# S11주차 — 귀류법: 무엇을 얻고, 어디로 가는가 :::{admonition} 이 주의 길잡이 :class: keybox **핵심 문장**: 귀류는 거래다 — 가정 목록에 $\neg B$를 하나 더 받는 대신 도착점이 "아무 모순"으로 흐려진다. 그래서 귀류에는 후진 과정이 없고, 전진을 이끄는 것은 충돌 후보 목록뿐이다. **이 주의 위치**: 1학기 20주 과정의 S11주차이자 부정 3부작(S10 기계 $\cdot$ S11 귀류 $\cdot$ S12 대우)의 둘째 주. S10주차가 만든 "부정형 결론의 3처방" 중 처방 ③을 정면으로 다룬다. 1권 21$\cdot$22주차에서 손에 익힌 귀류 서식이 여기서 얻는 것과 잃는 것이 명시된 거래라는 이름을 얻고, 모순을 어디서 찾을지의 목록을 갖는다. **원서 대응**: Solow 9장. 주간 루틴 1일차에 원서 9장을 통독한 뒤 이 문서로 온다. ::: ## 이번 주 목표 1. 귀류법을 거래의 언어로 다시 적는다: 새 게임의 가정 목록은 $A$와 $\neg B$이고, 도착점은 아무 모순이다. 얻는 것과 잃는 것을 각각 한 문장으로 말할 수 있다. 1. 이 거래의 대가 — 후진 과정의 상실 — 를 설명하고, 도착점이 흐려진 전진을 이끄는 **모순의 3대 산지**를 백지에 쓸 수 있다. 1. **귀류 신호**(결론이 부정형$\cdot$"없다"$\cdot$"무한히 많다"$\cdot$$\neq$$\cdot$유일)를 보는 즉시 거래를 개시하고, 개시문에서 $\neg B$를 S10주차의 기계로 정확히 전개할 수 있다. 1. 귀류 답안의 4단 서식을 걸음마다 이유와 함께 쓰고, 세 가지 사고($\neg B$ 오전개 / 모순 아닌 곳에서 정지 / 무늬만 귀류)를 답안에서 진단할 수 있다. 본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다. ## 준비 운동 (S10주차 복습) 노트에 먼저 적은 뒤 아래를 읽는다. 1. NOT 밀어넣기 기계의 6칙(N1~N6)을 백지에 쓰시오. 이번 주 개시문은 전부 이 기계를 한 번 이상 통과한다. 1. "$x^2 - 4y = 2$를 만족하는 정수 $x, y$가 존재하지 않는다"를 기계로 전개하면 어떤 양화사 문장이 되는가. 1. 부정형 결론의 3처방을 쓰고, S10주차 문제 18에서 "$\sqrt2 + \frac12$은 무리수"를 어떤 처방으로 처리했는지 재현하시오. 이어서 다음 과제를 해 보자. **명제 "$x^2 - 4y = 2$를 만족하는 정수 $x, y$는 존재하지 않는다"를 지금 손에 있는 도구만으로 증명해 보자.** 몇 줄이든, 막히면 막힌 자리까지만 적는다. ### 자주 나오는 세 가지 답 이 자리에서 나오는 답은 대개 다음 세 가지 중 하나다. 셋 다 S10주차를 제대로 익힌 사람에게서 나오는 답이고, 셋 다 이번 주가 메울 정확한 간격이 있다. - **유형 1 — 전개까지 하고 멈춘다.** "N6에 의해 결론은 모든 정수 $x, y$에 대해 $x^2 - 4y \neq 2$이다. 정수 $x, y$를 임의로 잡자." 두 문장 다 정확하다 — 전개도 옳고, 결론의 $\forall$에 선택법을 쓴 것도 옳다. 빠진 것은 그다음이다. 남은 본체 $x^2 - 4y \neq 2$는 여전히 부정형이고, "$\neq$임을 보이려면 무엇을 하면 되는가"라는 후진 질문에는 S4주차의 표준 답안지에 실린 답이 없다. §1.1이 이 멈춤을 정면으로 다룬다. - **유형 2 — 몇 개 넣어 본다.