# 제28장 · 미분 규칙 ② — 곱·몫의 법칙 :::{admonition} 이 장 :class: seealso | | | |---|---| | **원본 코드** | R3-W08 | | **선행 내용** | 제27장 — 미분 규칙 ① (거듭제곱·상수배·합) | | **요지** | 곱의 미분은 $(fg)' = f'g + fg'$ 이지 $f'g'$ 가 아니다. | ::: ## 도입 규칙을 서술하기 전에 다음 물음을 검토한다. 두 함수의 곱을 미분할 때, 각각을 따로 미분하여 그 둘을 곱한 것이 답이 되는지 여부다. 즉 $$(f \cdot g)' \ = \ f' \cdot g' \ ?$$ 이 형태를 답으로 택하는 경우가 많다. 바로 앞 장에서 합의 미분이 이 구조를 따랐기 때문이다. $(f+g)' = f' + g'$ 이므로 합은 각 항을 따로 미분하여 더하면 성립한다. 곱에도 같은 구조가 적용될 것으로 예상하기 쉽다. 이를 확인한다. 가장 단순한 곱 $x \cdot x$ 를 두 가지 방법으로 미분한다. 먼저 "각각 미분해서 곱하기"를 적용하면, $x$ 의 도함수가 $1$ 이므로 $1 \times 1 = 1$ 이다. 한편 $x \cdot x$ 는 $x^2$ 이고, $x^2$ 의 도함수는 앞 장에서 확인한 대로 $2x$ 이다. $$(x \cdot x)' = 2x \qquad \text{그런데} \qquad x' \cdot x' = 1 \cdot 1 = 1$$ $$1 \ \ne \ 2x$$ 같은 함수를 두 방법으로 계산한 결과가 서로 다르다. 한 함수의 도함수는 하나뿐이므로 두 결과가 다를 수 없다. $x \cdot x = x^2$ 은 성립하므로, 틀린 쪽은 "각각 미분해서 곱하기"이다. $x=1$ 을 대입하면 한쪽은 $2$, 다른 쪽은 $1$ 로 두 배 차이가 나고, $x=5$ 이면 $10$ 과 $1$ 로 열 배 차이가 난다. 근삿값의 오차가 아니라 서로 다른 함수이다. 곱의 미분은 각 인수를 따로 미분하여 곱하는 것이 아니다. 이 장의 요지는 다음과 같다: **$(fg)' = f'g + fg'$ 이지 $f'g'$ 가 아니다.** 이러한 불일치는 앞에서도 나타났다. 제곱근에서 $\sqrt{a+b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$ 였고, 제곱에서 $(a+b)^2 \ne a^2 + b^2$ 였다. **연산을 부분으로 나누어 따로 수행한 뒤 다시 합칠 수 있다는 가정은, 덧셈과 같은 일부 경우를 제외하면 대개 성립하지 않는다.** 곱셈도 여기에 해당한다. ## 넓이 그림에서 곱의 법칙을 얻는다 $(fg)'$ 이 $f'g'$ 이 아니라면 그 값이 무엇인지를 넓이 모형으로 확인한다. 가로가 $f$, 세로가 $g$ 인 직사각형의 넓이는 $fg$ 이다. $f$ 와 $g$ 는 둘 다 $x$ 에 따라 변하는 함수이므로, $x$ 가 미소량만큼 움직이면 **가로와 세로가 동시에 증가한다.** 이때 넓이의 증가량을 계산한다. ```{image} /_static/figs/ch28_prodgrid.svg :alt: 곱의 법칙을 넓이로: (fg)'=f'g+fg' :width: 320px :align: center :class: chfig ``` 그림에서 `df` 는 가로의 증가량 $\Delta f$, `dg` 는 세로의 증가량 $\Delta g$ 이다. 새로 생긴 넓이는 세 조각이다. 오른쪽의 세로로 긴 띠는 세로가 $g$, 가로가 $\Delta f$ 이므로 넓이가 $g\,\Delta f$ 이다. 아래쪽의 가로로 긴 띠는 가로가 $f$, 세로가 $\Delta g$ 이므로 넓이가 $f\,\Delta g$ 이다. 오른쪽 아래 모서리의 작은 직사각형은 넓이가 $\Delta f\,\Delta g$ 이다. $$\Delta(fg) = g\,\Delta f + f\,\Delta g + \Delta f\,\Delta g$$ **그림은 한 경우만 나타내지만 식은 모든 경우에 성립한다.** 그림은 $f>0$, $g>0$ 이면서 둘 다 증가하는 경우를 나타낸다. 세로가 감소하는 경우, 곧 $\Delta g$ 가 음수인 경우에는 아래 띠의 넓이 $f\,\Delta g$ 가 음수로 계산되어 그만큼 **감산된다.** 더하는 자리에 음수가 들어가므로 결과적으로 빼는 것이 되고, 식은 부호를 그대로 유지한 채 성립한다. 식을 수정할 필요가 없다. 그림이 나타내는 것은 한 경우이지만, 식은 증감의 네 경우를 모두 포함한다. 이를 수치로 확인한다. 뒤의 연습문제 11번이 이 상황에 해당한다. 도시의 인구 $P$ 는 증가하고, 한 사람이 쓰는 물의 양 $c$ 는 감소한다. 