# 제37장 · 모형화 다섯 단계 — 현실을 식으로 옮기는 절차

:::{admonition} 이 장
:class: seealso

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|---|---|
| **사용 도구** | [제6장](../part1/ch06.md) 비율·백분율 · [제9장](../part2/ch09.md) 변수와 식 · [제10장](../part2/ch10.md) 일차방정식 · [제18장](../part2/ch18.md) 연립방정식 · [제26장](../part3/ch26.md) 도함수 · [제33장](../part3/ch33.md) 미적분의 기본정리 |
| **선행 내용** | [제36장](../part3/ch36.md) 일변수 미적분 종합 |
| **요지** | 현실을 식으로 옮기는 다섯 단계 — 미지량, 주어진 값, 관계식, 사용 도구, 모형의 한계. |
:::

## 도입

은행 창구에 "연 $4\%$ 적금"이라는 안내문이 붙어 있다. 매달 $100$ 만 원씩 $12$ 개월을 납입하면 원금은 모두 $1{,}200$ 만 원이다. 이자를 다음과 같이 어림하는 경우가 많다.

$$1{,}200 \text{만} \times 0.04 = 48 \text{만 원}$$

그러나 만기에 지급되는 이자는 세금을 공제하기 **전** 기준으로 $26$ 만 원이다. 은행이 다른 값을 적용한 것도 아니고 곱셈이 잘못된 것도 아니다. 잘못된 것은 식이다.

$4\%$ 는 $1$ 년 동안 예치된 금액에 적용되는 비율이다. 적금에 납입한 $1{,}200$ 만 원 전체가 $1$ 년 동안 예치되는 것은 아니다. 첫 달 납입금 $100$ 만 원만 $12$ 개월 예치되고, 둘째 달 납입금은 $11$ 개월, 마지막 달 납입금은 $1$ 개월 예치된다. 따라서 식은 다음과 같이 세워야 한다.

$$100\text{만} \times 0.04 \times \frac{12 + 11 + 10 + \cdots + 2 + 1}{12}$$

$1$ 부터 $12$ 까지의 합은 $78$ 이고, $78 \div 12 = 6.5$ 다. 여기서 나눈 $12$ 는 $1$ 년의 개월 수이므로, $78$ 개월-예치를 $12$ 개월/년으로 나눈 $6.5$ 의 단위는 **년**이다. 곧 $100$ 만 원을 $6.5$ **년** 동안 예치한 것과 같다. (예치 건수 $12$ 와 연 개월 수 $12$ 가 우연히 같은 탓에, 평균 예치 기간 $6.5$ 개월과 숫자가 그대로 겹친다. 단위는 서로 다르다.)

$$100\text{만} \times 0.04 \times 6.5\,(\text{년}) = 26 \text{만 원}$$

여기에 쓰인 연산은 $1$ 부터 $12$ 까지의 덧셈과 곱셈 두 번이다. 판단이 필요한 부분은 계산이 아니라 **$4\%$ 가 어떤 값에 적용되는 비율인지 확정하는 일**이다. 이자소득세 $15.4\%$ 를 공제하면 실수령액은 약 $22$ 만 원으로, 처음 어림한 $48$ 만 원의 절반에 미치지 못한다.

앞의 $36$ 개 장에서 다룬 것은 도구다. 분수, 백분율, 방정식, 도함수, 적분이 그것이다. 제4부에서 다루는 것은 다른 문제다. **주어진 문장과 숫자를 어떤 식으로 옮길 것인가**가 그것이다. 이 장은 그 변환 절차를 다섯 단계로 정리한다. 제4부의 이후 장은 모두 이 절차를 사용한다.

## 식을 푸는 일과 식을 세우는 일

학교에서 다루는 수학 문제에는 대개 식이 이미 주어져 있다. $2x + 5 = 17$ 을 푸는 것이 과제였고, $2x + 5 = 17$ 을 세우는 것이 과제인 경우는 드물었다. 그래서 수학을 오래 사용하지 않은 사람은 자신이 못하는 것을 계산이라고 판단하기 쉽다. 그러나 현실에서 주어지는 것은 식이 아니다. 기사 한 문단, 계약서 한 줄, 통장 명세, 자막의 숫자 하나가 주어진다. 식은 그 안에 없으며 사용하는 사람이 세워야 한다.

이 작업의 난이도는 세 층위로 나뉜다.

| 층 | 하는 일 | 난이도 |
|---|---|---|
| 아래 | 세워진 식을 푼다 | 규칙을 알면 된다 |
| 가운데 | 상황을 식으로 세운다 | 무엇을 미지수로 둘지 골라야 한다 |
| 위 | 세운 식을 믿어도 되는지 판정한다 | 무엇을 버렸는지 기억해야 한다 |

푸는 일은 규칙의 문제이므로 학습으로 숙달되고, 한번 숙달되면 잘 잃지 않는다. 세우는 일은 선택의 문제이므로 고정된 절차가 없다. 세운 식의 신뢰도를 판정하는 일은 그보다 한 층 더 어렵다. **식은 언제나 현실의 일부만을 옮기기 때문이다.** 옮겨지지 않은 부분을 기록해 둔 경우에만 자기 답에 어느 정도의 신뢰를 부여할지 판단할 수 있다.

같은 구조가 [제31장](../part3/ch31.md) 최적화에서 이미 나타났다. 넓이를 최대로 만드는 문제에서 미분 계산은 세 줄로 끝나고, 판단이 필요한 부분은 그 앞의 한 줄, 곧 $S = x(10-x)$ 를 세우는 단계다. 경제 문제에서는 그 단계가 훨씬 길고 선택의 여지도 훨씬 크다.

## 모형화 다섯 단계

상황을 식으로 옮길 때 다음 다섯 항목을 순서대로 채운다. 항목을 건너뛰지 않는 것이 이 절차의 핵심이다.

| 단계 | 하는 일 |
|---|---|
| ① 미지량 | 무엇을 미지수로 둘지 정한다 |
| ② 주어진 값 | 주어진 값과 각각의 단위를 확인한다 |
| ③ 관계식 | 아는 값과 미지량을 잇는 등식(또는 부등식)을 세운다 |
| ④ 사용 도구 | 이 식을 다루는 데 필요한 것이 산술인지 대수인지 미적분인지 판정한다 |
| ⑤ 모형의 한계 | 이 식이 제외한 현실이 무엇인지 기록한다 |

### ① 미지량 — 미지수의 선택

같은 상황이라도 어떤 양을 $x$ 로 두느냐에 따라 이후 절차가 달라진다. 아래에서는 한 상황을 세 가지 방식으로 세워 비교한다.

> 현우가 $1{,}000$ 만 원을 연 $4\%$ 예금과 연 $7\%$ 채권형 펀드에 나눠 넣었다. $1$ 년 뒤 이자와 수익을 합쳐 $52$ 만 원을 받았다. 각각 얼마씩 넣었나?

**모형 설정 A — 두 금액을 모두 미지수로 둔다.** 예금 $x$ 만 원, 펀드 $y$ 만 원.

$$x + y = 1000, \qquad 0.04x + 0.07y = 52$$

미지수가 둘이므로 식도 둘이다. [제18장](../part2/ch18.md) 연립방정식을 사용한다.

**모형 설정 B — 하나만 미지수로 둔다.** 예금이 $x$ 만 원이면 펀드는 $1000 - x$ 만 원으로 정해진다.

$$0.04x + 0.07(1000 - x) = 52$$
$$0.04x + 70 - 0.07x = 52 \ \Rightarrow\ -0.03x = -18 \ \Rightarrow\ x = 600$$

미지수가 하나로 줄었으므로 [제10장](../part2/ch10.md) 일차방정식으로 해결된다. 예금은 $600$ 만 원, 펀드는 $400$ 만 원이다. 검산하면 $0.04 \times 600 = 24$, $0.07 \times 400 = 28$ 이고 합은 $52$ 다.

