# S17주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

## 시험 규칙

- **1부 (백지 복원, 40분)**: 이 문서에는 1부의 문항 절이 따로 없다. 복원 대상은 §1 전체 — 결정 나무의 0~3단계 골격과, 잎 표의 각 줄에 붙은 신호$\cdot$첫 문장이다. 만점 21점(나무 골격 8점 — 0~3단계의 걸음과 각 갈래 / 잎 서식 13점 — 잎 표 13줄에 각 1점), **17점 이상 통과**. §1이 그대로 정답지이므로 채점은 §1과의 대조로 한다. 나무 골격 8점 안에 잎 표에 없는 항목($\land$ 분해, 후진$\cdot$전진, 정의의 두 면, 직접 증명)이 들어간다.
- **2부 (종합시험, 150분)**: 20문항. 기본 6문항 $\times$ 1점 + 표준 8문항 $\times$ 2점 + 도전 6문항 $\times$ 3점 = **40점 만점, 32점 이상 통과**.
- 주간 배분 — 1~2일차 S10주차~S16주차 재독, 3일차 §1 결정 나무 암기, 4일차 1부(백지 복원), 5일차 2부(종합시험). 새 진도가 없으므로 제2권 5일 루틴의 원서 통독 자리가 재독으로 바뀐다.
- 교재$\cdot$원서$\cdot$노트 참조 금지. 해설은 채점이 끝난 뒤에만 연다.
- 부분 점수: 표준$\cdot$도전에서 분석표(설계)와 산문을 별도로 채점하고 각각 절반을 배정한다. 설계와 산문은 별개의 능력이므로 둘 다 본다.
- 기준에 미치지 못하면 아래 재학습 지도의 해당 주차를 복습하고 일주일 뒤 재시험을 본다. 통과 전에는 S18주차로 넘어가지 않는다.
- 이하 해설에서 (W1)~(W6)은 1권 16주차의 부등식 기본 성질을 가리키고, [N1]~[N6]은 S10주차의 NOT 기계 여섯 규칙을 가리킨다.

## 2부 — 종합시험 (20문항)

### 기본 ●○○ (각 1점)

**1.** (판독 6연발 — 첫수의 기법 이름만) 각 명제에 결정 나무를 적용해 첫수 기법을 지목하시오. (a) $\sqrt3$은 무리수이다. (b) 모든 실수 $x$에 대해 $x^2 - 4x + 5 > 0$이다. (c) $77 = a + b$인 소수 $a, b$가 존재한다. (d) $A \cap B \subseteq A$. (e) 모든 자연수 $n$에 대해 $\sum_{k=1}^n k^3 = \left(\frac{n(n+1)}2\right)^2$. (f) $ab = 0$이면 $a = 0$ 또는 $b = 0$이다.

**2.** 결정 나무의 1단계(부정 판독)를 백지에 재현하고, "부정형 결론의 3처방"을 쓰시오.

**3.** 네 칸 표($\forall$$\cdot$$\exists$ $\times$ 가정$\cdot$결론)를 그리고 각 칸의 동사를 채우시오.

**4.** 명제 "$x^7 = 128$이면 $x = 2$" ($x$ 실수)에 후진 첫 질문(추상형)과 답 후보 하나, 방향 검사를 쓰시오.

**5.** NOT 기계 6칙(N1~N6)을 쓰시오.

**6.** "정확히 하나"의 두 파트와 각 파트의 기법을 쓰시오.

### 표준 ●●○ (각 2점)

**7.** (구성) 임의의 유리수 $q$에 대해 $2r = q$인 유리수 $r$이 존재함을 증명하시오.

**8.** (선택 + 완전제곱) 모든 실수 $x, y$에 대해 $x^2 + y^2 + 1 \ge xy + x + y$임을 증명하시오. (힌트: $2 \times$ 양변 후 제곱합 — $(x-y)^2 + (x-1)^2 + (y-1)^2 \ge 0$)

**9.** (귀류) $\sqrt3$이 무리수임을 증명하시오 (4단 서식$\cdot$산지 표기 — $a^2 = 3b^2$에서 $3 \mid a$, 유클리드 보조정리 $p=3$은 S15주차 문제 10의 기성품).

**10.** (대우) 정수 $n$에 대해, $n^2$이 홀수이면 $n$은 홀수임을 증명하시오 (판정법 표의 근거 지목 + 3단 서식).

**11.** (유일성) 실수 $a \neq 0$에 대해 $ax = 1$의 실수 해가 정확히 하나임을 증명하시오 (존재/유일 분리).

**12.** (귀납) 모든 자연수 $n$에 대해 $\sum_{k=1}^n \frac1{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}$임을 증명하시오 (쪼개기 + 가정 소비처 표시).

**13.** (경우법) 모든 정수 $n$에 대해 $n^3 - n$이 6의 배수임을 증명하시오 (2의 배수: 연속 곱 / 3의 배수: $n \bmod 3$ 케이스 — S9주차 문제 17의 사촌).

**14.** (max/min) $S = \{x \in \mathbb{R} : x^2 - 6x + 8 \le 0\}$의 최댓값$\cdot$최솟값을 구하고 증명하시오 (두 조각 서식).

### 도전 ●●● (각 3점)

**15.** (중첩 — $\varepsilon$-N) $\dfrac{n^2 + 1}{2n^2} \to \dfrac12$임을 증명하시오 (역산 $\to$ 3겹 라벨).

**16.** (부정 종합) $f(x) = x^2 - 4x$ ($f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$)가 단사가 아님을 증명하시오 (NOT 전개 $\to$ 구성: 같은 값 두 입력 — $f$의 대칭축 활용).

**17.** (귀납 + 부등식) 모든 자연수 $n \ge 1$에 대해 $\sum_{k=1}^n \frac1{k^2} \le 2 - \frac1n$임을 증명하시오 (강한 힌트: 귀납 단계에서 $\frac1{(n+1)^2} \le \frac1{n(n+1)} = \frac1n - \frac1{n+1}$ 활용).

**18.** (유일성 + 존재) 명제 "임의의 양의 실수 $a$에 대해, $x^2 = a$인 양의 실수 $x$가 정확히 하나 존재한다"를 완전 증명하시오 (존재: 기성품 / 유일: 얼굴 1 + 양수성 — S13주차 문제 11).

**19.** (설계 종합) 모든 양의 실수 $a, b, c$에 대해 $\frac ab + \frac bc + \frac ca \ge 3$임을 증명하시오 (AM–GM을 세 항에 — $\frac13(\frac ab + \frac bc + \frac ca) \ge \sqrt[3]{\frac ab \cdot \frac bc \cdot \frac ca} = 1$; 3변수 AM–GM은 기성품으로 인정하되 곱이 1이 되는 계산은 직접).

**20.** (서술 — 자기 진단) 결정 나무를 자기 언어로 재구성하되, S1주차~S16주차 중 **가장 자주 첫수가 되는 잎 세 개**를 꼽고 그 이유를, **가장 헷갈렸던 갈림길 하나**(예: 대우 대 귀류, 경우법 대 소거법)를 판정 기준과 함께 서술하시오 (여섯 문장 이내).

## 재학습 지도 (오답 → 복습)

| **틀린 문항** | **복습 주차** |
|---|---|
| 1, 20 | S1주차~S16주차 결정 나무 (이 문서 §1) |
| 4 | S2주차 (후진) |
| 5, 16 | S10주차 (NOT 기계) |
| 2, 9 | S10주차$\cdot$S11주차 (부정$\cdot$귀류) |
| 10 | S12주차 (대우) |
| 6, 11, 18 | S13주차 (유일성) |
| 12, 17 | S14주차 (귀납) |
| 13 | S15주차 (경우법) |
| 3, 7 | S5주차$\cdot$S6주차$\cdot$S7주차 (양화사 네 칸) |
| 8, 19 | 1권 16주차 + S3주차 (부등식 설계) |
| 14 | S16주차 (최대$\cdot$최소) |
| 15 | S8주차 (중첩) |

## 해설

채점이 끝나기 전에는 열지 않는다. 1부의 정답지는 §1이며, 각 잎의 서식은 잎 표의 해당 줄과 그 주차의 [백지 암기 대상] 상자로 대조한다.

