# S15주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설 ## 예제 — 두 도구를 함께 만들기 완성된 증명을 먼저 보이지 않는다. 예제 2.1은 설계부터 한 줄씩 함께 만들고, 예제 2.2는 설계만 함께 하고, 예제 2.3은 설계부터 스스로 한 뒤 표 없이 산문으로 적는다. 지지대가 예제마다 하나씩 빠진다. ### 예제 2.1 — 경우법: 가정의 ∨를 쪼개기 **명제.** 모든 정수 $n$에 대해 $n^2 + n$은 짝수이다. **판정.** 무대가 "모든 정수"이고, 정의를 풀려면 $n$의 홀짝을 알아야 한다 — 가정 쪽의 숨은 $\lor$다. 판정법 첫째 줄이므로 경우법으로 간다. (이 명제는 S5주차 문제 3(a)에서 구성법으로, S14주차 문제 9에서 귀납으로 증명했다 — S14주차 예제 2.3의 답안 2가 진단한 것은 이 명제의 거짓 변형 "$n^2 + n$은 홀수이다" 쪽이다. 이번이 같은 명제의 세 번째 증명이며, 분할과 전수성을 답안 표면에 드러내는 것이 목적이다.) **설계 — 쓰기 전에 정하는 세 가지.** 경우법에서는 출발점과 도착점 외에 **분할**을 먼저 정한다. | | **말** | **수식 번역** | |---|---|---| | 분할 | $n$의 홀짝 | $n$이 짝수 / $n$이 홀수 — 근거는 $\underline{\quad(?)\quad}$ | | 각 케이스의 출발점 | 그 케이스의 정의를 푼 등식 | $n = 2k$ / $n = \underline{\quad(?)\quad}$ | | 도착점 (두 케이스 공통) | $n^2 + n$이 짝수 | $n^2 + n = \underline{\quad(?)\quad}$ 꼴을 만든다 | :::{container} quotebox **확인 10.** 번역표의 빈칸 세 개를 채워 보자. 그리고 도착점 칸이 두 케이스에서 같은지 다른지 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 분할의 근거: 나눗셈 정리 — 정수를 2로 나눈 나머지는 0 아니면 1이다(근거 ④). 홀수 쪽 출발점: $n = 2k + 1$인 정수 $k$가 존재한다. 도착점: $n^2 + n = 2 \times (\text{정수})$ 꼴. 도착점은 **두 케이스에서 완전히 같다.** 경우법이 나누는 것은 출발점뿐이고 목표는 나누지 않는다 — 이것이 마지막에 하나로 묶일 수 있는 이유다. ::: **1단계 — 무대를 올리고 분할을 선언한다.** 첫 문장은 대상을 문자로 잡는 문장이고, 둘째 문장은 분할과 그 전수성의 근거를 함께 적는 문장이다. :::{container} quotebox **확인 11.** 처음 두 문장을 완성해 보자: "정수 $\underline{\quad}$을 임의로 잡자. $\underline{\qquad}$에 의해 $n$은 짝수이거나 홀수이고, 두 경우가 $\underline{\qquad}$를 덮는다." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "정수 $n$을 임의로 잡자. 나눗셈 정리에 의해 $n$은 짝수이거나 홀수이고, 두 경우가 정수 전체를 덮는다." 근거를 적는 자리가 둘째 문장 안이라는 것이 요점이다 — §1.3의 걸음 ②가 별도의 줄이 아니라 분할 선언에 붙어 나온다. ::: **2단계 — 첫 케이스를 완결한다.** 케이스 안쪽은 보통의 직접 증명이다. :::{container} quotebox **확인 12.** 케이스 1을 완성해 보자: "케이스 1 ($n$이 짝수). 정의에 의해 $n = 2k$인 정수 $k$가 존재한다. 그러면 $n^2 + n = \underline{\qquad} = 2(\underline{\qquad})$이다." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $n^2 + n = (2k)^2 + 2k = 4k^2 + 2k = 2(2k^2 + k)$. 무엇으로 묶을지는 도착점의 꼴이 지시한다 — 짝수의 정의가 $2 \times (\text{정수})$이므로 2를 묶는다. 여기에 "$2k^2 + k$는 정수이므로(근거 ②) $n^2 + n$은 짝수이다"를 붙이면 케이스 1이 완결된다. ::: **3단계 — 둘째 케이스를 완결한다.** 재료만 바뀌고 걸음은 같다. :::{container} quotebox **확인 13.** 케이스 2를 완성해 보자: "케이스 2 ($n$이 홀수). 정의에 의해 $n = 2k+1$인 정수 $k$가 존재한다. 그러면 $n^2 + n = \underline{\qquad} = 2(\underline{\qquad})$이다." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $n^2 + n = (2k+1)^2 + (2k+1) = (4k^2 + 4k + 1) + (2k + 1) = 4k^2 + 6k + 2 = 2(2k^2 + 3k + 1)$. 케이스 1과 달리 상수항 $+1$이 두 번 나와 합이 2가 되고, 그 2가 묶임에 함께 들어간다. 여기서도 괄호 안의 정수성 확인이 필요하다 — 케이스마다 각각 해야 한다. ::: **4단계 — 전수성을 회수하며 종합한다.** 두 하위 증명을 하나로 묶는 문장이다. :::{container} quotebox **확인 14.** 마지막 문장을 완성해 보자: "$\underline{\qquad}$므로, 모든 정수 $n$에 대해 $n^2 + n$은 $\underline{\quad}$이다. $\blacksquare$" ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "두 경우가 정수 전체를 빠짐없이 덮으므로, 모든 정수 $n$에 대해 $n^2 + n$은 짝수이다." 이 문장이 없으면 답안은 "짝수인 $n$에 대해 이렇고 홀수인 $n$에 대해 저렇다"는 두 개의 관찰로 끝난다. 근거는 1권 17주차 문제 20(a)의 동치이고, 그것이 근거 ④다. ::: **완성본.** 방금 만든 문장들을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 "왜?"에 스스로 답해 본다. | 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? | |---|---| | 정수 $n$을 임의로 잡자. | 무대를 올린다. "모든 정수"를 다루려면 특정 숫자가 아니라 문자여야 한다(S6주차 선택법). | | 나눗셈 정리에 의해 $n$은 짝수이거나 홀수이고, 두 경우가 정수 전체를 덮는다. | 걸음 ①과 ② — 분할 선언과 전수성의 근거. 이 줄이 없으면 아래 두 케이스는 임의로 고른 두 상황일 뿐이다. | | 케이스 1 ($n$이 짝수). 정의에 의해 $n = 2k$인 정수 $k$가 존재하고, $n^2 + n = 4k^2 + 2k = 2(2k^2 + k)$이다. $2k^2 + k$는 정수이므로 $n^2 + n$은 짝수이다. | 걸음 ③ — 케이스 안쪽은 보통의 직접 증명이다. 묶는 모양은 도착점 $2 \times (\text{정수})$가 지시한다(근거 ①), 괄호 안의 정수성은 근거 ②. | | 케이스 2 ($n$이 홀수). 정의에 의해 $n = 2k+1$인 정수 $k$가 존재하고, $n^2 + n = (4k^2+4k+1) + (2k+1) = 2(2k^2 + 3k + 1)$이다. 괄호 안은 정수이므로 $n^2 + n$은 짝수이다. | 걸음 ③ 두 번째. 재료만 바뀌고 걸음은 같다. 정수성 확인을 케이스마다 되풀이하는 것이 규격이다. | | 두 경우가 정수 전체를 빠짐없이 덮으므로, 모든 정수 $n$에 대해 $n^2 + n$은 짝수이다. $\blacksquare$ | 걸음 ④ — 전수성 회수. 근거는 1권 17주차 문제 20(a)의 동치(근거 ④)이고, 이 줄이 두 하위 증명을 하나의 증명으로 묶는다. | **논평.** 같은 명제를 S5주차에서는 증인 $k$를 만들어 내놓는 구성법으로 증명했다. 그때도 안쪽에서는 홀짝 분할이 일어났지만, 분할은 증인을 만드는 도중의 계산이었고 답안의 뼈대는 아니었다. 이번 답안에서는 분할 자체가 뼈대이고 전수성이 마지막 줄에서 회수된다. **같은 계산이라도 무엇을 뼈대로 삼느냐가 답안의 형태를 정한다.** ### 예제 2.2 — 소거법: 결론의 ∨를 조건문으로 **명제.** 실수 $a, b$에 대해, $ab = 0$이면 $a = 0$ 또는 $b = 0$이다. 이번에는 설계까지만 함께 하고 본문은 완성본으로 본다. :::{container} quotebox **확인 15.** 판정부터 해 보자. 이 명제의 $\lor$는 어느 자리에 있는가. 판정법 표의 몇째 줄이 걸리는가. 그리고 셋째 줄은 왜 걸리지 않는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $\lor$는 결론 쪽에 있고, 판정법 **둘째 줄**이 걸린다 — 어느 쪽을 보일지 지목해야 하는데 가정 $ab = 0$만으로는 지목되지 않는다(확인 2). 셋째 줄이 걸리지 않는 이유: 이 명제에는 케이스가 없다. 계산이 진행되면서 어느 쪽인지 저절로 확정되는 구조가 아니므로, 지목 부담을 없애는 절차를 따로 써야 한다. ::: :::{container} quotebox **확인 16.** 번역표를 채워 보자. 부정할 쪽: $\neg P = \underline{\qquad}$. 그때 손에 들어오는 새 사실: $\underline{\qquad}$. 도착점: $Q = \underline{\qquad}$. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 부정할 쪽 $\neg P$: "$a \neq 0$". 손에 들어오는 새 사실: 역수 $\frac1a$이 존재한다는 것. 도착점 $Q$: "$b = 0$". $b \neq 0$을 부정해 $a = 0$으로 가도 대칭이므로 사정이 같다. 어느 쪽을 골라도 되지만, 고른 쪽을 답안 첫 줄에 명시하는 것이 걸음 ①이다. ::: | 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? | |---|---| | $ab = 0$이라 하자. | 원명제의 가정을 받는다. 이 사실은 몸통 끝까지 쓰인다. | | 소거법을 쓴다. $a \neq 0$이라 하자. | 걸음 ① — 부정할 쪽의 선택과 선언. 이 줄이 없으면 아래 유도가 무조건 참인 것으로 읽혀 거짓 명제를 주장하게 된다(§1.4 삭제 실험). | | $a \neq 0$이므로 역수 $\frac1a$이 존재한다(근거 ④). | 걸음 ①에서 얻은 사실이 소비되는 자리. 역수의 존재는 $a \neq 0$에서만 나온다. 0 아닌 실수가 역수를 갖는다는 것 자체는 §1.8의 근거 ④에 인정하고 쓰는 사실로 올라 있다. | | $ab = 0$의 양변에 $\frac1a$을 곱하면 $\frac1a(ab) = \frac1a \cdot 0$, 곧 $b = 0$이다. | 걸음 ② — 도착점 $Q$의 유도. 좌변은 결합법칙으로 $(\frac1a a)b = b$, 우변은 0이다(근거 ③). | | 따라서 $a = 0$ 또는 $b = 0$이다. $\blacksquare$ | 걸음 ③ — 조건문 분해(근거 ④)로 원래 결론을 회수한다. 