는가"다.
$$n = \frac{200{,}000}{\text{가격}}$$
$$\text{가격 상승률} = \frac{1{,}000}{4{,}000}, \qquad \text{개수 감소율} = \frac{n_{\text{전}} - n_{\text{후}}}{n_{\text{전}}}$$

④ **사용 도구** — [제1장](../part1/ch01.md) 나눗셈은 "몇 묶음", [제6장](../part1/ch06.md) 증가율·감소율

⑤ **모형의 한계** — 지현이 김밥 $40$ 줄로 한 달을 채울지, 예산을 늘릴지, 더 싼 것으로 갈아탈지는 이 식이 다루지 않는다. 예산을 고정한다는 가정 자체가 하나의 선택이다.
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$$\text{인상 전}: \ 200{,}000 \div 4{,}000 = 50\ \text{줄}$$
$$\text{인상 후}: \ 200{,}000 \div 5{,}000 = 40\ \text{줄}$$

가격 상승률:

$$\frac{5{,}000 - 4{,}000}{4{,}000} = \frac{1{,}000}{4{,}000} = 0.25 = 25\%$$

줄 수 감소율:

$$\frac{50 - 40}{50} = \frac{10}{50} = 0.20 = 20\%$$

**답** — $50$ 줄에서 $40$ 줄로 줄었다. 가격은 $25\%$ 올랐지만 살 수 있는 양은 $20\%$ 줄었다. 두 수가 다른 것은 기준량이 다르기 때문이다. 앞은 옛 가격 $4{,}000$ 원, 뒤는 옛 개수 $50$ 줄이 분모다. 구매력은 가격의 **역수**로 움직인다: $\dfrac{1}{1.25} = 0.8$.

**검산** — $40 \times 5{,}000 = 200{,}000$ 원으로 예산을 정확히 다 쓴다. 그리고 $50 \times 0.8 = 40$ 줄로 역수 관계도 맞는다.

**빈번한 오류** — "$25\%$ 올랐으니 $25\%$ 덜 먹게 된다"고 답하는 것. 그러면 $50 \times 0.75 = 37.5$ 줄이 되는데, $200{,}000 \div 5{,}000$ 은 $40$ 이다. 가격은 곱해지고 개수는 나눠지므로 두 비율은 같아질 수 없다. $+25\%$ 에 대응하는 값은 $-20\%$ 다.

**확장** — 지현이 $50$ 줄을 그대로 유지하려면 예산이 얼마여야 하는지 구한다. $50 \times 5{,}000 = 250{,}000$ 원, 곧 $25\%$ 증액이 필요하다. **구매력을 유지하기 위한 소득 증가율은 가격 상승률과 같다.** 임금 협상에서 "물가상승률만큼"이라는 말의 정확한 뜻이 이것이다. 이 문제의 구조는 뒤에 나올 환율(문제 $16$)과 동일하다.
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### 문제 6 · 월급은 올랐는데  ★★☆

**상황** — 김민수는 $2025$ 년 초 연봉 협상에서 $3\%$ 인상을 받았다. $2024$ 년 연봉 $36{,}000{,}000$ 원이 $2025$ 년 $37{,}080{,}000$ 원이 되었다. 통장에 들어오는 금액은 늘었으나 연말 저축액은 오히려 줄었다. 그해 물가상승률은 $4.0\%$ 였다.

**모형 설정** — 명목 인상률 $3\%$ 와 물가상승률 $4\%$ 를 어떻게 결합해야 실질 변화가 나오는가. 빼는 것과 나누는 것 중 어느 쪽이 정의에 맞는지 먼저 정하고, 두 방법의 답 차이가 얼마나 되는지도 확인하라. 그리고 "물가만큼 올랐다면 얼마여야 했는가"라는 질문으로 검산할 경로를 미리 잡아 두라.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
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① **미지량** — 실질임금 증가율, $2024$ 년 물가로 환산한 $2025$ 년 실질 연봉, 그리고 부족액.

② **주어진 값** — $W_{2024} = 36{,}000{,}000$ 원, $W_{2025} = 37{,}080{,}000$ 원, $g = 3.0\%$, $\pi = 4.0\%$.

③ **관계식** — 실질임금은 명목임금을 물가수준으로 나눈 것이므로, 실질 증가율은 두 배율의 비다.
$$1 + r = \frac{1 + g}{1 + \pi} = \frac{1.03}{1.04}, \qquad w_{2025} = \frac{37{,}080{,}000}{1.04}$$

④ **사용 도구** — [제6장](../part1/ch06.md) 백분율, [제3장](../part1/ch03.md) 분수 나눗셈, [제4장](../part1/ch04.md) 소수

⑤ **모형의 한계** — 이 계산은 $-0.96\%$ 라는 수를 줄 뿐, 김민수가 실제로 무엇을 포기하게 되는지는 나타내지 않는다. 소득 수준에 따라 같은 $-1\%$ 가 생활에서 차지하는 비중이 다르다는 사실도 이 식에는 들어 있지 않다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
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정확한 실질 증가율: (계산기 사용)

$$1 + r = \frac{1.03}{1.04} \approx 0.990385 \quad \longrightarrow \quad r \approx -0.96\%$$

근사식으로는 $3.0 - 4.0 = -1.0$ 퍼센트포인트다. 차이는 $0.04$ 퍼센트포인트로 작다.

$2024$ 년 물가 기준으로 환산한 $2025$ 년 실질 연봉:

$$\frac{37{,}080{,}000}{1.04} \approx 35{,}653{,}846\ \text{원}$$

$2024$ 년 실질 연봉은 $36{,}000{,}000$ 원(그해 물가가 기준)이므로

$$35{,}653{,}846 - 36{,}000{,}000 = -346{,}154\ \text{원}$$

**답** — 실질임금은 약 $0.96\%$ **감소**했다. $2024$ 년 물가로 환산하면 약 $34.6$ 만 원어치가 줄어든 값이다. 명목으로는 $108$ 만 원 올랐지만 실질로는 음수다.

**검산** — 두 방향으로 확인한다.

첫째, 물가만큼만 올랐다면 필요한 연봉은 $36{,}000{,}000 \times 1.04 = 37{,}440{,}000$ 원이다. 실제는 $37{,}080{,}000$ 원이므로 $360{,}000$ 원 부족하다. 이 부족액을 필요액에 대한 비율로 보면 $\dfrac{360{,}000}{37{,}440{,}000} \approx 0.96\%$ 로, 위에서 구한 값과 일치한다.

둘째, $36{,}000{,}000 \times 0.990385 \approx 35{,}653{,}846$ 원. 실질 연봉이 되돌아온다.

**빈번한 오류** — 첫째, "$3\%$ 올랐으니 좋아졌다"는 명목 기준의 판단. 둘째, $-1\%$ 와 $-0.96\%$ 를 같은 것으로 여기는 것. 이 물가 수준에서는 두 값이 거의 같지만, **왜** 거의 같은지를 모르면 물가가 두 자릿수인 상황에서 같은 방식이 틀린 답을 준다. 셋째, $\dfrac{346{,}154}{37{,}080{,}000} \approx 0.93\%$ 로 계산하는 것. 기준량은 변하기 **전**인 $2024$ 년 실질 연봉이다.

**확장** — 실질임금을 유지하려면 인상률이 몇 퍼센트여야 하는지 구한다. $r = 0$ 이 되려면 $1 + g = 1 + \pi$, 곧 $g = 4.0\%$ 이고 연봉은 $37{,}440{,}000$ 원이다. 협상에서 물가상승률이 먼저 언급되는 이유가 여기 있다. 그 수가 실질임금이 변하지 않는 경계선이기 때문이다.
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### 문제 7 · 라면값 $20$ 년  ★★☆

**상황** — 한 가정에서 다음과 같은 대화가 오간다. "$2005$ 년엔 라면 한 봉지가 $500$ 원이었다. 지금은 $1{,}200$ 원이니 예전이 살기 좋았다." 통계표를 확인하면 소비자물가지수($2020$ 년 $=100$)가 $2005$ 년 $74.0$, $2025$ 년 $111.0$ 이다.

**모형 설정** — 라면이 "비싸졌다"고 말하려면 무엇과 비교해야 하는가. $500$ 원과 $1{,}200$ 원을 직접 비교할 것인가, 아니면 $500$ 원을 $2025$ 년의 돈으로 환산한 뒤 비교할 것인가. 두 방식이 서로 다른 질문에 답한다는 것을 먼저 확인하고, 위 진술이 둘 중 어느 것을 주장하는지 판단하라.

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① **미지량** — 라면값의 명목 상승률, 전반적 물가의 상승률, 그리고 둘을 견준 **실질(상대) 가격**의 변화.

② **주어진 값** — 라면 $500 \to 1{,}200$ 원. 물가지수 $74.0 \to 111.0$.

