# 제31장 · 도함수의 응용 ② — 최적화·관련변화율

:::{admonition} 이 장
:class: seealso

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| **원본 코드** | R3-W11 |
| **선행 내용** | 제30장 (그래프 분석) |
| **요지** | 최적화에서 어려운 부분은 미분이 아니라 **식을 세우는 일**이다. |
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## 도입

울타리 $100$ 미터로 직사각형 밭을 두른다. 울타리는 남김없이 전부 사용한다. 이때 밭의 넓이를 최대로 만드는 모양을 구하는 것이 문제다.

길쭉한 모양부터 확인한다. 가로 $49$ m, 세로 $1$ m이면 넓이는 $49$ 제곱미터다. 정사각형에 가까운 모양, 곧 가로 세로 $25$ m씩이면 넓이는 $625$ 제곱미터다. 둘레는 동일한데 넓이는 열두 배 넘게 차이 난다. 답이 정사각형이라는 것은 직관으로도 도달할 수 있고 그 직관은 옳다. 그러나 **왜** 정사각형인지 근거를 제시하는 것은 별개의 일이다. 이 장에서 하는 일은 답을 맞히는 것이 아니라 그 **근거를 구성하는 일**이다.

조건을 하나 바꾼다. 밭 한쪽이 **강**이다. 강 쪽에는 울타리가 필요 없으므로 세 면만 친다. 울타리는 여전히 $100$ 미터다. 이 경우에도 정사각형이 답인지 묻는다. 직관은 이번에도 정사각형을 답으로 내놓는다. 그러나 두 문제 중 하나는 정사각형이 답이 아니다. **직관만으로 두 문제를 모두 맞힐 수는 없다.** 어느 쪽이 예외인지는 이 장에서 확인한다.

제30장에서 봉우리와 골짜기, 곧 극값을 찾는 방법을 다루었다. 이 장에서는 그 도구로 실제 문제를 푼다. 최적화에서 막히는 지점은 미분이 아니다. **문제를 식으로 바꾸는 지점**이다. 그래서 이 장의 절반은 미분을 사용하지 않는다.

## 최적화는 미분 문제가 아니다

최적화는 미분 문제가 아니다. **미분은 마지막 한 줄이고, 그 앞의 네 줄이 실제 문제다.**

최적화 문제는 그림 없이 풀지 않는다. 문제를 읽고 가장 먼저 하는 일은 계산이 아니라 **그림을 그리고 문자를 붙이는 일**이다. 문자를 그림 위에 얹는 이 동작이 최적화에서 익혀야 할 첫 번째 절차다.

절차는 다섯 단계로 정리된다.

**①** 무엇을 최대·최소로 만드는가를 **말로** 쓴다 (목적함수).
**②** 변수를 정하고 **그림**을 그린다.
**③** 제약조건을 **식**으로 쓴다.
**④** 제약을 이용해 목적함수를 **한 변수**로 만든다.
**⑤** 미분해서 임계점을 찾고, 정의역과 끝점까지 비교한다.

다섯 줄이다. 최적화 문제를 만나면 종이 왼쪽에 ①부터 ⑤까지 번호를 먼저 쓴다. 문제의 구조가 아직 파악되지 않은 상태에서도 번호는 쓸 수 있다. 번호를 쓰면 ①을 채우는 작업이 시작된다.

## 다섯 단계를 그대로 적용한다 — 둘레 $20$ 인 직사각형

둘레가 $20$ 인 직사각형 중 넓이가 가장 큰 것을 구한다.

**①** 최대로 만드는 대상은 **밭의 넓이**다. 이것을 한국어로 먼저 쓴다. "넓이를 최대로." 식은 아직 쓰지 않는다.

**②** 변수와 그림. 가로를 $x$, 세로를 $y$ 라 하고 그림 위에 직접 써넣는다.

```{image} /_static/figs/ch31_field.svg
:alt: 직사각형 밭: 둘레 2x+2y
:width: 340px
:align: center
:class: chfig
```

**③** 제약조건. 둘레를 남김없이 사용한다고 했으므로 그것이 제약이다. 목적함수도 함께 쓴다.

$$2x + 2y = 20, \qquad A = xy$$

여기서 곧바로 미분하려는 시도가 나오지만 그것은 불가능하다. 문자가 두 개이기 때문이다. $x$ 로 미분하면 $y$ 를 처리할 방법이 없다. 이것이 ④단계가 필요한 이유다.

**④** 한 변수로 만든다. 이 단계가 이 장의 관문이다.

$$2x + 2y = 20 \ \Rightarrow \ x + y = 10 \ \Rightarrow \ y = 10 - x$$

$$A(x) = x(10 - x) = 10x - x^2$$

$y$ 자리에 $10 - x$ 를 그대로 대입했다. 정의역도 **이 자리에서** 함께 쓴다. $y = 10 - x$ 가 양수여야 하므로 $x$ 는 $10$ 보다 작다. 길이는 음수가 될 수 없다.

$$0 < x < 10$$

정의역은 나중에 덧붙이는 것이 아니라 ④단계에서 함께 쓴다.

**⑤** 미분한다.

$$A'(x) = 10 - 2x, \qquad A'(x) = 0 \ \Rightarrow \ x = 5$$

$$A''(x) = -2 < 0 \ \Rightarrow \ \text{극대}$$

$$A(5) = 5 \times 5 = 25$$

끝점도 확인한다. $x \to 0$ 이면 $A \to 0$, $x \to 10$ 이면 $A \to 0$ 이다. 끝으로 갈수록 직사각형이 납작해지므로 넓이가 $0$ 에 접근한다. 따라서 $25$ 가 최댓값이다. **답은 가로 $5$ m, 세로 $5$ m인 정사각형이고 넓이는 $25$ 제곱미터다.**

둘레가 고정된 직사각형에서 넓이가 최대인 것은 항상 정사각형이다. 도입의 첫 질문, 곧 울타리 $100$ m로 네 면을 치는 문제도 같은 이유로 가로 세로 $25$ m인 정사각형, 넓이 $625$ 제곱미터가 답이다. 직관으로 얻었던 답이 이 절차를 통해 **근거를 갖는다.**