**모형 설정 C — 금액이 아니라 비중을 미지수로 둔다.** 전체 수익률은 $52 \div 1000 = 5.2\%$ 다. 예금이 차지하는 비중을 $p$ 라 하면 펀드 비중은 $1 - p$ 다.

$$0.04p + 0.07(1-p) = 0.052$$
$$0.07 - 0.03p = 0.052 \ \Rightarrow\ 0.03p = 0.018 \ \Rightarrow\ p = 0.6$$

세 방식의 답이 모두 같다. 다만 C의 식에는 $1{,}000$ 만 원이 **나타나지 않는다.** 전체 수익률이 $5.2\%$ 이면 총액이 $100$ 만 원이든 $10$ 억 원이든 비중은 $6:4$ 다. 이 성질은 A와 B의 식에도 포함되어 있으나, 미지수를 비중으로 두었을 때 식의 형태에 직접 드러난다.

**미지수의 선택은 식이 드러내는 정보를 결정한다.** 첫 단계가 가장 어려운 단계인 이유가 여기에 있다.

### ② 주어진 값 — 값과 **단위**

주어진 숫자를 적을 때 단위를 반드시 함께 적는다. "$4{,}500$" 이 아니라 "$4{,}500$ 원/잔", "$180{,}000$" 이 아니라 "$180{,}000$ 원/일"로 적는다. 단위 없는 숫자는 정보의 절반이 빠진 값이다. 잘못 세운 식은 대개 단위 검사에서 가장 먼저 드러난다.

이 단계에서 함께 확인할 것은 **주어지지 않은 값**이다. 문제에 없는 값을 가정해 사용했다면 그 가정을 명시해 기록한다. 기록되지 않은 가정은 이후 결과의 신뢰도를 판정할 수 없게 만든다.

### ③ 관계식 — 등식은 어디서 오는가

이 단계에서 처음으로 수식이 등장한다. 등식의 출처는 대개 세 가지다.

- **정의에서** — 이익 $=$ 매출 $-$ 비용. 실질 $=$ 명목 $\div$ 물가지수. 정의는 논쟁의 여지가 없다.
- **보존에서** — 처음에 있던 것 $+$ 들어온 것 $-$ 나간 것 $=$ 지금 있는 것. 돈도 사람도 물건도 저절로 생기거나 사라지지 않는다.
- **균형에서** — 수요량 $=$ 공급량, 수입 $=$ 지출, 두 선택지의 값이 같아지는 지점. 균형은 가정이며 사실이 아니다.

### ④ 사용 도구 — 도구의 선택

식의 형태가 사용할 도구를 결정한다. 다음 절의 대응표가 이 단계를 채우는 기준이 된다.

### ⑤ 모형의 한계

가장 자주 생략되는 단계이며, 생략했을 때 오류의 영향이 가장 큰 단계다. 식을 세우는 것은 현실의 일부를 **제외**하는 것이다. 앞의 예금·펀드 문제에서 제외된 것은 다음과 같다. 펀드의 $7\%$ 는 확정된 수가 아니라 기대값이다. 이자소득세가 반영되어 있지 않다. 중도 해지 가능성이 반영되어 있지 않다. 그 돈을 다른 곳에 사용했을 때 얻었을 수익도 반영되어 있지 않다.

이 단계를 "한계가 있다"와 같은 일반적 서술로 채우면 정보가 되지 않는다. **그 문제에만 해당하는 구체적인 한 줄**을 기록한다.

## 도구 대응표 — 물음의 유형과 수학 도구

| 현실의 물음 | 수학 도구 | 이 책의 장 |
|---|---|---|
| 얼마나 오르고 내렸나 · 몇 퍼센트인가 | 비 · 비율 · 백분율 | [제6장](../part1/ch06.md) |
| 시간이 지나며 **곱으로** 쌓이는 것 (복리·물가·성장) | 지수 · 로그 | [제7장](../part1/ch07.md) · [제12장](../part2/ch12.md) · [제22장](../part3/ch22.md) |
| 두 힘이 맞아떨어지는 지점 (균형가격·손익분기) | 방정식 · 연립방정식 | [제10장](../part2/ch10.md) · [제17장](../part2/ch17.md) · [제18장](../part2/ch18.md) |
| 조건을 넘느냐 못 넘느냐 (예산 제약) | 부등식 | [제11장](../part2/ch11.md) |
| **한 단위 더** 했을 때 얼마나 달라지나 | 미분 | [제26~29장](../part3/ch26.md) |
| 가장 좋은 지점은 어디인가 | 도함수 $=0$ · 최적화 | [제30장](../part3/ch30.md) · [제31장](../part3/ch31.md) |
| 시간이나 수량에 걸쳐 **쌓인 총량** | 적분 | [제32~35장](../part3/ch32.md) |

이 표는 양방향으로 사용한다. 경제학에서 **한계(marginal)** 가 붙은 개념은 예외 없이 도함수다. 한계비용은 총비용의 도함수, 한계수입은 총수입의 도함수, 한계효용은 총효용의 도함수다. "한 개를 더 만들면"이라는 서술이 나오면 미분을 사용한다.

반대로 **누적·총량·면적**이라는 서술이 나오면 적분을 사용한다. $10$ 년 동안 낸 이자의 합계, 수요곡선 아래이면서 **가격선 위**의 넓이로 재는 소비자잉여, 흐름이 쌓여 만들어진 잔액이 모두 적분에 해당한다. 수요곡선 아래 $0$ 부터 $Q$ 까지의 넓이는 소비자잉여가 아니라 총지불용의(총편익)이고, 소비자잉여는 거기서 실제 지출을 뺀 값이다 — 소비자잉여 $=$ 수요곡선 아래 넓이(총지불용의) $-$ 실제 지출(가격 $\times$ 수량). [제42장](ch42.md)에서 다시 다룬다.

**탄력성(elasticity)** 은 비율의 비율이다. 가격이 $1\%$ 변할 때 수요량이 몇 $\%$ 변하는지를 재고, 값이 아니라 비율끼리 비교하므로 단위에 좌우되지 않는다. 값이 오르면 대개 사는 양은 줄기 때문에 수요의 가격탄력성은 보통 **음수**이며, 실무에서는 절댓값으로 말하는 관행이 있다. 이 관행 때문에 부호가 혼동되는 경우가 많다. 어느 쪽 규약을 사용하는지 먼저 명시하는 것이 안전하다. 탄력성은 제4부 뒤쪽에서 다시 다룬다.

## 오류가 발생하는 지점 — 단위, 기준량, 스톡, 실질

모형화에서 오류가 발생하는 지점은 대체로 네 곳으로 한정된다.

### 단위

**정의 —** 숫자에 붙어 그 숫자가 무엇을 세는지 말하는 이름. 원, 개, 원/개, 원/월, 명/년 따위.

등호 양쪽의 단위는 같아야 하고, 더하거나 빼는 항들의 단위도 같아야 한다. "원/잔"과 "원/일"을 더하는 식은 계산하기 전에 이미 성립하지 않는다.

곱셈과 나눗셈은 단위를 만든다. $\text{원/개} \times \text{개/일} = \text{원/일}$. 단위 계산은 [제3장](../part1/ch03.md)의 분수 약분과 똑같이 움직인다. 분자와 분모의 "개"가 약분된다.

### 퍼센트의 기준량

**정의 —** 백분율이 "무엇의" 몇 퍼센트인지, 그 무엇에 해당하는 값.

$5{,}000$ 원이 $6{,}000$ 원이 되면 $1{,}000 \div 5{,}000 = 20\%$ 상승이다. 그런데 $6{,}000$ 원이 $5{,}000$ 원으로 되돌아오면 $1{,}000 \div 6{,}000 \approx 16.7\%$ 하락이다. 같은 $1{,}000$ 원인데 비율이 다른 것은 **기준량이 달라졌기 때문**이다. 그래서 $20\%$ 올랐다가 $20\%$ 내리면 처음 값으로 돌아오지 않는다. $1.2 \times 0.8 = 0.96$, 곧 $4\%$ 가 줄어 있다.

여기서 갈라지는 두 단어가 있다.

- **$\%$ (퍼센트)** — 기준량에 대한 비율.
- **$\%\mathrm{p}$ (퍼센트포인트)** — 두 비율의 **차이**.

실업률이 $3\%$ 에서 $4\%$ 가 되었다면 $1\%\mathrm{p}$ 상승이고, 동시에 $1 \div 3 \approx 33.3\%$ 상승이다. 두 문장 모두 참이다. 기사가 두 표현 중 어느 쪽을 선택했는지에 따라 같은 사실이 다른 크기로 전달된다.