③ **관계식** — 두 배율을 각각 만든 뒤 **나눈다**.
$$\text{명목 배율} = \frac{1{,}200}{500}, \qquad \text{물가 배율} = \frac{111.0}{74.0}$$
$$\text{실질 배율} = \frac{\text{명목 배율}}{\text{물가 배율}}$$
$2005$ 년 $500$ 원을 $2025$ 년 원으로 환산하면 $500 \times \dfrac{111.0}{74.0}$.

④ **사용 도구** — [제6장](../part1/ch06.md) 비율, [제3장](../part1/ch03.md) 분수 나눗셈

⑤ **모형의 한계** — $2005$ 년의 라면과 $2025$ 년의 라면이 같은 물건인지는 이 계산이 판단하지 못한다. 봉지 무게, 건더기, 위생 기준이 달라졌다면 이 계산은 서로 다른 두 물건의 가격을 비교하고 있는 것이 된다. 물가 통계가 가장 다루기 어려워하는 문제가 이 **품질 변화**다.
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명목 배율:

$$\frac{1{,}200}{500} = 2.4 \quad \longrightarrow \quad +140\%$$

물가 배율:

$$\frac{111.0}{74.0} = 1.5 \quad \longrightarrow \quad +50\%$$

$2005$ 년 $500$ 원을 $2025$ 년의 돈으로 환산하면

$$500 \times 1.5 = 750\ \text{원}$$

실질 배율:

$$\frac{1{,}200}{750} = 1.6 \qquad \text{또는} \qquad \frac{2.4}{1.5} = 1.6$$

**답** — 라면값은 명목으로 $2.4$ 배($+140\%$) 올랐고, 그 사이 물가 전반은 $1.5$ 배 올랐다. 다른 물건들에 견주면 라면은 $1.6$ 배, 곧 $60\%$ 비싸졌다. 라면이 실제로 비싸진 것은 맞으나, $140\%$ 중 절반가량은 라면 자체가 아니라 화폐 단위의 크기가 변한 몫이다.

**검산** — $750 \times 1.6 = 1{,}200$ 원으로 $2025$ 년 실제 가격이 되돌아온다. 그리고 두 경로($1{,}200 \div 750$ 과 $2.4 \div 1.5$)가 같은 $1.6$ 을 준다.

**빈번한 오류** — 배율을 **빼는** 것: $2.4 - 1.5 = 0.9$. 배율은 곱하고 나누는 수이지 더하고 빼는 수가 아니다. 퍼센트로 계산해도 마찬가지다. $140\% - 50\% = 90\%$ 는 실질 상승률이 아니다. 정확한 실질 상승률은 $\dfrac{1 + 1.40}{1 + 0.50} - 1 = 0.6$, 곧 $60\%$ 다. 물가가 $50\%$ 오른 상황에서는 뺄셈 근사의 오차($30$ 퍼센트포인트)가 답 전체를 바꾼다.

**확장** — $2025$ 년 라면값이 $750$ 원이었다면 실질 가격은 $20$ 년 전과 **정확히 같다**. 명목으로는 $50\%$ 올랐는데도 그렇다. "실질 기준 사상 최저"라는 서술이 근거로 삼는 계산이 이것이다. 반대로 $2025$ 년 지수가 $148.0$ 이었다면 물가 배율이 $2.0$ 이 되어 라면의 실질 배율은 $\dfrac{2.4}{2.0} = 1.2$, 곧 $20\%$ 상승에 그친다.
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### 문제 8 · 이자를 받았는데 손해  ★★☆

**상황** — 퇴직한 이순자 씨가 목돈 $100{,}000{,}000$ 원을 $1$ 년 만기 정기예금에 넣었다. 금리는 연 $3.5\%$ 이고, 만기에 이자 $3{,}500{,}000$ 원이 붙었다. 그해 물가상승률은 $3.0\%$ 였다. 은행 직원은 "물가보다 $0.5\%$ 포인트 앞섰다"고 설명한다. 그런데 이자소득세 $15.4\%$ 는 아직 계산에 들어가 있지 않다.

**모형 설정** — "물가를 이겼는가"를 판단하려면 무엇과 무엇을 견줘야 하는가. 세금을 넣기 전과 후 중 어느 쪽이 이순자 씨에게 실제로 일어난 일인지 정하라. 그리고 실질수익률을 뺄셈으로 구할지 나눗셈으로 구할지 정하고, 두 방식의 차이가 이 문제에서 결론을 뒤집을 만한지 확인하라.

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① **미지량** — 세전·세후 실질수익률, 그리고 만기 원리금의 실질 가치.

② **주어진 값** — 원금 $100{,}000{,}000$ 원, 명목금리 $i = 3.5\%$, 물가상승률 $\pi = 3.0\%$, 이자소득세율 $15.4\%$.

③ **관계식** — 피셔 방정식. 세후 명목금리를 먼저 만든 뒤 물가로 나눈다.
$$i_{\text{세후}} = 3.5\% \times (1 - 0.154), \qquad 1 + r = \frac{1 + i_{\text{세후}}}{1 + \pi}$$

④ **사용 도구** — [제6장](../part1/ch06.md) 백분율, [제4장](../part1/ch04.md) 소수 곱셈, [제3장](../part1/ch03.md) 분수 나눗셈

⑤ **모형의 한계** — 이순자 씨가 예금에 가입하던 시점에는 그해 물가가 $3.0\%$ 오를지 확정되어 있지 않았다. 여기서 구한 것은 **사후** 실질수익률이지, 가입 당시에 계산할 수 있었던 값이 아니다. 물가에 대한 기대가 어떻게 형성되는지는 이 식 바깥의 문제다.
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**세전으로 먼저 계산한다.** (계산기 사용)

$$1 + r = \frac{1.035}{1.03} \approx 1.0048544 \quad \longrightarrow \quad r \approx 0.49\%$$

근사식으로는 $3.5 - 3.0 = 0.5$ 퍼센트포인트다. 차이는 $0.015$ 퍼센트포인트에 불과하다.

만기 원리금 $103{,}500{,}000$ 원의 실질 가치는

$$\frac{103{,}500{,}000}{1.03} \approx 100{,}485{,}437\ \text{원}$$

원금보다 약 $485{,}437$ 원 늘었다. 세금을 넣기 전까지는 실질수익률이 양수다.

**이제 세금을 반영한다.** 이자에만 과세하므로

$$3{,}500{,}000 \times (1 - 0.154) = 3{,}500{,}000 \times 0.846 = 2{,}961{,}000\ \text{원}$$

세후 명목수익률은 $2.961\%$ 다. 만기 원리금은 $102{,}961{,}000$ 원이다.

$$1 + r = \frac{1.02961}{1.03} \approx 0.9996214 \quad \longrightarrow \quad r \approx -0.038\%$$

$$\frac{102{,}961{,}000}{1.03} \approx 99{,}962{,}136\ \text{원}$$

**답** — 세전 실질수익률은 약 $+0.49\%$ 이지만, 이자소득세를 반영한 세후 실질수익률은 약 $-0.038\%$ 다. 원금의 실질 가치가 $37{,}864$ 원 줄었다. 물가상승률을 넘어선 것이 아니라 근소하게 미치지 못했다.

**검산** — $99{,}962{,}136 \times 1.03 \approx 102{,}961{,}000$ 원으로 세후 원리금이 되돌아온다. 그리고 $\dfrac{-37{,}864}{100{,}000{,}000} = -0.0379\%$ 로, 비율 계산과 금액 계산이 서로 일치한다.

**빈번한 오류** — 첫째, 세금을 원리금 전체에 매기는 것($103{,}500{,}000 \times 0.154$). 이자소득세는 **이자에만** 붙는다. 둘째, 근사식 때문에 결론이 뒤집혔다고 판단하는 것. 세전이든 세후든 근사와 정확식의 차이는 $0.02$ 퍼센트포인트 안쪽이다. 결론을 바꾼 것은 근사가 아니라 **세금**이다. 계산 방식의 문제와 누락된 항목의 문제는 구별해야 한다.

**확장** — 세후 실질수익률을 $0$ 으로 만드는 명목금리를 구한다. $i_{\text{세후}} = 3.0\%$ 가 되어야 하므로 $i \times 0.846 = 0.03$, 곧 $i \approx 3.546\%$ 다. 물가가 $3\%$ 인 조건에서 실질 가치가 유지되는 예금 금리는 $3\%$ 가 아니라 약 $3.55\%$ 다. 물가가 $6\%$ 라면 $i \approx 7.09\%$ 가 필요하다. 물가가 오를수록 세금이 차지하는 실질 몫도 함께 커진다.
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### 문제 9 · 최저임금과 두 개의 물가  ★★★

**상황** — 최저시급이 $10{,}030$ 원에서 $10{,}320$ 원으로 오른다고 하자. 정부 발표문에는 "인상"이라고 적혀 있고, 노동계는 "실질적으로는 삭감"이라고 말한다. 그해 소비자물가상승률은 $2.2\%$ 로 발표됐다. 그런데 이 임금으로 생활하는 사람의 지출은 식료품과 월세에 집중되어 있어, 그 품목들만 놓고 계산하면 물가상승률이 $4.0\%$ 다. 월 소정근로시간은 $209$ 시간이다.