## 조건이 바뀌면 답도 바뀐다

이제 도입의 두 번째 질문이다. 한쪽이 강이라 세 면만 치는 밭에 울타리 $100$ m를 쓴다.

```{image} /_static/figs/ch31_river.svg
:alt: 강가의 세 면 울타리: 2x+y
:width: 380px
:align: center
:class: chfig
```

**①** 넓이를 최대로. **②** 강과 평행한 변을 $y$, 수직인 변을 $x$ 로 둔다. **③** 제약은 $2x + y = 100$, 목적은 $A = xy$.

**④** $y = 100 - 2x$ 를 대입한다.

$$A(x) = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2, \qquad 0 < x < 50$$

**⑤** 미분한다.

$$A'(x) = 100 - 4x = 0 \ \Rightarrow \ x = 25$$

$$A''(x) = -4 < 0 \ \Rightarrow \ \text{극대}$$

$$y = 100 - 2(25) = 50, \qquad A(25) = 25 \times 50 = 1250$$

가로 $50$, 세로 $25$ 다. **정사각형이 아니다.** 그리고 넓이는 $1250$ 이다. 네 면을 모두 친 경우가 $625$ 였으므로, 울타리 길이가 같은데도 넓이는 두 배다. 차이를 만든 것은 한 면에 울타리를 치지 않는다는 조건 하나다.

직관은 조건이 바뀌면 성립하지 않는다. 다섯 단계는 조건이 바뀌어도 동일하게 작동한다. 절차를 사용하는 이유가 여기에 있다.

## 임계점이 곧 답은 아니다 — 끝점을 확인한다

⑤단계에서 임계점을 찾았다고 문제가 끝난 것은 아니다. 극값은 그 근처에서의 최고·최저이며, 구간 전체의 최댓값·최솟값과는 다르다.

$$\text{극값(국소)} \ne \text{최댓값·최솟값(구간 전체)}$$

구간 전체의 최대·최소를 찾으려면 임계점의 값과 양 끝점의 값을 나란히 비교해야 한다.

$$\text{구간 } [a,b] \text{ 의 최대·최소} \ = \ \{\, f(\text{임계점들}),\ f(a),\ f(b) \,\} \text{ 중 최대·최소}$$

$f(x) = x^3 - 3x$ 를 구간 $[0, 3]$ 에서 확인한다.

$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$$

임계점은 $x = \pm 1$ 인데, 구간 안에 있는 것은 $x = 1$ 뿐이다($x = -1$ 은 $[0,3]$ 밖이므로 제외한다). 세 값을 비교한다.

$$f(0) = 0, \qquad f(1) = -2, \qquad f(3) = 18$$

**최댓값은 $18$(끝점 $x=3$), 최솟값은 $-2$($x=1$)다.** 임계점 $x=1$ 만 확인하고 마쳤다면 최댓값을 놓친다. 최댓값이 임계점이 아니라 끝점에 있기 때문이다. 그래서 비교표를 만든다. 비교표를 만들지 않으면 이 유형에서 오류가 발생한다.

### 끝점이 없으면 무엇으로 판정하는가

비교표는 구간에 **끝이 있을 때** 사용하는 방법이다. 그런데 정의역이 $x > 0$ 처럼 끝이 없는 문제도 자주 나온다. 대입할 끝점 자체가 없으므로 표를 만들 수 없다. 그래서 판정을 두 갈래로 나눈다.

$$\text{끝점이 있으면} \ \Rightarrow \ \text{임계점의 값과 양 끝점의 값을 비교표로 고른다}$$

$$\text{끝점이 없으면} \ \Rightarrow \ \textbf{2계도함수의 부호}\text{로 판정한다}$$

앞의 두 예제에서는 $A'' = -2$, $A'' = -4$ 처럼 상수가 나왔다. 유리식에서는 상수가 아니라 $x$ 가 남는다. 그래도 하는 일은 같다 — 값이 아니라 **부호만** 확인하면 된다.

④단계에서 세우는 상자의 겉넓이가 그런 경우다. $S = x^2 + \dfrac{128}{x}$, 정의역은 $x > 0$ 이고 임계점은 $x = 4$ 하나뿐이다(이 식을 세우고 미분하는 과정은 바로 아래에서 끝까지 다룬다). 2계도함수는 다음과 같다.

$$S'' = 2 + \frac{256}{x^3}$$

$x > 0$ 이면 $\dfrac{256}{x^3}$ 이 양수이므로 $S''$ 은 **정의역 전체에서 양수**다. 곧 어디서나 아래로 볼록하다. 아래로 볼록한 함수의 극소는 하나뿐이므로, 그 임계점이 최솟값을 주는 자리다. 끝점을 대입하지 않고도 판정이 확정된다.

함수의 양 끝 거동으로도 같은 결론에 도달한다. $x$ 가 $0$ 에 가까워지면 $\dfrac{128}{x}$ 이 무한히 커진다. 밑면 한 변이 작아지면 부피를 유지하기 위해 높이가 커지고, 따라서 옆면의 넓이가 커지기 때문이다. 반대로 $x$ 가 커지면 $x^2$ 이 무한히 커진다. 밑면의 넓이 자체가 커지기 때문이다. 양쪽 끝에서 모두 발산하므로 그 사이에 최솟값이 존재하고, 그 점이 임계점이다.

## ④단계가 관문이다 — 식 세우기

최적화에서 막히는 지점의 대부분은 ④단계다. 그리고 ④단계는 미적분이 아니라 **대입법**이다.

두 줄을 나란히 놓는다.

$$\text{연립방정식} \quad \begin{cases} y = 3 - 2x \\ 4x - 3y = 5 \end{cases} \ \Rightarrow \ 4x - 3(3 - 2x) = 5$$

$$\text{최적화} \quad \begin{cases} y = 50 - x \\ A = xy \end{cases} \ \Rightarrow \ A = x(50 - x)$$

왼쪽은 대수에서 반복해 다룬 것이고 오른쪽은 최적화다. 두 손동작은 완전히 동일하다. "$y = $ 무엇"을 만들어 다른 식에 그대로 대입하는 것이다. 따라서 이 지점에서 막히는 것은 미적분을 다루지 못하는 것이 아니라 대수의 대입법을 꺼내지 못한 것이다.