** $x = 0, 1, 2, 3$을 넣어 $x^2$이 $0, 1, 4, 9$이고 $4y + 2$는 $2, 6, 10, \dots$이므로 맞아떨어지는 것이 없다고 적는다. 관찰은 옳고, 실제로 이 관찰이 증명의 재료가 된다. 간격은 개수다 — 정수 쌍 $(x, y)$는 무한히 많고, 확인하지 않은 나머지 전부는 무엇이 보장하는가. - **유형 3 — "있다고 가정하자"로 시작한다.** 1권 21주차의 기억으로 첫 문장을 정확히 옳게 적는다. 간격은 그 뒤에 있다. 무엇을 목표로 전진하는지, 어디에 도달하면 멈춰도 되는지의 규칙이 없어서 계산을 하다가 "뭔가 이상하다"에서 끝나는 답안이 많다. 이번 주가 그 규칙 — 4단 서식과 모순의 3대 산지 — 을 준다. ## 개념 — 귀류법 ### 1 앞의 도구만으로는 어디서 막히는가 새 기법을 세우기 전에, S10주차까지의 도구만으로 준비 운동의 과제를 밀어붙여 본다. 처방 ①(긍정형 재표현)을 끝까지 적용하는 길이다. :::{admonition} 시도 — 기계로 밀고 선택법으로 받기 :class: quotebox 명제: $x^2 - 4y = 2$를 만족하는 정수 $x, y$는 존재하지 않는다. "결론은 $\neg \exists x \exists y\,[\,x^2 - 4y = 2\,]$이다. N6를 두 번 적용하면 모든 정수 $x, y$에 대해 $x^2 - 4y \neq 2$이다. 결론이 $\forall$이므로 선택법으로 연다: 정수 $x$와 $y$를 임의로 잡자. 보일 것은 $x^2 - 4y \neq 2$이다. 그런데 … " ::: 여기서 멈춘다. 다음 줄이 나오지 않는다. 이유는 두 가지다. 첫째, **후진면이 비어 있다.** 후진 과정은 도착점에게 "이것이 참임을 보이려면 무엇을 하면 되는가"라고 묻고 그 답을 S4주차의 정의 표에서 꺼내는 절차인데, "$\neq$"에는 풀어 쓸 정의가 없다. NOT은 이미 본체까지 밀려 있으므로 기계를 한 번 더 돌릴 수도 없다. 둘째, **전진면도 비어 있다.** 전진 과정에 쓸 사실이 "$x$는 정수", "$y$는 정수"뿐이다. 자격만으로는 등식이 하나도 만들어지지 않으므로 계산이 시작되지 않는다. :::{container} quotebox **확인 1.** 위 시도가 다음 줄로 넘어가려면 $x$와 $y$에 대해 어떤 **종류**의 사실이 하나 더 필요한가. "$x$와 $y$는 ~다" 꼴로 한 구절 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "$x$와 $y$는 어떤 관계로 **묶여 있다**" — 곧 $x$와 $y$를 잇는 **등식**이 필요하다. 지금 손에 있는 것은 자격("정수")뿐이고, 자격만으로는 대입할 곳이 없다. "$x^2 - 4y \neq 2$를 보이려면 두 수의 차가 0이 아님을 보이면 된다"라고 답했다면 그 관찰은 옳다. 문제는 그 말이 다시 "$\neq$"라는 것이다 — 부정형을 부정형으로 바꿔 놓았을 뿐 계산이 시작되지 않는다. 그런데 **명제가 부정하고 있는 그 등식**이 바로 필요한 등식이다. 그것을 손에 넣는 방법이 하나 있다: 거짓이라고 가정하는 것. ::: :::{admonition} 이 주 전체의 기준 :class: quotebox 결론이 부정형$\cdot$부재형이면 결론 쪽에는 쓸 것이 없다. 쓸 것을 만들려면 결론을 부정해 **가정 쪽으로 옮긴다.** ::: ### 2 부정이 무엇을 쥐여 주는가 — 사례 표 부정이 실제로 무엇을 주는지 네 사례로 확인한다. 