# S6주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설 ## 예제 — 선택 문장을 함께 쓰기 완성된 증명을 먼저 보이지 않는다. 예제 2.1은 설계부터 한 줄씩 함께 만들고, 예제 2.2는 설계만 함께 하고, 예제 2.3은 설계부터 스스로 한 뒤 표 없이 산문으로 적는다. 지지대가 한 예제마다 하나씩 빠지고, 마지막에 남는 것이 실전의 증명 모양이다. ### 예제 2.1 — 기본형: 완전제곱 한 발 **명제.** 모든 실수 $x$에 대해 $x^2 - 6x + 10 > 0$이다. **설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지.** S2주차의 번역표와 같은 순서다. 선택법이 주는 것(출발점)과 그 뒤에 보여야 할 것(도착점)을 먼저 적는다. | | **말** | **수식 번역** | |---|---|---| | 결론의 구조 | 모든 실수 $x$에 대해 사건 | $\forall x \in \mathbb{R} : x^2 - 6x + 10 > 0$ (자격 없음) | | 출발점 (선택 후 얻는 것) | $x$는 실수 | 사실 목록: $x \in \mathbb{R}$ | | 도착점 (보일 것) | 이 $x$에서 사건 | $\underline{\quad(?)\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 10.** 도착점 칸의 빈칸을 채워 보자. 겉모양이 원래 결론과 같아 보이는데, 무엇이 달라졌는지 한 마디로 적는다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $x^2 - 6x + 10 > 0$. 달라진 것은 $x$의 신분이다. 원래 결론의 $x$는 양화사에 묶인 문자였고, 지금의 $x$는 무대에 올라온 대상 하나다. 그래서 이 문장은 참$\cdot$거짓을 물을 수 있고, §1.1에서 막혔던 후진과 전진이 여기서는 걸린다. ::: **1걸음 — 대상을 임의로 잡는다.** 증명의 첫 문장은 계산이 아니라 선언이다. 자격을 정확히 적되, 자격에 없는 것은 한 글자도 얹지 않는다. :::{container} quotebox **확인 11.** 첫 문장을 완성해 보자: "$\underline{\qquad}$ $x$를 임의로 잡자." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "**실수** $x$를 임의로 잡자." 자격이 "실수"뿐이므로 그 이상 적지 않는다. "임의의 양의 실수"라고 적으면 그 순간 자격 초과 반칙이 되고, 음수 $x_0$에서 치환 검사가 깨진다. ::: **2걸음 — 판을 교체한다.** 사실 목록에 "$x$는 실수"가 들어가고, 결론이 설계표의 도착점으로 바뀐다. 이제 S2$\cdot$S3주차의 절차가 그대로 작동한다. :::{container} quotebox **확인 12.** 교체된 판에 후진 한 걸음을 두어 보자. 핵심 질문과 그 답, 그리고 새 과녁 B1은 무엇인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 핵심 질문: "어떤 실수가 양수임을 어떻게 보이는가?" 답: 제곱과 양수의 합으로 쓴다 — 근거는 1권 16주차 (W1)("모든 실수의 제곱은 0 이상")이다. B1: $x^2 - 6x + 10$을 $(\ )^2 + (\text{양수})$ 꼴로 쓴다. 방향 검사 ✓ — 그 꼴이 되면 (W1)$\cdot$(W2)와 추이성 (W6)으로 곧바로 양수가 나온다. ::: **3걸음 — 전진으로 과녁에 도달한다.** 사실 목록에는 $x \in \mathbb{R}$뿐이고, 과녁이 제곱 꼴을 요구하므로 조작은 하나로 정해진다. :::{container} quotebox **확인 13.** 완전제곱으로 변형해 보자: $x^2 - 6x + 10 = (\,\underline{\quad}\,)^2 + \underline{\quad}$. 전개해서 검산까지 한다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $x^2 - 6x + 10 = (x - 3)^2 + 1$. 검산: $(x-3)^2 + 1 = x^2 - 6x + 9 + 1 = x^2 - 6x + 10$ ✓. 상수를 어떻게 갈랐는지가 이 변형의 전부다 — $10 = 9 + 1$이고 9가 $(-3)^2$이다. ::: **4걸음 — 임의성을 근거로 선언한다.** 사건이 확보되었으므로 걸음 ④를 적는다. :::{container} quotebox **확인 14.** 마지막 문장을 완성해 보자: "$x$가 $\underline{\qquad}$이었으므로, $\underline{\qquad}$. $\blacksquare$" ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "$x$가 **임의**였으므로, **모든 실수 $x$에 대해 $x^2 - 6x + 10 > 0$이다**. $\blacksquare$" 압축된 증명에서는 이 문장이 생략되는 일이 많다. 학습 단계에서는 적는다 — 걸음 ④를 적지 않으면 자기 증명이 치환 검사를 통과하는지 점검할 자리가 사라진다. ::: **완성본.** 방금 만든 네 문장을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 "왜"에 스스로 답해 본다. | 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? | |---|---| | 실수 $x$를 임의로 잡자. | 걸음 ① — 자격은 "실수"뿐이다. 이 한 문장으로 열린 문장이 닫히고, 사실 목록에 $x \in \mathbb{R}$이 들어가며 결론이 이 $x$에 대한 문장으로 교체된다. | | $x^2 - 6x + 10 = (x-3)^2 + 1$이다. | 걸음 ③의 전진. 후진이 내려 준 과녁이 제곱 꼴을 요구했으므로 조작이 완전제곱으로 정해졌다 (S3주차의 조준 규칙). 근거 ③. | | $(x-3)^2 \ge 0$이므로 $(x-3)^2 + 1 \ge 1 > 0$이다. | (W1)$\cdot$(W2)와 추이성 (W6) — $\ge 1$과 $1 > 0$을 이어 $> 0$을 얻는 마지막 접합이 (W6)이다. 여기서 쓴 $x$의 성질은 "실수"뿐이다 — 자격이 (W1)의 적용 조건 전부이므로 치환 검사가 유지된다. | | $x$가 임의였으므로, 모든 실수 $x$에 대해 $x^2 - 6x + 10 > 0$이다. $\blacksquare$ | 걸음 ④. 대표 하나의 결과를 전칭 결론으로 옮기는 선언이다. | **치환 검사 실행.** $x_0 = 100$을 넣어 읽으면 "$100^2 - 600 + 10 = (100-3)^2 + 1$", 곧 $9410 = 9409 + 1$이고 $9409 \ge 0$이므로 $9410 \ge 1 > 0$ — 모든 줄이 참이다. :::{container} quotebox **확인 15.** 위 완성본에서 만약 둘째 줄을 "$x \ge 3$이므로 $x^2 - 6x + 10 = x(x-6) + 10 \ge 10 > 0$"으로 바꿔 적었다면, 어느 반칙이고 어느 $x_0$에서 치환이 깨지는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 자격 초과 가정이다. 자격은 "실수"뿐인데 $x \ge 3$을 얹었다. $x_0 = 0$을 넣으면 첫 조건 "$0 \ge 3$"이 거짓이므로 그 줄부터 읽히지 않는다. 덧붙여 이 계산은 $x_0 = 3$에서도 값이 맞지 않는다 — $3(3-6) + 10 = 1$인데 $\ge 10$이라고 적혀 있다. 자격 초과는 이렇게 계산 오류까지 함께 끌고 오는 일이 많다. ::: ### 예제 2.2 — 이중 선택과 사건이 조건문인 경우: 단사 증명 **명제.** $f(x) = 3x + 5$로 정의된 함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$는 단사이다. 이번에는 설계만 함께 하고, 본문은 완성본으로 본다. :::{container} quotebox **확인 16.** 명제에 낱말 "모든"이 없다. 단사의 정의를 표준형으로 펴 보자. 대상은 몇 개이고, 사건은 어떤 꼴인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $\forall x_1 \forall x_2 : f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$. 대상은 **둘**($x_1$, $x_2$), 자격은 각각 "실수", 사건은 **조건문**이다. 전칭이 두 겹이므로 선택도 두 번 해야 하고, 사건이 조건문이므로 그 안에서 S1주차의 조건문 서식이 한 번 더 시작된다. ::: :::{container} quotebox **확인 17.** 번역표를 채워 보자. 출발점 (선택 후 얻는 것): $\underline{\qquad}$ 도착점 (보일 것): 이 $x_1, x_2$에 대해 $\underline{\qquad}$ 그리고 자격에 "$x_1 \neq x_2$"를 넣어도 되는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 출발점: "$x_1$과 $x_2$는 실수이다" — 이것뿐이다. 도착점: $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$. 자격에 "$x_1 \neq x_2$"를 넣으면 안 된다. 정의의 자격은 "실수"뿐이므로 자격 초과가 되고, 같은 값을 넣은 경우가 증명에서 빠진다. 두 문자를 따로 쓰는 것은 서로 다른 값이라는 뜻이 아니라 **각각 독립으로 정해진다**는 뜻이다. 단, 이 판정은 결론을 지금의 등식형으로 둔 채라는 조건이 붙는다. 결론까지 대우형($f(x_1) \neq f(x_2)$)으로 바꿔 판 전체를 갈아타면 "$x_1 \neq x_2$"는 그 판의 정당한 자격이 된다 — 자격 초과인지 아닌지는 결론이 무엇인지와 짝지어서만 판정된다(문제 17(b)에서 다룬다). ::: | 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? | |---|---| | 실수 $x_1$과 $x_2$를 임의로 잡자. | 걸음 ① — 전칭이 두 겹이므로 대표도 둘이다. 서로 다른 문자를 쓰는 것은 문자 재사용 반칙을 피하기 위해서다. 자격은 "실수"뿐이므로 그 이상 적지 않는다. | | $f(x_1) = f(x_2)$라 가정하자. | 걸음 ②로 교체된 결론이 조건문이므로, 그 가정이 사실 목록에 추가된다 (S1주차의 조건문 서식). 