전체 사용량 $Pc$ 의 변화율은 두 띠의 합이다. | 띠 | 계산 | 뜻 | |---|---|---| | $P'c$ | $50 \times 3 = +150$ | 인구가 늘어 **생긴** 띠 | | $Pc'$ | $1000 \times (-0.1) = -100$ | 사용량이 줄어 **빠진** 띠 | | 합 | $150 - 100 = +50$ | 전체는 증가한다 | 한 띠는 증가분이고 다른 띠는 감소분이며, 증가분이 더 크므로 전체는 증가한다. 각 항의 부호를 그대로 두고 더하면, 그림으로 나타내지 못하는 경우까지 식이 처리한다. 여기서 다음을 확인할 수 있다. **각각 미분해서 곱하는 계산은 이 두 띠 $g\,\Delta f$ 와 $f\,\Delta g$ 를 모두 누락시킨다.** 도입에서 두 답이 어긋난 원인이 이 두 조각이다. 이제 전체를 $h$ 로 나눈다. $h$ 는 $x$ 의 미소 증가량이다. $$\frac{\Delta(fg)}{h} = g \cdot \frac{\Delta f}{h} + f \cdot \frac{\Delta g}{h} + \frac{\Delta f \cdot \Delta g}{h}$$ $\dfrac{\Delta f}{h}$ 는 $h \to 0$ 에서 $f'$ 가 된다. 도함수의 정의 그대로다. $\dfrac{\Delta g}{h}$ 도 마찬가지로 $g'$ 가 된다. 세 번째 항은 다음과 같이 정리된다. $\Delta f \approx f' h$, $\Delta g \approx g' h$ 이므로 $$\frac{\Delta f \cdot \Delta g}{h} \approx \frac{f'g'\,h^2}{h} = f'g'\,h$$ $h$ 가 하나 남는다. 따라서 $h \to 0$ 에서 **이 항은 $0$ 으로 수렴한다.** 모서리 조각은 가로와 세로가 동시에 작아지므로, 한 방향으로만 작아지는 두 띠보다 훨씬 빠르게 $0$ 에 가까워진다. 그러므로 극한에서 이 항은 기여하지 않는다. 남는 것은 두 개의 띠다. $$(f \cdot g)' = f'g + fg'$$ 말로 서술하면 **앞을 미분하고 뒤는 그대로, 더하기, 앞은 그대로 뒤를 미분**이다. 항은 한 개가 아니라 두 개다. 두 항은 덧셈으로 결합되므로 **순서를 바꾸어도 값이 같다.** $fg' + f'g$ 로 써도 동일하다. 뒤에 서술할 몫의 법칙은 이와 다르므로 미리 구별해 둔다. 도입의 반례로 돌아가 확인한다. $f = x$, $g = x$ 로 놓으면 $$(x \cdot x)' = 1 \cdot x + x \cdot 1 = 2x$$ $x^2$ 으로 합쳐서 구한 결과와 같다. 띠가 두 개이므로 $x$ 가 두 번 나타난다. **예제 1.** $y = (x^2+1)(x-3)$ 을 미분한다. 먼저 각각의 도함수를 옆에 적어 두고 시작한다. 이 절차는 항의 누락과 부호 오류를 줄인다. $$f = x^2+1, \quad f' = 2x, \qquad g = x-3, \quad g' = 1$$ $$y' = 2x(x-3) + (x^2+1)(1) = 2x^2 - 6x + x^2 + 1 = 3x^2 - 6x + 1$$ **검산한다.** 전개할 수 있는 곱이라면, 먼저 전개한 뒤 앞 장의 규칙으로 미분해도 같은 결과가 나와야 한다. $$(x^2+1)(x-3) = x^3 - 3x^2 + x - 3 \ \Rightarrow \ y' = 3x^2 - 6x + 1$$ 두 결과가 같다. 전개할 수 있는 곱이라면 두 방법은 반드시 같은 결과를 준다. 결과가 다르면 계산에 오류가 있다. **예제 2.** $y = (2x+1)(x^2-4)$. $$f' = 2, \qquad g' = 2x$$ $$y' = 2(x^2-4) + (2x+1)(2x) = 2x^2 - 8 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 8$$ 검산: 전개하면 $2x^3 + x^2 - 8x - 4$, 미분하면 $6x^2 + 2x - 8$. 두 결과가 같다. **예제 3.** $y = x^2 \cdot x^3$. 이 식은 곱의 법칙 없이 $x^5$ 으로 합쳐서 미분할 수 있다. 곱의 법칙으로도 계산하면 두 규칙이 서로 모순되지 않음을 확인할 수 있다. $$y' = 2x \cdot x^3 + x^2 \cdot 3x^2 = 2x^4 + 3x^4 = 5x^4$$ $x^5$ 의 도함수도 $5x^4$ 이므로 두 결과가 일치한다. 각각 미분해서 곱하면 $2x \cdot 3x^2 = 6x^3$ 이 되어 여기서도 성립하지 않는다. ## 몫의 법칙은 곱의 법칙에서 나온다 다음은 $\dfrac{f}{g}$ 의 도함수다. 