# S5주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설 ## 예제 — 증인을 함께 만들기 완성된 증명을 먼저 보이지 않는다. 예제 2.1은 설계부터 한 줄씩 함께 만들고, 2.2는 설계만 함께 하며, 2.3은 설계부터 스스로 한다. ### 예제 2.1 — 일차방정식의 유리수 해 **명제.** $a, b$가 유리수이고 $a \neq 0$이면, $ax + b = 0$을 만족하는 유리수 $x$가 존재한다. **설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지.** 가정이 주는 것(출발점)과 만들어야 할 것(도착점)을 먼저 수식으로 옮긴다. 도착점 쪽은 §1.2의 세 칸으로 분해한다. | | **말** | **수식 번역** | |---|---|---| | 가정 (출발점) | $a, b$는 유리수, $a \neq 0$ | 쓸 수 있는 문자는 $a$와 $b$뿐이다. $a \neq 0$은 $a$로 나누는 조작을 허용한다 | | 목표 (도착점) | $ax + b = 0$인 유리수 $x$가 존재 | 대상 $\underline{\quad(1)\quad}$ / 자격 $\underline{\quad(2)\quad}$ / 사건 $\underline{\quad(3)\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 8.** 목표 칸의 빈칸 (1)~(3)을 채우고, 검증해야 할 항목이 모두 몇 개인지 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) $x$ (2) $x$는 유리수 (3) $ax + b = 0$. 검증 항목은 자격 하나와 사건 하나로 둘이다. 여기에 제시물이 애초에 의미 있는 식인지(분모가 0이 아닌지) 확인하는 줄이 하나 더 붙는다. ::: **1단계 — 연습장에서 후보를 찾는다.** 사건 "$ax + b = 0$"은 $x$에 대한 방정식이다. 공급로 ①(역산)이 그대로 맞는 자리다. :::{container} quotebox **확인 9.** 사건을 $x$에 대해 풀어 보자. $x = \underline{\quad}$. 이 풀이 과정에서 가정의 어느 조각이 쓰였는가? ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $ax + b = 0$에서 $ax = -b$, 양변을 $a$로 나누어 $x = -\dfrac{b}{a}$. 나누는 조작에 가정 "$a \neq 0$"이 쓰였다. 가정의 조각이 어디서 소비되는지 확인해 두면, 그 조각이 없을 때 증명이 어디서 무너지는지도 알 수 있다 (문제 17이 그 실험이다). ::: **2단계 — 답안에서 증인을 제시한다.** 연습장의 역산 과정은 제출본에서 지운다. 남는 것은 배정 한 줄이다. :::{container} quotebox **확인 10.** 답안의 제시 문장을 완성해 보자: "$x = \underline{\qquad}$로 두자." 이 식의 재료는 어디에서 왔는가? ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "$x = -\dfrac{b}{a}$로 두자." 재료는 $a$와 $b$뿐이고 둘 다 가정에 등장하는 문자다 — 반칙 2를 피했다. 이어서 이 식이 의미 있는지 확인하는 줄을 붙인다: "$a \neq 0$이므로 이 식은 잘 정의된다." ::: **3단계 — 자격을 검증한다.** 제시물이 "유리수"라는 자격을 갖추었는지 확인한다. :::{container} quotebox **확인 11.** "$-\dfrac{b}{a}$는 유리수이다"의 근거를 적어 보자. 몇 번 근거인가? ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 근거 ② 닫힘성. $b$와 $a$가 유리수이고 $a \neq 0$이므로 $\dfrac{b}{a}$는 유리수이고(1권 15주차 문제 15 — 유리수를 0이 아닌 유리수로 나누면 유리수), 유리수에 $-1$을 곱한 것도 유리수다. 따라서 $x$는 유리수다. ::: **4단계 — 사건을 검증한다.** 제시물을 사건의 식에 실제로 대입한다. :::{container} quotebox **확인 12.** 사건 검증 줄을 완성해 보자: "$ax + b = a\left(\underline{\quad}\right) + b = \underline{\quad} = 0$." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $ax + b = a\left(-\dfrac{b}{a}\right) + b = -b + b = 0$. 첫 등호에서 $a \cdot \dfrac{b}{a} = b$를 쓰는데, 이 약분도 $a \neq 0$이 허용하는 조작이다. ::: :::{container} quotebox **확인 13.** 역산으로 후보를 찾았는데도 4단계의 대입 검증이 따로 필요한 이유는 무엇인가? ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 역산이 준 정보는 "해가 있다면 그 값은 $-\dfrac{b}{a}$일 수밖에 없다"는 필요조건 방향뿐이다. 존재를 가정한 채 진행한 계산이기 때문이다. "그 값이 실제로 방정식을 만족한다"는 충분조건 방향은 대입이 비로소 확립한다. S2주차의 방향 검사($B_1 \Rightarrow B$)가 존재 결론에서는 검증 의무라는 이름으로 나타난다. ::: **완성본.** 방금 만든 여섯 줄을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 물음에 스스로 답해 본다. | 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? | |---|---| | $a, b$가 유리수이고 $a \neq 0$이라 하자. | 가정을 무대에 올린다. 이후 쓸 수 있는 문자가 여기서 확정된다. | | $x = -\dfrac{b}{a}$로 두자. | 증인 제시(걸음 ②). 연습장의 역산은 지워지고 배정만 남는다. 재료가 전부 가정의 문자이므로 순환이 아니다. | | $a \neq 0$이므로 이 식은 잘 정의된다. | 제시물이 애초에 의미 있는 식인지 확인한다. 분모 확인은 언제나 여기서 한다. | | $a, b$가 유리수이고 $a \neq 0$이므로 $\dfrac{b}{a}$는 유리수이고, 그 부호를 바꾼 $x$도 유리수이다. | 자격 검증(걸음 ③ 앞부분). 근거 ② 닫힘성 — 1권 15주차 문제 15. | | $ax + b = a\left(-\dfrac{b}{a}\right) + b = -b + b = 0$이다. | 사건 검증(걸음 ③ 뒷부분). 대입 계산이 충분조건 방향을 확립한다. | | 따라서 $ax + b = 0$인 유리수 $x$가 존재한다. $\blacksquare$ | 존재 선언으로 닫는다. 검증 항목이 모두 채워졌음을 확인한 뒤에 쓴다. | ### 예제 2.2 — 두 조건을 동시에 만족하는 실수 쌍 **명제.** 실수 $a, b$에 대해 $a \neq b$이면, 두 조건 $$ as + bt = 1, \qquad s + t = 1 $$ 을 동시에 만족하는 실수 $s, t$가 존재한다. 이번에는 설계만 함께 하고 답안은 완성본으로 본다. :::{container} quotebox **확인 14.** 목표를 대상$\cdot$자격$\cdot$사건으로 분해해 보자. 예제 2.1과 달라지는 점이 하나 있다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 대상은 실수 쌍 $(s, t)$ / 자격은 "$s$와 $t$가 실수" / 사건은 "$as + bt = 1$"과 "$s + t = 1$" 두 개다. 달라지는 점은 대상이 둘이고 사건도 둘이라는 것이다. 검증 항목이 늘어난 만큼 검증 줄도 늘어난다 — 사건 검증을 첫째 식만 하고 끝내면 미완성이다. ::: :::{container} quotebox **확인 15.** 연습장에서 역산해 보자. 두 사건을 $s, t$에 대한 연립방정식으로 보고 $t$를 소거하려면 어떻게 하는가. 그 과정에서 가정 $a \neq b$는 어디에 쓰이는가? ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 둘째 식이 $t = 1 - s$를 주므로 이것을 첫째 식에 넣으면 $as + b(1 - s) = 1$, 곧 $(a - b)s = 1 - b$가 된다. 양변을 $a - b$로 나누면 $s = \dfrac{1 - b}{a - b}$이고, 다시 $t = 1 - s = \dfrac{a - 1}{a - b}$이다. 가정 $a \neq b$는 $a - b \neq 0$을 주어 마지막 나눗셈을 허용하는 조각으로 쓰인다. 이 조각이 없으면 후보 자체를 만들 수 없다. ::: **답안.** $s = \dfrac{1 - b}{a - b}$, $t = \dfrac{a - 1}{a - b}$로 두자. $a \neq b$이므로 $a - b \neq 0$이고 두 식은 잘 정의된다. 자격 검증: 실수의 사칙연산 결과는 실수이고 분모가 0이 아니므로 $s, t$는 실수이다. 첫째 사건 검증: $$ as + bt = \frac{a(1 - b) + b(a - 1)}{a - b} = \frac{a - ab + ab - b}{a - b} = \frac{a - b}{a - b} = 1 $$ 둘째 사건 검증: $$ s + t = \frac{(1 - b) + (a - 1)}{a - b} = \frac{a - b}{a - b} = 1 $$ 두 사건이 모두 성립하므로 그러한 실수 $s, t$가 존재한다. $\blacksquare$ **관찰.** 첫째 검증의 분자 $a(1-b) + b(a-1)$에서 $-ab$와 $+ab$가 소거되어 $a - b$만 남는 것이 계산의 전부다. 둘째 검증도 같은 일이 일어난다 — 분자 $(1-b) + (a-1)$에서 $-1$과 $+1$이 소거되어 역시 $a - b$가 남는다. 두 계산이 닮았다는 이유로 둘째를 "같은 요령"으로 생략하면 사건 하나가 미검증으로 남는다. ### 예제 2.3 — 이름을 붙일 수 없는 증인 **명제.** 임의의 정수 $n$에 대해, $n < p$인 소수 $p$가 존재한다. 이번에는 설계부터 스스로 해 보자. §1.4의 삭제 실험에서 본 답안이 이 명제에 대한 것이었다 — "$p = n + 1$로 두자. 그러면 $p > n$이다." :::{container} quotebox **확인 16.** 그 답안의 채점표를 만들어 보자. 