이 줄이 없으면 증명된 것은 조건문뿐이다. | **논평.** 준비 운동의 유형 3이 만든 케이스 두 개 중 첫 경우("$a = 0$")가 이 답안에는 아예 없다. 없어진 이유는 걸음 ①이 그 경우를 **가정으로 배제**했기 때문이고, 배제하고도 결론이 성립하는 근거가 조건문 분해다. 유형 3이 옳으면서도 절반이 헛돌았던 것은, 소거법이 하는 일을 케이스의 언어로 풀어 쓴 것이기 때문이다. 이 증명으로 1권 내내 이름만 쓰던 **영인수 성질**이 근거 ④에 정식으로 올라간다. ### 예제 2.3 — 진단: 전수성 결함과 도구 선택 오류 이번에는 설계부터 스스로 해 보자. 아래 두 답안을 읽기 전에 각각의 명제에 §1.7의 판정법을 적용해 어느 도구가 붙어야 하는지 먼저 정한다. :::{container} quotebox **확인 17.** 두 명제에 판정법을 적용해 보자. (가) "0 아닌 실수 $x$에 대해 $\frac{x}{\lvert x \rvert} = \pm 1$이다." (나) "정수 $n$에 대해, $2 \mid n$ 또는 $3 \mid n$이면 $6 \mid n$이다." 각각 $\lor$가 어디에 있는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (가) 가정 쪽 — 무대가 "0 아닌 실수"이므로 삼분법에 의해 $x$는 양수이거나 음수이고, 절댓값을 풀려면 그 부호를 알아야 한다. 판정법 첫째 줄, 경우법이다. 결론의 "$\pm 1$"도 $\lor$이지만 각 케이스에서 값이 확정되므로 셋째 줄에 해당한다 — 소거는 필요 없다. (나) 가정 쪽 — "$2 \mid n$ 또는 $3 \mid n$"이 드러난 $\lor$다. 판정법 첫째 줄, 경우법이다. 결론 "$6 \mid n$"에는 $\lor$가 없으므로 소거법은 대상이 아니다. ::: **답안 1.** "명제: 모든 0 아닌 실수 $x$에 대해 $\frac{x}{\lvert x \rvert} = \pm 1$이다. 증명: 케이스 1 ($x$가 양수): $\lvert x \rvert = x$이므로 $\frac{x}{\lvert x \rvert} = \frac xx = 1$. 케이스 2 ($x$가 음수): $\lvert x \rvert = -x$이므로 $\frac{x}{\lvert x \rvert} = \frac{x}{-x} = -1$. 따라서 $\pm 1$이다." **진단.** 이 답안은 **옳다**. 무대가 "0 아닌 실수"이므로 삼분법에 의해 양수와 음수가 무대 전체를 덮고, 두 케이스가 각각 완결되어 있다. 다만 걸음 ②가 문면에 없다 — 두 케이스가 무대를 덮는다는 문장과 그 근거가 빠져 있으므로, 규격에 맞추려면 "$x \neq 0$이므로 삼분법에 의해 $x$는 양수이거나 음수이고, 두 경우가 무대를 덮는다"를 케이스 앞에 넣고 마지막에 "두 경우가 무대 전체를 덮으므로"를 붙인다. **같은 답안이 무너지는 자리.** 명제의 무대를 "모든 실수 $x$"로 넓히면 같은 두 케이스가 $x = 0$을 놓친다. 그리고 $x = 0$에서는 $\frac{0}{\lvert 0 \rvert} = \frac00$이 정의되지 않으므로 명제 자체가 무의미해진다. **전수성 점검은 무대를 먼저 읽는 일이고, 무대가 바뀌면 같은 분할의 합격 여부도 바뀐다**(§1.5 ㄴ, 확인 9의 (나)). **답안 2.** "명제: 정수 $n$에 대해, $2 \mid n$ 또는 $3 \mid n$이면 $6 \mid n$이다. 증명: $2 \nmid n$이라 가정하면 $3 \mid n$이어야 하고, 그러면 $6 \mid n$을 보이자 …" **진단.** 두 가지가 겹쳐 있다. 첫째, **명제가 거짓이다.** $n = 2$는 $2 \mid n$을 만족하므로 가정이 참인데 $6 \nmid 2$이므로 결론이 거짓이다. 경우법의 요건 ①로 검사하면 그 자리가 정확히 드러난다 — 케이스 "$2 \mid n$"에서 $6 \mid n$을 증명할 방법이 없다. **어느 케이스에서도 목표에 닿지 못하면 그 케이스가 반례의 산지다.** 둘째, **도구 선택이 틀렸다.** 이 명제의 $\lor$는 가정 쪽에 있으므로 판정법 첫째 줄, 곧 경우법의 대상이다. 답안은 "$2 \nmid n$이라 가정하면"으로 시작해 소거법의 걸음 ①을 흉내 냈는데, 소거법은 **결론**의 $\lor$에 붙는 도구다. 가정의 $\lor$에 소거법을 걸면 하는 일은 "가정의 한쪽을 지우는 것"뿐이고, 지운 쪽의 상황은 다루어지지 않은 채 남는다 — 전수성이 증명 시작 전에 깨진다. 참인 명제로 고치려면 가정을 $\land$으로 바꾼다: "$2 \mid n$이고 $3 \mid n$이면 $6 \mid n$이다." 그러면 $\lor$가 사라져 두 도구 모두 대상이 아니게 되고, 판정법 다섯째 줄대로 두 사실을 함께 쓰는 직접 증명이 된다. ### 관찰 — 같은 뼈대 세 예제는 소재가 다르지만 걸음의 배치가 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자. | **항목** | **예제 2.1** | **예제 2.2** | **예제 2.3 답안 1** | |---|---|---|---| | $\lor$가 놓인 자리 | 가정 (홀짝 분할) | 결론 ($a = 0$ 또는 $b = 0$) | $\underline{\quad(1)\quad}$ | | 고른 도구 | 경우법 | 소거법 | $\underline{\quad(2)\quad}$ | | 첫 걸음이 하는 일 | 분할 선언과 전수성 근거 | $\underline{\quad(3)\quad}$ | 분할 선언과 전수성 근거 | | 결론의 $\lor$는 어떻게 해소되는가 | 결론에 $\lor$가 없다 | 한쪽 부정을 가정으로 얹어 다른 쪽을 유도 | $\underline{\quad(4)\quad}$ | | 마지막 걸음이 하는 일 | 전수성 회수 | $\lor$ 선언 (조건문 분해) | 전수성 회수 | :::{container} quotebox **확인 18.** 빈칸 (1)~(4)를 채우고, 두 도구가 공통으로 지키는 순서를 세 걸음으로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) 가정 — 무대 "0 아닌 실수"가 "양수 또는 음수"라는 숨은 $\lor$를 준다. (2) 경우법. (3) 부정할 쪽의 선택과 선언("$a \neq 0$이라 하자"). (4) 각 케이스에서 값이 $1$인지 $-1$인지 구성적으로 확정되므로 소거가 필요 없다 (판정법 셋째 줄). 공통 순서: ① $\lor$의 위치를 판정하고 도구를 선언한다 $\to$ ② 그 도구가 주는 추가 가정을 손에 쥐고 목표까지 간다(경우법은 조각을, 소거법은 한쪽의 부정을) $\to$ ③ 정당성의 동치를 인용해 원래 목표를 회수한다(경우법은 전수성, 소거법은 조건문 분해). ::: 세 예제에서 달라진 것은 몸통의 계산뿐이고, 걸음 ①과 ③은 도구별로 글자까지 같았다. ## 빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며 필사에서 자립으로 넘어가는 다리다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 §6에 있다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. ### 훈련 1 ●○○ — 수식과 절차의 빈칸 **명제.** 모든 실수 $x$에 대해 $\lvert x \rvert \ge x$이다. **판정.** 절댓값의 1권 17주차 정의 17.1이 두 갈래이므로 가정 쪽의 $\underline{\quad(1)\quad}$ $\lor$이고, 판정법 첫째 줄에 걸린다. **증명.** 실수 $x$를 임의로 잡자. 삼분법에 의해 $x \ge 0$이거나 $x < 0$이고, 두 경우가 $\underline{\quad(2)\quad}$를 덮는다. **케이스 1** ($x \ge 0$). 1권 정의 17.1의 첫 갈래에 의해 $\lvert x \rvert = \underline{\quad(3)\quad}$이다. 그러면 $\lvert x \rvert \ge x$는 $x \ge x$가 되고, 이는 참이다. **케이스 2** ($x < 0$). 1권 정의 17.1의 둘째 갈래에 의해 $\lvert x \rvert = -x$이다. $x < 0$이므로 $-x \underline{\quad(4)\quad} 0$이고, 따라서 $\lvert x \rvert = -x > 0 > x$이다. 두 경우가 실수 전체를 빠짐없이 덮으므로 $\lvert x \rvert \ge x$이다. $\blacksquare$ 이 증명이 쓴 도구는 $\underline{\quad(5)\quad}$법이고, $\lor$는 $\underline{\quad(6)\quad}$ 쪽 — 정확히는 절댓값의 **정의** 안에 접혀 있었다. ### 훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께 이번에는 도구 이름과 근거 문장도 빈칸이다. **명제.** 실수 $x$에 대해, $x^2 = 4$이면 $x = 2$ 또는 $x = -2$이다. **판정.** $\lor$가 $\underline{\quad(1)\quad}$ 쪽에 있으므로 $\underline{\quad(2)\quad}$법을 쓴다. **증명.** $x^2 = 4$라 하자. $\underline{\quad(2)\quad}$법을 쓴다. $x \neq 2$라 하자 [걸음 ①]. $x^2 = 4$에서 $x^2 - 4 = 0$이고, 인수분해하면 $$ (x - 2)(x + 2) = 0 $$ 이다. $x \neq 2$이므로 $x - 2 \underline{\quad(3)\quad} 0$이다. 두 실수의 곱이 0이고 한쪽이 0이 아니므로 $\underline{\quad(4)\quad}$에 의해 $x + 2 = 0$이고, 따라서 $x = \underline{\quad(5)\quad}$이다 [걸음 ②]. $\underline{\quad(6)\quad}$ 따라서 $x = 2$ 또는 $x = -2$이다. $\blacksquare$ [걸음 ③] **부정 방향의 점검.** $x \neq -2$를 대신 가정했다면 유도의 마지막 줄에서 얻는 것은 $\underline{\quad(7)\quad}$이다. ### 훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고 이번에는 판정부터 스스로 한다. 각 칸을 문장으로 통째로 채운다. **명제.** 정수 $n$에 대해, $n$이 3의 배수가 아니면 $n^2 - 1$은 3의 배수이다. - ① 판정과 그 근거 ($\lor$가 어디에 있고 판정법 표의 몇째 줄인가): $\underline{\quad(1)\quad}$ - ② 분할 선언과 전수성의 근거 (완전한 문장으로): $\underline{\quad(2)\quad}$ - ③ 케이스 1의 몸통 (정의 풀기부터 결론까지): $\underline{\quad(3)\quad}$ - ④ 케이스 2의 몸통: $\underline{\quad(4)\quad}$ - ⑤ 종합 문장과 그 근거: $\underline{\quad(5)\quad}$ ## 연습문제 (20문항) 해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 접근까지만 읽고 다시 시도한다. :::{admonition} 이번 주의 채점 기준 :class: quotebox 답이 아니라 근거가 점수다. 