④단계에서 만나는 제약조건은 대개 세 종류다.

**덧셈 꼴** ($x + y = k$ 형태). 뺄셈 한 번으로 정리된다. 여기서 발생하는 오류는 부호뿐이다.

$$x + y = 30 \ \Rightarrow \ y = 30 - x \ \Rightarrow \ A = x(30 - x)$$

**곱셈 꼴** ($xy = k$ 형태). 나눗셈이 나오므로 분수가 생긴다.

$$xy = 100 \ \Rightarrow \ y = \frac{100}{x} \ \Rightarrow \ P = 2x + 2y = 2x + \frac{200}{x}$$

분수가 나온 지점에서 진행을 멈추는 경우가 많으나, $\dfrac{200}{x}$ 는 $200x^{-1}$ 이다. 지수법칙에 따른 표기이며, 미분할 때는 거듭제곱 규칙이 그대로 적용된다.

**변수가 셋인데 제약이 둘** (상자 문제). 하나를 소거하고 약분한다.

$$\text{부피 } x^2 h = 32 \ \Rightarrow \ h = \frac{32}{x^2}$$

$$S = x^2 + 4xh = x^2 + 4x \cdot \frac{32}{x^2} = x^2 + \frac{128}{x}$$

$4x \times \dfrac{32}{x^2}$ 에서 $x$ 하나가 약분된다. 결과는 유리식이다. 새로 배우는 규칙은 하나도 없고, 적용하는 순서만 새롭다.

### 유리식 문제를 ⑤까지 완결한다

앞의 완결 예제 두 개(둘레 $20$, 강가 밭)는 모두 다항식이었다. 분수가 남는 목적함수는 이것이 처음이므로, 이 상자를 ④에서 멈추지 않고 끝까지 진행한다. 뚜껑 없는 상자, 밑면은 한 변 $x$ 인 정사각형, 부피는 $32$ 세제곱센티미터, 정의역은 $x > 0$ 이다. 위에서 ④까지 진행했다.

$$S(x) = x^2 + \frac{128}{x}, \qquad x > 0$$

**첫째, 분수를 지수 꼴로 고쳐 미분한다.** $\dfrac{128}{x}$ 는 $128x^{-1}$ 이다. 거듭제곱 규칙은 '지수를 앞으로 내리고, 지수에서 $1$ 을 뺀다'이다. 지수가 $-1$ 이므로 앞으로 내려오는 것이 $-1$ 이고, 새 지수는 $-1 - 1 = -2$ 다.

$$\frac{d}{dx}\left(128x^{-1}\right) = 128 \cdot (-1) \cdot x^{-1-1} = -128x^{-2} = -\frac{128}{x^2}$$

지수가 음수여도 규칙은 동일하다. $-1$ 에서 $1$ 을 더 빼면 $-2$ 다. 따라서 도함수는 다음과 같다.

$$S'(x) = 2x - \frac{128}{x^2}$$

**둘째, $S' = 0$ 을 푼다.** 분수가 포함된 방정식은 **분모를 없애는 것**이 첫 단계다. 분모가 $x^2$ 하나뿐이므로 양변에 $x^2$ 을 곱한다. $x > 0$ 이므로 $x^2$ 은 $0$ 이 아니고, 따라서 곱해도 해가 늘거나 줄지 않는다.

$$2x - \frac{128}{x^2} = 0$$

$$(2x)\cdot x^2 - \left(\frac{128}{x^2}\right)\cdot x^2 = 0 \cdot x^2 \quad \Longrightarrow \quad 2x^3 - 128 = 0$$

$$2x^3 = 128 \quad \Longrightarrow \quad x^3 = 64 \quad \Longrightarrow \quad x = 4$$

$\dfrac{128}{x^2}$ 에 $x^2$ 을 곱하면 분모가 소거되어 $128$ 만 남는다. 이 한 줄이 유리방정식 처리의 핵심이다. 그리고 $x^3 = 64$ 에서 $x = 4$ 인 것은 $4 \times 4 \times 4 = 64$ 이기 때문이다. 임계점은 이 하나뿐이다.

**셋째, 되돌려 넣고 검산한다.** 구한 것은 $x$ 뿐이므로, 나머지 문자는 ③단계의 제약조건으로 되돌아가 얻는다.

$$h = \frac{32}{x^2} = \frac{32}{4^2} = \frac{32}{16} = 2$$

검산은 두 번 한다. 먼저 제약이 지켜졌는지 확인한다 — 부피 $x^2h = 16 \times 2 = 32$ ✔. 다음으로 ④단계의 약분이 옳았는지 확인한다 — 겉넓이를 두 방식으로 계산해 같은 값이 나오는지 본다.

$$\text{원래 꼴: } x^2 + 4xh = 16 + 4(4)(2) = 16 + 32 = 48$$

$$\text{한 변수로 줄인 꼴: } x^2 + \frac{128}{x} = 16 + \frac{128}{4} = 16 + 32 = 48$$

두 계산이 일치한다 ✔. $x = 4$ 가 최대가 아니라 최소를 준다는 판정은 앞 절에서 이미 했다 — $S'' = 2 + \dfrac{256}{x^3}$ 이 $x > 0$ 에서 항상 양수다. **답은 밑면 한 변 $4$ cm, 높이 $2$ cm, 최소 겉넓이 $48$ 제곱센티미터다.** 밑면 한 변이 높이의 두 배라는 관계도 함께 확인해 둔다.

이 과정에서 새로 나온 동작은 둘이다. 음의 지수를 미분한 것, 그리고 양변에 $x^2$ 을 곱해 분모를 없앤 것이다. 연습문제의 유리식 문제는 모두 이 둘을 반복한다.