선택법이 만든 판 안에서 판이 한 번 더 교체된 것이다. | | 정의에 의해 $3x_1 + 5 = 3x_2 + 5$이다. | 걸음 ③의 전진 — 목록의 등식에 $f$의 정의를 대입한다. 근거 ①. | | 양변에서 5를 빼고 3으로 나누면 $x_1 = x_2$이다. | 가역 연산 두 번(근거 ③). 교체된 결론에 도달했다 — 조건문의 판이 끝난다. | | $x_1$과 $x_2$가 임의였으므로 $f$는 단사이다. $\blacksquare$ | 걸음 ④ — 두 겹의 전칭을 한 번에 선언한다. | 1권 41주차에서 서식으로 외운 단사 증명의 두 문장("$f(a) = f(a')$라 하자"에서 "$a = a'$을 유도한다"까지)이 여기서 정체를 드러낸다. 그 서식은 **선택법 두 번과 조건문 서식 한 번의 합성**이었다. ### 예제 2.3 — 자격이 있는 전칭: 혼자 설계해 산문으로 **명제.** 모든 홀수 $n$에 대해 $n^2 + 2n$은 홀수이다. 이번에는 설계부터 스스로 한다. 앞의 두 예제와 달라진 것은 **자격이 있다**는 점 하나다 — 예제 2.1과 2.2의 자격은 "실수"뿐이어서 목록에 풀 것이 없었지만, 여기서는 자격 자체가 정의를 가진 낱말이다. :::{container} quotebox **확인 18.** 설계를 혼자 해 보자. 명제를 대상 / 자격 / 사건으로 분해하고, 걸음 ①의 첫 문장과 걸음 ②의 사실 목록$\cdot$교체된 결론을 적는다. 도착점을 어떤 꼴로 만들어야 하는지까지 정한 뒤 상자를 연다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 대상: 정수 $n$ / 자격: $n$은 홀수 / 사건: $n^2 + 2n$은 홀수. 걸음 ①: "홀수 $n$을 임의로 잡자." 자격을 그대로 옮겨 적는다 — "정수 $n$"이라고만 적으면 자격이 모자라 목록에 풀 재료가 없고, "양의 홀수"라고 적으면 자격 초과다. 걸음 ②: 사실 목록에 "$n$은 홀수"가 들어가고, 결론이 "이 $n$에 대해 $n^2 + 2n$은 홀수이다"로 교체된다. 도착점의 꼴: 홀수의 정의가 $2 \times (\text{정수}) + 1$이므로, $n^2 + 2n$을 그 꼴로 적어 보이는 것이 목표다. 그러면 걸음 ③은 두 동작으로 정해진다 — 자격을 정의로 푸는 동작($n = 2k+1$)과 도착점을 정의 꼴로 조립하는 동작이 각각 한 번씩이다. ::: **증명.** 홀수 $n$을 임의로 잡자. 홀수의 정의에 의해 $n = 2k + 1$인 정수 $k$가 존재한다. 그러면 $$ n^2 + 2n = (2k+1)^2 + 2(2k+1) = 4k^2 + 4k + 1 + 4k + 2 = 2(2k^2 + 4k + 1) + 1 $$ 이고, $2k^2 + 4k + 1$은 정수이므로 $n^2 + 2n$은 홀수이다. $n$이 임의였으므로 모든 홀수 $n$에 대해 성립한다. $\blacksquare$ 이번 증명은 표 없이 **산문**으로 적었다. 표는 연습 단계의 장치이고, 실전의 증명은 처음부터 끝까지 이런 산문이다. 예제 2.1의 완성본에서 오른쪽 열("왜 이 줄을 쓰는가")을 지우고 왼쪽 열만 이어 붙이면 위와 같은 한 단락이 된다 — 지워진 것은 근거가 아니라 근거를 적어 둔 여백이고, 근거는 "정의에 의해", "정수이므로"처럼 본문 안으로 들어가 있다. 이번 주의 목표는 이 산문을 백지에서 재현하는 것이다. ### 진단 — 반칙 두 건 증명을 쓰는 쪽을 마쳤으므로 검열하는 쪽으로 넘어간다. 아래 두 답안을 읽고, 각각 어느 반칙인지와 무엇이 무너지는지를 먼저 노트에 적은 뒤 확인 상자를 연다. **시도 1.** "명제: 모든 양의 정수 $n$에 대해 $2^n \ge n + 1$이다. 증명: $n = 1$이면 $2 \ge 2$, $n = 2$이면 $4 \ge 3$, $n = 3$이면 $8 \ge 4$로 모두 성립한다. $n$이 커질수록 좌변이 더 빨리 커지므로 모든 $n$에서 성립한다." :::{container} quotebox **확인 19.** 시도 1의 반칙은 무엇인가. 그리고 이 명제는 실제로 참인데도 왜 이 답안이 증명이 아닌지, 참$\cdot$거짓과 증명의 관계로 답해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 특정값 대입이다. 세 값에서 확인한 것과 "커질수록 좌변이 더 빨리 커진다"는 미증명 단언뿐이고, 걸음 ①의 선언이 없다. 명제가 참이라는 것과 이 글이 증명이라는 것은 다른 문제다. 증명은 결론의 참을 근거의 사슬로 확보한 글이고, 이 글에는 셋째 문장을 뒷받침하는 근거가 없다. 수리 방향에도 주의할 점이 있다. 이 명제의 전칭은 **자연수 위를 달리므로**, 임의의 $n$에서 $2^n$과 $n+1$을 잇는 대수 조작이 마땅치 않다. 정공법은 귀납법이다 (1권 31주차, S14주차). **전칭이 자연수 위를 달릴 때는 선택법과 귀납법 중 고른다**는 갈림길 신호로 기억해 둔다. ::: **시도 2.** "명제: 모든 실수 $x$에 대해 $x^2 \ge x$이다. 증명: 임의의 실수 $x$를 잡자. $x \ge 1$이므로 양변에 $x$를 곱하면 $x^2 \ge x$이다." :::{container} quotebox **확인 20.** 시도 2에는 반칙이 하나 있고, 그와 별개로 더 심각한 문제가 하나 있다. 둘을 각각 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 반칙은 자격 초과 가정이다. 걸음 ①은 제대로 적었는데 다음 줄에서 자격("실수")에 없는 $x \ge 1$을 썼다. $x_0 = \frac12$에서 치환이 깨진다. 더 심각한 문제는 **명제 자체가 거짓**이라는 것이다. $x = \frac12$이면 $\frac14 < \frac12$이므로 반례가 있다 (1권 29주차). 자격 초과는 이렇게 거짓 명제에 증명처럼 보이는 글을 붙여 버린다. 글이 써졌다는 사실이 명제의 참을 보증하지 않는 이유가 여기 있고, 그래서 §1.6의 검열이 형식적 절차가 아니라 참$\cdot$거짓을 가르는 절차다. ::: ### 관찰 — 같은 뼈대 예제 2.1$\cdot$2.2$\cdot$2.3은 소재가 다르지만 걸음의 배치가 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자. | **걸음** | **예제 2.1** | **예제 2.2** | **예제 2.3** | |---|---|---|---| | ① 선택 문장 | "실수 $x$를 임의로 잡자." | $\underline{\quad(1)\quad}$ | $\underline{\quad(5)\quad}$ | | ② 사실 목록에 들어간 것 | $x$는 실수 | $\underline{\quad(2)\quad}$ | $\underline{\quad(6)\quad}$ | | ② 교체된 결론 | 이 $x$에서 $x^2 - 6x + 10 > 0$ | $\underline{\quad(3)\quad}$ | $\underline{\quad(7)\quad}$ | | ③ 판을 이기는 걸음 | 완전제곱 변형 + (W1) | $\underline{\quad(4)\quad}$ | $\underline{\quad(8)\quad}$ | | ④ 마무리 선언 | "$x$가 임의였으므로 …" | "$x_1, x_2$가 임의였으므로 $f$는 단사이다." | "$n$이 임의였으므로 …" | :::{container} quotebox **확인 21.** 빈칸 (1)~(8)을 채워 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) "실수 $x_1$과 $x_2$를 임의로 잡자." (2) $x_1$과 $x_2$는 실수 (3) 이 $x_1, x_2$에 대해 "$f(x_1) = f(x_2)$이면 $x_1 = x_2$" (4) 조건문 가정을 목록에 넣고, $f$의 정의를 대입해 가역 연산으로 정리 (5) "홀수 $n$을 임의로 잡자." (6) $n$은 홀수 (7) 이 $n$에 대해 $n^2 + 2n$은 홀수 (8) 홀수의 정의를 풀어 $n = 2k+1$을 받고, 전개해 $2 \times (\text{정수}) + 1$ 꼴로 조립 소재는 부등식$\cdot$함수$\cdot$정수로 다르고 대표의 수도 하나와 둘로 다르지만, 네 걸음의 순서와 각 걸음이 하는 일은 같다. 세 열이 갈리는 자리는 ③ 하나뿐이고, 무엇이 ③을 정하는가는 자격이 정한다 — 자격이 "실수"면 목록에 풀 것이 없어 곧바로 계산으로 가고(2.1$\cdot$2.2), 자격이 "홀수"처럼 정의를 가진 낱말이면 그 정의를 푸는 동작이 ③의 첫 걸음이 된다(2.3). ::: :::{container} quotebox **확인 22.** 예제 2.2에는 예제 2.1에 없는 걸음이 하나 더 있다. 무엇이며, 왜 필요했는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 조건문 서식의 개시("$f(x_1) = f(x_2)$라 가정하자")다. 필요했던 이유는 **사건이 조건문이었기** 때문이다. 걸음 ②가 결론을 사건으로 교체했는데 그 사건이 $P \Rightarrow Q$ 꼴이므로, 그 안에서 S1주차의 서식이 한 번 더 시작된다. 기법은 한 번에 하나씩 쓰는 것이 아니라 이렇게 겹쳐 쓴다. ::: 방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **선택법의 실행 순서** ① 자격을 명시해 대상을 임의로 잡는다 $\to$ ② 자격을 사실 목록에 넣고 결론을 그 대상에 대한 문장으로 교체한다 $\to$ ③ 교체된 판을 전진-후진으로 이긴다 (사건이 조건문이면 그 안에서 조건문 서식을 한 번 더 연다) $\to$ ④ 임의성을 근거로 전칭 결론을 선언한다. ::: 이 순서는 S7주차 이후에도 그대로 쓰인다. 바뀌는 것은 ③에서 쓰는 도구뿐이다. ## 빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 §6에 있다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. ### 훈련 1 ●○○ — 수식과 절차의 빈칸 **명제.** 모든 양의 실수 $x$에 대해 $x + \dfrac1x \ge 2$이다. **분해.** 대상: 실수 $x$ / 자격: $\underline{\quad(1)\quad}$ / 사건: $x + \frac1x \ge 2$ **걸음 ①.** "$\underline{\quad(2)\quad}$ 실수 $x$를 임의로 잡자." **걸음 ②.