### 문제 1

**접근.** 증명을 요구하지 않는 문항이다. 요구하는 것은 결정 나무를 여섯 번 돌리는 일뿐이다. 각 명제에서 먼저 1단계(결론에 부정이 있는가)를 묻고, 걸리지 않으면 2단계(결론의 최상위 구조)로 내려가 잎을 지목한다. 계산은 한 줄도 하지 않아야 하며, 계산을 시작했다면 그것은 문항이 요구한 범위를 벗어난 것이다.

**풀이.** (a) "무리수"는 "유리수가 아니다"이므로 1단계에 걸린다. NOT 기계로 풀면 "$\sqrt3 = a/b$인 정수 $a$와 0이 아닌 정수 $b$가 존재하지 않는다"가 되고, 이 명제는 조건문이 아니라 무조건 명제여서 뒤집을 $A$가 없다. 따라서 대우가 아니라 **귀류**다(S12주차 판정법 셋째 줄). (b) 부정 신호가 없으므로 1단계를 통과한다. 결론의 최상위가 "모든 실수 $x$에 대해"이므로 **선택법**이며, 첫 문장은 "실수 $x$를 임의로 잡자"다. 그다음 남는 과녁은 부등식이고 완전제곱으로 처리하지만, 그것은 첫수 다음의 일이다. (c) 결론이 "…인 소수 $a, b$가 존재한다"이므로 **구성법**이다. 여기까지가 이 문항의 답이다. 다만 증인을 실제로 찾아보면 77이 홀수이므로 두 소수의 합이 되려면 하나가 짝수 소수 2여야 하고, 남은 수는 $77 - 2 = 75 = 3 \times 25$로 합성수다. 증인이 존재하지 않으므로 이 명제는 거짓이며, 구성 시도가 그 사실을 드러낸다. 짝수에 대한 골드바흐 추측을 홀수에 적용한 데서 오는 함정이다. (d) $A \cap B \subseteq A$의 $\subseteq$ 안에 $\forall x[x \in A \cap B \Rightarrow x \in A]$가 접혀 있다. 결론의 $\forall$이므로 **선택법**이며, 첫 문장은 "$x \in A \cap B$를 임의로 잡자"다. (e) 자연수 전체에 대한 $\forall$이고 우변이 직전 항에 의존하는 합이므로 **귀납법**이다. 결론이 $\forall$라는 이유만으로 선택법을 고르면 "임의의 $n$"을 잡은 뒤 손잡이가 없다. (f) 결론이 "$a = 0$ 또는 $b = 0$"이라는 $\lor$이므로 **소거법**이다. 첫 문장은 "$a \neq 0$이라 하자"이고, 거기서 $b = 0$을 끌어낸다.

**복기.** 여섯 문항의 판단 근거는 두 가지뿐이었다 — 부정이 박혀 있는가, 그리고 결론의 최상위 구조가 무엇인가. (c)는 첫수 지목과 명제의 참$\cdot$거짓이 별개의 물음이라는 것을 보여 준다. 기법 지목이 옳아도 증인이 없을 수 있고, 그때 구성법은 증명이 아니라 반증의 통로가 된다.

### 문제 2

**접근.** §1의 1단계가 정답지다. 재현할 것은 두 덩어리다 — 부정을 알아보는 신호 목록과, 전개 뒤에 갈라지는 세 갈래. 신호만 적고 세 갈래를 빠뜨리거나, 세 갈래만 적고 그 앞의 NOT 전개를 빠뜨리면 절반이다.

**풀이.** 1단계는 다음과 같다. 먼저 결론에 부정이 박혀 있는지 본다. 신호는 무리수, $\notin$, $\neq$, "…가 아니다", "…는 없다", "무한히 많다"이며, 이 낱말들은 정의를 풀 손잡이를 주지 않는다는 공통점이 있다. 신호가 있으면 곧바로 기법을 고르지 않고 **NOT 기계 N1~N6으로 전개**해 부정이 본체까지 내려간 꼴을 만든다(S10주차). 전개 결과를 보고 세 갈래로 나뉜다. 부정형 결론의 3처방은 다음 셋이다. ① **긍정형 재표현 후 직접 증명** — 전개 결과가 등호$\cdot$부등호$\cdot$소속이 뒤집힌 긍정형 특성화로 끝나면, 그 특성화를 새 과녁으로 삼아 보통의 직접 증명을 한다. ② **대우** — 명제가 조건문이고 $\neg B$와 $\neg A$가 둘 다 정의를 풀 수 있는 문장이면 대우문을 만들어 직접 증명한다(S12주차). ③ **귀류** — 뒤집을 $A$가 없는 무조건 명제이거나, $\neg A$가 과녁으로 쓰기 불편하거나, 충돌 상대를 $A$로 고정하는 것이 손해일 때 쓴다(S11주차). 갈래를 고르는 순서도 함께 적으면 답이 완성된다. 논리형 판독(조건문인가 무조건 명제인가)이 판정보다 먼저다. 조건문이 아니면 ②는 애초에 성립할 자리가 없으므로 ①과 ③만 남는다.

**복기.** 세 처방은 서로 배타적이지 않고 우선순위가 있다. 전개 결과가 그대로 증명 가능하면 ①이 가장 싸고, 조건문이면 ②를 먼저 시도하며, ③은 앞의 둘이 막힐 때의 처방이다. ②로 쓸 수 있는 답안을 ③으로 쓰면 S11주차가 말한 무늬만 귀류가 된다.

### 문제 3

**접근.** S5주차~S7주차를 한 장에 모은 네 칸 표를 재현하는 문항이다. 표의 축은 둘이다 — 양화사가 결론에 있는가 가정에 있는가, 그리고 그것이 $\forall$인가 $\exists$인가. 이 두 물음의 답이 정해지면 첫 문장이 자동으로 결정된다.

**풀이.** 표는 다음과 같다.

| **양화사가 있는 곳** | **기법** | **첫 문장(동사)** | **값을 고르는 쪽** |
|---|---|---|---|
| 결론의 $\forall$ | 선택법 (S6주차) | "자격을 갖춘 …를 임의로 **잡자**" | 상대가 고른 셈으로 친다 |
| 결론의 $\exists$ | 구성법 (S5주차) | "…로 **두자**" | 내가 고른다 |
| 가정의 $\exists$ | 이름 받기 | "그런 …를 **잡자**" | 이미 정해져 있고 이름만 받는다 |
| 가정의 $\forall$ | 특수화 (S7주차) | "…에 **적용하자**" | 내가 고른다 |

넷째 열까지 적어야 답이 완성된다. 결론의 $\forall$와 가정의 $\exists$는 값을 내가 정할 수 없는 칸이고, 결론의 $\exists$와 가정의 $\forall$는 내가 고르는 칸이다 — 줄 순서는 S7주차 §1.5의 네 칸 표와 같으므로 "내가 고른다"가 둘째 줄과 넷째 줄에 온다. 무엇을 고르느냐가 실력이 되는 자리는 결론의 $\exists$와 가정의 $\forall$ 두 칸이며, 결론의 $\forall$와 가정의 $\exists$에서 값을 정해 버리는 것이 반칙의 표준 형태다. 각 칸의 마무리도 다르다 — 선택법은 "…가 임의였으므로"라는 마무리 선언으로 닫고, 구성법은 자격과 사건의 전수 검증으로 닫고, 특수화는 자격 검증 뒤에 산출물을 수령한다.