### 스톡과 플로우

**스톡(stock) —** 어느 한 **시점**에 재는 양. 단위는 원, 명, 톤처럼 시간이 붙지 않는다.
**플로우(flow) —** 일정 **기간** 동안 흐른 양. 단위에 반드시 시간이 붙는다. 원/월, 명/년.

욕조 모형으로 정리하면, 욕조에 담겨 있는 물의 양이 스톡이고 수도꼭지에서 나오는 물과 배수구로 빠지는 물이 플로우다.

| 스톡 (시점) | 플로우 (기간) |
|---|---|
| 통장 잔액 $420$ 만 원 | 월급 $280$ 만 원/월 |
| 국가채무 $1{,}200$ 조 원 | 올해 재정적자 $80$ 조 원/년 |
| 인구 $5{,}100$ 만 명 | 연간 출생아 수 $23$ 만 명/년 |
| 회사의 자산 (재무상태표) | 회사의 매출 (손익계산서) |

둘은 단위가 다르므로 서로 더하거나 뺄 수 없다. 두 양은 다음 관계로 연결된다.

$$\text{플로우} \times \text{기간} = \text{스톡의 변화량}$$

미적분의 용어로 옮기면 다음이 성립한다. **스톡은 플로우의 적분이고, 플로우는 스톡의 도함수다.** [제33장](../part3/ch33.md)의 기본정리가 이 관계다. 잔액이 $B(t)$ 라면 순저축은 $B'(t)$ 이고, 반대로 $B(t_1) - B(t_0) = \int_{t_0}^{t_1} B'(t)\,dt$ 다.

### 명목과 실질

**명목(nominal) —** 그때그때의 화폐 금액을 그대로 적은 값.
**실질(real) —** 물가 변화를 걷어내고, 살 수 있는 물건의 양으로 환산한 값.

$$\text{실질} = \frac{\text{명목}}{\text{물가지수}}$$

기준 연도의 물가지수를 $1$ 로 놓는다. 물가가 $5\%$ 올랐다면 물가지수는 $1.05$ 이고, 올해의 $105$ 만 원은 작년 물건 기준으로 $105 \div 1.05 = 100$ 만 원어치다. 명목 금액은 늘었으나 구매 가능한 양은 같다.

변화율끼리는 이렇게 이어진다.

$$1 + \text{실질변화율} = \frac{1 + \text{명목변화율}}{1 + \text{물가상승률}}$$

변화율이 작을 때는 뺄셈 근사의 오차가 작다. 명목 $+4\%$, 물가 $+5\%$ 이면 뺄셈으로는 $-1\%$, 정확히 계산하면 $\frac{1.04}{1.05} - 1 \approx -0.95\%$ 다. 그러나 명목 $+50\%$, 물가 $+30\%$ 라면 뺄셈은 $+20\%$ 를 주지만 정확한 값은 $\frac{1.5}{1.3} - 1 \approx +15.4\%$ 다. 차이는 $4.6\%\mathrm{p}$ 다. **뺄셈은 근사이고 나눗셈이 정확하다.** 물가가 크게 움직이는 상황에서 이 차이는 무시할 수 없다.

## 검산의 세 가지 방법

답을 구한 뒤에는 세 방향으로 검산한다. 세 가지를 모두 수행해도 소요 시간은 $1$ 분 이내이며, 오답이 그대로 남는 경우가 크게 줄어든다.

**① 되넣기.** 구한 답을 원래 조건에 넣어 조건이 참이 되는지 확인한다. 여기서 중요한 것은 **식이 아니라 문장에 되넣는 것**이다. 자기가 세운 식에 되넣으면 식을 잘못 세웠을 때도 늘 맞는 답이 나오므로 검산의 기능이 사라진다. "정가에서 $30\%$ 를 깎았더니 $49{,}000$ 원"이라는 원래 문장으로 돌아가서, $70{,}000$ 원의 $30\%$ 인 $21{,}000$ 원을 뺐을 때 $49{,}000$ 원이 되는지 확인한다.

**② 극단값 넣어보기.** $0$, 충분히 큰 값, 음수를 차례로 대입한다. 변수가 $0$ 일 때와 시간이 한없이 흐를 때 식이 여전히 성립하는지 확인한다. 가격이 음수가 되거나 사람 수가 정수가 아닌 값으로 나오거나 시간이 갈수록 값이 무한히 커진다면, 답이 아니라 식이 잘못된 것이다.

**③ 단위 맞춰보기.** 등호 양쪽의 단위를 적는다. 더하는 항들의 단위를 적는다. 하나라도 어긋나면 계산 이전에 이미 성립하지 않는다. 단위 검사는 세 가지 중 가장 빠르고, 모형 설정 단계에서 바로 적용할 수 있다.

여기에 **자릿수 확인**을 덧붙인다. 계산에 들어가기 전에 어림값으로 답의 크기를 추정해 둔다. "수천만 원대"로 추정해 두면 $3$ 억이라는 결과가 나왔을 때 즉시 오류를 확인할 수 있다. 정확한 값이 아니라 자릿수만 추정하면 된다.

## 시나리오 문제

여덟 문제 모두 계산의 양은 적다. 판단이 필요한 부분은 첫 단계와 마지막 단계다. 계산기가 필요한 곳에는 표시해 두었다.

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### 문제 1 · 코트의 정가  ★☆☆

**상황** — 정민은 겨울 코트를 샀다. 가격표에는 "정가에서 $30\%$ 할인"이라고 적혀 있었고, 계산대에서 $49{,}000$ 원을 지불했다. 원래 가격, 곧 정가를 구한다.

**모형 설정** — 미지수의 후보는 정가와 할인된 금액 두 가지다. 또한 $30\%$ 의 기준량이 정가인지 지불액인지 확정해야 한다. 이 두 선택이 곧 식의 형태를 결정한다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 정가 $x$ (원). 할인액을 미지수로 두면 정가를 구하는 단계가 하나 더 추가된다.

② **주어진 값** — 지불액 $49{,}000$ 원, 할인율 $30\%$. 그리고 그 $30\%$ 의 **기준량은 정가**다.

③ **관계식** — 정가에서 정가의 $30\%$ 를 뺀 것이 지불액이다.

$$x - 0.3x = 49{,}000 \qquad \Longleftrightarrow \qquad 0.7x = 49{,}000$$

④ **사용 도구** — [제6장](../part1/ch06.md) 백분율, [제10장](../part2/ch10.md) 일차방정식

⑤ **모형의 한계** — "정가"로 표시된 값이 실제로 그 값에 거래된 가격인지는 확인되지 않는다. 정가를 높게 설정하면 할인율은 얼마든지 크게 표시할 수 있다. 이 계산은 $30\%$ 라는 할인율의 타당성을 판정하지 못한다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
$$0.7x = 49{,}000$$
$$x = 49{,}000 \div 0.7 = 70{,}000$$

**답** — 정가는 $70{,}000$ 원이다.

**검산** — 원래 문장으로 되돌아간다. $70{,}000$ 원의 $30\%$ 는 $70{,}000 \times 0.3 = 21{,}000$ 원이고, $70{,}000 - 21{,}000 = 49{,}000$ 원이다. 문장이 참이 된다.

**빈번한 오류** — $49{,}000 \times 1.3 = 63{,}700$ 원이라고 답하는 경우다. 이것은 $30\%$ 의 기준량을 지불액으로 잡은 계산이다. 그러나 할인은 정가에 적용되었다. **내릴 때의 기준량과 되돌릴 때의 기준량이 다르다**는 것이 이 문제의 핵심이다.

**확장** — $70{,}000$ 원에서 $49{,}000$ 원으로 가는 것은 $30\%$ 하락이다. 그런데 $49{,}000$ 원에서 $70{,}000$ 원으로 되돌아가려면 $21{,}000 \div 49{,}000 = 3/7 \approx 42.9\%$ 상승해야 한다. $30\%$ 내린 것을 되돌리는 데 $42.9\%$ 가 필요한 이유는, 두 번째 계산의 기준량이 이미 줄어든 $49{,}000$ 원이기 때문이다. 주가가 $30\%$ 하락한 뒤 $30\%$ 상승하면 원래 값이 된다는 서술이 성립하지 않는 것도 같은 이유다.
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### 문제 2 · 잔액과 흐름  ★☆☆

**상황** — 은서의 통장에는 $3$ 월 $1$ 일 기준으로 $420$ 만 원이 있다. 매달 월급 $280$ 만 원이 들어오고 생활비로 $215$ 만 원이 나간다. 같은 날 신문 경제면에는 "국가채무 $1{,}200$ 조 원 돌파"와 "올해 재정적자 $80$ 조 원"이라는 두 제목이 나란히 실려 있었다.

