# 제34장 · 적분 기법 — 치환 :::{admonition} 이 장 :class: seealso | | | |---|---| | **원본 코드** | R3-W14 | | **선행 내용** | 제33장 — 미적분의 기본정리 | | **요지** | 치환적분은 **연쇄법칙을 거꾸로 읽는 것**이다. | ::: ## 도입 앞에서 연쇄법칙으로 다음을 미분했다. $$\frac{d}{dx}(x^2+1)^4 = 4(x^2+1)^3 \cdot 2x = 8x(x^2+1)^3$$ 겉함수는 네제곱이므로 미분하면 $4(x^2+1)^3$ 이고, 속함수는 $x^2+1$ 이므로 미분하면 $2x$ 이다. 둘을 곱하면 $8x(x^2+1)^3$ 이 된다. 이제 방향을 반대로 하여 다음을 묻는다. $$\int 8x(x^2+1)^3\,dx = \ ?$$ 미분하여 $8x(x^2+1)^3$ 이 되는 함수를 찾는 것이 적분이다. 그 함수는 위 줄에 이미 나와 있다. $(x^2+1)^4$ 이다. 새로 계산할 것이 없다. **위 줄을 오른쪽에서 왼쪽으로 읽으면 그것이 답이다.** $$\int 8x(x^2+1)^3\,dx = (x^2+1)^4 + C$$ 이 장에서 다루는 것이 이것이다. 이름은 **치환적분**이며, 그 내용은 **연쇄법칙을 거꾸로 읽는 것**이다. 연쇄법칙은 겉함수에서 속함수로 내려가고, 치환적분은 속함수에서 겉함수로 거슬러 올라간다. 미분에서 익힌 내용이 그대로 사용된다. 계수가 $8$ 이 아니라 $2$ 인 경우를 미리 제시한다. $$\int 2x(x^2+1)^3\,dx = \ ?$$ 계수가 $8$ 에서 $2$ 로, 곧 4분의 1로 줄었으므로 답도 $4$ 로 나눈 $\dfrac{(x^2+1)^4}{4} + C$ 로 추측된다. 이 추측은 옳다. 이 장에서는 추측이 아니라 **절차로** 이 답에 이르는 방법을 다룬다. 이 문제가 이 장의 처음이자 마지막 문제다. ## 적분표는 미분표를 뒤집은 것 치환을 다루기 전에 기본 공식을 정리한다. 기본 적분 공식은 별도로 암기하는 것이 아니라 **미분 공식을 뒤집어 얻는 것**이다. 왼쪽에 이미 아는 미분을 적고, 오른쪽에 그것을 뒤집은 적분을 적는다. | 미분 | 뒤집으면 — 적분 | |---|---| | $\dfrac{d}{dx}x^{n+1} = (n+1)x^n$ | $\displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \ne -1)$ | | $\dfrac{d}{dx}\ln x = \dfrac{1}{x}$ | $\displaystyle\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$ | | $\dfrac{d}{dx}e^x = e^x$ | $\displaystyle\int e^x\,dx = e^x + C$ | | $\dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x$ | $\displaystyle\int \cos x\,dx = \sin x + C$ | | $\dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x$ | $\displaystyle\int \sin x\,dx = -\cos x + C$ | **첫째 줄 — $n \ne -1$ 인 이유.** $n = -1$ 이면 지수를 $1$ 올렸을 때 $0$ 이 되고, $0$ 으로 나누는 연산이 필요해진다. 이 연산은 정의되지 않는다. 거듭제곱 규칙에는 이 한 점에서만 예외가 생긴다. $$\int x^{-1}\,dx = \frac{x^0}{0} + C \quad \text{— 불가능}$$ 이 예외를 둘째 줄이 처리한다. $\dfrac{1}{x}$ 의 적분은 거듭제곱 규칙으로는 얻을 수 없고 **로그가 담당한다.** $\ln x$ 의 도함수가 $\dfrac{1}{x}$ 이라는 사실이 여기에 쓰인다. **둘째 줄 — 절댓값을 쓰는 이유.** $\ln$ 은 양수에서만 정의되지만 $\dfrac{1}{x}$ 은 음수 구간에서도 정의된다. 절댓값을 씌우면 음수 구간까지 포함된다. 이 단계에서는 음수 구간을 포함시키기 위한 표기라는 점만 확인하면 된다. **다섯째 줄 — 부호에 유의한다.** 미분에서는 $\cos$ 을 미분할 때 마이너스가 붙는다. 적분에서는 위치가 바뀌어 **$\sin$ 을 적분할 때** 마이너스가 붙는다. $$\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x \quad \Longrightarrow \quad \int \sin x\,dx = -\cos x + C$$ 이 부호는 암기 대신 확인으로 처리한다. $-\cos x$ 를 미분하면 마이너스와 마이너스가 곱해져 $+\sin x$ 가 된다. 이 확인을 매번 수행하면 부호 오류가 발생하지 않는다. ### 검산 — 답을 미분하여 확인한다 $$\text{적분한 답을 미분하면 원래 식으로 돌아온다}$$ 이것이 이 장에서 사용하는 핵심 도구다. 대부분의 계산은 결과가 옳은지를 스스로 판정하기 어렵고 정답과 대조해야 확인된다. 적분은 다르다. 답을 미분하면 옳고 그름이 즉시 판정된다. 정답과의 대조가 필요 없다. $$\int (3x^2+2x)\,dx = x^3+x^2+C \quad \xrightarrow{\ \text{미분}\ } \quad 3x^2+2x$$ 원래 식으로 돌아왔다. 적분 문제를 푼 뒤에는 항상 미분하여 되돌린다. 예외는 없다. 이 절차에는 $10$ 초 정도가 소요되며, 그 $10$ 초가 틀린 답을 걸러 낸다. 