** 사실 목록: $x$는 실수이고 $x > 0$ / 교체된 결론: 이 $x$에서 $x + \frac1x \ge 2$ **걸음 ③ 후진** (S2주차 문제 12에서 진단한 후진 시도를 $b = 1$로 특수화한 사슬). B: $x + \frac1x \ge 2$ $\Leftarrow$ B1: $x^2 + 1 \ge 2x$ (양변에 $x$를 곱했다 — 방향이 보존되는 근거는 S2주차 문제 12의 힌트가 지목한 것과 같은 자리다: $\underline{\quad(3)\quad}$) $\Leftarrow$ B2: $x^2 - 2x + 1 \ge 0$ $\Leftarrow$ B3: $(\underline{\quad(4)\quad})^2 \ge 0$. (W1) 도달. **걸음 ③ 산문.** $(x-1)^2 \ge 0$이므로 전개하고 이항하면 $x^2 + 1 \ge 2x$이고, 양변을 $\underline{\quad(5)\quad}$로 나누면 $x + \frac1x \ge 2$이다. **걸음 ④.** $x$가 임의였으므로 모든 양의 실수 $x$에 대해 성립한다. $\blacksquare$ **보너스.** 등호가 성립하는 것은 $x = \underline{\quad(6)\quad}$일 때뿐이다. ### 훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께 이번에는 근거 문장도 빈칸이다. **명제.** 모든 실수 $x$에 대해 $x^4 - x^2 + 1 > 0$이다. **증명.** $\underline{\quad(1)\quad}$ $x$를 임의로 잡자 [걸음 ① — 자격: $\underline{\quad(2)\quad}$]. 그러면 $$ x^4 - x^2 + 1 = \left(x^2 - \frac12\right)^2 + \underline{\quad(3)\quad} $$ 이다 [근거: $\underline{\quad(4)\quad}$]. 첫 항은 $\underline{\quad(5)\quad}$ 이상이므로 [근거: $\underline{\quad(6)\quad}$] 좌변은 $\frac34$ 이상이고, 따라서 $0$보다 크다. $x$가 $\underline{\quad(7)\quad}$이었으므로 모든 실수 $x$에 대해 성립한다. $\blacksquare$ **검산.** $\left(x^2 - \frac12\right)^2 + \frac34$를 전개하면 $x^4 - x^2 + \frac14 + \frac34 = x^4 - x^2 + 1$ ✓ ### 훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고 이번에는 네 걸음의 칸을 통째로 채운다. 결론에 전칭이 있고 가정에도 전칭이 있는 첫 사례다. 가정 쪽의 전칭을 쓰는 걸음은 S7주차에서 특수화라는 이름을 얻는다. **명제.** 집합 $A, B, C$에 대해, $A \subseteq B$이고 $B \subseteq C$이면 $A \subseteq C$이다. - **결론 분해.** $A \subseteq C$를 표준형으로 펴면 $\underline{\quad(1)\quad}$. - **걸음 ①.** $\underline{\quad(2)\quad}$ - **걸음 ②.** 사실 목록에 들어가는 것 셋: $A \subseteq B$, $B \subseteq C$, 그리고 $\underline{\quad(3)\quad}$. 교체된 결론: $\underline{\quad(4)\quad}$ - **걸음 ③.** $\underline{\quad(5)\quad}$ - **걸음 ④.** $\underline{\quad(6)\quad}$ - **한 줄 논평.** 이 증명에서 가정의 $A \subseteq B$를 쓴 걸음은, 네 칸 표의 어느 칸에 해당하는가: $\underline{\quad(7)\quad}$ ## 연습문제 (20문항) 해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 접근까지만 읽고 다시 시도한다. :::{admonition} 이번 주의 채점 기준 :class: quotebox 답이 아니라 근거가 점수다. 이번 주의 기본 제출물은 네 가지다: ① 자격을 정확히 명시한 선택 문장 ② 교체된 판(사실 목록과 새 결론)의 명시 ③ 본문 ④ 임의성에 근거한 마무리 선언. ①이 없으면 무엇에 대한 증명인지 확정되지 않았으므로 본문이 옳아도 증명이 아니다. 제출 전에 반칙 목록 네 줄로 자기 답안을 훑는 것까지가 이번 주의 답안 작성 절차다. 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다. ::: ### 기본 ●○○ **1.** [백지] 선택법의 절차 ①~④, 치환 검사의 요지, 반칙 목록 4종을 쓰시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown §1.4, §1.5, §1.6의 상자 셋이다. 절차는 "잡는다 / 교체한다 / 이긴다 / 선언한다"의 네 동사로 기억하고, 반칙은 "특정값 $\cdot$ 자격 초과 $\cdot$ 문자 재사용 $\cdot$ 선잡기"의 네 낱말로 기억한다. ::: **2.** 다음 결론들에서 전칭을 노출하고 대상 / 자격 / 사건으로 분해하시오 (숨은 것 포함). (a) 짝수의 세제곱은 짝수이다. (b) $A - B \subseteq A$. (c) $f(x) = x^3$은 증가함수이다. (d) 모든 정수는 자신의 제곱 이하이다 — 참인가? (분해 후 진위 판정까지) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown (a)와 (d)는 총칭문이므로 낱말이 없는 자리에서 전칭을 찾아야 한다. (b)와 (c)는 정의 속에 있다 — §1.3의 표를 그대로 쓴다. (d)는 무대가 정수라는 데 주의한다. ::: **3.** 문제 2(b)를 선택법으로 증명하시오 (1권 27주차의 서식에 이번 주의 걸음 번호를 달아). :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 첫 문장은 1권 27주차에서 외운 그대로다. 달라지는 것은 그 문장 옆에 [걸음 ①]이라고 적고, 마지막에 걸음 ④를 덧붙이는 것뿐이다. 본문은 차집합의 정의를 풀고 "그리고"의 한쪽을 꺼내면 끝난다. ::: **4.** §3 빈칸 사다리의 훈련 1~3을 백지에서 완성하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 훈련 3에서 막히면 "무엇을 임의로 잡는가"부터 다시 묻는다. 결론이 $A \subseteq C$이므로 잡는 것은 집합이 아니라 **원소**다. ::: **5.** 예제 2.1을 백지에 재현하고, $x_0 = -5$에 대한 치환 검사를 실행하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 치환 검사는 증명문의 $x$ 자리에 전부 $-5$를 넣어 각 줄이 참인지 읽는 것이다. 계산 결과만 적지 말고, 어느 줄이 어떻게 읽히는지 줄마다 적는다. ::: **6.** 예제 2.2를 백지에 재현하시오 — 이중 선택에서 문자 분리가 왜 필수인지 한 줄 논평을 포함하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 논평의 방향: 두 대상에 같은 문자를 쓰면 무엇이 표기에 의해 강제되는가. 그리고 그것이 강제되면 단사의 정의가 검사하려던 상황이 남아 있는가. ::: ### 표준 ●●○ **7.** 명제 "모든 실수 $x$에 대해 $x^2 + x + 1 > 0$"을 선택법으로 증명하시오 (완전제곱으로 직접 계산하는 방식과, S3주차 문제 18의 결과를 $b = 1$로 인용하는 방식 두 가지를 모두 시도하시오). :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 인용 방식에는 함정이 있다. S3주차 문제 18이 주는 것은 $\ge 0$이고 목표는 $> 0$이다. 등호 조건까지 인용해야 간격이 메워진다 — 그 조건이 지금 성립할 수 있는지 확인한다. ::: **8.** 명제 "$A \cap B \subseteq A \cup B$"(S2주차 문제 11)를 이번 주의 서식으로 완성하시오 — 선택 문장, 교체된 판의 명시, "또는"을 켜는 지점의 근거 표시까지. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 결론이 "또는"이면 재료 하나로 충분하다 — 교집합에서 꺼낸 둘 중 무엇을 꺼내 무엇을 켜는지 한 줄로 표시한다. 꺼내는 근거와 켜는 근거는 서로 다른 자리에서 온다(§1.8의 근거 목록에서 어느 칸인지 확인해 둔다). ::: **9.** 명제 "모든 홀수 $n$에 대해 $8 \mid (n^2 - 1)$"을 증명하시오. (S5주차 문제 3(a)에서 얻은 "$n^2 + n$은 짝수", 곧 연속한 두 정수의 곱이 짝수라는 사실을 근거 ④로 인용해도 좋다.) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown $n^2 - 1 = (n-1)(n+1)$로 인수분해한 뒤 $n = 2k+1$을 넣으면 $2k$와 $2k+2$의 곱이 나온다. 여기서 4까지는 바로 나오고, 남은 2는 $k(k+1)$에서 나와야 한다. ::: **10.** 명제 "$f(x) = x^3$은 증가함수이다"를 증명하시오. 분해는 $\forall x_1 \forall x_2 [x_1 < x_2 \Rightarrow x_1^3 < x_2^3]$이고, 인수분해 $x_2^3 - x_1^3 = (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_2 x_1 + x_1^2)$를 써도 좋다. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 둘째 인수가 양수임을 보이는 데 S3주차 문제 18을 쓰면 $\ge 0$까지만 나온다. 0이 되는 경우가 지금 판에서 일어날 수 있는지, 조건문 가정과 대조해 확인한다. ::: **11.** 다음 답안을 진단하시오 (반칙 식별과 수리 두 가지). :::{container} quotebox "명제: 모든 정수 $n$에 대해 $n^2 + n$은 짝수이다. 증명: 임의의 정수 $n$을 잡자. $n = 2k$라 하자. 그러면 $n^2 + n = 4k^2 + 2k = 2(2k^2 + k)$이므로 짝수이다." ::: :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown "$n = 2k$라 하자"가 선택 직후에 하는 일을 자격과 대조한다. 수리는 두 갈래다 — 경우를 보강하는 길과, 경로를 바꿔 경우 나누기를 부품 안에 넣는 길 (S3주차 문제 16의 두 분석표가 그 둘이었다). ::: **12.