**복기.** 반칙의 상당수는 칸 착각이다. 결론의 $\forall$를 결론의 $\exists$처럼 다뤄 값 하나를 정하면 곧바로 특정값 대입이 되고, 가정의 $\exists$를 내가 고르는 칸으로 착각하면 이름을 받는 대신 임의의 값을 지정하는 반칙이 된다. 자기 답안을 검열할 때도 이 표의 순서로 훑는다.

### 문제 4

**접근.** S2주차의 후진 한 걸음만 요구한다. 증명 전체를 쓰면 요구를 벗어난다. 제출물은 셋이다 — 추상형 핵심 질문, 그 질문의 답 후보, 그리고 그 후보가 실제로 쓸 수 있는 걸음인지 판정하는 방향 검사. 결론이 등식이므로 질문은 등식 일반에 대한 것이어야 하고, 문제의 기호($x$, 7, 128)가 질문에 섞이면 추상형이 아니다.

**풀이.** 핵심 질문(추상형)은 "두 실수가 같음을 어떻게 보이는가"다. 답 후보 ①: 차가 0임을 보인다. 이 문제의 기호로 옮기면 새 과녁 $B_1$은 "$x - 2 = 0$"이다. 방향 검사는 $B_1 \Rightarrow B$를 확인하는 것이므로, $x - 2 = 0$의 양변에 2를 더해 $x = 2$를 얻으면 검사 통과다 ✓. 방향 검사가 확인하는 것은 $B_1 \Rightarrow B$이지 그 역이 아니라는 점을 답안에 남겨야 한다. 답 후보 ②를 함께 적으면 가점이다. 가정 $x^7 = 128$에서 $x^7 - 128 = 0$, 곧

$$
(x - 2)(x^6 + 2x^5 + 4x^4 + 8x^3 + 16x^2 + 32x + 64) = 0
$$

이다. 영인수 성질에 의해 두 인수 중 적어도 하나가 0이므로, "둘째 인수는 0이 아니다"를 확보하면 $x - 2 = 0$이 따라온다 ✓. 다만 새 과녁이 하나 늘었으므로 조건부로 유효한 걸음이다. 늘어난 과녁은 실제로 처리된다 — $x \ge 0$이면 둘째 인수의 모든 항이 0 이상이고 상수항이 64이므로 값이 64 이상이며, $x < 0$이면 $x^7 - 128 < 0$이고 $x - 2 < 0$이므로 몫인 둘째 인수는 양수다. 검토가 필요한 후보: "양변에 7제곱근을 취한다". 결과는 옳지만 그 조작의 근거인 홀수 거듭제곱의 단사성 자체가 증명해야 할 부품이다. 방향 검사에서 "이 걸음의 근거가 무엇인가"에 답하지 못하면 그 걸음은 아직 쓸 수 없다.

**복기.** 후보 ②처럼 새 과녁을 낳는 걸음은 무효가 아니라 미완이다. 방향 검사는 그 걸음이 결론으로 이어지는지만 보므로, 늘어난 과녁을 처리할 수단이 있는지는 별도로 확인한다. 두 물음을 한 번에 묻는 습관이 후진 사슬이 헛도는 것을 막는다.

### 문제 5

**접근.** S10주차의 NOT 기계를 그대로 재현하는 문항이다. 여섯 규칙을 나열하는 것으로 절반이고, 각 규칙을 읽는 법과 기계 전체가 무엇을 보존하는지를 함께 적어야 만점이다. 기호만 옮겨 적으면 어느 줄에 어느 규칙을 쓸지 판단하는 능력은 검사되지 않는다.

**풀이.** 여섯 규칙은 다음과 같다.

| **규칙** | **변환** | **읽는 법** |
|---|---|---|
| N1 (이중부정) | $\neg\neg P \leadsto P$ | 두 번 뒤집으면 제자리 |
| N2 (드모르간, $\wedge$) | $\neg(P \wedge Q) \leadsto \neg P \vee \neg Q$ | "둘 다"의 실패는 "한쪽이라도 실패" |
| N3 (드모르간, $\vee$) | $\neg(P \vee Q) \leadsto \neg P \wedge \neg Q$ | "하나라도"의 실패는 "둘 다 실패" |
| N4 (조건문 부정) | $\neg(P \Rightarrow Q) \leadsto P \wedge \neg Q$ | 약속 위반은 "조건은 됐는데 이행 안 함" |
| N5 ($\forall$ 반전) | $\neg\forall x \in S,\ P(x) \leadsto \exists x \in S,\ \neg P(x)$ | "전원 통과"의 실패는 "낙제자 존재" |
| N6 ($\exists$ 반전) | $\neg\exists x \in S,\ P(x) \leadsto \forall x \in S,\ \neg P(x)$ | "합격자 존재"의 실패는 "전원 낙제" |

기계 전체가 보존하는 것은 자격이다. N5와 N6에서 $x \in S$라는 자격 조건은 부정의 대상이 아니므로 그대로 남고, 뒤집히는 것은 양화사와 본체뿐이다. 전개는 부정이 본체까지 내려가 등호$\cdot$부등호$\cdot$소속이 뒤집힌 줄이 나올 때까지 계속하며, 각 줄 옆에 [N4]처럼 규칙 번호를 단다. 번호가 없으면 그 줄이 어디서 나왔는지 확정되지 않는다.

**복기.** 실전에서 가장 자주 빠지는 것은 N4다. 결론이 조건문인 명제를 귀류로 열 때 N5로 $\forall$만 뒤집고 본체 조건문을 그대로 두면, 개시문이 "…이면 …이 아니다"라는 조건문이 되어 가정이 하나만 생긴다. N4를 적용하면 가정이 둘 생기고, 그 둘째 가정이 대개 모순의 재료가 된다.

### 문제 6

**접근.** S13주차의 요지를 묻는다. "정확히 하나"는 하나의 성질이 아니라 독립된 두 책임의 결합이며, 각 책임에 붙는 기법이 다르다. 두 파트를 적는 데서 끝내지 말고 유일 쪽의 두 얼굴과 그 선택 기준까지 적어야 만점이다.

**풀이.** 두 파트는 존재와 유일이다. **존재 파트.** "조건 $P$를 만족하는 것이 적어도 하나 있다"는 $\exists$이므로 **구성법**(S5주차)이다. 증인을 제시하고 자격과 사건을 전수 검증한다. 증인의 공급로는 역산, 기성 존재 정리 인용, 가정에서 받기의 셋이다. **유일 파트.** "둘 이상은 없다"이며, 서식이 둘이다. **얼굴 1(직접 유일성)**은 "$P(x_1)$이고 $P(x_2)$라 하자"로 열고 $x_1 = x_2$에 도착한다. 서로 다르다고 가정하지 않는 것이 핵심이며, 골격이 단사 증명과 같다. **얼굴 2(간접 유일성)**는 "$P(x_1)$, $P(x_2)$, 그리고 $x_1 \neq x_2$라 가정하자"로 열고 모순을 낸다. 이때 쓰는 서식은 S11주차의 귀류 4단 서식 그대로다. 두 얼굴의 선택 기준은 다름 가정이 실제로 소비되는지다. $x_1 \neq x_2$를 한 번도 쓰지 않고 모순에 닿았다면 그 답안은 얼굴 1로 정리해야 한다. 소비되지 않은 가정을 걸어 두는 것이 무늬만 귀류이기 때문이다. 두 책임이 독립이라는 점도 함께 적는다. 존재만 보이면 여럿일 가능성이 남고, 유일만 보이면 아예 없을 가능성이 남는다. 어느 한쪽만으로는 "정확히 하나"가 되지 않는다.