상수배와 합에 대한 규칙은 미분에서와 동일하게 성립한다. $$\int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx \qquad \int \{f(x)+g(x)\}\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx$$ 상수는 적분 기호 밖으로 낼 수 있고, 합은 항마다 따로 적분해도 된다. 그러나 **곱에 대해서는 성립하지 않는다.** $\displaystyle\int f\cdot g$ 를 $\displaystyle\int f$ 와 $\displaystyle\int g$ 의 곱으로 쓰면 틀린다. 미분에서 $(fg)' \ne f'g'$ 인 것과 같은 사정이다(반례는 빈번한 오류 절에서 다룬다). **예제 1.** $\displaystyle\int \left(x^3 - \frac{2}{x} + 5\right)dx$. 항마다 따로 적분하고 $C$ 는 맨 끝에 하나만 붙인다. $$= \frac{x^4}{4} - 2\ln|x| + 5x + C$$ 검산하면 미분하여 $x^3 - \dfrac{2}{x} + 5$ 로 돌아온다. **예제 2.** $\displaystyle\int (2\cos x - 3\sin x)\,dx$ $$= 2\sin x - 3\cdot(-\cos x) + C = 2\sin x + 3\cos x + C$$ $\sin$ 을 적분하면 $-\cos$ 이고, 거기에 앞의 $-3$ 이 곱해져 $+3\cos$ 이 된다. 부호가 두 번 뒤집힌다. 검산: $2\sin x + 3\cos x$ 를 미분하면 $2\cos x - 3\sin x$ 이다. 검산을 생략하면 이 부호에서 오류가 발생하기 쉽다. **예제 3.** $\displaystyle\int \frac{1}{x^2}\,dx$. 이 적분의 결과는 로그가 아니다. 지수 형태로 고쳐 쓰면 거듭제곱 규칙이 그대로 적용된다. $$\int \frac{1}{x^2}\,dx = \int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$$ $n=-2$ 이므로 $n+1 = -1$ 이고, $0$ 이 아니므로 규칙이 적용된다. 예외는 $n=-1$ 인 경우뿐이다. 검산: $-x^{-1}$ 을 미분하면 $x^{-2}$ 이다. ## 치환적분 — 연쇄법칙을 거꾸로 도입의 식을 다시 본다. $$\int 8x(x^2+1)^3\,dx$$ 앞에서 답을 알 수 있었던 것은 위 줄에 미분 결과가 있었기 때문이다. 미분 결과가 주어지지 않은 경우에는 미분 과정을 역으로 추적한다. 연쇄법칙에서 $2x$ 는 속함수 $x^2+1$ 을 미분하여 나온 항이다. 식 안에 $x$ 가 곱해져 있는 것은 우연이 아니라 **속함수를 미분한 결과**다. 속함수에 새 이름을 붙인다. $$u = x^2+1$$ $$\frac{du}{dx} = 2x \quad \Longrightarrow \quad du = 2x\,dx$$ 이 줄이 치환의 핵심이다. **이 줄을 적지 않으면 계산에서 오류가 발생한다.** 이제 원래 식을 전부 $u$ 에 대한 식으로 바꾼다. $$\int 8x(x^2+1)^3\,dx = \int 4(x^2+1)^3 \cdot 2x\,dx = \int 4u^3\,du$$ $8x\,dx$ 를 $4 \cdot 2x\,dx$ 로 나누어 $4\,du$ 로 바꾸었고, $(x^2+1)^3$ 은 $u^3$ 이다. **식에 $x$ 가 한 글자도 남지 않았다.** 치환이 제대로 이루어졌다는 조건이 이것이다. $$\int 4u^3\,du = u^4 + C = (x^2+1)^4 + C$$ 마지막에 $u$ 를 원래 식으로 되돌린다. 문제가 $x$ 에 대한 것이므로 답도 $x$ 로 표시한다. 검산: 미분하면 $4(x^2+1)^3 \cdot 2x = 8x(x^2+1)^3$ 이다. ## dx를 분수처럼 다룰 수 있는 이유 앞에서 $\dfrac{du}{dx} = 2x$ 를 $du = 2x\,dx$ 로 바꿔 썼다. 분모 $dx$ 를 양변에 곱한 형태다. $\dfrac{dy}{dx}$ 를 분수처럼 다룬 것인데, $\dfrac{dy}{dx}$ 는 분수가 아니라 극한이다. $$\frac{dy}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ 나누기 기호와 같은 형태이지만 $dy$ 라는 수를 $dx$ 라는 수로 나눈 것이 아니다. $dy$, $dx$ 가 각각 독립된 수로 정의되어 있지도 않다. 그럼에도 분수처럼 조작하면 결과가 맞는다. 그 근거는 다음과 같다. 이는 우연이 아니라 연쇄법칙에 근거한다. $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$ 가운데 $du$ 가 분자와 분모에서 약분되는 것처럼 보인다. 실제로 약분한 것은 아니지만 결과는 약분한 것과 일치한다. **연쇄법칙이 성립하기 때문에** 이런 형태가 나타난다. 라이프니츠가 이 표기를 채택한 이유가 여기에 있다. 적절한 표기는 성립하는 정리를 기호의 형태로 나타낸다. 덧붙이면, 이 조작이 항상 성립하는 근거와 그 허용 범위를 엄밀하게 증명하는 일은 해석학에서 다룬다. 이 책에서 제시하는 것은 증명이 아니라 이 조작이 작동하는 이유다. 계산을 정확히 수행하는 데에는 이 수준으로 충분하다. 분수가 아닌 것을 분수처럼 다루는 조작에 대한 엄밀한 정당화는 해석학의 주제로 남는다. ## 여섯 단계와 u 고르기 치환은 항상 동일한 여섯 단계로 진행된다. 각 단계의 번호를 확인하면서 계산한다. ```{image} /_static/figs/ch34_steps.svg :alt: 치환적분 여섯 단계 :width: 480px :align: center :class: chfig ``` 여섯 단계를 글로 옮기면 다음과 같다. **①** 속함수를 $u$ 로 놓는다. **②** $du = u'\,dx$ 를 구한다. **③** 식의 $x$ 와 $dx$ 를 전부 $u$ 와 $du$ 로 바꾼다 (**$x$ 가 하나라도 남으면 실패**). **④** 정적분이면 상·하한도 $u$ 값으로 바꾼다. **⑤** 적분한다. **⑥** 부정적분이면 $u$ 를 원래대로 되돌린다. **3번 단계가 핵심이다.