# S20주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설 ## 수료 시험 (20문항) ### 시험 규칙 - 이 문서에는 백지 복원만 따로 묶은 절이 없다. 그 자리에 해당하는 것은 기본 문항 1~6과 도전 문항 15의 앞부분이며, 정답지는 §1과 각 주차의 [백지 암기 대상] 상자다. - 주간 배분 — 1일차 Solow 부록 A~D 통독, 2일차 §1의 네 분야 해부(필사 + 해부표 채우기), 3일차 S1주차~S19주차의 [백지 암기 대상] 상자 재독, 4일차 기본$\cdot$표준 문항, 5일차 도전 문항과 채점. 새 진도가 없으므로 제2권 5일 루틴의 교안 개념 자리가 §1 해부로, 원서 재독 자리가 부록 훑기로 바뀐다. - 교재$\cdot$원서$\cdot$노트 참조 금지, 180분. - 배점은 기본 6문항 $\times$ 1점 + 표준 8문항 $\times$ 2점 + 도전 6문항 $\times$ 3점 = **40점 만점이고, 32점 이상이면 수료**다. - 부분 점수: 표준$\cdot$도전에서 분석표(설계)와 산문을 따로 채점하고 각각 절반을 배정한다. 설계와 산문은 별개의 능력이므로 둘 다 본다. - 해설은 채점이 끝난 뒤에만 연다. - 수료하면 2학기 C1주차로 넘어간다. 기준에 미치지 못하면 §3 재학습 지도의 해당 주차를 복습하고 일주일 뒤 재시험을 본다. - 이하에서 (W1)~(W6)은 1권 16주차의 부등식 기본 성질을, [N1]~[N6]은 S10주차의 NOT 기계 여섯 규칙을 가리킨다. ### 기본 ●○○ (각 1점) **1.** 결정 나무 0~3단계를 백지에 쓰시오. **2.** 분야 A(드모르간)의 해부표를 재현하시오 — 각 줄의 기법을 지목하시오. **3.** 명제 "$\sqrt5$는 무리수이다"의 첫수 기법과 그 이유(부정형$\cdot$무조건)를 쓰시오. **4.** NOT 기계 6칙과 자격 보존 규칙을 쓰시오. **5.** "정확히 하나"의 두 파트와 각 파트의 기법, 그리고 well-defined의 뜻을 쓰시오. **6.** max$\cdot$min 부등식 번역표 네 칸을 쓰시오. ### 표준 ●●○ (각 2점) **7.** 임의의 집합 $A$, $B$에 대해 $A \cap (A \cup B) = A$ (흡수 법칙)를 증명하시오 (양방향 포함). **8.** 모든 실수 $x$에 대해 $x^2 - 2x + 2 > 0$임을 증명하시오 (선택법 + 완전제곱). **9.** 정수 $n$에 대해, $n^2$이 5의 배수이면 $n$은 5의 배수임을 증명하시오 (대우 + 경우법, S12주차 문제 11). **10.** $\sqrt6$이 무리수임을 증명하시오 (귀류 4단 서식 — $a^2 = 6b^2$에서 $2 \mid a$ 또는 $3 \mid a$ 중 하나로 시작). **11.** 모든 자연수 $n$에 대해 $\sum_{k=1}^n (3k - 2) = \dfrac{n(3n-1)}2$임을 귀납법으로 증명하시오. **12.** $S = \{x \in \mathbb{R} : x^2 \le 2x\}$의 최댓값과 최솟값을 구하고 증명하시오. **13.** $\dfrac{4n - 3}{2n + 1} \to 2$임을 $\varepsilon$-$N$ 정의로 증명하시오. **14.** 실수 $a \neq 0$과 실수 $b$에 대해, $ax_1^2 + b = 0$이고 $ax_2^2 + b = 0$이면 $x_1^2 = x_2^2$임을 증명하시오 (유일성 얼굴 1로 $x_1^2$의 유일성). 이로부터 $ax^2 + b = 0$의 실근이 존재하면 부호만 다른 두 개이거나 0 하나임을 논하시오. ### 도전 ●●● (각 3점) **15.** 분야 D(악수 정리)를 백지에서 재현하고, 마지막 걸음을 독립된 보조정리로 분리해 증명하시오 — "$k$개의 홀수의 합이 짝수이면 $k$는 짝수이다". **16.** 모든 양의 실수 $a$, $b$, $c$에 대해 $(a + b + c)\left(\dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c\right) \ge 9$임을 증명하시오 (전개한 뒤 $\dfrac ab + \dfrac ba \ge 2$를 세 쌍에). **17.** 함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$가 모든 실수 $x$, $y$에 대해 $f(xy) = f(x) f(y)$를 만족하고 상수함수가 아니면 $f(1) = 1$임을 증명하시오 (특수화 — $y = 1$ 투입). **18.** $\sqrt2 + \sqrt3$이 무리수임을 증명하시오 (제곱한 뒤 문제 10의 결과로 환원, S11주차 문제 13). **19.** (해부 종합) 다음 증명을 결정 나무로 완전 해부하시오 — 줄마다 기법$\cdot$출신$\cdot$근거를 지목하시오. :::{container} quotebox **정리.** 서로 다른 두 유리수 사이에는 유리수가 존재한다. **증명.** $r < s$인 유리수 $r$, $s$를 임의로 잡자. $q = \dfrac{r + s}2$로 두자. $r$과 $s$가 유리수이므로 $q$도 유리수이다. 또 $q - r = \dfrac{s - r}2 > 0$이고 $s - q = \dfrac{s - r}2 > 0$이므로 $r < q < s$이다. 따라서 그런 유리수가 존재한다. $\blacksquare$ ::: **20.** (서술 — 1학기 회고) 이번 학기 전체를 다섯 문장 이내로 회고하시오: (a) 1권이 준 것과 Solow가 더한 것의 관계, (b) 결정 나무가 통합한 것, (c) 2학기 Chartrand에서 이 절차로 무엇을 하게 될지의 예상. ## 재학습 지도 | **틀린 문항** | **복습** | |---|---| | 1, 19, 20 | 결정 나무 (S17주차 §1) | | 2, 7 | 집합 증명 — 선택법과 정의의 두 면 (S4주차$\cdot$S6주차) | | 3, 10, 18 | 귀류 (S11주차) | | 4 | NOT 기계 (S10주차) | | 9 | 대우 (S12주차) | | 5, 14 | 유일성 (S13주차) | | 11 | 귀납법 (S14주차) | | 15 | 세기 논증 (1권 13주차 §1.6) $\cdot$ 홀짝 정의의 전진면 (1권 1주차 $\cdot$ S4주차) $\cdot$ 이 문서 §1 분야 D (경우법이 필요한 곳은 그 분야의 $V$ 분할이다 — S15주차) | | 8, 16 | 부등식 설계 (S3주차 $\cdot$ 1권 16주차) | | 6, 12 | 최대$\cdot$최소 (S16주차) | | 13 | 중첩 양화사 (S8주차) | | 17 | 특수화 (S7주차) | ## 해설 채점이 끝나기 전에는 열지 않는다. 