### 어느 쪽이 목적함수이고 어느 쪽이 제약인가

식을 두 개 세운 뒤 어느 쪽을 미분할지 혼동하는 경우가 잦다. 구분 기준은 단순하다. **"최대로" 또는 "최소로"라는 말이 붙은 쪽이 목적함수**다. "전부 쓴다", "부피가 얼마다", "넓이가 얼마다"처럼 **값이 이미 고정된 쪽이 제약조건**이다.

$$\textbf{목적함수} \ = \ \text{최대·최소로 만들고 싶은 것} \ (\text{등호 오른쪽이 숫자가 아니다})$$

$$\textbf{제약조건} \ = \ \text{이미 정해진 것} \ (\text{등호 오른쪽이 숫자다})$$

### 계산이 쉬운 형태로 바꾸어 푼다

직선 $y = -x + 6$ 위의 점 $(x, y)$ 가 원점에서 가장 가까울 때를 구한다. 원점까지의 거리는 $\sqrt{x^2 + y^2}$ 인데, 루트를 미분하려면 연쇄법칙이 필요하다. 그런데 **거리가 최소일 때 거리의 제곱도 최소다.** 둘 다 양수이므로 대소 관계가 보존되기 때문이다. 따라서 거리 대신 거리의 제곱을 구한다.

$$D = x^2 + y^2 = x^2 + (6 - x)^2 = 2x^2 - 12x + 36$$

계산이 쉬운 형태로 문제를 바꾸어 푸는 것은 수학에서 일반적으로 사용하는 방법이다.

한 가지를 더 확인한다. 상자 문제에서 겉넓이를 세울 때 "뚜껑 없는 상자"이면 밑면 하나에 옆면 넷, 곧 다섯 면이다. 여섯 면이 아니다. 문제의 조건을 다시 확인하는 일이 미분보다 중요한 경우가 많다.

## 관련변화율 — 모든 변수를 시간으로 미분한다

관련변화율은 새로운 기술이 아니다. **모든 변수를 시간 $t$ 로 미분하는 연쇄법칙**이다.

자를 벽에 기대 세우고 밑을 바깥으로 밀면 꼭대기는 내려온다. 밑이 움직이는 속도와 꼭대기가 내려오는 속도는 서로 **관련되어** 있다. 그것이 관련변화율이라는 이름의 의미다. 그러나 두 속도가 같지는 않다. 밑이 벽에서 멀어질수록 꼭대기는 더 **빨리** 내려온다. 그 차이를 계산으로 구한다.

절차는 네 단계다.

**①** 변수와 **알고 있는 변화율**을 정리한다.
**②** 변수 사이의 **관계식**을 쓴다.
**③** 양변을 $t$ 로 미분한다 (연쇄법칙).
**④** 그 순간의 값을 **대입**한다.

그리고 다음 한 줄이 이 절차의 핵심이다.

$$\textbf{③ 전에 값을 대입하지 않는다.}$$

이 한 줄이 관련변화율에서 가장 빈번한 오류의 원인이다. 순서를 바꾸면 변수가 상수로 고정되어 식이 성립하지 않는다. 그 이유는 아래에서 확인한다.

### 예제 — 사다리

길이 $5$ m 사다리가 벽에 기대 있다. 밑이 매초 $1$ m씩 벽에서 멀어진다. 밑이 벽에서 $3$ m 떨어진 순간 꼭대기가 내려오는 속도를 구한다.

```{image} /_static/figs/ch31_ladder.svg
:alt: 벽에 기댄 사다리: x²+y²=25
:width: 280px
:align: center
:class: chfig
```

**①** $x$ 를 밑과 벽 사이 거리, $y$ 를 꼭대기 높이라 한다.

$$\frac{dx}{dt} = 1 \ (\text{m/s}), \qquad \frac{dy}{dt} = \ ?$$

**②** 관계식은 피타고라스 정리다. 사다리 길이 $5$ 는 변하지 않는다.

$$x^2 + y^2 = 25$$

**③** 양변을 $t$ 로 미분한다. 이 단계가 연쇄법칙이다.

$$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$$

$x^2$ 을 $t$ 로 미분하면 $2x\dfrac{dx}{dt}$ 가 되는 이유는 $x$ 가 $t$ 의 함수이기 때문이다. 바깥이 제곱, 안쪽이 $x(t)$ 이므로 바깥 미분에 안쪽 미분을 곱한다.

**④** 이제 값을 대입한다. $x = 3$ 일 때 $y$ 는 $3^2 + y^2 = 25$ 에서 $y = 4$ 다.

$$2(3)(1) + 2(4)\frac{dy}{dt} = 0 \ \Rightarrow \ 6 + 8\frac{dy}{dt} = 0 \ \Rightarrow \ \frac{dy}{dt} = -\frac{3}{4} = -0.75 \ (\text{m/s})$$

값이 음수인 것은 꼭대기가 내려오기 때문이다. 답의 부호가 상황과 일치하는지 반드시 확인한다. 여기서 양수가 나왔다면 계산에 오류가 있다. 그리고 밑은 $1$ m/s인데 꼭대기는 $0.75$ m/s다. 두 속도가 서로 다르다는 것이 계산으로 확인된다.

### 왜 ③ 전에 대입하면 안 되는가

빈번한 오류를 재현한다. $x = 3$ 이므로 관계식에 미리 대입하는 경우다.

$$3^2 + y^2 = 25 \quad (\text{먼저 대입})$$

$$\text{양변을 } t \text{ 로 미분:} \quad 0 + 2y\frac{dy}{dt} = 0 \ \Rightarrow \ \frac{dy}{dt} = 0$$

꼭대기가 움직이지 않는다는 결과가 나온다. 사다리가 미끄러지는 상황과 모순이다. 원인은 다음과 같다. $x = 3$ 은 **한 순간의 값**이다. 이 값을 미분 전에 대입하면 "$x$ 는 항상 $3$ 이다", 곧 밑이 움직이지 않는다는 조건을 부과한 것이 된다. 움직이지 않는다고 놓은 뒤 움직이는 속도를 물었으므로 $0$ 이 나온다.

$$\textbf{미분이 끝날 때까지 } x, y \textbf{ 는 변수로 유지한다.}$$

### 예제 — 원의 넓이

수면에 돌을 던지면 물결이 원형으로 퍼진다. 물결의 반지름이 매초 $2$ cm씩 커진다. 반지름이 $5$ cm인 순간 원의 넓이의 변화율을 구한다.