** 오류의 상당수가 이 단계에서 발생한다. 함수 부분만 $u$ 로 바꾸고 $dx$ 를 그대로 둔 채 넘어가는 것이다. $dx$ 와 $du$ 는 서로 다르다. $dx$ 는 적분에서 직사각형의 폭에 해당한다. 변수를 $x$ 에서 $u$ 로 바꾸었으면 폭도 $u$ 에 대한 폭으로 다시 재야 한다. 3번의 경고문도 실제 규칙이다. $x$ 가 하나라도 남으면 그 치환은 성립하지 않으므로, 무리하게 진행하지 말고 $u$ 를 다시 고른다. 다시 골라도 남으면 치환으로 풀리는 문제가 아니다. $u$ 를 고르는 기준은 다음 한 줄이다. $$u = \text{미분하면 식 안의 다른 부분이 나오는 것}$$ $\displaystyle\int 8x(x^2+1)^3\,dx$ 에서 $x^2+1$ 을 고른 이유가 이것이다. 미분하면 $2x$ 가 나오는데 그 $2x$ 가 식 안에 이미 있다. 두 항이 대응한다. 반대로 $u=8x$ 로 고르면 미분한 결과가 $8$ 뿐이어서 남는 $(x^2+1)^3$ 을 $u$ 로 쓸 수 없다. 실제 계산에서는 **괄호 안, 지수 아래, 분모, 루트 안**을 먼저 확인한다. 대개 이 위치에 속함수가 있다. 그것을 미분한 식이 밖에 곱해져 있으면 치환이 성립하고, 없으면 다른 것을 고른다. 아래 예제는 모두 **부정적분**이므로 ④를 건너뛴다. 번호가 ③에서 ⑤로 넘어가는 것은 단계를 누락한 것이 아니다. ④가 필요한 경우는 뒤의 「정적분의 치환」 절에서 따로 다룬다. **예제 1.** $\displaystyle\int 3x^2(x^3+2)^5\,dx$ $$\text{① } u = x^3+2 \qquad \text{② } du = 3x^2\,dx$$ $$\text{③ } \int (x^3+2)^5 \cdot 3x^2\,dx = \int u^5\,du$$ $$\text{⑤ } = \frac{u^6}{6} + C \qquad \text{⑥ } = \frac{(x^3+2)^6}{6} + C$$ $3x^2\,dx$ 가 그대로 $du$ 이므로 정확히 대응한다. 검산: 미분하면 $\dfrac{6(x^3+2)^5 \cdot 3x^2}{6} = 3x^2(x^3+2)^5$ 이다. **예제 2.** $\displaystyle\int (2x+1)^5\,dx$ — 계수를 맞춰야 하는 경우 $$\text{① } u = 2x+1 \qquad \text{② } du = 2\,dx \quad \Longrightarrow \quad dx = \frac{du}{2}$$ 식에 $2$ 가 없다. 이 경우 $dx$ 를 $\dfrac{du}{2}$ 로 바꿔 넣는다. 상수는 이렇게 조절할 수 있다. $$\text{③ } \int u^5 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int u^5\,du$$ $$\text{⑤ } = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^6}{6} + C = \frac{u^6}{12}+C \qquad \text{⑥ } = \frac{(2x+1)^6}{12} + C$$ 검산: 미분하면 $\dfrac{6(2x+1)^5 \cdot 2}{12} = (2x+1)^5$ 이다. 여기서 확인할 사항이 하나 있다. 조절할 수 있는 것은 **상수**뿐이다. $x$ 가 부족한 경우에는 밖으로 낼 수 없다. $\dfrac{1}{2}$ 은 밖으로 낼 수 있지만 $\dfrac{1}{2x}$ 은 낼 수 없다. **예제 3.** $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx$ — 분모를 $u$ 로 $$\text{① } u = x^2+1 \qquad \text{② } du = 2x\,dx$$ $$\text{③ } \int \frac{1}{u}\,du \qquad \text{⑤ } = \ln|u| + C \qquad \text{⑥ } = \ln(x^2+1) + C$$ $x^2+1$ 은 항상 양수이므로 절댓값은 필요하지 않다. 앞 절에서 거듭제곱 규칙의 예외에 해당하던 $\dfrac{1}{x}$ 의 적분이 여기에 쓰였다. **예제 4.** $\displaystyle\int e^{-2x}\,dx$ — 계수가 **음수**인 경우 $$\text{① } u = -2x \qquad \text{② } du = -2\,dx \quad \Longrightarrow \quad dx = -\frac{du}{2}$$ $$\text{③ } \int e^u \cdot \left(-\frac{du}{2}\right) = -\frac{1}{2}\int e^u\,du$$ $$\text{⑤ } = -\frac{1}{2}e^u + C \qquad \text{⑥ } = -\frac{1}{2}e^{-2x} + C$$ 검산: $-\dfrac{1}{2}e^{-2x}$ 를 미분하면 겉함수가 지수함수이므로 그대로 남고, 속함수 $-2x$ 를 미분하면 $-2$ 이다. 따라서 $-\dfrac{1}{2}\cdot e^{-2x}\cdot(-2) = e^{-2x}$ 이다. 마이너스가 두 번 나타나 서로 상쇄된다. 원래 식으로 돌아왔다. 예제 2에서 조절할 수 있는 것은 **상수**뿐이라고 했다. 여기에 한 줄을 덧붙인다. **그 상수가 음수여도 동일하게 밖으로 나온다. 다만 부호가 한 번 뒤집힌다.** 부호가 뒤집히는 위치는 암기하지 말고 $du$ 줄을 종이에 적어 두고 거기에서 읽는다. $du = -2\,dx$ 로 적어 두면 $dx = -\dfrac{du}{2}$ 가 그대로 따라 나온다. 