기본 문항의 정답지는 §1과 각 주차의 [백지 암기 대상] 상자이며, 표현이 달라도 내용이 완전하면 정답으로 센다. ### 문제 1 **접근.** S17주차 §1을 백지에서 되살리는 문항이다. 요구하는 것은 잎의 내부 서식이 아니라 잎까지 내려가는 길이므로, 네 걸음의 이름과 각 걸음의 갈래를 적으면 만점이다. 갈래마다 어느 주차의 기법이 붙는지를 함께 표시하면 채점이 쉬워지고, 표시하지 않으면 나무가 색인 구실을 하지 못한다. **풀이.** 결정 나무는 네 걸음이다. **0단계 — 판 세팅(항상 한다).** 명제를 $A$와 $B$로 분해하고, 숨은 가설$\cdot$숨은 양화사$\cdot$정의 속에 접힌 구조를 전부 문면으로 끌어낸다 (S1주차$\cdot$S4주차). 이 걸음을 빼면 2단계가 읽을 겉모양이 없다 — "$A \cap B \subseteq A$"는 $\subseteq$를 풀기 전에는 $\forall$로 보이지 않는다. **1단계 — 결론에 부정이 박혀 있는가.** 신호는 무리수, $\notin$, $\neq$, "…가 아니다", "…는 없다", "무한히 많다"이다. 신호가 있으면 곧바로 기법을 고르지 않고 NOT 기계 [N1]~[N6]으로 전개한다 (S10주차). 전개 결과를 보고 세 갈래로 나뉜다 — 긍정형 특성화로 끝나면 직접 증명, 명제가 조건문이고 $\neg B$와 $\neg A$가 둘 다 풀리면 대우(S12주차), 뒤집을 $A$가 없거나 $\neg A$가 다루기 어려우면 귀류(S11주차)다. **2단계 — 결론의 최상위 구조는 무엇인가.** $\exists$ 또는 숨은 $\exists$이면 구성법(S5주차), $\forall$ 또는 숨은 $\forall$이면 선택법(S6주차), $\lor$이면 소거법, $\land$이면 조각마다 따로 증명(둘 다 S15주차), "정확히 하나"이면 존재와 유일의 분리(S13주차), max$\cdot$min이 든 부등식이면 번역표로 환원(S16주차), 자연수 전체에 대한 $\forall$이고 직전 항에 의존하면 귀납법(S14주차), 겹 양화사이면 바깥부터 한 겹씩(S8주차)이다. **3단계 — 본체.** 과녁 쪽에서 후진(핵심 질문과 방향 검사, S2주차), 사실 목록 쪽에서 전진(조준, S3주차), 그리고 만남. 막히면 정의의 두 면으로 귀환하고(S4주차), 사실 목록의 $\forall$는 특수화로(S7주차), 사실 목록의 $\lor$는 경우법으로 소비한다(S15주차). **복기.** 1단계가 2단계보다 앞에 오는 순서는 임의가 아니다. 부정이 박힌 결론은 최상위 구조가 가려져 있어서 — "$L$로 수렴하지 않는다"는 겉으로 $\forall$도 $\exists$도 아니다 — 전개하지 않고 2단계로 가면 지목할 겉모양이 없다. 순서를 뒤집어 적은 답안은 걸음 이름을 다 적었어도 절반만 인정한다. ### 문제 2 **접근.** §1 분야 A의 해부표를 복원한다. 채점 대상은 다섯 줄이고, 각 줄에서 지목할 것은 기법 이름과 그 기법이 결론 쪽에서 왔는지 가정 쪽에서 왔는지다. 증명문 자체를 다시 쓸 필요는 없지만, 어느 줄에 대한 해부인지는 표시해야 대조가 된다. **풀이.** 표는 다음과 같다. | **줄** | **기법** | **출신** | |---|---|---| | "두 포함을 각각 보인다" | 집합 상등의 분해 | 후진 — 핵심 질문의 답 목록에서 고른 갈림길 | | "$x \in (A \cup B)^c$를 임의로 잡자" | 선택법 (S6주차) | 결론의 $\forall$ | | "$x \notin A \cup B$를 $\neg(x \in A \vee x \in B)$로" | 정의의 전진면 (S4주차) | 가정 쪽 — 가진 것을 푼다 | | "드모르간 2로 $x \notin A$이고 $x \notin B$" | NOT 밀어넣기 [N3] (S10주차) | 가정 쪽 전진 | | "따라서 $x \in A^c \cap B^c$" | 정의의 후진면 (S4주차) | 결론 쪽 — 소속을 제작한다 | 한 줄을 더 적으면 해부가 양방향으로 닫힌다 — ($\supseteq$) 방향은 같은 정의들을 반대 방향으로 읽는데, 그것이 허용되는 근거는 정의가 iff이고 드모르간 2가 동치라는 사실이다. 이 줄이 없으면 표는 ($\subseteq$) 절반만 해부한 것이 되고, 되짚기가 왜 허용되는지가 답안에서 빠진다. **복기.** 이 표에서 실제로 검사되는 것은 셋째 줄과 다섯째 줄의 구분이다. 같은 "정의를 쓴다"라도 가진 것을 푸는 쪽과 과녁을 제작하는 쪽은 방향이 반대이며, 두 줄을 모두 "정의에 의해"로 적으면 어느 쪽이 전진이고 어느 쪽이 후진인지가 답안에서 사라진다. ### 문제 3 **접근.** 계산이 아니라 판독을 묻는다. 1단계의 신호 판독과 논리형 판독 두 가지가 답의 뼈대이며, 기법 이름만 적고 이유를 빠뜨리면 같은 판독을 다른 명제에 옮길 수 없다. $\sqrt2$의 증명을 통째로 옮겨 적는 것은 요구 범위를 벗어난다. **풀이.** 첫수 기법은 **귀류**다. 이유는 두 단계로 갈린다. 부정형 판독: "무리수"는 "유리수가 아니다"라는 부정형 낱말이므로 1단계에 걸린다. NOT 기계로 전개하면 "$\sqrt5 = \dfrac ab$인 정수 $a$와 0이 아닌 정수 $b$가 존재하지 않는다"가 되고, [N6]에 의해 이것은 "모든 그런 쌍에 대해 $\sqrt5 \neq \dfrac ab$"라는 $\forall$ 문장이다. 이 꼴은 손잡이가 없다 — 무한히 많은 쌍을 하나씩 검사할 수는 없다. 논리형 판독: 명제 "$\sqrt5$는 무리수이다"는 조건문이 아니라 무조건 명제다. 따라서 뒤집을 $A$가 없고, 대우문을 만들 자리가 아예 없다 (S12주차 판정법 셋째 줄). 남는 처방은 귀류이며, 첫 문장은 "결론을 부정하여 $\sqrt5$가 유리수라 가정하자"다. 한 줄을 더 적으면 $\sqrt5$로 옮겨 붙는 부품이 드러난다 — $\sqrt5$에서는 짝수 보조정리 대신 유클리드 보조정리를 $p = 5$에 적용해 "$5 \mid a^2$이면 $5 \mid a$"를 수령한다 (S15주차 문제 10의 기성품). **복기.** 결정 나무 1단계는 부정 신호를 먼저 감지하지만, 처방을 고를 때는 논리형(조건문인가 무조건 명제인가)이 먼저 확정되어야 한다. S12주차 판정법의 첫째 줄은 $A$ 자리와 $B$ 자리가 있는 명제에만 적용되므로, 무조건 명제인 이 문항에서는 첫째 줄을 건너뛰고 셋째 줄로 곧장 간다 (S12주차 확인 7(나)). 논리형 확정을 건너뛰면 조건문에도 무조건 명제에도 똑같이 귀류를 쓰게 되고, 대우로 훨씬 짧아지는 문제에서 무늬만 귀류인 답안이 나온다. ### 문제 4 **접근.