새로운 공식을 따로 도입하지 않고 이미 확립된 규칙에서 유도한다. $q = \dfrac{f}{g}$ 로 놓으면 $f = q \cdot g$ 이다. 양변을 미분한다. 우변은 곱이므로 **앞에서 얻은 곱의 법칙**을 적용한다. $$f' = q'g + qg'$$ $q'$ 에 대해 푼다. $$q'g = f' - qg' = f' - \frac{f}{g}g'$$ $$q' = \frac{f'}{g} - \frac{fg'}{g^2} = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$ 마지막 줄은 통분이며, 새로 도입한 규칙은 없다. 곱의 법칙 하나에서 유도된 결과다. $$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$ 말로 서술하면 **아래는 그대로 제곱, 위는 앞미분 곱하기 뒤, 빼기, 앞 곱하기 뒤미분**이다. 곱의 법칙과 나란히 놓고 차이를 확인한다. $$(fg)' = f'g + fg' \qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$ 위는 **덧셈**, 아래는 **뺄셈**이다. 위는 두 항의 순서를 바꾸어도 값이 같지만, 아래는 순서를 바꾸면 부호가 반대가 된다. 뺄셈에서는 항의 순서가 결과를 결정한다. 또한 아래는 분모에 $g^2$ 이 붙는다. **예제 4.** $y = \dfrac{x}{x+1}$. $$f = x, \ f' = 1, \qquad g = x+1, \ g' = 1$$ $$y' = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$$ 분자가 $1$ 로 정리된다. **분자는 끝까지 정리한다. 정리된 형태까지가 답이다.** 결과를 검증한다. $\dfrac{x}{x+1}$ 은 $x$ 가 커질수록 $1$ 에 가까워지면서 증가하는 함수이므로 도함수는 항상 양수여야 한다. $\dfrac{1}{(x+1)^2}$ 은 항상 양수이므로 결과가 일치한다. **예제 5.** $y = \dfrac{x^2+3}{x-1}$. $$f' = 2x, \qquad g' = 1$$ $$y' = \frac{2x(x-1) - (x^2+3)(1)}{(x-1)^2}$$ **괄호를 반드시 표기한다.** $(x^2+3)$ 앞에 뺄셈이 있다. 괄호 없이 쓰면 $+3$ 의 부호가 틀린다. $$= \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 3}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2}$$ 분자를 인수분해하면 $(x-3)(x+1)$ 이다. 분모 $(x-1)^2$ 과 공통인수가 없으므로 약분되지 않는다. 이 형태가 최종 결과다. ## 쉬운 값을 대입하여 공식을 검증한다 몫의 법칙에서 분자의 항 순서는 기억에 의존하기 어렵다. $f'g$ 와 $fg'$ 는 형태가 유사하여 표기만으로는 구별되지 않는다. 이 경우 **결과가 이미 알려진 가장 단순한 예를 대입하여 확인한다.** $f = x$, $g = 1$ 로 둔다. 그러면 $\dfrac{f}{g} = \dfrac{x}{1} = x$ 이고, 이 함수의 도함수는 $1$ 이다. 공식에 대입한다 ($f' = 1$, $g' = 0$). $$\frac{f'g - fg'}{g^2} = \frac{1 \cdot 1 - x \cdot 0}{1^2} = \frac{1}{1} = 1 \qquad \text{맞다}$$ 다음으로 항의 순서를 뒤집은 식을 대입한다. $$\frac{fg' - f'g}{g^2} = \frac{x \cdot 0 - 1 \cdot 1}{1^2} = \frac{-1}{1} = -1 \qquad \text{틀렸다}$$ $x$ 의 도함수는 $-1$ 이 아니므로 이 식은 틀렸다. 대입 한 번으로 항의 순서가 뒤집혔음이 확인된다. **공식의 형태가 불확실할 때 이 절차로 올바른 형태를 복원할 수 있다.** 이 방법은 미분에 한정되지 않고 수학 전반에서 사용된다. 식의 형태가 불확실하면 결과가 알려진 값을 대입하여 검증한다. ## 근호가 섞이면 마지막에 통분 한 줄이 필요하다 앞의 예제는 전부 다항식이므로 곱의 법칙을 적용한 뒤 전개하면 정리가 끝난다. 근호가 하나 섞이면 마지막 정리 과정이 달라진다. 분모가 서로 다른 두 항이 나오기 때문이다. **예제 6.** $y = x\sqrt{x}$. **① 네 개를 먼저 적는다.