**①** $\dfrac{dr}{dt} = 2$ (cm/s), $\dfrac{dA}{dt} = ?$, 순간의 값 $r = 5$.
**②** $A = \pi r^2$
**③** $\dfrac{dA}{dt} = 2\pi r \dfrac{dr}{dt}$
**④** $\dfrac{dA}{dt} = 2\pi (5)(2) = 20\pi \approx 62.8$ (제곱센티미터/초)

$\pi$ 를 소수로 바꾸지 않는다. $20\pi$ 가 정확한 값이다. 단위도 반드시 쓴다. 넓이의 변화율이므로 단위는 제곱센티미터 매 초다.

### 예제 — 물탱크

반지름 $2$ m인 원기둥 물탱크에 물을 매분 $8\pi$ 세제곱미터씩 붓는다. 수위의 상승 속도를 구한다.

**①** $\dfrac{dV}{dt} = 8\pi$, $\dfrac{dh}{dt} = ?$
**②** $V = \pi r^2 h = \pi (2)^2 h = 4\pi h$ — 반지름은 변하지 않으므로 미리 대입해도 된다.
**③** $\dfrac{dV}{dt} = 4\pi \dfrac{dh}{dt}$
**④** $8\pi = 4\pi \dfrac{dh}{dt} \ \Rightarrow \ \dfrac{dh}{dt} = 2$ (m/분)

여기서 반지름 $2$ 는 미분 전에 대입했다. 원기둥이므로 반지름이 변하지 않기 때문이다. 변하지 않는 값은 상수이고, 상수는 어느 시점에 대입해도 결과가 같다. **변하는 값만** 미분이 끝날 때까지 문자로 유지한다. 그 구분이 이 절차의 전부다.

## 빈번한 오류

:::{admonition} ④단계에서 멈춘다 — 변수를 하나로 못 줄인다
:class: warning
$A = xy$ 까지 쓴 뒤 더 진행하지 못한다. 또는 $A = xy$ 를 그대로 $x$ 로 미분해 $A' = y$ 라고 쓴다. 미적분 문제로 인식해 미적분 도구만 찾기 때문이다. 실제로 필요한 것은 대입법인데, 그것이 앞 단원의 내용이어서 지금 사용할 도구 목록에 포함되지 않는다. 도구가 없는 것이 아니라 **도구가 단원별로 분리되어 있는** 상태다. 옆에 연립방정식 두 줄 $y = 50 - x$, $A = xy$ 를 놓고 위 식을 아래 식에 대입하면 $A = x(50-x)$ 가 된다. 미적분의 문제가 아니라 대수의 대입법을 꺼내지 못한 것이고, 한 번 연결되면 이후에는 같은 지점에서 막히지 않는다.

*확인 문제*: $xy = 36$ 일 때 $P = 2x + 2y$ 를 $x$ 만의 식으로. (답: $P(x) = 2x + \dfrac{72}{x}$, $x > 0$.)
:::

:::{admonition} 임계점을 구하면 끝났다고 판단한다
:class: warning
구간의 최댓값을 묻는 문제에서 임계점의 함숫값을 그대로 최댓값으로 쓴다. 극값은 "그 근처에서의 최고"인데 요구된 것은 "구간 전체의 최고"다. 두 개념의 이름이 유사해 하나로 뭉개진 것이다. 또한 교과서 예제의 상당수가 극값과 최댓값이 일치하는 경우여서 구분이 훈련되지 않는다. 임계점의 값과 양 끝점의 값을 비교표로 세로로 나열하고 그중 최대·최소를 고른다. 비교표를 만들지 않으면 최댓값이 끝점에 있는 경우를 놓친다.

*확인 문제*: $f(x) = x^2 - 4x + 1$ 의 구간 $[0, 5]$ 에서 최댓값·최솟값. (답: 최댓값 $6$($x=5$, 끝점), 최솟값 $-3$($x=2$).)
:::

:::{admonition} 관련변화율에서 미분 전에 값을 대입한다
:class: warning
$x^2 + y^2 = 25$ 에 $x = 3$ 을 먼저 대입하고 $9 + y^2 = 25$ 를 미분해 $\dfrac{dy}{dt} = 0$ 을 얻는다. 지금까지 다룬 모든 방정식에서는 "아는 값은 먼저 대입한다"가 유효한 방침이었으나, 여기서는 그 방침이 정확히 반대로 작동한다. 잘못된 방침이 아니라 **이 유형에서만 적용되지 않는** 방침이다. 변하는 값은 미분이 끝날 때까지 문자로 유지하고, 변하지 않는 값(사다리 길이 $5$, 원기둥 반지름 $2$)만 처음부터 숫자로 대입한다.

*확인 문제*: 원기둥 물탱크 문제에서 반지름 $2$ 는 왜 미리 대입해도 되나? (답: 원기둥이라 반지름이 변하지 않아 상수이기 때문.)
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:::{admonition} 목적함수와 제약조건을 뒤바꾼다
:class: warning
티켓 문제에서 관객 수 $(120 - 2x)$ 를 최대로 만들려 한다. 울타리 문제에서 둘레 $2x + 2y$ 를 미분한다. 두 식은 모두 옳게 세웠으나 **미분할 대상을 잘못 선택했다.** ①단계를 생략해 두 식 중 어느 쪽이 목표인지가 종이에 기록되지 않았기 때문이다. 기록하지 않은 구분은 유지되지 않는다. ①단계를 한국어로 쓴다. "총수입을 최대로." 이 여섯 글자면 된다. 그리고 등호 오른쪽에 숫자가 있으면 제약조건, 없으면 목적함수다.

*확인 문제*: 울타리 $60$ m로 세 면을 친다. 목적함수와 제약조건을 각각 쓰라. (답: 목적 $A = xy$, 제약 $2x + y = 60$.)
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## 연습문제

계산기를 사용하지 않는다. 모든 문항에 ①부터 번호를 쓰고 시작한다. 답에 도달하지 못해도 ①과 ②까지 기록되어 있으면 그 문항은 절반까지 진행된 것이다. `A` 기본 · `B` 표준 · `C` 도전.