아래 두 항목 각각에 대해 검증 여부와 근거를 적고, 비어 있는 칸을 지목해 보자. 자격 "$p$는 소수이다" / 사건 "$p > n$" ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 사건은 검증됨 — $n + 1 > n$이므로 성립하고 근거는 부등식의 기본 성질이다. 자격은 비어 있음 — 그리고 채울 수 없다. $n = 7$이면 $p = 8$이고 $8$은 소수가 아니다. 채점표에 빈칸이 하나라도 있으면 그 답안은 미완성이다. 수리 방향: $n$에서 소수를 만드는 식이 없으므로 공급로 ①$\cdot$②가 막혔다. 남은 것은 ③이다. ::: **증명.** 정수 $n$이 주어졌다고 하자. 소수는 무한히 많다(1권 21주차 예제 2.3). 한편 모든 소수는 2 이상이므로 $n$ 이하의 소수는 $2$와 $n$ 사이의 정수 안에 있고, 그런 정수는 유한 개이므로 $n$ 이하의 소수도 유한 개다($n < 2$이면 하나도 없다). 만약 모든 소수가 $n$ 이하라면 소수 전체가 유한 개가 되어 소수의 무한성과 어긋난다. 따라서 $n$보다 큰 소수가 적어도 하나 있고, 그중 하나를 $p$로 두면 $p$는 소수이며 $n < p$이다. $\blacksquare$ 이 증명에는 "$p = \cdots$"라는 식이 한 줄도 없다. 증인의 값을 계산해 내놓는 대신, 증인이 있다는 것을 이미 증명된 정리로 보장한 것이다. 공급로 ③의 증명은 대부분 이런 모양이고, 성숙한 존재 증명의 절반이 여기에 속한다. ### 관찰 — 세 예제의 같은 뼈대 예제 2.1, 2.2, 2.3은 공급로가 다를 뿐 걸음의 배치가 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자. | **걸음** | **예제 2.1** | **예제 2.2** | **예제 2.3** | |---|---|---|---| | 분해 (대상/자격/사건) | $x$ / 유리수 / $ax + b = 0$ | $\underline{\quad(1)\quad}$ | $p$ / 소수 / $p > n$ | | 공급로 | ① 역산 | $\underline{\quad(2)\quad}$ | $\underline{\quad(3)\quad}$ | | 제시 | $x = -\dfrac{b}{a}$ | $\underline{\quad(4)\quad}$ (증인이 쌍이다) | 식 없음 — 정리가 존재를 보장 | | 자격 검증 | 유리수의 닫힘 | 실수의 사칙연산 | $\underline{\quad(5)\quad}$ | | 사건 검증 | 대입 한 번 | 대입 두 번 | $n$ 이하가 아님을 확인 | :::{container} quotebox **확인 17.** 빈칸 (1)~(5)를 채워 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) 실수 쌍 $(s, t)$ / 둘 다 실수 / 두 식 $as + bt = 1$과 $s + t = 1$ (2) ① 역산 (대입 소거) (3) ③ 기성 존재 정리 (4) $s = \dfrac{1 - b}{a - b}$, $t = \dfrac{a - 1}{a - b}$ (5) 정리가 보장하는 대상이 이미 소수이므로 그대로 확보된다 공급로가 셋 다 다르지만 분해$\cdot$제시$\cdot$검증의 순서는 하나도 바뀌지 않았다. ::: :::{container} quotebox **확인 18.** 세 예제에서 공통으로 반복된 순서를 세 걸음으로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown ① 결론을 대상$\cdot$자격$\cdot$사건으로 분해해 검증 목록을 만든다 $\to$ ② 공급로를 골라 증인을 확보하고 답안에 제시한다 $\to$ ③ 목록의 항목을 하나씩 근거와 함께 검증하고 존재를 선언한다. ::: 방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **구성법의 3단 뼈대** ① 분해 — 대상 / 자격 / 사건으로 나누어 검증 목록을 만든다 $\to$ ② 제시 — 공급로 ①②③ 중 하나로 증인을 확보하고 "…로 두자"로 내놓는다 $\to$ ③ 검증 — 목록의 항목을 빠짐없이, 각각 근거를 들어 확인한 뒤 존재를 선언한다. ::: **§1.4의 서식과의 대응.** 백지 암기 대상이 두 벌이므로 관계를 못박아 둔다. §1.4의 서식이 답안을 쓰는 순서라면, 이 뼈대는 문제를 만난 뒤 머릿속에서 도는 순서다 — §1.4의 ①(연습장에서 후보 찾기)이 여기서는 ②(제시) 앞의 준비로 흡수되고, 그 자리에 ①분해가 들어온다. 백지 재현에서는 두 벌을 모두 쓰고 이 대응을 한 줄로 적는다. 이 뼈대는 S8주차까지 그대로 쓰인다. 바뀌는 것은 결론의 양화사가 무엇이고 그것이 몇 겹인가뿐이다. ## 빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 §6에 있다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. ### 훈련 1 ●○○ — 수식과 절차의 빈칸 **명제.** 유리수 $r, s$에 대해 $r < s$이면, $r < q < s$인 유리수 $q$가 존재한다. (1권 15주차 문제 17의 재구성) - **분해** — 대상: $q$ / 자격: $q$는 $\underline{\quad(1)\quad}$ / 사건: $\underline{\quad(2)\quad}$ - **제시** — $q = \underline{\quad(3)\quad}$으로 두자. (공급로 ②: 가정의 문자 $r, s$의 조립) - **자격 검증** — 유리수의 합을 0이 아닌 유리수 2로 나눈 것이므로 $q$는 유리수이다 (근거 ②, 1권 15주차 문제 15). - **사건 검증** — $q - r = \underline{\quad(4)\quad} > 0$이므로 $q > r$이고, $s - q = \underline{\quad(5)\quad} > 0$이므로 $q < s$이다. 두 부등식이 모두 $r < s$에서 나온다. - **결론** — 따라서 $r < q < s$인 유리수 $q$가 존재한다. $\blacksquare$ ### 훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께 이번에는 공급로 이름과 근거 문장도 빈칸이다. **명제.** $a$가 0이 아닌 유리수이면, $ab = 1$인 유리수 $b$가 존재한다. - **분해** — 대상: $b$ / 자격: $\underline{\quad(1)\quad}$ / 사건: $\underline{\quad(2)\quad}$ - **연습장** — 공급로 $\underline{\quad(3)\quad}$. 사건 $ab = 1$을 $b$에 대한 방정식으로 보고 풀면 $b = \underline{\quad(4)\quad}$. - **제시** — $b = \dfrac{1}{a}$로 두자. 잘 정의됨: 가정의 조각 $\underline{\quad(5)\quad}$이 이 나눗셈을 허용한다. - **자격 검증** — $\underline{\quad(6)\quad}$ (근거 ②, 1권 15주차 문제 15). - **사건 검증** — $ab = a \cdot \dfrac{1}{a} = \underline{\quad(7)\quad}$이므로 사건이 성립한다. - **결론** — 따라서 $ab = 1$인 유리수 $b$가 존재한다. $\blacksquare$ ### 훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고 이번에는 3단 뼈대의 각 칸을 통째로 채운다. 절댓값의 기본 성질 ($n \le |n|$ — 1권 17주차 문제 5, 그리고 거기서 함께 증명된 $-n \le |n|$)은 근거 ④로 인용해도 된다. **명제.** 임의의 정수 $n$에 대해, $n < m$인 짝수 $m$이 존재한다. - ① **분해**: $\underline{\quad(1)\quad}$ - ② **연습장** — 공급로와 증인 후보: $\underline{\quad(2)\quad}$ - ③ **제시와 자격 검증**: $\underline{\quad(3)\quad}$ - ④ **사건 검증과 결론**: $\underline{\quad(4)\quad}$ (이 훈련이 문제 9의 예행연습이다 — $n$의 부호를 모를 때 케이스를 나누지 않고 한 식으로 덮는 증인 설계.) ## 연습문제 (20문항) 해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 접근까지만 읽고 다시 시도한다. :::{admonition} 이번 주의 채점 기준 :class: quotebox 답이 아니라 근거가 점수다. 이번 주의 기본 제출물은 세 가지다: ① 분해(대상/자격/사건) ② 제시("…로 두자" 한 줄) ③ 검증 전수(항목마다 근거 포함). 증인만 적고 검증이 없으면 절반이고, 사건만 검증하고 자격을 빼면 §1.4의 삭제 실험과 같은 결함이다. 역산을 했다면 연습장과 답안을 분리해 적는다 — 답안에는 배정 한 줄만 남는다. 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다. ::: ### 기본 ●○○ **1.** [백지] 구성법 서식(①②③)과 증인의 세 공급로, 그리고 두 가지 주의(검증 전수$\cdot$순환 금지)를 쓰시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown §1.4$\cdot$§1.5$\cdot$§1.6의 상자 세 개다. 다 적은 뒤 원문과 대조할 때, 맞은 칸이 아니라 빠진 칸이 어디인지를 기록한다. ::: **2.** 다음 결론들에서 숨은 $\exists$를 노출하고 대상/자격/사건으로 분해하시오. (a) $n^2 + n$은 짝수이다. (b) $0.272727\ldots$은 유리수이다. (c) $91$은 합성수이다. (d) 방정식 $x^3 + x = 5$는 실수 해를 갖는다. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 각 낱말의 정의를 iff로 다시 쓰는 것부터 한다(S4주차의 소화 절차 ①). "합성수"와 "유리수"는 대상이 하나가 아니라 정수 **쌍**이라는 점에 주의한다. ::: **3.** 문제 2의 (a), (c)를 구성법으로 증명하시오 ((a)의 증인은 $\frac{n^2+n}2$가 아니라 — $n^2 + n = 2k$가 되는 $k$를 만드는 것이 목표다. S3주차 문제 16을 재활용할 수 있다). :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown (a) $n^2 + n = n(n+1)$로 인수분해하면 두 인수 중 하나가 짝수다. 