** $$f = x, \ f' = 1, \qquad g = \sqrt x = x^{1/2}, \ g' = \frac{1}{2\sqrt x}$$ **② 곱의 법칙을 쓴다.** $$y' = 1 \cdot \sqrt x + x \cdot \frac{1}{2\sqrt x} = \sqrt x + \frac{x}{2\sqrt x}$$ **③ 통분한다.** 앞항은 분모가 없고 뒷항은 분모가 $2\sqrt x$ 다. 두 항의 분모를 $2\sqrt x$ 로 맞춘다. $\sqrt x \cdot 2\sqrt x = 2x$ 이므로 $$\sqrt x = \frac{2x}{2\sqrt x}$$ 이다. 이제 두 항의 분모가 같아졌다. $$y' = \frac{2x}{2\sqrt x} + \frac{x}{2\sqrt x} = \frac{2x + x}{2\sqrt x} = \frac{3x}{2\sqrt x}$$ 한 번 더 줄일 수 있다. $\dfrac{x}{\sqrt x} = \sqrt x$ 이므로 $$y' = \frac{3\sqrt x}{2}$$ **④ 검산한다.** $x\sqrt x = x \cdot x^{1/2} = x^{3/2}$ 으로 합쳐서 거듭제곱 규칙으로 미분한다. $$\left(x^{3/2}\right)' = \frac32 x^{1/2} = \frac{3\sqrt x}{2}$$ 두 결과가 같다. 서로 다른 두 방법이 같은 결과를 주면 계산이 옳다. **이 단계에서 발생하는 오류는 미분이 아니라 근호 계산에서 비롯된다.** 곱의 법칙을 적용한 뒤 마지막 정리에서 계산이 진행되지 않는다면, 원인은 미분 규칙이 아니라 $\sqrt x \cdot 2\sqrt x = 2x$ 와 $\dfrac{x}{\sqrt x} = \sqrt x$ 같은 근호 계산이다([제12장](../part2/ch12.md)의 지수법칙이다). 앞 장에서 지적한 지수법칙 의존이 여기서도 동일하게 나타난다. 연습문제 6번은 이 예제와 같은 식이므로 본문을 보지 않고 직접 다시 계산하고, 추가 연습문제 11번 $(x+1)\sqrt x$ 와 12번 $\sqrt x\,(x^2+3)$ 도 같은 유형이다. 세 문항 모두 마지막 통분 한 줄에서 결과가 갈린다. ## 규칙을 적용하기 전에 식의 형태를 먼저 확인한다 몫의 법칙은 식이 더 이상 정리되지 않을 때 사용하는 도구다. 식의 형태를 먼저 확인하면 계산이 짧아지는 경우가 있다. 예를 들어 $\dfrac{x^2-1}{x+1}$ 을 미분하는 경우, 몫의 법칙을 그대로 적용할 수도 있으나 분자가 $x^2-1 = (x-1)(x+1)$ 이므로 먼저 약분된다. $$\frac{x^2-1}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = x-1 \ \Rightarrow \ y' = 1$$ 몫의 법칙으로 계산해도 결과는 $1$ 이지만, 약분하는 쪽이 계산량이 훨씬 적다. **규칙을 적용하기 전에 식의 형태를 확인하고, 정리가 가능하면 정리를 먼저 수행한다.** ## 빈번한 오류 :::{admonition} $(fg)' = f'g'$ 이라고 쓴다 :class: warning 곱의 각 인수를 따로 미분하여 곱한 형태를 답으로 쓰는 오류다. 바로 앞 장에서 덧셈이 이 구조로 성립했기 때문이다 — $(f+g)' = f'+g'$ 는 참이다. 그러나 곱셈에서는 성립하지 않는다. 미분이 덧셈에 대해서는 이렇게 분배되고 곱셈에 대해서는 분배되지 않으므로, **일부 경우에만 맞는 형태여서 오류가 오래 지속된다.** 넓이 그림에서 증가한 띠 두 개($f'g$ 와 $fg'$)를 모두 누락시키는 것이 이 오류다. *확인 문제*: $(x+2)(x-3)$ 을 미분하면? (답: $2x-1$. $1 \times 1 = 1$ 이 아니다.) ::: :::{admonition} 몫의 법칙에서 분자의 부호 순서가 뒤집힌다 :class: warning 곱의 법칙은 덧셈이므로 항의 순서를 바꾸어도 결과가 같다. 이 형태를 몫의 법칙에 그대로 적용하여 $\dfrac{fg' - f'g}{g^2}$ 처럼 순서를 뒤집어 쓰면, 결과의 부호가 전부 반대로 나온다. 몫의 법칙은 뺄셈이므로 항의 순서가 결과를 결정한다. 순서가 불확실하면 쉬운 값을 대입하여 검증한다. $f=x$, $g=1$ 을 대입하면 결과는 $1$ 이어야 한다. *확인 문제*: $\dfrac{x}{x-2}$ 를 미분하면? (답: $-\dfrac{2}{(x-2)^2}$. 부호가 양수로 나왔다면 순서가 뒤집힌 것이다.) ::: :::{admonition} 곱의 법칙을 한 번만 쓰고 만다 :class: warning $(x^2+1)(x-3)$ 을 미분하면서 $2x(x-3)$ 까지만 쓰고 멈추는 오류다. 