**모형 설정** — 등장한 다섯 개의 수를 스톡과 플로우로 구분한다. 구분 기준은 단위에 시간이 포함되는지 여부다. 그다음 은서의 잔액이 처음으로 $1{,}000$ 만 원을 넘는 달을 구한다. 미지수를 잔액으로 둘 것인지 경과 개월 수로 둘 것인지가 첫 번째 선택이다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — $3$ 월 $1$ 일부터 지난 개월 수 $n$. 잔액을 미지수로 두면 "몇 월인가"라는 물음에 답할 수 없다. 구하는 것이 시점이므로 미지수도 시간이어야 한다.

② **주어진 값** — 초기 잔액 $420$ 만 원 (스톡, 단위: 만 원). 월급 $280$ 만 원/월과 생활비 $215$ 만 원/월 (플로우). 둘의 차인 **순저축 $65$ 만 원/월**이 실제로 잔액을 움직이는 플로우다.

③ **관계식** — 스톡의 변화 $=$ 플로우 $\times$ 기간.

$$B(n) = 420 + 65n \ (\text{만 원}), \qquad 420 + 65n > 1000$$

④ **사용 도구** — [제9장](../part2/ch09.md) 변수와 식, [제11장](../part2/ch11.md) 부등식

⑤ **모형의 한계** — 순저축 $65$ 만 원이 매달 일정하다는 것은 가정이다. 명절, 경조사, 보험 갱신, 이사처럼 몇 달에 한 번씩 발생하는 지출은 이 식에 반영되어 있지 않다. 이 식은 현재의 흐름이 유지된다는 조건에서만 성립한다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
**스톡** — 통장 잔액 $420$ 만 원, 국가채무 $1{,}200$ 조 원. 단위가 "원"으로 끝난다.
**플로우** — 월급 $280$ 만 원/월, 생활비 $215$ 만 원/월, 재정적자 $80$ 조 원/년. 단위에 시간이 붙는다.

순저축은 $280 - 215 = 65$ (만 원/월)이다.

$$420 + 65n > 1000$$
$$65n > 580$$
$$n > 580 \div 65 = 8.92\cdots$$

$n$ 은 정수이므로 $n = 9$ 다.

**답** — $9$ 개월 뒤인 $12$ 월 $1$ 일에 $1{,}005$ 만 원이 되어 처음으로 $1{,}000$ 만 원을 넘는다.

**검산** — $n = 8$ 일 때 $420 + 65 \times 8 = 420 + 520 = 940$ 만 원으로 아직 넘지 않는다. $n = 9$ 일 때 $420 + 585 = 1005$ 만 원으로 넘는다. 넘는 첫 달이 맞다.

**빈번한 오류** — 두 가지다.

하나는 $420 + 280n$ 이라고 세우는 경우다. 들어오는 플로우만 세고 나가는 플로우를 빼지 않았다. 잔액을 움직이는 것은 유입이 아니라 **순유입**이다.

다른 하나는 신문의 두 숫자를 $1{,}200 - 80 = 1{,}120$ 조 원이라고 계산하는 경우다. 스톡에서 플로우를 뺄 수는 없다. 단위가 조 원과 조 원/년으로 다르다. 올바른 관계는 반대 방향이다 — 올해 $80$ 조 원의 적자는 국가채무를 그만큼 **증가시킨다.** 적자라는 플로우가 채무라는 스톡을 키운다.

**확장** — 스톡과 플로우의 관계를 미적분으로 쓰면 $B(n) = 420 + 65n$ 에서 $B'(n) = 65$ 다. 도함수가 플로우다. 거꾸로 $\int_0^9 65\,dn = 585$ 가 $9$ 개월 동안 쌓인 변화량이다. [제33장](../part3/ch33.md) 기본정리가 통장 명세서에서도 그대로 성립한다. 순저축이 매달 달라지는 경우에는 $65$ 라는 상수 자리에 함수가 들어가며, 구조는 동일하다.
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### 문제 3 · 요금제 두 개, 세우는 길 두 개  ★★☆

**상황** — 태호가 인터넷 요금제를 고른다. A 요금제는 월 기본료 $12{,}000$ 원에 데이터 $1$ GB 당 $2{,}000$ 원, B 요금제는 월 기본료 $30{,}000$ 원에 $1$ GB 당 $500$ 원이다. 매장 직원은 "많이 쓰시면 B가 이득"이라고만 안내했다.

**모형 설정** — "많이 쓰면"에 해당하는 사용량을 구하는 방법은 두 가지다. 두 요금을 각각 식으로 쓰고 같아지는 지점을 구하는 방법과, 처음부터 **두 요금의 차이**를 하나의 식으로 쓰는 방법이다. 두 방법을 모두 세우고, 각각이 답 외에 어떤 정보를 제공하는지 비교한다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 월 데이터 사용량 $x$ (GB). 구하는 것이 "얼마부터"이므로 미지수는 금액이 아니라 사용량이다.

② **주어진 값** — A: 기본료 $12{,}000$ 원/월, 단가 $2{,}000$ 원/GB. B: 기본료 $30{,}000$ 원/월, 단가 $500$ 원/GB.

③ **관계식** — 두 방법을 모두 쓴다.

*방법 1 (각각 세운 뒤 같게 놓기)*

$$A(x) = 12{,}000 + 2{,}000x, \qquad B(x) = 30{,}000 + 500x, \qquad A(x) = B(x)$$

*방법 2 (차이를 하나의 식으로)*

$$D(x) = A(x) - B(x) = -18{,}000 + 1{,}500x, \qquad D(x) = 0$$

④ **사용 도구** — [제9장](../part2/ch09.md) 변수와 식, [제10장](../part2/ch10.md) 일차방정식, [제21장](../part3/ch21.md) 함수와 그래프

⑤ **모형의 한계** — 속도 제한, 약정 기간, 중도 해지 위약금, 결합할인은 이 식에 반영되어 있지 않다. 더 중요한 것은 $x$ 다. 태호가 다음 달에 사용할 데이터 양은 미리 확정되지 않으며, 요금제를 B로 바꾸면 단가가 낮아져 사용량 자체가 달라질 수 있다. 이 식은 $x$ 를 고정된 값으로 취급한다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
*방법 1*

$$12{,}000 + 2{,}000x = 30{,}000 + 500x$$
$$2{,}000x - 500x = 30{,}000 - 12{,}000$$
$$1{,}500x = 18{,}000$$
$$x = 12$$

*방법 2*

$$D(x) = -18{,}000 + 1{,}500x = 0 \ \Rightarrow\ x = 12$$

두 방법의 답이 같다.

**답** — $12$ GB 에서 두 요금이 같아진다. $12$ GB 보다 적게 쓰면 A가 싸고, 많이 쓰면 B가 싸다.

**검산** — $x = 12$ 일 때 A $= 12{,}000 + 24{,}000 = 36{,}000$ 원, B $= 30{,}000 + 6{,}000 = 36{,}000$ 원으로 같다.
극단값도 대입한다. $x = 0$: A $= 12{,}000$ 원, B $= 30{,}000$ 원 — 사용량이 $0$ 이면 A가 유리하다는 예상과 일치한다. $x = 20$: A $= 52{,}000$ 원, B $= 40{,}000$ 원 — 사용량이 많으면 B가 유리하다는 예상과 일치한다.

**빈번한 오류** — 기본료만 보고 "A가 싸다", 단가만 보고 "B가 싸다"라고 답하는 경우다. 두 요금제 중 어느 쪽이 싼지는 **사용량 없이는 정해지지 않는다.** 숫자 두 쌍을 비교하는 문제가 아니라 함수 두 개를 비교하는 문제다.

**확장** — 방법 2가 답 외에 제공하는 정보는 다음과 같다. $D(x) = -18{,}000 + 1{,}500x$ 에서

- 절편 $-18{,}000$ 은 사용량이 $0$ 일 때 A가 B보다 $18{,}000$ 원 적게 든다는 뜻이다(기본료 차이).
- 기울기 $1{,}500$ 은 $1$ GB 를 더 쓸 때마다 A의 그 차이가 $1{,}500$ 원씩 줄어든다는 뜻이다(단가 차이).

