# S3주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

## 예제 — 압축본을 함께 만들고 함께 해부하기

### 예제 2.1 — S2주차의 사슬에 전진을 접속하기

**명제.** 양의 실수 $x$에 대해, $x + \dfrac1x = 2$이면 $x = 1$이다.

**설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지.** 가정이 주는 것(출발점)과 만들어야 할 것 (도착점)을 먼저 정한다. 후진이 이미 끝나 있으므로 도착점 칸에 무엇이 들어가는지가 이번 예제의 관건이다.

|  | **말** | **분석표에서의 자리** |
|---|---|---|
| 가정 (출발점) | $x > 0$이고 $x + \frac1x = 2$ | 전진 기록의 A |
| 목표 (도착점) | $x = 1$ | 후진 기록의 B — S2주차에서 B3까지 내려와 있다 |

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**확인 9.** 전진이 실제로 겨눌 과녁은 B인가 B3인가. 고른 이유도 적어 보자.
:::

:::{admonition} 답
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**B3: $x^2 - 2x + 1 = 0$**이다. B에 도달하는 일은 후진 사슬이 이미 맡아 두었고

(B3 $\Rightarrow$ B2 $\Rightarrow$ B1 $\Rightarrow$ B가 전부 방향 검사를 통과했다), 남은 것은 B3을 참으로 만드는

일뿐이다. 조준 규칙이 말하는 과녁 $B_k$는 언제나 사슬의 **마지막** 결론이다.
:::

**1단계 — 조작의 유효 조건을 먼저 확보한다.** 과녁에 분모가 없으므로 첫 걸음은 분모를 없애는 것이다. 그 조작은 조건이 붙는다.

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**확인 10.** "양변에 $x$를 곱한다"를 쓰려면 목록에서 무엇을 먼저 꺼내야 하는가.
:::

:::{admonition} 답
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$x \neq 0$이다. 이것이 첫 전진 걸음이다.

$A_1$: $x \neq 0$ (근거: 가정 $x > 0$).

정확히 어디에 쓰이는지도 적어 둔다. 등식의 양변에 $x$를 곱하는 일 자체는 조건이

없지만($a = b$이면 $ax = bx$), 곱한 뒤 $x \cdot \frac1x$를 1로 정리하는 대목에서

$x \neq 0$이 필요하다. 이 명제에서는 가정에 $\frac1x$가 적혀 있다는 것만으로도

이미 $x \neq 0$이 요구되고, 목록의 $x > 0$이 그것을 명시적으로 보증한다 —

목록에서 꺼내 적는 일은 그 보증을 눈에 보이게 만드는 일이다.
:::

**2단계 — 과녁을 조준해 분모를 없앤다.**

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**확인 11.** 둘째 걸음을 적어 보자: "$A_2$: $\underline{\qquad}$ (근거: $\underline{\qquad}$)".
:::

:::{admonition} 답
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$A_2$: $x^2 + 1 = 2x$ (근거: A의 양변에 $x$를 곱함 — $A_1$이 유효성을 보장,

근거 ③). 조준의 기록: 과녁 B3에 $x^2$항이 있고 분모가 없으므로 분모를 없애는

방향을 골랐다. 이 조준선은 분석표에만 남고 산문에서는 지워진다.
:::

**3단계 — 과녁의 배치에 맞춘다.**

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**확인 12.** 과녁은 $x^2 - 2x + 1 = 0$이다. $A_2$($x^2 + 1 = 2x$)와 무엇이 다른가. 셋째 걸음 $A_3$을 적어 보자.
:::

:::{admonition} 답
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다른 것은 항의 **배치**뿐이다. 우변의 $2x$를 좌변으로 이항하면 된다.

$A_3$: $x^2 - 2x + 1 = 0$ (근거: $A_2$의 이항, 근거 ③).
:::

**4단계 — 만남을 판정한다.**

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**확인 13.** $A_3$과 B3을 나란히 놓고 판정해 보자. 설계는 끝났는가.
:::

:::{admonition} 답
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끝났다. $A_3$과 B3이 **같은 문장**이다($A_3 = B_3$). §1.5의 사슬이 완성된다:

$A \Rightarrow A_1 \Rightarrow A_2 \Rightarrow A_3 = B_3 \Rightarrow B_2 \Rightarrow B_1 \Rightarrow B$.