앞 인수만 미분하고 뒤 인수의 항이 누락된 것이다. 넓이 그림에서 증가한 띠가 두 개이므로 결과의 항도 두 개여야 한다. $f, f', g, g'$ 네 개를 먼저 적고 시작하면 두 항이 모두 나온다. *확인 문제*: $(x^3+2)(x+5)$ 를 미분하면? (답: $4x^3+15x^2+2$. 항이 두 개 나왔는지 본다.) ::: :::{admonition} 몫의 법칙 결과를 잘못 약분한다 :class: warning $\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}$ 을 $\dfrac{x+2}{x+1}$ 으로 줄이는 오류다. 분자와 분모에 같은 문자가 보이면 소거한다는 잘못된 규칙을 적용한 결과다. 올바른 규칙은 **곱해져 있는 공통인수만 약분한다**이다. 분자 $x^2+2x = x(x+2)$ 의 $x$ 는 더해진 항의 일부이지, 분모 전체와 곱해진 인수가 아니다. $x=1$ 을 대입하면 원래 식은 $\dfrac{3}{4}$, 잘못 줄인 식은 $\dfrac{3}{2}$ 로 두 배 차이다. *확인 문제*: $\dfrac{x^2-4}{(x-2)^2}$ 는 약분되는가? (답: 된다. $x^2-4 = (x-2)(x+2)$ 이므로 $\dfrac{x+2}{x-2}$. 이번에는 공통인수가 있다.) ::: ## 연습문제 계산기를 사용하지 않는다. 곱셈 문항은 전부 전개해서 검산할 수 있으므로, 결과를 직접 검증하는 절차를 함께 익힌다. 곱셈 문항은 $f$, $f'$, $g$, $g'$ 네 개를 먼저 적고 시작하라. 몫 문항은 분자를 끝까지 정리하라. 해결되지 않는 문항은 표시해 두고 다음 문항으로 넘어간다. `A` 기본 · `B` 표준 · `C` 도전. 1. `A` $x^2 \cdot x^3$ 을 **곱의 법칙으로** 미분하라. 그다음 $x^5$ 으로 합쳐서 미분하라. 두 답을 비교하라. 2. `A` $(x+1)(x+2)$ 를 곱의 법칙으로 미분하고, **전개해서 검산하라.** 3. `A` $(2x+3)(x-1)$ 을 미분하라. 4. `A` $(x^2+1)(x-3)$ 을 미분하라. 5. `B` $(x^3-2x)(x^2+5)$ 를 미분하라. 6. `B` $x\sqrt{x}$ 를 두 가지 방법으로 미분하라. ① 곱의 법칙 ② $x^{3/2}$ 으로 합쳐서. 두 답이 같은지 확인하라. 7. `B` $\dfrac{x}{x+1}$ 을 미분하라. 8. `B` $\dfrac{x^2}{x+1}$ 을 미분하라. 9. `B` $\dfrac{3x-1}{x+2}$ 를 미분하라. 10. `B` 직사각형 화단의 가로가 $f(t) = 2t+1$, 세로가 $g(t) = t+3$ 으로 자란다($t$ 는 주, 길이는 미터). $t = 2$ 주일 때 **넓이가 늘어나는 속도**를 구하라. 단위를 붙일 것. 11. `B` 어느 도시의 인구가 $P(t)$ 명, 한 사람이 $1$ 년에 쓰는 물의 양이 $c(t)$ 세제곱미터다. 도시 전체의 물 사용량은 $P \cdot c$ 다. 지금 $P = 1000$, $P' = 50$(명/년), $c = 3$, $c' = -0.1$(세제곱미터/년)이다. 전체 물 사용량은 늘고 있나 줄고 있나? 변화율을 구하라. 12. `C` $\dfrac{x^2-1}{x+1}$ 을 두 가지 방법으로 미분하라. ① 몫의 법칙 ② 먼저 약분한 뒤. 두 답이 같은지 확인하고, **더 편한 쪽이 어느 쪽인지** 한 줄로 쓰라. 13. `C` $\dfrac{1}{x^2+1}$ 을 미분하라. (분자가 $1$ 이다. $f' = 0$ 이라는 뜻이다.) :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. 곱의 법칙: $2x \cdot x^3 + x^2 \cdot 3x^2 = 2x^4 + 3x^4 = 5x^4$. 합쳐서: $(x^5)' = 5x^4$. **같다.** 각각 미분해서 곱하면 $6x^3$ 으로 틀린 결과가 나온다. 2. $2x+3$ — 곱의 법칙: $1 \cdot (x+2) + (x+1) \cdot 1 = 2x+3$. 검산: 전개 $x^2+3x+2$, 미분 $2x+3$. **이렇게 틀린다**: $1 \cdot 1 = 1$. 이 장이 다루는 오류가 그대로 나타난 형태다. 3. $4x+1$ — $2(x-1) + (2x+3)(1) = 2x-2+2x+3$. 검산: 전개 $2x^2+x-3$, 미분 $4x+1$. 4. $3x^2-6x+1$ — $2x(x-3) + (x^2+1)(1)$. 검산: 전개 $x^3-3x^2+x-3$, 미분 $3x^2-6x+1$. 