**모형 설정** — "실질 인상률"이라는 하나의 수가 있는가, 아니면 나누는 물가지수에 따라 여러 개인가. 지표물가와 이 노동자의 장바구니 물가 중 어느 것으로 나누는 것이 "이 사람에게 일어난 일"인지 정하라. 그리고 답을 퍼센트로만 낼지 월 급여 금액으로도 낼지, 어느 쪽이 논점을 더 분명하게 하는지 판단하라.

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① **미지량** — 명목 인상률, 두 가지 물가로 각각 잰 실질 인상률, 그리고 월 급여로 환산한 실질 변화액.

② **주어진 값** — 시급 $10{,}030 \to 10{,}320$ 원, 월 $209$ 시간, $\pi_{\text{지표}} = 2.2\%$, $\pi_{\text{장바구니}} = 4.0\%$.

③ **관계식** — 명목 인상률 $g = \dfrac{10{,}320 - 10{,}030}{10{,}030}$ 을 구한 뒤, 각각의 물가로 나눈다.
$$1 + r = \frac{1 + g}{1 + \pi}$$
월 급여는 $\text{시급} \times 209$.

④ **사용 도구** — [제6장](../part1/ch06.md) 증가율, [제3장](../part1/ch03.md) 분수 나눗셈, [제4장](../part1/ch04.md) 소수

⑤ **모형의 한계** — 최저임금이 오르면 고용이 줄어드는지, 물가를 더 밀어 올리는지는 이 계산에 들어 있지 않다. 또 이 식은 "시급 $\times$ 시간"을 그대로 받아들이는데, 인상 후 근로시간이 줄어들면 월 소득 자체가 달라진다. 여기서 구하는 것은 **시간당 임금의 실질 변화**다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
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명목 인상률: (계산기 사용)

$$g = \frac{10{,}320 - 10{,}030}{10{,}030} = \frac{290}{10{,}030} \approx 0.028913 = 2.89\%$$

**지표물가($2.2\%$)로 나눌 때:**

$$1 + r = \frac{1.028913}{1.022} \approx 1.006765 \quad \longrightarrow \quad r \approx +0.68\%$$

**장바구니 물가($4.0\%$)로 나눌 때:**

$$1 + r = \frac{1.028913}{1.04} \approx 0.989340 \quad \longrightarrow \quad r \approx -1.07\%$$

월 급여로 환산한다.

$$10{,}030 \times 209 = 2{,}096{,}270\ \text{원}$$
$$10{,}320 \times 209 = 2{,}156{,}880\ \text{원}$$

명목으로 $60{,}610$ 원 인상이다.

지표물가로 환산한 실질 월급: $\dfrac{2{,}156{,}880}{1.022} \approx 2{,}110{,}450$ 원 → 실질 $+14{,}180$ 원.

장바구니 물가로 환산한 실질 월급: $\dfrac{2{,}156{,}880}{1.04} \approx 2{,}073{,}923$ 원 → 실질 $-22{,}347$ 원.

**답** — 명목으로는 월 $60{,}610$ 원 인상이 맞다. 그러나 실질로 보면 지표물가 기준 $+0.68\%$(월 약 $1.4$ 만 원)이고, 이 노동자가 실제로 소비하는 품목의 물가로 계산하면 $-1.07\%$(월 약 $2.2$ 만 원 감소)다. **정부와 노동계는 서로 다른 분모를 사용하고 있는 것이지, 한쪽이 계산을 틀린 것이 아니다.**

**검산** — 비율과 금액이 맞물리는지 확인한다.

$$\frac{14{,}180}{2{,}096{,}270} \approx 0.00676 = 0.68\% \quad \checkmark$$
$$\frac{-22{,}347}{2{,}096{,}270} \approx -0.01066 = -1.07\% \quad \checkmark$$

그리고 $2{,}110{,}450 \times 1.022 \approx 2{,}156{,}879$ 원, $2{,}073{,}923 \times 1.04 \approx 2{,}156{,}880$ 원으로 명목 월급이 되돌아온다.

**빈번한 오류** — 첫째, "실질 인상률"을 유일한 하나의 수로 여기는 것. 실질값은 **어떤 물가로 나누었는가**가 함께 제시되어야 정의가 완결된다. 분모를 밝히지 않은 실질값은 정보가 불완전한 서술이다.

둘째, $2.89 - 2.2 = 0.69$ 와 $2.89 - 4.0 = -1.11$ 이라는 근삿값을 정확값과 혼동하는 것. 이 물가 수준에서 오차는 각각 $0.01$, $0.04$ 퍼센트포인트로 작아 결론은 바뀌지 않지만, 근삿값에 "정확히"라는 표현을 붙여서는 안 된다.

셋째, 명목 인상액 $60{,}610$ 원을 그대로 "생활이 나아진 금액"으로 읽는 것. 그중 대부분은 물가 상승분이 차지한다.

**확장** — 이 노동자의 실질 임금이 유지되려면 시급이 얼마여야 하는지 구한다. $10{,}030 \times 1.04 = 10{,}431.2$ 원, 곧 약 $10{,}431$ 원이다. 실제 $10{,}320$ 원과의 차이는 시간당 약 $111$ 원이고, 월 $209$ 시간이면 약 $23{,}200$ 원이다. 임금 협상에서 "어느 물가지수를 쓸 것인가"가 첫 번째 쟁점이 되는 이유가 이 계산에 있다.
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### 문제 10 · 물가가 내리면 빚은 가벼워질까  ★★★

**상황** — 자영업자 윤미경 씨가 $2024$ 년 초에 사업자금 $100{,}000{,}000$ 원을 연 $4\%$ 고정금리, $3$ 년 만기로 빌렸다. 이자는 매년 갚고 원금은 만기에 한 번에 갚는 조건이다. "디플레이션 우려"라는 보도가 나오자 이웃 상인은 "물가가 내리면 돈의 값이 오르니 빚 갚기가 쉬워지는 것 아니냐"고 말한다.

두 가지 경우를 비교한다. **경우 A** — $3$ 년간 물가가 매년 $3\%$ 오른다. **경우 B** — $3$ 년간 물가가 매년 $2\%$ 내린다.

**모형 설정** — 만기에 갚아야 할 금액은 두 경우 모두 $100{,}000{,}000$ 원으로 같다. 그렇다면 "부담"이 달라진다고 말할 때 무엇이 달라지는 것인가. 명목 금액을 무엇으로 나누어야 부담이 되는지 정하라. 그리고 이웃 상인의 진술 — "돈 값이 오르면 빚 갚기가 쉽다" — 이 어디까지 맞고 어디서 어긋나는지 가려내라. 돈의 값이 오르는 것과 빚 갚기가 쉬워지는 것이 같은 말인지, 그리고 값이 오른 돈으로 이득을 보는 쪽은 그 돈을 받는 쪽인지 갚는 쪽인지 판단하라.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 두 경우에서 만기 원금 $1$ 억 원의 실질 부담, 그리고 각 경우의 실질금리.

② **주어진 값** — 명목 원금 $100{,}000{,}000$ 원(고정), 명목금리 $4\%$(고정), 경우 A는 $\pi = +3\%$, 경우 B는 $\pi = -2\%$, 기간 $3$ 년.

③ **관계식** — $3$ 년 누적 물가 배율을 먼저 만든다.
$$\text{A}: (1.03)^3, \qquad \text{B}: (0.98)^3$$
실질 부담은 명목 금액을 이 배율로 **나눈** 값이다. 실질금리는 $\dfrac{1 + i}{1 + \pi} - 1$.