이제 왼쪽에서 오른쪽으로 읽어 산문으로 옮기기만 하면 된다.
:::

**5단계 — 산문으로 옮긴다.**

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**확인 14.** 산문의 첫 문장은 무엇인가. 분석표의 어느 칸이 첫 문장이 되는가.
:::

:::{admonition} 답
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"$x$가 양의 실수이고 $x + \frac1x = 2$라 하자." 전진 기록의 **A 칸**이 첫

문장이 된다. 후진 기록의 B는 마지막 문장이 되고, 그 사이의 B1$\cdot$B2$\cdot$B3은

순서가 뒤집힌 채 본문 뒷부분에 들어간다.
:::

**완성본.** 다섯 문장을 이어 붙이면 아래 왼쪽 열이 된다. 손으로 베껴 쓰면서 각 줄 옆의 "왜?"에 스스로 답해 본다.

| 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? |
|---|---|
| $x$가 양의 실수이고 $x + \frac1x = 2$라 하자. | 가정을 선언해 사실 목록을 연다. 이후의 모든 줄은 이 목록에서만 나온다. |
| $x > 0$이므로 양변에 $x$를 곱하면 $x^2 + 1 = 2x$이다. | 전진 $A_1$과 $A_2$를 한 문장에 담았다. 앞 절반이 $x \cdot \frac1x$를 1로 정리할 수 있게 하는 유효 조건이고 뒤 절반이 조작이다(근거 ③). |
| 이항하면 $x^2 - 2x + 1 = 0$, 즉 $(x-1)^2 = 0$이다. | 전진 $A_3$으로 과녁에 도달하고, 같은 문장을 B2의 꼴로 다시 적어 만남 지점을 통과한다. |
| 실수의 제곱이 0이면 그 실수는 0이므로 $x - 1 = 0$이다. | 후진 걸음 B2 $\Rightarrow$ B1을 전진 방향으로 서술한다. 근거는 1권 16주차 (W1)의 등호 조건이다. |
| 따라서 $x = 1$이다. $\blacksquare$ | 후진 걸음 B1 $\Rightarrow$ B. 목표 도달을 선언하고 마감 표시를 단다. |

**해부 — 무엇이 지워졌는가.** 같은 완성본을 이번에는 읽는 쪽에서 본다.

| **산문의 줄** | **출신** | **지워진 것** |
|---|---|---|
| "$x + \frac1x = 2$라 하자" | 가정 선언 | 없음. 압축본에서 유일하게 설계와 모양이 같은 줄이다. |
| "양변에 $x$를 곱하면 …" | 전진 $A_1$, $A_2$ | 조준선. 왜 하필 $x$를 곱했는지는 분석표에만 있었다. |
| "즉 $(x-1)^2 = 0$이다" | 만남 지점 통과 | 만남 표시. 접속사 "즉" 하나가 전진과 후진의 이음매를 덮고 있다. |
| "실수의 제곱이 0이면 …" | 후진 B2 $\Rightarrow$ B1 | 핵심 질문 "어떤 식이 0임을 어떻게 보이는가". 답만 남았다. |
| "따라서 $x = 1$이다" | 후진 B1 $\Rightarrow$ B | 핵심 질문 "두 실수가 같음을 어떻게 보이는가". 여기서는 답조차 흔적만 남았다. |

다섯 줄 가운데 설계와 모양이 같은 줄은 첫 줄 하나뿐이다. 나머지 넷은 전부 방향이 뒤집혔거나 질문이 지워졌다.

### 예제 2.2 — 압축 증명 해부 (읽기 방향)

**과제.** 다음 완성 증명을 해부한다. 명제는 S2주차 예제 2.2에서 후진 사슬을 만든 것과 같다.

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**명제.** 삼각형 $ABC$에서 $AB = AC$이고 $D$가 $BC$의 중점이면 $AD \perp BC$이다.