$18{,}000$ 원의 차이가 $1{,}500$ 원씩 줄어 $0$ 이 되는 사용량이 $18{,}000 \div 1{,}500 = 12$ GB 다. 답 $12$ 는 **기본료 차이와 단가 차이가 서로를 상쇄하는 지점**이다. 방법 1은 답을 주고, 방법 2는 답의 구조를 준다. 두 선택지를 비교하는 문제에서는 차이 함수를 함께 세워 두는 것이 유용하다.
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### 문제 4 · 세 개의 식, 하나는 틀렸다  ★★☆

**상황** — 카페를 새로 연 사장이 하루 이익을 계산할 식을 노트에 세 개 적어 놓았다. 커피 한 잔 판매가 $4{,}500$ 원, 한 잔당 재료비 $1{,}300$ 원, 임대료·인건비 등 판매량과 무관하게 나가는 비용이 하루 $180{,}000$ 원, 하루 판매량은 $q$ 잔이다.

> (가) $\Pi = 4{,}500q - 1{,}300q - 180{,}000$
> (나) $\Pi = 4{,}500q - 1{,}300 - 180{,}000q$
> (다) $\Pi = (4{,}500 - 1{,}300)q - 180{,}000$

**모형 설정** — $q$ 에 값을 대입하지 않고 각 항 옆에 단위를 적는다. 세 식 중 단위가 어긋나 성립하지 않는 식을 판정하고, 남은 두 식이 서로 다른 식인지 같은 식인지 확인한다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 표면적으로는 하루 이익 $\Pi$ 이지만, 실제 판정 대상은 세 식 중 어느 것이 성립하는가다. 이 문제의 미지량은 수가 아니라 식이다.

② **주어진 값** — 판매가 $4{,}500$ 원/잔, 재료비 $1{,}300$ 원/잔, 고정비 $180{,}000$ 원/일, 판매량 $q$ 잔/일.
- **고정비(fixed cost)** — 판매량과 무관하게 나가는 비용. $q$ 가 붙지 않는다.
- **변동비(variable cost)** — 한 단위마다 따라 나가는 비용. 반드시 $q$ 가 붙는다.

③ **관계식** — 이익 $=$ 매출 $-$ 변동비 $-$ 고정비. 단위로 옮겨 쓰면 다음이 성립해야 한다.

$$\frac{\text{원}}{\text{잔}} \times \frac{\text{잔}}{\text{일}} \ - \ \frac{\text{원}}{\text{잔}} \times \frac{\text{잔}}{\text{일}} \ - \ \frac{\text{원}}{\text{일}} \ = \ \frac{\text{원}}{\text{일}}$$

④ **사용 도구** — [제9장](../part2/ch09.md) 변수와 식, [제13장](../part2/ch13.md) 전개(와 그 역인 묶기)

⑤ **모형의 한계** — 이 식은 $q$ 를 사장이 정할 수 있는 값으로 취급하지만, $q$ 는 수요가 결정한다. 또한 가격 $4{,}500$ 원을 인상하면 $q$ 가 감소한다는 관계가 이 식에 반영되어 있지 않다. 가격과 판매량을 서로 무관한 값으로 놓은 것 자체가 하나의 가정이다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
각 항의 단위를 적는다.

| 식 | 항별 단위 | 판정 |
|---|---|---|
| (가) | $4{,}500q$: 원/일 · $1{,}300q$: 원/일 · $180{,}000$: 원/일 | 세 항 모두 원/일 — 성립 |
| (나) | $4{,}500q$: 원/일 · $1{,}300$: **원/잔** · $180{,}000q$: **원·잔/일²** | 제각각 — 성립하지 않음 |
| (다) | $(4{,}500-1{,}300)q$: 원/일 · $180{,}000$: 원/일 | 두 항 모두 원/일 — 성립 |

**답** — (나)가 틀렸다. (가)와 (다)는 같은 식이다. (가)에서 $q$ 를 묶으면 정확히 (다)가 된다.

**검산** — $q = 100$ 을 대입한다.

$$\text{(가)} = 450{,}000 - 130{,}000 - 180{,}000 = 140{,}000$$
$$\text{(다)} = 3{,}200 \times 100 - 180{,}000 = 320{,}000 - 180{,}000 = 140{,}000$$

같다. (나)는 $450{,}000 - 1{,}300 - 18{,}000{,}000 = -17{,}551{,}300$ 이다. 커피 백 잔을 팔고 하루에 $1{,}755$ 만 원을 잃는다는 결과가 된다. 극단값 검사만으로도 (나)는 배제된다.

**빈번한 오류** — "고정비"라는 명칭 때문에 $180{,}000$ 에 $q$ 를 곱하는 경우다. 고정비는 **판매량과 무관하게** 나가는 비용이므로 $q$ 가 붙지 않는다. 반대로 재료비는 한 잔마다 나가므로 반드시 $q$ 가 붙는다. **$q$ 가 붙느냐 마느냐가 곧 변동비와 고정비의 정의다.**

**확장** — (다)의 $3{,}200$ 원/잔은 **공헌이익**이라 부른다. 한 잔을 더 팔 때 남아서 고정비를 회수하는 데 쓰이는 금액이다. 고정비를 모두 회수하는 데 필요한 판매량이 손익분기점이다.

$$180{,}000 \div 3{,}200 = 56.25$$

$56$ 잔이면 $3{,}200 \times 56 = 179{,}200$ 원으로 $800$ 원이 모자라고, $57$ 잔이면 $182{,}400$ 원으로 $2{,}400$ 원이 남는다. 하루 $57$ 잔부터 흑자다. 잔 수는 쪼갤 수 없으므로 $56.25$ 를 올림한다 — [제1장](../part1/ch01.md)에서 상자 반 개를 셀 수 없다고 한 것과 같은 구조다.
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### 문제 5 · 중고차 값을 그리는 두 모형  ★★☆

**상황** — 신차 가격 $3{,}000$ 만 원인 차의 중고 시세를 예측해 달라는 요청을 받은 두 사람이 서로 다른 식을 내놓았다. $t$ 는 출고 후 지난 햇수다.

> 모형 A: $P(t) = 3{,}000 - 300t$ (만 원)
> 모형 B: $P(t) = 3{,}000 \times 0.85^{\,t}$ (만 원)

**모형 설정** — 어느 쪽이 맞는지 자료를 더 모으기 전에, 두 식에 **극단값**을 대입한다. $t = 0$, $t = 12$, 그리고 $t$ 가 한없이 커질 때 각 식이 주는 값을 확인한다. 이 문제의 판단 지점은 미지수의 선택이 아니라, 두 사람이 각각 **무엇을 일정하다고 놓았는가**다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — $t$ 년 뒤 가격 $P(t)$ (만 원). 다만 실제 판정 대상은 두 식 중 어느 것이 어느 범위까지 사용 가능한가다.

② **주어진 값** — $P(0) = 3{,}000$ 만 원. A는 매년 $300$ 만 원씩 떨어진다고 놓았다(**뺄셈이 일정**). B는 매년 남은 값의 $15\%$ 씩 떨어진다고 놓았다(**곱셈이 일정**).

③ **관계식** —

$$\text{A}: \ P(t) = 3{,}000 - 300t \qquad \text{B}: \ P(t) = 3{,}000 \cdot 0.85^{\,t}$$

④ **사용 도구** — [제12장](../part2/ch12.md) 지수법칙, [제22장](../part3/ch22.md) 지수함수, [제21장](../part3/ch21.md) 함수와 그래프

⑤ **모형의 한계** — 두 식 모두 가격을 **시간 하나**로만 설명한다. 실제 중고차 값을 결정하는 요인은 주행거리, 사고 이력, 모델 단종 여부, 그해 신차 가격의 변동이다. 시간은 그중 하나이고 나머지는 모두 제외되었다. 또한 두 식은 $t=0$ 을 제외하면 어떤 실제 거래 자료에도 맞춰진 적이 없다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
$t = 0$ 을 대입한다.

$$\text{A} = 3{,}000, \qquad \text{B} = 3{,}000 \times 0.85^0 = 3{,}000$$

둘 다 신차 가격을 준다. 여기까지는 구별되지 않는다.