④ **사용 도구** — [제7장](../part1/ch07.md) 거듭제곱, [제5장](../part1/ch05.md) 음수(물가상승률이 음수일 때), [제3장](../part1/ch03.md) 분수 나눗셈

⑤ **모형의 한계** — 이 계산은 윤미경 씨의 **매출**이 물가와 함께 움직인다고 암묵적으로 가정한다. 실제로 디플레이션에서 매출이 물가보다 더 크게 줄어들 수도, 덜 줄어들 수도 있다. 또 이 식은 상환 능력이 사라지는 상황(부도)을 표현하지 못한다. 실질 부담이 $6\%$ 늘어난 것과 가게가 문을 닫는 것은 다른 사건이다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
**경우 A — 매년 $+3\%$**

$$(1.03)^3 = 1.03 \times 1.03 \times 1.03 = 1.092727$$

$$\text{실질 부담} = \frac{100{,}000{,}000}{1.092727} \approx 91{,}514{,}166\ \text{원}$$

실질금리: $\dfrac{1.04}{1.03} - 1 \approx 0.9709\%$

**경우 B — 매년 $-2\%$**

$$(0.98)^3 = 0.98 \times 0.98 \times 0.98 = 0.941192$$

$$\text{실질 부담} = \frac{100{,}000{,}000}{0.941192} \approx 106{,}248{,}247\ \text{원}$$

실질금리: $\dfrac{1.04}{0.98} - 1 \approx 6.1224\%$

**답** — 명목 원금은 두 경우 모두 $1$ 억 원으로 같다. 그러나 실질 부담은 경우 A에서 약 $9{,}151$ 만 원(약 $849$ 만 원 감소), 경우 B에서 약 $1$ 억 $625$ 만 원(약 $625$ 만 원 증가)이다. 연 실질금리로 보면 $0.97\%$ 대 $6.12\%$ 로 여섯 배 넘게 차이가 난다. 원금의 실질 부담 자체는 $9{,}151$ 만 원 대 $1$ 억 $625$ 만 원으로 약 $16\%$ 차이지만, 명목금리가 $4\%$ 로 같은데도 해마다 부담하는 실질 이자의 크기는 이만큼 벌어진다. 두 수는 서로 다른 대상을 재고 있으므로 구분해서 읽어야 한다.

이웃 상인의 진술 중 성립하는 것은 앞부분이다. 물가가 내리면 돈의 값이 오르는 것은 맞다. 그러나 값이 오른 돈으로 이득을 보는 쪽은 그 돈을 **받을** 채권자이고, 그 돈을 **갚아야** 하는 채무자는 손해를 본다. 따라서 "빚 갚기가 쉬워진다"는 뒷부분은 채무자인 윤미경 씨에게는 반대로 성립한다.

**검산** — $91{,}514{,}166 \times 1.092727 \approx 100{,}000{,}000$ 원, $106{,}248{,}247 \times 0.941192 \approx 100{,}000{,}000$ 원. 두 실질값에 각각의 물가 배율을 곱하면 명목 원금이 되돌아온다.

실질금리도 확인한다. 경우 B에서 근사식은 $4 - (-2) = 6$ 퍼센트포인트이고 정확값은 $6.12\%$ 다. 물가상승률이 음수여도 식은 그대로 성립한다.

**빈번한 오류** — 첫째, 디플레이션에서 물가 배율을 $1 - 0.06 = 0.94$ 로 근사하는 것. 정확히는 $(0.98)^3 = 0.941192$ 다. 둘째, 실질 부담을 구할 때 나누지 않고 곱하는 것($100{,}000{,}000 \times 0.941192 = 94{,}119{,}200$ 원). 그러면 디플레이션이 채무자에게 유리하다는 반대의 결론이 나온다. **명목 금액을 실질로 바꿀 때는 물가로 나눈다.** 화폐 단위가 커지면 나눗셈의 몫이 커진다. 셋째, "$-2\%$ 물가"를 다루면서 부호를 놓치는 것. [제5장](../part1/ch05.md)의 음수가 여기서 쓰인다.

**확장** — 매년 갚는 이자 $4{,}000{,}000$ 원의 실질 부담도 함께 커진다. 경우 B에서 $1$ 년 차 $\dfrac{4{,}000{,}000}{0.98} \approx 4{,}081{,}633$ 원, $2$ 년 차 $\dfrac{4{,}000{,}000}{0.9604} \approx 4{,}164{,}931$ 원, $3$ 년 차 $\dfrac{4{,}000{,}000}{0.941192} \approx 4{,}249{,}930$ 원으로 합이 약 $1{,}250$ 만 원이다. 경우 A에서는 같은 계산이 약 $1{,}131$ 만 원이 된다.

여기에 한 가지 조건이 더해진다. 명목금리는 $0$ 아래로 내려가기 어렵다(**제로금리 하한**). 그래서 물가상승률이 $-2\%$ 인 상황에서는 명목금리를 아무리 낮춰도 실질금리를 $2\%$ 아래로 내릴 수 없다. 디플레이션이 위험 요인으로 지목되는 이유의 하나가 이것이다.
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### 문제 11 · 체감물가와 지표물가  ★★★

**상황** — 통계청이 "지난해 소비자물가상승률 $2.8\%$"라고 발표했다. 네 식구를 부양하는 최영호 씨는 "장을 보면 $10\%$ 는 올랐다"고 말한다. 품목별 상승률과 두 가지 지출 비중이 아래 표에 있다. 왼쪽은 전국 평균 가구의 비중(지표를 만들 때 쓰는 가중치)이고, 오른쪽은 최영호 씨 가구의 실제 지출 비중이다. 이 가구는 자가용이 없다.

| 품목 | 가격 상승률 | 지표 가중치 | 최영호 씨 가구 |
|---|---|---|---|
| 식료품·비주류음료 | $+8\%$ | $15\%$ | $25\%$ |
| 음식·숙박(외식) | $+6\%$ | $15\%$ | $25\%$ |
| 주거·수도·전기 | $+4\%$ | $20\%$ | $25\%$ |
| 교통 | $-5\%$ | $10\%$ | $3\%$ |
| 그 밖의 모든 것 | $+1\%$ | $40\%$ | $22\%$ |
| **합계** | | $100\%$ | $100\%$ |

**모형 설정** — 발표된 $2.8\%$ 와 최영호 씨의 체감 사이의 간격을 두 부분으로 나누어야 한다. **가중치가 달라서 생기는 부분**과 **계산으로 설명되지 않는 부분**이다. 먼저 최영호 씨 가구의 가중치로 물가상승률을 다시 계산하라. 그 값이 $10\%$ 에 도달하는가. 도달하지 않는다면 남은 간격은 무엇으로 설명되는가.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 최영호 씨 가구의 가중치로 계산한 물가상승률, 그리고 그것이 지표와 갈라지는 이유.

② **주어진 값** — 품목별 상승률(두 가구에 동일), 두 벌의 가중치(각각 합이 $100\%$).

③ **관계식** — 물가상승률은 품목별 상승률의 가중평균이다.
$$\pi = \sum_k \left( w_k \times \pi_k \right), \qquad \sum_k w_k = 1$$
가격은 같고 $w_k$ 만 다르므로, 차이는 전부 가중치에서 나온다.

④ **사용 도구** — [제6장](../part1/ch06.md) 비중과 가중평균, [제5장](../part1/ch05.md) 음수(교통 $-5\%$), [제4장](../part1/ch04.md) 소수 곱셈

⑤ **모형의 한계** — 가중치를 맞춰도 남는 간격이 있다. 사람은 자주 사는 물건의 가격 변화를 더 크게 기억하고(계란값은 매주 확인하지만 통신비는 자동이체된다), 내린 가격보다 오른 가격을 더 잘 기억한다. 이 **비대칭적 기억**은 가중평균 식으로 표현되지 않는다. 체감물가에는 인지적 요인이 함께 작용한다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
**지표 가중치로:**

$$0.15 \times 8 = 1.20$$
$$0.15 \times 6 = 0.90$$
$$0.20 \times 4 = 0.80$$
$$0.10 \times (-5) = -0.50$$
$$0.40 \times 1 = 0.40$$

합계 $1.20 + 0.90 + 0.80 - 0.50 + 0.40 = 2.80$, 곧 $2.8\%$. 발표값과 일치한다.

**최영호 씨 가구 가중치로:**

$$0.25 \times 8 = 2.00$$
$$0.25 \times 6 = 1.50$$
$$0.25 \times 4 = 1.00$$
$$0.03 \times (-5) = -0.15$$
$$0.22 \times 1 = 0.22$$

합계 $2.00 + 1.50 + 1.00 - 0.15 + 0.22 = 4.57$, 곧 $4.57\%$.

**답** — 같은 가격표를 놓고도 최영호 씨 가구의 물가상승률은 $4.57\%$ 로, 지표의 $2.8\%$ 보다 $1.77$ 퍼센트포인트 높다. 배수로는 약 $1.63$ 배다. 이유는 두 가지다. **많이 오른 품목(식료품 $+8\%$, 외식 $+6\%$)에 지출이 집중되어 있고**, **유일하게 내린 품목(교통 $-5\%$)의 지출 비중이 거의 없다.**

그러나 $4.57\%$ 는 $10\%$ 가 아니다. 나머지 약 $5.4$ 퍼센트포인트는 가중치로 설명되지 않는다. 그 간격은 기억의 비대칭, 곧 오른 가격을 더 오래 더 자주 떠올리는 성질에서 온다.