5. $5x^4+9x^2-10$ — $(3x^2-2)(x^2+5) + (x^3-2x)(2x) = 3x^4+15x^2-2x^2-10 + 2x^4-4x^2$. 검산: 전개 $x^5+3x^3-10x$, 미분 $5x^4+9x^2-10$. 6. 둘 다 $\dfrac{3}{2}\sqrt{x}$. ① $1 \cdot \sqrt{x} + x \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \dfrac{\sqrt{x}}{2} = \dfrac{3\sqrt{x}}{2}$ ($\dfrac{x}{\sqrt x} = \sqrt x$ 를 쓴다). ② $x \cdot x^{1/2} = x^{3/2}$, 미분하면 $\dfrac{3}{2}x^{1/2}$. **같다.** 7. $\dfrac{1}{(x+1)^2}$ — $\dfrac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2}$. 분자를 $1$ 로 정리하지 않고 $\dfrac{x+1-x}{(x+1)^2}$ 에서 멈추면 정리가 끝나지 않은 것이다. 8. $\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}$ (또는 $\dfrac{x(x+2)}{(x+1)^2}$) — $\dfrac{2x(x+1) - x^2 \cdot 1}{(x+1)^2} = \dfrac{2x^2+2x-x^2}{(x+1)^2}$. **이렇게 틀린다**: 분자와 분모의 $x$ 를 약분해서 $\dfrac{x+2}{x+1}$ 이라고 쓴다. 분모는 $(x+1)^2$ 이지 $x$ 가 아니다. 약분은 공통인수가 있을 때만 성립한다. 9. $\dfrac{7}{(x+2)^2}$ — $\dfrac{3(x+2) - (3x-1)(1)}{(x+2)^2} = \dfrac{3x+6-3x+1}{(x+2)^2}$. **이렇게 틀린다**: 괄호를 표기하지 않아 $3x+6-3x-1 = 5$ 라고 쓴다. 뺄셈은 괄호 안 전체에 걸린다. 10. **초당이 아니라 주당 $15$ 제곱미터** — $A(t) = (2t+1)(t+3)$, $A'(t) = 2(t+3) + (2t+1)(1) = 4t+7$, $A'(2) = 15$. 단위는 제곱미터 매주. 여기서 곱의 법칙의 의미가 확인된다: 가로가 자라서 늘어난 넓이($2 \times$ 세로)와 세로가 자라서 늘어난 넓이($1 \times$ 가로)의 합이다. 넓이 그림의 두 띠와 같다. 11. **늘고 있다. 연간 $50$ 세제곱미터 증가.** $(Pc)' = P'c + Pc' = 50 \times 3 + 1000 \times (-0.1) = 150 - 100 = 50$. **이렇게 틀린다**: $P'c' = 50 \times (-0.1) = -5$ 라고 계산해서 "줄고 있다"고 답한다. 이 문항은 이 장의 오류가 응용 상황에 나타난 경우다. 인구는 증가하고 $1$ 인당 사용량은 감소하지만, 합치면 전체는 증가한다. 각각 미분해서 곱하면 증감의 방향까지 틀린 결과가 나온다. 12. 둘 다 $1$. ① $\dfrac{2x(x+1) - (x^2-1)}{(x+1)^2} = \dfrac{x^2+2x+1}{(x+1)^2} = \dfrac{(x+1)^2}{(x+1)^2} = 1$. ② 약분하면 $x-1$, 미분하면 $1$. **약분하는 쪽이 계산량이 훨씬 적다.** 규칙을 적용하기 전에 식의 형태를 먼저 확인한다. 정리가 가능하면 정리를 먼저 수행한다. 몫의 법칙은 정리가 되지 않을 때 사용한다. 13. $\dfrac{-2x}{(x^2+1)^2}$ — $f=1$ 이므로 $f'=0$. $\dfrac{0 \cdot (x^2+1) - 1 \cdot 2x}{(x^2+1)^2}$. **이렇게 틀린다**: 부호 순서를 뒤집어 $\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}$ 이라고 쓴다. 검산: 이 함수는 $x>0$ 에서 감소하므로 도함수가 음수여야 한다. 양수가 나왔다면 순서가 뒤집힌 것이다. ::: ### 추가 연습문제 하루 $20$ 분씩 나누어 푸는 편이 한 번에 몰아 푸는 것보다 정착에 유리하다. 한 문항에서 $5$ 분 이상 진전이 없으면 표시해 두고 다음 문항으로 넘어간다. 곱셈 문항은 $f$, $f'$, $g$, $g'$ 네 개를 먼저 적고 시작하고, 몫 문항은 분자를 끝까지 정리한다. 