그런데 어느 쪽이 짝수인지는 $n$에 따라 다르므로, $n$의 홀짝으로 나누어 각 경우마다 다른 $k$를 만든다. (c) $91$을 작은 소수로 차례로 나누어 본다. ::: **4.** 빈칸 사다리 훈련 1을 백지에서 완성하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 빈칸을 다시 채우는 것이 아니라 다섯 줄(분해$\cdot$제시$\cdot$자격$\cdot$사건$\cdot$결론)을 순서대로 재현하는 것이 목표다. 사건 검증이 두 조각이라는 점을 빠뜨리지 않는다. ::: **5.** 예제 2.1을 백지에 재현하시오 — 연습장(역산)과 답안(제시$\cdot$검증)의 분리 포함. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 답안에 남아야 할 줄은 여섯이다: 가정 선언 / 제시 / 잘 정의됨 / 자격 검증 / 사건 검증 / 존재 선언. 역산 계산이 답안에 남아 있으면 분리가 안 된 것이다. ::: **6.** 예제 2.3의 학생 답안에서 채점표(자격/사건 $\times$ 검증 여부)를 만들어 빈칸을 지목하고, 수리된 증명을 쓰시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 채점표는 두 행이다. 어느 행이 비었는지 지목한 뒤, 그 행을 채울 수 있는지 먼저 따져 본다. 채울 수 없다면 증인 자체를 바꿔야 하고, 그때 남는 공급로는 하나뿐이다. ::: ### 표준 ●●○ :::{admonition} 이 구간에서 처음 필요한 구분 — "많아야 하나"는 존재가 아니다 :class: quotebox "그러한 것이 **많아야 하나** 있다"는 존재를 주장하지 않는다. 주장하는 것은 "둘이 있으면 그 둘은 같다"이고, 이것은 전칭 문장이다. 따라서 구성법이 아니라 1권 26주차의 유일성 서식(둘을 가정하고 같음을 보인다)이 발동한다. "존재한다"와 "정확히 하나 존재한다"의 차이는 S13주차에서 정면으로 다룬다. ::: **7.** 명제 "임의의 실수 $x$에 대해, $y^3 = x$인 실수 $y$가 많아야 하나 존재한다"는 이번 주 기법으로 증명할 수 **없는** 부분을 포함한다 — "많아야 하나"(유일성)는 $\exists$가 아니다. 존재 부분과 유일 부분을 분리하고, 유일 부분의 증명(1권 26주차 서식: $y_1^3 = y_2^3 = x \Rightarrow y_1 = y_2$ — 인수분해 + 완전제곱)을 완성하시오. (존재 부분은 공급로 ③에 해당하므로 필요한 정리의 이름만 적으면 된다) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown $y_1^3 - y_2^3 = (y_1 - y_2)(y_1^2 + y_1 y_2 + y_2^2)$로 인수분해한 뒤, 둘째 인수가 0이 아님을 보이려 한다. 둘째 인수를 완전제곱 꼴로 다시 묶어 보자 — S3주차 문제 18과 같은 부품이다. ::: **8.** 명제 "정수 $a, b$가 홀수이면, $a^2 + b^2 = 2c$인 정수 $c$가 존재한다"를 증명하시오 — 공급로 ②(가정이 준 재료의 조립): $a = 2j+1$, $b = 2k+1$에서 $c$를 조립$\cdot$제시하고 자격(정수)$\cdot$사건(등식)을 검증하시오. **9.** 명제 "임의의 실수 $M$에 대해, $x^2 > M$인 실수 $x$가 존재한다"를 증명하시오. (역산: $M$의 부호를 모르므로 $x = \sqrt{|M|} + 1$ 같은 후보를 만든다. 검증에서 $|M| \ge M$과 $(\sqrt{|M|}+1)^2 > |M|$을 계산한다. 경우를 나누지 않고 한 식으로 끝내는 증인 설계가 목표다) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown $M$이 음수일 수도 있으므로 $\sqrt{M}$은 쓸 수 없다. 절댓값을 씌우면 제곱근 안이 항상 0 이상이 되어 자격 검증이 통과한다. 사건 검증은 $(\sqrt{|M|}+1)^2$을 전개해 $|M|$과 비교하기만 하면 된다. ::: **10.** 명제 "$f(x) = x^3 + x$로 정의된 함수는 고정점을 갖는다"(S4주차 문제 14 연계)를 증명하시오 — 방정식 $x^3 + x = x$의 역산으로 증인을 찾고 검증하시오. (이 문제의 증인에는 이름이 붙는다 — 공급로 ③이 필요 없는 경우다) **11.** 명제 "임의의 정수 $n$에 대해, 연속한 두 정수의 곱으로 $n^2 + n$을 나타낼 수 있다"를 대상/자격/사건으로 분해하면 증인이 **쌍**(두 정수)임을 확인하고 증명하시오. 이어서 — "연속한 세 정수의 곱은 6의 배수"(1권 17주차 예제 2.1$\cdot$문제 7에서 곱이 3의 배수$\cdot$2의 배수임을 각각 보였고, 둘을 합치는 근거는 1권 20주차 문제 13이다)의 존재문 버전("그 곱이 $6k$가 되는 정수 $k$가 존재한다")을 증명하시오. :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 후반은 두 부분으로 나눈다. ① 곱이 2의 배수임 — 세 정수 중 이웃한 두 개가 연속이므로 문제 3(a)를 그대로 쓴다. ② 곱이 3의 배수임 — $n$을 3으로 나눈 나머지로 세 경우를 나누어, 각 경우에서 셋 중 **누가** 3의 배수인지 지목한다. 마지막으로 두 사실을 합치는 근거가 따로 필요하다(1권 20주차 문제 13). ::: **12.** 다음 답안을 진단하시오 (순환 반칙). :::{container} quotebox "명제: $a < b$인 실수에 대해 $a < c < b$인 실수 $c$가 존재한다. 증명: $a < c < b$인 실수 $c$가 존재한다고 하자. 그러면 $c$는 $a$보다 크고 $b$보다 작다. 따라서 그런 $c$가 존재한다." (무엇을 가정했고 무엇을 보였는가? S1주차의 증명 과제 언어로 답하고, 이어서 올바른 증명을 쓰시오.) ::: :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 첫 문장과 마지막 문장을 나란히 적어 놓고 비교한다. 올바른 증명의 증인은 훈련 1의 실수판이다. ::: **13.** 명제 "$3 \mid n$이면 $9 \mid n^2$"을 구성법 시선으로 다시 쓰시오: 결론의 숨은 $\exists$($n^2 = 9m$인 $m$)를 노출하고, 가정의 $\exists$($n = 3k$)에서 **"잡자"(가정 쪽)와 "두자"(결론 쪽)**가 각각 어디에 나오는지 라벨을 붙인 완전한 증명을 쓰시오. (§1.6의 표를 한 문제 안에서 실습하는 자리다) :::{admonition} 기호 복습 — $\lceil t \rceil$ (천장, S3주차 문제 14) :class: quotebox S3주차 문제 14에서 도입한 기호다. "천장 $t$"로 읽고, $t$ 이상인 정수 중 가장 작은 것을 뜻한다. 예: $\lceil 3.2 \rceil = 4$, $\lceil 5 \rceil = 5$, $\lceil -1.7 \rceil = -1$. 이번 주에 쓰는 성질은 둘이다 — ① $\lceil t \rceil$은 정수이다 ② $\lceil t \rceil \ge t$이다. 두 성질은 증명 없이 채택하고 쓴다(근거 ④) — 실수의 완비성에 기대는 사실이라 이 과정에서는 증명하지 않는다. 인용할 때는 성질을 문장으로 적는다. ::: **14.** 명제 "임의의 양의 실수 $\varepsilon$에 대해, $\frac1n < \varepsilon$인 양의 정수 $n$이 존재한다"(아르키메데스 성질의 한 조각 — 1권 45주차의 문턱 제작)를 증명하시오: 역산으로 $n > \frac1\varepsilon$을 얻고 증인 $n = \lceil \frac1\varepsilon \rceil + 1$을 제시한 뒤, 자격(양의 정수) 검증에서 천장의 성질($\lceil t \rceil \ge t$, 정수값)을 명시적으로 인용하시오. ### 도전 ●●● :::{admonition} 기호 복습 — $k!$ (팩토리얼, 1권 12주차 정의 12.2) :class: quotebox 1권 12주차 정의 12.2에서 정의한 기호다. $k! = 1 \times 2 \times \cdots \times k$를 뜻한다. 이번 주에 쓰는 성질은 하나다 — $1 \le j \le k$인 정수 $j$에 대해 $j$는 $k!$의 인수이므로 $j \mid k!$이다. 팩토리얼의 정의에서 곧바로 나오므로 근거 ①로 쓴다. ::: **15.** 명제 "임의의 양의 정수 $k$에 대해, 연속한 $k$개의 합성수가 존재한다"를 증명하시오. 1권 26주차 문제 16의 재수행이며, 이번에는 "합성수" 자격을 §1.2의 정의 꼴($a > 1$이고 $b > 1$인 정수 $a, b$가 있어 그 곱이 된다)로 열어 두 조각을 명시적으로 분리해 적는 것이 목표다. (증인 구간: $(k+1)! + 2,\ (k+1)! + 3,\ \ldots,\ (k+1)! + (k+1)$ — 각 항 $(k+1)! + j$가 $j$로 나누어떨어짐을 검증하고, 거기서 얻은 두 인수가 **모두 1보다 큰 정수**임을 각각 확인하시오. 소수 사이의 간격이 얼마든지 벌어진다는 사실이다) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown $j \mid (k+1)!$과 $j \mid j$에서 $j \mid ((k+1)! + j)$를 얻는다 — 1권 2주차 예제 2.2의 배수의 합이다. 그다음 $(k+1)! + j = j \cdot \left(\frac{(k+1)!}{j} + 1\right)$로 분해하고, 두 인수가 모두 1보다 큰 정수임을 각각 따로 적어야 §1.2의 합성수 정의가 충족된다. ::: **16.** 명제 "유리수 $q$와 무리수 $t$ 사이에 무리수가 존재한다"는 복잡하므로, 대신 그 핵심 부분인 "임의의 서로 다른 실수 $a < b$ 사이에 무리수가 존재한다"를 증명하시오. 증인 후보를 $z = a + \frac{\sqrt2}{n}$ 꼴에서 고르고, ① 문제 14로 적당한 $n$을 확보하고 ② 사건($a < z < b$)을 검증하고 ③ 자격($z$가 무리수)을 1권 21주차의 무리수 산술 부품으로 검증하시오. (조밀성의 무리수판 — 1권이 남긴 빚이다) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown $a$가 무리수일 수도 있으므로 $a + \frac{\sqrt2}{n}$이 무리수라고 곧바로 말할 수 없다. 