이번 주의 제출 규격은 네 가지다: ① 판정 — $\lor$가 가정 쪽인지 결론 쪽인지 밝히고 판정법 표의 몇째 줄이 근거인지 지목한다 ② 경우법 답안은 분할 선언에 전수성의 근거를 달고 마지막에 회수한다 ③ 소거법 답안은 부정 선언$\cdot$유도$\cdot$$\lor$ 선언의 3단을 라벨하고, 부정한 사실이 몸통의 어느 줄에서 소비되는지 짚는다 ④ 케이스마다 정수성$\cdot$부호 확인을 각각 되풀이한다. 케이스별 계산이 옳아도 ②의 전수성이 없으면 그 답안은 부분 관찰의 나열로 읽힌다. 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다. ::: ### 기본 ●○○ **1.** [백지] $\lor$ 위치별 도구, 경우법 두 요건, 소거법 서식$\cdot$정당성, 숨은 $\lor$ 목록을 쓰시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown §1.7의 판정법 표, S15주차 정의 15.1, 정의 15.2, §1.6의 숨은 $\lor$ 표가 그대로 답이다. 통째로 외우기보다 "가정의 $\lor$는 쪼개고 결론의 $\lor$는 한쪽을 부정해 얹는다"라는 한 문장에서 나머지를 재구성하는 쪽이 재현률이 높다. ::: **2.** 각 명제에서 $\lor$의 위치(가정/결론)를 밝히고 도구(경우법/소거법)를 지정하시오 (증명은 하지 말 것). (a) $x^2 = x$이면 $x = 0$ 또는 $x = 1$이다. (b) $n$이 짝수이거나 홀수이면 $n^2 \ge 0$이다 (정수 $n$). (c) $\lvert x - 3 \rvert = 5$이면 $x = 8$ 또는 $x = -2$이다. (d) $ab$가 홀수이면 $a$가 홀수이고 $b$가 홀수이다. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 낱말 "또는"을 먼저 찾되, 없다고 끝내지 않는다 — §1.6의 표에 걸리는 기호가 있는지 확인한다. (d)는 연결사가 무엇인지부터 다시 읽는다. ::: **3.** 예제 2.1(경우법)을 백지 재현하시오 — 전수성 줄 포함. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 다섯 줄이다. 무대 올리기, 분할 선언과 근거, 케이스 1, 케이스 2, 종합. 케이스 2의 전개에서 상수항이 두 번 나온다는 것만 기억하면 계산이 복원된다. ::: **4.** 빈칸 사다리의 훈련 1~3을 백지에서 완성하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 훈련 1은 절댓값 정의의 두 갈래, 훈련 2는 소거법 3단, 훈련 3은 나머지 분류다. 세 훈련이 §1.7 판정법 표의 첫째$\cdot$둘째$\cdot$첫째 줄에 각각 대응한다. ::: **5.** 예제 2.2(소거법)를 백지 재현하시오 — 3단 라벨과 $a \neq 0$이 소비되는 자리를 포함하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 소비되는 자리는 한 줄뿐이다. "$\frac1a$이 존재한다"가 어디서 나오는지 짚으면 된다. ::: **6.** 예제 2.3의 두 답안을 재현하고 각각의 병명을 쓰시오 — 답안 1은 무대 조건을 함께 적어 판정하고(전수성 근거 누락인지, 무대를 넓혔을 때의 전수성 결함인지), 답안 2는 두 병(거짓 명제 / 도구 선택 오류)을 모두 지적하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 답안 1은 지금의 무대에서는 옳고, 무대를 넓히는 순간 병이 생긴다 — 병명을 쓸 때 무대 조건을 함께 적는다. 답안 2는 병이 두 개다. ::: ### 표준 ●●○ **7.** 모든 실수 $x$에 대해 $\lvert x \rvert \ge 0$임을 경우법으로 증명하시오 (숨은 $\lor$: 절댓값의 정의). :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 훈련 1과 분할이 같고 도착점만 다르다. 케이스 2에서 $-x$의 부호를 어떻게 얻는지가 유일한 계산이다. ::: **8.** 문제 2(a)를 소거법으로 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 부정할 쪽으로 "$x = 0$"을 고르면 $x \neq 0$이 손에 들어오고, 그것이 나눗셈을 허락한다. 나눈 뒤 남는 등식이 곧 도착점이다. ::: **9.** 모든 정수 $n$에 대해 $n^2 \equiv 0$ 또는 $1 \pmod 4$임을 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 확인 8에서 판정을 이미 했다. 결론의 $\lor$는 각 케이스의 계산이 지목하므로 소거법을 쓸 자리가 없다 — 케이스마다 $n^2$을 $4 \times (\text{정수})$ 또는 $4 \times (\text{정수}) + 1$ 꼴로 만드는 것이 전부다. ::: :::{admonition} 다음 문제가 쓰는 도구 — 베주 항등식 :class: quotebox 문제 10은 다음 사실을 쓴다. **정수 $a, b$가 둘 다 0이 아니면 $\gcd(a,b) = ax + by$인 정수 $x, y$가 존재한다.** 이것을 **베주 항등식**이라 하고, 이번 주에는 인정하고 쓴다 — 증명은 C15주차에서 유클리드 호제법과 함께 세운다. 문제 10에서 필요한 것은 $\gcd(p, a) = 1$인 경우, 곧 $px + ay = 1$인 정수 $x, y$가 존재한다는 사실뿐이다. ::: **10.** 유클리드 보조정리를 소거법으로 증명하시오: "소수 $p$에 대해, $p \mid ab$이면 $p \mid a$ 또는 $p \mid b$이다." 베주 항등식은 기성품으로 인정하고 쓰되, 어느 줄에서 소비되는지 밝히시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 부정할 쪽은 "$p \mid a$"다. $p \nmid a$에서 $\gcd(p, a) = 1$이 나오는 이유를 "소수의 약수는 1과 자신뿐"에서 한 줄로 적는다. 그다음은 베주가 준 등식의 양변에 $b$를 곱하고, 두 항이 각각 $p$의 배수임을 확인한다. ::: **11.** 모든 실수 $a, b$에 대해 $\lvert ab \rvert = \lvert a \rvert \lvert b \rvert$임을 증명하시오 (부호 4케이스. 전수성을 확인하고, 대칭으로 케이스를 줄일 수 있는지 검토하시오). :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 각 케이스에서 먼저 정해야 하는 것은 **곱 $ab$의 부호**다. 그것이 정해져야 좌변의 절댓값을 정의로 풀 수 있다. 우변은 $a$와 $b$ 각각의 부호로 푼다. ::: **12.** 다음 답안을 진단하시오. :::{container} quotebox "명제: 정수 $n$에 대해 $n^2 \ge n$이다. 증명: 케이스 1 ($n$이 양수): $n \ge 1$이므로 $n^2 = n \cdot n \ge n \cdot 1 = n$. 케이스 2 ($n$이 음수): $n^2 > 0 > n$. 따라서 $n^2 \ge n$이다." ::: :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 계산은 두 케이스 모두 옳다. 그러므로 검사할 곳은 계산이 아니라 분할이다. §1.3의 삭제 실험과 같은 자리를 의심한다. ::: **13.** 모든 실수 $a, b$에 대해 $\max\{a, b\} + \min\{a, b\} = a + b$임을 WLOG를 써서 증명하시오. WLOG가 정당한 이유(명제가 $a, b$ 교환에 대칭임)를 한 줄로 밝히시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown WLOG를 선언한 뒤에는 $\max$와 $\min$의 값이 그 자리에서 확정된다 — 케이스 정의를 그대로 읽으면 된다. 정당화 문장은 좌변과 우변이 각각 교환에 불변임을 지적하면 끝난다. ::: **14.** 소거법과 대우를 견주시오. 명제 "정수 $n$에 대해, $n^2$이 짝수이면 $n$은 짝수이다"를 (a) S12주차의 대우로 증명하고, (b) 이 명제를 조건문 분해로 "또는" 꼴로 재포장한 뒤 소거법을 시도해, 두 접근이 사실상 같은 계산임을 확인하시오. ("$A \Rightarrow B$"와 "$\neg A \vee B$"의 동치(1권 9주차)가 대우와 소거를 잇는 다리임을 결론으로 쓰시오.) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown (b)에서 재포장한 $\lor$의 두 조각 중 어느 쪽을 부정하느냐로 갈린다. 한쪽을 부정하면 원명제로 되돌아가 진전이 없고, 다른 쪽을 부정하면 (a)와 같은 계산이 나온다. 그 갈림을 확인하는 것이 이 문제의 목적이다. ::: ### 도전 ●●● :::{admonition} 다음 문제가 쓰는 도구 — 비둘기집 원리 :class: quotebox 문제 15는 다음 사실을 쓴다. **$k$개의 상자에 $k$보다 많은 물건을 넣으면 어떤 상자에는 두 개 이상이 들어간다.** 이것을 **비둘기집 원리**라 한다. 1권 26주차 문제 19가 상자 3개$\cdot$물건 4개짜리 특수 사례를 귀류로 증명했다 — 모든 상자가 하나 이하를 담는다고 가정하면 총합이 상자 수 이하가 되어 물건 수와 충돌한다. 일반형은 1권 41주차 §1.8과 문제 14에서 함수의 언어로 세운다. 이번 주에 필요한 것은 상자 2개$\cdot$물건 3개짜리이므로 1권 26주차의 논법을 그대로 옮겨 쓰면 되고, 조건은 상자가 배타적이고 전수적이어야 한다는 것뿐이다. ::: **15.** 세 실수 $a, b, c$ 중 적어도 둘은 같은 부호임을(둘 다 $\ge 0$이거나 둘 다 $\le 0$) 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 상자를 두 개 만든다 — "$\ge 0$"과 "$< 0$". 0을 어느 상자에 넣을지 먼저 정해야 상자가 배타적이고 전수적이 된다. 그다음은 비둘기집 한 줄이고, 마지막에 "$< 0$"이 결론의 "$\le 0$"을 함의함을 확인한다. ::: **16.** 모든 실수 $x, y$에 대해 $\lvert x + y \rvert \le \lvert x \rvert + \lvert y \rvert$ (삼각부등식)를 경우법으로 증명하시오. 이어서 부호 케이스를 쓰지 않는 경로 — $-\lvert x \rvert \le x \le \lvert x \rvert$와 $-\lvert y \rvert \le y \le \lvert y \rvert$를 변끼리 더해 $-(\lvert x \rvert + \lvert y \rvert) \le x + y \le \lvert x \rvert + \lvert y \rvert$를 얻고 절댓값 보조정리로 접는 길 — 로도 증명하고 두 경로를 비교하시오. (S6주차 문제 18의 수리가 이 명제였고, 이번에는 정면으로 케이스를 나눈다.) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 부호 케이스로 가면 $x$와 $y$의 부호가 다를 때 $x + y$의 부호가 또 갈린다 — 하위 케이스가 생긴다는 뜻이고, 그것이 이 경로의 비용이다. 둘째 경로에서 쓰는 보조정리는 1권 17주차 문제 11이다: $b \ge 0$일 때 $\lvert a \rvert \le b \iff -b \le a \le b$. ::: **17.** 실수 $x$에 대해, $x^2 - 3x + 2 \ge 0$이면 $x \le 1$ 또는 $x \ge 2$임을 소거법으로 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 부정할 쪽으로 "$x \le 1$"을 고르면 $x > 1$이 손에 들어오고, 그것이 인수 $x - 1$의 부호를 확정한다. 부호가 확정된 인수로 부등식을 나눌 때 방향이 유지되는 근거를 밝힌다. ::: **18.** 다음 "증명"의 결함을 찾으시오. :::{container} quotebox "명제: 모든 실수 $x$에 대해 $\frac{x}{x} = 1$이다. 증명: 케이스 1 ($x > 0$): $\frac xx = 1$. 케이스 2 ($x < 0$): $\frac xx = 1$. 따라서 모든 실수에서 $\frac xx = 1$이다." ::: :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 빠진 값에서 명제가 거짓인지, 아니면 아예 뜻을 갖지 않는지를 구별해서 적는다. 수리 방법도 두 가지 중 하나가 아니라 무대 쪽에 있다. ::: **19.** 임의의 세 연속 정수 중 하나는 3의 배수임을 경우법으로 증명하시오. 각 케이스에서 셋 중 누가 3의 배수인지 지목하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 세 수를 $n, n+1, n+2$로 두고 $n$을 3으로 나눈 나머지로 분할한다. 나머지가 1이면 3의 배수가 되는 것은 셋 중 어느 것인지 직접 계산해 본다. ::: **20.** (서술) (a) "$\lor$의 위치가 도구를 정한다"를 예제 2.1(가정의 $\lor$ $\to$ 경우법)과 예제 2.2(결론의 $\lor$ $\to$ 소거법)로 뒷받침하고, 이것이 S6~S7주차에서 양화사의 위치가 처리법을 정한 것과 같은 정신임을 세 문장 이내로 쓰시오. (b) 소거법$\cdot$대우(S12주차)$\cdot$조건문 분해(1권 9주차) 세 가지가 하나의 논리적 동치로 묶임을 문제 14의 결과로 두 문장 이내로 설명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown (a)는 두 예제에서 $\lor$의 위치가 만든 부담을 먼저 적고, 그 부담을 도구가 어떻게 없앴는지로 잇는다 — 양화사 쪽 대비는 결론의 $\forall$에 선택법(S6주차)이, 가정의 $\forall$에 특수화(S7주차)가 붙었다는 것 하나면 된다. (b)는 문제 14의 결론이 그대로 답이다 — 세 이름이 어느 하나의 동치에서 갈라져 나오는지를 지목한다. ::: ## 백지 재현 — 복습 프로토콜 **이번 주의 5일 루틴.** 원서와 교안을 번갈아 쓰는 순서다. | **요일** | **할 일** | |---|---| | 1일차 | 원서 Solow 13장 통독 (모르는 문장은 표시만 하고 통과) | | 2일차 | 교안 §0~§2 — 개념과 예제. 확인 상자는 연필로 먼저 답한다 | | 3일차 | 원서 재독 — 1일차에 표시한 문장을 해결하고, 원서 13장의 연습문제 몇 개를 직접 시도 | | 4일차 | 교안 §3 빈칸 사다리 + §4 연습문제 20문항 | | 5일차 | 백지 재현 1차(틀 카드)$\cdot$2차(완전 백지) + 체크리스트 | 3일차의 재독이 이번 주에는 특히 중요하다. 원서 13장은 두 도구를 한 장에 나란히 놓고 짧게 지나가므로, 교안 §1.7의 판정법 표를 손에 쥐고 다시 읽으면 원서 예제의 각 줄이 어느 도구의 문장인지 짚을 수 있다. **1차 시도 — 틀 카드 허용.** 다음 세 상자만 옮겨 적은 카드를 펴 놓는다: S15주차 정의 15.1, 정의 15.2, 판정법 표(§1.7). 그 상태에서 예제 2.1을 판정부터 종합 문장까지 적고, 이어서 예제 2.2를 3단 라벨과 함께 적는다. 예제 본문과 확인 상자는 보지 않는다. **2차 시도 — 완전 백지.** 아무것도 보지 않고 수행한다. - [ ] 경우법의 두 요건과 그 정당성(1권 17주차 문제 20(a)의 동치)을 썼다. - [ ] 소거법의 3단 서식과 그 정당성(조건문 분해, 1권 9주차)을 쓰고, $\neg P \Rightarrow Q \equiv P \vee Q$를 이중부정까지 포함해 유도했다. - [ ] 판정법 표 다섯 줄을 재현하고, 문제 2의 네 명제를 표만 보고 다시 판정했다. - [ ] 예제 2.1을 처음부터 끝까지 재현하고, 전수성이 선언되는 줄과 회수되는 줄을 손가락으로 짚었다. - [ ] 예제 2.2를 재현하고, $a \neq 0$이 소비되는 줄을 지목했다. - [ ] 걸음 삭제 실험 둘(전수성 근거를 지운 답안, 부정 선언을 지운 답안)을 재현하고 각각 무엇이 무너지는지 적었다. - [ ] 숨은 $\lor$ 다섯 줄을 재현하고, 각각이 가정 쪽인지 결론 쪽인지 판정했다. - [ ] WLOG의 허용 조건(남은 상황이 이름 교환으로 옮겨지는가)을 쓰고, 정당하지 않은 선언의 예를 하나 들었다. - [ ] 원서 13장을 두 번 읽었고, 1일차에 표시한 문장이 전부 해결되었다. **막힌 지점별 처방.** 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다. | **막힌 지점** | **처방** | |---|---| | 경우법인지 소거법인지 정하지 못한다 | §1.7 판정법 표를 위에서부터 훑는다. 판정은 명제의 어느 부분에 $\lor$가 있는지만 묻는다 | | 문면에 "또는"이 없어 도구가 안 붙는다 | §1.6 숨은 $\lor$ 표 — 부등호$\cdot$절댓값$\cdot$영인수$\cdot$나머지 네 자리를 먼저 검사한다 | | 케이스를 몇 개로 나눌지 모르겠다 | 예제 2.1의 설계 — 분할은 "정의를 풀려면 무엇을 알아야 하는가"가 정한다 | | 전수성의 근거로 무엇을 쓸지 모르겠다 | §1.8 근거 ④ — 정수는 나눗셈 정리, 실수는 삼분법, 절댓값은 1권 17주차 정의 17.1의 두 갈래 | | 소거법에서 어느 쪽을 부정할지 모르겠다 | §1.4 끝의 두 기준 — 부정했을 때 쓸모가 있는 쪽, 몸통에서 실제로 소비되는 쪽 | | 케이스마다 계산이 거의 같아 지겹다 | §1.5 ㄱ — 명제가 문자 교환에 대칭인지 확인하고 WLOG를 검토한다. 대칭이 아니면 접을 수 없다 | | 답안이 옳아 보이는데 명제가 거짓이다 | §1.3 삭제 실험 — 덮이지 않은 조각을 찾는다. 그 조각이 반례의 산지다 | 하나라도 실패하면 그 항목만 다시 적고 다음날 재시도한다. ## 해설 각 해설은 **접근**(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 **풀이**로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 1 (1) 숨은 (2) 실수 전체 (3) $x$ (4) $>$ (5) 경우 (6) 가정 ※ 케이스 1에서 결론이 "$x \ge x$"가 되는 것이 어색해 보이지만, $\ge$는 "$>$ 또는 $=$"이므로 등호 쪽으로 참이다(§1.6 첫째 줄). 부등호에 숨은 $\lor$가 결론 쪽에 있고, 두 조각 중 하나만 성립하면 되므로 지목이 이미 끝나 있다 — 판정법 셋째 줄과 같은 사정이다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 2 (1) 결론 (2) 소거 (3) $\neq$ (4) 영인수 성질 (예제 2.2 — 근거 ④) (5) $-2$ (6) 조건문 분해에 의해 (근거 ④) (7) $x = 2$ ※ (4)에서 인용하는 것이 예제 2.2라는 점이 이 훈련의 요점이다. 소거법으로 증명한 명제가 다음 소거법 답안의 근거로 재취업한다. (7)의 점검은 부정 방향이 대칭일 때 두 방향이 모두 통한다는 확인이고, $x \neq -2$를 가정하면 $x + 2 \neq 0$이라 같은 논법으로 $x - 2 = 0$, 곧 $x = 2$가 나온다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 3 (1) 가정 쪽의 숨은 $\lor$다. 가정 "$n$이 3의 배수가 아니다"는 나눗셈 정리로 펴면 "$n$을 3으로 나눈 나머지가 1이거나 2이다"가 되므로 판정법 첫째 줄, 경우법이다. (2) "$n$이 3의 배수가 아니므로, 나눗셈 정리에 의해 $n = 3q + 1$ 또는 $n = 3q + 2$인 정수 $q$가 존재한다(나머지 0은 가정이 배제했다). 두 경우가 3의 배수가 아닌 정수 전체를 덮는다." (3) "케이스 1 ($n = 3q + 1$). 그러면 $n^2 - 1 = (3q+1)^2 - 1 = 9q^2 + 6q = 3(3q^2 + 2q)$이고, $3q^2 + 2q$는 정수이므로(근거 ②) $n^2 - 1$은 3의 배수이다." (4) "케이스 2 ($n = 3q + 2$). 그러면 $n^2 - 1 = (3q+2)^2 - 1 = 9q^2 + 12q + 3 = 3(3q^2 + 4q + 1)$이고, 괄호 안은 정수이므로 $n^2 - 1$은 3의 배수이다." (5) "두 경우가 무대를 빠짐없이 덮으므로 $n^2 - 1$은 3의 배수이다. 근거는 1권 17주차 문제 20(a)의 동치(근거 ④)다." ※ 이 훈련의 요점은 **부정형 가정을 나눗셈 정리로 펴면 $\lor$가 나온다**는 것이다. "3의 배수가 아니다"는 그 자리에서는 풀 정의가 없지만, 나머지 세 갈래 중 하나를 가정이 지웠다고 읽으면 남은 두 갈래가 곧 분할이다. 부정형을 만나면 대우나 귀류만 떠올리기 쉬운데(S11~S12주차), 나머지 분류가 있는 자리에서는 경우법이 더 짧다. ### 문제 1 **접근.** 네 덩어리를 재생하는 문제이므로, 외운 문장을 그대로 옮기기보다 각 덩어리가 무엇을 막아 주는지 한 줄씩 덧붙이며 적는 쪽이 재현률이 높다. 판정법은 도구 선택을, 경우법의 두 요건은 분할의 결함을, 소거법의 서식은 거짓 주장으로의 격상을, 숨은 $\lor$ 목록은 신호를 놓치는 것을 각각 막는다. **풀이.** **① $\lor$ 위치별 도구.** 가정에 $\lor$가 있으면 경우법, 결론에 있으면 소거법. 결론의 $\lor$가 각 케이스의 계산으로 지목되면 경우법만으로 끝난다. 가정과 결론에 모두 있으면 바깥이 경우법, 안쪽이 소거법. 결론이 $\land$이면 두 도구 모두 대상이 아니고 두 조각을 각각 증명한다. **② 경우법의 두 요건.** ① 각 케이스 완결 — 각 $P_i$를 가정하고 목표 $B$를 증명한다. ② 전수성 — $P_1, \ldots, P_k$가 무대를 빠짐없이 덮음을 근거를 대고 밝힌다. 