**복기.** 유일 파트에서 무대의 자격 조건을 빠뜨리면 명제가 달라진다. 문제 18에서 "양의 실수 $x$가 정확히 하나"의 유일성은 양수라는 자격 안에서만 성립하며, 실수 전체로 넓히면 $-\sqrt a$가 함께 나와 거짓이 된다.

### 문제 7

**접근.** 명제의 최상위가 "임의의 유리수 $q$에 대해"이므로 결론의 $\forall$이고 첫수는 선택법이다. 판을 교체하고 나면 남는 과녁이 "…인 유리수 $r$이 존재한다"라는 $\exists$이므로 둘째 수가 구성법이다. 겹 양화사를 바깥부터 여는 S8주차의 규칙이 두 겹짜리에서 그대로 작동한다. 증인은 사건 $2r = q$를 $r$에 대한 방정식으로 보고 역산해 얻는다.

**풀이.** **증명.** 유리수 $q$를 임의로 잡자 [선택법]. $r = \dfrac q2$로 두자 [구성법]. 자격 검증: $q$가 유리수이므로 $q = \dfrac mn$인 정수 $m$과 0이 아닌 정수 $n$이 있다 [가정의 $\exists$에서 이름 받기, 근거 ①]. 그러면 $r = \dfrac m{2n}$이고, $2n$은 정수이며 $n \neq 0$이므로 $2n \neq 0$이다. 따라서 $r$은 두 정수의 몫이고 분모가 0이 아니므로 유리수다 ✓ [근거 ②]. 사건 검증: $2r = 2 \cdot \dfrac q2 = q$ ✓ [근거 ③]. 따라서 $2r = q$인 유리수 $r$이 존재한다. $q$가 임의였으므로 모든 유리수에서 성립한다. $\blacksquare$

**복기.** 자격 검증을 "유리수를 2로 나누면 유리수"라는 한 줄로 끝내도 되지만, 그때는 그 닫힘성이 어느 연산에 대한 것인지 명시해야 근거가 성립한다. 여기서는 정의를 풀어 정수 쌍까지 내려가 보였으므로 인용할 기성품이 없어도 답안이 닫힌다. 마무리 선언 두 개(구성법의 존재 선언, 선택법의 임의성 선언)를 연 순서의 역순으로 닫은 것도 채점 지점이다.

### 문제 8

**접근.** 결론이 "모든 실수 $x, y$에 대해"이므로 선택법 2회로 판을 교체하고, 남는 과녁은 부등식이다. 부등식의 표준 후진은 차가 0 이상임을 보이는 것이고, "0 이상"의 근원은 거의 언제나 제곱이다(1권 16주차). 차를 그대로 보면 제곱이 보이지 않지만 2를 곱하면 세 개의 완전제곱으로 갈라진다. 힌트가 준 제곱합이 그 결과물이다.

**풀이.** **증명.** 실수 $x, y$를 임의로 잡자 [선택법 2회]. (W1)에 의해 $(x-y)^2 \ge 0$, $(x-1)^2 \ge 0$, $(y-1)^2 \ge 0$이고, (W4)에 의해 셋의 합도 0 이상이다.

$$
(x-y)^2 + (x-1)^2 + (y-1)^2 \ge 0
$$

좌변을 전개하면 $(x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = 2x^2 + 2y^2 - 2xy - 2x - 2y + 2$이다. 따라서

$$
2x^2 + 2y^2 - 2xy - 2x - 2y + 2 \ge 0
$$

이고, 양변을 2로 나누면 (W3에 의해 방향이 유지된다) $x^2 + y^2 - xy - x - y + 1 \ge 0$이다. 여기에 $xy + x + y$를 양변에 더하면 (W2) $x^2 + y^2 + 1 \ge xy + x + y$를 얻는다. $x, y$가 임의였으므로 모든 실수에서 성립한다. $\blacksquare$

등호 조건까지 적으면 가점이다. 등호는 세 제곱이 모두 0일 때, 곧 $x = y$이고 $x = 1$이고 $y = 1$일 때이므로 $x = y = 1$에서만 성립한다.

**복기.** 검산은 전개의 역방향으로 한다 — $2(x^2 + y^2 + 1 - xy - x - y) = 2x^2 + 2y^2 + 2 - 2xy - 2x - 2y$이고, 이것이 세 제곱의 합과 항별로 일치한다 ✓. 이 문제의 설계는 "차에 2를 곱해 교차항의 계수를 짝수로 만든다"는 한 동작이며, $xy$ 항이 있는 대칭식에서 반복해 쓰인다.

### 문제 9

**접근.** "무리수"가 부정형이므로 1단계에 걸리고, 무조건 명제여서 뒤집을 $A$가 없으므로 귀류다(S12주차 판정법 셋째 줄). 귀류를 열면 후진 과정이 사라지므로 전진의 도착점을 미리 정해 두어야 한다. 여기서 노리는 충돌 상대는 개시문에 넣은 기약성이며, 이는 S11주차의 **모순 산지 ②**($\neg B$에서 유도한 것이 $\neg B$의 다른 조각과 부딪히는 경우)에 해당한다.

**풀이.** **증명.** ① **개시 선언.** 결론을 부정하여, $\sqrt3$이 유리수라 가정하자. 그러면 $\sqrt3 = \dfrac ab$인 정수 $a$와 0이 아닌 정수 $b$가 있고, 기약 표현을 택할 수 있으므로 $a$와 $b$의 공약수는 $\pm 1$뿐이라 해도 된다 [가정의 $\exists$에서 이름 받기]. ② **전진.** 양변을 제곱하면 $3 = \dfrac{a^2}{b^2}$이고, 양변에 $b^2$을 곱하면 $a^2 = 3b^2$이다. 따라서 $3 \mid a^2$이다. 유클리드 보조정리를 $p = 3$에 적용하면 — 3은 소수이고 $3 \mid a \cdot a$이므로 — $3 \mid a$를 수령한다 [기성품, S15주차 문제 10]. 그러므로 $a = 3k$인 정수 $k$가 있다. 이를 대입하면 $9k^2 = 3b^2$이고, 양변을 3으로 나누면 $b^2 = 3k^2$이다. 따라서 $3 \mid b^2$이고, 같은 보조정리로 $3 \mid b$다. ③ **모순 명시.** 그런데 ②에서 얻은 "$3 \mid a$이고 $3 \mid b$"는 3이 $a$와 $b$의 공약수임을 뜻하고, 이는 ①에서 놓은 "$a$와 $b$의 공약수는 $\pm 1$뿐"과 충돌한다. 충돌한 두 문장은 "3은 $a$와 $b$의 공약수다"와 "3은 $a$와 $b$의 공약수가 아니다"이다 [산지 ②]. ④ **결론 선언.** 따라서 $\sqrt3$이 유리수라는 가정이 틀렸고, $\sqrt3$은 무리수다. $\blacksquare$

**복기.** 걸음 ③에서 두 당사자를 문장으로 지목하는 것이 채점 지점이다. "공약수가 생겨 이상하다"에서 멈추면 정지 시점의 판정이 읽는 사람에게 넘어간다. 소수 3을 2로 바꾸면 1권 21주차의 $\sqrt2$ 증명이 되고, 달라지는 것은 보조정리에 넣는 소수뿐이다. 반대로 $\sqrt4$에 같은 논증을 시도하면 4가 소수가 아니어서 보조정리의 자격 검증에서 막히는데, 이것이 이 증명에서 소수성이 소비되는 자리다.

### 문제 10

**접근.** 가정이 합성식 $n^2$의 성질이고 결론이 재료 $n$의 성질이므로 S12주차 판정법 표의 **넷째 줄**에 걸린다. 정보가 합성식에서 재료 쪽으로 거슬러야 하는 상황이며, 대우를 만들면 방향이 재료에서 합성식으로 뒤집혀 $n = 2k$라는 손잡이가 즉시 생긴다. 직접 공략을 시도하면 "$n^2$이 홀수"에서 $n$에 대한 정보를 꺼낼 통로가 없어 막힌다.