후보를 **둘** 준비해 보자: $z_1 = a + \frac{\sqrt2}{n}$과 $z_2 = a + \frac{2\sqrt2}{n}$. 둘 다 유리수라면 그 차는 어떤 수인가? ::: **17.** 예제 2.2의 명제에서 가정을 $a = b$로 바꾸면 존재가 **무너질 수 있음**을 보이시오: 두 조건을 동시에 만족하는 $(s, t)$가 존재하지 않는 구체적인 $(a, b)$ 인스턴스를 만들고(예: $a = b = 2$), "그런 $s, t$가 없다"의 증명(귀류: 있다면 $2 = 1$)을 완성하시오. 그리고 이것이 "가정 $a \neq b$가 없으면 증명이 성립하지 않는다"의 실증임을 한 줄로 쓰시오. (반례를 만드는 일도 구성법이다 — 1권 29주차와의 접속) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown $a = b$이면 첫째 조건의 좌변 $as + bt$가 $a(s + t)$로 묶인다. 둘째 조건이 $s + t$의 값을 이미 못박고 있으므로, 두 조건이 동시에 성립하면 $a$에 대한 등식 하나만 남는다. 그 등식이 거짓이 되도록 $a$를 고른다. ::: :::{admonition} 이 문제가 인용하는 기성 정리 — 중간값 정리 (intermediate value theorem) :class: quotebox 연속함수 $g$가 $g(p) < 0 < g(q)$를 만족하면, $p$와 $q$ 사이에 $g(x) = 0$인 실수 $x$가 존재한다. 이 정리는 1권 47주차의 연속 개념 위에 서는 것이고, 이 과정에서는 증명 없이 기성품으로 인정하고 쓴다 — 1권 47주차의 연속 정의 위에 서지만 증명은 이 과정의 범위 밖이므로, 끝까지 채택한 채로 쓴다(근거 ④). 다항함수가 연속이라는 사실도 같은 방식으로 함께 채택한다. 증명 없이 채택한 사실을 쓸 때는 정리 이름을 반드시 적는다. ::: **18.** (공급로 ③ 종합) 명제 "$x^3 + x = 5$인 실수 $x$가 존재한다"를 중간값 정리를 인용해 증명하시오 — $g(x) = x^3 + x - 5$의 연속성(다항함수), $g(1) = -3 < 0$과 $g(2) = 5 > 0$의 계산, 정리 적용, 결론의 순서로 쓰시오. 이름 없는 증인의 존재 증명이 완성되는 자리다. (문제 7의 유일성과 합치면 "정확히 하나"가 된다) **19.** (설계) 명제 "임의의 양의 유리수 $q$에 대해, $q = \frac{a}{b}$이고 $a + b$가 짝수인 양의 정수 $a, b$가 존재한다"를 증명하시오. (역산과 조정의 혼합: 아무 표현 $\frac mn$에서 출발해 — $m + n$이 이미 짝수면 완료, 홀수면 $\frac{2m}{2n}$으로 **조정**하면 합이 짝수가 됨을 검증한다. 경우가 낀 구성 — 증인 후보를 상황에 따라 갈아 끼우는 설계 연습이다) :::{admonition} 힌트 :class: quotebox dropdown 한 유리수를 나타내는 분수 표현이 무한히 많다는 점이 여지를 만든다. 분자와 분모에 같은 수를 곱해도 값은 그대로인데, 합의 홀짝은 바뀔 수 있다. ::: **20.** (서술) (a) "존재 증명에서 역산과 검증은 논리 방향이 다르다"를 예제 2.2의 언어로 세 문장 이내로 설명하시오 (역산 = 해가 있다는 가정 아래의 필요조건 계산 / 검증 = 충분함의 확인 — S2주차의 방향 검사와 접속). (b) 1권 26주차의 서식이 이번 주에 얻은 것 두 가지(자격/사건 분해에 의한 검증 목록화, 공급로의 체계)를 두 문장으로 정리하시오. ## 백지 재현 — 복습 프로토콜 **이번 주의 5일 루틴.** 원서와 교안을 번갈아 쓰는 순서다. | **요일** | **할 일** | |---|---| | 1일차 | 원서 Solow 4장 통독 (모르는 문장은 표시만 하고 통과) | | 2일차 | 교안 §0~§2 — 개념과 예제. 확인 상자는 연필로 먼저 답한다 | | 3일차 | 원서 재독 — 1일차에 표시한 문장을 해결하고, 원서 4장의 연습문제 몇 개를 직접 시도 | | 4일차 | 교안 §3 빈칸 사다리 + §4 연습문제 20문항 | | 5일차 | 백지 재현 1차(틀 카드)$\cdot$2차(완전 백지) + 체크리스트 | 3일차의 재독이 이번 주에는 특히 중요하다. 원서 4장은 증인을 "construct"한다는 말로 절차를 설명하고 검증 목록을 표로 그리지 않으므로, 교안의 대상/자격/사건 분해를 손에 쥐고 다시 읽으면 원서의 각 예제에서 어느 줄이 자격 검증이고 어느 줄이 사건 검증인지 짚을 수 있다. **1차 시도 — 틀 카드 허용.** 다음 세 상자만 옮겨 적은 카드를 펴 놓는다: 구성법 서식(①②③), 세 공급로 표, 가정 쪽 $\exists$와 결론 쪽 $\exists$의 대조표. 그 상태에서 예제 2.1을 설계부터 결론까지 적는다. 예제 본문과 확인 상자는 보지 않는다. **2차 시도 — 완전 백지.** 아무것도 보지 않고 수행한다. - [ ] 구성법 서식(①②③), 세 공급로, 두 가지 반칙을 백지에 썼다. - [ ] 구성법의 3단 뼈대(분해$\cdot$제시$\cdot$검증)를 쓰고, §1.4 서식과의 대응을 한 줄로 적었다. - [ ] 존재 진술의 표준형(대상/자격/사건)을 쓰고, 숨은 $\exists$를 가진 낱말 네 개 이상을 들었다. - [ ] 예제 2.1을 연습장(역산)과 답안(제시$\cdot$검증)으로 분리해 재현했다. - [ ] 예제 2.3의 학생 답안에서 비어 있는 채점 항목을 지목하고 수리본을 적었다. - [ ] "잡자"(가정 쪽)와 "두자"(결론 쪽)의 차이를 한 문장으로 설명했다(문제 13). - [ ] 원서 4장을 두 번 읽었고, 1일차에 표시한 문장이 전부 해결되었다. **막힌 지점별 처방.** 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다. | **막힌 지점** | **처방** | |---|---| | 결론이 존재 문장인지 아닌지 판단이 안 된다 | §1.3 감지 신호 — 낱말의 정의를 iff로 열어 $\exists$가 나오는지 본다 | | 증인 후보가 떠오르지 않는다 | §1.5 세 공급로 — 사건을 방정식으로 볼 수 있는가, 가정의 재료로 조립되는가, 기성 정리가 있는가를 이 순서로 묻는다 | | 증명을 썼는데 뭔가 빠진 것 같다 | §1.2 분해 — 자격과 사건을 목록으로 적고 검증된 항목에 표시한다 | | "존재한다고 하자"로 첫 줄을 쓰게 된다 | 확인 5의 삭제 실험 — 존재 결론의 첫 동작은 "두자"다 | | 역산까지는 되는데 그다음을 못 쓰겠다 | 예제 2.1의 2~4단계 — 연습장은 지우고 배정 한 줄만 남긴 뒤 검증을 시작한다 | | 증인이 여럿이거나 목록일 때 헷갈린다 | 예제 2.2와 문제 15 — 대상이 늘면 검증 줄도 그만큼 늘어난다 | 하나라도 실패하면 그 항목만 다시 적고 다음날 재시도한다. ## 해설 각 해설은 **접근**(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 **풀이**로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 1 (1) 유리수 (2) $r < q < s$ (3) $\dfrac{r + s}{2}$ (4) $\dfrac{s - r}{2}$ (5) $\dfrac{s - r}{2}$ **산문.** 유리수 $r, s$가 $r < s$를 만족한다고 하자. $q = \dfrac{r+s}{2}$로 두자. 유리수의 합은 유리수이고 유리수를 0이 아닌 유리수 2로 나눈 것도 유리수이므로 $q$는 유리수이다. $r < s$이므로 $s - r > 0$이고, 따라서 $q - r = \dfrac{s-r}{2} > 0$이며 $s - q = \dfrac{s-r}{2} > 0$이다. 곧 $r < q < s$이다. $\blacksquare$ ※ 사건이 부등식 두 개이므로 검증 줄도 두 개다. 한쪽만 확인하고 끝내면 "$q$가 $r$보다 크다"만 보인 셈이 된다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 2 (1) $b$는 유리수 (2) $ab = 1$ (3) ① 역산 (4) $\dfrac{1}{a}$ (5) $a \neq 0$ (6) 1과 $a$가 유리수이고 $a \neq 0$이므로 $\dfrac{1}{a}$는 유리수이다 (7) $1$ **산문.** $a$를 0이 아닌 유리수라 하자. $b = \dfrac{1}{a}$로 두자. $a \neq 0$이므로 이 식은 잘 정의된다. 1과 $a$가 유리수이고 $a \neq 0$이므로 $b$는 유리수이다 (1권 15주차 문제 15). 또 $ab = a \cdot \dfrac{1}{a} = 1$이다. 따라서 $ab = 1$인 유리수 $b$가 존재한다. $\blacksquare$ ※ 가정의 "0이 아닌"이라는 조각은 두 번 쓰인다 — 한 번은 식이 잘 정의됨을 보장하는 데, 또 한 번은 자격 검증의 근거 안에서. 가정의 조각이 어디서 소비되는지 세어 두면 문제 17 같은 실험을 스스로 설계할 수 있다. ### 빈칸 사다리 — 훈련 3 (1) 대상: $m$ / 자격: $m$은 짝수 / 사건: $n < m$ (2) 공급로 ①과 ②의 혼합. $n$의 부호를 모르므로 $|n|$을 써서 경우를 흡수한다 — 후보 $m = 2|n| + 2$. (3) $m = 2(|n| + 1)$로 두자. $|n|$은 정수이므로 $|n| + 1$도 정수이고 (근거 ② 닫힘성), 따라서 $m$은 짝수의 정의를 만족한다 (근거 ① 정의). (4) 절댓값의 성질 $n \le |n|$(1권 17주차 문제 5)에서 $-n \ge -|n|$이므로 $$ m - n = 2|n| - n + 2 \ge 2|n| - |n| + 2 = |n| + 2 \ge 2 > 0 $$ 이고, 따라서 $n < m$이다. 그러므로 $n$보다 큰 짝수 $m$이 존재한다. $\blacksquare$ ※ 검산: $n = 5$이면 $m = 12$이고 $12 > 5$이며 짝수이다. $n = -7$이면 $m = 16$이고 $16 > -7$이며 짝수이다. 경우를 나누지 않고 한 식으로 덮은 것이 이 증인의 요점이며, 같은 설계가 문제 9에서 다시 쓰인다. ### 문제 1 **접근.** §1.4$\cdot$§1.5$\cdot$§1.6의 세 상자를 그대로 재현하는 문제다. 