$t = 12$ 를 대입한다.

$$\text{A} = 3{,}000 - 300 \times 12 = 3{,}000 - 3{,}600 = -600$$

**가격이 음수다.** $12$ 년 된 차를 인수하면서 $600$ 만 원을 함께 받는다는 뜻이 되므로 성립하지 않는다.

$$\text{B} = 3{,}000 \times 0.85^{12} \approx 3{,}000 \times 0.1422 \approx 427 \ (\text{계산기 사용})$$

$427$ 만 원이다. 값은 낮지만 양수이고, $12$ 년 된 차량의 가격으로 성립하는 범위다.

$t$ 가 한없이 커질 때 A는 끝없이 음수로 내려간다. B는 $0$ 에 한없이 가까워지되 $0$ 이나 음수가 되지 않는다. 양수에 양수를 아무리 곱해도 음수가 되지 않기 때문이다.

**답** — A는 극단값 검사를 통과하지 못한다. $3{,}000 - 300t = 0$ 에서 $t = 10$ 이므로, A는 $t = 10$ 을 넘는 순간 성립하지 않는다. B는 어떤 $t$ 에서도 양수를 유지한다.

**검산** — A가 $0$ 이 되는 해를 직접 확인한다. $t = 10$ 일 때 $3{,}000 - 3{,}000 = 0$ 이고, $t = 11$ 이면 $-300$ 만 원이다. 유효 범위는 $0 \le t < 10$ 이다.

**빈번한 오류** — $5$ 년 정도만 다루므로 A로 충분하다는 판단 자체는 타당하다. $0 \le t \le 5$ 구간에서 두 모형의 차이는 $260$ 만 원을 넘지 않는다.

| $t$ | A | B (계산기 사용) | 차이 |
|---|---|---|---|
| $1$ | $2{,}700$ | $2{,}550$ | $150$ |
| $3$ | $2{,}100$ | $\approx 1{,}842$ | $\approx 258$ |
| $5$ | $1{,}500$ | $\approx 1{,}331$ | $\approx 169$ |

오류는 A를 사용하는 것 자체가 아니라, **어느 범위까지 사용할 수 있는 식인지 기록하지 않는 것**이다. 모형에는 언제나 유효 범위를 함께 기록한다. 유효 범위가 명시되지 않은 식은 결국 그 범위 밖에서 사용된다.

**확장** — A는 뺄셈이 일정한 변화(등차)이고, B는 곱셈이 일정한 변화(등비)다. 이 구분은 제4부 전체에서 반복된다. 물가, 인구, 복리 이자, 감가상각처럼 **시간에 따라 곱으로 누적되는** 양은 거의 예외 없이 B의 형태이며, 그래서 지수와 로그가 필요하다. 바로 다음 [제38장](ch38.md)에서 물가가 정확히 이 형태로 나타난다.
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### 문제 6 · 월급은 올랐는데  ★★☆

**상황** — 지훈의 연봉이 작년 $4{,}000$ 만 원에서 올해 $4{,}160$ 만 원이 되었다. 회사는 사내 게시판에 "전 직원 $4\%$ 인상"이라고 공지했다. 같은 기간 물가는 $5\%$ 올랐다. 명목 급여는 인상되었으나 구매력의 변화는 별도로 계산해야 한다.

**모형 설정** — "월급이 올랐다"를 측정하는 기준은 두 가지다. 지급되는 금액과, 그 금액으로 살 수 있는 물건의 양이다. 어느 기준을 사용하느냐에 따라 결론의 부호가 달라진다. 기준을 먼저 확정한 뒤 식을 세운다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 실질 연봉의 변화율. 곧 작년에 살 수 있던 물건 바구니를 기준으로 올해 급여로는 몇 배를 살 수 있는가에 해당하는 값이다.

② **주어진 값** — 명목 연봉 작년 $4{,}000$ 만 원, 올해 $4{,}160$ 만 원. 물가상승률 $5\%$.
- **명목(nominal)** — 그때그때의 화폐 금액 그대로.
- **실질(real)** — 물가 변화를 걷어내고 살 수 있는 양으로 환산한 값.

③ **관계식** — 작년 물가를 $1$ 로 두면 올해 물가지수는 $1.05$ 다.

$$\text{올해 실질 연봉} = \frac{4{,}160}{1.05}, \qquad 1 + \text{실질 변화율} = \frac{1.04}{1.05}$$

④ **사용 도구** — [제6장](../part1/ch06.md) 비율·백분율, [제19장](../part2/ch19.md) 유리식

⑤ **모형의 한계** — 물가 $5\%$ 는 여러 품목을 가중평균한 **평균값**이다. 지훈이 실제로 지출하는 항목(월세, 교통비, 식비)의 값이 $5\%$ 올랐다는 뜻이 아니다. 월세가 $12\%$ 오르고 가전제품이 내려서 평균 $5\%$ 가 산출되었다면, 가전을 사지 않는 지훈에게 이 $5\%$ 는 적용되지 않는다. 평균값이 정확해도 개인이 실제로 겪는 물가 상승률은 다를 수 있으며, 이 계산은 그 차이를 반영하지 못한다.
:::

:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
먼저 명목 인상률을 확인한다.

$$\frac{4{,}160}{4{,}000} = 1.04 \ \Rightarrow\ +4\%$$

회사의 공지는 사실이다. 다음으로 실질 연봉을 구한다. (계산기 사용)

$$4{,}160 \div 1.05 = 3{,}961.90\cdots$$

실질 변화율은 다음과 같다.

$$\frac{1.04}{1.05} - 1 = \frac{1.04 - 1.05}{1.05} = \frac{-0.01}{1.05} = -0.009523\cdots$$

**답** — 명목으로는 $4\%$ 올랐지만 실질로는 약 $0.95\%$ **줄었다.** 작년 물가 기준으로 환산한 올해 연봉은 약 $3{,}962$ 만 원으로, 작년의 $4{,}000$ 만 원보다 적다.

**검산** — 물건 수량으로 되넣는다. 작년에 개당 $1$ 만 원인 물건이 있었다면 $4{,}000$ 만 원으로 $4{,}000$ 개를 살 수 있었다. 올해 그 물건은 $1.05$ 만 원이고, $4{,}160 \div 1.05 = 3{,}961.9$ 이므로 $3{,}961$ 개까지 살 수 있다. 명목 금액은 늘었으나 구매 수량은 줄었다.

**빈번한 오류** — $4\% - 5\% = -1\%$ 라고 계산하는 경우다. 정답 $-0.95\%$ 와 가까워서 실무에서도 흔히 쓰이지만, **정확한 것은 뺄셈이 아니라 나눗셈이다.** 변화율이 작을 때는 차이가 $0.05\%\mathrm{p}$ 정도라 무시할 만하다. 그러나 명목 $+50\%$, 물가 $+30\%$ 인 상황이라면 뺄셈은 $+20\%$ 를 주지만 정확한 값은 $\frac{1.5}{1.3} - 1 \approx +15.4\%$ 로 $4.6\%\mathrm{p}$ 가 어긋난다. 물가가 크게 뛰는 나라의 통계를 읽을 때 이 근사는 사용할 수 없다.

**확장** — 같은 계산이 이자에도 그대로 적용된다. 예금 금리가 연 $3\%$ 이고 물가가 $5\%$ 올랐다면 실질 금리는 다음과 같다.

$$\frac{1.03}{1.05} - 1 \approx -0.0190 \ \Rightarrow\ -1.90\%$$

명목 잔액은 늘어나지만 구매력은 줄어든다. **이자를 받고도 실질 가치가 감소하는 상황**은 이 나눗셈의 결과다. 여기에 이자소득세가 더해지면 차이는 더 커진다.
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### 문제 7 · 한 개 더인가, 전부인가  ★★★

**상황** — 케이크 공방을 운영하는 지연은 지난 반년 장부에서 하루 총비용을 정리해 다음 식을 얻었다. $q$ 는 하루에 만드는 홀케이크 수다.

$$C(q) = 0.5q^2 + 20q + 300 \quad (\text{천 원})$$

홀케이크 한 개는 $50$ 천 원에 팔린다. 지금은 하루 $20$ 개를 만들고 있다. 구할 값은 다음 두 가지다.