암산으로 처리하면 이 부호에서 오류가 발생하기 쉽다. ## 정적분의 치환 — 상·하한도 바꾼다 도입에서 제시한 문제를 정적분으로 계산한다. $$\int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx$$ 치환 과정은 동일하며 **4번 단계가 추가된다.** $$\text{① } u = x^2+1 \qquad \text{② } du = 2x\,dx$$ $$\text{④ } x=0 \ \Rightarrow \ u = 0+1 = 1 \qquad x=1 \ \Rightarrow \ u = 1+1 = 2$$ 원래 구간은 $x$ 가 $0$ 에서 $1$ 까지다. $u$ 에 대해서는 **$1$ 에서 $2$ 까지**가 된다. 변수를 바꾸었으므로 적분 구간도 새 변수의 값으로 바꾼다. $$\int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx = \int_1^2 u^3\,du = \left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2 = \frac{16}{4}-\frac{1}{4} = \frac{15}{4}$$ 정적분에서는 답에서 $u$ 를 되돌릴 필요가 없다. 6번 단계를 건너뛴다. 결과가 수로 나오기 때문이다. 상·하한을 바꾸는 대신 되돌리기를 생략할 수 있다는 것이 4번 단계의 실질적 이점이다. 상·하한을 바꾸는 대신 다른 방법도 있다. **부정적분을 먼저 완전히 계산하고**, $x$ 로 되돌린 다음, 원래 상·하한을 대입한다. $$\int 2x(x^2+1)^3\,dx = \frac{(x^2+1)^4}{4} + C \quad \Longrightarrow \quad \left[\frac{(x^2+1)^4}{4}\right]_0^1 = \frac{16}{4}-\frac{1}{4} = \frac{15}{4}$$ 같은 답 $\dfrac{15}{4}$ 를 얻는다. **두 방법 모두 옳다.** 다만 두 방법을 섞으면 안 된다. $u$ 로 바꾼 식에 $x$ 의 상·하한을 대입하는 것이 정적분 치환에서 가장 빈번한 오류 중 하나다. $$\int_1^2 u^3\,du = \frac{15}{4}\ \text{(옳음)} \qquad \int_0^1 u^3\,du = \left[\frac{u^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{4}\ \text{(틀림)}$$ $\dfrac{1}{4}$ 과 $\dfrac{15}{4}$ 는 $15$ 배 차이다. 식은 $u$ 에 대한 것인데 적분 구간은 $x$ 의 값을 그대로 사용한 결과다. 식의 변수와 적분 구간의 변수가 일치하지 않으면 값이 달라진다. ## 빈번한 오류 :::{admonition} 치환한 뒤 $dx$ 를 바꾸지 않는다 :class: warning $\displaystyle\int (2x+1)^5\,dx$ 에서 $u=2x+1$ 로 바꿔 놓고 $dx$ 를 그대로 둔 채 $\displaystyle\int u^5\,du = \dfrac{u^6}{6}$ 로 계산해 $\dfrac{(2x+1)^6}{6}+C$ 라고 답하기 쉽다. 이는 정답의 **$2$ 배**다. 결과의 형태가 그럴듯하여 발견하기 어렵다. 원인은 $dx$ 를 적분 기호 끝에 늘 붙는 표기로만 보는 데 있다. $dx$ 는 직사각형의 폭이며, 크기를 가진 양이다. 변수를 $x$ 에서 $u$ 로 바꾸었으면 폭도 $u$ 에 대한 폭으로 재야 한다. 검산이 이 오류를 잡아낸다. $\dfrac{(2x+1)^6}{6}$ 을 미분하면 $(2x+1)^5 \cdot 2$ 가 나와 $2$ 가 남는다. 그 $2$ 를 없애려면 미리 $2$ 로 나누어야 하며, 그것이 $dx = \dfrac{du}{2}$ 다. $du$ 줄을 반드시 종이에 적으면 예방된다. 암산으로 처리하면 이 오류가 발생한다. *확인 문제*: $\displaystyle\int (5x-2)^3\,dx$. (답: $\dfrac{(5x-2)^4}{20}+C$. 미분하면 $(5x-2)^3$. 분모가 $20$ 이 아니면 $dx$ 변환이 누락된 것이다.) ::: :::{admonition} 정적분 치환에서 상·하한을 바꾸지 않는다 :class: warning $\displaystyle\int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx$ 에서 치환은 정확하게 해 놓고 $\displaystyle\int_0^1 u^3\,du = \dfrac{1}{4}$ 이라 쓰기 쉽다. 정답은 $\dfrac{15}{4}$ 이므로 $15$ 배 차이가 나지만, 치환 과정 자체가 정연해 보여 오류가 드러나지 않는다. 원인은 상·하한을 적분 기호에 딸린 표기로만 보고, 그것이 $x$ 축 위의 **위치**라는 점을 반영하지 않는 데 있다. 변수를 바꾸었으면 위치도 새 변수의 값으로 읽어야 한다. 치환할 때마다 옆에 작은 표를 함께 적으면 이 오류가 줄어든다. | $x$ | $u = x^2+1$ | |---|---| | $0$ | $1$ | | $1$ | $2$ | 표를 쓰지 않는 경우에는 상·하한을 그대로 두고, 부정적분을 끝까지 계산해 $x$ 로 되돌린 뒤 원래의 $0$ 과 $1$ 을 대입한다. 답은 같다. 다만 $u$ 에 대한 식에 $x$ 의 값을 대입해서는 안 된다. *확인 문제*: $\displaystyle\int_0^2 3x^2(x^3+1)\,dx$. (답: $40$. $u$ 는 $1$ 에서 $9$ 까지, $\left[\dfrac{u^2}{2}\right]_1^9 = \dfrac{81-1}{2}$. $u$ 상·하한을 $0$ 과 $2$ 로 두면 $2$ 가 나와 $20$ 배 차이가 난다.) ::: :::{admonition} $\int \sin x\,dx$ 의 부호 :class: warning $\displaystyle\int \sin x\,dx = \cos x + C$ 라고 쓰기 쉽다. 