정당성은 $(P_1 \vee P_2) \Rightarrow B \equiv (P_1 \Rightarrow B) \wedge (P_2 \Rightarrow B)$ (1권 17주차 문제 20(a)). 겹침은 무해하고 빠짐은 치명적이다. **③ 소거법의 서식과 정당성.** ① "$\neg P$라 하자" ② $Q$를 유도한다 ③ "따라서 $P$ 또는 $Q$이다". 정당성은 조건문 분해 $P \Rightarrow Q \equiv \neg P \vee Q$(1권 9주차)에서 $P$ 자리에 $\neg P$를 넣고 이중부정을 정리한 것: $\neg P \Rightarrow Q \equiv P \vee Q$. $\neg Q \Rightarrow P$로 가도 같으므로 부정할 쪽은 고를 수 있다. **④ 숨은 $\lor$ 목록.** $a \le b$는 "$<$ 또는 $=$", 절댓값은 부호에 따른 두 갈래, $\lvert x \rvert = c$는 "$x = c$ 또는 $x = -c$", $ab = 0$은 "$a = 0$ 또는 $b = 0$", 나머지 분류는 $m$갈래. **복기.** 네 덩어리 중 실전에서 가장 먼저 쓰이는 것은 ④다. 문면에 "또는"이 없으면 ①의 판정 자체가 시작되지 않기 때문이다. 백지에서도 ④ $\to$ ① $\to$ ② $\to$ ③의 순서로 적으면 앞의 것이 뒤의 것을 불러 준다. ### 문제 2 **접근.** 각 명제에서 연결사가 무엇이고 어디에 있는지만 본다. 증명을 시작할 필요는 없다. 낱말 "또는"이 없으면 §1.6의 표에 걸리는 기호가 있는지 확인하고, 그래도 없으면 연결사가 $\lor$가 아닌 것이다. **풀이.** **(a)** $\lor$는 **결론** 쪽이다("$x = 0$ 또는 $x = 1$"). 판정법 둘째 줄 — 가정 $x^2 = x$만으로는 어느 쪽인지 지목되지 않는다($x = 0$과 $x = 1$이 둘 다 가정을 만족한다). 도구는 **소거법**이다. **(b)** $\lor$는 **가정** 쪽이다("$n$이 짝수이거나 홀수"). 판정법 첫째 줄, 도구는 **경우법**이다. 다만 두 케이스 모두에서 $n^2 \ge 0$이 (W1) 한 줄로 끝나므로 실제 계산은 나뉘지 않는다 — 가정의 $\lor$가 있다고 해서 계산까지 반드시 갈리는 것은 아니다. **(c)** $\lor$는 **결론** 쪽이다("$x = 8$ 또는 $x = -2$"). 판정법 둘째 줄, 도구는 **소거법**이다. 다른 길도 있다 — 가정 $\lvert x - 3 \rvert = 5$ 자체가 절댓값이라 §1.6 둘째 줄의 숨은 $\lor$를 품고 있으므로, $x - 3 \ge 0$과 $x - 3 < 0$으로 나누는 경우법으로도 된다. 그때는 결론의 $\lor$가 각 케이스에서 구성적으로 지목되어 판정법 셋째 줄이 된다. **(d)** 결론의 연결사는 $\lor$가 아니라 **$\land$**다("$a$가 홀수이고 $b$가 홀수"). 판정법 다섯째 줄이므로 두 도구 모두 대상이 아니고, 두 조각을 각각 증명한다. 다만 S12주차의 대우를 만들면 결론의 $\land$이 가정의 $\lor$로 바뀐다 — 대우는 "$a$가 짝수이거나 $b$가 짝수이면 $ab$는 짝수이다"이고, 여기서는 가정이 $\lor$이므로 **경우법**이 붙는다. **복기.** (d)가 이 문제의 함정이다. 도구를 정하기 전에 연결사가 $\land$인지 $\lor$인지부터 읽어야 하고, $\land$이면 대우를 한 번 만들어 보는 것이 $\lor$를 얻는 표준 경로다. 곧 **논리형 판독이 도구 판정보다 먼저**다. ### 문제 3 **접근.** 다섯 줄짜리 답안이고, 그중 두 줄(분할 선언과 종합)이 이번 주의 규격이다. 계산 두 줄은 1권 1주차의 리듬 그대로이므로, 재현이 막히는 자리는 대개 규격 쪽이다. 전수성의 근거를 무엇으로 댈지를 먼저 정하고 시작한다. **풀이.** **증명.** 정수 $n$을 임의로 잡자. 나눗셈 정리에 의해 $n$은 짝수이거나 홀수이고, 두 경우가 정수 전체를 덮는다. **케이스 1** ($n$이 짝수). 정의에 의해 $n = 2k$인 정수 $k$가 존재한다. 그러면 $$ n^2 + n = (2k)^2 + 2k = 4k^2 + 2k = 2(2k^2 + k) $$ 이고 $2k^2 + k$는 정수이므로(근거 ②) $n^2 + n$은 짝수이다. **케이스 2** ($n$이 홀수). 정의에 의해 $n = 2k + 1$인 정수 $k$가 존재한다. 그러면 $$ n^2 + n = (4k^2 + 4k + 1) + (2k + 1) = 4k^2 + 6k + 2 = 2(2k^2 + 3k + 1) $$ 이고 괄호 안은 정수이므로 $n^2 + n$은 짝수이다. 두 경우가 정수 전체를 빠짐없이 덮으므로, 모든 정수 $n$에 대해 $n^2 + n$은 짝수이다. $\blacksquare$ **검산.** $n = 3$: $n^2 + n = 12$ — 짝수이고 케이스 2에서 $k = 1$이므로 $2(2 + 3 + 1) = 12$ ✓. $n = -4$: $16 - 4 = 12$ — 짝수이고 케이스 1에서 $k = -2$이므로 $2(8 - 2) = 12$ ✓. ### 문제 4 **접근.** 세 훈련의 답은 앞의 사다리 해설에 있다. 여기서 확인할 것은 답이 맞았는가가 아니라 **어디를 보고 채웠는가**다. 훈련 1은 1권 정의 17.1의 갈래를, 훈련 2는 소거법 3단을, 훈련 3은 나눗셈 정리를 보고 채워야 한다. **풀이.** 자가 채점의 항목은 다음 다섯이다. ① 훈련 1에서 (1)에 "숨은"을 적었는가 — 문면에 "또는"이 없다는 것을 알아챘는지의 확인이다. ② 훈련 1의 (4)에서 부등호 방향을 "$>$"로 적었는가 — $x < 0$의 양변에 $-1$을 곱해 방향이 뒤집힌 결과다((W3), 근거 ③). ③ 훈련 2의 (4)에서 근거로 "영인수 성질"을 대고 출처(예제 2.2)를 함께 적었는가. ④ 훈련 2의 (6)에서 조건문 분해를 인용했는가 — 이 줄이 없으면 증명된 것은 조건문뿐이다. ⑤ 훈련 3의 (2)에서 나머지 0이 가정에 의해 배제되었다는 것을 명시했는가. **복기.** 사다리의 세 훈련이 판정법 표의 첫째$\cdot$둘째$\cdot$첫째 줄에 대응한다. 훈련 1과 3이 같은 줄인데도 분할의 근거가 다르다는 것(1권 정의 17.1 대 나눗셈 정리)이 이 사다리의 설계 의도다 — **전수성의 근거는 무대가 정한다.** ### 문제 5 **접근.** 다섯 줄짜리 답안이고, 그중 세 줄이 소거법의 3단이다. 재현에서 빠뜨리기 쉬운 것은 첫 줄(원명제의 가정 $ab = 0$을 받는 문장)과 마지막 줄($\lor$ 선언)이다. 두 줄이 없으면 답안이 "$a \neq 0$이면 $b = 0$"이라는 조건문에서 끝난다. **풀이.** **증명 (소거법).** $ab = 0$이라 하자. 소거법을 쓴다. $a \neq 0$이라 하자 [걸음 ①]. $a \neq 0$이므로 역수 $\frac1a$이 존재한다(근거 ④). $ab = 0$의 양변에 $\frac1a$을 곱하면 $$ b = \left(\frac1a a\right) b = \frac1a (ab) = \frac1a \cdot 0 = 0 $$ 이다 [걸음 ②]. 조건문 분해에 의해 따라서 $a = 0$ 또는 $b = 0$이다 [걸음 ③]. $\blacksquare$ **$a \neq 0$이 소비되는 자리.** "역수 $\frac1a$이 존재한다"는 줄 하나뿐이다. 그 뒤로는 $a \neq 0$이 다시 쓰이지 않는다. 소거법에서 부정한 사실은 대개 이렇게 **한 곳에서만 소비되고**, 그 한 곳이 없으면 걸음 ①이 헛돈다 — 부정할 쪽을 고르는 기준 ㄴ(§1.4 끝)이 이 관찰에서 나온다. **검산.** $a = 3, b = 0$: 가정 $ab = 0$이 참이고 결론의 오른쪽 조각이 참 ✓. $a = 0, b = 5$: 가정이 참이고 왼쪽 조각이 참이며, 이 경우 걸음 ①의 가정 "$a \neq 0$"이 거짓이므로 조건문이 공허하게 참이 되어 답안과 어긋나지 않는다 ✓. ### 문제 6 **접근.** 두 답안의 병이 서로 다르다. 답안 1은 계산이 옳고 지금의 무대에서는 결론도 옳으므로, 병명을 쓸 때 **무대 조건을 함께 적어야** 진단이 정확해진다. 답안 2는 병이 두 개이고, 둘 중 하나(명제가 거짓)가 다른 하나(도구 오선택)보다 먼저 잡혀야 한다. **풀이.** **답안 1 재현.** "케이스 1 ($x$가 양수): $\lvert x \rvert = x$이므로 $\frac{x}{\lvert x \rvert} = 1$. 케이스 2 ($x$가 음수): $\lvert x \rvert = -x$이므로 $\frac{x}{\lvert x \rvert} = -1$. 따라서 $\pm 1$이다." **병명.** 무대가 "0 아닌 실수"인 한 이 답안은 옳고, 결함은 **전수성의 근거가 문면에 없다**는 서식 결함뿐이다. 그러나 무대를 "모든 실수"로 넓히면 병명이 **전수성 결함**이 된다 — $x = 0$이 어느 케이스에도 들지 않고, 그 값에서 $\frac00$이 정의되지 않아 명제 자체가 무의미해진다. 수리: 무대를 "0 아닌 실수"로 명시하고, 분할 선언에 "삼분법에 의해"를 붙이고, 마지막에 전수성을 회수한다. **답안 2 재현.** "$2 \nmid n$이라 가정하면 $3 \mid n$이어야 하고, 그러면 $6 \mid n$을 보이자 …" **병명 (둘).** 첫째, **명제가 거짓이다** — $n = 2$가 반례다($2 \mid 2$이지만 $6 \nmid 2$). 둘째, **도구 선택 오류** — $\lor$가 가정 쪽에 있으므로 판정법 첫째 줄, 경우법이 붙어야 하는데 결론의 $\lor$에 붙는 소거법을 흉내 냈다. 그 결과 케이스 "$2 \mid n$"이 통째로 다루어지지 않는다. **복기.** 두 병이 잡히는 순서가 다르다. 답안 1의 병은 **무대를 읽으면** 잡히고, 답안 2의 병은 **작은 값을 대입하면** 잡힌다. 경우법 답안을 검사할 때는 이 두 가지를 먼저 한다 — 무대 확인과 정찰 대입. 계산 검사는 그다음이다. ### 문제 7 **접근.** 훈련 1과 분할이 같다 — 절댓값의 1권 17주차 정의 17.1이 두 갈래이므로 가정 쪽의 숨은 $\lor$다. 도착점만 "$\lvert x \rvert \ge x$"에서 "$\lvert x \rvert \ge 0$"으로 바뀐다. 케이스 2에서 $-x$의 부호를 어떻게 얻는지가 이 문제의 유일한 계산이다. **풀이.** **증명.** 실수 $x$를 임의로 잡자. 삼분법에 의해 $x \ge 0$이거나 $x < 0$이고, 두 경우가 실수 전체를 덮는다. **케이스 1** ($x \ge 0$). 1권 정의 17.1의 첫 갈래에 의해 $\lvert x \rvert = x$이고, 가정이 $x \ge 0$이므로 $\lvert x \rvert \ge 0$이다. **케이스 2** ($x < 0$). 1권 정의 17.1의 둘째 갈래에 의해 $\lvert x \rvert = -x$이다. $x < 0$의 양변에 $-1$을 곱하면 (W3)에 의해 부등호가 뒤집혀 $-x > 0$이고, 따라서 $\lvert x \rvert = -x > 0$, 곧 $\lvert x \rvert \ge 0$이다. 