** S10주차의 [백지 암기 대상] 상자를 그대로 재현한다. 여섯 규칙을 나열하는 것으로 절반이고, 규칙을 읽는 법과 자격 보존을 함께 적어야 만점이다. 기호만 옮기면 어느 줄에 어느 규칙을 쓸지 판단하는 능력은 검사되지 않는다. **풀이.** 여섯 규칙은 다음과 같다. | **규칙** | **변환** | **읽는 법** | |---|---|---| | N1 (이중부정) | $\neg\neg P \leadsto P$ | 두 번 뒤집으면 제자리 | | N2 (드모르간 1) | $\neg(P \wedge Q) \leadsto \neg P \vee \neg Q$ | "둘 다"의 실패는 "한쪽이라도 실패" | | N3 (드모르간 2) | $\neg(P \vee Q) \leadsto \neg P \wedge \neg Q$ | "하나라도"의 실패는 "둘 다 실패" | | N4 (조건문 부정) | $\neg(P \Rightarrow Q) \leadsto P \wedge \neg Q$ | 약속 위반은 "조건은 됐는데 이행하지 않음" | | N5 ($\forall$ 반전) | $\neg\forall x \in S,\ P(x) \leadsto \exists x \in S,\ \neg P(x)$ | "전원 통과"의 실패는 "낙제자 존재" | | N6 ($\exists$ 반전) | $\neg\exists x \in S,\ P(x) \leadsto \forall x \in S,\ \neg P(x)$ | "합격자 존재"의 실패는 "전원 낙제" | **자격 보존.** 양화사에 붙은 자격($x \in S$, "양수", "$n > N$")은 부정의 대상이 아니다. N5와 N6에서 뒤집히는 것은 양화사와 본체뿐이며, 자격은 그대로 남는다. 예를 들어 "모든 양수 $x$에 대해 $P(x)$"의 부정은 "어떤 양수 $x$에 대해 $\neg P(x)$"이지 "어떤 음수 $x$에 대해 $\neg P(x)$"가 아니다. 전개는 부정이 본체까지 내려가 등호$\cdot$부등호$\cdot$소속이 뒤집힌 줄이 나올 때까지 계속하고, 각 줄 옆에 [N4]처럼 규칙 번호를 단다. **복기.** 실전에서 가장 자주 빠지는 것은 N4다. 결론이 조건문인 명제를 귀류로 열 때 N5로 $\forall$만 뒤집고 본체 조건문을 그대로 두면 가정이 하나만 생긴다. N4까지 적용하면 가정이 둘 생기고, 그 둘째 가정이 대개 모순의 재료가 된다. ### 문제 5 **접근.** S13주차의 요지를 묻는다. "정확히 하나"는 하나의 성질이 아니라 독립된 두 책임의 결합이며, 각 책임에 붙는 기법이 다르다. 두 파트를 적는 데서 끝내지 말고 유일 쪽의 두 얼굴과 그 선택 기준까지 적어야 만점이고, well-defined는 한 문장으로 정확히 적는다. **풀이.** 두 파트는 존재와 유일이다. **존재 파트.** "조건을 만족하는 것이 적어도 하나 있다"는 $\exists$이므로 **구성법**(S5주차)이다. 증인을 제시하고 자격과 사건을 전수 검증한다. 증인의 공급로는 역산, 재료 조립, 기성 존재 정리 인용의 셋이다 (S5주차 §1.5). 가정의 $\exists$에서 이름을 받는 것은 공급로가 아니라 네 칸 표의 셋째 칸이므로 (S7주차 §1.5) 이 목록에 섞어 적지 않는다. **유일 파트.** "둘 이상은 없다"이며 서식이 둘이다. **얼굴 1**은 "$P(x_1)$이고 $P(x_2)$라 하자"로 열고 $x_1 = x_2$에 도착한다. 서로 다르다고 가정하지 않는 것이 핵심이며 골격이 단사 증명과 같다. **얼굴 2**는 "$P(x_1)$, $P(x_2)$, 그리고 $x_1 \neq x_2$라 가정하자"로 열고 모순을 내며, 이때 쓰는 서식은 S11주차의 귀류 4단 서식 그대로다. 두 얼굴의 선택 기준은 다름 가정이 실제로 소비되는지다 — $x_1 \neq x_2$를 한 번도 쓰지 않고 모순에 닿았다면 그 답안은 얼굴 1로 정리한다. **well-defined.** 표현을 바꿔도 값이 하나로 정해진다는 뜻이다. 대상을 어떤 표현으로 적었느냐에 따라 결과가 달라지지 않음을 확인하는 일이며, 이 확인을 떠받치는 것이 바로 유일성이다. 유리수를 기약 표현으로 적어 정의한 대상이 그 예이고, 기약 표현의 유일성이 확보되어야 정의가 성립한다 (S13주차 문제 12). **복기.** 두 책임이 독립이라는 점을 답안에 남긴다. 존재만 보이면 여럿일 가능성이 남고, 유일만 보이면 아예 없을 가능성이 남는다. 어느 한쪽만으로는 "정확히 하나"가 되지 않으며, 이 구분이 흐려지면 문제 14처럼 무엇이 유일한지를 잘못 짚는다. ### 문제 6 **접근.** S16주차 §1.3의 번역표를 복원한다. 네 줄을 적는 것이 답이고, 네 줄이 왜 그렇게 갈리는지를 한 문장으로 덧붙이면 만점이다. 표는 max와 min이 존재할 때에만 유효하다는 단서도 함께 적는다. **풀이.** 표는 다음과 같다. | **부등식** | **양화사 번역** | **붙는 기법** | |---|---|---| | $\max S \le c$ | $\forall x \in S:\ x \le c$ (곧 "$c$는 $S$의 상계") | 선택법 (S6주차) | | $\max S \ge c$ | $\exists x \in S:\ x \ge c$ | 구성법 (S5주차) | | $\min S \ge c$ | $\forall x \in S:\ x \ge c$ (곧 "$c$는 $S$의 하계") | 선택법 (S6주차) | | $\min S \le c$ | $\exists x \in S:\ x \le c$ | 구성법 (S5주차) | 한 줄 요약: max를 위에서 누르는 것과 min을 아래서 받치는 것은 전원 검사($\forall$)이고, 그 반대 방향은 원소 하나 찾기($\exists$)다. 네 줄은 하늘에서 떨어진 것이 아니라 최댓값 정의의 두 조각 — ① $\max S \in S$ ② 모든 $x \in S$에 대해 $x \le \max S$ — 을 부등호 방향에 따라 나눠 쓴 결과다. 예를 들어 첫째 줄의 ($\leftarrow$)는 조각 ①을 써서 $\max S$ 자신을 $\forall$ 문장에 특수화한 것이고, ($\rightarrow$)는 조각 ②와 추이성으로 얻는다. **복기.** 이 표를 쓰지 않고 정의를 통째로 펴면 존재 주장까지 매번 다시 증명하게 된다. 표가 "$\max S$가 존재할 때"라는 단서를 달고 있는 이유가 그것이며, 존재가 확보되지 않은 집합에서는 표를 쓰기 전에 존재부터 보여야 한다. ### 문제 7 **접근.** 결론이 집합의 상등이므로 후진의 첫 갈림길에서 양방향 포함을 고른다. 