가운데 열은 S10주차의 기계를 돌린 결과이고, 오른쪽 열은 그 결과가 답안에서 어떻게 쓰이는지다. | **결론 $B$** | **$\neg B$ (기계 전개 결과)** | **$\neg B$가 손에 쥐여 주는 것** | |---|---|---| | $x^2 - 4y = 2$인 정수 해가 없다 | $x^2 - 4y = 2$인 정수 $x, y$가 존재한다 | 대입과 계산이 가능한 **등식** 하나 | | $\sqrt2$는 무리수다 | $\sqrt2$는 유리수다 | $\underline{\quad(1)\quad}$ | | 소수는 무한히 많다 | $\underline{\quad(2)\quad}$ | $\underline{\quad(3)\quad}$ | | $S = \{x \in \mathbb{R} : 0 < x < 1\}$에 최댓값이 없다 | $S$의 최댓값 $M$이 존재한다 | $\underline{\quad(4)\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 2.** 표의 빈칸 (1)~(4)를 채우고, 오른쪽 열 넷의 공통점을 한 문장으로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) $\sqrt2 = \frac ab$인 정수 $a$와 0이 아닌 정수 $b$ — 곧 등식 하나(1권 정의 15.1). (2) 소수가 유한 개다 — 소수 전체의 목록 $p_1, p_2, \dots, p_k$가 존재한다. (3) 곱할 수 있는 유한 목록 하나와, "모든 소수는 이 목록 안에 있다"는 $\forall$ 사실. (4) $M \in S$(곧 $0 < M < 1$)라는 사실 하나와, "모든 $x \in S$에 대해 $x \le M$"이라는 $\forall$ 사실 하나. 뒤엣것은 S7주차의 특수화를 걸 수 있는 자리다. 공통점: **결론 $B$ 쪽에는 잡을 것이 없는데, $\neg B$는 전부 잡을 수 있는 대상이나 특수화할 수 있는 $\forall$ 사실을 준다.** 정보가 흐르는 방향이 뒤집힌다. ::: 식이나 절차에 새로운 것은 없다. 1권 21주차의 $\sqrt2$ 증명과 22주차의 조건문 귀류가 이미 이렇게 적혀 있었고, 위 표는 그때 한 일을 옮겨 적었을 뿐이다. 이번 주가 새로 세우는 것은 계산이 아니라 **이 교환을 언제 하고, 교환한 뒤 어디로 가는가**의 규칙이다. ### 3 거래의 명명 [백지 암기 대상] 관찰에 이름과 형식을 붙인다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **귀류의 거래** **원게임:** 가정 $A$ / 도착점 $B$. **귀류 게임:** 가정 $A$ **그리고 $\neg B$** / 도착점: **아무 모순** — 어떤 진술 $P$에 대해 $P$와 $\neg P$를 동시에 확보하는 것. **얻는 것** — 가정이 하나 늘어난다. 특히 $B$가 부정형이면 $\neg B$는 이중부정 소거(N1)로 긍정문이 되어, 전개하고 대입할 수 있는 대상이 된다. **잃는 것** — 도착점의 구체성. "아무 모순"에는 "이것을 보이려면 무엇을 하면 되는가"라는 후진 질문의 표준 답이 없다. **귀류에는 후진 과정이 없다.** ::: **이 거래가 왜 유효한가.** $A \wedge \neg B$에서 모순이 유도된다면 $A$와 $\neg B$가 동시에 참인 경우는 하나도 없다. 곧 $A$가 참인 모든 경우에 $\neg B$는 거짓이고, $B$는 참이다. 진리표의 언어로는 $A \Rightarrow B$가 거짓이 되는 유일한 줄, 곧 $A$가 참이고 $B$가 거짓인 줄(S1주차의 TF 줄)이 비어 있음을 직접 보인 것이다. :::{container} quotebox **확인 3.