채점 요령은 맞은 칸을 세는 것이 아니라 빠진 칸을 기록하는 것이다 — 빠진 칸이 이번 주 복습의 목록이 된다. **풀이.** **구성법 서식.** ① 연습장에서 증인 후보를 찾는다. ② 답안에서 "$c = \cdots$로 두자"로 증인을 제시하며, 제시하는 식은 가정에 등장하는 문자와 이미 확보한 값만으로 조립한다. ③ 자격 검증과 사건 검증을 하나도 빠짐없이, 각각 근거를 들어 적는다. ①은 제출본에서 지워지고 ②의 "두자"만 남는다. **세 공급로.** ① 역산 — 사건을 증인에 대한 방정식$\cdot$부등식으로 보고 거꾸로 푼다. ② 재료 조립 — 가정이 준 문자를 조립해 후보를 만든다. ③ 기성 존재 정리 — 직접 만들 수 없을 때 존재를 보장하는 정리를 인용한다. **두 가지 주의.** 검증은 전수여야 한다 — 자격 하나, 사건 하나라도 빠지면 증명이 아니고, 누락은 거의 언제나 자격 쪽에서 난다. 그리고 증인은 가정의 문자로만 조립한다 — 존재를 주장하는 문자를 "존재한다고 하자"로 먼저 확보해 증인으로 삼는 것은 순환이다. ### 문제 2 **접근.** 각 낱말의 정의를 iff로 열어 $\exists$를 꺼낸다(S4주차의 소화 절차 ①). 꺼낸 뒤에는 §1.2의 세 칸에 배치한다. (b)와 (c)는 대상이 하나가 아니라 정수 **쌍**이라는 점이 함정이다 — 대상이 둘이면 자격도 각각에 붙는다. **풀이.** (a) "$n^2 + n$은 짝수" $\iff$ $\exists k \in \mathbb{Z} : n^2 + n = 2k$. 대상은 $k$ / 자격은 "$k$는 정수" / 사건은 "$n^2 + n = 2k$". 검증 항목 두 개. (b) "$0.272727\ldots$은 유리수" $\iff$ $\exists a, b \in \mathbb{Z} \ (b \neq 0) : 0.272727\ldots = \dfrac{a}{b}$. 대상은 정수 쌍 $(a, b)$ / 자격은 "$a$와 $b$가 정수이고 $b \neq 0$" / 사건은 등식. 자격이 세 조각이므로 검증 항목이 네 개다. (c) "$91$은 합성수" $\iff$ $\exists a, b \in \mathbb{Z} : a > 1 \ \wedge \ b > 1 \ \wedge \ 91 = ab$. 대상은 정수 쌍 $(a, b)$ / 자격은 "$a$와 $b$는 정수이고 $a > 1$, $b > 1$" / 사건은 "$91 = ab$". (d) "$x^3 + x = 5$가 실수 해를 갖는다" $\iff$ $\exists x \in \mathbb{R} : x^3 + x = 5$. 대상은 $x$ / 자격은 "$x$는 실수" / 사건은 방정식. **복기.** 네 문항 모두 결론에 "존재한다"라는 낱말이 없었다. 정의를 iff로 여는 동작 하나가 숨은 존재 양화사를 전부 노출시킨다 — 감지의 실무는 이 한 동작이다. ### 문제 3 **접근.** (a) 목표는 $\frac{n^2+n}{2}$이라는 값을 적는 것이 아니라 정수 $k$를 만들어 내놓는 것이다. $n^2 + n = n(n+1)$로 인수분해하면 두 인수 중 하나가 짝수이지만 어느 쪽인지는 $n$에 따라 다르므로, $n$의 홀짝으로 나누어 각 경우마다 다른 $k$를 만든다. (c) 91을 작은 소수로 차례로 나누어 인수를 찾는다. **풀이.** **(a) 증명.** 정수 $n$이 주어졌다고 하자. $n^2 + n = n(n+1)$이다. 모든 정수는 짝수이거나 홀수이므로(1권 17주차) 두 경우로 나눈다. 경우 1 — $n$이 짝수. 정의에 의해 $n = 2m$인 정수 $m$이 존재하니 그런 $m$을 잡자. $k = m(n+1)$로 두자. $m$과 $n+1$이 정수이므로 $k$는 정수이다(자격 ✓). 그리고 $2k = 2m(n+1) = n(n+1) = n^2 + n$이다(사건 ✓). 경우 2 — $n$이 홀수. 그러면 $n + 1$은 짝수이므로 $n + 1 = 2m$인 정수 $m$이 존재하니 그런 $m$을 잡자. $k = nm$으로 두자. $n$과 $m$이 정수이므로 $k$는 정수이다(자격 ✓). 그리고 $2k = 2nm = n \cdot 2m = n(n+1) = n^2 + n$이다(사건 ✓). 두 경우가 전체를 덮고 각 경우에서 증인이 확보되므로, $n^2 + n = 2k$인 정수 $k$가 존재한다. $\blacksquare$ **(c) 증명.** $a = 7$, $b = 13$으로 두자. 자격: $7$과 $13$은 정수이고 $7 > 1$, $13 > 1$이다. 사건: $7 \times 13 = 91$이다. 따라서 $a > 1$, $b > 1$이고 $91 = ab$인 정수 $a, b$가 존재하므로 $91$은 합성수이다. $\blacksquare$ **복기.** (a)의 두 경우가 **서로 다른 증인**을 내놓았다는 점이 중요하다. 증인이 하나의 식으로 안 나오면 무대를 쪼개고 각 조각에서 따로 만들어도 된다 — 문제 19가 같은 설계를 다시 쓴다. (c)의 연습장은 시험 나눗셈이다: $91$을 $2, 3, 5, 7$로 차례로 나누어 보면 $7$에서 걸린다. $\sqrt{91} < 10$이므로 10 미만의 소수만 시험하면 충분한데, 그 한계가 왜 성립하는지는 S6주차 문제 16에서 증명한다. **검산.** $7 \times 13 = 91$ ✓. (a)는 $n = 3$에서 $n^2 + n = 12$, 경우 2가 적용되어 $m = 2$, $k = 3 \times 2 = 6$이고 $2 \times 6 = 12$ ✓. ### 문제 4 **접근.** 빈칸을 다시 채우는 문제가 아니라 다섯 줄의 **순서**를 재현하는 문제다. 백지에서 가장 자주 빠지는 것은 자격 검증 줄과, 사건 검증의 두 번째 조각이다. 증인 $\frac{r+s}{2}$가 떠오르는지보다 검증이 두 부등식으로 나뉜다는 것을 아는지가 이번 주의 학습 내용이다. **풀이.** 유리수 $r, s$가 $r < s$를 만족한다고 하자. $q = \dfrac{r+s}{2}$로 두자. 유리수의 합은 유리수이고 유리수를 0이 아닌 유리수 2로 나눈 것도 유리수이므로 (1권 15주차 문제 15) $q$는 유리수이다. 한편 $r < s$이므로 $s - r > 0$이고, $$ q - r = \frac{r+s}{2} - r = \frac{s-r}{2} > 0, \qquad s - q = s - \frac{r+s}{2} = \frac{s-r}{2} > 0 $$ 이다. 앞의 부등식에서 $r < q$, 뒤의 부등식에서 $q < s$를 얻는다. 따라서 $r < q < s$인 유리수 $q$가 존재한다. $\blacksquare$ **검산.** $r = \frac12$, $s = \frac34$이면 $q = \frac58$이고 $\frac12 < \frac58 < \frac34$이다 ✓ ($\frac{4}{8} < \frac58 < \frac68$). ### 문제 5 **접근.** 재현의 채점 기준을 먼저 정해 놓고 시작한다. 답안에 남아야 할 줄은 여섯이고, 연습장에만 있어야 할 것은 역산 계산이다. 역산이 답안에 남아 있으면 분리가 안 된 것이고, 자격 검증이 없으면 §1.4의 삭제 실험과 같은 결함이다. **풀이.** **연습장.** 사건 $ax + b = 0$을 $x$에 대한 방정식으로 보고 푼다: $ax = -b$, 양변을 $a$로 나누어 $x = -\dfrac{b}{a}$. 이때 $a \neq 0$이 나눗셈을 허용한다. 여기까지는 제출본에 적지 않는다. **답안.** $a, b$가 유리수이고 $a \neq 0$이라 하자. $x = -\dfrac{b}{a}$로 두자. $a \neq 0$이므로 이 식은 잘 정의된다. $a, b$가 유리수이고 $a \neq 0$이므로 $\dfrac{b}{a}$는 유리수이고(1권 15주차 문제 15), 그 부호를 바꾼 $x$도 유리수이다. 또한 $$ ax + b = a\left(-\frac{b}{a}\right) + b = -b + b = 0 $$ 이다. 따라서 $ax + b = 0$인 유리수 $x$가 존재한다. $\blacksquare$ **복기.** 자기 채점표는 여섯 항목이다 — 가정 선언 / 제시 / 잘 정의됨 / 자격 검증 / 사건 검증 / 존재 선언. "잘 정의됨" 줄을 빠뜨리는 경우가 가장 많은데, 이 줄이 없으면 분모가 0일 가능성을 배제하지 않은 것이 된다. ### 문제 6 **접근.** 채점표를 먼저 그린다. 행은 검증 항목이고, 열은 검증 여부와 근거다. 빈칸이 어디인지 지목한 뒤 그 칸을 채울 수 있는지 따진다. 채울 수 없으면 증인을 바꾸어야 하는데, $n$에서 소수를 만드는 식이 없으므로 공급로 ①$\cdot$②가 모두 막힌다. 남는 것은 ③뿐이다. **풀이.** 학생 답안 "$p = n + 1$로 두자. 그러면 $p > n$이다"의 채점표는 다음과 같다. | **검증 항목** | **검증 여부** | **근거 또는 반증** | |---|---|---| | 사건 — $p > n$ | 검증됨 | $n + 1 > n$ (부등식의 기본 성질) | | 자격 — $p$는 소수 | **비어 있음** | 채울 수 없다. $n = 7$이면 $p = 8 = 2 \times 4$로 소수가 아니다 | 자격 칸이 비어 있고 채울 수도 없으므로 이 답안은 미완성이며, 증인 자체를 바꾸어야 한다. **수리된 증명.** 정수 $n$이 주어졌다고 하자. 소수는 무한히 많다(1권 21주차 예제 2.3). 한편 모든 소수는 2 이상이므로 $n$ 이하의 소수는 $2$와 $n$ 사이의 정수 안에 있고, 그런 정수는 유한 개이므로 $n$ 이하의 소수도 유한 개다($n < 2$이면 하나도 없다). 만약 모든 소수가 $n$ 이하라면 소수 전체가 유한 개가 되어 소수의 무한성과 어긋난다. 따라서 $n$보다 큰 소수가 적어도 하나 있고, 그중 하나를 $p$로 두면 $p$는 소수이며 $n < p$이다. $\blacksquare$ **복기.** 수리본에는 "$p = \cdots$"라는 식이 없다. 존재를 보장하는 것이 계산이 아니라 이미 증명된 정리이기 때문이다. 증인의 값을 모르면서도 존재를 확립하는 것이 공급로 ③의 힘이다. ### 문제 7 **접근.** 먼저 문장을 정확히 읽는다. "많아야 하나 존재한다"는 존재를 주장하지 않고 "둘이 있으면 같다"를 주장한다 — 전칭 문장이므로 구성법이 아니라 1권 26주차의 유일성 서식이 발동한다. 유일성 증명은 $y_1^3 = y_2^3$에서 차를 인수분해하고, 둘째 인수가 0이 아님을 완전제곱으로 보이는 것이 표준 경로다. **풀이.** **존재 부분.** 이 부분은 구성법의 공급로 ③에 속한다. 