두 방향의 난이도가 다르다는 점을 미리 보아 둔다 — ($\subseteq$)은 교집합 정의의 전진면 한 번으로 끝나고, ($\supseteq$)은 합집합 소속을 제작한 뒤 교집합 소속을 제작해야 하므로 걸음이 둘이다. 각 방향의 첫 문장은 $\subseteq$ 안에 접힌 $\forall$ 때문에 모두 선택법이다. **풀이.** **증명.** 집합의 상등이므로 두 포함을 각각 보인다. ($\subseteq$) $x \in A \cap (A \cup B)$를 임의로 잡자 [선택법]. 교집합의 정의에 의해 $x \in A$이고 $x \in A \cup B$이다 [전진면, 근거 ①]. 특히 $x \in A$이다. $x$가 임의였으므로 $A \cap (A \cup B) \subseteq A$이다. ($\supseteq$) $x \in A$를 임의로 잡자 [선택법]. 합집합의 정의는 "$x \in A$ 또는 $x \in B$"이므로 왼쪽 조각만으로 $x \in A \cup B$가 성립한다 [후진면 — $\lor$는 한쪽을 켜는 것으로 충분하다]. 이제 $x \in A$이고 $x \in A \cup B$이므로 교집합의 정의에 의해 $x \in A \cap (A \cup B)$이다 [후진면]. $x$가 임의였으므로 $A \subseteq A \cap (A \cup B)$이다. 두 포함이 모두 성립하므로 $A \cap (A \cup B) = A$이다. $\blacksquare$ **복기.** 두 방향의 비대칭이 이 문제의 관찰 지점이다. 한쪽은 가진 것을 푸는 일(전진면)뿐이고 다른 쪽은 과녁을 짓는 일(후진면)뿐이며, 같은 정의가 방향에 따라 다른 얼굴로 쓰인다. ($\supseteq$)에서 $x \in B$인지는 끝내 묻지 않았다는 점도 확인해 둔다 — $\lor$를 제작할 때는 한쪽만 확보하면 되고, 이것이 $\lor$를 소비할 때 두 경우를 모두 다뤄야 하는 것과 정반대다. ### 문제 8 **접근.** 결론이 "모든 실수 $x$에 대해"이므로 선택법으로 판을 교체하고, 남는 과녁은 부등식이다. 부등식의 표준 후진은 "0보다 큼"을 제곱으로 환원하는 것이다 — 0 이상의 근원은 (W1)이고, 거기에 양수 하나를 더해 엄격한 부등호를 만든다. 좌변을 완전제곱으로 정리하는 계산이 그 환원의 실제 동작이다. **풀이.** **증명.** 실수 $x$를 임의로 잡자 [선택법]. 좌변을 완전제곱으로 정리하면 $$ x^2 - 2x + 2 = (x^2 - 2x + 1) + 1 = (x - 1)^2 + 1 $$ 이다 [등식의 성질, 근거 ③]. (W1)에 의해 $(x-1)^2 \ge 0$이고, 양변에 1을 더하면 (W2) $(x-1)^2 + 1 \ge 1$이다. 그런데 $1 > 0$이므로 추이성 (W6)에 의해 $(x-1)^2 + 1 > 0$이다. 따라서 $x^2 - 2x + 2 > 0$이다. $x$가 임의였으므로 모든 실수에서 성립한다. $\blacksquare$ **복기.** 검산은 전개로 한다 — $(x-1)^2 + 1 = x^2 - 2x + 1 + 1 = x^2 - 2x + 2$ ✓. 완전제곱을 만드는 절차는 기계적이다. $x^2 + px + q$에서 $\left(\frac p2\right)^2$을 더하고 빼면 $\left(x + \frac p2\right)^2 + \left(q - \frac{p^2}4\right)$가 되며, 남는 상수가 양수이면 이 문제처럼 엄격한 부등호가 나오고 0이면 등호가 가능해진다. 여기서는 $p = -2$, $q = 2$라 남는 상수가 $2 - 1 = 1 > 0$이다. ### 문제 9 **접근.** 가정이 합성식 $n^2$의 성질이고 결론이 재료 $n$의 성질이므로 S12주차 판정법 표의 넷째 줄에 걸린다. 직접 공략은 "$n^2 = 5k$"에서 $n$을 꺼낼 통로가 없어 막히고, 대우를 만들면 방향이 재료 쪽에서 합성식 쪽으로 뒤집혀 나눗셈 정리의 나머지가 손잡이가 된다. 대우의 가정 "5가 $n$을 나누지 않는다"를 네 개의 나머지 경우로 펴는 것이 둘째 걸음이다. **풀이.** **증명.** ① **대우 선언.** 대우를 증명한다. 대우는 "정수 $n$에 대해, $n$이 5의 배수가 아니면 $n^2$도 5의 배수가 아니다"이다. ② **직접 증명.** $n$이 5의 배수가 아니라 하자. 나눗셈 정리에 의해 $n = 5q + r$인 정수 $q$와 $r \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$가 유일하게 존재한다. $5 \nmid n$이므로 $r \neq 0$이고, 따라서 $r \in \{1, 2, 3, 4\}$다. 제곱하면 $$ n^2 = 25q^2 + 10qr + r^2 = 5(5q^2 + 2qr) + r^2 $$ 이므로 $n^2$을 5로 나눈 나머지는 $r^2$을 5로 나눈 나머지와 같다 [등식의 성질]. 네 경우를 전수로 확인한다. $r = 1$이면 $r^2 = 1$이라 나머지 1, $r = 2$이면 $r^2 = 4$라 나머지 4, $r = 3$이면 $r^2 = 9 = 5 + 4$라 나머지 4, $r = 4$이면 $r^2 = 16 = 15 + 1$이라 나머지 1이다. 네 경우 모두 나머지가 0이 아니므로 $5 \nmid n^2$이다. ③ **복귀 선언.** 대우가 증명되었으므로 원명제 "$5 \mid n^2$이면 $5 \mid n$"이 성립한다. $\blacksquare$ **복기.** 유클리드 보조정리를 $p = 5$에 적용하면 한 줄로 끝나지만(S15주차 문제 10), 이 문항은 그 기성품 없이도 닫히는 길을 요구한다. 경우법이 그 길이며, 경우를 나누는 축이 "5로 나눈 나머지"라는 하나의 값이라 전수성이 자동으로 확보된다. 네 경우를 다 적지 않고 "나머지가 0이 아니면 제곱의 나머지도 0이 아니다"로 줄이면 그 문장 자체가 증명해야 할 것이므로 순환이 된다. ### 문제 10 **접근.** 부정형 낱말이고 무조건 명제이므로 귀류이며, 서식은 S11주차의 4단이다. $\sqrt2$의 증명과 달라지는 자리는 ② 전진 한 곳뿐이다 — $a^2 = 6b^2$에서 짝수 보조정리를 두 번 쓰되, 두 번째 적용 전에 $3b^2$이 짝수라는 사실을 $b^2$의 짝수성으로 옮기는 걸음이 하나 더 필요하다. 그 걸음을 빠뜨리면 사슬이 끊긴다. **풀이.** **증명.** ① **개시 선언.** 결론을 부정하여 $\sqrt6$이 유리수라 가정하자. 그러면 $\sqrt6 = \dfrac ab$인 정수 $a$와 0이 아닌 정수 $b$가 있고, 공약수로 나누어 기약 표현을 잡을 수 있으므로 $a$와 $b$의 공약수는 $\pm 1$뿐이라 해도 된다. ② **전진.