두 경우가 실수 전체를 빠짐없이 덮으므로 모든 실수 $x$에 대해 $\lvert x \rvert \ge 0$이다. $\blacksquare$ **복기.** 케이스 2의 마지막에서 "$> 0$"을 "$\ge 0$"으로 약하게 바꾸는 줄이 필요하다. 도착점이 $\ge$인데 손에 든 것이 $>$이면, $\ge$가 "$>$ 또는 $=$"이라는 숨은 $\lor$(§1.6 첫째 줄)에서 왼쪽 조각이 참이므로 전체가 참이다. **더 강한 것을 얻었을 때 목표의 꼴로 낮춰 적는 것도 한 줄의 근거를 요구한다.** ### 문제 8 **접근.** 결론이 $\lor$이므로 판정법 둘째 줄, 소거법이다. 부정할 쪽으로 "$x = 0$"을 고르면 $x \neq 0$이 손에 들어오고, 그것이 나눗셈을 허락한다 — 부정한 사실이 실제로 소비되는 선택이므로 기준 ㄴ에 맞는다. **풀이.** **증명 (소거법).** $x^2 = x$라 하자. 소거법을 쓴다. $x \neq 0$이라 하자 [걸음 ①]. $x \neq 0$이므로 $x^2 = x$의 양변을 $x$로 나눌 수 있고, $$ \frac{x^2}{x} = \frac{x}{x} \quad \Longrightarrow \quad x = 1 $$ 이다 [걸음 ②]. 조건문 분해에 의해 따라서 $x = 0$ 또는 $x = 1$이다 [걸음 ③]. $\blacksquare$ **다른 경로.** $x^2 = x$에서 $x^2 - x = 0$, 곧 $x(x-1) = 0$이다. 예제 2.2의 영인수 성질을 근거 ④로 인용하면 $x = 0$ 또는 $x - 1 = 0$이고, 후자는 $x = 1$이다. **복기.** 두 경로가 같은 일을 한다. 소거법 경로는 "0이 아니면 나눌 수 있다"를 그 자리에서 쓴 것이고, 영인수 경로는 그 사실이 이미 정리로 포장된 것을 꺼내 쓴 것이다. **소거법으로 한 번 증명해 둔 명제는 그다음부터 근거 ④의 한 줄이 된다** — 예제 2.2가 여기서 회수된다. **검산.** $x = 1$: $1^2 = 1$ ✓. $x = 0$: $0^2 = 0$ ✓. $x = 2$: $4 \neq 2$이므로 가정을 만족하지 않아 무관 ✓. ### 문제 9 **접근.** 확인 8에서 판정을 이미 했다. 가정 쪽의 숨은 $\lor$(홀짝 분할)가 경우법을 부르고, 결론의 $\lor$는 각 케이스의 계산이 지목하므로 소거법을 쓸 자리가 없다 — 판정법 셋째 줄이다. 할 일은 케이스마다 $n^2$을 $4 \times (\text{정수})$ 또는 $4 \times (\text{정수}) + 1$ 꼴로 만드는 것뿐이다. **풀이.** **증명.** 정수 $n$을 임의로 잡자. 나눗셈 정리에 의해 $n$은 짝수이거나 홀수이고, 두 경우가 정수 전체를 덮는다. **케이스 1** ($n$이 짝수). $n = 2k$인 정수 $k$가 존재하고 $$ n^2 = (2k)^2 = 4k^2 $$ 이다. $k^2$이 정수이므로 $n^2 - 0 = 4k^2$은 4의 배수, 곧 $n^2 \equiv 0 \pmod 4$이다 (1권 20주차 정의 20.1). **케이스 2** ($n$이 홀수). $n = 2k + 1$인 정수 $k$가 존재하고 $$ n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2 + k) + 1 $$ 이다. $k^2 + k$가 정수이므로 $n^2 - 1 = 4(k^2 + k)$는 4의 배수, 곧 $n^2 \equiv 1 \pmod 4$이다. 두 경우가 정수 전체를 빠짐없이 덮으므로, 모든 정수 $n$에 대해 $n^2 \equiv 0$ 또는 $1 \pmod 4$이다. $\blacksquare$ **복기.** 결론의 $\lor$가 여기서 해소되는 방식이 소거법과 정반대다. 소거법은 한쪽을 부정해 다른 쪽으로 몰아가지만, 여기서는 각 케이스가 두 조각 중 **누구인지 지목**한다 — 짝수 쪽은 0, 홀수 쪽은 1. 이런 구성적 해소가 가능하면 소거법은 불필요하고, 그 신호가 판정법 셋째 줄이다. (같은 사실을 1권 17주차 문제 9에서 나머지의 언어로 증명했다. 문제 19가 이 구조의 세 갈래 판이다.) **검산.** $n = 5$: $25 = 4 \cdot 6 + 1$ ✓. $n = 6$: $36 = 4 \cdot 9$ ✓. ### 문제 10 **접근.** 결론이 $\lor$이므로 소거법이다. 부정할 쪽은 "$p \mid a$"를 고른다 — $p \nmid a$가 소수의 약수 구조와 결합해 $\gcd(p, a) = 1$을 주고, 그것이 베주 항등식의 입력이 되기 때문이다. 기준 ㄴ(부정한 사실이 실제로 소비되는가)에 정확히 맞는 선택이다. **풀이.** **증명 (소거법).** 소수 $p$와 정수 $a, b$에 대해 $p \mid ab$라 하자. 소거법을 쓴다. $p \nmid a$라 하자 [걸음 ①]. $p$가 소수이므로 $p$의 양의 약수는 1과 $p$뿐이다. $\gcd(p, a)$는 $p$의 양의 약수이므로 1 또는 $p$인데, $\gcd(p, a) = p$이면 $p \mid a$가 되어 걸음 ①의 가정과 충돌한다. 따라서 $\gcd(p, a) = 1$이다 [걸음 ①이 소비되는 자리]. 베주 항등식(근거 ④, C15주차)에 의해 $$ px + ay = 1 $$ 인 정수 $x, y$가 존재한다. 양변에 $b$를 곱하면 $$ pbx + aby = b $$ 이다. 좌변의 첫 항은 $p \mid pbx$이고, 둘째 항은 가정 $p \mid ab$에서 $ab = pm$인 정수 $m$이 있으므로 $aby = pmy$, 곧 $p \mid aby$이다. 두 항이 모두 $p$의 배수이므로 그 합도 $p$의 배수이고(1권 2주차의 배수의 합), 따라서 $p \mid b$이다 [걸음 ②]. 조건문 분해에 의해 따라서 $p \mid a$ 또는 $p \mid b$이다 [걸음 ③]. $\blacksquare$ **베주가 소비되는 줄.** "$px + ay = 1$인 정수 $x, y$가 존재한다" 한 줄이다. 이 한 줄이 없으면 $\gcd(p,a) = 1$이라는 사실에서 $b$로 넘어갈 통로가 없다 — 서로소라는 말은 그 자체로는 등식이 아니기 때문이고, 베주는 그 말을 등식으로 바꿔 주는 정리다. **복기.** 이 증명이 소거법의 표준 형태다. 부정 $\to$ 그 부정에서만 나오는 사실 ($\gcd = 1$) $\to$ 기성 정리의 입력 $\to$ 도착점. S13주차 문제 12가 이 보조정리를 기성품으로 인용했고, C15주차에서 베주까지 포함한 완전판이 세워진다. **검산.** $p = 5$, $a = 4$, $b = 10$: $ab = 40$이고 $5 \mid 40$ ✓. $5 \nmid 4$이므로 걸음 ①이 발동하고 결론은 $5 \mid 10$ ✓. ### 문제 11 **접근.** 좌변 $\lvert ab \rvert$를 정의로 풀려면 **곱 $ab$의 부호**를 알아야 하고, 그것은 $a$와 $b$ 각각의 부호가 정해져야 정해진다. 그래서 분할은 두 문자의 부호를 각각 나눈 $2 \times 2 = 4$케이스다. 전수성의 근거는 삼분법이고, 두 문자에 각각 적용한다. **풀이.** **증명.** 실수 $a, b$를 임의로 잡자. 삼분법에 의해 $a \ge 0$이거나 $a < 0$이고, $b$에 대해서도 같다. 네 조합이 모든 경우를 덮는다. **케이스 1** ($a \ge 0$, $b \ge 0$). (W4)에 의해 $ab \ge 0$이므로 $\lvert ab \rvert = ab$이고, $\lvert a \rvert = a$, $\lvert b \rvert = b$이므로 $\lvert a \rvert \lvert b \rvert = ab$이다. 양변이 같다. **케이스 2** ($a \ge 0$, $b < 0$). $-b > 0$이므로 (W4)에 의해 $a(-b) \ge 0$, 곧 $ab \le 0$이다. 여기서 $ab$의 부호를 한 번 더 갈라야 1권 정의 17.1을 펼 수 있다. $ab = 0$이면 첫 갈래에 의해 $\lvert ab \rvert = ab = 0$이고 $a(-b) = -(ab) = 0$이므로 둘이 같고, $ab < 0$이면 둘째 갈래에 의해 $\lvert ab \rvert = -(ab) = a(-b)$이다. 어느 쪽이든 $\lvert ab \rvert = a(-b)$이다. 한편 $\lvert a \rvert = a$, $\lvert b \rvert = -b$이므로 $\lvert a \rvert \lvert b \rvert = a(-b)$이다. 양변이 같다. **케이스 3** ($a < 0$, $b \ge 0$). 케이스 2에서 $a$와 $b$의 이름을 맞바꾼 것과 같고, 줄의 배치도 같다. $-a > 0$이므로 (W4)에 의해 $(-a)b \ge 0$, 곧 $ab \le 0$이다. $ab = 0$이면 1권 정의 17.1의 첫 갈래에 의해 $\lvert ab \rvert = ab = 0$이고 $(-a)b = -(ab) = 0$이므로 둘이 같고, $ab < 0$이면 둘째 갈래에 의해 $\lvert ab \rvert = -(ab) = (-a)b$이다. 한편 $\lvert a \rvert = -a$, $\lvert b \rvert = b$이므로 $\lvert a \rvert \lvert b \rvert = (-a)b$이다. 양변이 같다. **케이스 4** ($a < 0$, $b < 0$). $-a > 0$이고 $-b > 0$이므로 (W4)에 의해 $(-a)(-b) > 0$이고, $(-a)(-b) = ab$이므로 $ab > 0$이다. 따라서 $\lvert ab \rvert = ab = (-a)(-b)$이고, $\lvert a \rvert \lvert b \rvert = (-a)(-b)$이다. 양변이 같다. 네 경우가 모든 실수 쌍을 빠짐없이 덮으므로 $\lvert ab \rvert = \lvert a \rvert \lvert b \rvert$이다. $\blacksquare$ **대칭 감축의 검토.** 케이스 2와 3은 $a$와 $b$의 이름만 맞바꾼 관계다. 명제의 좌변 $\lvert ab \rvert$와 우변 $\lvert a \rvert \lvert b \rvert$가 모두 $a \leftrightarrow b$ 교환에 불변이므로, 케이스 3의 자리에 "케이스 2에서 $a$와 $b$의 이름을 맞바꾼 것과 같다"만 적고 몸통을 생략할 수 있다 — 실질 케이스가 4개에서 3개로 준다. 줄인 근거를 반드시 한 줄로 밝혀야 하는 것은 그대로다(§1.5 ㄱ). **여기서 허용되지 않는 WLOG.** 부호 전체에 걸친 "일반성을 잃지 않고 $a \ge 0$이라 하자"는 쓸 수 없다. 이 선언이 남기는 상황에는 $(a < 0,\, b < 0)$이 들어 있고, 이 상황은 두 문자의 이름을 맞바꿔도 $(a < 0,\, b < 0)$ 그대로여서 다룬 상황으로 옮겨지지 않기 때문이다 — §1.5 ㄱ과 확인 7이 세운 허용 조건("남은 상황이 이름 교환으로 옮겨지는가")에 그대로 걸린다. 대칭이 접어 주는 것은 케이스 2와 3 사이뿐이고, 케이스 4는 언제나 따로 써야 한다. **복기.** 절댓값 증명의 순서가 이 답안에서 굳는다 — **부호를 먼저 정하고, 그다음에 절댓값을 벗긴다.