**검산** — 두 가중치 합이 각각 $1$ 인지 먼저 확인한다. $15+15+20+10+40 = 100$, $25+25+25+3+22 = 100$ 으로 둘 다 맞는다. 가중치의 합이 $1$ 이 아니면 가중평균이 아니다.

또 하나의 확인 방법이 있다. 모든 품목의 상승률이 $8\%$ 로 같다면 어느 가중치를 써도 답은 $8\%$ 여야 한다. 상승률이 공통이면 그것을 밖으로 묶어낼 수 있기 때문이다.

$$\sum_k w_k \times 8 = 8 \times \sum_k w_k = 8 \times 1 = 8$$

최영호 씨 가구의 가중치로 실제 숫자를 넣어 확인하면

$$0.25(8) + 0.25(8) + 0.25(8) + 0.03(8) + 0.22(8) = 2.00 + 2.00 + 2.00 + 0.24 + 1.76 = 8$$

가중평균이 반드시 만족해야 하는 성질이 이것이다. 가중치의 합이 $1$ 이기 때문에 성립하는 것이지, 가중치가 서로 같아서 성립하는 것이 아니다.

**빈번한 오류** — 첫째, 교통의 $-5\%$ 를 부호 없이 더하는 것. 지표 쪽이 $3.8\%$ 로 커져 발표값과 어긋난다. 내린 품목은 지수를 **끌어내린다**.

둘째, 지표물가가 "틀렸다"고 결론짓는 것. $2.8\%$ 는 평균 가구에 대해 정확한 수다. 문제는 정확성이 아니라 **평균 가구에 해당하는 개별 가구가 실재하지 않는다**는 데 있다. 지표는 정의대로 계산된 값이지만, 어떤 개별 가구에 대해서도 정확하지 않을 수 있다.

셋째, "체감이 $10\%$ 이므로 실제 물가는 $10\%$"라고 결론짓는 것. 체감은 측정된 데이터가 아니다.

**확장** — 자가용을 쓰는 가구를 하나 더 놓고 계산한다. 교통 비중이 $25\%$ 이고 식료품이 $10\%$, 외식 $10\%$, 주거 $15\%$, 나머지 $40\%$ 라면

$$0.10(8) + 0.10(6) + 0.15(4) + 0.25(-5) + 0.40(1) = 0.80 + 0.60 + 0.60 - 1.25 + 0.40 = 1.15$$

$1.15\%$ 다. 최영호 씨의 $4.57\%$ 와 같은 해, 같은 나라, 같은 가격표에서 나온 수다. **모든 가구에 공통인 하나의 물가는 없다.** 통계청이 발표하는 것은 그 분포의 가중 중심이다.
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### 문제 12 · 쿠폰 두 장  ★☆☆

**상황** — 온라인몰에서 정가 $80{,}000$ 원짜리 코트를 고른 서지우의 쿠폰함에 두 장이 들어 있다. "신규회원 $20\%$ 할인"과 "가을 시즌 $25\%$ 추가 할인"이며, 중복 사용이 가능하다고 안내되어 있다. 고객센터 챗봇은 "$45\%$ 할인 적용됩니다"라고 답한다. 결제창에는 다른 금액이 표시되어 있다.

**모형 설정** — 두 쿠폰의 할인율을 더할 것인가 곱할 것인가. 그 판단은 "두 번째 $25\%$ 는 무엇의 $25\%$ 인가"라는 질문 하나로 결정된다. 두 쿠폰을 적용하는 순서를 바꾸면 결과가 달라지는지도 함께 확인하라.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 최종 결제 금액과 실제 총 할인율.

② **주어진 값** — 정가 $80{,}000$ 원, 할인 $20\%$ 와 $25\%$, 중복 적용 가능.

③ **관계식** — 할인은 "빼는 금액"이 아니라 "남는 비율"을 곱하는 연산이다.
$$80{,}000 \times (1 - 0.20) \times (1 - 0.25)$$

④ **사용 도구** — [제6장](../part1/ch06.md) 할인은 남은 비율의 곱셈, [제4장](../part1/ch04.md) 소수 곱셈

⑤ **모형의 한계** — 정가 $80{,}000$ 원이 실제 거래 가격인지는 이 계산에 들어 있지 않다. 할인율을 크게 표시하기 위해 정가를 먼저 올려 두는 관행이 있다면, $40\%$ 라는 수는 계산으로는 정확하되 실질적인 의미를 갖지 못한다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
$$80{,}000 \times 0.80 = 64{,}000\ \text{원}$$
$$64{,}000 \times 0.75 = 48{,}000\ \text{원}$$

총 할인율:

$$\frac{80{,}000 - 48{,}000}{80{,}000} = \frac{32{,}000}{80{,}000} = 0.40 = 40\%$$

챗봇이 말한 $45\%$ 라면 $80{,}000 \times 0.55 = 44{,}000$ 원이어야 한다. $4{,}000$ 원 차이가 난다.

**답** — 실제 할인율은 $40\%$, 결제 금액은 $48{,}000$ 원이다. 챗봇이 두 할인율을 더한 것이 오류다. 순서를 바꿔도 결과는 같다: $80{,}000 \times 0.75 = 60{,}000$, $60{,}000 \times 0.80 = 48{,}000$ 원. 곱셈의 순서는 결과를 바꾸지 않는다.

**검산** — $0.80 \times 0.75 = 0.60$. 남는 비율이 $60\%$ 이므로 할인은 $40\%$ 다. $80{,}000 \times 0.6 = 48{,}000$ 원.

**빈번한 오류** — 할인율을 더하는 것. 두 번째 $25\%$ 는 정가 $80{,}000$ 원의 $25\%$($20{,}000$ 원)가 아니라, 이미 깎인 $64{,}000$ 원의 $25\%$($16{,}000$ 원)다. **기준량이 도중에 바뀌었다.** 물가에서 두 해 상승률을 더하면 안 되는 것과 같은 이유이며, 방향만 반대다.

**확장** — 쿠폰이 세 장($20\%$, $25\%$, $10\%$)인 경우를 계산한다. $0.80 \times 0.75 \times 0.90 = 0.54$ 이므로 $46\%$ 할인, $80{,}000 \times 0.54 = 43{,}200$ 원이다. 단순합 $55\%$($36{,}000$ 원)와는 $7{,}200$ 원 차이가 난다. 겹치는 장 수가 늘수록 "더하기"의 오차는 커진다.

역방향으로, 총 $45\%$ 할인이 되게 하는 두 번째 쿠폰의 할인율을 구한다. $0.80 \times x = 0.55$ 에서 $x = 0.6875$, 곧 $31.25\%$ 할인 쿠폰이 필요하다.
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### 문제 13 · 세금계산서를 끊어야 하는데  ★☆☆

**상황** — 프리랜서 디자이너 한서준이 작업을 끝내고 세금계산서를 발행하려 한다. 계약서에는 "총 $3{,}300{,}000$ 원(부가세 포함)"이라고만 적혀 있는데, 계산서 양식에는 **공급가액**과 **세액**을 따로 적게 되어 있다. 한서준은 $3{,}300{,}000$ 원에서 $10\%$ 를 빼서 $2{,}970{,}000$ 원을 공급가액 칸에 적으려 한다.

**모형 설정** — $10\%$ 를 붙인 것을 되돌리는 연산이 $10\%$ 를 빼는 연산과 같은가. "부가세가 붙기 전 금액"을 미지수로 두면 어떤 식이 세워지는지 확인하라. 그리고 그 식을 푸는 것과 $0.9$ 를 곱하는 것이 왜 다른 답을 주는지 설명하라.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 공급가액(세전 금액)과 부가세액.

② **주어진 값** — 부가세 포함 총액 $3{,}300{,}000$ 원, 부가가치세율 $10\%$. **부가가치세(VAT)** 는 공급가액에 $10\%$ 를 더해 매기는 세금이다.

③ **관계식** — 공급가액을 $x$ 라 두면 $x$ 에 $10\%$ 가 **더해져** 총액이 된 것이다.
$$x \times 1.1 = 3{,}300{,}000 \quad \longrightarrow \quad x = \frac{3{,}300{,}000}{1.1}$$

④ **사용 도구** — [제6장](../part1/ch06.md) 기준량 찾기, [제10장](../part2/ch10.md) 일차방정식, [제4장](../part1/ch04.md) 소수 나눗셈

⑤ **모형의 한계** — 이 계약이 "부가세 포함"인지 "별도"인지는 계산이 아니라 계약서가 정하는 문제다. 같은 $3{,}300{,}000$ 원이라도 "별도"라면 실제 받을 금액은 $3{,}630{,}000$ 원이 된다.
:::

:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
$$x \times 1.1 = 3{,}300{,}000$$
$$x = \frac{3{,}300{,}000}{1.1} = 3{,}000{,}000\ \text{원}$$

부가세액:

$$3{,}300{,}000 - 3{,}000{,}000 = 300{,}000\ \text{원}$$

한서준이 하려던 계산은

$$3{,}300{,}000 \times 0.9 = 2{,}970{,}000\ \text{원}$$

으로, 실제 공급가액보다 $30{,}000$ 원 적다.