** 양변을 제곱하고 $b^2$을 곱하면 $a^2 = 6b^2 = 2(3b^2)$이므로 $a^2$은 짝수다. S12주차 예제 2.1의 보조정리를 $n = a$에 특수화하면 $a$가 짝수이므로 $a = 2k$인 정수 $k$가 있다. 대입하면 $4k^2 = 6b^2$이고, 양변을 2로 나누면 $2k^2 = 3b^2$이다. 좌변이 짝수이므로 $3b^2$도 짝수다. 여기서 $b^2$이 짝수임을 끌어낸다 — $b^2$이 홀수라면 $3b^2$은 홀수와 홀수의 곱이라 홀수가 되어 방금 얻은 사실과 어긋나므로, $b^2$은 짝수여야 한다. 같은 보조정리를 $n = b$에 특수화하면 $b$도 짝수다. ③ **모순 명시.** ②에서 $a$와 $b$가 둘 다 짝수이므로 2는 둘의 공약수인데, ①에서 공약수는 $\pm 1$뿐이라고 했다. 충돌한 두 문장은 "2는 $a$와 $b$의 공약수다"와 "2는 $a$와 $b$의 공약수가 아니다"이다 [모순의 산지 ②]. ④ **결론 선언.** 따라서 가정이 틀렸고, $\sqrt6$은 무리수다. $\blacksquare$ **복기.** 소수 3으로 시작해도 같은 길이로 끝난다 — $a^2 = 6b^2$에서 $3 \mid a^2$이므로 유클리드 보조정리($p = 3$)로 $3 \mid a$를 얻고, $a = 3k$를 대입하면 $3k^2 = 2b^2$에서 $3 \mid 2b^2$, 3이 2를 나누지 않으므로 $3 \mid b^2$, 다시 $3 \mid b$다. 어느 소수를 골라도 되지만 고른 소수를 끝까지 밀고 가야 하며, 중간에 2와 3을 섞으면 공약수 주장이 어긋난다. 반대로 $\sqrt4$에 같은 논증을 시도하면 4가 소수가 아니어서 보조정리의 자격 검증에서 막히는데, 이것이 증명에서 소수성이 소비되는 자리다. ### 문제 11 **접근.** 자연수 전체에 대한 $\forall$이고 좌변이 직전 항에 의존하는 합이므로 귀납법이다. 채점 지점은 셋이다 — 기저에서 양변을 각각 계산해 일치를 보이는가, 귀납 단계에서 가정을 소비하는 자리를 표시하는가, 마지막 식이 $n + 1$을 대입한 우변과 같은 꼴로 정리되는가. **풀이.** **증명.** $n$에 대한 귀납법으로 증명한다. (기저) $n = 1$일 때 좌변은 $3 \cdot 1 - 2 = 1$이고 우변은 $\dfrac{1 \cdot (3 \cdot 1 - 1)}2 = \dfrac{1 \cdot 2}2 = 1$이므로 양변이 같다 ✓. (귀납 단계) 어떤 자연수 $n$에서 $\sum_{k=1}^n (3k - 2) = \dfrac{n(3n-1)}2$가 성립한다고 하자. $n + 1$에서 좌변을 계산하면 $$ \sum_{k=1}^{n+1} (3k - 2) = \left(\sum_{k=1}^{n} (3k - 2)\right) + \bigl(3(n+1) - 2\bigr) = \frac{n(3n-1)}2 + (3n + 1) $$ 이다. 둘째 등호에서 귀납 가정을 소비했다. 통분하면 $$ \frac{n(3n-1)}2 + (3n+1) = \frac{3n^2 - n + 6n + 2}2 = \frac{3n^2 + 5n + 2}2 = \frac{(n+1)(3n+2)}2 $$ 이고, $3n + 2 = 3(n+1) - 1$이므로 이 값은 $\dfrac{(n+1)\bigl(3(n+1) - 1\bigr)}2$다. 이것은 원식의 $n$ 자리에 $n+1$을 넣은 우변과 같은 꼴이다 ✓. 기저와 귀납 단계가 모두 성립하므로 모든 자연수 $n$에서 등식이 성립한다. $\blacksquare$ **복기.** 인수분해 검산은 전개로 한다 — $(n+1)(3n+2) = 3n^2 + 2n + 3n + 2 = 3n^2 + 5n + 2$ ✓. 값 검산도 한 번 해 둔다. $n = 2$이면 좌변은 $1 + 4 = 5$이고 우변은 $\dfrac{2 \cdot 5}2 = 5$ ✓. 귀납 단계에서 가장 자주 어긋나는 것은 마지막 정리다 — $\dfrac{3n^2 + 5n + 2}2$에서 멈추면 그것이 $n+1$의 우변인지 확인되지 않으므로, $(n+1)$을 인수로 드러내는 데까지 가야 한다. ### 문제 12 **접근.** 두 걸음이다. 먼저 $S$를 부등식이 아니라 구간으로 다시 적어야 후보가 보이고, 그다음 후보마다 S16주차 §1.4의 2부 서식(소속 검증 + 상계 또는 하계 증명)을 돌린다. 첫 걸음의 부호 판정은 곱의 부호를 경우로 나누는 일이므로 경우법이 그 자리에서 쓰인다. **풀이.** **집합 정리.** $x^2 \le 2x$는 $x^2 - 2x \le 0$, 곧 $x(x - 2) \le 0$과 동치다 [부등식의 성질]. 곱이 0 이하가 되는 경우를 전수로 나눈다. $x < 0$이면 $x < 0$이고 $x - 2 < 0$이라 곱이 양수이므로 조건이 거짓이다. $0 \le x \le 2$이면 $x \ge 0$이고 $x - 2 \le 0$이라 곱이 0 이하이므로 참이다. $x > 2$이면 두 인수가 모두 양수라 곱이 양수이므로 거짓이다. 세 경우가 전수이므로 $S = \{x \in \mathbb{R} : 0 \le x \le 2\}$이다. **최댓값.** $\max S = 2$임을 보인다. 소속: $2^2 = 4 \le 4 = 2 \cdot 2$이므로 $2 \in S$다 ✓. 상계: $x \in S$를 임의로 잡으면 위 특성화에 의해 $x \le 2$이다 [선택법] ✓. 두 조각이 성립하므로 정의에 의해 $\max S = 2$다. **최솟값.** $\min S = 0$임을 보인다. 소속: $0^2 = 0 \le 0 = 2 \cdot 0$이므로 $0 \in S$다 ✓. 하계: $x \in S$를 임의로 잡으면 $x \ge 0$이다 [선택법] ✓. 두 조각이 성립하므로 $\min S = 0$이다. $\blacksquare$ **복기.** 소속 검증을 빠뜨리면 $S$ 밖의 수도 최댓값으로 통과한다 — 3도 $S$의 상계이지만 $3 \notin S$이므로 최댓값이 아니다. 상계만 적은 답안이 자주 나오는 원인은 "최댓값"이라는 말이 크기 쪽 조건만 떠올리게 하기 때문이며, 정의의 두 조각을 걸음 번호로 적어 두면 이 누락이 눈에 띈다. 경계값 검산도 해 둔다 — $x = 2$에서 $4 \le 4$ ✓, $x = 2.1$에서 $4.41 \le 4.2$는 거짓이므로 구간 밖이다 ✓. ### 문제 13 **접근.** 정의의 겉모양이 $\forall \varepsilon \exists N \forall n$이라는 세 겹이므로 바깥부터 한 겹씩 연다 — 선택법, 구성법, 선택법 순이다 (S8주차). 증인 $N$은 역산으로 찾는다. 목표 부등식을 $n$에 대해 풀어 문턱을 얻은 뒤, 그 문턱 이상의 자연수를 천장으로 만든다. **풀이.** **역산(설계).