1. `A` 합이 $16$ 인 두 양수의 곱이 최대가 되게 하라. 두 수와 최댓값을 쓰라.
2. `A` 둘레가 $24$ m인 직사각형의 최대 넓이를 구하라.
3. `A` **식만 세워라(④단계까지).** 둘레가 $40$ m인 직사각형의 넓이를 한 변 $x$ 만의 식으로 나타내고 **정의역**을 쓰라.
4. `A` **식만 세워라(③단계까지).** 원의 반지름 $r$ 이 시간에 따라 변한다. $A = \pi r^2$ 의 양변을 $t$ 로 미분한 식을 쓰라.
5. `A` 원의 반지름이 매초 $2$ cm씩 커진다. 반지름이 $3$ cm인 순간 넓이의 변화율을 구하라.
6. `B` $f(x) = x^3 - 3x$ 의 구간 $[0, 3]$ 에서의 **최댓값과 최솟값**을 구하라. (임계점만 보고 끝내지 말 것)
7. `B` 한쪽이 강이라 세 면만 치는 밭에 울타리 $100$ m를 쓴다. 최대 넓이와 그때의 가로·세로를 구하라.
8. `B` 뚜껑 없는 상자를 만든다. 밑면은 정사각형이고 부피는 $500$ 세제곱센티미터다. 겉넓이가 최소가 되는 밑면 한 변의 길이와 높이, 그리고 최소 겉넓이를 구하라.
9. `B` 길이 $5$ m 사다리가 벽에 기대 있다. 밑이 매초 $1$ m씩 멀어질 때, 밑이 벽에서 **$4$ m** 떨어진 순간 꼭대기가 내려오는 속도를 구하라.
10. `B` 반지름 $2$ m인 원기둥 물탱크에 매분 $12\pi$ 세제곱미터의 물을 붓는다. 수위 상승 속도를 구하라.
11. `B` 어떤 공연의 티켓 가격이 $x$ 만원일 때 관객 수가 $(120 - 2x)$ 명이다. 총수입을 최대로 하는 가격, 그때의 관객 수, 그때의 총수입을 구하라.
12. `C` 한 변이 $12$ cm인 정사각형 종이의 네 귀퉁이에서 한 변 $x$ 인 정사각형을 잘라내고 접어 올려 뚜껑 없는 상자를 만든다. 부피가 최대가 되는 $x$ 와 최대 부피를 구하라. **정의역을 반드시 쓸 것.**
13. `C` 구 모양 풍선에 공기를 매초 $100\pi$ 세제곱센티미터씩 넣는다. 반지름이 $5$ cm인 순간 (1) 반지름이 커지는 속도와 (2) 겉넓이가 커지는 속도를 구하라. ($V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$, $S = 4\pi r^2$)
14. `C` 최적화 5단계 중 **④단계가 왜 관문인지**, 그리고 ④단계가 어떤 대수 기법과 같은 동작인지 두 문장으로 쓰라.