**풀이.** **증명.** ① **대우 선언.** 대우를 증명한다. 대우는 "정수 $n$에 대해, $n$이 홀수가 아니면 $n^2$도 홀수가 아니다", 곧 "$n$이 짝수이면 $n^2$은 짝수이다"이다 (정수의 홀짝 배타성에 의해 "홀수가 아니다"와 "짝수다"는 같은 문장이다). ② **직접 증명.** $n$이 짝수라 하자. 짝수의 정의에 의해 $n = 2k$인 정수 $k$가 있다 [근거 ①]. 양변을 제곱하면 $n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$이고, $2k^2$은 정수이므로 [근거 ②] $n^2$은 짝수다. 따라서 $\neg A$에 닿았다. ③ **복귀 선언.** 대우가 증명되었으므로 원명제 "$n^2$이 홀수이면 $n$은 홀수이다"가 성립한다. $\blacksquare$

**복기.** 걸음 ①-나(제작물 명시)를 지우면 만든 것이 대우인지 이(inverse)인지 검사할 자리가 사라진다. "대우를 증명한다. $n^2$이 홀수가 아니라 하자. 그러면 $n$은 홀수가 아니다"라고 적힌 답안은 실제로는 이(inverse) $\neg A \Rightarrow \neg B$를 증명한 것인데, ①-나에 제작물을 문장으로 적어 두어야 그 어긋남이 검산에 걸린다. 화살표 검산은 간단하다 — 원명제가 $A \Rightarrow B$이면 대우는 $\neg B \Rightarrow \neg A$이므로, 가정 자리에 결론의 부정이 왔는지만 확인한다.

### 문제 11

**접근.** "정확히 하나"이므로 존재와 유일이라는 두 책임을 분리해 각각 증명한다(S13주차). 존재는 방정식 $ax = 1$을 $x$에 대해 역산해 증인을 얻는 구성법이고, 유일은 다름 가정 없이 두 해를 잡아 같음을 보이는 얼굴 1이 자연스럽다. 두 파트 모두 가정 $a \neq 0$을 소비하며, 어디서 소비되는지 라벨을 붙이는 것이 채점 지점이다.

**풀이.** **증명.** 실수 $a \neq 0$이 주어졌다고 하자. **(존재)** $x_0 = \dfrac1a$로 두자 [구성법]. 자격 검증: $a \neq 0$이므로 이 식은 잘 정의되고 $x_0$은 실수다 ✓ [가정의 첫째 소비처]. 사건 검증: $a x_0 = a \cdot \dfrac1a = 1$ ✓. 따라서 $ax = 1$인 실수 $x$가 적어도 하나 있다. **(유일)** $ax_1 = 1$이고 $ax_2 = 1$인 실수 $x_1, x_2$를 잡자 [얼굴 1 — 서로 다르다고 가정하지 않는다]. 두 등식의 좌변끼리 빼면 $ax_1 - ax_2 = 1 - 1 = 0$이고, 좌변을 묶으면 $a(x_1 - x_2) = 0$이다 [근거 ③]. 영인수 성질에 의해 $a = 0$이거나 $x_1 - x_2 = 0$인데, $a \neq 0$이므로 [가정의 둘째 소비처] $x_1 - x_2 = 0$, 곧 $x_1 = x_2$다. 두 파트가 모두 확보되었으므로 $ax = 1$의 실수 해는 정확히 하나다. $\blacksquare$

**복기.** 유일 파트에서 영인수 성질이 주는 것은 "둘 중 하나가 0"이라는 $\lor$이다. 이 $\lor$는 사실 목록 쪽의 $\lor$이므로 소거법(결론의 $\lor$)의 대상이 아니다 — 한쪽을 지우는 근거는 가정 $a \neq 0$이고, 이것이 S13주차가 말한 "소거의 근거"다. 가정이 두 번 소비된다는 점에 주의한다 — 한 번은 증인을 잘 정의하기 위해, 또 한 번은 $\lor$의 한쪽을 지우기 위해서다.

### 문제 12

**접근.** 자연수 전체에 대한 $\forall$이고 합이 직전 항에 의존하므로 귀납법이다(S14주차). 귀납 단계의 관건은 가정 소비처를 만드는 일이며, 표준 동작은 $n+1$까지의 합에서 마지막 항을 떼어 내 $n$까지의 합을 노출시키는 **쪼개기**다. 쪼개고 나면 $n$까지의 합 자리에 가정의 등식을 대입할 수 있다.

**풀이.** **증명.** ① **이름 붙이기.** $n$에 대한 귀납법으로 증명한다. $P(n)$을 "$\sum_{k=1}^n \frac1{k(k+1)} = \frac n{n+1}$"이라 하자. ② **기저 검증.** $P(1)$: 좌변은 $\frac1{1 \cdot 2} = \frac12$이고 우변은 $\frac1{1+1} = \frac12$이므로 참이다. ③ **귀납 단계.** $n \ge 1$인 정수 $n$을 하나 임의로 고정하고, $P(n)$이 참이라 하자. 쪼개기로 마지막 항을 떼어 내면

$$
\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n}\frac1{k(k+1)} + \frac1{(n+1)(n+2)}
$$

이고, 첫째 항에 귀납 가정을 대입하면 [가정 소비처]

$$
= \frac n{n+1} + \frac1{(n+1)(n+2)} = \frac{n(n+2) + 1}{(n+1)(n+2)} = \frac{n^2 + 2n + 1}{(n+1)(n+2)} = \frac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)} = \frac{n+1}{n+2}
$$

이다. 마지막 식은 $P(n+1)$의 우변 $\frac{n+1}{(n+1)+1}$과 같으므로 $P(n+1)$이 참이다. ④ **결론 선언.** 기저와 귀납 단계에 의해 모든 자연수 $n$에서 $P(n)$이 참이다. $\blacksquare$

**복기.** 검산은 $n = 3$으로 한다 — $\frac12 + \frac16 + \frac1{12} = \frac{6 + 2 + 1}{12} = \frac9{12} = \frac34$이고 $\frac3{3+1} = \frac34$ ✓. 귀납을 쓰지 않는 길도 있다. 부분분수 $\frac1{k(k+1)} = \frac1k - \frac1{k+1}$로 바꾸면 이웃한 항이 상쇄되어 합이 $1 - \frac1{n+1} = \frac n{n+1}$이 된다. 다만 그 상쇄가 모든 $n$에서 일어난다는 사실 자체가 귀납으로 정당화되므로, 두 길은 서로를 대체하는 것이 아니라 겹쳐 있다.

### 문제 13

**접근.** 6으로 나누어떨어짐을 한 번에 보이려 하면 손잡이가 없다. 6을 2와 3으로 쪼개 각각 확보한 뒤 다시 합치는 것이 설계다. 먼저 $n^3 - n = (n-1)n(n+1)$로 인수분해해 연속한 세 정수의 곱임을 드러내면, 2의 배수는 연속 두 정수 부품에서 곧바로 나오고 3의 배수는 $n$을 3으로 나눈 나머지로 케이스를 나누면 각 케이스마다 세 인수 중 하나가 지목된다.

**풀이.** **증명.** 정수 $n$을 임의로 잡자 [선택법]. 먼저 $n^3 - n = n(n^2 - 1) = (n-1)n(n+1)$이다 [근거 ③]. **(2의 배수)** $n(n+1)$은 연속한 두 정수의 곱이므로 짝수다 [S5주차 문제 3(a)]. 짝수에 정수 $n-1$을 곱해도 짝수이므로 $(n-1)n(n+1)$은 짝수다. **(3의 배수)** 나눗셈 정리(1권 17주차)에 의해 $n$은 $3k$, $3k+1$, $3k+2$ 중 정확히 하나의 꼴이다(단 $k$는 정수). 이 셋이 정수 전체를 덮으므로 케이스의 전수성이 확보된다 [경우법].