** 차를 먼저 정리한다. $$ \left|\frac{4n-3}{2n+1} - 2\right| = \left|\frac{4n - 3 - 2(2n+1)}{2n+1}\right| = \left|\frac{-5}{2n+1}\right| = \frac5{2n+1} $$ 이므로 목표는 $\dfrac5{2n+1} < \varepsilon$이다. 이것은 $2n + 1 > \dfrac5\varepsilon$과 동치이고, $2n > \dfrac5\varepsilon$이면 충분하다. 곧 $n > \dfrac5{2\varepsilon}$이 문턱이다. **증명.** $\varepsilon > 0$을 임의로 잡자 [선택법]. $N = \left\lceil \dfrac5{2\varepsilon} \right\rceil$로 두자 [구성법]. 자격 검증: $\varepsilon > 0$이므로 $\dfrac5{2\varepsilon} > 0$이고, 천장은 그 값 이상인 정수이므로 $N$은 양의 정수다 ✓. 또 천장의 성질에서 $N \ge \dfrac5{2\varepsilon}$, 곧 $2N \ge \dfrac5\varepsilon$이다. 사건 검증: $n > N$인 자연수 $n$을 임의로 잡자 [선택법]. 그러면 $2n + 1 > 2N + 1 > 2N \ge \dfrac5\varepsilon$이다. 양변이 양수이므로 역수를 취하면 부등호가 뒤집혀 $\dfrac1{2n+1} < \dfrac\varepsilon5$이고, 양변에 5를 곱하면 (W3) $\dfrac5{2n+1} < \varepsilon$이다. 앞의 계산에 의해 이것은 곧 $\left|\dfrac{4n-3}{2n+1} - 2\right| < \varepsilon$이다. $n$이 임의였으므로 $n > N$인 모든 $n$에서 성립하고, $\varepsilon$이 임의였으므로 모든 양수 $\varepsilon$에서 성립한다. 따라서 $\dfrac{4n-3}{2n+1} \to 2$이다. $\blacksquare$ **복기.** 검산은 값 하나로 한다. $\varepsilon = 0.1$이면 $N = \lceil 25 \rceil = 25$이고, $n = 26$에서 차는 $\dfrac5{53} \approx 0.094 < 0.1$ ✓. 겹을 연 순서($\forall\varepsilon \to \exists N \to \forall n$)와 닫은 순서가 역순이라는 점도 채점 지점이다. 증인 $N$이 $\varepsilon$의 식이어도 되는 것은 $\varepsilon$이 먼저 확정되었기 때문이며, 이것이 맞춤 증인이다. ### 문제 14 **접근.** 앞부분은 유일성 얼굴 1의 골격 그대로다 — 조건을 만족하는 것 둘을 잡고 같음에 도착한다. 다만 같음이 주장되는 대상이 $x$가 아니라 $x^2$이라는 점을 놓치면 명제를 잘못 읽는다. 뒷부분은 유일성 파트가 얻은 $x_1^2 = x_2^2$을 인수분해해 근의 모양을 읽는 일이다. **풀이.** **증명.** $ax_1^2 + b = 0$이고 $ax_2^2 + b = 0$이라 하자 [얼굴 1의 개시 — 둘이 다르다고 가정하지 않는다]. 두 식을 빼면 $$ a x_1^2 - a x_2^2 = 0, \qquad \text{곧} \qquad a(x_1^2 - x_2^2) = 0 $$ 이다 [등식의 성질]. $a \neq 0$이므로 영인수 성질에 의해 $x_1^2 - x_2^2 = 0$, 곧 $x_1^2 = x_2^2$이다. 따라서 $x^2$의 값은 하나로 정해진다. $\blacksquare$ **근의 모양.** $x_1^2 = x_2^2$이면 $x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 0$이고, 영인수 성질에 의해 $x_1 = x_2$ 또는 $x_1 = -x_2$다. 실제 근을 확인하면 $ax^2 + b = 0$은 $x^2 = -\dfrac ba$와 동치이므로 세 경우로 갈린다. $-\dfrac ba > 0$이면 근은 $\pm\sqrt{-\dfrac ba}$ 두 개이고 부호만 다르다. $-\dfrac ba = 0$이면 $b = 0$이라 근은 $x = 0$ 하나다. $-\dfrac ba < 0$이면 (W1)에 의해 어떤 실수의 제곱도 음수가 아니므로 실근이 없다. 따라서 실근이 존재하면 부호만 다른 두 개이거나 0 하나다. **복기.** 유일한 것이 $x$가 아니라 $x^2$이라는 구분이 이 문항의 요점이다. 무대를 실수 전체로 두는 한 $x$의 유일성은 거짓이며, 유일성을 $x$까지 밀고 가려면 "양의 실수"처럼 무대에 자격을 걸어야 한다. 유일성 주장을 읽을 때 무엇이 유일한지와 어느 무대에서 유일한지를 먼저 확정하는 습관이 S13주차의 요구였고, 이 문항이 그 확인이다. ### 문제 15 **접근.** 두 부분으로 나뉜다. 앞부분은 §1 분야 D의 재현이므로 정답지가 §1이고, 뒷부분이 이 문항의 새 요구다. 마지막 걸음을 보조정리로 분리하라는 것은 그 걸음이 그래프와 무관한 정수의 사실임을 드러내라는 뜻이다. 보조정리의 진술을 먼저 정확히 적고, 그다음 홀수의 정의를 $k$개의 값에 각각 풀어 합을 계산한다. **풀이.** **보조정리.** $k$개의 홀수의 합이 짝수이면 $k$는 짝수이다. **증명.** 홀수 $c_1, \ldots, c_k$의 합이 짝수라 하자. 홀수의 정의에 의해 각 $i$에 대해 $c_i = 2m_i + 1$인 정수 $m_i$가 있다 [정의의 전진면, 근거 ①]. 합을 계산하면 $$ \sum_{i=1}^k c_i = \sum_{i=1}^k (2m_i + 1) = 2(m_1 + \cdots + m_k) + k $$ 이다 [등식의 성질]. $m_1 + \cdots + m_k$를 $t$라 쓰면 합은 $2t + k$이고, 이 값이 짝수라 했으므로 $2t + k = 2s$인 정수 $s$가 있다. 따라서 $k = 2s - 2t = 2(s - t)$이고 $s - t$는 정수이므로 $k$는 짝수다. $\blacksquare$ **악수 정리에서 쓰이는 자리.** §1 분야 D의 증명에서 $S_{\text{odd}} = 2(e - t)$까지 얻으면 "차수가 홀수인 $k$개 꼭짓점의 차수의 합이 짝수"라는 사실이 확보된다. 여기에 보조정리를 적용하면 $k$가 짝수라는 결론이 곧바로 나오고, 이것이 정리의 주장이다. 분리해 보면 그래프의 성질이 쓰이는 곳은 이중 세기 한 줄뿐이고 나머지는 전부 정수의 홀짝 계산임이 드러난다. **복기.** 같은 등식 $\sum c_i = 2t + k$에서 대우도 함께 읽힌다 — $k$가 홀수이면 합은 짝수에 홀수를 더한 값이라 홀수다. 두 방향을 묶으면 "홀수 $k$개의 합의 홀짝은 $k$의 홀짝과 같다"가 되며, 이 형태가 재사용하기 좋다. 