:::{admonition} 정답과 해설
:class: dropdown
1. **$8$ 과 $8$, 최댓값 $64$** — $P(x) = x(16-x)$, $P' = 16 - 2x = 0$, $x = 8$. $P'' = -2 < 0$.
2. **$36$ 제곱미터** (한 변 $6$ m인 정사각형) — $A(x) = x(12-x)$, $0 < x < 12$, $A' = 12 - 2x = 0$, $x = 6$.
3. $A(x) = x(20-x) = 20x - x^2$, **정의역 $0 < x < 20$.** 정의역을 쓰지 않으면 풀이가 완결되지 않는다.
4. $\dfrac{dA}{dt} = 2\pi r \dfrac{dr}{dt}$ — **이렇게 틀린다**: $\dfrac{dA}{dt} = 2\pi r$ 이라고 쓴다. $\dfrac{dr}{dt}$ 가 빠지면 연쇄법칙을 적용하지 않은 것이다.
5. **$12\pi$ 제곱센티미터/초** — $2\pi(3)(2) = 12\pi$. 약 $37.7$.
6. $f' = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$. 임계점 $x = \pm 1$ 중 **구간 안에 있는 것은 $x = 1$ 뿐**이다($x = -1$ 은 $[0,3]$ 밖이므로 제외한다). 세 값을 비교한다. $f(0) = 0$, $f(1) = -2$, $f(3) = 18$. **최댓값 $18$(끝점 $x=3$), 최솟값 $-2$($x=1$).** **이렇게 틀린다**: 임계점 $x=1$ 만 보고 "최댓값 $-2$"라고 쓴다. 최댓값은 **끝점에 있다.**
7. $2x + y = 100$ → $y = 100 - 2x$, $A(x) = x(100 - 2x)$, $0 < x < 50$. $A' = 100 - 4x = 0$, $x = 25$, $y = 50$. **가로(강과 평행) $50$ m, 세로 $25$ m, 최대 넓이 $1250$ 제곱미터.** 정사각형이 아니다.
8. $x^2 h = 500$ → $h = \dfrac{500}{x^2}$. $S = x^2 + 4xh = x^2 + \dfrac{2000}{x}$. 미분은 $\dfrac{2000}{x} = 2000x^{-1}$ 로 고쳐 놓고 하면 $-2000x^{-2}$, 곧 $S' = 2x - \dfrac{2000}{x^2}$. 이제 $S' = 0$ 을 푸는데, **양변에 $x^2$ 을 곱해 분모부터 없앤다**($x > 0$ 이므로 곱해도 해가 변하지 않는다). $2x^3 - 2000 = 0$ → $2x^3 = 2000$ → $x^3 = 1000$ → $x = 10$. $h = \dfrac{500}{100} = 5$. **한 변 $10$ cm, 높이 $5$ cm, 최소 겉넓이 $300$ 제곱센티미터.** 검산: $100 + 4(10)(5) = 300$ ✔ 정의역 $x>0$ 에는 끝점이 없으므로 최소 판정은 2계도함수로 한다: $S'' = 2 + \dfrac{4000}{x^3} > 0$ 이므로 아래로 볼록이고, 임계점이 최소다. 밑면 한 변이 높이의 **두 배**라는 관계도 함께 확인한다.
9. $2x\dfrac{dx}{dt} + 2y\dfrac{dy}{dt} = 0$. $x = 4$ → $y = 3$. $2(4)(1) + 2(3)\dfrac{dy}{dt} = 0$ → $\dfrac{dy}{dt} = -\dfrac{4}{3}$ **약 $-1.33$ m/s.** 밑이 $3$ m일 때($-0.75$)와 비교하면 **더 빠르다.** 벽에서 멀어질수록 꼭대기는 빨리 내려온다.
10. $V = 4\pi h$ → $\dfrac{dV}{dt} = 4\pi\dfrac{dh}{dt}$ → $12\pi = 4\pi\dfrac{dh}{dt}$ → **$3$ m/분.**
11. $R(x) = x(120 - 2x) = 120x - 2x^2$. $R' = 120 - 4x = 0$, $x = 30$. **가격 $30$ 만원, 관객 $60$ 명, 총수입 $1800$ 만원.** 정의역은 $0 < x < 60$(관객 수가 양수여야 한다). **이렇게 틀린다**: 관객 수를 최대로 만들려고 한다. 최대로 만들 대상은 **총수입**이다. ①단계를 한국어로 쓰지 않으면 이 오류가 발생한다.
12. $V(x) = x(12 - 2x)^2$, **정의역 $0 < x < 6$**(잘라내는 정사각형이 종이 절반을 넘을 수 없다). $V' = (12-2x)^2 + x \cdot 2(12-2x)(-2) = (12-2x)\{(12-2x) - 4x\} = (12-2x)(12-6x)$. 임계점 $x = 6$(정의역 밖이므로 제외한다), $x = 2$. **$x = 2$ cm, 최대 부피 $2 \times 8^2 = 128$ 세제곱센티미터.** 끝점 확인: $x \to 0$ 과 $x \to 6$ 에서 $V \to 0$. **이렇게 틀린다**: $x = 6$ 을 답으로 쓴다. 그 경우 밑변이 $0$ 이 되어 상자가 만들어지지 않는다.
13. (1) $\dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$ → $100\pi = 4\pi(25)\dfrac{dr}{dt}$ → **$\dfrac{dr}{dt} = 1$ cm/s.** (2) $\dfrac{dS}{dt} = 8\pi r\dfrac{dr}{dt} = 8\pi(5)(1) = $ **$40\pi$ 제곱센티미터/초.** (2)는 (1)의 답을 사용해야 풀린다 — 관련변화율 문제는 이런 방식으로 연결된다.
14. 예시 답안: "④단계는 변수가 둘인 목적함수를 제약조건을 써서 한 변수로 줄이는 단계다. 두 변수가 남아 있으면 미분 자체를 할 수 없으므로 여기를 넘지 못하면 ⑤로 갈 수 없다. 이 동작은 연립방정식의 **대입법**과 완전히 같다 — 한 식을 '$y = $ 무엇' 꼴로 만들어 다른 식에 대입하는 것." 핵심은 **"한 변수로"**와 **"대입법"** 두 단어다.
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### 추가 연습문제

이 절의 문항은 직접 푼다. 여기서도 번호부터 쓰고, 정의역은 매번 쓴다.

**식 세우기만 — 미분하지 않는다.** 종이에 남길 것은 목적함수를 한 변수로 만든 식, 그림, 그리고 정의역이다.

1. 둘레가 $50$ m인 직사각형의 넓이를 한 변 $x$ 만의 식으로 나타내고 정의역을 쓰라.
2. 합이 $30$ 인 두 양수의 곱을 $x$ 만의 식으로 나타내고 정의역을 쓰라.
3. 넓이가 $64$ 제곱미터인 직사각형의 둘레를 $x$ 만의 식으로 나타내고 정의역을 쓰라.
4. 뚜껑 없는 상자의 밑면이 한 변 $x$ 인 정사각형이고 부피가 $108$ 세제곱센티미터다. 겉넓이를 $x$ 만의 식으로 나타내라.

**기본 최적화.**

5. 합이 $18$ 인 두 양수의 곱의 최댓값을 구하라.
6. 둘레가 $28$ m인 직사각형의 최대 넓이를 구하라.
7. 차가 $10$ 인 두 수의 곱의 **최솟값**을 구하라.
8. 넓이가 $36$ 제곱미터인 직사각형의 둘레의 **최솟값**을 구하라.
9. 3번에서 세운 식의 답을 마저 구하라. (둘레가 최소가 되는 한 변의 길이와 최소 둘레)

**정의역·끝점·응용.**

10. $f(x) = x^2 - 4x + 1$ 의 구간 $[0, 5]$ 에서의 최댓값과 최솟값을 구하라. **세 값 비교표를 만들 것.**
11. $f(x) = x^3 - 3x^2$ 의 구간 $[-1, 4]$ 에서의 최댓값과 최솟값을 구하라.
12. 한쪽이 강이라 세 면만 치는 밭에 울타리 $80$ m를 쓴다. 최대 넓이와 그때의 가로·세로를 구하라.
13. 한 변이 $18$ cm인 정사각형 종이의 네 귀퉁이에서 한 변 $x$ 인 정사각형을 잘라내고 접어 올려 뚜껑 없는 상자를 만든다. 부피가 최대가 되는 $x$ 와 최대 부피를 구하라. 정의역을 반드시 쓸 것.

**문장제·자기 점검.**

14. 어떤 상품의 가격이 $x$ 만원일 때 판매량이 $(90 - 3x)$ 개다. 총수입을 최대로 하는 가격, 그때의 판매량, 그때의 총수입을 구하라.
15. 최적화 5단계를 번호와 함께 **보지 않고** 순서대로 쓰라. 그다음 자신이 가장 자주 막히는 단계에 별표를 치고, 왜 그 단계에서 막히는지 한 줄로 쓰라.