- $n = 3k$인 경우: 가운데 인수 $n$이 $3k$이므로 3의 배수다.
- $n = 3k+1$인 경우: $n - 1 = 3k$이므로 첫째 인수가 3의 배수다.
- $n = 3k+2$인 경우: $n + 1 = 3k + 3 = 3(k+1)$이므로 셋째 인수가 3의 배수다.

어느 경우든 세 인수 중 하나가 3의 배수이고, 3의 배수에 정수를 곱해도 3의 배수이므로 곱 전체가 3의 배수다. **(결합)** 곱을 $m$이라 하면 $2 \mid m$이고 $3 \mid m$이다. 1권 20주차 문제 13("정수 $x$가 $2 \mid x$이고 $3 \mid x$이면 $6 \mid x$")을 $x = m$에 적용하면 — 자격은 $m$이 정수라는 것뿐이고 이미 충족되어 있다 — $6 \mid m$을 수령한다 [특수화]. $n$이 임의였으므로 모든 정수에서 성립한다. $\blacksquare$

**복기.** 검산은 $n = 5$로 한다 — $125 - 5 = 120 = 6 \times 20$ ✓. 결합 단계에서 기성품을 인용하지 않고 직접 가는 길도 있다. 나눗셈 정리로 $m = 6q + r$, $0 \le r \le 5$를 잡으면, $m$이 짝수이므로 $r$은 0, 2, 4 중 하나이고 $3 \mid m$이므로 $r$은 0 또는 3인데, 두 조건을 동시에 만족하는 것은 $r = 0$뿐이다. 어느 길로 가든 "2와 3이 각각 나눈다"에서 "6이 나눈다"로 넘어가는 걸음에 근거가 필요하다는 점은 같다 — 이 걸음은 2와 3이 서로소이기 때문에 성립하며, 4와 6처럼 서로소가 아닌 쌍에서는 무너진다.

### 문제 14

**접근.** max와 min은 각각 두 조각이므로 증명할 것이 넷이다(S16주차). 먼저 집합을 구간으로 정리해야 조각들을 검사할 수 있으므로, 이차부등식을 인수분해해 $S$의 정체를 확정하는 것이 첫 일이다. 그다음 각 조각을 표준 서식대로 처리한다 — 소속은 원소임을 직접 확인하는 구성이고, 상계$\cdot$하계는 "모든 $x \in S$에 대해"라는 $\forall$이므로 선택법이다.

**풀이.** **증명.** 먼저 $S$를 정리한다. $x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4)$이므로 $x \in S$는 $(x-2)(x-4) \le 0$과 같다. $x$의 위치로 세 케이스를 나눈다 [경우법]. $x < 2$이면 $2 - x > 0$이고 $4 - x > 0$이므로 (W4)에 의해 $(2-x)(4-x) > 0$이고, $(2-x)(4-x) = (x-2)(x-4)$이므로 $(x-2)(x-4) > 0$이다 [(W4) — 음수 두 개를 그대로 넣지 않고 부호를 뒤집어 양수 쌍으로 만든 뒤 적용한다. 1권 16주차 확인 5의 부호 뒤집기가 이 자리다]. $x > 4$이면 $x - 2 > 0$이고 $x - 4 > 0$이므로 (W4)에 의해 곱이 양수다. $2 \le x \le 4$이면 $x - 2 \ge 0$이고 $4 - x \ge 0$이므로 (W4)에 의해 $(x-2)(4-x) \ge 0$이고, 양변에 음수 $-1$을 곱하면 방향이 뒤집혀 $(x-2)(x-4) \le 0$이다 [(W3) 방향 반전]. 따라서 $S = \{x \in \mathbb{R} : 2 \le x \le 4\}$다. **최댓값은 4이다.**

- (소속) $4^2 - 6 \cdot 4 + 8 = 16 - 24 + 8 = 0 \le 0$이므로 $4 \in S$ ✓.
- (상계) $x \in S$를 임의로 잡자 [선택법]. 위의 정리에 의해 $2 \le x \le 4$이므로 $x \le 4$다. $x$가 임의였으므로 4는 $S$의 상계다 ✓.

두 조각이 모두 확보되었으므로 $\max S = 4$다. **최솟값은 2이다.**

- (소속) $2^2 - 6 \cdot 2 + 8 = 4 - 12 + 8 = 0 \le 0$이므로 $2 \in S$ ✓.
- (하계) $x \in S$를 임의로 잡자 [선택법]. 위의 정리에 의해 $2 \le x$다. $x$가 임의였으므로 2는 $S$의 하계다 ✓.

두 조각이 모두 확보되었으므로 $\min S = 2$다. $\blacksquare$

**복기.** 소속 조각을 빠뜨리고 상계만 보이면 "4는 상계다"까지만 증명된 것이고, 그것은 최댓값이 아니라 상한의 후보에 대한 진술이다. 집합을 $\{x : x^2 - 6x + 8 < 0\}$으로 바꾸면 $S = (2, 4)$가 되어 상계는 그대로 4이지만 $4 \notin S$이므로 최댓값이 존재하지 않는다. 두 문제의 차이가 정확히 소속 조각 하나이며, 이것이 max와 sup이 갈리는 자리다.

### 문제 15

**접근.** 수렴의 정의는 $\forall \varepsilon > 0\ \exists N\ \forall n > N$의 세 겹이다. 바깥부터 벗기면 선택 $\to$ 구성 $\to$ 선택의 순서가 되고, 가운데의 $N$은 앞서 확정된 $\varepsilon$의 식이어도 된다(맞춤 증인, S8주차). 연습장에서 할 일은 목표 부등식을 $n$에 대해 풀어 문턱을 역산하는 것뿐이며, 그 역산은 답안에 남기지 않는다.

**풀이.** 연습장: 차의 절댓값은

$$
\left|\frac{n^2+1}{2n^2} - \frac12\right| = \left|\frac{(n^2 + 1) - n^2}{2n^2}\right| = \frac1{2n^2}
$$

이다. 이것이 $\varepsilon$보다 작다는 것은 $2n^2 > \dfrac1\varepsilon$, 곧 $n^2 > \dfrac1{2\varepsilon}$, 곧 $n > \dfrac1{\sqrt{2\varepsilon}}$과 같으므로 문턱을 $\dfrac1{\sqrt{2\varepsilon}}$ 언저리로 잡으면 된다. **답안.** $\varepsilon > 0$을 임의로 잡자 [선택]. $N = \left\lceil \dfrac1{\sqrt{2\varepsilon}} \right\rceil$로 두자 [구성 — $\varepsilon > 0$이므로 $\dfrac1{\sqrt{2\varepsilon}}$이 정의되고 양수이며, 따라서 $N$은 양의 정수다 ✓]. $n > N$인 자연수 $n$을 임의로 잡자 [선택]. 그러면 $n > N \ge \dfrac1{\sqrt{2\varepsilon}} > 0$이고 [천장의 성질 — S3주차 문제 14의 기호, S5주차 §4에서 채택], 양변이 0 이상이므로 제곱해 $n^2 > \dfrac1{2\varepsilon}$을 얻고 [$0 \le a < b$이면 $a^2 < b^2$ — 1권 16주차 문제 11을 $a = \frac1{\sqrt{2\varepsilon}}$, $b = n$에 적용], 양변에 $2\varepsilon > 0$을 곱하면 $2\varepsilon n^2 > 1$, 곧 $\dfrac1{2n^2} < \varepsilon$이다. 따라서 차의 절댓값은 $\dfrac1{2n^2} < \varepsilon$이다. $n$이 임의였고 $\varepsilon$이 임의였으므로, 수렴의 정의에 의해 $\dfrac{n^2+1}{2n^2} \to \dfrac12$이다. $\blacksquare$

**복기.** 채점 지점은 둘이다 — 라벨 세 개를 답안에 남겼는가, 그리고 겹을 연 순서의 역순으로 닫았는가. 안쪽 $\forall n$의 마무리 선언을 빠뜨린 채 $\forall \varepsilon$만 닫으면 절반만 인정한다. $N$이 $\varepsilon$에 의존해도 되는 이유는 $\varepsilon$이 먼저 잡혔기 때문이며, 순서를 바꾸면 만능 증인 요구가 되어 명제 자체가 달라진다.