원인은 미분 공식에서 '$\cos$ 에 마이너스가 붙는다'는 부분만 남고 그것이 어느 쪽에 붙는지는 남지 않는 데 있다. 이 부호는 암기 대신 매번 확인으로 처리한다. 답을 하나 적어 놓고 미분한다. $\cos x$ 를 미분하면 $-\sin x$ 인데 필요한 것은 $+\sin x$ 이다. 따라서 앞에 마이너스를 붙여 $-\cos x$ 로 고치고, 다시 미분하면 $+\sin x$ 가 되어 일치한다. 네 함수를 한 줄에 놓고 화살표로 이으면 부호 관계가 드러난다. $$\sin x \ \xrightarrow{\ \text{미분}\ } \ \cos x \ \xrightarrow{\ \text{미분}\ } \ -\sin x \ \xrightarrow{\ \text{미분}\ } \ -\cos x \ \xrightarrow{\ \text{미분}\ } \ \sin x$$ 네 번 미분하면 제자리로 돌아온다. 적분은 이 화살표를 거꾸로 가는 것이다. $\sin$ 에서 거꾸로 한 칸 가면 $-\cos$ 이다. *확인 문제*: $\displaystyle\int (\sin x + \cos x)\,dx$. (답: $-\cos x + \sin x + C$. 미분하면 $\sin x + \cos x$.) ::: :::{admonition} 적분에도 곱의 법칙이 있을 것이다 :class: warning $\displaystyle\int x\cos x\,dx = \dfrac{x^2}{2}\sin x + C$ 처럼 각 인수를 따로 적분하여 곱하는 오류가 자주 나타난다. 미분에서 $(fg)' \ne f'g'$ 였던 오류가 방향만 바뀌어 다시 나타난 것이다. 원인은 연산이 각 항에 따로 적용된다는 잘못된 일반화다. 반례로 확인한다. $$\int x \cdot x\,dx = \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}+C \qquad \left(\int x\,dx\right)\left(\int x\,dx\right) = \frac{x^2}{2}\cdot\frac{x^2}{2} = \frac{x^4}{4}$$ $\dfrac{x^3}{3}$ 과 $\dfrac{x^4}{4}$ 는 서로 다르다. 합은 항마다 나누어 적분할 수 있고 상수배도 밖으로 낼 수 있지만 **곱과 나눗셈에 대해서는 성립하지 않는다.** 이 경계를 정확히 구분하는 것이 이 절의 목적이다. $\displaystyle\int x\cos x\,dx$ 의 답은 부분적분이라는 다른 기법으로 구하며, 이 책의 범위 밖이다. 여기서는 그러한 기법이 있다는 점만 확인한다. *확인 문제*: $\displaystyle\int x^2 \cdot x^3\,dx$ 를 두 가지로 계산해 미분으로 판정하라. (답: 먼저 $x^5$ 로 합친 $\dfrac{x^6}{6}+C$ 가 맞다. 따로 적분해 곱한 $\dfrac{x^7}{12}$ 는 미분하면 $\dfrac{7x^6}{12}$ 이라 틀렸음이 드러난다.) ::: ## 연습문제 계산기를 사용하지 않는다. 치환 문항은 여섯 단계의 번호를 옆에 적고, 부정적분은 답을 미분하여 되돌려 확인한 뒤 체크 표시를 한다. 체크 표시가 없는 답은 확인이 끝나지 않은 답이다. `A` 기본 · `B` 표준 · `C` 도전. 1. `A` 부정적분을 구하라. (1) $\displaystyle\int x^6\,dx$ (2) $\displaystyle\int 4\cos x\,dx$ (3) $\displaystyle\int (e^x - \sin x)\,dx$ 2. `A` 부정적분을 구하라. (1) $\displaystyle\int \frac{3}{x}\,dx$ (2) $\displaystyle\int (2e^x + 5)\,dx$ 3. `A` 다음 셋 중 **틀린 것**을 미분으로 찾아 고쳐라. (1) $\displaystyle\int \sin x\,dx = \cos x + C$ (2) $\displaystyle\int x^3\,dx = \dfrac{x^4}{4}+C$ (3) $\displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$ 4. `A` 치환으로 구하라. $\displaystyle\int 2x(x^2+3)^4\,dx$ 5. `A` 치환으로 구하라. $\displaystyle\int (3x+1)^4\,dx$ 6. `B` 치환으로 구하라. $\displaystyle\int x(x^2+4)^3\,dx$ (계수에 주의) 7. `B` 치환으로 구하라. (1) $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx$ (2) $\displaystyle\int \cos(5x)\,dx$ (3) $\displaystyle\int e^{3x}\,dx$ 8. `B` 계산하라. $\displaystyle\int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx$ — 상·하한을 $u$ 값으로 바꾸는 과정을 **반드시 적어라.