** 명제 "모든 실수 $x, y$에 대해 $\dfrac{x^2 + y^2}2 \ge xy$"를 증명하고, 이 명제가 1권 16주차 예제 2.1과 같은 명제임을 확인하시오. 이어서 등호 조건($x = y$)까지 증명에 편입하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 등호 조건은 "$\ge$이고, 등호는 $x = y$일 때 그리고 그때뿐"이라는 두 방향 주장이다 (1권 25주차). 두 방향 모두 $(x-y)^2 = 0 \iff x = y$라는 하나의 동치에서 나온다. ::: **13.** 명제 "모든 양의 실수 $a, b$에 대해 $\sqrt{a + b} \le \sqrt a + \sqrt b$"를 증명하시오 (1권 16주차 문제 17의 재방문 — 이번에는 선택 문장과 걸음 번호를 달아). :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 양변이 모두 0 이상임을 먼저 확인해야 제곱 비교로 갈아탈 수 있다. 그 확인 자체가 한 줄의 근거이므로 생략하지 않는다. 제곱한 뒤에는 $2\sqrt{ab} \ge 0$ 하나만 남는다. ::: **14.** S5주차 문제 14("임의의 $\varepsilon > 0$에 대해 $\frac1n < \varepsilon$인 양의 정수 $n$이 존재한다")의 증명에서 선택법과 구성법이 협업하는 구조를 해부하시오: 바깥의 전칭은 어느 기법의 어느 문장이고, 안쪽의 존재는 어느 기법의 어느 문장인가. 그리고 $\varepsilon$을 잡기 전에 $n$을 정할 수 없는 이유를 반칙 목록의 언어로 쓰시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 증인이 $\lceil \frac1\varepsilon \rceil + 1$이라는 것은 그 증인이 $\varepsilon$의 함수라는 뜻이다. 순서를 뒤집으면 명제가 어떻게 바뀌는지 양화사를 그대로 적어 비교한다. ::: ### 도전 ●●● **15.** 명제 "$A - (B \cup C) = (A - B) \cap (A - C)$"를 증명하시오 (상등이므로 양방향 포함을 각각 선택법으로. 원소 추적에서 드모르간 법칙이 실제로 작동하는 지점에 표시할 것). :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 각 방향의 첫 문장이 무엇인지부터 정한다 — 방향이 바뀌면 자격이 바뀐다. $x \notin B \cup C$를 푸는 자리가 드모르간(1권 9주차)이 들어가는 유일한 지점이다. ::: :::{admonition} 이 문제가 미리 쓰는 도구 — 한 걸음짜리 귀류 :class: quotebox 문제 16의 자격 검증에는 아직 정식으로 배우지 않은 기법이 한 줄 필요하다. "$a \le \sqrt n$이다"를 직접 보이기 어려울 때, **반대를 가정해 모순을 끌어내는** 방식으로 대신할 수 있다: $n = ab$에서 $a$를 두 인수 중 작은 쪽으로 잡았을 때, $a > \sqrt n$이라고 해 보면 $b \ge a > \sqrt n$이므로 $n = ab > \sqrt n \cdot \sqrt n = n$이 되어 모순이 나온다. "$a$가 작은 쪽"이라는 단서가 빠지면 논증이 성립하지 않는다 — $a$가 큰 쪽이면 $a > \sqrt n$이어도 $ab$는 $n$ 그대로일 수 있다. 이 기법의 이름은 귀류법이고 정식 학습은 S11주차(1권 21주차)다. 지금은 한 줄짜리 도구로 인정하고 쓴다 — 모순이 나오면 가정한 것의 부정이 참이다. ::: **16.** 명제 "모든 정수 $n \ge 2$에 대해, $n$이 소수가 아니면 $2 \le d \le \sqrt n$인 약수 $d$가 존재한다"를 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 기법이 셋 겹친다: 바깥 전칭에 선택법, "소수가 아니면"에 조건문 서식, "약수가 존재한다"에 구성법. 증인은 합성수 분해 $n = ab$에서 작은 쪽을 고른다. 자격이 두 개($2 \le d$와 $d \le \sqrt n$)이므로 검증도 두 번이다. ::: **17.** 치환 검사의 심화. 예제 2.2의 증명문을 놓고 (a) $x_1 = 2$, $x_2 = 2$(같은 값)를 넣은 치환이 여전히 유효한 이유를 설명하시오. (b) 만약 선택 문장을 "서로 다른 실수 $x_1 \neq x_2$를 잡자"로 시작했다면 단사의 정의를 완수한 것인가 — 정의의 조건문 구조와 그 대우($x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)$)의 관계로 판정하시오 (1권 41주차 문제 20(a)의 재방문). :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown (a)는 자격에 무엇이 있는지만 보면 된다. (b)는 "합법인가"와 "같은 판인가"를 분리해서 답한다 — 동치인 명제를 증명해도 합법이지만, 사실 목록과 결론의 꼴이 달라지므로 판은 다르다. ::: **18.** (진단 종합) 다음 답안의 반칙을 전부 찾고 수리하시오. :::{container} quotebox "명제: 모든 실수 $x$와 모든 실수 $y$에 대해 $|x + y| \le |x| + |y|$이다. 증명: 임의의 실수 $x$를 잡자. $y = 0$으로 두자. 그러면 $|x + 0| = |x| = |x| + |0|$이므로 등호로 성립한다. $x$가 임의였으므로 명제가 증명되었다." ::: :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 네 칸 표를 펴 놓고, 이 답안이 $\forall y$를 어느 칸으로 다뤘는지 짚는다. 수리는 1권 17주차 문제 12의 삼각부등식 증명을 이번 주의 걸음 번호를 달아 다시 쓰는 것이다. 그 증명은 $-|x| \le x \le |x|$ 두 개를 변끼리 더해 $-b \le a \le b$ 꼴을 만든 뒤 1권 17주차 문제 11로 접는다. ::: :::{admonition} 이 문제가 미리 쓰는 도구 — 선택과 구성의 협업 :class: quotebox 문제 19는 전칭과 존재가 겹쳐 있다: "모든 $\varepsilon$에 대해 … 되는 $\delta$가 존재한다." 바깥이 선택법, 안쪽이 구성법이며, 증인 $\delta$는 $\varepsilon$의 식이어도 된다 — $\varepsilon$이 먼저 무대에 올라와 있기 때문이다. 중첩된 양화사의 정식 학습은 S8주차다. 이번 주에는 "바깥부터 벗긴다"는 순서만 지키면 된다. ::: **19.** 명제 "모든 양의 실수 $\varepsilon$에 대해, $|x - 4| < \delta$인 모든 실수 $x$에서 $|\sqrt x - 2| < \varepsilon$이 되는 양수 $\delta$가 존재한다"를 증명하시오 (1권 47주차의 $\varepsilon$-$\delta$를 이번 주의 언어로). :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 연습장에서 켤레를 곱해 $\sqrt x - 2$의 크기를 $x - 4$의 크기로 바꿔 쓴다. 분모가 2 이상이 되려면 $x \ge 0$이 보장되어야 하고, 그 보장을 위해 $\delta$에 상한을 하나 더 씌우는 것이 1권 47주차의 min 트릭이다. ::: **20.** (서술) (a) "임의의 $x$를 잡자" 한 문장이 전칭 전체를 처리하는 논리를 반칙 목록과 연결해 세 문장 이내로 서술하시오. (b) 1권에서 배운 서식 중 정체가 선택법인 것을 셋 들고 각각 한 줄로 설명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown (a)는 §1.5의 치환 검사와 §1.6의 반칙 둘(특정값 대입$\cdot$자격 초과 가정)을 잇는 문제다. 임의성이 무엇을 금지하는지부터 적고, 그 금지가 지켜지면 무엇이 가능해지는지로 잇는다. (b)는 §1.3 표의 셋째~다섯째 줄이 그대로 후보다. 각 서식의 첫 문장이 어느 자격을 선언하는지까지 적으면 한 줄이 채워진다. ::: ## 백지 재현 — 복습 프로토콜 **이번 주의 5일 루틴.** 원서와 교안을 번갈아 쓰는 순서다. | **요일** | **할 일** | |---|---| | 1일차 | 원서 Solow 5장 통독 (모르는 문장은 표시만 하고 통과) | | 2일차 | 교안 §0~§2 — 개념과 예제. 확인 상자는 연필로 먼저 답한다 | | 3일차 | 원서 재독 — 1일차에 표시한 문장을 해결하고, 원서 5장 연습문제 몇 개를 직접 시도 | | 4일차 | 교안 §3 빈칸 사다리 + §4 연습문제 20문항 | | 5일차 | 백지 재현 1차(틀 카드)$\cdot$2차(완전 백지) + 체크리스트 | 3일차의 재독에는 이번 주 특유의 요령이 있다. 원서 5장은 선택법을 "choose method"의 서식으로 제시하므로, 교안의 네 걸음 표를 손에 쥐고 원서의 각 예제를 읽으면 원서의 어느 문장이 어느 걸음인지 대응시킬 수 있다. 특히 원서가 걸음 ④를 생략한 자리를 찾아 표시해 두면, 압축된 증명에서 무엇이 지워지는지(S3주차 §1.6)를 다시 확인하게 된다. **1차 시도 — 틀 카드 허용.** 다음 세 상자만 옮겨 적은 카드를 펴 놓는다: 선택법의 절차 ①~④, 치환 검사, 반칙 목록 4종. 그 상태에서 예제 2.1의 설계표와 완성본을 처음부터 끝까지 적는다. 예제 본문과 확인 상자는 보지 않는다. **2차 시도 — 완전 백지.** 아무것도 보지 않고 수행한다. - [ ] 선택법의 절차 ①~④, 치환 검사, 반칙 목록 4종을 백지에 썼다. - [ ] 전칭 감지 표(드러난 전칭 + 숨은 전칭 네 줄)를 재현했다. - [ ] 네 칸 표(가정/결론 $\times$ $\forall$/$\exists$)를 그렸다 — S7주차 예고 칸까지. - [ ] 예제 2.1$\cdot$2.2$\cdot$2.3을 처음부터 끝까지 재현했다 — 2.3은 표 없이 산문 한 단락으로. - [ ] 진단 소절의 두 시도를 각각 어느 반칙인지까지 짚어 진단했다. - [ ] $\subseteq$$\cdot$단사$\cdot$$\varepsilon$-N의 첫 문장이 왜 선택법인지 각각 한 줄로 설명했다. - [ ] 원서 5장을 완독했고, 1일차에 표시한 문장이 전부 해결되었다. **막힌 지점별 처방.