필요한 정리는 중간값 정리(문제 18의 방식으로 $g(y) = y^3 - x$에 적용) 또는 "모든 실수는 세제곱근을 갖는다"는 기성 정리다. 이번 문제에서 요구된 것은 이름까지이므로 여기서 멈춘다. **유일 부분의 증명.** $y_1^3 = x$이고 $y_2^3 = x$인 실수 $y_1, y_2$가 있다고 하자. 그러면 $y_1^3 - y_2^3 = 0$이고, 세제곱의 차를 인수분해하면 $$ (y_1 - y_2)(y_1^2 + y_1 y_2 + y_2^2) = 0 $$ 이다. 둘째 인수를 완전제곱으로 다시 묶으면 $$ y_1^2 + y_1 y_2 + y_2^2 = \left(y_1 + \frac{y_2}{2}\right)^2 + \frac{3 y_2^2}{4} $$ 이고, 실수의 제곱은 음이 아니므로 이 값은 0 이상이다. 두 경우로 나눈다. 둘째 인수가 0이면 0 이상인 두 항의 합이 0이므로 각 항이 0이어야 하고(S3주차 문제 18(b), 1권 23주차 문제 10), 따라서 $y_2 = 0$이고 $y_1 + \frac{y_2}{2} = 0$에서 $y_1 = 0$이니, 이 경우 $y_1 = y_2$이다. 둘째 인수가 0이 아니면 곱이 0이므로 영인수 성질에 의해 $y_1 - y_2 = 0$, 곧 $y_1 = y_2$이다. 어느 경우든 $y_1 = y_2$이므로 그러한 $y$는 많아야 하나다. $\blacksquare$ **검산.** 완전제곱 변형을 전개하면 $\left(y_1 + \frac{y_2}{2}\right)^2 + \frac{3y_2^2}{4} = y_1^2 + y_1 y_2 + \frac{y_2^2}{4} + \frac{3y_2^2}{4} = y_1^2 + y_1 y_2 + y_2^2$ ✓. **복기.** 결론의 양화사를 잘못 읽으면 기법 선택부터 어긋난다. "존재한다"는 구성법, "많아야 하나"는 유일성 서식, "정확히 하나"는 둘의 결합이다. 이 문제와 문제 18을 합치면 $x^3 + x = 5$의 실수 해가 정확히 하나임이 나온다. ### 문제 8 **접근.** 결론의 숨은 존재 양화사를 먼저 노출한다: $\exists c \in \mathbb{Z} : a^2 + b^2 = 2c$. 대상은 $c$, 자격은 정수, 사건은 등식이다. 가정이 홀수 둘을 주므로 공급로 ②가 맞다 — 정의를 풀어 재료를 받고, $a^2 + b^2$을 전개해 2로 묶으면 묶인 괄호의 내용물이 그대로 증인이다. **풀이.** **증명.** $a, b$를 홀수라 하자. 정의에 의해 $a = 2j + 1$인 정수 $j$와 $b = 2k + 1$인 정수 $k$가 존재하니 그런 $j, k$를 잡자(서로 다른 문자를 쓴다). 그러면 $$ a^2 + b^2 = (2j+1)^2 + (2k+1)^2 = 4j^2 + 4j + 1 + 4k^2 + 4k + 1 = 2(2j^2 + 2j + 2k^2 + 2k + 1) $$ 이다. 여기서 $c = 2j^2 + 2j + 2k^2 + 2k + 1$로 두자. 자격 검증: $j, k$가 정수이므로 정수의 곱과 합인 $c$도 정수이다(근거 ②). 사건 검증: 위 계산이 그대로 $a^2 + b^2 = 2c$를 준다. 따라서 $a^2 + b^2 = 2c$인 정수 $c$가 존재한다. $\blacksquare$ **검산.** $a = 3$, $b = 5$이면 $a^2 + b^2 = 34$이고, $j = 1$, $k = 2$에서 $c = 2 + 2 + 8 + 4 + 1 = 17$이며 $2 \times 17 = 34$ ✓. **복기.** 전개해서 2로 묶은 뒤 괄호 안을 그대로 증인으로 삼는 것이 공급로 ②의 전형이다. 이때 증인의 식을 별도로 발명할 필요가 없다 — 계산이 이미 증인을 꺼내 놓았고, 답안이 할 일은 그것에 이름을 붙여 제시하는 것뿐이다. ### 문제 9 **접근.** $M$의 부호를 모른다는 것이 이 문제의 전부다. $\sqrt{M}$은 $M < 0$일 때 실수가 아니므로 자격 검증에서 탈락한다. 절댓값을 씌우면 제곱근 안이 항상 0 이상이 되어 경우를 나누지 않고도 자격이 확보된다. 훈련 3에서 $|n|$으로 부호를 흡수한 설계가 그대로 재사용된다. **풀이.** **증명.** 실수 $M$이 주어졌다고 하자. $x = \sqrt{|M|} + 1$로 두자. 자격 검증: $|M| \ge 0$이므로 $\sqrt{|M|}$이 실수로 정의되고, 실수의 합인 $x$도 실수이다. 사건 검증: $\sqrt{|M|} \ge 0$이므로 $2\sqrt{|M|} \ge 0$이고, 따라서 $$ x^2 = \left(\sqrt{|M|} + 1\right)^2 = |M| + 2\sqrt{|M|} + 1 \ge |M| + 1 > |M| \ge M $$ 이다. 마지막 부등식은 절댓값의 기본 성질 $|M| \ge M$이다(1권 17주차). 따라서 $x^2 > M$인 실수 $x$가 존재한다. $\blacksquare$ **검산.** $M = 5$이면 $x = \sqrt5 + 1$이고 $x^2 = 6 + 2\sqrt5 > 10 > 5$ ✓. $M = -3$이면 $x = \sqrt3 + 1$이고 $x^2 = 4 + 2\sqrt3 > 0 > -3$ ✓. **복기.** $M < 0$이면 $x = 1$도 증인이 되지만, 그렇게 하면 답안이 두 경우로 갈라진다. $|M|$을 쓰면 한 식이 모든 경우를 덮으므로 검증도 한 벌로 끝난다. 좋은 증인은 답이 되는 증인이 아니라 **검증을 짧게 만드는** 증인이다. ### 문제 10 **접근.** "고정점을 갖는다"의 정의를 열면 $\exists c \in \mathbb{R} : f(c) = c$다 (S4주차 문제 14에서 소화한 정의). 사건이 방정식이므로 공급로 ①이 곧바로 맞는다 — $x^3 + x = x$를 풀면 후보가 나온다. **풀이.** **연습장.** $f(x) = x \iff x^3 + x = x \iff x^3 = 0 \iff x = 0$. 후보는 $x = 0$ 하나다. **답안.** $c = 0$으로 두자. 자격 검증: $0$은 실수이다. 사건 검증: $f(0) = 0^3 + 0 = 0 = c$이다. 따라서 $f(c) = c$인 실수 $c$가 존재하므로 $f$는 고정점을 갖는다. $\blacksquare$ **복기.** 연습장의 역산이 등호가 아니라 $\iff$의 사슬이었다는 점을 눈여겨본다. 사슬의 각 걸음이 양방향이면 "해가 있다면 그것뿐"까지 함께 나오므로 유일성 정보가 덤으로 따라온다 — 실제로 이 함수의 고정점은 $0$ 하나뿐이다. 역산할 때 각 걸음이 가역인지 확인하는 습관이 이 정보를 준다. **검산.** $f(0) = 0$ ✓. 다른 값을 넣어 보면 $f(1) = 2 \neq 1$로 고정점이 아니다. ### 문제 11 **접근.** 전반은 결론을 열면 대상이 정수 **쌍**임이 드러난다: $\exists u, v \in \mathbb{Z} : v = u + 1 \ \wedge \ uv = n^2 + n$. 자격이 "연속"이라는 조건임을 놓치지 않는다. 후반은 곱이 2의 배수임과 3의 배수임을 따로 보인 뒤 둘을 합치는 근거를 인용해야 한다 — 두 사실을 합치는 데도 별도의 정리가 필요하다. **풀이.** **전반의 증명.** 정수 $n$이 주어졌다고 하자. $(u, v) = (n, n+1)$로 두자. 자격 검증: $n$과 $n+1$은 정수이고 $v = u + 1$이므로 연속한 두 정수이다. 사건 검증: $uv = n(n+1) = n^2 + n$이다. 따라서 $n^2 + n$을 연속한 두 정수의 곱으로 나타낼 수 있다. $\blacksquare$ **후반의 증명.** 정수 $m$이 주어졌다고 하고 $P = m(m+1)(m+2)$라 하자. ① $P$는 2의 배수이다. $m(m+1)$은 연속한 두 정수의 곱이므로 짝수이고(문제 3(a)), $m(m+1) = 2s$인 정수 $s$가 존재하니 그런 $s$를 잡자. 그러면 $P = 2s(m+2) = 2\big(s(m+2)\big)$이고 $s(m+2)$는 정수이므로 $2 \mid P$이다. ② $P$는 3의 배수이다. 모든 정수는 3으로 나눈 나머지가 0, 1, 2 중 하나이므로 세 경우로 나눈다. $m = 3t$이면 $P = 3\big(t(m+1)(m+2)\big)$이다. $m = 3t+1$이면 $m + 2 = 3(t+1)$이므로 $P = 3\big(m(m+1)(t+1)\big)$이다. $m = 3t+2$이면 $m + 1 = 3(t+1)$이므로 $P = 3\big(m(t+1)(m+2)\big)$이다. 어느 경우든 괄호 안이 정수이므로 $3 \mid P$이다. ③ $2 \mid P$이고 $3 \mid P$이므로 $6 \mid P$이다(1권 20주차 문제 13). 곧 $P = 6k$인 정수 $k$가 존재한다. $\blacksquare$ **검산.** $m = 2$이면 $P = 2 \times 3 \times 4 = 24 = 6 \times 4$ ✓. $m = -1$이면 $P = (-1) \times 0 \times 1 = 0 = 6 \times 0$ ✓. **복기.** ③을 빠뜨리고 ①과 ②만 적으면 증명이 아니다. "2로도 나누어떨어지고 3으로도 나누어떨어지면 6으로 나누어떨어진다"는 명제는 자명해 보이지만 증명이 필요한 사실이고, 실제로 4와 6에 대해서는 성립하지 않는다($12$는 4와 6의 배수이지만 $24$의 배수가 아니다). 인용할 정리의 가정을 확인하는 습관이 여기서 갈린다. ### 문제 12 **접근.** 첫 문장과 마지막 문장을 나란히 적어 놓고 비교한다. 두 문장이 같은 문장이면 순환이고, 그 답안은 아무것도 증명하지 않는다. 진단을 마친 뒤 올바른 증명을 쓰는데, 증인은 훈련 1의 실수판이다. **풀이.** **진단.** 이 답안은 결론 B("그런 $c$가 존재한다")를 첫 문장에서 가정한 뒤, 같은 문장 B를 마지막 문장에서 결론으로 삼았다. S1주차의 증명 과제 언어로 말하면 **해야 할 일을 주어진 것 목록에 몰래 등록**한 것이다. 주어진 것은 $a < b$ 하나뿐인데 답안은 그 밖의 것을 근거로 썼으므로, 논증의 어느 줄도 $a < b$를 사용하지 않았다는 점에서도 결함이 드러난다 — 실제로 $a > b$일 때도 이 답안의 문장들은 그대로 성립하는 것처럼 보인다. 존재 결론에서 합법인 첫 동작은 "존재한다고 하자"가 아니라 "$c = \cdots$로 두자"이다. **올바른 증명.** 실수 $a, b$가 $a < b$를 만족한다고 하자. $c = \dfrac{a+b}{2}$로 두자. 자격 검증: 실수의 합을 0이 아닌 실수 2로 나눈 것이므로 $c$는 실수이다. 