**답** — 공급가액 $3{,}000{,}000$ 원, 세액 $300{,}000$ 원이다. $10\%$ 를 붙인 것을 되돌리려면 $0.9$ 를 곱하는 것이 아니라 $1.1$ 로 나눠야 한다.

**검산** — $3{,}000{,}000 \times 1.1 = 3{,}300{,}000$ 원으로 원래 총액이 되돌아온다. 한서준의 방식으로 검산하면 $2{,}970{,}000 \times 1.1 = 3{,}267{,}000$ 원으로 $33{,}000$ 원이 부족하다. 검산 단계에서 확인할 수 있는 오류다.

**빈번한 오류** — 붙일 때의 $10\%$ 와 뗄 때의 $10\%$ 를 같은 금액으로 여기는 것. 붙일 때의 기준량은 $3{,}000{,}000$ 원이라 $300{,}000$ 원이지만, 뗄 때 $3{,}300{,}000$ 원을 기준으로 잡으면 $330{,}000$ 원이 되어 $30{,}000$ 원이 더 깎인다. **기준량이 다르면 같은 퍼센트도 다른 금액이다.**

실무에서는 다음 암산 규칙을 쓴다. **부가세 포함가를 $11$ 로 나누면 세액**이다. $3{,}300{,}000 \div 11 = 300{,}000$ 원. 영수증에 "합계 $22{,}000$ 원, 부가세 $2{,}000$ 원"이라 표시되는 것도 같은 계산이다($22{,}000 \div 11 = 2{,}000$).

**확장** — 포함가에서 세율 $t$ 를 되돌리려면 몇 퍼센트를 빼야 하는지 구한다.

$$1 - \frac{1}{1 + t} = \frac{t}{1 + t}$$

$t = 10\%$ 이면 $\dfrac{0.1}{1.1} \approx 9.09\%$ 다. 실제로 $3{,}300{,}000 \times 0.0909 \approx 300{,}000$ 원이다. 부가세율이 $20\%$ 인 나라라면 $\dfrac{0.2}{1.2} \approx 16.67\%$ 를 빼야 한다. 이 $\dfrac{t}{1+t}$ 는 구매력과 환율에서 본 $\dfrac{-e}{1+e}$ 와 같은 형태의 식이다. 곱한 것을 되돌리면 언제나 $1+t$ 가 분모에 남는다.
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### 문제 14 · "$1\%$ 올랐는데 이자가 $25\%$ 늘었다"  ★★☆

**상황** — 한 인터넷 매체가 "실업률이 $2.8\%$ 에서 $3.5\%$ 로 $0.7\%$ 올랐다"고 썼다. 같은 날 다른 기사에는 "기준금리 $3.0\%$ 에서 $3.5\%$ 로 $0.5\%$ 포인트 인상"이라고 적혀 있다. 두 표현은 서로 다르다. 한편 변동금리로 $300{,}000{,}000$ 원을 빌린 박세영 씨는 금리가 $4.0\%$ 에서 $5.0\%$ 로 바뀐 통지서를 받고 "금리는 $1\%$ 올랐다는데 이자는 $25\%$ 늘었다. 은행이 계산을 잘못한 것 아닌가"라고 문의한다.

**모형 설정** — "$0.7\%$ 올랐다"와 "$0.7\%$ 포인트 올랐다"는 서로 다른 두 사건을 가리킨다. 각각이 어떤 계산을 뜻하는지 수로 쓰라. 그리고 박세영 씨의 $1\%$ 와 $25\%$ 는 각각 무엇을 기준량으로 삼은 비율인지, 두 수가 같은 대상을 재고 있는지부터 판단하라.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 실업률 변화를 퍼센트포인트와 퍼센트로 각각 표현한 값, 그리고 박세영 씨의 이자 증가율.

② **주어진 값** — 실업률 $2.8\% \to 3.5\%$, 기준금리 $3.0\% \to 3.5\%$, 대출 $300{,}000{,}000$ 원의 금리 $4.0\% \to 5.0\%$.

③ **관계식** — 두 백분율의 **차이**는 퍼센트포인트, 두 백분율의 **비**는 퍼센트다.
$$\text{차이} = 3.5 - 2.8 = 0.7\ \%\text{p}, \qquad \text{비율} = \frac{3.5 - 2.8}{2.8}$$
이자는 원금 $\times$ 금리이므로, 이자 증가율은 금리 자체의 증가율과 같다.

④ **사용 도구** — [제6장](../part1/ch06.md) 기준량, [제9장](../part2/ch09.md) 변수와 식

⑤ **모형의 한계** — 실업률이 $2.8\%$ 에서 $3.5\%$ 로 오른 것이 어느 정도의 사회적 사건인지는 이 계산에 없다. $0.7$ 퍼센트포인트가 몇 명인지는 경제활동인구를 알아야 나오고, 그 사람들이 어떤 처지인지는 어떤 비율로도 표현되지 않는다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
**실업률.**

퍼센트포인트로: $3.5 - 2.8 = 0.7\ \%\text{p}$

퍼센트로: $\dfrac{3.5 - 2.8}{2.8} = \dfrac{0.7}{2.8} = 0.25 = 25\%$ 증가

기사의 표현대로 "$0.7\%$ 올랐다"면 $2.8 \times 1.007 = 2.8196\%$ 가 되어야 한다. 이는 사실상 변화가 없다는 뜻이 되어, 기사가 서술하려던 규모와 크게 어긋난다.

**박세영 씨의 대출.**

$$\text{옛 이자} = 300{,}000{,}000 \times 0.04 = 12{,}000{,}000\ \text{원}$$
$$\text{새 이자} = 300{,}000{,}000 \times 0.05 = 15{,}000{,}000\ \text{원}$$
$$\frac{15{,}000{,}000 - 12{,}000{,}000}{12{,}000{,}000} = \frac{3{,}000{,}000}{12{,}000{,}000} = 0.25 = 25\%$$

**답** — 실업률은 $0.7$ 퍼센트포인트 상승이자 $25\%$ 증가다. 박세영 씨의 금리는 $1$ 퍼센트**포인트** 올랐고, 그 결과 이자는 $25\%$ 늘었다. 은행의 계산에는 오류가 없다. **"$1\%$"와 "$25\%$"는 서로 다른 것에 대한 비율**이다. 앞의 것은 금리라는 비율 자체의 크기 차이($5 - 4$)이고, 뒤의 것은 옛 금리 $4\%$ 를 기준량으로 삼은 변화율이다.

**검산** — $4\% \times 1.25 = 5\%$ 로 금리가 $25\%$ 늘어 새 금리가 된다. 이자도 $12{,}000{,}000 \times 1.25 = 15{,}000{,}000$ 원이다. 원금이 고정이므로 이자 증가율과 금리 증가율은 반드시 같다.

**빈번한 오류** — 첫째, 퍼센트로 표시된 값들끼리의 차이를 "퍼센트"라 부르는 것. 물가상승률이 $3\%$ 에서 $2\%$ 로 낮아진 것도 "$1\%$ 하락"이 아니라 "$1$ 퍼센트포인트 하락"이고, 비율로는 $\dfrac{1}{3} \approx 33.3\%$ 감소다.

둘째, 반대 방향의 오해로 "$25\%$ 는 과장된 표현"이라고 판단하는 것. 기준량이 $4\%$ 로 작으므로 $1$ 퍼센트포인트만 움직여도 비율로는 큰 값이 된다. 작은 수를 기준량으로 삼으면 퍼센트는 쉽게 커진다.

**확장** — 이 구조는 금리가 낮을수록 뚜렷해진다. 금리가 $0.5\%$ 에서 $1.5\%$ 로 오르면 $1$ 퍼센트포인트 상승이지만 이자는 $200\%$ 증가, 곧 세 배가 된다. 반대로 금리가 $10\%$ 에서 $11\%$ 로 오르면 같은 $1$ 퍼센트포인트인데 이자 증가는 $10\%$ 에 그친다. 기사 제목이 "퍼센트포인트"를 쓰는지 "퍼센트"를 쓰는지에 따라 같은 사건이 다른 크기로 읽히는 이유다.
:::

### 문제 15 · 해외직구가 남는 장사인가  ★☆☆

**상황** — 최유진이 미국 온라인 상점에서 헤드폰을 발견했다. 물건값 $\$149$, 미국 내 배송비를 포함한 국제배송비 $\$15$ 다. 미국에서 개인이 쓸 목적으로 들여오는 물건은 물품값이 $\$200$ 이하면 관세와 부가세가 붙지 않는다고 하자. 같은 모델의 국내 정식 판매가는 $259{,}000$ 원이고, 환율은 $1$ 달러에 $1{,}380$ 원이다.