** 좌변과 우변에서 부호를 정해야 할 대상이 다르다는 것(좌변은 곱, 우변은 각 인수)이 케이스가 4개가 되는 이유다. (1권 17주차 문제 10이 같은 명제이고, 이번에는 전수성과 대칭 감축을 답안 표면에 드러냈다.) ### 문제 12 **접근.** 두 케이스의 계산은 각각 옳다 — 케이스 1은 (W3), 케이스 2는 (W1)과 (W6)으로 검사된다. 그러므로 결함은 계산이 아니라 분할에 있다. §1.3의 삭제 실험과 같은 자리, 곧 무대에서 덮이지 않은 값을 찾는다. **풀이.** **결함: 전수성 결함.** 분할이 "$n$이 양수" / "$n$이 음수"인데, 무대는 정수 전체다. **$n = 0$이 어느 케이스에도 들지 않는다.** **그 값에서 명제는 성립하는가.** 성립한다: $0^2 = 0 \ge 0$. 곧 명제 자체는 참이고, 결함은 답안의 분할에만 있다. (앞의 §1.3 삭제 실험에서는 빠진 값이 반례여서 명제까지 거짓이었다 — 같은 병이 두 결과를 낳는다.) **케이스 보강.** 분할을 셋으로 늘린다. **케이스 3** ($n = 0$): $n^2 = 0$이고 $n = 0$이므로 $n^2 \ge n$이다. 그리고 분할 선언에 전수성의 근거를 붙인다 — "삼분법에 의해 $n$은 양수이거나 0이거나 음수이고, 세 경우가 정수 전체를 덮는다." **다른 수리.** 케이스 1의 조건을 "$n \ge 1$"로 적으면 정수라는 무대에서 "$n$이 양수"와 같은 뜻이므로 사정이 바뀌지 않는다. 대신 케이스 1을 "$n \ge 0$"으로 넓히면 $n = 0$이 흡수되지만, 몸통은 다시 $n = 0$과 $n \ge 1$로 갈린다. 케이스 1의 계산은 "$n \ge 1$이므로 $n \cdot n \ge n \cdot 1$"이라는 (W3) 한 줄인데, 이 줄이 $n = 0$에서는 아무것도 주지 않기 때문이다. "$n \ge 0$"만으로는 목표에 닿지 못한다는 것은 무대를 실수로 넓혀 보면 분명하다 — $0 \le t < 1$인 실수에서는 $t^2 < t$이므로, $n$이 정수이고 $n \ge 1$이라는 조건이 있어야 (W3)이 작동한다. 그러므로 $n = 0$을 별도 케이스로 두는 편이 짧다. **복기.** 경우법 답안을 검사할 때 가장 먼저 의심할 값은 **0과 경계값**이다. "양수 또는 음수"라는 분할은 무대에 0이 있으면 언제나 새고, 무대가 0을 배제했으면 언제나 안전하다 (예제 2.3 답안 1). ($n^2 \ge n$은 S6주차 문제 2(d)에서 이미 다룬 명제다.) ### 문제 13 **접근.** $\max$와 $\min$은 케이스 정의이므로(1권 17주차) 값을 확정하려면 $a$와 $b$의 대소를 알아야 한다 — 가정 쪽의 숨은 $\lor$다. 그런데 명제가 두 문자의 교환에 대칭이므로 케이스 두 개를 WLOG로 하나로 접을 수 있다. **풀이.** **증명.** 실수 $a, b$를 임의로 잡자. 명제는 $a$와 $b$의 교환에 대해 대칭이다 — 좌변 $\max\{a,b\} + \min\{a,b\}$는 두 값의 집합만 보므로 교환에 불변이고, 우변 $a + b$도 덧셈의 교환법칙으로 불변이다. 따라서 일반성을 잃지 않고 $a \le b$라 하자 [WLOG. 남은 상황 $a > b$는 두 문자의 이름을 맞바꾸면 다룬 상황이 되고, 삼분법에 의해 두 상황이 전부다]. $a \le b$이므로 $\max\{a, b\} = b$이고 $\min\{a, b\} = a$이다(정의 그대로). 그러면 $$ \max\{a,b\} + \min\{a,b\} = b + a = a + b $$ 이다. $\blacksquare$ **WLOG를 쓰지 않으면.** 케이스 2($a > b$)를 적어야 하고, 그 내용은 "$\max\{a,b\} = a$, $\min\{a,b\} = b$이므로 합은 $a + b$"가 되어 케이스 1과 문자만 맞바뀐 같은 글이다. WLOG는 이 중복을 없애는 장치이지 케이스를 없애는 장치가 아니다 (§1.5 ㄱ). **복기.** WLOG 답안의 채점 항목은 두 개다 — ① 대칭성의 근거를 적었는가(좌변과 우변이 각각 교환에 불변임) ② 남은 상황이 이름 교환으로 옮겨진다고 밝혔는가. 둘 중 하나라도 없으면 케이스를 정당하게 접은 것인지 그냥 빠뜨린 것인지 구별되지 않는다(1권 17주차 문제 19의 답안이 그 예다). **검산.** $a = 2, b = 7$: $7 + 2 = 9 = 2 + 7$ ✓. $a = b = 3$: $3 + 3 = 6$ ✓ (경계 $a = b$가 WLOG의 "$a \le b$"에 포함된다). ### 문제 14 **접근.** (a)는 S12주차의 서식 그대로다. (b)에서는 조건문 분해로 원명제를 $\lor$ 꼴로 바꾼 뒤, 두 조각 중 **어느 쪽을 부정하느냐**로 결과가 갈린다. 그 갈림을 직접 확인하는 것이 이 문제의 목적이므로 두 방향을 모두 적어야 한다. **풀이.** **(a) 대우.** 원명제의 $A$는 "$n^2$이 짝수", $B$는 "$n$이 짝수"다. 대우는 "$n$이 홀수이면 $n^2$은 홀수이다"이다. $n$이 홀수라 하자. $n = 2k+1$인 정수 $k$가 존재하고 $$ n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1 $$ 이다. $2k^2 + 2k$는 정수이므로 $n^2$은 홀수이다. 대우가 증명되었으므로 원명제가 성립한다. $\blacksquare$ **(b) 조건문 분해로 재포장.** 1권 9주차의 동치에 의해 $$ A \Rightarrow B \equiv \neg A \vee B $$ 이므로, 원명제는 "$n^2$이 홀수이거나 $n$이 짝수이다"와 같은 명제다. 이제 결론이 $\lor$이므로 소거법을 쓸 수 있고, 부정할 쪽이 두 가지다. **방향 ㄱ — 왼쪽을 부정한다.** $\neg(\text{$n\^{}2$이 홀수})$, 곧 "$n^2$이 짝수"를 가정하고 "$n$이 짝수"를 유도해야 한다. 그런데 이것은 원명제 그 자체다 — 진전이 없다. **방향 ㄴ — 오른쪽을 부정한다.** $\neg(\text{$n$이 짝수})$, 곧 "$n$이 홀수"를 가정하고 "$n^2$이 홀수"를 유도한다. 이 계산은 (a)의 몸통과 글자까지 같다. **결론.** 방향 ㄴ의 소거법과 (a)의 대우는 같은 계산이다. 이유는 조건문 분해에 있다 — $\neg A \vee B$에서 오른쪽 $B$를 부정해 왼쪽으로 가는 것은 $\neg B \Rightarrow \neg A$이고, 이것이 바로 대우의 정의다. 곧 **대우는 조건문 분해가 만든 $\lor$에 소거법을 한 방향으로 적용한 것**이다. **복기.** 틀은 셋(대우$\cdot$소거$\cdot$조건문 분해)이지만 손은 하나다. 실전에서 얻는 것은 방향 선택의 지침이다 — 재포장한 $\lor$에서 **부정했을 때 정의가 풀리는 쪽**을 부정한다. 방향 ㄱ이 헛돈 이유도 그것이다: "$n^2$이 짝수"에서는 $n$을 꺼낼 방법이 근거 목록에 없다(S12주차 예제 2.1의 판정과 같은 자리). ### 문제 15 **접근.** "적어도 둘"이라는 결론은 $\lor$의 확장이다 — $(a,b)$가 같은 부호이거나 $(b,c)$가 같은 부호이거나 $(a,c)$가 같은 부호다. 세 조각 중 어느 쪽인지 지목할 수 없으므로 소거를 세 번 겹치면 복잡해진다. 대신 부호로 상자를 만들면 비둘기집이 지목을 대신해 준다. **풀이.** **증명.** 상자를 두 개 만든다 — 상자 A는 "$\ge 0$"인 수를 담고, 상자 B는 "$< 0$"인 수를 담는다. 삼분법에 의해 모든 실수는 두 상자 중 정확히 하나에 들어가므로 이 배정은 전수적이고 배타적이다. 세 실수 $a, b, c$를 이 두 상자에 넣는다. 물건이 3개이고 상자가 2개이므로, 비둘기집 원리에 의해 어떤 상자에는 두 개 이상이 들어간다(근거 ④). 상자 2개$\cdot$물건 3개짜리 사례이므로 1권 26주차 문제 19의 귀류 논법을 그대로 옮겨 쓸 수 있다 — 두 상자가 모두 하나 이하를 담는다고 가정하면 총합이 2 이하가 되어 3과 충돌한다. **그 상자가 A인 경우.** 그 상자에 든 두 수는 둘 다 $\ge 0$이다 — 결론의 왼쪽 조각이 성립한다. **그 상자가 B인 경우.** 그 상자에 든 두 수는 둘 다 $< 0$이고, $< 0$이면 $\le 0$이므로 둘 다 $\le 0$이다 — 결론의 오른쪽 조각이 성립한다. 두 경우가 전부이므로, 세 실수 중 적어도 둘은 같은 부호이다. $\blacksquare$ **0의 배정.** 0을 상자 A에 넣었다는 것이 이 증명의 유일한 설계 결정이다. 상자 B에 넣어도 되지만, 어느 쪽이든 **한 번만 정하고 끝까지 지켜야** 배타성이 유지된다. 배타성이 깨지면 "물건 3개, 상자 2개"라는 세는 방식 자체가 무너져 비둘기집을 쓸 수 없다. **복기.** 결론의 $\lor$가 세 조각 이상일 때 소거법의 비용이 급히 오른다는 것이 이 문제의 교훈이다. 그때는 결론을 지목해 주는 다른 구조 — 여기서는 상자와 세기 — 를 찾는 편이 짧다. 판정법 셋째 줄의 확장으로 읽어도 된다: **지목을 대신해 주는 장치가 있으면 소거법은 필요 없다.** **검산.** $a = 3, b = -1, c = -5$: 상자 A에 $\{3\}$, 상자 B에 $\{-1, -5\}$ — B에 둘이 들었고 둘 다 $\le 0$ ✓. ### 문제 16 **접근.** 두 경로를 모두 적어야 하므로, 각 경로가 어디서 비용을 치르는지 보면서 쓴다. 부호 케이스 경로는 $x$와 $y$의 부호가 다를 때 $x + y$의 부호가 또 갈려 하위 케이스가 생긴다. 경계 경로는 케이스를 아예 만들지 않는 대신 보조정리 하나를 인용한다. **풀이.** **경로 1 — 부호 케이스.** 실수 $x, y$를 임의로 잡자. 삼분법에 의해 각각 $\ge 0$이거나 $< 0$이고, 네 조합이 전부다. **케이스 1** ($x \ge 0$, $y \ge 0$). $x + y \ge 0$이므로 $\lvert x + y \rvert = x + y = \lvert x \rvert + \lvert y \rvert$이고, 등호로 성립한다. **케이스 2** ($x < 0$, $y < 0$). $x + y < 0$이므로 $\lvert x + y \rvert = -(x+y) = (-x) + (-y) = \lvert x \rvert + \lvert y \rvert$이고, 등호로 성립한다. **케이스 3** ($x \ge 0$, $y < 0$). $x + y$의 부호가 정해지지 않으므로 다시 나눈다. $x + y \ge 0$이면 $\lvert x + y \rvert = x + y \le x = \lvert x \rvert$이고 ($y < 0$이므로 (W2)로 $x + y < x$), $\lvert y \rvert \ge 0$이므로 $\lvert x \rvert \le \lvert x \rvert + \lvert y \rvert$이다. 