** 위 정당화에서 "모순이 유도되었다"는 사실이 실제로 배제하는 것은 무엇인가. (가) $A$가 참인 경우 (나) $A$가 참이면서 $B$가 거짓인 경우 (다) $B$가 거짓인 경우 ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (나). 유도의 출발점이 $A$와 $\neg B$ **둘 다**였으므로, 모순이 배제하는 것도 둘이 동시에 성립하는 경우뿐이다. (가)나 (다)를 단독으로 배제한 것이 아니다. 이 구분이 결론 선언(걸음 ④)의 문장을 정한다 — 귀류가 증명한 것은 "$B$는 무조건 참"이 아니라 "$A$ 아래에서 $B$는 참"이다. 1권 22주차가 조건문 귀류에서 가정이 하나에서 둘로 늘어난다고 적은 그 자리가 여기다. ::: 1권에서 감각으로 하던 것이 여기서 이름을 얻는다: 1권 21주차가 "결론을 부정해 가정 자리에 놓으면 전개할 등식이 생긴다"로 적었던 동작이, 여기서 **얻는 것과 잃는 것이 명시된 거래**가 된다. 그리고 잃는 쪽에 이름이 붙는 순간 대비책(§1.5)이 필요해진다. ### 4 귀류 답안의 4단 서식 [백지 암기 대상] 거래를 답안의 문장으로 옮기면 네 걸음이 된다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **귀류 답안의 4단 서식** ① **개시 선언** — "결론을 부정하여, ~라 가정하자." 물결 자리에는 $\neg B$를 S10주차의 기계로 전개한 결과를 쓴다. ② **전진** — $A$, $\neg B$, 정의, 이미 증명된 명제로 새 사실을 만든다. 존재 진술이 생기면 "그런 …를 잡자"로 이름을 붙여 받는다. ③ **모순 명시** — "그런데 ~이므로 …와 모순이다." 충돌한 두 문장을 **둘 다** 지목한다. ④ **결론 선언** — "따라서 ~이다." $B$의 원문으로 돌아온다. ::: 걸음마다 하는 일과, 그 걸음을 빼면 무엇이 무너지는지를 함께 적는다. | **걸음** | **하는 일** | **이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가** | |---|---|---| | ① 개시 선언 | $\neg B$를 전개해 가정 목록에 올린다 | 전개가 틀리면 이후 모든 줄이 다른 명제에 대한 논증이 된다. 결론이 조건문일 때 N4를 빠뜨리면(부정을 조건문으로 적으면) 출발점 자체가 오염된다 | | ② 전진 | $A$와 $\neg B$에서 새 사실을 만든다 | $\neg B$를 한 번도 쓰지 않으면 귀류 포장 안의 직접 증명이 된다(예제 2.3 답안 1) | | ③ 모순 명시 | 충돌한 두 문장 $P$와 $\neg P$를 지목한다 | "이상하다"에서 멈춘 답안이 된다 — 무엇이 무엇과 부딪혔는지 독자가 복원할 수 없다(예제 2.3 답안 2) | | ④ 결론 선언 | $B$의 원문으로 돌아온다 | 증명된 것이 "$A$와 $\neg B$는 양립할 수 없다"까지이고 원명제의 진술까지 오지 않는다 | :::{container} quotebox **확인 4.** 걸음 ①에서 결론이 "$n$이 짝수이면 $n^2$은 짝수이다"인 경우, 개시문에 들어갈 $\neg B$는 무엇인가. 기계의 어느 규칙을 쓰는지도 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 무대가 정수 전체이므로 결론은 "모든 정수 $n$에 대해, $n$이 짝수이면 $n^2$은 짝수이다" 꼴이다. 