사건 검증: $a < b$이므로 $b - a > 0$이고, 따라서 $$ c - a = \frac{b-a}{2} > 0, \qquad b - c = \frac{b-a}{2} > 0 $$ 이다. 앞에서 $a < c$, 뒤에서 $c < b$를 얻는다. 따라서 $a < c < b$인 실수 $c$가 존재한다. $\blacksquare$ **복기.** 순환 답안을 가려내는 실전 검사는 두 가지다. ① 첫 문장과 마지막 문장이 같은 문장인가. ② 가정이 어디에서 한 번이라도 쓰였는가. 올바른 증명에서는 가정 $a < b$가 사건 검증의 부등호 두 개를 모두 떠받친다. ### 문제 13 **접근.** 같은 $\exists$가 이 문제 안에 두 번 나온다. 가정 쪽의 $\exists$는 이미 참임이 보장된 존재이므로 대상을 하나 받아 문자로 붙잡으면 되고("잡자"), 결론 쪽의 $\exists$는 이쪽이 보장해야 할 존재이므로 만들어 내놓고 검증해야 한다 ("두자"). 두 동작에 라벨을 붙여 나란히 놓는 것이 이 문제의 목적이다. **풀이.** 먼저 결론의 숨은 존재 양화사를 노출한다: "$9 \mid n^2$" $\iff$ $\exists m \in \mathbb{Z} : n^2 = 9m$. 대상은 $m$ / 자격은 "$m$은 정수" / 사건은 "$n^2 = 9m$"이다. **증명.** $3 \mid n$이라 하자. [가정 쪽 $\exists$] 나누어떨어짐의 정의에 의해 $n = 3k$인 정수 $k$가 존재하니, 그런 $k$를 하나 **잡자**. 그러면 $n^2 = (3k)^2 = 9k^2$이다. [결론 쪽 $\exists$] 여기서 $m = k^2$으로 **두자**. 자격 검증: $k$가 정수이므로 $m = k^2$도 정수이다(근거 ②). 사건 검증: $n^2 = 9k^2 = 9m$이다. 따라서 $n^2 = 9m$인 정수 $m$이 존재하므로 $9 \mid n^2$이다. $\blacksquare$ **복기.** "잡자"는 상대가 이미 보장한 존재에서 하나를 받아 쓰는 동작이고, "두자"는 이쪽이 존재를 보장하기 위해 만들어 내놓는 동작이다. 같은 기호라도 가정 쪽이냐 결론 쪽이냐에 따라 의무의 방향이 반대이며, 이 대조를 놓치면 확인 5의 순환이 발생한다. S7주차에서 전칭 양화사의 같은 대조와 합쳐져 네 칸 표가 된다. **검산.** $n = 6$이면 $k = 2$, $m = 4$이고 $n^2 = 36 = 9 \times 4$ ✓. ### 문제 14 **접근.** 사건 $\frac1n < \varepsilon$을 $n$에 대한 부등식으로 보고 역산하면 $n > \frac1\varepsilon$을 얻는다. 그런데 $\frac1\varepsilon$이 정수라는 보장이 없으므로 그대로는 자격("양의 정수")을 만족하지 못한다. 천장을 취해 정수로 만들고, 등호가 걸리는 경우를 피하려고 1을 더한다. 자격 검증에서 천장의 두 성질을 각각 명시적으로 인용하는 것이 이 문제의 채점 요점이다. **풀이.** **연습장.** $\frac1n < \varepsilon$의 양변이 양수이므로 역수를 취하면 $n > \frac1\varepsilon$. 이 조건을 만족하는 정수를 하나 확보하면 된다. **답안.** 양의 실수 $\varepsilon$이 주어졌다고 하자. $n = \left\lceil \frac1\varepsilon \right\rceil + 1$로 두자. 자격 검증: $\varepsilon > 0$이므로 $\frac1\varepsilon > 0$이고, 천장의 값은 정수이므로 $\left\lceil \frac1\varepsilon \right\rceil$은 정수이며, 정수에 1을 더한 $n$도 정수이다. 또 $\left\lceil t \right\rceil \ge t$이므로 $\left\lceil \frac1\varepsilon \right\rceil \ge \frac1\varepsilon > 0$이고, 0보다 큰 정수는 1 이상이므로 $n \ge 2 > 0$이다. 따라서 $n$은 양의 정수이다. 사건 검증: $n = \left\lceil \frac1\varepsilon \right\rceil + 1 :::{container} quotebox \left\lceil \frac1\varepsilon \right\rceil \ge \frac1\varepsilon > 0$이다. ::: $n$과 $\frac1\varepsilon$이 모두 양수이므로 부등식 $n > \frac1\varepsilon$의 양변의 역수를 취하면 부등호가 뒤집혀 $\frac1n < \varepsilon$이 된다. 따라서 $\frac1n < \varepsilon$인 양의 정수 $n$이 존재한다. $\blacksquare$ **검산.** $\varepsilon = 0.3$이면 $\frac1\varepsilon = 3.33\ldots$, $\left\lceil 3.33\ldots \right\rceil = 4$, $n = 5$이고 $\frac15 = 0.2 < 0.3$ ✓. $\varepsilon = 0.25$이면 $\frac1\varepsilon = 4$, 천장은 4, $n = 5$이고 $\frac15 = 0.2 < 0.25$ ✓ — 1을 더하지 않았다면 $n = 4$에서 $\frac14 = 0.25$가 되어 등호가 걸렸을 것이다. **복기.** 1권 45주차는 같은 자리를 "아르키메데스 성질에 의해"라는 인용 한 줄로 처리했고, S3주차 문제 14는 그 줄의 출신을 후진 사슬로 복원했다. 이번 주는 복원된 증인을 실제 답안으로 제시$\cdot$검증하는 자리다. 다만 인정하는 지점이 옮겨졌을 뿐 빚이 청산된 것은 아니다 — 천장의 존재("임의의 실수 이상인 정수가 있다") 자체가 아르키메데스 성질과 동치이기 때문이다. 이번 주가 한 일은 통째로 인용하던 성질을 천장의 두 성질로 국소화해 인정하는 자리를 더 작게 만들고, 증인을 명시적으로 적는 규격으로 바꾼 것이다. 이 결과는 문제 16, S8주차 문제 19, 그리고 1권 45주차의 $\varepsilon$-N 증명 전부에서 부품으로 재사용된다. ### 문제 15 **접근.** 증인이 하나가 아니라 **목록**이다. 그러면 검증도 목록의 각 항목에 대해 해야 한다. 자격은 "합성수"이므로 §1.2의 정의 꼴로 연다 — $a > 1$이고 $b > 1$인 정수 $a, b$가 있어 그 곱이 된다. 곧 각 항을 두 인수의 곱으로 실제로 분해한 뒤, 두 인수가 각각 1보다 큰 정수임을 따로 확인해야 자격 검증이 완결된다. 1권 26주차 문제 16과 같은 명제이므로 논증의 뼈대는 그대로이고, 이번 주가 요구하는 것은 이 두 조각의 분리다. **풀이.** **증명.** 양의 정수 $k$가 주어졌다고 하자. $N = (k+1)!$로 두고, 증인으로 $k$개의 정수 $$ N + 2,\ N + 3,\ \ldots,\ N + (k+1) $$ 을 제시한다. 이들은 연속한 정수이고, 개수는 $(k+1) - 2 + 1 = k$개이다. $2 \le j \le k+1$인 각 정수 $j$에 대해 다음을 확인한다. 먼저 $j \le k+1$이므로 $j$는 $(k+1)!$의 인수이고(팩토리얼의 정의 — 1권 12주차 정의 12.2, 근거 ①), 따라서 $j \mid N$이다. 또 $j \mid j$이므로 배수의 합에 대한 성질(1권 2주차 예제 2.2)에 의해 $j \mid (N + j)$이다. 또 $j \mid N$이므로 $\dfrac{N}{j}$는 정수이고 $$ N + j = j \cdot \left(\frac{N}{j} + 1\right) $$ 이다. 자격 검증(합성수)은 §1.2의 정의 꼴에 맞추어 두 조각이다. ① 첫째 인수 $j$는 정수이고 $j \ge 2 > 1$이다. ② 둘째 인수 $\dfrac{N}{j} + 1$은 정수이고, $N = (k+1)! > 0$이며 $j > 0$이므로 $\dfrac{N}{j} > 0$이어서 $\dfrac{N}{j} + 1 > 1$이다. 두 인수가 모두 1보다 큰 정수이고 그 곱이 $N + j$이므로, 각 $N + j$는 합성수이다. 따라서 연속한 $k$개의 합성수가 존재한다. $\blacksquare$ **검산.** $k = 3$이면 $N = 4! = 24$이고 증인은 $26, 27, 28$이다. $26 = 2 \times 13$, $27 = 3 \times 9$, $28 = 4 \times 7$로 셋 다 합성수이며 연속 세 개다 ✓. **복기.** 대상이 목록일 수 있다는 것이 이 문제의 학습 내용이다. 검증 줄을 "각 $j$에 대해"로 묶어 한 번에 처리하는 것이 요령인데, 이때 묶은 문장이 $j$의 범위 전체를 덮는지 확인해야 한다. 이 결과는 소수 사이의 간격이 얼마든지 벌어진다는 사실이며, 소수가 무한히 많다는 문제 6의 사실과 나란히 놓으면 소수 분포의 두 얼굴이 보인다. 1권 26주차 예제 2.1이 이 구성의 $k = 1000$인 특수한 경우이고, 같은 주차 문제 16은 이 명제 자체다 — 이번 주가 더한 것은 "합성수" 자격을 §1.2의 정의 꼴로 열어 두 인수를 각각 전수 검증하는 규율이다. ### 문제 16 **접근.** 증인 후보 $z = a + \frac{\sqrt2}{n}$에는 함정이 있다. 사건($a < z < b$)은 $n$을 크게 잡으면 확보되지만, 자격($z$가 무리수)은 $a$가 무리수일 때 보장되지 않는다 — 예컨대 $a = \frac12 - \frac{\sqrt2}{n}$이면 $z = \frac12$로 유리수다. 해결은 후보를 **둘** 준비하는 것이다. 둘 다 유리수라면 그 차도 유리수여야 하는데, 차가 무리수임을 보이면 모순이 되어 적어도 하나는 무리수임이 나온다. **풀이.** **증명.** 실수 $a, b$가 $a < b$를 만족한다고 하자. $\dfrac{b-a}{2\sqrt2} > 0$이므로 문제 14에 의해 $\dfrac1n < \dfrac{b-a}{2\sqrt2}$인 양의 정수 $n$이 존재하니, 그런 $n$을 잡자. 두 후보 $z_1 = a + \dfrac{\sqrt2}{n}$와 $z_2 = a + \dfrac{2\sqrt2}{n}$를 만든다. 사건 검증: $\dfrac{\sqrt2}{n} > 0$이므로 $a < z_1 < z_2$이고, 또 $$ \frac{2\sqrt2}{n} = 2\sqrt2 \cdot \frac1n < 2\sqrt2 \cdot \frac{b-a}{2\sqrt2} = b - a $$ 이므로 $z_2 = a + \dfrac{2\sqrt2}{n} < a + (b-a) = b$이다. 따라서 $a < z_1 < z_2 < b$이고, 두 후보 모두 $a$와 $b$ 사이에 있다. 