추이성 (W6)으로 $\lvert x + y \rvert \le \lvert x \rvert + \lvert y \rvert$이다. $x + y < 0$이면 $\lvert x + y \rvert = -x - y \le -y = \lvert y \rvert$이고 ($x \ge 0$이므로 $-x \le 0$), 같은 방식으로 $\lvert y \rvert \le \lvert x \rvert + \lvert y \rvert$이므로 결론이 따른다. **케이스 4** ($x < 0$, $y \ge 0$). $x + y \ge 0$이면 $\lvert x + y \rvert = x + y \le y = \lvert y \rvert \le \lvert x \rvert + \lvert y \rvert$이고, $x + y < 0$이면 $\lvert x + y \rvert = -x - y \le -x = \lvert x \rvert \le \lvert x \rvert + \lvert y \rvert$이다. 네 케이스(그중 둘은 하위 케이스 둘씩)가 모든 실수 쌍을 덮으므로 성립한다. $\blacksquare$ **경로 2 — 경계.** 훈련 1에서 $\lvert x \rvert \ge x$를 얻었고, 문제 7에서 $\lvert x \rvert \ge 0$을 얻었다. 같은 방식으로 $\lvert x \rvert \ge -x$도 성립한다($x \ge 0$이면 $-x \le 0 \le x = \lvert x \rvert$, $x < 0$이면 $\lvert x \rvert = -x$). 둘을 합치면 $-\lvert x \rvert \le x \le \lvert x \rvert$이고, $y$에 대해서도 같다. 변끼리 더하면 $$ -(\lvert x \rvert + \lvert y \rvert) \le x + y \le \lvert x \rvert + \lvert y \rvert $$ 이다. 절댓값 보조정리(1권 17주차 문제 11)는 $b \ge 0$일 때 $\lvert a \rvert \le b \iff -b \le a \le b$라고 말한다. $a = x + y$, $b = \lvert x \rvert + \lvert y \rvert$로 두면 $b \ge 0$이 문제 7로 확보되므로 $\lvert x + y \rvert \le \lvert x \rvert + \lvert y \rvert$이다. $\blacksquare$ **두 경로의 비교.** 경로 1은 근거를 (W2)(W4)(W6)과 1권 17주차 정의 17.1로만 쓰고 외부 인용이 없는 대신, 실질 케이스가 여섯이다. 경로 2는 케이스를 하나도 만들지 않는 대신 보조정리 하나를 인용하고, 그 보조정리의 증명 안에 케이스가 들어 있다. 곧 **경로 2는 케이스를 없앤 것이 아니라 보조정리 안으로 옮겨 놓은 것**이다. 같은 케이스를 여러 명제에서 반복해서 쓰게 되면 보조정리로 뽑는 편이 이득이라는 것이 이 비교의 결론이다. **복기.** S6주차 문제 18의 수리가 이 명제였고, 그때는 전칭의 처리가 초점이었다. 이번에는 같은 명제에서 케이스 설계가 초점이다. ### 문제 17 **접근.** 결론이 $\lor$이므로 소거법이다. 부정할 쪽으로 "$x \le 1$"을 고르면 $x > 1$이 손에 들어오고, 그것이 인수 $x - 1$의 부호를 확정한다 — 부정한 사실이 곧바로 소비되는 선택이다. 가정 쪽은 인수분해해 두어야 그 부호가 쓸모를 갖는다. **풀이.** **증명 (소거법).** 실수 $x$에 대해 $x^2 - 3x + 2 \ge 0$이라 하자. 소거법을 쓴다. $x \le 1$이 아니라고, 곧 $x > 1$이라 하자 [걸음 ①]. 가정의 좌변을 인수분해하면 $$ x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) \ge 0 $$ 이다. $x > 1$이므로 $x - 1 > 0$이다 [걸음 ①이 소비되는 자리]. (W5)에 의해 $\frac{1}{x-1} > 0$이고, (W3)에 의해 양변에 양수 $\frac{1}{x-1}$을 곱해도 부등호 방향이 유지되므로 $$ x - 2 \ge 0 $$ 이다. 곧 $x \ge 2$이다 [걸음 ②]. 조건문 분해에 의해 따라서 $x \le 1$ 또는 $x \ge 2$이다 [걸음 ③]. $\blacksquare$ **부정 방향을 반대로 골랐다면.** "$x \ge 2$"를 부정해 $x < 2$를 가정하면 $x - 2 < 0$이 확정되고, 같은 곱을 음수로 나누면 (W3)의 방향 반전으로 $x - 1 \le 0$, 곧 $x \le 1$이 나온다. 어느 방향이든 통하고 계산량도 비슷하다 — 이 명제는 두 조각이 구조적으로 대칭이기 때문이다. **복기.** 소거법이 인수분해와 짝을 이루는 전형이다. 인수분해가 곱의 꼴을 만들어 주고, 부정 선언이 한 인수의 부호를 확정하고, 부호가 확정된 인수로 나누면 남은 인수의 부호가 강제된다. 예제 2.2의 영인수 성질도 같은 구조의 등식판이다 — 곱이 0이고 한쪽이 0이 아니면 다른 쪽이 0이다. **검산.** $x = 3$: $9 - 9 + 2 = 2 \ge 0$이고 $3 \ge 2$ ✓. $x = 1.5$: $2.25 - 4.5 + 2 = -0.25 < 0$이므로 가정을 만족하지 않아 무관 ✓. ### 문제 18 **접근.** 문제 12와 병명이 같아 보이지만 결과가 다르다. 빠진 값에서 명제가 참인지, 거짓인지, 아니면 아예 뜻을 갖지 않는지를 구별해야 한다. 그 구별이 수리 방법을 정한다. **풀이.** **결함 ① 전수성 결함.** 케이스 1($x > 0$)과 케이스 2($x < 0$)가 $x = 0$을 덮지 않는다. 무대가 "모든 실수"이므로 삼분법에 의해 세 갈래가 있어야 한다. **결함 ② 명제의 자격 오류.** 빠진 값 $x = 0$에서 $\frac{x}{x} = \frac00$은 정의되지 않는다. 곧 이 값에서 명제는 거짓인 것이 아니라 **참$\cdot$거짓을 물을 수 없다.** 문제 12에서는 빠진 값에서 명제가 참이었고 §1.3 삭제 실험에서는 거짓이었는데, 여기서는 세 번째 경우다. **수리.** 케이스를 하나 더 만드는 방식으로는 고칠 수 없다 — $x = 0$에서 적을 계산이 없기 때문이다. 고칠 곳은 **명제의 무대**다. "0 아닌 실수 $x$에 대해 $\frac xx = 1$이다"로 바꾸면 삼분법에 의해 두 케이스가 무대를 덮게 되고, 원래의 두 계산이 그대로 완전한 증명이 된다. **복기.** 전수성 점검의 부수 효용이 여기서 드러난다. 덮이지 않은 조각을 찾아보면 세 가지 중 하나가 나온다 — 그 조각에서 명제가 참이면 케이스 보강으로 끝나고(문제 12), 거짓이면 명제가 틀린 것이고(§1.3 삭제 실험), 뜻을 갖지 않으면 무대를 좁혀야 한다(이 문제). **세 결과가 각각 다른 수리를 지시하므로, 진단은 "무엇이 빠졌는가"에서 멈추지 않고 "빠진 자리에서 무슨 일이 일어나는가"까지 가야 한다.** ### 문제 19 **접근.** 결론 "셋 중 하나는 3의 배수"는 $\lor$ 세 조각이다. 그런데 세 수의 나머지를 계산해 보면 어느 것이 3의 배수인지가 케이스마다 확정된다 — 판정법 셋째 줄, 소거법은 필요 없고 경우법만으로 끝난다. 분할은 $n$을 3으로 나눈 나머지다. **풀이.** **증명.** 세 연속 정수를 $n, n+1, n+2$라 하자 ($n$은 정수). 나눗셈 정리에 의해 $n = 3q + r$인 정수 $q$와 $r \in \{0, 1, 2\}$가 존재하고, 세 값이 모든 경우를 덮는다. **케이스 1** ($r = 0$). $n = 3q$이므로 $n$이 3의 배수다 — 셋 중 첫째를 지목한다. **케이스 2** ($r = 1$). $n = 3q + 1$이므로 $$ n + 2 = 3q + 3 = 3(q+1) $$ 이고 $q + 1$은 정수이므로 $n + 2$가 3의 배수다 — 셋 중 셋째를 지목한다. **케이스 3** ($r = 2$). $n = 3q + 2$이므로 $$ n + 1 = 3q + 3 = 3(q+1) $$ 이고 $n + 1$이 3의 배수다 — 셋 중 둘째를 지목한다. 세 경우가 모든 정수를 빠짐없이 덮고 각 경우에서 셋 중 하나가 3의 배수임을 지목했으므로, 임의의 세 연속 정수 중 하나는 3의 배수이다. $\blacksquare$ **복기.** 결론의 $\lor$(또는 "존재한다")가 케이스마다 **누구인지 지목**되는 구조가 문제 9와 같다. 다른 점은 문제 9에서는 지목 대상이 값이었고 여기서는 세 수 중 하나라는 것뿐이다. 이런 답안은 결론이 존재문이어도 비구성적이지 않다 — 각 케이스가 증인을 명시하므로 구성적이다(S5주차의 용어). **검산.** $n = 7$: $r = 1$이므로 케이스 2, $n + 2 = 9 = 3 \cdot 3$ ✓. $n = 11$: $r = 2$이므로 케이스 3, $n + 1 = 12 = 3 \cdot 4$ ✓. (S9주차 문제 17의 3의 배수 파트가 이와 **같은 구조**다 — 다만 거기서 지목되는 것은 $n$, $n+1$, $2n+1$ 세 인수이고 여기서는 세 연속 정수라는 점만 다르다.) ### 문제 20 **접근.** (a)는 두 예제를 대비시키는 문제이므로, 각 예제에서 $\lor$의 위치와 그 위치가 만든 부담을 먼저 적고 도구가 그 부담을 어떻게 없앴는지로 잇는다. (b)는 문제 14의 결과를 한 문장으로 압축하는 문제이므로, 세 이름이 어느 하나의 동치에서 갈라져 나오는지를 지목한다. **풀이.** (예시 답안) **(a)** 예제 2.1은 가정이 "$n$이 짝수이거나 홀수"라 어느 쪽인지 모르므로 정의를 하나로 풀 수 없었고, 그래서 조각마다 목표를 따로 증명하고 전수성으로 묶는 경우법으로 갔다. 예제 2.2는 결론이 "$a = 0$ 또는 $b = 0$"이라 어느 쪽을 보일지 지목할 수 없었고, 그래서 한쪽($a = 0$)의 부정을 가정으로 얹어 다른 쪽을 유도하는 소거법으로 갔다. 같은 연결사 $\lor$가 놓인 자리만 다른데 처방이 정반대인 것은, S6~S7주차에서 같은 양화사 $\forall$가 결론에 있으면 선택법을 부르고 가정에 있으면 특수화를 부른 것과 같은 원리다 — **위치가 처리법을 정한다.** **(b)** 문제 14가 보인 대로 "$A$이면 $B$이다"는 조건문 분해에 의해 "$\neg A$ 또는 $B$"와 같은 명제이고, 이 $\lor$에서 오른쪽 $B$를 부정해 왼쪽 $\neg A$로 가는 소거법이 곧 $\neg B \Rightarrow \neg A$, 즉 대우다. 그러므로 소거법$\cdot$대우$\cdot$조건문 분해는 서로 다른 세 기법이 아니라 하나의 동치를 어느 방향에서 읽느냐의 차이이고, 실제 계산은 어느 틀에서든 같아진다. --- **다음 주 예고 (S16주차).** 양화사 4부작의 응용 완결편인 **최대$\cdot$최소법**을 다룬다. "$\max S \le c$"는 "$S$의 모든 원소가 $c$ 이하이다"라는 $\forall$ 명제로, "$\max S \ge c$"는 "$c$ 이상인 원소가 존재한다"라는 $\exists$ 명제로 번역된다 — $\max$와 $\min$이 감춘 양화사를 드러내면 S5~S8주차의 기법이 그대로 작동한다. 이번 주의 케이스 정의(1권 17주차 정의 17.1과 $\max$$\cdot$$\min$)가 그 번역의 재료가 되고, 최댓값$\cdot$최솟값 주장을 "부등식(상계$\cdot$하계) + 등호 달성"의 2단으로 적던 자리(1권 18주차의 유형별 첫수 표가 지목하는 1권 16주차 문제 18)가 여기서 서식을 얻는다. 원서 14장을 통독하고 온다.