먼저 N5로 $\forall$를 뒤집어 $\exists n$을 만들고, 이어 N4로 본체 조건문을 $\wedge$로 푼다 [N5, N4]. 결과는 "$n$은 짝수인데 $n^2$은 짝수가 아닌 정수 $n$이 존재한다"이다. 곧 개시문은 "결론을 부정하여, $n$은 짝수이고 $n^2$은 짝수가 아닌 정수 $n$이 있다고 가정하자"가 된다. 가정이 **두 개** 생긴다는 것이 조건문 귀류의 특징이다(1권 22주차). "$n$이 짝수가 아니면 $n^2$도 짝수가 아니다"로 적었다면 그것은 부정이 아니라 이(inverse)다 — S10주차 예제 2.3이 치명 사고로 분류한 전개 오류다. N5를 빠뜨리고 N4만 적는 답도 자주 나온다. 규칙 번호를 [N5, N4]로 나란히 다는 것은 S10주차 예제 2.1의 [N5, N5, N4] 표기와 같은 규격이고, 이번 주 답안에서도 개시문 옆에 이렇게 적는다. ::: **걸음 삭제 실험 — 걸음 ③을 빼면.** 모순의 두 당사자를 지목하는 의무를 지우고 "모순이다"라고만 적어도 된다고 해 보자. 그러면 다음 답안이 합법이 된다. :::{admonition} 삭제 실험 — 당사자 없는 모순 선언 :class: quotebox 명제: $\sqrt2 + \sqrt3 \neq 3$. "$\sqrt2 + \sqrt3 = 3$이라 가정하자. 양변을 제곱하면 $5 + 2\sqrt6 = 9$, 즉 $\sqrt6 = 2$이다. 이는 모순이다." ::: :::{container} quotebox **확인 5.** 위 답안에서 "$\sqrt6 = 2$"는 아직 모순이 아니다. 왜 아닌지 한 문장으로 적고, 모순으로 만들려면 한 줄을 더 어떻게 적어야 하는지 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 모순이란 $P$와 $\neg P$를 동시에 확보한 상태를 말한다. "$\sqrt6 = 2$"는 그 자체로는 한 개의 등식일 뿐이고, 그것을 부정하는 문장이 답안 어디에도 없다. 낯설다는 느낌은 모순이 아니다. 한 줄을 더한다: 양변을 제곱하면 $6 = 4$이고, $6 \neq 4$는 이미 아는 사실이므로 "$6 = 4$"와 "$6 \neq 4$"가 충돌한다. 이제 두 당사자가 문장으로 지목되었다. 걸음 ③이 빠지면 답안은 어디서 멈춰도 되는 글이 되고, 정지 시점의 판정이 읽는 사람의 느낌에 맡겨진다. ::: ### 5 도착점을 잃은 전진은 어디로 가는가 — 모순의 3대 산지 [백지 암기 대상] 후진 과정이 없어졌으므로 전진은 방향 없이 남는다. 완전한 무방향은 아니다. 도착점이 "특정 명제 하나"에서 "충돌 후보 목록"으로 바뀐 것이고, 그 목록은 셋뿐이다. | **산지** | **충돌하는 두 당사자** | **예** | |---|---|---| | ① $\neg B$에서 유도한 것 $\leftrightarrow$ **가정 $A$** | 새 가정에서 나온 결과가 원래 가정을 뒤집는다 | 가정이 "$t$는 무리수"인데 유도 결과가 "$t$는 유리수"(문제 7) | | ② $\neg B$에서 유도한 것 $\leftrightarrow$ **$\neg B$의 다른 조각** | 새 가정이 스스로를 뒤집는다 | 기약으로 잡았는데 분자와 분모가 둘 다 짝수(1권 21주차 예제 2.2) | | ③ 유도한 것 $\leftrightarrow$ **이미 아는 참** | 정의$\cdot$배타성$\cdot$순서의 기본 성질과 부딪힌다 | "같은 수가 짝수이자 홀수", "$0 = 1$", "$x < x$" | 전진하다 막히면 자문한다: "지금 가진 사실 중에서 **서로 부딪힐 것 같은 두 문장**은 어느 것과 어느 것인가." 