**모형 설정** — 두 금액을 견주려면 먼저 같은 통화로 옮겨야 한다. 달러를 원으로 바꿀 것인가, 원을 달러로 바꿀 것인가. 어느 쪽이든 답은 같지만, 두 번째 질문("환율이 얼마가 되면 직구가 손해인가")을 풀기에 유리한 쪽이 있다. 그 질문에서 무엇을 미지수로 둘지 먼저 정하라.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 직구 총액의 원화 환산액, 국내가 대비 절약률, 그리고 손익이 뒤집히는 환율.

② **주어진 값** — $\$149 + \$15 = \$164$, 환율 $1{,}380$ 원/달러, 국내가 $259{,}000$ 원, 관세·부가세 없음.

③ **관계식** — 환율은 "달러 하나당 원"이므로 달러에 곱하면 원이 된다.
$$\text{직구 원화} = 164 \times 1{,}380$$
손익분기 환율 $E$ 는 $164 \times E = 259{,}000$ 의 해다.

④ **사용 도구** — [제6장](../part1/ch06.md) 단위 약분, [제10장](../part2/ch10.md) 일차방정식

⑤ **모형의 한계** — 배송 기간, 국내 정식 사후관리를 받지 못하는 위험, 반품 비용은 어느 쪽 금액에도 포함되어 있지 않다. $32{,}680$ 원의 차액이 그 위험을 감당할 만한지는 계산이 아니라 판단의 영역이다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
직구 총액:

$$164 \times 1{,}380 = 164 \times 1{,}000 + 164 \times 380 = 164{,}000 + 62{,}320 = 226{,}320\ \text{원}$$

절약액과 절약률: (계산기 사용)

$$259{,}000 - 226{,}320 = 32{,}680\ \text{원}$$
$$\frac{32{,}680}{259{,}000} \approx 0.1262 = 12.62\%$$

손익분기 환율:

$$164 \times E = 259{,}000 \quad \longrightarrow \quad E = \frac{259{,}000}{164} \approx 1{,}579.3\ \text{원}$$

**답** — 직구하면 $226{,}320$ 원으로, 국내가보다 $32{,}680$ 원($12.62\%$) 싸다. 환율이 약 $1{,}579$ 원을 넘어서면 직구가 더 비싸진다.

**검산** — $164 \times 1{,}579 = 258{,}956$ 원으로 국내가보다 $44$ 원 싸고, $164 \times 1{,}580 = 259{,}120$ 원으로 $120$ 원 비싸다. 경계가 두 값 사이에 있다.

**빈번한 오류** — 배송비를 환산에서 빠뜨리는 것($149 \times 1{,}380 = 205{,}620$ 원). 그러면 절약률이 $20.6\%$ 로 크게 나온다. 또 하나는 환율로 나누는 것($164 \div 1{,}380$)이다. 환율의 단위가 "원/달러"이므로 달러에 **곱해야** 달러가 약분되고 원이 남는다. 단위를 분수처럼 다루면 곱할지 나눌지를 판별할 수 있다.

**확장** — 손익분기점까지 환율이 몇 퍼센트 올라야 하는지 구한다.

$$\frac{1{,}579.3 - 1{,}380}{1{,}380} = \frac{199.3}{1{,}380} \approx 0.1444 = 14.4\%$$

여유는 $14.4\%$ 다. 그런데 실제 카드 결제에는 해외 이용 수수료와 **환전 스프레드**(살 때와 팔 때의 환율 차이, 곧 환전 수수료에 해당하는 폭)가 붙어, **고시환율**(은행이 기준으로 삼아 게시하는 매매기준율)보다 $1\sim2\%$ 높은 환율이 적용된다. $1.5\%$ 를 더해 $1{,}380 \times 1.015 = 1{,}400.7$ 원으로 계산하면 총액은 $164 \times 1{,}400.7 \approx 229{,}715$ 원, 절약액은 $29{,}285$ 원($11.31\%$)으로 줄어든다. **환율 계산에서 누락되는 것은 대개 환율 자체가 아니라 환율에 더해지는 비용들이다.**
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### 문제 16 · 같은 날, 다른 숫자  ★★★

**상황** — 같은 날 두 신문의 제목이 다음과 같다. **A지** "원/달러 환율, $1$ 년 새 $25\%$ 급등". **B지** "원화 가치, $1$ 년 새 $20\%$ 추락". 두 기사 본문이 인용한 수치는 동일하다. $1$ 년 전 $1{,}200$ 원, 지금 $1{,}500$ 원이다. 독자 게시판에는 "$25$ 와 $20$ 중 무엇이 맞는가, 한쪽이 오보 아닌가"라는 질문이 올라온다.

**모형 설정** — 두 신문이 잰 대상이 같은 것인지 먼저 확인해야 한다. "환율"과 "원화 가치"를 각각 수로 쓰면 무엇이 되는가. 두 수 사이에 어떤 연산 관계가 있는지 확인한 다음, 각각의 변화율을 계산할 때 기준량이 무엇인지 밝혀라. 그리고 두 답을 잇는 일반식을 세우라.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 환율 상승률과 원화 가치 하락률, 그리고 둘을 잇는 일반식.

② **주어진 값** — 원/달러 $1{,}200 \to 1{,}500$. 원/달러는 "$1$ 달러를 사는 데 드는 원"이고, 그 역수는 "$1$ 원으로 살 수 있는 달러", 곧 달러로 잰 원화의 가치다.

③ **관계식** — 두 계열을 따로 만든 뒤 각각 변화율을 구한다.
$$e = \frac{1{,}500 - 1{,}200}{1{,}200}, \qquad d = \frac{\dfrac{1}{1{,}500} - \dfrac{1}{1{,}200}}{\dfrac{1}{1{,}200}}$$
두 번째 식은 정리하면 $\dfrac{1{,}200}{1{,}500} - 1$ 이 된다.

④ **사용 도구** — [제6장](../part1/ch06.md) 기준량, [제3장](../part1/ch03.md) 분수의 분수(역수), [제19장](../part2/ch19.md) 유리식 정리

⑤ **모형의 한계** — 환율이 왜 $300$ 원 올랐는지는 이 계산에 들어 있지 않다. 미국이 금리를 올려서인지, 수출이 줄어서인지, 시장의 기대가 바뀐 것인지는 이 두 수에 담기지 않는다. 또 "원화 가치 하락"이 이 나라에 유리한지 불리한지도 이 식은 답하지 않는다. 수출 기업과 유학생 학부모에게 그 답은 서로 반대다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
**A지의 수 — 환율 상승률.**

$$e = \frac{1{,}500 - 1{,}200}{1{,}200} = \frac{300}{1{,}200} = 0.25 = 25\%$$

기준량은 $1$ 년 전 환율 $1{,}200$ 원이다.

**B지의 수 — 달러로 잰 원화 가치의 변화율.**

$$\frac{1}{1{,}200} \approx 0.000833\ \text{달러} \quad \longrightarrow \quad \frac{1}{1{,}500} \approx 0.000667\ \text{달러}$$

$$d = \frac{1/1{,}500 - 1/1{,}200}{1/1{,}200} = \frac{1/1{,}500}{1/1{,}200} - 1 = \frac{1{,}200}{1{,}500} - 1 = 0.8 - 1 = -0.20$$

곧 $20\%$ 하락이다. 기준량은 $1$ 년 전 원화 가치 $0.000833$ 달러다.

**두 수를 잇는 일반식.** 환율이 $1 + e$ 배가 되면 원화 가치는 그 역수 배가 되므로

$$1 + d = \frac{1}{1 + e} \quad \longrightarrow \quad d = \frac{1}{1+e} - 1 = \frac{-e}{1 + e}$$

$e = 0.25$ 를 넣으면 $d = \dfrac{-0.25}{1.25} = -0.20$ 이다. 반대로 정리하면 $e = \dfrac{-d}{1 + d}$ 이고, $d = -0.20$ 에서 $e = \dfrac{0.20}{0.80} = 0.25$ 다.

**답** — 오보가 아니다. **둘 다 맞다.** $25\%$ 와 $20\%$ 는 서로 다른 기준량 위에서 계산된 수다. A지는 원으로 잰 달러값의 변화율을, B지는 달러로 잰 원화값의 변화율을 썼다. 두 수는 $d = \dfrac{-e}{1+e}$ 로 정확히 연결되어 있다.

**검산** — $1{,}200 \times 1.25 = 1{,}500$ 원, 그리고 $0.000833 \times 0.80 \approx 0.000667$ 달러로 두 계열 모두 되돌아온다. 또 $\dfrac{1}{1.25} = 0.8$ 이므로 역수 관계도 맞는다.