### 문제 16

**접근.** "단사가 아니다"는 부정형이므로 1단계에 걸린다. 기법을 고르기 전에 NOT 기계로 전개해 부정이 본체까지 내려간 꼴을 만들어야 하며, 전개가 끝나면 겉모양이 $\exists$로 바뀌어 2단계가 구성법을 지목한다. 증인은 함수의 대칭축에서 얻는다 — 이차함수의 그래프가 축에 대해 대칭이므로 축에서 같은 거리에 있는 두 입력이 같은 값을 준다.

**풀이.** **증명.** 단사의 정의는 "모든 실수 $x_1, x_2$에 대해, $f(x_1) = f(x_2)$이면 $x_1 = x_2$"이다. 이를 부정하면

$$
\neg \forall x_1 \forall x_2 \big[f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2\big] \leadsto \exists x_1 \exists x_2 \big[f(x_1) = f(x_2) \wedge x_1 \neq x_2\big]
$$

이다 [N5, N5, N4]. 전개된 진술이 $\exists$이므로 구성법으로 간다. 증인의 역산: $f(x) = x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$이므로 $f$의 값은 $x = 2$에서의 거리 $|x - 2|$에만 의존한다. 축에서 같은 거리에 있는 두 점을 고르면 되므로 $x = 0$과 $x = 4$를 택한다. $x_1 = 0$, $x_2 = 4$로 두자 [구성]. 자격 검증: 둘 다 실수이고 $f$의 정의역에 속한다 ✓. 사건 검증: $f(0) = 0 - 0 = 0$이고 $f(4) = 16 - 16 = 0$이므로 $f(x_1) = f(x_2)$ ✓이며, $0 \neq 4$이므로 $x_1 \neq x_2$ ✓. 따라서 $f(x_1) = f(x_2)$이면서 $x_1 \neq x_2$인 실수 $x_1, x_2$가 존재하고, 이는 단사의 부정이다. 그러므로 $f$는 단사가 아니다. $\blacksquare$

**복기.** 전개를 건너뛰고 "$f(0) = f(4)$이므로 단사가 아니다"라고만 적으면 두 값이 왜 반례가 되는지가 답안에 없다. 반례가 성립하려면 사건($f(x_1) = f(x_2)$)과 자격($x_1 \neq x_2$)이 둘 다 검증되어야 하고, 그 둘이 필요하다는 사실은 N4가 조건문을 $\land$로 풀었기 때문에 나온다. 증인의 공급로를 일반화하면 $c \neq 0$인 임의의 실수에 대해 $x_1 = 2 - c$, $x_2 = 2 + c$가 모두 증인이 된다 — 사건은 $f(2-c) = c^2 - 4 = f(2+c)$로 모든 $c$에서 성립하고, 자격 $x_1 \neq x_2$가 $c \neq 0$을 요구한다. 위 답안이 쓴 $(0, 4)$가 $c = 2$에 해당하므로, 일반화가 실제로 쓴 증인을 포함한다.

### 문제 17

**접근.** 자연수 전체에 대한 $\forall$이므로 귀납법이다. 등식이 아니라 부등식이라는 점이 이 문제의 관문이다 — 귀납 단계에서 가정을 대입하면 목표보다 큰 값이 남으므로, 그 남은 양을 다시 눌러 목표에 맞추는 여벌의 부등식이 하나 더 필요하다. 힌트가 준 $\frac1{(n+1)^2} \le \frac1n - \frac1{n+1}$이 그 여벌이며, 우변이 망원 꼴이라 $-\frac1n$과 정확히 상쇄된다.

**풀이.** **증명.** ① **이름 붙이기.** $n$에 대한 귀납법으로 증명한다. $P(n)$을 "$\sum_{k=1}^n \frac1{k^2} \le 2 - \frac1n$"이라 하자. ② **기저 검증.** $P(1)$: 좌변은 $\frac1{1^2} = 1$이고 우변은 $2 - \frac11 = 1$이므로 $1 \le 1$이 되어 참이다. ③ **귀납 단계.** $n \ge 1$인 정수 $n$을 하나 임의로 고정하고, $P(n)$이 참이라 하자. 쪼개기로 마지막 항을 떼어 내고 귀납 가정을 대입하면 [가정 소비처]

$$
\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k^2} = \sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2} + \frac1{(n+1)^2} \le \left(2 - \frac1n\right) + \frac1{(n+1)^2}
$$

이다. 이제 여벌의 부등식을 만든다. $n \ge 1$이므로 $n + 1 > n > 0$이고, 양변에 $n+1 > 0$을 곱하면 $(n+1)^2 > n(n+1) > 0$이다 [(W3)]. 두 양수의 대소가 뒤집히는 역수를 취하면 [역수 반전 — S3주차 예제 2.3] $\dfrac1{(n+1)^2} < \dfrac1{n(n+1)}$이고, 특히 $\dfrac1{(n+1)^2} \le \dfrac1{n(n+1)}$이며, 부분분수로 $\dfrac1{n(n+1)} = \dfrac1n - \dfrac1{n+1}$이다. 이를 대입하면

$$
\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k^2} \le 2 - \frac1n + \frac1n - \frac1{n+1} = 2 - \frac1{n+1}
$$

이고, 마지막 식이 $P(n+1)$의 우변이므로 $P(n+1)$이 참이다. ④ **결론 선언.** 기저와 귀납 단계에 의해 모든 자연수 $n \ge 1$에서 $P(n)$이 참이다. $\blacksquare$

**복기.** 검산은 $n = 2$로 한다 — 좌변 $1 + \frac14 = \frac54$이고 우변 $2 - \frac12 = \frac32$이므로 $\frac54 \le \frac32$ ✓. 부등식 귀납의 표준 동작은 이 답안의 구조 그대로다 — 가정을 대입해 얻은 식과 목표 식의 차를 계산하고, 그 차를 0 이상으로 만드는 여벌의 부등식을 따로 확보한다. 부분분수가 등장한 이유도 여기에 있다. 목표가 $-\frac1{n+1}$을 요구하므로 여벌의 우변이 $\frac1n - \frac1{n+1}$ 꼴이어야 상쇄가 맞아떨어진다.

### 문제 18

**접근.** 최상위가 "임의의 양의 실수 $a$에 대해"이므로 선택법으로 열고, 남는 것이 "정확히 하나 존재한다"이므로 존재와 유일 두 책임으로 갈린다(S13주차). 존재는 양의 제곱근의 존재라는 기성 정리를 인용하는 자리이고, 유일은 두 해의 제곱이 같다는 데서 차의 인수분해로 가는 얼굴 1이다. 무대가 양의 실수라는 자격이 유일 파트에서 결정적으로 쓰인다.