** 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다. | **막힌 지점** | **처방** | |---|---| | 첫 문장이 나오지 않는다 | §1.1과 §1.4의 걸음 ① — 첫 문장은 창작이 아니라 자격을 그대로 옮겨 적는 일이다 | | 자격에 무엇까지 적어야 할지 모르겠다 | §1.2의 세 요소 표 — 명제에서 대상$\cdot$자격$\cdot$사건을 먼저 갈라 적는다 | | 낱말 "모든"이 없는 명제에서 시작을 못 한다 | §1.3의 전칭 감지 표 — 정의를 펴서 숨은 전칭을 노출한다 | | 선택 문장은 썼는데 그다음이 나오지 않는다 | §1.4의 걸음 ② — 사실 목록과 교체된 결론을 실제로 적어 놓고 S3주차의 분석표를 그린다 | | 내 답안이 반칙인지 아닌지 판정이 안 된다 | §1.5의 치환 검사 — 자격을 만족하는 값을 하나 넣어 줄마다 읽는다 | | 전칭이 두 겹일 때 헷갈린다 | 예제 2.2 — 대표를 둘 잡고, 사건이 조건문이면 그 안에서 서식을 한 번 더 연다 | | 전칭과 존재가 섞이면 순서를 놓친다 | §1.7의 네 칸 표와 문제 14 — 바깥부터 벗기고, 뒤의 것은 앞의 것에 의존해도 된다 | 하나라도 실패하면 그 항목만 다시 적고 다음날 재시도한다. ## 해설 각 해설은 **접근**(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 **풀이**로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 1 (1) $x > 0$ (2) 양의 (3) $x > 0$이므로 곱해도 부등호 방향이 보존된다 — (W3) (4) $x - 1$ (5) $x$ (양수이므로 방향 보존 — (W3)) (6) $1$ ※ (6)의 근거: $(x-1)^2 \ge 0$에서 등호는 밑이 0일 때뿐이라는 (W1)의 등호 조건이다. 사슬을 거꾸로 되짚으면 원래 부등식의 등호도 $x = 1$일 때뿐임이 따라 나온다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 2 (1) 실수 (2) 실수 (그것뿐 — 자격 초과 금지) (3) $\frac34$ (4) 완전제곱으로 묶기 — 근거 ③ (5) $0$ (6) (W1) — 모든 실수의 제곱은 0 이상 (7) 임의 ※ 훈련 1과 훈련 2의 뼈대가 같다는 것을 확인해 둔다. 자격이 있으면 그것이 사실 목록에 들어가고, 자격이 없으면 목록에 "실수"만 들어간다. 그 차이가 훈련 1의 (W3) 사용과 훈련 2의 (W1) 단독 사용을 가른다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 3 (1) $\forall x : x \in A \Rightarrow x \in C$ (2) "$x \in A$를 임의로 잡자." (자격은 $x \in A$) (3) $x \in A$ (4) 이 $x$에 대해 $x \in C$ (5) $A \subseteq B$이고 $x \in A$이므로 $x \in B$이다. $B \subseteq C$이고 $x \in B$이므로 $x \in C$이다. (6) $x$가 임의였으므로 $A \subseteq C$이다. $\blacksquare$ (7) 가정의 $\forall$ — 특수화 (S7주차) ※ 걸음 ③의 두 문장이 각각 가정의 전칭을 이 $x$에 적용한 것이다. 1권 27주차에서 "$A \subseteq B$이므로 $x \in B$"라고 한 줄에 적고 넘어갔던 그 동작이, S7주차에서 특수화라는 이름을 얻는다. 지금은 그 자리가 어디인지 짚을 수 있으면 된다. ### 문제 1 **접근.** 세 상자를 순서대로 재현한 뒤 원문과 대조하는 자가 채점 문제다. 상자를 통째로 외우려 하지 말고, 절차는 네 동사로, 반칙은 네 낱말로 뼈대를 먼저 세운 뒤 살을 붙인다. 뼈대만 남아 있으면 잊은 부분을 재구성할 수 있다. **풀이.** 절차: ① 자격을 갖춘 대상을 임의로 잡는다 ② 자격을 사실 목록에 넣고 결론을 그 대상에 대한 문장으로 교체한다 ③ 교체된 판을 이긴다 ④ 임의성을 근거로 전칭 결론을 선언한다. 치환 검사: 완성된 증명문의 문자 자리에 자격을 만족하는 값을 아무거나 넣어 읽었을 때 모든 줄이 참이면, 그 글은 그 값에 대한 완전한 증명이다. 자격 외의 성질을 쓰지 않은 증명은 이 검사를 자동으로 통과하고, 그래서 한 편의 글이 전부를 처리한다. 반칙: 특정값 대입 / 자격 초과 가정 / 문자 재사용 / 선잡기. **복기.** 네 걸음 중 실전에서 가장 자주 빠지는 것은 ②다. ①과 ③만 적고 ②를 머릿속에서 처리하면, 자격 밖의 정보가 목록에 슬쩍 들어가도 알아채지 못한다. 종이에 사실 목록을 따로 적는 습관이 반칙 검열의 절반이다. ### 문제 2 **접근.** 낱말이 있는 것부터 처리하고, 없는 것은 정의를 펴서 노출한다. (a)와 (d)는 총칭문이므로 "모든 …에 대해"를 복원해 적고, (b)와 (c)는 정의 자체가 전칭이다. (d)는 무대가 정수라는 데 주의한다 — 같은 문장이 실수 무대에서는 거짓이 된다. **풀이.** (a) $\forall n \in \mathbb{Z} : n$이 짝수 $\Rightarrow n^3$이 짝수. 대상: 정수 $n$ / 자격: $n$은 짝수 / 사건: $n^3$은 짝수. (b) $\forall x : x \in A - B \Rightarrow x \in A$. 대상: $x$ / 자격: $x \in A - B$ / 사건: $x \in A$. (c) $\forall x_1 \forall x_2 : x_1 < x_2 \Rightarrow x_1^3 < x_2^3$. 대상: 실수 $x_1, x_2$ / 자격: 실수라는 것뿐 / 사건: 조건문 "$x_1 < x_2$이면 $x_1^3 < x_2^3$". (d) $\forall n \in \mathbb{Z} : n \le n^2$. 대상: 정수 $n$ / 자격: 정수라는 것뿐 / 사건: $n \le n^2$. **참이다.** 증명은 경우 나누기로 한다 (1권 17주차). 정수 $n$을 임의로 잡자. $n \ge 1$이면 양변에 $n > 0$을 곱해 $n \cdot n \ge 1 \cdot n$, 곧 $n^2 \ge n$이다 ((W3)). $n \le 0$이면 $n \le 0 \le n^2$이다 ((W1)과 (W6)). 두 경우가 정수 전체를 덮으므로 $n$이 임의였고 명제가 성립한다. $\blacksquare$ **복기.** (d)의 무대를 실수로 바꾸면 거짓이 된다 — $x = \frac12$에서 $\frac14 < \frac12$. 같은 식이라도 대상의 범위가 달라지면 진위가 달라진다(1권 10주차의 무대 조각 — 그 주차의 확인 상자가 하필 이 예를 $S = \mathbb{N}$과 $S = \mathbb{R}$로 나누어 판정이 갈리는 것을 보였다). 분해표의 첫 칸인 "대상"을 적는 일이 형식적 절차가 아닌 이유가 이것이다. ### 문제 3 **접근.** 결론이 포함 관계이므로 §1.3의 표대로 펴면 $\forall x : x \in A - B \Rightarrow x \in A$이다. 자격은 $x \in A - B$이므로 첫 문장이 정해지고, 그다음은 차집합의 정의를 푸는 일뿐이다. "그리고"로 묶인 둘 중 한쪽만 꺼내면 도착점이다. **풀이.** **증명.** $x \in A - B$를 임의로 잡자 [걸음 ① — 자격: $A - B$의 원소]. 사실 목록에 "$x \in A - B$"가 들어가고, 결론이 "이 $x$에 대해 $x \in A$"로 교체된다 [걸음 ②]. 차집합의 정의에 의해 $x \in A$이고 $x \notin B$이다 [걸음 ③, 근거 ①]. 특히 $x \in A$이다 ["그리고"의 한쪽 꺼내기 — 1권 7주차의 $\land$ 진리표]. $x$가 임의였으므로 $A - B \subseteq A$이다. $\blacksquare$ [걸음 ④] **복기.** 1권 27주차에서 이 증명을 서식으로 배웠을 때와 글자는 거의 같다. 달라진 것은 그 서식의 각 문장이 어느 걸음인지 이름을 갖게 되었다는 점이고, 그래서 낯선 명제에서 같은 서식을 스스로 만들어 낼 수 있게 되었다는 점이다. **검산.** $A = \{1,2,3\}$, $B = \{3,4\}$로 두면 $A - B = \{1,2\}$이고 실제로 $\{1,2\} \subseteq A$이다 ✓ (검산은 증명이 아니지만 진술을 잘못 읽었을 때 걸러 준다). ### 문제 4 **접근.** 훈련 1은 자격이 있는 전칭(양의 실수)에서 그 자격이 어느 근거에 쓰이는지를 묻고, 훈련 2는 자격이 없는 전칭에서 (W1)만으로 끝나는 형태를 묻는다. 훈련 3은 결론과 가정 양쪽에 전칭이 있을 때 무엇을 잡는지를 묻는다. 세 훈련의 초점이 다르므로, 막힌 훈련이 어느 것인지가 곧 다시 볼 절을 알려 준다. **풀이.** 답은 위의 "빈칸 사다리 — 훈련 1 $\cdot$ 2 $\cdot$ 3" 항목과 대조한다. 채점 시 다음 세 가지를 따로 본다: ① 걸음 ①의 자격이 명제의 자격과 정확히 일치하는가 ② 근거 자리에 (W1)$\cdot$(W3)$\cdot$근거 ③ 같은 이름이 실제로 적혔는가 ③ 걸음 ④가 빠지지 않았는가. **복기.** 훈련 3에서 "집합 $A$를 임의로 잡자"라고 적는 오답이 나오기 쉽다. 결론 $A \subseteq C$를 편 꼴의 대상은 집합이 아니라 **원소**다. 무엇을 잡는지는 결론을 표준형으로 편 뒤 첫 양화사가 무엇에 걸려 있는지로 정해진다. ### 문제 5 **접근.** 재현은 네 걸음의 순서를 손으로 밟는 일이고, 치환 검사는 완성된 글의 $x$ 자리에 $-5$를 전부 넣어 줄마다 읽는 일이다. 계산 결과만 적으면 검사가 아니다 — 어느 줄이 어떻게 읽히는지를 줄 단위로 적어야 검사가 된다. **풀이.** 재현본은 예제 2.1의 완성본과 같다. 치환 검사를 줄마다 실행하면 다음과 같다. 첫째 줄 "실수 $x$를 임의로 잡자"는 "$-5$는 실수이다"로 읽히고 참이다 (자격 충족). 둘째 줄은 "$(-5)^2 - 6(-5) + 10 = (-5-3)^2 + 1$", 곧 $25 + 30 + 10 = 64 + 1$이고 양변 모두 $65$이므로 참이다. 셋째 줄은 "$(-8)^2 \ge 0$이므로 $64 + 1 \ge 1 > 0$"으로 읽히고 참이다. 따라서 바꿔 읽은 글은 $x_0 = -5$에 대한 완전한 증명이다. **복기.** 검사에서 확인한 것은 결론 $65 > 0$이 아니라, **각 줄의 근거가 $-5$에서도 그대로 유효하다**는 점이다. 결론만 맞는지 보는 것은 값 하나를 검산한 것에 지나지 않는다. 치환 검사의 대상은 결론이 아니라 근거 사슬이다. ### 문제 6 **접근.** 예제 2.2의 다섯 줄을 순서대로 재현한다. 논평의 초점은 "다른 문자를 쓰면 다른 값이라는 뜻인가"가 아니라 "같은 문자를 쓰면 무엇이 강제되는가"다. 