전개할 수 있는 문항은 전개해서 검산하라. **곱의 법칙 기본** 미분하라. 1번과 2번은 전개해서 검산까지 할 것. 1. $(x+1)(x+4)$ 2. $(x-2)(x+5)$ 3. $3x(x^2-4)$ 4. $(3x+1)(x-2)$ 5. $(x^2+2)(x+1)$ 6. $x^2(x^3+1)$ 7. $(x^2-1)(x^2+1)$ **곱의 법칙 확장 (루트·세 개의 곱)** 8. $(2x^3+x)(x-5)$ 9. $(x^2+1)(x^2+2)$ 10. $x^2 \cdot \dfrac{1}{x}$ 을 ① 곱의 법칙으로 ② 먼저 정리한 뒤, 두 방법으로 미분하고 비교하라. 11. $(x+1)\sqrt{x}$ 12. $\sqrt{x}\,(x^2+3)$ 13. $(x-1)(x-2)(x-3)$ — 곱이 세 개다. 먼저 두 개를 묶어 하나로 보고 곱의 법칙을 쓰라. (또는 전부 전개해도 좋다.) **몫의 법칙** 미분하고 **분자를 끝까지 정리하라.** 순서가 불확실하면 $f=x$, $g=1$ 대입 검산을 쓸 것. 14. $\dfrac{x}{x+2}$ 15. $\dfrac{1}{x+3}$ 16. $\dfrac{x+1}{x-1}$ 17. $\dfrac{3x-2}{2x+1}$ 18. $\dfrac{x^2}{x-1}$ 19. $\dfrac{2x}{x^2+1}$ 20. $\dfrac{x^2+1}{x}$ 을 ① 몫의 법칙으로 ② $x + \dfrac{1}{x}$ 으로 쪼갠 뒤, 두 방법으로 미분하고 비교하라. **혼합·판단·정리** 21. $\dfrac{x^2-4}{x-2}$ 를 ① 몫의 법칙으로 ② 먼저 약분한 뒤, 두 방법으로 미분하라. 어느 쪽이 편한가? 22. $(x^2+2)(x-1)$ 을 미분하라. 23. $\dfrac{x^2}{x^2+1}$ 을 미분하라. 24. 다음 중 **참인 것을 모두 고르고**, 거짓인 것에는 **반례를 하나씩** 들어라. (가) $(f+g)' = f' + g'$ (나) $(f \cdot g)' = f' \cdot g'$ (다) $(3f)' = 3f'$ (라) $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'}{g'}$ 25. 이 장의 $(fg)' \ne f'g'$ 과 같은 어긋남을 앞에서도 만났다. 제곱근에서 $\sqrt{a+b} \ne \sqrt{a}+\sqrt{b}$, 제곱에서 $(a+b)^2 \ne a^2+b^2$ 였다. 세 식을 나란히 쓰고, 셋을 관통하는 원리를 **자기 문장 한 줄로** 쓰라. :::{admonition} 정답과 해설 :class: dropdown 1. $2x+5$ 2. $2x+3$ 3. $9x^2-12$ 4. $6x-5$ 5. $3x^2+2x+2$ 6. $5x^4+2x$ 7. $4x^3$ 7번 참고: 전개하면 $x^4-1$ 이므로 $4x^3$. 곱의 법칙으로 하면 $2x(x^2+1) + (x^2-1)2x = 2x^3+2x+2x^3-2x = 4x^3$. 가운데 두 항이 서로 소거된다. 8. $8x^3-30x^2+2x-5$ — 검산: 전개 $2x^4-10x^3+x^2-5x$. 9. $4x^3+6x$ 10. 둘 다 $1$. ① $2x \cdot \dfrac{1}{x} + x^2 \cdot \left(-\dfrac{1}{x^2}\right) = 2 - 1 = 1$. ② $x^2 \cdot \dfrac{1}{x} = x$ 이므로 도함수는 $1$. **같다.** 각각 미분해서 곱하면 $2x \times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right) = -\dfrac{2}{x}$ 로 전혀 다른 결과가 나온다. 11. $\dfrac{3x+1}{2\sqrt{x}}$ — $1 \cdot \sqrt{x} + (x+1)\dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{2x + x + 1}{2\sqrt{x}}$. 통분 한 줄을 반드시 쓸 것. 그 한 줄은 $\sqrt x \cdot 2\sqrt x = 2x$ 이므로 $\sqrt x = \dfrac{2x}{2\sqrt x}$ 라는 것이다. 이 지점에서 발생한 오류는 미분이 아니라 근호 계산에서 비롯된 것이다. 12. $\dfrac{5x^2+3}{2\sqrt{x}}$ — $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}(x^2+3) + \sqrt{x} \cdot 2x = \dfrac{x^2+3+4x^2}{2\sqrt{x}}$. 뒷항의 통분: $2x\sqrt x \cdot 2\sqrt x = 4x \cdot x = 4x^2$ 이므로 $2x\sqrt x = \dfrac{4x^2}{2\sqrt x}$. 13. $3x^2-12x+11$ — 전개하면 $x^3-6x^2+11x-6$. 