** 9. `B` 계산하라. $\displaystyle\int_0^1 3x^2(x^3+1)^2\,dx$ 10. `B` 계산하라. $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin(2x)\,dx$ 11. `B` 어떤 물체의 속도가 $v(t) = 6t(t^2+1)^2$ (m/s)이다. $t=0$ 부터 $t=1$ 까지 이동한 거리는? 12. `B` 몸에 들어간 약물이 $r(t) = 2e^{-2t}$ (mg/시)의 속도로 배출된다. $t=0$ 부터 $t=\ln 2$ 시간까지 배출된 총량은? 13. `C` 치환으로 구하라. $\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx$ (루트 안을 $u$ 로) 14. `C` $\displaystyle\int (x^2+1)^3\,dx$ 를 구하라. **먼저 $u = x^2+1$ 로 치환을 시도하고, 실패하는 이유를 한 줄로 쓴 뒤** 다른 방법으로 풀어라. :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. (1) $\dfrac{x^7}{7}+C$ (2) $4\sin x + C$ (3) $e^x + \cos x + C$ — $\sin$ 을 적분하면 $-\cos$ 이고, 앞의 마이너스와 만나 $+\cos$ 이 된다. 빈번한 오류: $e^x - \cos x$. 부호를 한 번만 뒤집은 결과다. 미분하면 확인된다. 2. (1) $3\ln|x| + C$ (2) $2e^x + 5x + C$ — 상수 $5$ 를 적분하면 $5x$ 이다. 빈번한 오류: $5$ 를 그대로 두고 $2e^x+5+C$ 로 쓰는 경우. 3. **(1)이 틀렸다.** $\cos x$ 를 미분하면 $-\sin x$ 이지 $\sin x$ 가 아니다. 올바른 답은 $\displaystyle\int \sin x\,dx = -\cos x + C$. (2)와 (3)은 맞다 — 미분하면 각각 $x^3$, $\dfrac{1}{x}$ 로 돌아온다. 이 문항의 목적은 답을 찾는 것이 아니라 **검산이 실제로 오류를 검출한다는 사실을 확인하는 것**이다. 4. $\dfrac{(x^2+3)^5}{5} + C$ — $u = x^2+3$, $du = 2x\,dx$. 미분하면 $\dfrac{5(x^2+3)^4 \cdot 2x}{5} = 2x(x^2+3)^4$. 5. $\dfrac{(3x+1)^5}{15} + C$ — $u = 3x+1$, $dx = \dfrac{du}{3}$. 미분하면 $\dfrac{5(3x+1)^4\cdot 3}{15} = (3x+1)^4$. 빈번한 오류: $\dfrac{(3x+1)^5}{5}$. $dx$ 를 바꾸지 않아 $3$ 으로 나누는 과정이 누락된 것이다. 6. $\dfrac{(x^2+4)^4}{8} + C$ — $du = 2x\,dx$ 인데 식에는 $x\,dx$ 뿐이므로 $x\,dx = \dfrac{du}{2}$. $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{u^4}{4}$. 빈번한 오류: $\dfrac{(x^2+4)^4}{4}$. $\dfrac{1}{2}$ 이 누락된 것이다. 미분하면 $2x(x^2+4)^3$ 이 나와 원래 식의 $2$ 배임이 드러난다. 7. (1) $\ln(x^2+1) + C$ — $u = x^2+1$, $du = 2x\,dx$ 가 그대로 대응한다. $x^2+1>0$ 이므로 절댓값은 필요하지 않다. (2) $\dfrac{\sin(5x)}{5}+C$ (3) $\dfrac{e^{3x}}{3}+C$ — 미분하면 $\dfrac{3e^{3x}}{3}=e^{3x}$. 8. $\dfrac{15}{4}$ — $u = x^2+1$, **$u$ 는 $1$ 에서 $2$ 까지.** $\displaystyle\int_1^2 u^3\,du = \left[\dfrac{u^4}{4}\right]_1^2 = 4-\dfrac{1}{4}=\dfrac{15}{4}$. 빈번한 오류: $\left[\dfrac{u^4}{4}\right]_0^1 = \dfrac{1}{4}$. 식은 $u$ 에 대한 것인데 적분 구간은 $x$ 의 값을 사용한 경우다. $15$ 배 차이가 난다. 9. $\dfrac{7}{3}$ — $u = x^3+1$, $u$ 는 $1$ 에서 $2$ 까지. $\left[\dfrac{u^3}{3}\right]_1^2 = \dfrac{8-1}{3}$. 10. $1$ — $u = 2x$, $u$ 는 $0$ 에서 $\pi$ 까지, $dx = \dfrac{du}{2}$. $\dfrac{1}{2}\Big[-\cos u\Big]_0^{\pi} = \dfrac{1}{2}(1+1) = 1$. 빈번한 오류: 상한을 $\dfrac{\pi}{2}$ 로 두고 $\dfrac{1}{2}\Big[-\cos u\Big]_0^{\pi/2} = \dfrac{1}{2}$ 로 계산하는 경우. 11. **$7$ m** — $\displaystyle\int_0^1 6t(t^2+1)^2\,dt$. $u = t^2+1$, $6t\,dt = 3\,du$, $u$ 는 $1$ 에서 $2$ 까지. $3\left[\dfrac{u^3}{3}\right]_1^2 = 8-1 = 7$. 속도-시간 그래프 아래 넓이가 거리라는 결론이 그대로 쓰였다. 12. $\dfrac{3}{4}$ **mg** — 먼저 치환한다(예제 4와 같은 유형이며 **계수가 음수**다). ① $u = -2t$ ② $du = -2\,dt$, 곧 $2\,dt = -du$ ④ $t=0 \Rightarrow u=0$, $t=\ln 2 \Rightarrow u=-2\ln 2$. 그러면 $\displaystyle\int_0^{\ln 2} 2e^{-2t}\,dt = \int_0^{-2\ln 2} e^u\,(-du) = -\Big[e^u\Big]_0^{-2\ln 2} = 1 - e^{-2\ln 2}$. ($x$ 로 되돌려 쓰면 $\Big[-e^{-2t}\Big]_0^{\ln 2}$ 와 같은 식이다.) 여기까지가 적분이고, 남은 것은 지수·로그 계산이다. $e^{-2\ln 2} = (e^{\ln 2})^{-2} = 2^{-2} = \dfrac{1}{4}$ 이므로 답은 $1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$. 