표기가 무엇을 강제하는지부터 적고, 그 강제가 정의의 어느 부분을 지우는지로 잇는다. **풀이.** 재현본은 예제 2.2의 완성본과 같다. 논평의 예시는 다음과 같다. "두 대상에 같은 문자를 쓰면 $x_1 = x_2$가 표기에 의해 강제된다. 그런데 단사의 정의가 검사하려는 상황은 '두 입력이 같은 출력을 낼 때 그 둘이 같은가'이고, 입력이 같다는 것이 처음부터 강제되면 검사할 상황 자체가 사라진다. 결국 증명한 것은 '같은 값을 넣으면 같은 값이 나온다'는 공허한 사실뿐이고, 단사의 정의는 하나도 확인되지 않는다." **복기.** 문자 재사용 반칙은 1권 1주차 문제 6에서 $m = 2k$, $n = 2k$로 적어 "짝수 둘의 합은 4의 배수"라는 거짓을 증명해 버린 것과 같은 구조다. 소재가 짝수에서 함수로 바뀌었을 뿐, 표기가 몰래 등식을 하나 얹는다는 점은 같다. ### 문제 7 **접근.** 직접 계산은 완전제곱 한 번이다 — 상수를 어떻게 가르는지만 정하면 끝난다. 인용 방식은 S3주차 문제 18의 결과 $a^2 + ab + b^2 \ge 0$에 $a = x$, $b = 1$을 넣는 것인데, 그것이 주는 것은 $\ge 0$이고 목표는 $> 0$이다. 이 간격을 메우려면 등호 조건까지 인용해야 한다. 기성 결과를 가져다 쓸 때 결론뿐 아니라 등호 조건까지 규격을 확인하는 습관이 이 문제의 요점이다 (S4주차 문제 19의 규격 확인 비용). **풀이.** **방식 1 (직접 계산).** 실수 $x$를 임의로 잡자 [걸음 ①]. 그러면 $x^2 + x + 1 = \left(x + \frac12\right)^2 + \frac34$이다 (전개 검산: $x^2 + x + \frac14 + \frac34 = x^2 + x + 1$ ✓). 첫 항은 (W1)에 의해 0 이상이므로 좌변은 $\frac34$ 이상이고, 따라서 $0$보다 크다. $x$가 임의였으므로 명제가 성립한다. $\blacksquare$ **방식 2 (인용).** S3주차 문제 18은 "모든 실수 $a, b$에 대해 $a^2 + ab + b^2 \ge 0$이고, 등호는 $a = b = 0$일 때뿐"이라고 말한다. 실수 $x$를 임의로 잡고 $a = x$, $b = 1$로 두면 $x^2 + x + 1 \ge 0$을 얻는다. 여기서 등호가 성립하려면 $a = b = 0$, 곧 $x = 0$이고 동시에 $1 = 0$이어야 하는데 이는 불가능하다. 따라서 부등호는 순부등호이고 $x^2 + x + 1 > 0$이다. $x$가 임의였으므로 명제가 성립한다. $\blacksquare$ **복기.** 방식 2에서 $a = x$, $b = 1$을 "넣은" 동작은 가정 쪽 전칭을 쓴 것이므로, 네 칸 표의 마지막 칸에 해당한다. S7주차의 특수화가 여기서 예고편으로 한 번 등장한다. 기성 결과의 인용은 언제나 이 동작이다. ### 문제 8 **접근.** 결론이 포함 관계이므로 첫 문장은 자격 $x \in A \cap B$의 선언이다. 본문은 교집합의 정의를 풀어 "그리고"의 한쪽을 꺼낸 뒤, 그것으로 합집합의 "또는"을 켜는 두 걸음이다. S2주차 문제 11에서 후진의 답이 이 서식이라고 확인했던 그 자리를, 이번 주에 정식 이름을 달아 완성하는 문제다. **풀이.** **증명.** $x \in A \cap B$를 임의로 잡자 [걸음 ① — 자격: $A \cap B$의 원소]. 사실 목록: $x \in A \cap B$. 교체된 결론: 이 $x$에 대해 $x \in A \cup B$ [걸음 ②]. 교집합의 정의에 의해 $x \in A$이고 $x \in B$이다 [근거 ①]. 특히 $x \in A$이다 ["그리고"의 한쪽 꺼내기 — 1권 7주차의 $\land$ 진리표]. 그러면 "$x \in A$ 또는 $x \in B$"가 참이므로 [한쪽이 참이면 "또는"이 참 — 1권 7주차의 $\lor$ 진리표와 1권 5주차의 합집합 정의], 합집합의 정의에 의해 $x \in A \cup B$이다. $x$가 임의였으므로 $A \cap B \subseteq A \cup B$이다. $\blacksquare$ [걸음 ④] **복기.** 이 증명에서 정보는 오히려 남는다 — $x \in B$를 쓰지 않고도 끝났다. 결론이 "또는"이면 재료 중 하나만 있으면 되기 때문이다. 가진 정보를 전부 써야 한다는 생각은 증명을 늘리기만 한다. 무엇을 쓸지는 결론이 정한다. ### 문제 9 **접근.** 자격이 "홀수"이므로 걸음 ②에서 $n = 2k+1$을 얻는다. 목표는 $8 \times (\text{정수})$ 꼴이므로 $n^2 - 1$을 인수분해해 2를 최대한 꺼낸다. $(n-1)(n+1) = (2k)(2k+2) = 4k(k+1)$까지 오면 4는 확보되고, 남은 2는 $k(k+1)$이 짝수라는 사실에서 나온다. 그 사실이 S5주차 문제 3(a)에서 이미 증명한 부품이므로 근거 ④로 인용한다. **풀이.** **증명.** 홀수 $n$을 임의로 잡자 [걸음 ① — 자격: 홀수]. 홀수의 정의에 의해 $n = 2k+1$인 정수 $k$가 존재한다 [걸음 ②$\cdot$③, 근거 ①]. 그러면 $$ n^2 - 1 = (n-1)(n+1) = (2k)(2k+2) = 4k(k+1) $$ 이다 (근거 ③). $k(k+1) = k^2 + k$는 짝수이므로 [S5주차 문제 3(a) — 근거 ④] $k(k+1) = 2m$인 정수 $m$이 존재한다. 따라서 $n^2 - 1 = 4 \cdot 2m = 8m$이고 $m$이 정수이므로 $8 \mid (n^2 - 1)$이다. $n$이 임의였으므로 모든 홀수에 대해 성립한다. $\blacksquare$ **검산.** $n = 7$이면 $n^2 - 1 = 48 = 8 \times 6$ ✓. $n = 9$이면 $80 = 8 \times 10$ ✓. **복기.** 이 증명의 실질은 "부품 하나를 인용해 계산 한 줄을 아꼈다"가 아니라, **경우 나누기를 부품 안에 넣어 두었다**는 것이다. $k(k+1)$이 짝수라는 부품은 $k$의 홀짝을 나누어 증명한 것이었고, 그 나누기를 여기서 다시 할 필요가 없어졌다. 증명한 명제를 쌓아 올린다는 것이 실제로 하는 일이 이것이다. ### 문제 10 **접근.** 증가함수의 정의를 펴면 대상이 둘이고 사건이 조건문이므로, 예제 2.2와 같은 배치다. 조건문 가정 $x_1 < x_2$를 목록에 넣은 뒤 차 $x_2^3 - x_1^3$의 부호를 본다 (1권 16주차의 차-제곱 전략). 인수분해하면 두 인수의 부호를 따로 판정할 수 있고, 둘째 인수의 판정에 S3주차 문제 18이 쓰인다. 다만 그 결과는 $\ge 0$이므로 0이 되는 경우를 배제하는 한 줄이 필요하다. **풀이.** **증명.** 실수 $x_1$과 $x_2$를 임의로 잡고 [걸음 ①], $x_1 < x_2$라 가정하자 [사건이 조건문이므로 그 가정을 목록에 추가 — 걸음 ②]. 그러면 $$ x_2^3 - x_1^3 = (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_2 x_1 + x_1^2) $$ 이다 (전개 검산: $x_2^3 + x_2^2 x_1 + x_2 x_1^2 - x_1 x_2^2 - x_2 x_1^2 - x_1^3 = x_2^3 - x_1^3$ ✓). 첫 인수는 가정에 의해 양수다. 둘째 인수는 S3주차 문제 18에 의해 0 이상이고, 0이 되는 것은 $x_1 = x_2 = 0$일 때뿐인데 이는 가정 $x_1 < x_2$에 어긋나므로 배제된다. 따라서 둘째 인수는 양수다. 양수의 곱은 양수이므로 ((W4)) $x_2^3 - x_1^3 > 0$, 곧 $x_1^3 < x_2^3$이다. $x_1$과 $x_2$가 임의였으므로 $f(x) = x^3$은 증가함수이다. $\blacksquare$ [걸음 ④] **복기.** 조건문 가정이 여기서 두 번 일한다 — 첫 인수의 부호를 주고, 둘째 인수의 등호 경우를 배제한다. 가정이 쓰이는 자리가 계산 재료뿐이라고 생각하면 둘째 쓰임을 놓친다. **등호 경우 배제도 가정의 정당한 소비처**라는 것을 기억해 둔다. ### 문제 11 **접근.** 걸음 ①은 제대로 적혀 있다("임의의 정수 $n$을 잡자"). 문제는 바로 다음 줄이다. "$n = 2k$라 하자"는 자격("정수")에서 따라 나오는 문장이 아니라 짝수라는 성질을 새로 얹는 문장이므로, §1.6의 구분 기준에 걸린다. 수리 방향은 두 갈래인데, 두 갈래가 곧 S3주차 문제 16에서 만든 두 분석표다. **풀이.** 반칙은 **자격 초과 가정**이다. 자격은 "정수"뿐인데 짝수 표현을 부여했으므로, $n_0 = 3$을 넣으면 둘째 줄부터 치환이 깨진다. 홀수 입력이 증명에서 통째로 빠져 있다. **수리 1 (경우 보강).** 정수 $n$을 임의로 잡자. 모든 정수는 짝수이거나 홀수이다 (1권 33주차의 나눗셈 정리; 1권 17주차 이후 인정하고 써 온 사실). 경우 1: $n = 2k$인 정수 $k$가 존재한다. 그러면 $n^2 + n = 4k^2 + 2k = 2(2k^2 + k)$이고 $2k^2 + k$는 정수이므로 짝수다. 경우 2: $n = 2k+1$인 정수 $k$가 존재한다. 그러면 $n^2 + n = (4k^2 + 4k + 1) + (2k + 1) = 4k^2 + 6k + 2 = 2(2k^2 + 3k + 1)$이고 괄호 안이 정수이므로 짝수다. 두 경우가 정수 전체를 덮고 각각 완결되었으며, $n$이 임의였으므로 명제가 성립한다. $\blacksquare$ **수리 2 (경로 변경).** 정수 $n$을 임의로 잡자. $n^2 + n = n(n+1)$은 연속한 두 정수의 곱이고, 연속한 두 정수의 곱은 짝수이므로 (S5주차 문제 3(a) — 근거 ④) $n^2 + n$은 짝수다. $n$이 임의였으므로 명제가 성립한다. $\blacksquare$ **복기.** 자격 초과가 나오는 자리는 대개 "정보가 하나로 오지 않는" 지점이다. 정수라는 자격은 짝수인지 홀수인지를 정해 주지 않으므로 정의를 하나로 풀 수 없고, 그것을 못 견디고 하나를 고르면 반칙이 된다. 올바른 처방은 나누거나(수리 1), 나누기를 이미 마친 부품을 부르는 것(수리 2)이다. 두 수리가 각각 S3주차 문제 16의 (b)와 (a)에 대응한다. ### 문제 12 **접근.** 자격이 없는 두 겹 전칭이므로 걸음 ①에서 실수 둘을 잡는다. 본문은 차를 보고 완전제곱으로 내려가는 1권 16주차의 기본형이다. 등호 조건은 별도의 주장이 아니라 (W1)의 등호 조건을 사슬을 따라 되짚은 결과이고, "그때 그리고 그때뿐"이므로 양방향을 모두 확인해야 한다 (1권 25주차). **풀이.** **증명.