자격 검증: $z_1$과 $z_2$가 둘 다 유리수라고 가정하자. 유리수의 차는 유리수이므로 $z_2 - z_1 = \dfrac{\sqrt2}{n}$도 유리수여야 한다. 그런데 $\dfrac{\sqrt2}{n} = \dfrac1n \cdot \sqrt2$는 0이 아닌 유리수 $\dfrac1n$과 무리수 $\sqrt2$의 곱이므로 무리수이다(1권 21주차 문제 8). 모순이다. 따라서 $z_1$과 $z_2$ 중 적어도 하나는 무리수이고, 그것을 $z$로 두면 $z$는 $a < z < b$인 무리수이다. $\blacksquare$ **검산.** $a = 0$, $b = 1$이면 $\dfrac{b-a}{2\sqrt2} = \dfrac{1}{2\sqrt2} \approx 0.354$이므로 $n = 3$이 조건을 만족한다($\frac13 \approx 0.333$). $z_1 = \frac{\sqrt2}{3} \approx 0.471$, $z_2 = \frac{2\sqrt2}{3} \approx 0.943$으로 둘 다 $0$과 $1$ 사이에 있고 둘 다 무리수다 ✓. **복기.** 증인을 하나 만들어 검증하는 대신, 후보 둘을 만들고 "둘 다 실패할 수는 없다"를 보이는 것도 구성이다. 이때 얻는 것은 어느 쪽이 증인인지는 모르지만 증인이 있다는 사실이다 — 공급로 ③의 비구성적 성격이 ①$\cdot$②에도 섞여 들어오는 자리다. 임의의 실수 사이에 **유리수**가 존재한다는 짝 명제는 S8주차 문제 19에서 다른 도구로 증명한다. ### 문제 17 **접근.** 예제 2.2에서 가정 $a \neq b$가 소비된 자리는 증인을 만드는 마지막 나눗셈이었다. 그 가정을 빼면 증인을 만드는 나눗셈이 허용되지 않는데, "만들지 못한다"와 "존재하지 않는다"는 다른 말이므로 실제로 존재하지 않는 인스턴스를 하나 제작해 보여야 한다. 반례를 만드는 일 자체가 존재 명제의 구성이다. **풀이.** **증명.** $a = b = 2$로 두자. 자격 확인: $a = b$이므로 이 인스턴스는 새 가정을 만족한다. 이때 두 조건은 $$ 2s + 2t = 1, \qquad s + t = 1 $$ 이다. 이 두 조건을 동시에 만족하는 실수 $s, t$가 존재한다고 가정하자. 둘째 조건에서 $s + t = 1$이므로 첫째 조건의 좌변은 $2s + 2t = 2(s + t) = 2 \times 1 = 2$이고, 첫째 조건에 의해 그 값은 $1$이다. 곧 $2 = 1$이다. 이는 거짓이므로 모순이다. 따라서 이 인스턴스에는 두 조건을 동시에 만족하는 $s, t$가 존재하지 않는다. $\blacksquare$ 가정 $a \neq b$는 예제 2.2에서 증인을 만드는 나눗셈을 허용하는 조각으로 소비되었으므로, 그 조각이 없으면 증인을 만들 수 없고 — 방금 만든 인스턴스가 보이듯 — 실제로 존재하지 않는 경우가 생긴다. **검산.** $a = b = 0$으로 잡아도 같은 결함이 나온다: 첫째 조건이 $0 = 1$이 되어 그 자체로 거짓이므로 해가 없다 ✓. 반대로 $a = b = 1$이면 두 조건이 같은 식 $s + t = 1$이 되어 $(s, t) = (1, 0)$이 실제로 두 조건을 만족한다 — 가정을 빼면 존재가 언제나 무너지는 것이 아니라 **무너질 수 있다**는 것이 정확한 진술이며, 그래서 인스턴스를 하나 제작해 보이는 것으로 충분하다 ✓. **복기.** 이 문제가 만든 것은 "두 조건을 동시에 만족하는 $(s, t)$가 없는 인스턴스가 존재한다"는 존재 명제의 증인이다. 반례 제작(1권 29주차)이 사실은 부정 명제 안의 존재 양화사를 구성하는 일이라는 점이 여기서 드러난다 — 반증과 구성법은 다른 기법이 아니다. ### 문제 18 **접근.** 사건 $x^3 + x = 5$를 $x$에 대해 초등적으로 풀 수 없으므로 공급로 ①이 막힌다. 가정에 재료가 없으므로 ②도 막힌다. 남는 것은 ③이고, 이 경우의 표준 규격은 네 걸음이다 — 함수를 정의하고, 그 함수가 정리의 가정(연속)을 만족함을 확인하고, 부호가 바뀌는 두 점을 계산하고, 정리를 적용해 결론을 번역한다. **풀이.** **증명.** $g(x) = x^3 + x - 5$로 두자. $g$는 다항함수이므로 실수 전체에서 연속이다(다항함수의 연속성 — 기성 정리로 인정한다). 두 점에서 값을 계산하면 $$ g(1) = 1 + 1 - 5 = -3 < 0, \qquad g(2) = 8 + 2 - 5 = 5 > 0 $$ 이다. 곧 $g(1) < 0 < g(2)$이므로 중간값 정리의 가정이 충족된다. 정리에 의해 $1$과 $2$ 사이에 $g(x) = 0$인 실수 $x$가 존재한다. 그 $x$에 대해 $x^3 + x - 5 = 0$, 곧 $x^3 + x = 5$이다. 따라서 $x^3 + x = 5$인 실수 $x$가 존재한다. $\blacksquare$ **검산.** $x = 1.5$이면 $x^3 + x = 3.375 + 1.5 = 4.875 < 5$이고, $x = 1.6$이면 $4.096 + 1.6 = 5.696 > 5$이다. 해가 $1.5$와 $1.6$ 사이에 있다는 것과 위 결론이 어긋나지 않는다 ✓. **복기.** 증명의 어느 줄에도 $x$의 값이 없다. 존재를 확립한 것은 계산이 아니라 정리이고, 이쪽이 한 일은 정리의 가정을 충족시키는 준비 작업뿐이다. 문제 7의 유일 부분과 합치면 "$x^3 + x = 5$인 실수는 정확히 하나"가 되며, 이것이 1권 26주차 "정확히 하나" 서식의 완성형이다. 정리를 인용할 때는 이름과 함께 그 가정이 충족됨을 반드시 적는다 — 인용의 절반은 가정 확인이다. ### 문제 19 **접근.** 양의 유리수는 여러 분수 표현을 가진다. 아무 표현이나 하나 잡으면 자격 "양의 정수"는 확보되지만 사건 "$a + b$가 짝수"는 보장되지 않는다. 그런데 분자와 분모에 같은 수를 곱해도 값은 변하지 않으므로, 합의 홀짝만 바꾸는 조정이 가능하다. 증인 후보를 상황에 따라 갈아 끼우는 설계다. **풀이.** **증명.** 양의 유리수 $q$가 주어졌다고 하자. 유리수의 정의에 의해 $q = \dfrac{m}{n}$인 정수 $m, n$($n \neq 0$)이 존재하니 그런 $m, n$을 잡자. $q > 0$이므로 $m$과 $n$은 같은 부호이고, 둘 다 음수이면 분자와 분모의 부호를 함께 바꾸어도 값이 같으므로 처음부터 $m > 0$, $n > 0$으로 잡을 수 있다. 이제 $m + n$의 홀짝으로 두 경우로 나눈다. 경우 1 — $m + n$이 짝수. $(a, b) = (m, n)$으로 두자. 자격: $m, n$은 양의 정수이다. 사건 1: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{m}{n} = q$이다. 사건 2: $a + b = m + n$은 가정에 의해 짝수이다. 경우 2 — $m + n$이 홀수. $(a, b) = (2m, 2n)$으로 두자. 자격: $m, n$이 양의 정수이므로 $2m, 2n$도 양의 정수이다. 사건 1: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{2m}{2n} = \dfrac{m}{n} = q$이다($n \neq 0$이므로 약분이 가능하다). 사건 2: $a + b = 2m + 2n = 2(m+n)$이고 $m + n$은 정수이므로 $a + b$는 짝수이다. 두 경우가 전체를 덮고 각 경우에서 증인이 확보되므로, 조건을 만족하는 양의 정수 $a, b$가 존재한다. $\blacksquare$ **검산.** $q = \frac23$이면 $m + n = 5$로 홀수이므로 경우 2가 적용되어 $(a, b) = (4, 6)$이다. $\frac46 = \frac23$ ✓이고 $4 + 6 = 10$은 짝수 ✓. $q = \frac13$이면 $m + n = 4$로 짝수이므로 경우 1이 적용되어 $(a, b) = (1, 3)$이고 $1 + 3 = 4$는 짝수 ✓. **복기.** 한 대상을 나타내는 표현이 여럿이라는 사실이 조정의 여지를 만든다. 증인이 유일하지 않다는 것은 결함이 아니라 자원이며, 사건 하나를 만족하는 후보 집합 안에서 나머지 사건까지 만족하는 것을 골라내면 된다. 문제 3(a)에서 경우마다 다른 증인을 만든 것과 같은 설계다. ### 문제 20 **접근.** (a)는 예제 2.1의 확인 13과 예제 2.2의 관찰에서 이미 말한 내용을 세 문장으로 압축하는 문제다. 핵심 낱말은 필요조건과 충분조건이다. (b)는 1권 26주차의 구성적 존재 증명 서식(정의 26.1)과 이번 주 §1.2$\cdot$§1.5를 나란히 놓고 무엇이 더해졌는지 적는다. **풀이.** (예시 답안) (a) 예제 2.2의 대입 소거 계산은 "조건을 만족하는 $(s, t)$가 존재한다면 그 값은 $\frac{1-b}{a-b}$와 $\frac{a-1}{a-b}$일 수밖에 없다"는 필요조건 방향의 정보만 준다 — 존재를 가정한 채 진행한 계산이기 때문이다. 대입 검증이 비로소 "그 값이 실제로 두 식을 만족한다"는 충분조건 방향을 확립한다. S2주차의 방향 검사($B_1 \Rightarrow B$)가 존재 증명에서는 검증 의무라는 이름으로 나타나는 것이다. (b) 1권 26주차의 구성적 존재 증명 서식(정의 26.1 — 증인 지정 $\to$ 조건 전부 검증)은 이번 주에 두 가지를 얻었다. 하나는 대상$\cdot$자격$\cdot$사건 분해로 검증 항목을 목록화하는 규율이고, 이로써 자격 쪽 누락(§1.4의 삭제 실험)이 구조적으로 막힌다. 다른 하나는 증인을 찾는 세 공급로의 체계이며, 특히 공급로 ③ 덕분에 이름을 붙일 수 없는 증인의 존재 증명(문제 18)까지 같은 서식 안에 들어왔다. **복기.** 이 문제의 두 물음은 이번 주 백지 재현의 마지막 두 항목과 같다. 답이 한 줄로 나오지 않으면 §1.2와 §1.5를 다시 읽고 예제 2.1$\cdot$2.2$\cdot$2.3의 대응표(§2의 관찰)를 한 번 더 채워 본다. --- **다음 주 예고 (S6주차):** 양화사 4부작의 두 번째 — 결론에 "**모든**"이 보이는 순간의 **선택법**이다. "임의의 $x$를 잡자"라는 첫 문장이 왜 무한히 많은 경우를 한꺼번에 처리하는지, 잡은 $x$로 무엇을 해도 되고 무엇을 하면 반칙인지(특정 값 대입 금지)를 정면으로 다룬다. 1권의 부분집합 증명과 $\varepsilon$-N 증명의 첫 줄이 전부 이 기법이었다. 이번 주의 "두자"와 다음 주의 "잡자"가 짝을 이루면 양화사 처리의 절반이 완성된다. 원서 5장을 통독하고 온다.