오류가 발생할 수 있는 지점이 둘이므로 구분한다 — $du$ 의 마이너스에서 막히면 치환 단계의 문제이고, $e^{-2\ln 2}$ 에서 막히면 지수·로그 계산의 문제다. 13. $\sqrt{x^2+1} + C$ — $u = x^2+1$, $x\,dx = \dfrac{du}{2}$. $\dfrac{1}{2}\displaystyle\int u^{-1/2}\,du = \dfrac{1}{2}\cdot 2u^{1/2} = \sqrt{u}$. 미분하면 $\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$. 루트를 $u^{1/2}$ 로 고쳐 쓰는 것이 이 문항의 핵심 단계다. 14. $\dfrac{x^7}{7} + \dfrac{3x^5}{5} + x^3 + x + C$. **치환이 실패하는 이유**: $u = x^2+1$ 로 놓으면 $du = 2x\,dx$ 인데 식에 $x$ 가 **없다.** $dx = \dfrac{du}{2x}$ 로 무리하게 바꾸면 $\displaystyle\int u^3\,\dfrac{du}{2x}$ 가 되어 $x$ 가 남는다. 여섯 단계 3번 위반이므로 치환 실패다. **다른 방법**: 전개한다. $(x^2+1)^3 = x^6+3x^4+3x^2+1$ 이므로 항마다 적분하면 위 답이 나온다. 치환은 모든 적분에 적용되지 않는다. 밖에 속함수의 도함수가 곱해져 있는 경우에만 성립한다. ::: ### 추가 연습문제 앞의 두 규칙을 동일하게 적용한다. 치환 문항은 여섯 단계 번호를 옆에 적고, 부정적분은 답을 미분하여 되돌려 확인한다. **기본 공식** 1. $\displaystyle\int x^8\,dx$ 2. $\displaystyle\int 5x^4\,dx$ 3. $\displaystyle\int 2\sin x\,dx$ 4. $\displaystyle\int (\cos x - e^x)\,dx$ 5. $\displaystyle\int \frac{4}{x}\,dx$ 6. $\displaystyle\int \left(x^3 - \frac{1}{x}\right)dx$ 7. $\displaystyle\int \frac{1}{x^2}\,dx$ (힌트: $\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$) **치환 부정적분** 8. $\displaystyle\int 2x(x^2+7)^3\,dx$ 9. $\displaystyle\int 3x^2(x^3-1)^4\,dx$ 10. $\displaystyle\int (4x+3)^5\,dx$ 11. $\displaystyle\int x(x^2+1)^4\,dx$ 12. $\displaystyle\int \sin(4x)\,dx$ 13. $\displaystyle\int e^{5x}\,dx$ 14. $\displaystyle\int \frac{3x^2}{x^3+2}\,dx$ **정적분 치환** 15. $\displaystyle\int_0^1 2x(x^2+1)^2\,dx$ 16. $\displaystyle\int_0^2 3x^2(x^3+1)\,dx$ 17. $\displaystyle\int_0^1 (2x+1)^4\,dx$ 18. $\displaystyle\int_0^{\pi/6} \cos(3x)\,dx$ 19. $\displaystyle\int_0^1 e^{2x}\,dx$ 20. $\displaystyle\int_0^1 \frac{2x}{x^2+1}\,dx$ **혼합·문장제·설명** 21. $\displaystyle\int x\sqrt{x^2+9}\,dx$ (루트 안을 $u$ 로. $\sqrt{u} = u^{1/2}$) 22. $\displaystyle\int (x^2+2)^2\,dx$ — 치환을 시도하고, 성립하지 않는 이유를 한 줄로 쓴 뒤 다른 방법으로 풀어라. 23. 어떤 물체의 속도가 $v(t) = 4t(t^2+1)$ (m/s)이다. $t=0$ 부터 $t=2$ 까지 이동한 거리는? 24. 자동차의 속도가 $v(t) = \dfrac{10}{(t+1)^2}$ (m/s)이다. $t=0$ 부터 $t=4$ 까지 이동한 거리는? (힌트: $u = t+1$) 25. 치환적분 여섯 단계를 **보지 않고** 순서대로 쓰라. 그리고 3번 단계의 경고문("$x$ 가 하나라도 남으면 실패")이 왜 필요한지 한 문장으로 설명하라. :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. $\dfrac{x^9}{9}+C$ 2. $x^5+C$ 3. $-2\cos x + C$ 4. $\sin x - e^x + C$ 5. $4\ln|x|+C$ 6. $\dfrac{x^4}{4}-\ln|x|+C$ 7. $-\dfrac{1}{x}+C$ 3번의 빈번한 오류: $2\cos x + C$. 미분하면 $-2\sin x$ 로 부호가 반대다. 부호 화살표 그림을 다시 확인한다. 7번: $\displaystyle\int x^{-2}dx = \dfrac{x^{-1}}{-1} = -\dfrac{1}{x}$. 빈번한 오류: $\ln|x^2|$ 이나 $\dfrac{1}{x^3}/3$. 로그가 필요한 것은 지수가 정확히 $-1$ 일 때뿐이다. 8. $\dfrac{(x^2+7)^4}{4}+C$ 9. $\dfrac{(x^3-1)^5}{5}+C$ 10. $\dfrac{(4x+3)^6}{24}+C$ 11. $\dfrac{(x^2+1)^5}{10}+C$ 12. $-\dfrac{\cos(4x)}{4}+C$ 13. $\dfrac{e^{5x}}{5}+C$ 14. $\ln|x^3+2|+C$ 10번: $dx = \dfrac{du}{4}$ 이므로 $\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{u^6}{6}=\dfrac{u^6}{24}$. 