보조정리로 분리하는 이득은 재사용성에 있다 — 그래프 밖의 문제에서도 이 문장 하나로 인용할 수 있다. ### 문제 16 **접근.** 좌변이 곱이므로 먼저 전개해 무엇을 상대하는지 본다. 전개하면 상수 3과 세 쌍의 역수 합이 남고, 각 쌍이 2 이상임을 보이면 합이 9 이상이 된다. 쌍의 부등식 $\dfrac xy + \dfrac yx \ge 2$는 차를 통분해 제곱을 드러내면 (W1)로 환원된다 — 부등식의 표준 후진 그대로다. **풀이.** **보조 부등식.** 양수 $x$, $y$에 대해 $\dfrac xy + \dfrac yx \ge 2$이다. 실제로 $$ \frac xy + \frac yx - 2 = \frac{x^2 + y^2 - 2xy}{xy} = \frac{(x-y)^2}{xy} $$ 이고, (W1)에 의해 분자가 0 이상이며 (W4)에 의해 $xy > 0$이므로 (W5)에 의해 몫이 0 이상이다. 따라서 $\dfrac xy + \dfrac yx \ge 2$다. **증명.** 양의 실수 $a$, $b$, $c$를 임의로 잡자 [선택법 3회]. 좌변을 전개하면 아홉 개의 항이 나온다 — $a \cdot \frac1a = 1$, $b \cdot \frac1b = 1$, $c \cdot \frac1c = 1$이 상수 셋이고, 나머지 여섯 항은 $\frac ab$, $\frac ac$, $\frac ba$, $\frac bc$, $\frac ca$, $\frac cb$이다. 이를 쌍으로 묶으면 $$ (a+b+c)\left(\frac1a + \frac1b + \frac1c\right) = 3 + \left(\frac ab + \frac ba\right) + \left(\frac bc + \frac cb\right) + \left(\frac ac + \frac ca\right) $$ 이다. $a$, $b$, $c$가 모두 양수이므로 보조 부등식을 세 쌍에 각각 적용하면 각 괄호가 2 이상이고, (W2)를 반복 적용하면 $$ 3 + \left(\frac ab + \frac ba\right) + \left(\frac bc + \frac cb\right) + \left(\frac ac + \frac ca\right) \ge 3 + 2 + 2 + 2 = 9 $$ 이다. 따라서 $(a+b+c)\left(\frac1a + \frac1b + \frac1c\right) \ge 9$이고, $a$, $b$, $c$가 임의였으므로 모든 양의 실수에서 성립한다. $\blacksquare$ 등호 조건을 적으면 부등식이 어디서 정확히 등호가 되는지가 확정된다 — 이 확정이 없으면 9가 실제로 도달되는 값인지 그저 하나의 하계인지가 답안에서 갈리지 않는다. 세 쌍의 등호가 동시에 성립해야 하므로 $a = b$, $b = c$, $a = c$가 모두 필요하고, 곧 $a = b = c$일 때에만 등호가 성립한다. **복기.** 검산은 두 값으로 한다. $a = b = c = 1$이면 좌변은 $3 \cdot 3 = 9$로 등호 ✓. $a = b = 1$, $c = 2$이면 좌변은 $4 \cdot 2.5 = 10 \ge 9$ ✓. 이 문제의 설계는 "곱을 전개해 대칭 쌍을 만들고, 쌍마다 이미 아는 부등식을 특수화한다"는 한 동작이며, 변수 개수가 늘어도 그대로 확장된다. 자격 검증(모든 변수가 양수)을 빠뜨리면 보조 부등식이 성립하지 않으므로, 음수를 넣어 보면 $\frac{-1}1 + \frac1{-1} = -2 < 2$로 실제로 무너진다. ### 문제 17 **접근.** 가정이 "모든 $x$, $y$에 대해"라는 $\forall$이므로 사실 목록 쪽의 $\forall$이고, 붙는 기법은 특수화다 (S7주차). 실력이 되는 자리는 무엇을 넣을지의 조준이며, 목표가 $f(1)$에 대한 주장이므로 1을 넣어 보는 것이 자연스럽다. $y = 1$을 넣으면 좌변이 $f(x)$로 접히면서 $f(1)$이 계수 자리에 남는다. **풀이.** **증명.** 가정의 $\forall$ 문장에 $y = 1$을 특수화하자. 자격 검증: 1은 실수이므로 투입 자격이 있다 ✓. 수령하면 모든 실수 $x$에 대해 $$ f(x \cdot 1) = f(x) f(1), \qquad \text{곧} \qquad f(x) = f(x) f(1) $$ 이다. 양변에서 $f(x)f(1)$을 빼고 묶으면 모든 실수 $x$에 대해 $f(x)\bigl(1 - f(1)\bigr) = 0$이다 [등식의 성질]. 이제 $f$가 상수함수가 아니라는 가정을 소비한다. 만약 모든 실수 $x$에서 $f(x) = 0$이라면 $f$는 값이 늘 0인 상수함수이므로 가정에 어긋난다. 따라서 $f(x_0) \neq 0$인 실수 $x_0$이 존재한다. 그 $x_0$에 대해 $f(x_0)\bigl(1 - f(1)\bigr) = 0$이고 $f(x_0) \neq 0$이므로, 영인수 성질에 의해 $1 - f(1) = 0$이다. 곧 $f(1) = 1$이다. $\blacksquare$ **복기.** 상수함수가 아니라는 가정이 소비되는 자리는 정확히 $x_0$의 존재를 얻는 한 줄이다. 그 가정을 빼면 명제가 거짓이 된다 — $f(x) = 0$인 함수는 $f(xy) = 0 = f(x)f(y)$를 만족하지만 $f(1) = 0$이다. 가정 하나를 지우고 반례를 찾아 보는 이 점검이 S18주차 일반화의 기본 동작이며, 여기서는 그 가정이 지울 수 없는 특수성임을 확인해 준다. ### 문제 18 **접근.** 부정형 결론이고 무조건 명제이므로 귀류다. 다만 $\sqrt2$나 $\sqrt6$처럼 기약 표현으로 바로 밀고 갈 수는 없다 — 제곱해도 정수가 되지 않고 $\sqrt6$이 남기 때문이다. 그 남는 항이 오히려 통로다. 유리수라 가정한 값을 제곱해 $\sqrt6$을 유리수의 식으로 고립시키면, 문제 10에서 이미 증명한 사실과 정면으로 충돌한다. **풀이.** **증명.** ① **개시 선언.** 결론을 부정하여 $s = \sqrt2 + \sqrt3$이 유리수라 가정하자. ② **전진.** 양변을 제곱하면 $$ s^2 = (\sqrt2)^2 + 2\sqrt2\sqrt3 + (\sqrt3)^2 = 2 + 2\sqrt6 + 3 = 5 + 2\sqrt6 $$ 이다. $\sqrt6$에 대해 풀면 $\sqrt6 = \dfrac{s^2 - 5}2$이다. 여기서 자격을 검증한다. $s$가 유리수이므로 $s^2$은 유리수의 곱이라 유리수이고, $s^2 - 5$는 유리수의 차라 유리수이며, 그것을 0이 아닌 정수 2로 나눈 값도 유리수다 [유리수의 사칙 닫힘 — 1권 15주차 예제 2.2(합)$\cdot$문제 9(차)$\cdot$훈련 1(곱)$\cdot$문제 15(몫)]. 