후진 질문의 자리를 이 질문이 대신한다. 산지 ③에서 가장 자주 쓰이는 이미 아는 참 세 가지는 홀짝의 배타성(1권 22주차 문제 5), 순서의 비반사성 ($x < x$인 실수는 없다), 그리고 정의 자체다. **정의와의 충돌은 ①인가 ③인가.** 정의는 언제나 참이므로 충돌 상대로 쓸 수 있는데, 그 정의가 누구에게 붙은 것이냐에 따라 산지가 갈린다. 판별 규칙은 하나다 — 그 정의가 **가정 $A$의 대상**에 붙은 것이면(예: $A$가 "$p$는 소수"이고 충돌 상대가 "$p$의 양의 약수는 1과 $p$뿐"), 그 상대는 결국 $A$를 푼 결과이므로 **산지 ①**로 센다. 무대의 어느 대상에도 매이지 않은 일반적 정의나 배타성(홀짝, 순서의 비반사성)과 부딪힐 때만 **산지 ③**이다. 문제 11이 이 구분이 실제로 갈리는 자리다. :::{container} quotebox **확인 6.** 1권 21주차의 $\sqrt2$ 무리성 증명에서 마지막에 충돌한 두 문장은 무엇이었는가. 산지 번호는 몇 번인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "$\frac ab$는 기약이다"(개시문에서 얹은 조건)와 "$a$와 $b$가 둘 다 짝수이므로 2는 공약수다"(전진 끝에 유도된 사실)가 충돌했다. 두 문장 다 $\neg B$ 쪽에서 나온 것이므로 **산지 ②**다. 기약이라는 조건을 얹지 않으면 이 충돌이 일어나지 않는다는 것이 1권 21주차 문제 3(c)에서 확인한 내용이다 — 산지 ②를 쓰려면 개시문에서 미리 조건을 얹어 두어야 한다. 이 얹기를 **정규화**라 부른다. ::: ### 6 귀류 신호 — 언제 거래하는가 [백지 암기 대상] 거래는 언제나 합법이지만 언제나 이득은 아니다. 이득이 되는 결론의 모양은 정해져 있다. | **신호 (결론 $B$의 모양)** | **부정하면 무엇이 들어오는가** | |---|---| | 부정형: 무리수, $\notin$, $\neq$, "…가 아니다" | N1로 긍정문이 된다 — 전개 가능한 등식(S10주차 문제 18$\cdot$19에서 경험) | | "존재하지 않는다", "해가 없다", "공집합이다" | 구체적인 대상 하나 — "그런 것을 잡자"로 받는다 | | "무한히 많다" | 유한한 **전체 목록** — 곱하거나 더할 수 있고, $\forall$ 사실이 딸려 온다 | | "최댓값이 없다", "최솟값이 없다" | 최대(최소) 원소 하나와, 모든 원소가 그 이하(최솟값이면 그 이상)라는 $\forall$ 사실 | | 유일성: "많아야 하나이다" | 서로 다른 두 대상 — 둘을 비교할 재료가 생긴다(S13주차에서 정면으로 다룬다) | :::{container} quotebox **확인 7.** 위 표의 다섯 신호에 공통으로 흐르는 원리를 한 문장으로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown **$B$보다 $\neg B$가 더 많은 정보를 줄 때 거래한다.** 다섯 신호는 전부 $B$가 "무엇이 없다 / 무엇이 아니다"를 말하는 경우이고, 없다는 말에는 잡을 것이 없다. 그 부정은 반드시 있다는 말이므로 잡을 것이 생긴다. 거꾸로 결론이 이미 긍정형이고 정의를 풀면 도착점이 나오는 경우에는 거래할 이유가 없다 — 그런데도 개시문을 적으면 예제 2.3 답안 1의 무늬만 귀류가 된다. ::: ### 7 표기 — 개시문과 산지 라벨의 읽는 법 이번 주에 새로 쓰는 표기는 둘이다. :::{admonition} 표기 — $A \wedge \neg B$ 와 [산지 N] :class: quotebox $A \wedge \neg B$는 "에이 그리고 비의 부정"으로 읽고, 귀류 게임에서 동시에 손에 쥔 두 가정을 뜻한다. $\wedge$는 "그리고"이고(S1주차), $\neg$는 "…가 아니다"이다. 