> (ㄱ) 지금 상태에서 한 개를 더 만들 때 늘어나는 비용
> (ㄴ) $0$ 개에서 $20$ 개까지 늘려 오는 동안 늘어난 비용의 총량

**모형 설정** — 두 물음은 서로 다른 도구를 요구한다. 어느 쪽이 미분이고 어느 쪽이 적분인지 판정한다. 또한 (ㄴ)의 "늘어난 비용"과 장부상의 "총비용"이 같은 값인지 확인한다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — (ㄱ) $q = 20$ 에서의 **한계비용**. (ㄴ) $q$ 가 $0$ 에서 $20$ 으로 갈 때 비용의 **증가분**.
- **한계비용(marginal cost)** — 한 단위를 더 만들 때 늘어나는 비용. 총비용 함수의 도함수다.

② **주어진 값** — $C(q) = 0.5q^2 + 20q + 300$ (천 원/일), 현재 $q = 20$ 개/일, 가격 $50$ 천 원/개. 상수항 $300$ 은 $q = 0$ 일 때도 나가는 값이므로 고정비다.

③ **관계식** —

$$\text{(ㄱ)} \quad C'(q) = q + 20$$
$$\text{(ㄴ)} \quad C(20) - C(0) = \int_0^{20} C'(q)\,dq$$

④ **사용 도구** — [제27장](../part3/ch27.md) 미분규칙, [제32장](../part3/ch32.md) 적분, [제33장](../part3/ch33.md) 미적분의 기본정리

⑤ **모형의 한계** — $C(q)$ 는 지난 반년의 자료에서 얻은 식이다. 따라서 그 반년 동안 지연이 생산한 범위 안에서만 성립한다. 하루 $200$ 개를 만드는 경우에는 이 식이 성립할 근거가 없다 — 그 수준에서는 오븐을 추가하고 인력을 늘려야 하므로 비용 구조 자체가 달라진다. 또 $C$ 는 $q$ 를 연속적인 양으로 다루지만 케이크는 개수로 센다. $C'(20)$ 은 $q = 20$ 바로 그 지점에서의 **순간** 증가 속도이고, 실제로 필요한 "한 개 더"의 비용 $C(21) - C(20) = 40.5$ 는 그 도함수 값 $40$ 으로 **근사**되는 값이다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
**(ㄱ) 한 개 더 — 미분**

$$C'(q) = q + 20 \ \Rightarrow\ C'(20) = 20 + 20 = 40$$

한계비용은 $40$ 천 원이다.

**(ㄴ) 쌓인 총량 — 적분**

먼저 값을 직접 구한다.

$$C(20) = 0.5(400) + 20(20) + 300 = 200 + 400 + 300 = 900$$
$$C(0) = 300$$
$$C(20) - C(0) = 900 - 300 = 600$$

적분으로도 구한다.

$$\int_0^{20} (q + 20)\,dq = \Big[\tfrac{1}{2}q^2 + 20q\Big]_0^{20} = (200 + 400) - 0 = 600$$

**답** — (ㄱ) 약 $40$ 천 원. (ㄴ) $600$ 천 원. 이는 총비용 $900$ 천 원과 **다르다.**

**검산** — (ㄱ)을 실제 차이로 확인한다.

$$C(21) = 0.5(441) + 20(21) + 300 = 220.5 + 420 + 300 = 940.5$$
$$C(21) - C(20) = 940.5 - 900 = 40.5$$

도함수 값 $40$ 과 실제 증가분 $40.5$ 가 거의 같다. 도함수는 "한 개 더"의 좋은 근사다.
(ㄴ)은 두 방법이 모두 $600$ 을 준다. 도함수를 적분하면 원함수의 차이가 나온다는 [제33장](../part3/ch33.md) 기본정리가 그대로 확인된다.

**빈번한 오류** — (ㄴ)에 총비용 $900$ 천 원을 답하는 경우다. $\int_0^{20} C'(q)\,dq$ 가 주는 것은 **변화량**이지 총량이 아니다. 고정비 $300$ 은 미분할 때 사라졌으므로 적분해도 되살아나지 않는다. 적분은 언제나 쌓인 양을 주고, 출발점의 값은 따로 주어져야 한다. 이것이 부정적분에 상수 $C$ 가 붙는 이유이기도 하다.

**확장** — 가격이 $50$ 천 원이고 $q = 20$ 에서 한계비용이 $40$ 천 원이므로, 한 개 더 만들면 $10$ 천 원이 남는다. 생산량을 어디까지 늘려야 하는지 판정하기 위해 이익 함수를 세운다.

$$\Pi(q) = 50q - C(q) = 50q - 0.5q^2 - 20q - 300 = -0.5q^2 + 30q - 300$$
$$\Pi'(q) = -q + 30 = 0 \ \Rightarrow\ q = 30$$

$q = 30$ 에서 이익이 최대다. 확인하면 $\Pi(20) = 1{,}000 - 900 = 100$ 천 원, $\Pi(30) = 1{,}500 - 1{,}350 = 150$ 천 원이다.

한편 $\Pi'(q) = 0$ 은 $50 = C'(q)$ 와 동치다. [제31장](../part3/ch31.md)에서 다룬 "도함수를 $0$ 으로 놓는다"는 절차에 경제학은 별도의 이름을 붙인다. 한 개 더 팔아 받는 금액이 한 개 더 만드는 데 드는 금액과 같아지는 지점에서 생산을 늘릴 이유가 없어진다 — 이 조건이 **한계수입 $=$ 한계비용**이다.

다만 명칭은 정확히 구분해야 한다. 이 문제처럼 가격이 판매량과 무관하게 $50$ 천 원으로 일정할 때는 총수입이 $50q$ 이므로 한계수입이 곧 가격 $50$ 이고, 그래서 $\Pi'(q) = 0$ 이 **가격 $=$ 한계비용**이 된다. 가격이 판매량에 따라 달라지는 일반적인 경우에는 한계수입이 가격보다 작아지므로, 조건은 언제나 **한계수입 $=$ 한계비용**이지 가격 $=$ 한계비용이 아니다. 문제 4 ⑤에서 기록한 "가격을 올리면 $q$ 가 줄어든다"는 관계가 여기서 두 조건을 가른다.
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### 문제 8 · 광고의 평균 수익률  ★★★

**상황** — 어느 펀드 광고에 "$2$ 년 평균 수익률 $+10\%$"라고 적혀 있다. 작은 글씨의 성과표를 보니 첫해 $+60\%$, 둘째 해 $-40\%$ 였고, 두 수를 더해 $2$ 로 나눈 값이 $+10\%$ 였다. 민서는 이 펀드에 $2$ 년 전 $1{,}000$ 만 원을 넣었다.

**모형 설정** — "$2$ 년 평균 수익률"이 지시하는 값은 두 가지로 해석된다. 두 해의 수익률을 더해 $2$ 로 나눈 값과, 매년 그 비율로 변했다면 같은 결과에 도달하는 비율이다. 두 번째 해석에 대응하는 미지수를 정한 뒤 식을 세운다.

:::{admonition} 모형화 다섯 단계
:class: tip
① **미지량** — 매년 같은 비율 $r$ 로 변했다고 할 때 $2$ 년 뒤 잔액이 실제와 같아지는 그 $r$. 이것을 **연평균 수익률**(기하평균)이라 부른다.

② **주어진 값** — 원금 $1{,}000$ 만 원. 첫해 배율 $1 + 0.6 = 1.6$, 둘째 해 배율 $1 - 0.4 = 0.6$. 수익률을 **배율**로 바꾸어 적는 것이 이 문제의 첫 단계다.

③ **관계식** — 실제 결과와 "매년 $r$" 결과를 같게 놓는다.

$$1{,}000 \times 1.6 \times 0.6 = 1{,}000 \times (1+r)^2$$

④ **사용 도구** — [제7장](../part1/ch07.md) 제곱근, [제12장](../part2/ch12.md) 지수법칙, [제17장](../part2/ch17.md) 이차방정식

⑤ **모형의 한계** — 이 값은 지나간 두 해의 결과를 하나로 요약할 뿐, 셋째 해에 대해서는 아무것도 알려 주지 않는다. 또한 민서가 중간에 돈을 더 넣거나 일부를 뺐다면 이 값은 펀드의 성적이지 민서의 성적이 아니다. 넣고 뺀 시점까지 반영한 성적은 다른 방법(내부수익률)으로 따로 계산해야 한다.
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:::{admonition} 풀이와 검산
:class: dropdown
실제 잔액부터 따라간다.

$$1{,}000 \times 1.6 = 1{,}600 \ (\text{만 원})$$
$$1{,}600 \times 0.6 = 960 \ (\text{만 원})$$

$2$ 년 뒤 $960$ 만 원이다. 원금보다 $40$ 만 원이 적다. 누적 수익률은 $960 \div 1{,}000 - 1 = -4\%$ 다.