따라서 $\sqrt6$은 유리수다. ③ **모순 명시.** 그런데 문제 10에서 $\sqrt6$이 무리수임을 증명했다. 충돌한 두 문장은 "$\sqrt6$은 유리수다"와 "$\sqrt6$은 유리수가 아니다"이다 [모순의 산지 ③ — 기증명 사실과의 충돌]. ④ **결론 선언.** 따라서 가정이 틀렸고, $\sqrt2 + \sqrt3$은 무리수다. $\blacksquare$ **복기.** 이 증명의 이식 가능한 패턴은 "새 무리성을 이미 아는 무리성으로 환원한다"이다. 제곱이나 곱셈으로 아는 항만 남기고 나머지를 유리수의 식으로 고립시키는 것이 표준 동작이며, 고립된 항이 유리수임을 주장할 때 닫힘성을 근거로 명시하는 것이 채점 지점이다. 문제 10을 인용하는 답안은 그 결과를 이 시험에서 실제로 증명했으므로 순환이 아니지만, 문제 10을 풀지 않았다면 $\sqrt6$의 무리성을 여기서 다시 증명해야 한다. ### 문제 19 **접근.** 증명을 새로 만드는 문항이 아니라 완성된 증명을 읽는 문항이다. 줄마다 세 가지를 지목한다 — 기법, 출신(후진인가 전진인가), 근거. 결론이 "$\forall r, s$"와 "$\exists q$"라는 두 겹이므로 첫 두 줄이 선택법과 구성법이라는 것이 골격이고, 나머지 줄은 구성법의 검증 두 종류로 갈린다. **풀이.** 해부표는 다음과 같다. | **줄** | **기법** | **출신$\cdot$근거** | |---|---|---| | "$r < s$인 유리수 $r$, $s$를 임의로 잡자" | 선택법 (S6주차) | 결론의 $\forall$. 숨은 가설 $r < s$는 자격이며 부정의 대상이 아니다 | | "$q = \dfrac{r+s}2$로 두자" | 구성법 (S5주차) | 결론의 $\exists$. 증인은 역산으로 찾는다 — $r < q < s$를 만족할 가장 단순한 후보가 중점이다 | | "$q$도 유리수이다" | 자격 검증 | 유리수의 합$\cdot$몫에 대한 닫힘 (1권 15주차 예제 2.2$\cdot$문제 15 — 근거 ②/④이며 정의 15.1이 아니다) | | "$q - r = \dfrac{s-r}2 > 0$" | 사건 검증 (전진) | $s - r > 0$과 (W5)$\cdot$(W4) — 양수를 양수로 나눈 값은 양수다 (1권 16주차) | | "$s - q = \dfrac{s-r}2 > 0$" | 사건 검증 (전진) | 같은 근거의 두 번째 적용. 사건이 두 부분이므로 검증도 두 번 한다 | | "따라서 그런 유리수가 존재한다" | 구성 완료 선언 | 자격과 사건이 전수 검증되었으므로 $\exists$가 닫힌다 | 결정 나무의 어느 경로를 탔는지도 한 줄로 적는다. 0단계에서 결론을 $\forall r, s\, \exists q$로 펴고, 1단계에는 부정 신호가 없어 그대로 통과하며, 2단계에서 바깥 겹이 $\forall$이므로 선택법, 남은 겹이 $\exists$이므로 구성법이다 (S8주차의 중첩 처리). **복기.** 이 증명은 1권 15주차 문제 17과 같은 명제이고 증인도 같다. 달라진 것은 답안이 아니라 읽는 방식이다 — 그때는 "중점을 잡으면 된다"는 착상이었고, 지금은 결론의 겹 구조가 선택법과 구성법을 순서대로 지목하며 증인 후보는 역산에서 나오고 검증은 자격과 사건 둘로 갈린다는 절차다. 착상이 절차가 되면 낯선 명제에서도 같은 자리를 짚을 수 있다. ### 문제 20 **접근.** 채점은 문장의 매끄러움이 아니라 세 요소로 한다 — (a)에서 1권과 Solow의 역할 차이를 한 문장으로 구분하는가, (b)에서 결정 나무가 무엇을 하나로 묶었는지 지목하는가, (c)에서 2학기에 이 절차가 어디에 쓰일지를 구체적인 대상으로 말하는가. 다섯 문장 제한은 요약 능력 자체를 검사하는 장치이므로 초과하면 감점한다. **풀이.** 예시 답안은 다음과 같다. 1권이 직접$\cdot$대우$\cdot$귀류$\cdot$귀납이라는 기법의 목록과 각 기법의 서식을 준 것이라면, Solow가 더한 것은 막힌 순간에 어느 기법을 왜 드는지의 판단 절차와, 후진$\cdot$전진으로 판을 관리하는 운영 방식이다. 결정 나무는 그 판단을 명제의 겉모양 하나로 환원해 통합했다 — 부정이 박혔는가, 결론의 최상위 구조가 무엇인가, 이 두 물음만으로 열세 개의 잎 중 하나가 지목된다. 스무 주가 하나의 절차로 접힌 결과, 이제 낯선 증명을 읽어도 각 줄의 기법$\cdot$출신$\cdot$근거를 지목할 수 있고, §1의 네 분야 해부가 그 사실의 확인이었다. 2학기 Chartrand에서는 이 절차를 정수론$\cdot$조합론$\cdot$해석학$\cdot$군론의 실제 정리에 적용해 스스로 증명하게 되며, 늘어나는 것은 기법이 아니라 정의와 대상이다. 그러므로 남은 훈련은 새 기법의 습득이 아니라 낯선 정의를 빠르게 두 면으로 펴는 연습이다. **복기.** 이 문항의 목적은 마지막 문장에 있다. 자기가 무엇을 갖췄고 무엇이 남았는지를 이름으로 부를 수 있으면 2학기의 복습이 전 범위 재독이 아니라 두세 지점의 점검으로 줄어든다. 답안에 적은 약점은 §3 재학습 지도의 어느 줄에 해당하는지까지 표시해 두면 그대로 개인 복습 계획이 된다. --- ## 1학기(Solow) 수료 S1주차부터 S20주차까지를 완주하고 수료 시험을 통과했다면, 이 과정이 목표로 삼은 것은 확보되었다 — 임의의 증명을 줄 단위로 해부해 읽고, 낯선 명제에 결정 나무를 적용해 첫수를 뽑는 일이다. Solow가 준 것은 개별 기법이 아니라 증명의 사고 과정을 관리하는 절차이며, 그 절차는 소재가 바뀌어도 그대로 작동한다. **다음 학기 예고 (C1주차~C20주차 — Chartrand).** 2학기는 이 절차 위에서 수학의 각 분야를 차례로 통과한다. 수학적 글쓰기(C1주차)로 시작해 집합$\cdot$논리$\cdot$증명 기법을 Chartrand의 언어로 재조직하고(C2주차~C10주차), 동치관계와 함수(C11주차~C12주차), 기수와 슈뢰더–번슈타인 정리(C13주차~C14주차)를 거쳐, 정수론(C15주차 — 최대공약수$\cdot$유클리드 호제법$\cdot$산술의 기본정리), 조합론(C16주차), 해석학(C17주차 — 극한부터 미분가능성까지), 군론(C18주차~C19주차)으로 나아간다. 1권과 1학기에서 외상으로 남긴 빚 — 산술의 기본정리의 유일성, 미분, 유클리드 보조정리, 무리수의 조밀성 — 이 여기서 회수된다. 원서 Chartrand 0장을 통독하며 2학기를 준비한다. 그 전에 1학기 전체를 백지에서 재현할 수 있는지 — 특히 결정 나무와 각 기법의 서식을 — 한 번 더 점검해 두면 2학기의 부담이 줄어든다.