답안에서 모순을 선언할 때 대괄호로 산지 번호를 붙인다: "[산지 ③]". 이것은 채점자와 자신에게 어느 목록에서 충돌을 찾았는지 밝히는 표시이고, 증명의 논리에 필요한 부분은 아니다. 그러나 이번 주 답안에서는 제출 규격이다. ::: ### 8 근거 목록 갱신 | **근거** | **이번 주에 추가되는 것** | **이번 주에는 이렇게 쓴다** | |---|---|---| | ① 정의 | 변화 없음 | 유리수(1권 정의 15.1)$\cdot$소수(1권 정의 15.2)$\cdot$기약분수(1권 정의 21.2)$\cdot$최댓값(S4주차 문제 18)을 개시문 직후에 곧바로 푼다 | | ② 닫힘성 | 변화 없음 | 유리수의 합$\cdot$차$\cdot$곱(1권 15주차 예제 2.2$\cdot$훈련 1$\cdot$문제 9)과 0이 아닌 수로 나눈 몫(1권 15주차 문제 15)을 한 줄로 쓴다 | | ③ 등식의 성질 | 변화 없음 | 양변 제곱, 양변 $b$제곱, 양변에 같은 수 곱하기가 전진의 주된 조작이다 | | ④ 이미 증명한 명제 — 기존 것 | 홀짝의 배타성(1권 22주차 문제 5), $n^2$이 짝수이면 $n$도 짝수(1권 19주차 예제 2.1), $3 \mid n^2$이면 $3 \mid n$(1권 19주차 예제 2.2), $\sqrt2$의 무리성(1권 21주차 예제 2.2), $\sqrt6$의 무리성(1권 21주차 문제 15), 홀수의 곱은 홀수(1권 1주차 문제 8), 2 이상의 정수는 소수인 약수를 가진다(1권 33주차 예제 2.1의 따름정리), 기약 표현의 존재(1권 33주차 예제 2.3 — 양의 유리수, 그 확장으로 모든 유리수) | "1권 22주차 문제 5에 의해"처럼 한 줄로 인용하고 넘어간다 | | ④ 이미 증명한 명제 — 이번 주에 채택하는 것 | 유클리드 보조정리 — 소수 $p$가 곱 $mn$을 나누면 $p \mid m$이거나 $p \mid n$이다. 증명 없이 인정하고 쓴다(C15주차에서 증명한다) | 인용할 때 $p$가 소수임을 먼저 확인하고 쓴다. 문제 14와 19에서 필요하다 | 근거의 번호가 늘지는 않는다. 이번 주가 늘리는 것은 근거의 종류가 아니라 **도착점이 없을 때 전진을 이끄는 목록**(§1.5)이다. :::{container} quotebox **확인 8.** 어떤 답안에 "결론을 부정하여 $\sqrt{15} = \frac ab$인 양의 정수 $a, b$가 있다고 가정하고, 기약인 표현을 잡자"는 문장이 나왔다. 이 한 문장에는 이번 주의 걸음이 몇 개 들어 있는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 셋이다. ① 개시 선언(결론 "무리수다"를 N1로 부정해 "유리수다"로 만든 것), ② 정의 풀어쓰기(1권 정의 15.1을 등식으로 편 것), ③ **정규화**(기약이라는 조건을 얹은 것)다. ③은 논리적으로 공짜가 아니다 — 모든 양의 유리수가 기약 표현을 가진다는 사실(1권 33주차 예제 2.3)을 근거 ④로 인용해야 얹을 수 있다. $\sqrt{15}$는 양수이므로 이 범위로 충분하다. 정규화를 얹는 이유는 하나다: 산지 ②의 충돌 상대를 미리 만들어 두는 것. 얹지 않으면 마지막에 부딪힐 상대가 없다. :::