연평균 수익률 $r$ 을 구한다.

$$(1+r)^2 = \frac{960}{1{,}000} = 0.96$$
$$1 + r = \sqrt{0.96} \approx 0.9798 \ (\text{계산기 사용})$$
$$r \approx -0.0202 \ \Rightarrow\ -2.02\%$$

**답** — $2$ 년 동안 민서의 원금은 $4\%$ **감소했다.** 연평균으로는 약 $-2.02\%$ 다. 광고의 $+10\%$ 는 두 수익률의 산술평균이며, 실제 잔액의 변화를 나타내지 못한다.

**검산** — 매년 $-2.02\%$ 씩 두 해를 보내면 다음과 같다.

$$1{,}000 \times 0.9798^2 \approx 1{,}000 \times 0.96 = 960$$

실제 잔액과 같다. 반면 광고대로 매년 $+10\%$ 씩이라면 $1{,}000 \times 1.1^2 = 1{,}210$ 만 원이어야 한다. 실제와 $250$ 만 원이 벌어진다.

**빈번한 오류** — 두 수익률을 더해 $2$ 로 나누는 계산이다. 이것이 성립하지 않는 이유는 **기준량이 다르기 때문이다.** $+60\%$ 의 기준량은 $1{,}000$ 만 원이지만, $-40\%$ 의 기준량은 이미 불어난 $1{,}600$ 만 원이다. 첫해에 늘어난 $600$ 만 원에도 둘째 해의 $-40\%$ 가 함께 적용된다. 기준량이 다른 두 비율은 그대로 평균 낼 수 없다.

비율이 곱으로 쌓이는 상황에서 쓰는 평균은 산술평균이 아니라 **기하평균**이다.

$$1 + r = \sqrt[n]{(1+r_1)(1+r_2)\cdots(1+r_n)}$$

덧셈으로 누적되는 양에는 산술평균을, 곱셈으로 누적되는 양에는 기하평균을 사용한다. 수익률, 물가, 성장률은 모두 곱셈으로 누적되는 양이다.

**확장** — 여기서 하나의 비대칭이 따라 나온다. **같은 비율의 손실과 이익은 크기가 대칭이 아니다.** $-50\%$ 를 기록한 뒤 원금으로 돌아가려면 $+50\%$ 가 아니라 $+100\%$ 가 필요하다. $0.5 \times 2 = 1$ 이기 때문이다.

일반적으로 $p$ 만큼 잃은 뒤 회복에 필요한 상승률은 $\dfrac{p}{1-p}$ 다. $p = 0.2$ 면 $0.25$ 이므로 $25\%$, $p = 0.5$ 면 $1$ 이므로 $100\%$, $p = 0.8$ 이면 $4$ 이므로 $400\%$ 다. $0.2 \times 5 = 1$ 이므로, $-80\%$ 뒤에 남은 $0.2$ 가 다섯 배가 되어야 원금이 된다. 문제 1에서 $30\%$ 할인을 되돌리는 데 $42.9\%$ 가 필요했던 것과 동일한 구조다. 기준량이 줄어든 지점에서는 같은 퍼센트가 같은 금액을 뜻하지 않는다.
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## 적용 범위와 한계

이 절차는 도구이며 결과의 타당성을 보증하지 않는다. 다섯 단계를 빠짐없이 채워도 남는 한계가 있다.

**절차는 좋은 식을 보장하지 않는다.** ③에서 세운 등식이 현실을 잘못 옮겼다면 나머지 네 단계가 아무리 정확해도 답은 틀린다. 이 절차의 기능은 오류가 발생했을 때 **어느 단계에서 발생했는지 확인할 수 있게** 하는 데까지다.

**변수가 하나뿐이다.** 이 책이 다룬 도구는 전부 일변수다. 그러나 현실에서 하나의 결과에 연결된 원인은 언제나 여럿이다. 어떤 물건의 수요는 그 물건의 값만이 아니라 소득, 대체재의 값, 앞으로의 기대에 함께 달려 있다. 제4부는 "다른 조건이 같다면"이라는 가정을 두고 하나씩만 변화시킨다. 그 가정이 언제 깨지고 깨지면 어떻게 되는지는 다변수 미적분에서 다루며, 이 책의 범위 밖이다.

**확률을 다루지 않는다.** 이 책의 식은 모두 확정된 수를 다룬다. 그러나 금리, 물가, 수익률, 판매량은 하나의 값이 아니라 흩어진 분포다. 문제 8의 펀드는 앞으로 $+60\%$ 일 수도 $-40\%$ 일 수도 있고, 그 불확실성 자체가 금융에서는 가장 중요한 정보다. 이 책은 그것을 다루지 못한다. 계산으로 얻은 하나의 값을 확정된 미래로 해석해서는 안 된다.

**인과를 말하지 못한다.** 식이 두 양을 등호로 잇는다고 해서 한쪽이 다른 쪽의 원인인 것은 아니다. 함께 움직인다는 것과 하나가 다른 하나를 움직인다는 것은 전혀 다른 주장이고, 그 둘을 가르는 일은 수식이 아니라 자료 설계의 문제다.

**당위를 말하지 못한다.** 최저임금을 올렸을 때 무슨 일이 벌어질지는 계산할 수 있다. 올려야 하는지는 계산에서 나오지 않는다. 누구의 손실을 누구의 이익과 견줄 것인지는 값을 매기는 일이고, 그 값은 식 밖에서 온다. 수학이 선택을 대신한다고 보는 경우, 실제로는 사용자가 내린 선택을 수학의 결과로 제시하는 것이 된다.

**숫자의 출처를 묻지 못한다.** GDP, 실업률, 물가지수는 자연에 있던 것이 아니라 사람이 정의해 만든 수다. 실업자를 누구로 세느냐에 따라 실업률이 달라지고, 바구니에 무엇을 담느냐에 따라 물가지수가 달라진다. 식은 입력된 숫자의 타당성을 검사하지 않는다. 그 검사는 사용하는 사람이 수행해야 한다.

## 요약과 다음 장

이 장은 새로운 계산 기법을 다루지 않았다. 앞의 $36$ 개 장에서 만든 도구를 언제 사용할지 결정하는 절차를 정리했다.

| 단계 | 하는 일 | 빈번한 오류 |
|---|---|---|
| ① 미지량 | 미지수를 고른다 | 고를 수 있다는 것 자체를 인식하지 못한다 |
| ② 주어진 값 | 값과 단위를 적는다 | 단위를 적지 않는다 |
| ③ 관계식 | 등식을 세운다 | 기준량을 잘못 잡는다 |
| ④ 사용 도구 | 도구를 고른다 | 익숙한 도구만 사용한다 |
| ⑤ 모형의 한계 | 제외한 것을 적는다 | 아예 건너뛴다 |

가장 자주 생략되는 것은 ①과 ⑤다. ①에서 미지수를 **고를 수 있다**는 점을 놓치면 가장 눈에 띄는 양을 $x$ 로 두게 되고, 그 선택이 최선인 경우는 드물다. ⑤를 건너뛰면 계산 결과를 현실 자체와 동일시하게 된다.

이 장에서 반복해 확인한 사실은 하나다. **기준량이 다르면 같은 퍼센트도 같은 금액이 아니다.** $30\%$ 할인을 되돌리는 데 $42.9\%$ 가 들고, $+60\%$ 와 $-40\%$ 의 연평균은 $+10\%$ 가 아니라 $-2.02\%$ 다. 이 한 가지만으로도 광고와 기사에 실린 수치의 상당수를 다르게 읽게 된다.

다음 [제38장](ch38.md)에서는 이 절차를 물가에 적용한다. "물가가 $3\%$ 올랐다"는 문장의 기준량은 무엇인지, 물가지수라는 수는 어떻게 만들어지는지, 그리고 문제 5의 모형 B처럼 **곱으로 쌓이는 변화**가 $20$ 년 뒤 화폐의 값을 어디까지 변화시키는지를 다룬다. 지수와 로그가 본격적으로 사용되는 장이다.