곱의 법칙으로 하려면 $u = (x-1)(x-2) = x^2-3x+2$ 로 묶고 $u' = 2x-3$: $(2x-3)(x-3) + (x^2-3x+2)(1) = 2x^2-9x+9+x^2-3x+2 = 3x^2-12x+11$. **같다.** 14. $\dfrac{2}{(x+2)^2}$ 15. $-\dfrac{1}{(x+3)^2}$ 16. $-\dfrac{2}{(x-1)^2}$ 17. $\dfrac{7}{(2x+1)^2}$ 18. $\dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2}$ 19. $\dfrac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}$ 16번 참고: 분자는 $1 \cdot (x-1) - (x+1) \cdot 1 = -2$. 결과가 음수인 것이 옳다. $\dfrac{x+1}{x-1}$ 은 $x>1$ 에서 감소하는 함수다. **부호가 양수로 나왔다면 순서가 뒤집힌 것이다.** 20. 둘 다 $\dfrac{x^2-1}{x^2}$ (즉 $1 - \dfrac{1}{x^2}$). ① $\dfrac{2x \cdot x - (x^2+1)}{x^2} = \dfrac{x^2-1}{x^2}$. ② $x + x^{-1}$ 의 도함수는 $1 - x^{-2}$. **같은 결과를 다른 형태로 쓴 것이다.** 쪼개는 쪽이 계산량이 적다. 21. 둘 다 $1$. ① $\dfrac{2x(x-2) - (x^2-4)}{(x-2)^2} = \dfrac{x^2-4x+4}{(x-2)^2} = \dfrac{(x-2)^2}{(x-2)^2} = 1$. ② 약분하면 $x+2$, 미분하면 $1$. **약분하는 쪽이 계산량이 훨씬 적다.** 규칙을 적용하기 전에 식의 형태를 먼저 확인한다. 22. $3x^2-2x+2$ — $2x(x-1) + (x^2+2)$. 검산: 전개 $x^3-x^2+2x-2$. 23. $\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}$ — $\dfrac{2x(x^2+1) - x^2 \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{2x^3+2x-2x^3}{(x^2+1)^2}$. 분자에서 $2x^3$ 이 소거되는 것을 놓치지 말 것. 24. **참: (가), (다).** 거짓: (나), (라). - (나)의 반례: $f=x$, $g=x$. 왼쪽 $(x^2)' = 2x$, 오른쪽 $1 \cdot 1 = 1$. 다르다. - (라)의 반례: $f = x^2$, $g = x$. 왼쪽 $\left(\dfrac{x^2}{x}\right)' = (x)' = 1$, 오른쪽 $\dfrac{2x}{1} = 2x$. 다르다. - (다)가 참인 이유: 상수배는 밖으로 나온다. **(가)와 (다)만 참이고 나머지는 거짓**이라는 이 결과가 미분 규칙 전체의 요약이다. 25. 예시 답안: $$\sqrt{a+b} \ne \sqrt{a}+\sqrt{b} \qquad (a+b)^2 \ne a^2+b^2 \qquad (fg)' \ne f'g'$$ 관통 원리: **연산을 부분으로 나누어 수행한 뒤 합칠 수 있다는 가정은 대개 성립하지 않는다.** 자기 말로 쓴 예: "덩어리를 쪼개서 따로 처리한 다음 도로 붙이면 원래와 같을 거라고 생각하는데, 쪼개는 순간 사라지는 조각이 있다." — **조각이 사라진다**는 서술이 포함되면 넓이 그림의 구조를 반영한 것이다. ::: ## 요약과 다음 장 이 장의 핵심은 다음 두 공식이다. $$(fg)' = f'g + fg' \qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$ 곱의 법칙은 넓이 그림에서 유도된다. 가로와 세로가 동시에 증가하면 증가한 넓이는 두 개의 띠이며, 각각 미분해서 곱하는 계산은 그 두 띠를 누락시킨다. 몫의 법칙은 곱의 법칙에서 통분으로 유도되며, 곱의 법칙과 달리 항의 순서가 결과를 결정한다. 순서가 불확실하면 $f=x$, $g=1$ 처럼 결과가 알려진 값을 대입하여 올바른 형태를 복원한다. 그리고 규칙을 적용하기 전에 식의 형태를 먼저 확인하여, 약분되거나 정리되는 식은 정리를 먼저 수행한다. 지금까지의 규칙은 함수의 합, 상수배, 곱, 몫을 다루었다. 함수 안에 함수가 들어 있는 형태 — 예를 들어 $(x+1)^{10}$ 처럼 안쪽 함수를 통째로 다른 함수에 대입한 꼴 — 는 아직 다룰 도구가 없다. [제29장](ch29.md)에서 마지막 규칙인 **연쇄법칙**을 다룬다.