**증명.** 삼각형 $ABD$와 $ACD$를 생각하자. $AB = AC$는 가정이고, $D$가 중점이므로 $BD = CD$이며, $AD$는 공통이다. 따라서 SSS에 의해 $\triangle ABD \cong \triangle ACD$이고, 대응각이므로 $\angle ADB = \angle ADC$이다. 그런데 $D$는 선분 $BC$ 위의 점이므로 $\angle ADB + \angle ADC = 180^\circ$이다. 그러므로 $\angle ADB = 90^\circ$, 즉 $AD \perp BC$이다. $\blacksquare$
:::

이번에는 설계만 함께 하고 해부표는 완성된 것을 본다.

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**확인 15.** 이 증명에서 가장 뜬금없어 보이는 줄은 어느 것인가. 그 줄에 §1.6의 세 복원 항목 중 무엇을 먼저 물어야 하는가.
:::

:::{admonition} 답
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첫 줄 "삼각형 $ABD$와 $ACD$를 생각하자"이다. 가정 어디에도 이 두 삼각형은

등장하지 않는데 갑자기 무대에 오른다. 먼저 물을 것은 ①(출신)이다 —

이 줄이 전진의 산물이라면 가정에서 유도됐어야 하는데, 가정에서 "두 삼각형을

생각하라"는 문장이 유도될 리 없다. 그러면 남는 답은 하나다.
:::

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**확인 16.** 그 줄이 후진의 흔적이라면, S2주차 예제 2.2에서 만든 사슬의 어느 조각이 첫 문장으로 승격된 것인가.
:::

:::{admonition} 답
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사슬의 **B2**($\triangle ABD \cong \triangle ACD$)를 세우기 위한 무대 설치다.

S2주차의 사슬은 B(수직) $\Leftarrow$ B1(두 각이 같음) $\Leftarrow$ B2(두 삼각형이 합동)

$\Leftarrow$ B3($AB = AC$, $BD = DC$, $AD = AD$)이며, 첫 문장은 B2가 요구하는 두 삼각형을

무대에 올린 것이고 종착 B3은 곧바로 둘째 문장이 된다. 세 단의 후진 질문(수직에서

각으로, 각에서 합동으로, 합동에서 세 변으로)이 통째로 지워지고 그 결과만 남았다.
:::

**해부표.**

| **줄** | **출신** | **지워진 핵심 질문** |
|---|---|---|
| "삼각형 $ABD$와 $ACD$를 생각하자" | 후진의 흔적 — 종착 B3 직전의 B2가 첫수로 승격됨 | "수직을 보이려면?" $\to$ "각으로" $\to$ "각이 같음을 보이려면?" $\to$ "합동으로" 두 단이 통째로 지워졌다 |
| "$AB = AC$, $BD = CD$, $AD$는 공통" | 전진 — 사실 셋을 정렬해 종착 B3에 도달 | 중점의 정의를 푼 걸음(근거 ①)이 "$D$가 중점이므로" 한 마디로 압축됐다. "합동을 보이려면?" $\to$ "SSS로"라는 셋째 단도 함께 지워졌다 |
| "SSS에 의해 합동" | 만남 지점 — B3에서 B2로 올라선다 | 갈림길. SAS도 검토됐다는 사실은 흔적이 없다(문제 12에서 복원한다) |
| "대응각이므로 $\angle ADB = \angle ADC$" | 후진 B2 $\Rightarrow$ B1을 전진 방향으로 서술 | 합동의 정의(대응하는 부분이 모두 같다)가 근거이며 생략됐다 |
| "평각이므로 $\angle ADB = 90^\circ$" | 후진 B1 $\Rightarrow$ B | "같은 두 각의 합이 $180^\circ$이면 각각 $90^\circ$"라는 산수가 독자 몫으로 넘어갔다 |

**관찰.** 압축 증명에서 가장 뜬금없어 보이는 첫수는 거의 언제나 후진 사슬의 아래쪽 조각이다. 이 한 가지를 알고 읽으면 원서의 증명에서 "왜 갑자기"라고 느끼는 지점이 곧바로 "여기서 후진 몇 단이 지워졌다"로 바뀐다.

### 예제 2.3 — 조준 없는 전진

**명제.** 실수 $a, b$에 대해, $a > b > 0$이면 $\dfrac1b > \dfrac1a$이다.

이번에는 설계부터 스스로 해 보자. 아래 시도 1을 읽기 전에 후진 한 걸음을 직접 적어 본 뒤 비교한다.