** 실수 $x$와 $y$를 임의로 잡자 [걸음 ①]. (W1)에 의해 $(x - y)^2 \ge 0$이다. 전개하면 $x^2 - 2xy + y^2 \ge 0$이고, 양변에 $2xy$를 더하면 $x^2 + y^2 \ge 2xy$이다 ((W2)). 양변을 2로 나누면 ((W3), $2 > 0$) $$ \frac{x^2 + y^2}2 \ge xy $$ 이다. $x$와 $y$가 임의였으므로 모든 실수에 대해 성립한다. $\blacksquare$ [걸음 ④] **등호 조건.** 위 변형은 전부 가역이므로 등호가 성립하는 것은 $(x-y)^2 = 0$일 때 그리고 그때뿐이다. ($\Leftarrow$) $x = y$이면 $(x-y)^2 = 0$이므로 등호가 성립한다. ($\Rightarrow$) 등호가 성립하면 $(x-y)^2 = 0$이고, 실수의 제곱이 0이면 그 실수가 0이므로 $x - y = 0$, 곧 $x = y$이다. 따라서 등호는 $x = y$일 때 그리고 그때뿐이다. $\blacksquare$ **같은 명제임의 확인.** 1권 16주차 예제 2.1의 명제는 "모든 실수 $x, y$에 대해 $x^2 + y^2 \ge 2xy$이며 등호는 $x = y$일 때만 성립한다"였다. 양변을 2로 나누면 이 문제의 부등식이 되므로 같은 명제다. 달라진 것은 두 가지뿐이다 — 양변을 2로 나눈 것, 그리고 첫 문장에 걸음 ①의 선언을 명시한 것. **복기.** 1권에서는 "모든 실수 $x, y$에 대해"라는 구절을 읽고 곧바로 계산으로 들어갔다. 그 사이에 생략되어 있던 문장이 걸음 ①이다. 서식이 굳으면 걸음이 지워지고, 지워진 걸음은 낯선 명제 앞에서 복원되지 않는다 — 이번 주가 그 걸음을 다시 꺼내 이름을 붙이는 주다. ### 문제 13 **접근.** 자격이 "양의 실수"이므로 목록에 $a > 0$, $b > 0$이 들어간다. 근호가 있는 부등식은 양변이 모두 0 이상일 때 제곱해서 비교해도 된다 (1권 16주차 문제 17). 그 갈아타기의 조건 확인 자체가 한 줄의 근거이므로 생략하지 않는다. 제곱한 뒤에는 $2\sqrt{ab} \ge 0$ 하나만 남는다. **풀이.** **증명.** 양의 실수 $a$와 $b$를 임의로 잡자 [걸음 ① — 자격: $a > 0$, $b > 0$]. $\sqrt{a+b} \ge 0$이고 $\sqrt a + \sqrt b > 0$이므로 양변이 모두 0 이상이고, 따라서 제곱을 비교하면 원래 부등식의 방향을 알 수 있다 [1권 16주차 문제 17 — 근거 ④]. 제곱을 계산하면 $$ (\sqrt a + \sqrt b)^2 = a + 2\sqrt{ab} + b, \qquad (\sqrt{a+b})^2 = a + b $$ 이다. 두 값의 차는 $2\sqrt{ab}$이고 $a > 0$, $b > 0$이므로 $\sqrt{ab} > 0$, 따라서 $(\sqrt a + \sqrt b)^2 > (\sqrt{a+b})^2$이다. 양변이 0 이상이므로 $\sqrt a + \sqrt b > \sqrt{a+b}$이고, 특히 $\sqrt{a+b} \le \sqrt a + \sqrt b$이다. $a$와 $b$가 임의였으므로 명제가 성립한다. $\blacksquare$ [걸음 ④] **검산.** $a = b = 1$이면 좌변 $\sqrt2 \approx 1.414$, 우변 $2$ ✓. **복기.** 자격이 "양의 실수"였기 때문에 결론이 실제로는 순부등호까지 나왔다. 자격이 $a \ge 0$, $b \ge 0$이었다면 $a = 0$에서 등호가 성립하므로 $\le$가 최선이다. **자격이 결론의 강도를 정한다** — 문제가 요구한 것보다 강한 결론이 나왔다면 자격을 다시 읽어 볼 만하다. ### 문제 14 **접근.** 명제를 양화사 순서 그대로 적으면 $\forall \varepsilon > 0\ \exists n \in \mathbb{Z}^+ : \frac1n < \varepsilon$이다. 바깥이 결론의 $\forall$이므로 선택법, 안쪽이 결론의 $\exists$이므로 구성법이다. 네 칸 표의 첫 두 칸이 한 증명 안에서 위아래로 놓인 형태다. 순서를 뒤집으면 어떤 명제가 되는지를 양화사를 적어 비교하는 것이 마지막 물음의 답이다. **풀이.** **구조 해부.** 첫 문장 "$\varepsilon > 0$을 임의로 잡자"가 **선택법**의 걸음 ①이다 (자격: 양의 실수). 이 문장으로 목록에 $\varepsilon > 0$이 들어가고 결론이 "이 $\varepsilon$에 대해 $\frac1n < \varepsilon$인 양의 정수 $n$이 존재한다"로 교체된다. 둘째 문장 "$n = \lceil \frac1\varepsilon \rceil + 1$로 두자"가 **구성법**의 증인 제시다. 셋째 문장부터가 구성법의 검증 — 자격(양의 정수)과 사건($\frac1n < \varepsilon$)을 각각 확인한다. **순서를 바꿀 수 없는 이유.** 증인 $\lceil \frac1\varepsilon \rceil + 1$은 $\varepsilon$의 식이다. $n$을 먼저 정하면 그 시점에 $\varepsilon$이 무대에 없으므로 이 식을 쓸 수 없고, 하나의 $n$이 모든 $\varepsilon$을 감당해야 한다. 그 주장은 $\exists n\ \forall \varepsilon > 0 : \frac1n < \varepsilon$이 되는데, 이는 **거짓**이다 — 어떤 $n$을 내놓든 $\varepsilon = \frac1n$으로 잡으면 $\frac1n < \frac1n$이 되어 무너진다. 반칙 목록의 이름으로는 **선잡기**다. **복기.** 양화사의 순서는 의존 관계의 문법이다. $\forall$ 뒤에 오는 $\exists$의 증인은 앞 변수의 함수여도 되고, 그것이 이 명제를 참으로 만드는 유일한 길이다. 순서를 바꾸면 표기가 아니라 명제가 바뀐다 (1권 10주차의 핵심 문장). 중첩된 양화사의 정식 학습은 S8주차다. ### 문제 15 **접근.** 상등이므로 양방향 포함을 각각 증명한다 (1권 27주차). 방향이 바뀌면 자격이 바뀌므로 첫 문장도 각각 새로 정한다. 왼쪽에서 오른쪽으로 갈 때 $x \notin B \cup C$를 푸는 자리가 드모르간이 들어가는 유일한 지점이고, 반대 방향에서는 같은 법칙을 반대로 쓴다. **풀이.** **($\subseteq$) 방향.** $x \in A - (B \cup C)$를 임의로 잡자 [걸음 ①]. 차집합의 정의에 의해 $x \in A$이고 $x \notin B \cup C$이다. 뒤의 것은 "$x \in B$ 또는 $x \in C$"의 부정이므로, 드모르간 법칙에 의해 $x \notin B$ **그리고** $x \notin C$이다 [1권 9주차 — 근거 ④, 이 방향에서 드모르간이 작동하는 지점]. 그러면 $x \in A$이고 $x \notin B$이므로 $x \in A - B$이고, $x \in A$이고 $x \notin C$이므로 $x \in A - C$이다. 따라서 $x \in (A-B) \cap (A-C)$이다. $x$가 임의였으므로 이 방향의 포함이 성립한다. **($\supseteq$) 방향.** $x \in (A-B) \cap (A-C)$를 임의로 잡자 [걸음 ①]. 교집합과 차집합의 정의를 풀면 $x \in A$, $x \notin B$, $x \notin C$이다. 뒤의 둘에 드모르간 법칙을 반대 방향으로 쓰면 "$x \in B$ 또는 $x \in C$"가 거짓, 곧 $x \notin B \cup C$이다. 따라서 $x \in A - (B \cup C)$이다. $x$가 임의였으므로 이 방향의 포함도 성립한다. 양방향이 성립하므로 두 집합은 같다. $\blacksquare$ **검산.** $A = \{1,2,3,4\}$, $B = \{2\}$, $C = \{3\}$이면 좌변은 $\{1,4\}$이고, 우변은 $\{1,3,4\} \cap \{1,2,4\} = \{1,4\}$ ✓. **복기.** 집합 항등식의 증명은 **선택법 두 번과 논리 법칙 하나**의 합성이다. 새로 배울 것은 없고, 1권 27~28주차에서 하던 원소 추적이 이번 주의 걸음 번호를 얻었을 뿐이다. 두 방향의 본문이 거의 대칭인 것은 드모르간이 동치이기 때문이고, 그래서 방향마다 같은 법칙을 반대로 읽는다. ### 문제 16 **접근.** 기법이 셋 겹친다. 바깥 전칭에 선택법, "소수가 아니면"에 조건문 서식, "약수가 존재한다"에 구성법이다. 증인은 합성수 분해 $n = ab$에서 작은 쪽을 고르고, 자격이 $2 \le d$와 $d \le \sqrt n$ 둘이므로 검증도 두 번이다. 둘째 자격은 직접 보이기 어려우므로 상자에서 예고한 한 걸음짜리 귀류로 처리한다. **풀이.** **증명.** 정수 $n \ge 2$를 임의로 잡고 [걸음 ①], $n$이 소수가 아니라고 가정하자 [사건이 조건문이므로 가정을 목록에 추가]. $n \ge 2$이고 소수가 아니므로 $n$은 $n = ab$ ($a > 1$, $b > 1$인 정수)로 쓸 수 있다. 필요하면 이름을 바꿔 $a \le b$라 해도 된다. 여기서 $d = a$로 두자 [구성법 — 증인 제시]. 자격 검증 ①: $a$는 정수이고 $a > 1$이므로 $a \ge 2$이다 ✓ 자격 검증 ②: $a \le \sqrt n$임을 보인다. 만약 $a > \sqrt n$이라면 $b \ge a > \sqrt n$이므로 $n = ab > \sqrt n \cdot \sqrt n = n$이 되어 $n > n$이라는 모순이 나온다. 따라서 $a \le \sqrt n$이다 ✓ [한 걸음짜리 귀류] 사건 검증: $n = ab$이므로 $a \mid n$, 곧 $d \mid n$이다 ✓ 따라서 $2 \le d \le \sqrt n$인 약수 $d$가 존재한다. $n$이 임의였으므로 명제가 성립한다. $\blacksquare$ **검산.** $n = 91 = 7 \times 13$이면 $d = 7$이고 $\sqrt{91} \approx 9.54$이므로 $2 \le 7 \le 9.54$ ✓ (S5주차 문제 3(c)에서 91을 작은 소수로 차례로 나누어 합성수로 판정한 것과 이어진다). **복기.** 이 명제는 소수 판정에서 $\sqrt n$까지만 나눠 보면 되는 이유를 정식화한 것이다. $n$이 $\sqrt n$ 이하의 약수를 갖지 않으면 소수라는 뜻이므로, 시험 나눗셈의 범위가 $\sqrt n$에서 끊긴다. 한 문제에서 기법 넷이 협업하는데, 각 기법이 담당하는 문장이 정확히 하나씩이라는 점을 확인해 둔다 — 기법은 섞어 쓰되 자리는 겹치지 않는다. ### 문제 17 **접근.** (a)는 자격에 무엇이 있는지만 보면 된다. 