:::{admonition} 정답과 해설
:class: dropdown
1. $A(x) = x(25 - x) = 25x - x^2$, **정의역 $0 < x < 25$.**
2. $P(x) = x(30 - x) = 30x - x^2$, **정의역 $0 < x < 30$.**
3. $xy = 64$ → $y = \dfrac{64}{x}$, $P(x) = 2x + \dfrac{128}{x}$, **정의역 $x > 0$.**
4. $x^2 h = 108$ → $h = \dfrac{108}{x^2}$, $S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + \dfrac{432}{x}$, **정의역 $x > 0$.** **이렇게 틀린다**: 뚜껑을 세어 $2x^2 + \dfrac{432}{x}$ 로 쓴다. 뚜껑은 없다.
5. **$81$** — $P(x) = x(18 - x)$, $P' = 18 - 2x = 0$, $x = 9$. 두 수는 $9$ 와 $9$.
6. **$49$ 제곱미터** — $A(x) = x(14 - x)$, $x = 7$. 한 변 $7$ m인 정사각형.
7. **$-25$** — 두 수를 $x$, $x - 10$ 이라 하면 $P(x) = x(x-10) = x^2 - 10x$. $P' = 2x - 10 = 0$, $x = 5$. 두 수는 $5$ 와 $-5$, 곱은 $-25$. $P'' = 2 > 0$ 이므로 극소. **이렇게 틀린다**: "곱의 최소는 없다"고 답한다. 두 수의 **차**가 고정이면 곱에는 최솟값이 있다.
8. **$24$ m** — $P(x) = 2x + \dfrac{72}{x}$, $P' = 2 - \dfrac{72}{x^2} = 0$. 양변에 $x^2$ 을 곱해 $2x^2 - 72 = 0$ → $x^2 = 36$ → $x = 6$($x > 0$). $P(6) = 12 + 12 = 24$. 한 변 $6$ m인 정사각형. 끝점이 없는 정의역이므로 $P'' = \dfrac{144}{x^3} > 0$ 으로 최소임을 확인한다.
9. **한 변 $8$ m, 최소 둘레 $32$ m** — $P' = 2 - \dfrac{128}{x^2} = 0$. 양변에 $x^2$ 을 곱해 $2x^2 = 128$ → $x^2 = 64$ → $x = 8$. $P(8) = 16 + 16 = 32$. 여기서도 $P'' = \dfrac{256}{x^3} > 0$ 이므로 최소다. 5~9번에서 계속 정사각형이 나오는 것은 우연이 아니다.
10. $f' = 2x - 4 = 0$ → $x = 2$(구간 안). 비교표: $f(0) = 1$, $f(2) = -3$, $f(5) = 6$. **최댓값 $6$($x=5$, 끝점), 최솟값 $-3$($x=2$).** **이렇게 틀린다**: 임계점 $x=2$ 만 보고 $-3$ 이 답이라고 쓴다. **최댓값은 끝점에 있다.**
11. $f' = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$ → 임계점 $x = 0, 2$(둘 다 구간 안). 비교표: $f(-1) = -4$, $f(0) = 0$, $f(2) = -4$, $f(4) = 16$. **최댓값 $16$($x=4$, 끝점), 최솟값 $-4$($x=-1$ 과 $x=2$ 에서 공동).** 최솟값을 주는 점이 두 개일 수 있다는 것도 여기서 확인된다 — 하나는 끝점, 하나는 극소다.
12. $2x + y = 80$ → $y = 80 - 2x$, $A(x) = x(80 - 2x)$, $0 < x < 40$. $A' = 80 - 4x = 0$, $x = 20$, $y = 40$. **가로(강과 평행) $40$ m, 세로 $20$ m, 최대 넓이 $800$ 제곱미터.**
13. $V(x) = x(18 - 2x)^2$, **정의역 $0 < x < 9$.** $V' = (18-2x)\{(18-2x) - 4x\} = (18-2x)(18-6x)$. 임계점 $x = 9$(정의역 밖이므로 제외한다), $x = 3$. **$x = 3$ cm, 최대 부피 $3 \times 12^2 = 432$ 세제곱센티미터.** **이렇게 틀린다**: 정의역을 쓰지 않아 $x = 9$ 를 답으로 쓴다. 그 경우 종이가 전부 잘려나가 상자가 남지 않는다.
14. $R(x) = x(90 - 3x) = 90x - 3x^2$, 정의역 $0 < x < 30$. $R' = 90 - 6x = 0$, $x = 15$. **가격 $15$ 만원, 판매량 $45$ 개, 총수입 $675$ 만원.** **이렇게 틀린다**: 판매량을 최대로 만들려고 가격을 $0$ 으로 놓는다. 최대로 만들 대상은 **총수입**이다. ①단계를 한국어로 썼다면 이 오류는 발생하지 않는다.
15. ① 무엇을 최대·최소로 만드는가를 말로 쓴다 ② 변수를 정하고 그림을 그린다 ③ 제약조건을 식으로 쓴다 ④ 제약을 이용해 목적함수를 한 변수로 만든다 ⑤ 미분해서 임계점을 찾고 정의역과 끝점까지 비교한다. — 이 절차에서 가장 자주 막히는 단계는 ④다.
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## 요약과 다음 장

이 장의 핵심은 최적화 5단계다. 그중 관문은 ④단계, 곧 목적함수를 한 변수로 줄이는 단계이고, 그 동작은 대수의 대입법과 완전히 같다. 미분은 마지막 한 줄이다. 임계점을 찾은 것으로 끝나지 않고 정의역과 끝점까지 비교해야 구간 전체의 최댓값·최솟값이 확정된다. 관련변화율은 모든 변수를 시간으로 미분하는 연쇄법칙이며, 미분이 끝나기 전에는 순간의 값을 대입하지 않는다.

앞의 여덟 장에서는 접선을 다루었다. 순간의 기울기, 순간의 속도, 봉우리와 골짜기가 그 내용이다. 다음 장에서는 성격이 다른 문제를 다룬다. **곡선 아래의 넓이**다. 직사각형과 삼각형의 넓이는 이미 알고 있으나, 포물선 아래의 넓이는 그 방법으로 구할 수 없다. 이것은 이천 년 넘게 다루어진 문제다. [제32장](ch32.md)에서 적분을 새로 시작한다.