빈번한 오류: $\dfrac{(4x+3)^6}{6}$ — $4$ 로 나누는 과정이 누락된 것이다. 미분하면 $4$ 가 남는다. 11번: $x\,dx = \dfrac{du}{2}$ 이므로 $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{u^5}{5}=\dfrac{u^5}{10}$. 분모가 $5$ 가 아니라 **$10$** 이다. 12번: $u=4x$, $dx=\dfrac{du}{4}$, $\displaystyle\int \sin u\,\dfrac{du}{4} = -\dfrac{\cos u}{4}$. 미분하면 $\dfrac{4\sin 4x}{4}=\sin 4x$. 14번: $u = x^3+2$, $du = 3x^2dx$ 가 그대로 대응한다. 분자가 분모의 도함수인 형태는 항상 로그가 된다. 15. $\dfrac{7}{3}$ — $u$ 는 $1$ 에서 $2$ 까지, $\left[\dfrac{u^3}{3}\right]_1^2$. 16. $40$ — $u$ 는 **$1$ 에서 $9$ 까지**, $\left[\dfrac{u^2}{2}\right]_1^9 = \dfrac{81-1}{2}$. 상·하한을 $0$ 과 $2$ 로 두면 $2$ 가 나온다. $20$ 배 차이다. 17. $\dfrac{121}{5}$ — $u$ 는 $1$ 에서 $3$ 까지, $\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{u^5}{5}\right]_1^3 = \dfrac{243-1}{10}$. 18. $\dfrac{1}{3}$ — $u = 3x$, $u$ 는 $0$ 에서 $\dfrac{\pi}{2}$ 까지, $\dfrac{1}{3}\Big[\sin u\Big]_0^{\pi/2} = \dfrac{1}{3}$. 19. $\dfrac{e^2-1}{2}$ — $u=2x$, $u$ 는 $0$ 에서 $2$ 까지, $\dfrac{1}{2}\Big[e^u\Big]_0^2$. 소수로 고치지 않는다. 이것이 정확한 답이다. 20. $\ln 2$ — $u = x^2+1$, $u$ 는 $1$ 에서 $2$ 까지, $\Big[\ln u\Big]_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$. $\ln 1 = 0$ 임에 유의한다. 21. $\dfrac{(x^2+9)^{3/2}}{3}+C$ — $u = x^2+9$, $x\,dx = \dfrac{du}{2}$. $\dfrac{1}{2}\displaystyle\int u^{1/2}du = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}u^{3/2}=\dfrac{u^{3/2}}{3}$. 미분하면 $x\sqrt{x^2+9}$. 22. $\dfrac{x^5}{5}+\dfrac{4x^3}{3}+4x+C$. **치환이 성립하지 않는 이유**: $u = x^2+2$ 로 놓으면 $du = 2x\,dx$ 인데 식에 $x$ 가 없어서 $dx$ 를 $du$ 로 바꿀 수 없다. $x$ 가 남는다. **다른 방법**: 전개해 $x^4+4x^2+4$ 로 만든 뒤 항마다 적분한다. 23. **$24$ m** — $\displaystyle\int_0^2 4t(t^2+1)\,dt$. $u = t^2+1$, $4t\,dt = 2\,du$, $u$ 는 $1$ 에서 $5$ 까지. $2\left[\dfrac{u^2}{2}\right]_1^5 = 25-1 = 24$. 전개해 $\displaystyle\int_0^2 (4t^3+4t)dt = \Big[t^4+2t^2\Big]_0^2 = 16+8 = 24$ 로 풀어도 같다. 두 방법이 같은 답을 준다. 24. **$8$ m** — $u = t+1$, $du = dt$, $u$ 는 $1$ 에서 $5$ 까지. $\displaystyle\int_1^5 \dfrac{10}{u^2}du = \Big[-\dfrac{10}{u}\Big]_1^5 = -2+10 = 8$. 빈번한 오류: $u$ 상·하한을 $0$ 과 $4$ 로 두면 $-\dfrac{10}{4}+\dfrac{10}{0}$ 이 되어 계산이 정의되지 않는다. 계산이 정의되지 않는다는 것 자체가 상·하한을 바꾸지 않았다는 신호다. 25. 여섯 단계: ① 속함수를 $u$ 로 놓는다 ② $du = u'\,dx$ 를 구한다 ③ 식의 $x$ 와 $dx$ 를 전부 $u$ 와 $du$ 로 바꾼다 ④ 정적분이면 상·하한도 $u$ 값으로 바꾼다 ⑤ 적분한다 ⑥ 부정적분이면 $u$ 를 되돌린다. 3번 경고문이 필요한 이유(예): $x$ 가 남아 있으면 그 식은 $u$ 만의 식이 아니므로 $u$ 로 적분할 수 없기 때문이다. $x$ 가 남았다는 것은 $u$ 를 잘못 골랐거나 애초에 치환으로 풀리는 문제가 아니라는 신호다. ::: ## 요약과 다음 장 이 장의 핵심은 다음 한 문장이다. **치환적분은 연쇄법칙을 거꾸로 읽는 것이다.** 속함수를 $u$ 라는 새 이름으로 놓으면 복잡한 적분이 기본 공식 하나로 정리된다. 단, 변수를 $u$ 로 바꿀 때 $dx$ 까지 전부 바꿔야 한다. $du$ 를 종이에 적는 한 줄이 이 절차의 핵심이다. 정적분이면 상·하한도 $u$ 의 값으로 바꾼다. 그리고 적분한 답은 언제나 미분하여 되돌려 검산한다. 치환은 모든 적분에 적용되지 않는다. 밖에 속함수의 도함수가 곱해져 있는 경우에만 성립하며, 그렇지 않으면 전개하거나 다른 기법을 사용한다. 미분은 규칙에 따라 항상 수행할 수 있지만 적분은 그렇지 않다는 사실이 다음 장으로 이어진다. [제35장](ch35.md)에서는 곡선 하나 아래가 아니라 곡선 두 개 **사이**의 넓이를 계산하고, 더하는 수가 점점 $0$ 에 가까워지는데도 합이 무한대로 발산하는 덧셈, 곧 급수를 다룬다.