자격이 "실수"뿐이라면 같은 값도 자격을 만족하므로 치환이 유효하다. (b)는 "합법인가"와 "같은 판인가"를 분리해서 답한다. 대우는 원명제와 동치이므로 대우를 증명해도 합법이지만(1권 9주차), 사실 목록과 결론의 꼴이 달라지므로 걸음 ②가 만드는 판은 다르다. **풀이.** (a) 자격은 "실수"뿐이고 $2$는 실수이므로, $x_1$과 $x_2$ 자리에 모두 $2$를 넣는 치환은 합법이다. 바꿔 읽으면 "$f(2) = f(2)$라 가정하자. 정의에 의해 $3 \cdot 2 + 5 = 3 \cdot 2 + 5$, 곧 $11 = 11$이다. 양변에서 5를 빼고 3으로 나누면 $2 = 2$이다"가 된다. 모든 줄이 참이므로 치환 검사를 통과한다. 내용이 공허해 보이지만 그것이 문제가 되지 않는다 — 치환 검사는 각 줄이 참인지를 묻지, 흥미로운지를 묻지 않는다. 오히려 자격에 "서로 다르다"가 없는데 같은 값을 배제했다면 그것이 자격 초과였을 것이다. (b) "$x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)$"는 단사 정의의 **대우**다. 대우는 원명제와 논리적으로 동치이므로(1권 9주차), 그 꼴로 증명해도 단사 증명으로 합법이고 정의를 완수한 것이 맞다. 다만 판은 다르다. 원판에서는 목록에 등식 $f(x_1) = f(x_2)$가 들어가고 결론이 등식 $x_1 = x_2$인데, 대우판에서는 목록에 부등식 $x_1 \neq x_2$가 들어가고 결론이 부등식 $f(x_1) \neq f(x_2)$가 된다. $f(x) = 3x+5$처럼 간단한 함수에서는 대우판도 한 줄로 끝나지만, 일반적으로 등식은 대입하고 변형할 수 있는 반면 부등식은 그럴 수 없어서 원판이 표준 서식으로 굳었다. **복기.** 1권 41주차 문제 20(a)가 "단사 증명 서식이 왜 대우 꼴인가"라고 물은 것은 직관적 표현("서로 다른 입력은 서로 다른 출력을 낸다")을 기준으로 삼은 어법이다. 정의 41.1이 등식형을 정의로 적어 두었으므로 이 교안에서는 등식형이 정의이고 부등식형이 대우다 — 어느 쪽을 정의로 두든 둘은 동치이므로 어법의 차이일 뿐이고, 문제 20(a)의 답은 어느 어법에서도 같다. 두 꼴 중 등식형이 표준 서식으로 굳은 이유는 논리적 필연이 아니라 **작업의 편의** 때문이고, 편의의 정체는 등식이 부등식보다 다루기 쉽다는 것이다. 부정형을 정면으로 다루는 기술은 S10주차에서 배운다. ### 문제 18 **접근.** 네 칸 표를 펴 놓고 이 답안이 $\forall y$를 어느 칸으로 다뤘는지 짚는다. "$y = 0$으로 두자"는 결론의 $\exists$에 쓰는 문장인데, 여기서 $y$는 결론의 $\forall$에 묶여 있다. 칸을 착각한 것이 특정값 대입 반칙의 정체다. 수리는 두 대상을 모두 임의로 잡고 1권 17주차 문제 12의 증명을 이번 주의 걸음 번호를 달아 다시 쓰는 것이다. 그 증명은 케이스로 나누지 않고 보조정리 하나로 케이스를 흡수한다 — $-b \le a \le b$ 꼴을 만든 뒤 1권 17주차 문제 11로 접는 길이다. **풀이.** **반칙 식별.** $x$에 대한 걸음 ①은 옳게 적혔지만, $y$에 대해서는 걸음 ①이 없고 대신 "$y = 0$으로 두자"라는 구성법의 문장이 놓였다. 네 칸 표에서 **결론의 $\forall$**(선택의 의무 — 값을 내가 고를 수 없다)를 **결론의 $\exists$**(구성의 권리 — 값을 내가 고른다)로 착각한 것이다. 그 결과 확보된 것은 $y_0 = 0$인 경우뿐이고, 나머지 $y$ 전부는 검증되지 않았다. 반칙 이름으로는 특정값 대입이며, 마지막 줄의 "$x$가 임의였으므로"는 $y$에 대해서는 근거가 되지 못한다. **수리.** 실수 $x$와 $y$를 임의로 잡자 [걸음 ① — 대표가 둘이다]. 절댓값의 성질에서 $-|x| \le x \le |x|$이고 $-|y| \le y \le |y|$이므로, 두 부등식을 변끼리 더하면 $-(|x| + |y|) \le x + y \le |x| + |y|$이다 ((W2)를 두 번 쓰고 추이성 (W6)으로 잇는 조작이다). 또 $|x| \ge 0$이고 $|y| \ge 0$이므로 $|x| + |y| \ge 0$이다. 따라서 $a = x + y$, $b = |x| + |y|$로 두고 1권 17주차 문제 11("$b \ge 0$일 때 $|a| \le b$인 것은 $-b \le a \le b$일 때뿐")의 ($\Longleftarrow$) 방향을 적용하면 $|x + y| \le |x| + |y|$이다 [1권 17주차 문제 11$\cdot$12 — 근거 ④]. $x$와 $y$가 임의였으므로 모든 실수에 대해 성립한다. $\blacksquare$ **검산.** $x = 3$, $y = -5$이면 좌변 $|{-2}| = 2$, 우변 $3 + 5 = 8$ ✓. 등호가 성립하는 것은 $x$와 $y$의 부호가 같거나 한쪽이 0일 때다 — 원래 답안이 잡은 $y = 0$은 하필 등호가 성립하는 경우여서 더 그럴듯해 보였다. **복기.** 원래 답안이 설득력 있게 읽히는 이유는 계산이 한 줄도 틀리지 않았기 때문이다. 오류는 계산이 아니라 둘째 줄의 선언에 있다. 증명 검사는 계산 검사이기 전에 선언 검사이고, 이번 주의 선언 검사 도구가 네 칸 표와 반칙 목록이다. ### 문제 19 **접근.** 바깥이 결론의 $\forall$이므로 $\varepsilon$을 임의로 잡고, 안쪽이 결론의 $\exists$이므로 $\delta$를 제시한다. 증인을 찾는 일은 연습장에서 한다 — 켤레를 곱해 $\sqrt x - 2$의 크기를 $x - 4$의 크기로 바꿔 쓰면 분모 $\sqrt x + 2$가 나온다. 이 분모가 2 이상이려면 $x \ge 0$이 보장되어야 하므로, $\delta$에 상한을 하나 더 씌운다 (1권 47주차의 min 트릭). **연습장 (답안에 적지 않는다).** 켤레를 곱하면 $|\sqrt x - 2| = \dfrac{|x-4|}{\sqrt x + 2}$이다. $x \ge 0$이면 분모가 2 이상이므로 이 값은 $\dfrac{|x-4|}2$ 이하이고, $|x-4| < \delta$이면 $\dfrac\delta2$ 미만이다. 이것이 $\varepsilon$ 이하가 되려면 $\delta \le 2\varepsilon$이면 된다. $x \ge 0$을 보장하려면 $\delta \le 4$면 충분하다($|x-4| < 4$이면 $0 < x < 8$). **풀이.** **증명.** 양의 실수 $\varepsilon$을 임의로 잡자 [걸음 ① — 선택법]. $\delta = \min\{2\varepsilon, 4\}$로 두자 [구성법 — 증인 제시]. 두 수가 모두 양수이므로 $\delta > 0$이다 ✓ (자격 검증). 사건 검증: $|x - 4| < \delta$인 실수 $x$를 임의로 잡자. $\delta \le 4$이므로 $|x-4| < 4$이고, 따라서 $0 < x < 8$이다. 특히 $x > 0$이므로 $\sqrt x$가 정의되고 $\sqrt x + 2 > 2$이다. 켤레를 곱해 정리하면 $$ |\sqrt x - 2| = \frac{|(\sqrt x - 2)(\sqrt x + 2)|}{\sqrt x + 2} = \frac{|x - 4|}{\sqrt x + 2} < \frac{\delta}{2} \le \frac{2\varepsilon}{2} = \varepsilon $$ 이다. 따라서 그런 $\delta$가 존재한다. $\varepsilon$이 임의였으므로 모든 양의 실수 $\varepsilon$에 대해 성립한다. $\blacksquare$ [걸음 ④] **검산.** $\varepsilon = 0.1$이면 $\delta = 0.2$이고, $x = 4.15$일 때 $|\sqrt{4.15} - 2| \approx |2.0372 - 2| = 0.0372 < 0.1$ ✓. **복기.** min 트릭이 하는 일은 $\delta$에 **두 가지 임무**를 동시에 시키는 것이다 — 오차를 $\varepsilon$ 아래로 누르는 임무($2\varepsilon$)와 $\sqrt x$가 정의되는 범위를 확보하는 임무($4$). 두 요구를 동시에 만족시키려면 작은 쪽을 택하면 되고, 그것이 $\min$인 이유다. 증인이 두 조건을 함께 만족해야 하는 상황에서 반복해 쓰인다. ### 문제 20 **접근.** (a)는 §1.5와 §1.6을 한 문장으로 잇는 문제다 — 임의성이 무엇을 금지하는지, 그 금지가 지켜지면 무엇이 가능한지의 순서로 적는다. (b)는 §1.3의 표 셋째 줄부터 다섯째 줄까지가 그대로 답이다. 각 서식의 첫 문장이 어느 자격을 선언하는지까지 적으면 한 줄이 채워진다. **풀이.** (예시 답안) (a) "임의로 잡자"는 이후의 모든 줄에서 자격 외의 성질을 쓰지 않겠다는 제한이고, 반칙 목록의 특정값 대입과 자격 초과 가정은 그 제한을 깬 두 유형이다. 제한이 지켜진 증명문은 문자 자리에 자격을 만족하는 어떤 값을 넣어도 각 줄의 근거가 그대로 유효하다. 그러므로 제한을 지킨 한 편의 증명이 자격을 만족하는 모든 값에 대한 증명이 된다. (b) 세 서식은 다음과 같다. 첫째, $A \subseteq B$의 원소 추적(1권 27주차) — "$x \in A$를 임의로 잡자"가 자격 $x \in A$를 선언하는 걸음 ①이다. 둘째, 단사 증명 서식(1권 41주차) — "$f(x_1) = f(x_2)$라 하자" 앞에 생략되어 있던 "실수 $x_1, x_2$를 임의로 잡자"가 두 겹 전칭에 대한 걸음 ①이다. 셋째, $\varepsilon$-N과 $\varepsilon$-$\delta$의 첫 줄(1권 45$\cdot$47주차) — "$\varepsilon > 0$이 임의로 주어졌다고 하자"가 바깥 전칭에 대한 걸음 ①이고, "임의로"라는 낱말이 그 자리에 이미 적혀 있었다. **복기.** 셋 다 1권에서 이유를 묻지 않고 외운 서식이었다. 이번 주가 한 일은 새 기법을 더한 것이 아니라, 세 서식이 하나의 절차의 서로 다른 소재였음을 확인한 것이다. 서식이 기법의 굳은 형태라는 것 — 이것이 이번 학기 내내 반복되는 구조다. --- **다음 주 예고 (S7주차):** 네 칸 표의 마지막 칸인 **가정의 $\forall$**를 다룬다. "모든 …에 대해 성립한다"가 가정 쪽에 있으면 그것은 의무가 아니라 재료이고, 내가 고른 값을 넣어 그 값에 대한 사실을 꺼낼 수 있다. 이 동작의 이름이 **특수화**다. 기술의 전부는 무엇을 넣을지 결론을 보고 고르는 것이며, 이번 주 문제 7의 방식 2에서 $a = x$, $b = 1$을 넣은 동작이 그 예고편이었다. 원서 6장을 통독하고 온다.