**빈번한 오류** — 첫째, "환율이 올랐으니 원화가 강해졌다"고 읽는 것. 이름과 뜻이 반대다. 환율이 오르면 달러가 비싸진 것, 곧 원화가 싸진 것이다. 둘째, $25\%$ 와 $20\%$ 중 하나가 틀렸다고 단정하는 것. 셋째, 두 수의 차이를 $5$ 퍼센트포인트로 놓고 의미를 찾으려는 것. 두 수는 뺄 수 있는 관계가 아니라 역수 관계다.

**확장** — $1997$ 년 말 외환위기 때 원/달러 환율은 $800$ 원대에서 한때 $1{,}960$ 원까지 올랐다. 환율 상승률은

$$\frac{1{,}960 - 800}{800} = \frac{1{,}160}{800} = 1.45 = 145\%$$

원화 가치 하락률은

$$1 - \frac{800}{1{,}960} \approx 1 - 0.4082 = 0.5918 \quad \longrightarrow \quad 59.2\%\ \text{하락}$$

$145\%$ 와 $59.2\%$ 는 같은 사건을 나타낸 두 수다. 변화가 클수록 두 수의 간격은 크게 벌어진다. $d = \dfrac{-e}{1+e}$ 에서 $e$ 가 아무리 커져도 $d$ 는 $-100\%$ 를 넘지 못하기 때문이다. 가치는 $0$ 아래로 내려갈 수 없다. 반대로 환율 상승률에는 위쪽 한계가 없다.

이 비대칭은 문제 $5$ 의 김밥, 그리고 구매력 표에서 본 것과 동일한 구조다. 값이 커지는 쪽에는 한계가 없고, 그 역수가 줄어드는 쪽에는 $0$ 이라는 하한이 있다.
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## 적용 범위와 한계

물가지수는 여러 가격을 하나의 수로 압축하는 과정에서 많은 정보를 생략한 값이다. 무엇이 생략되었는지 알아야 그 수를 정확히 사용할 수 있다.

**평균 가구는 실재하지 않는다.** 문제 $11$ 에서 확인한 대로, 같은 해 같은 가격표에서 어떤 가구는 $1.15\%$, 어떤 가구는 $4.57\%$ 를 겪는다. 발표되는 $2.8\%$ 는 그 분포의 가중 중심이지 특정 가구의 경험이 아니다. "지표가 틀렸다"와 "지표가 나를 설명하지 못한다"는 서로 다른 진술이다.

**장바구니를 고정한다는 가정.** 소고기값이 오르면 사람들은 돼지고기를 산다. 그런데 장바구니를 고정한 지수는 여전히 소고기를 같은 양만큼 사고 있다고 계산한다. 그래서 이런 방식의 지수는 실제 생계비 상승보다 조금 **크게** 나오는 경향이 있다. 이것을 **대체 편의**라 한다. 반대로, 오래 고정된 장바구니는 새로 등장한 상품이나 새로운 소비 방식을 담지 못한다.

**품질이 변한 물건을 같은 물건으로 센다.** $10$ 년 전 $100$ 만 원짜리 노트북과 지금 $100$ 만 원짜리 노트북은 가격표만 같다. 통계기관은 품질 조정이라는 보정을 하지만, 그 보정 자체가 판단을 요구한다. 문제 $7$ 의 라면도 같은 문제를 안고 있다.

**자산 가격은 거의 들어 있지 않다.** 집값과 주가는 소비자물가지수에 직접 들어가지 않는다(전월세는 일부 반영된다). "물가는 $2\%$ 밖에 안 올랐다는데 집값은 $20\%$ 올랐다"는 인식이 생기는 구조적 이유가 이것이다. 소비하는 것의 값과 **소유하는 것**의 값은 다른 지수로 잰다.

**왜 물가가 오르는지는 이 장에 없다.** 수요가 늘어서인지, 공급이 막혀서인지, 통화가 많이 풀려서인지, 사람들이 오를 것이라 예상해서인지 — 원인은 하나의 비율로 표현되지 않는다. 이 장은 "얼마나"를 재는 도구만 제공하며 "왜"는 다루지 않는다.

**인플레이션이 누구에게 이득이고 누구에게 손해인지도 답하지 않는다.** 문제 $10$ 에서 확인한 대로 인플레이션은 채무자에게서 채권자에게로 이전되던 실질 가치를 채무자 쪽에 남긴다. 물가에 연동되지 않는 고정 지급형 연금이나 명목이 고정된 임금으로 생활하는 사람은 물가가 오를 때마다 **실질** 소득이 줄어든다. 통장에 찍히는 명목 금액은 그대로인데 그 금액으로 살 수 있는 양이 줄어드는 것이다(국민연금처럼 급여액이 전년도 소비자물가상승률에 연동되는 경우에는 이 손실이 상당 부분 상쇄된다). **$2\%$ 라는 하나의 수 뒤에는 이득을 보는 쪽과 손해를 보는 쪽이 함께 있다.** 그 분배를 어떻게 평가할지는 수학이 아니라 가치판단의 문제다.

**수준과 변화율을 섞지 않는다.** 물가지수는 **수준**이고 인플레이션율은 그 **변화율**이다. 이 둘의 관계는 [제24장](../part3/ch24.md)에서 다룬 함수와 변화율의 관계와 같은 구조다. 상승률이 줄어드는 것과 값이 줄어드는 것은 서로 다른 사건이며, 이 혼동은 경제 기사를 읽을 때 가장 빈번한 오류 중 하나다.

**그리고 근사식의 적용 범위는 좁다.** $r \approx i - \pi$ 는 물가가 낮을 때만 성립한다. 정확식 $\dfrac{1+i}{1+\pi} - 1$ 을 함께 알고 있어야 언제 근사를 써도 되는지 판단할 수 있다. 근사식만 외운 경우에는 근사가 성립하지 않는 구간을 식별하지 못한다.

## 요약과 다음 장

이 장에서 새로 도입한 수학은 없다. [제6장](../part1/ch06.md)의 비율과 [제3장](../part1/ch03.md)의 나눗셈을 경제의 언어로 옮겨 읽었을 뿐이다. 남길 것은 네 문장이다.

**첫째, 지수는 단위 없는 비율이다.** $114.0$ 은 금액이 아니라 "기준연도의 $1.14$ 배"다. 지수 자체의 크기에는 의미가 없고, 의미는 두 지숫값의 비에만 있다. 그래서 기준연도를 바꿔도 상승률은 변하지 않는다.

**둘째, 실질로 가는 길은 뺄셈이 아니라 나눗셈이다.**

$$1 + r = \frac{1 + g}{1 + \pi}$$

임금이든 금리든 가격이든 동일하다. $r \approx g - \pi$ 는 $\pi$ 가 작을 때만 쓰는 근사이고, 그 근사가 어디서 성립하지 않는지는 정확식을 통해서만 확인할 수 있다.

**셋째, 퍼센트는 곱하는 인자다.** $+20\%$ 는 $\times 1.2$ 다. 그래서 두 해의 상승률은 곱해서 쌓이고, 두 장의 쿠폰도 곱해서 겹치며, 올린 뒤 같은 비율로 내려도 처음 값으로 돌아오지 않는다. 원인은 언제나 하나다. **기준량이 도중에 바뀐다.**

**넷째, 곱셈의 뒷면에는 언제나 역수가 있다.** 물가가 $1.25$ 배면 구매력은 $0.8$ 배, 환율이 $1.25$ 배면 원화 가치는 $0.8$ 배, 부가세 $10\%$ 를 붙인 것을 되돌리려면 $9.09\%$ 를 뺀다. $+25\%$ 에 대응하는 값은 $-20\%$ 이지 $-25\%$ 가 아니다. 이 비대칭을 정확히 적용하면 경제 기사에서 발생하는 오독의 상당 부분이 제거된다.

그리고 이 장이 다루지 않고 남겨 둔 것이 하나 있다. 앞에서 "$3$ 년 뒤의 $1$ 억 원"을 물가로 나눠 실질 가치를 구했지만, 물가가 전혀 오르지 않는다 해도 $3$ 년 뒤의 $1$ 억 원은 오늘의 $1$ 억 원과 같지 않다. 시간 자체에 값이 붙어 있기 때문이다.

[제39장](ch39.md)에서 그 값을 다룬다. 복리가 왜 덧셈이 아니라 거듭제곱인지([제7장](../part1/ch07.md)), 미래의 돈을 오늘의 돈으로 되돌리는 할인이 왜 이 장의 "물가로 나누기"와 같은 구조인지, 그리고 [제22장](../part3/ch22.md)의 지수함수와 로그가 어디서 등장하는지를 본다.