**풀이.** **증명.** 양의 실수 $a$를 임의로 잡자 [선택법]. **(존재)** $a > 0$인 실수에 대해 $x^2 = a$인 양의 실수가 존재한다는 것은 기성 정리다 [증인의 공급로 ③ — 기성 존재 정리 인용]. 그 실수를 $\sqrt a$로 적는다. 자격 검증: 기성 정리가 주는 것이 양의 실수이므로 무대의 자격을 갖췄다 ✓. 사건 검증: $(\sqrt a)^2 = a$ ✓. **(유일, 얼굴 1)** $x_1^2 = a$이고 $x_2^2 = a$인 양의 실수 $x_1, x_2$를 잡자 [서로 다르다고 가정하지 않는다]. 두 등식에서 $x_1^2 = x_2^2$이므로 $x_1^2 - x_2^2 = 0$이고, 인수분해하면 $(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 0$이다 [근거 ③]. 영인수 성질에 의해 $x_1 - x_2 = 0$이거나 $x_1 + x_2 = 0$인데, $x_1 > 0$이고 $x_2 > 0$이므로 (W4)에 의해 $x_1 + x_2 > 0$이고 특히 0이 아니다 [무대 자격의 소비처]. 따라서 남는 것은 $x_1 - x_2 = 0$, 곧 $x_1 = x_2$다 [영인수 성질(근거 ④) + 무대 자격의 소비]. 두 책임이 모두 확보되었고 $a$가 임의였으므로, 모든 양의 실수 $a$에 대해 $x^2 = a$인 양의 실수 $x$가 정확히 하나 존재한다. $\blacksquare$

**복기.** 무대를 양의 실수에서 실수 전체로 넓히면 명제가 거짓이 된다 — $x_1 = \sqrt a$와 $x_2 = -\sqrt a$가 둘 다 $x^2 = a$를 만족하고 서로 다르다. 무너지는 자리는 정확히 위에서 표시한 소비처다. $x_1 + x_2 > 0$을 말할 수 없게 되어 $\lor$의 한쪽을 지울 수 없다. 유일성 증명을 읽을 때 무대의 자격이 어디서 쓰이는지를 먼저 찾으면, 그 명제가 어디까지 넓혀도 살아남는지가 함께 보인다.

### 문제 19

**접근.** 결론이 세 항의 합에 대한 하한이므로 세 항의 곱을 보면 약분으로 1이 된다. 이 구조가 3변수 AM–GM을 부르는 신호다(S7주차의 특수화 — 기성 정리에 무엇을 넣을지의 조준). 세 분수를 새 문자로 묶어 두면 정리의 투입 자격(모두 양수)과 산출물의 모양이 한눈에 정리되고, 남는 일은 곱이 1임을 실제로 계산해 보이는 것뿐이다.

**풀이.** **증명.** 양의 실수 $a, b, c$를 임의로 잡자 [선택법 3회]. $u = \dfrac ab$, $v = \dfrac bc$, $w = \dfrac ca$로 두자. 자격 검증: $a > 0$이고 $b > 0$이므로 (W5)에 의해 $\dfrac1b > 0$이고, (W4)에 의해 $u = a \cdot \dfrac1b > 0$이다. 같은 논증으로 $v > 0$, $w > 0$이다 ✓. 곱의 계산: $uvw = \dfrac ab \cdot \dfrac bc \cdot \dfrac ca = \dfrac{abc}{abc} = 1$이다. 분자와 분모가 같은 세 수의 곱이고 $abc \neq 0$이므로 약분이 성립한다 [근거 ③]. 수령: 3변수 AM–GM을 $(u, v, w)$에 적용하면 [기성품, 특수화]

$$
\frac{u + v + w}3 \ge \sqrt[3]{uvw} = \sqrt[3]{1} = 1
$$

이다. 양변에 3을 곱하면 (W3) $u + v + w \ge 3$이고, 문자를 되돌리면 $\dfrac ab + \dfrac bc + \dfrac ca \ge 3$이다. $a, b, c$가 임의였으므로 모든 양의 실수에서 성립한다. $\blacksquare$

등호 조건: AM–GM의 등호는 $u = v = w$일 때이고, 이때 $u^3 = uvw = 1$이므로 $u = v = w = 1$이다. 곧 $a = b$이고 $b = c$일 때, 다시 말해 $a = b = c$일 때에만 등호가 성립한다.

**복기.** 검산은 $(a,b,c) = (1,2,4)$로 한다 — $\frac12 + \frac12 + 4 = 5 \ge 3$ ✓. 이 문제에서 실제로 한 일은 특수화 한 번뿐이며, 실력이 되는 자리는 무엇을 투입할지 고르는 조준이었다. 조준의 근거는 산출물의 모양에서 역산했다 — 우변이 상수 3이 되려면 기하평균이 1이어야 하고, 그러려면 곱이 1인 세 수를 넣어야 한다. 자격 검증을 생략하면 AM–GM을 음수에 적용하는 오류로 이어지므로, 세 값이 양수라는 확인은 답안에 반드시 남긴다.

### 문제 20

**접근.** S1주차~S16주차의 절차를 자기 언어로 압축하는 문항이다. 채점은 문장의 매끄러움이 아니라 세 요소로 한다 — 첫수로 가장 자주 쓰이는 잎 세 개와 그 이유, 가장 헷갈린 갈림길 하나와 그 판정 기준, 그리고 결정 나무가 무엇을 하는 장치인지에 대한 한 줄. 여섯 문장 제한은 요약 능력 자체를 검사하는 장치이므로 초과하면 감점한다.

**풀이.** 예시 답안은 다음과 같다. 명제를 받으면 먼저 $A$와 $B$로 분해하고 숨은 가설$\cdot$숨은 양화사$\cdot$정의 속 구조를 드러낸 뒤, 결론에 부정이 박혔는지부터 묻는다. 가장 자주 첫수가 되는 잎 셋은 **선택법**, **구성법**, **정의의 두 면으로의 귀환**이다 — $\forall$는 "모든", $\subseteq$, 단사, 총칭문의 형태로 가장 흔하게 나타나고, $\exists$는 "짝수다", "…의 배수다", 방정식의 해처럼 정의 속에 접혀 있는 경우까지 세면 그다음으로 흔하며, 막혔을 때의 처방은 거의 언제나 이름 하나를 정의로 푸는 일이기 때문이다. 가장 헷갈린 갈림길은 대우와 귀류였고, 판정 기준은 "뒤집을 $A$가 있는가" 하나다 — 명제가 조건문이면 $\neg A$라는 구체적 과녁이 생기므로 대우를 먼저 시도하고, 무조건 명제여서 뒤집을 $A$가 없으면 귀류로 간다. 조건문인데도 $\neg B$에서 $\neg A$로 가는 그림이 보이지 않고 충돌이 다른 데서 터질 것 같으면 그때 귀류로 옮긴다. 결정 나무는 이런 갈림길들을 명제의 겉모양에 따라 자동으로 분기시키는 색인이며, 새 기법을 더하지 않고 이미 있는 기법에 도달 경로를 붙인 것이다.

**복기.** 이 문항의 진짜 목적은 세 번째 요소에 있다. 자기가 자주 쓰는 잎과 자주 틀리는 갈림길을 이름으로 부를 수 있으면 다음 학기의 복습이 전 범위 재독이 아니라 두세 지점의 점검으로 줄어든다. 답안에 적은 갈림길은 재학습 지도의 어느 줄에 해당하는지까지 표시해 두면 그대로 개인 복습 계획이 된다.

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**다음 주 예고 (S18주차):** 시험을 통과했다면 이제 증명을 넘어 명제를 만드는 쪽으로 간다. Solow 16장의 **일반화**는 하나의 증명을 보고 "무엇을 바꿔도 여전히 성립하는가"를 물어 명제를 키우는 기술이다 — 특정 수를 변수로, 특정 집합을 임의의 집합으로, 3을 $n$으로 바꾸는 조작이 그 표준 동작이다. 1권 31주차의 귀납이 일반화된 명제를 증명하는 도구였다면, S18주차는 일반화할 명제를 발견하는 기술을 다룬다. 원서 16장을 통독하고 온다.