**시도 1 — 후진 없이 전진만.** 가정 $a > b > 0$에서 유도할 수 있는 것을 늘려 본다. 목록에 $a > 0$과 $b > 0$이 있으므로 1권 16주차 (W3)에 의해 양변에 $a$를 곱해도 부등호 방향이 유지되어 $a^2 > ab$이고, 같은 이유로 양변에 $b$를 곱해 $ab > b^2$이며, (W6) 추이성으로 이으면 $a^2 > b^2$이다. 여기서 제곱근을 취해 보려 하지만 얻는 것은 $a > b$로, 출발점으로 돌아온다.

**진단.** 유도된 세 사실 $a^2 > ab$, $ab > b^2$, $a^2 > b^2$은 전부 참이다. 그런데 셋 중 어느 것에도 $\frac1a$나 $\frac1b$가 없다. 과녁을 정하지 않았으므로 가까워졌는지 멀어졌는지를 판정할 기준 자체가 없었다. 참인 것과 쓸모 있는 것은 다르다.

**시도 2 — 후진을 먼저.** B: $\frac1b > \frac1a$. 핵심 질문(추상형): "한 실수가 다른 실수보다 큼을 어떻게 보이는가?" 답: "차가 양수임을 보인다." B1: $\frac1b - \frac1a > 0$. 방향 검사: $\frac1b - \frac1a > 0 \Rightarrow \frac1b > \frac1a$ ✓ (1권 16주차 (W2), 양변에 $\frac1a$를 더한다). 통분하면 B2: $\dfrac{a-b}{ab} > 0$이며, 항등 변형이므로 $\iff$이다. B2의 핵심 질문: "분수가 양수임을 어떻게 보이는가?" 답: "분자와 분모가 모두 양수임을 보인다." B3: $a - b > 0$이고 $ab > 0$. 방향 검사 ✓ (분자가 양수이고 분모가 양수이면 몫도 양수 — 1권 16주차 (W5)).

이제 과녁이 정해졌으므로 전진은 두 걸음이면 끝난다. $A_1$: $a - b > 0$ (가정 $a > b$의 이항, 근거 ③). $A_2$: $ab > 0$ (양수끼리의 곱은 양수 — 1권 16주차 (W4)). $A_1$과 $A_2$가 합쳐져 B3이 되므로 **만남**이다.

**증명.** $a > b > 0$이라 하자. 그러면 $a - b > 0$이고, $a > 0$, $b > 0$이므로 (W4)에 의해 $ab > 0$이다. 따라서 (W5)에 의해

$$
\frac1b - \frac1a = \frac{a - b}{ab} > 0
$$

이고, 양변에 $\frac1a$를 더하면 $\frac1b > \frac1a$이다. $\blacksquare$

시도 1이 만든 $a^2 > b^2$은 참이지만 이 증명 어디에도 등장하지 않는다. 이 명제의 증명에 필요한 것은 1권 16주차의 (W4)와 (W5)뿐이고, 그 둘을 고르게 해 준 것은 후진이 내려 준 과녁 B3이다.

### 관찰 — 같은 뼈대

예제 2.1과 2.3은 소재가 다르지만 걸음의 배치가 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자.

| **걸음** | **예제 2.1** | **예제 2.3** |
|---|---|---|
| 후진 첫 질문 | "두 실수가 같음을 어떻게 보이는가" | $\underline{\quad(1)\quad}$ |
| 채택한 답 | 차가 0임을 보인다 | $\underline{\quad(2)\quad}$ |
| 과녁 $B_k$ | $x^2 - 2x + 1 = 0$ | $\underline{\quad(3)\quad}$ |
| 전진 걸음 | $A_1$, $A_2$, $A_3$ | $\underline{\quad(4)\quad}$ |
| 만남 | $A_3 = B_3$ | $A_1 \wedge A_2 = B_3$ |

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**확인 17.** 빈칸 (1)~(4)를 채워 보자.
:::

:::{admonition} 답
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(1) "한 실수가 다른 실수보다 큼을 어떻게 보이는가"

(2) 차가 양수임을 보인다

(3) "$a - b > 0$이고 $ab > 0$"

(4) $A_1$, $A_2$ 두 걸음.

소재는 등식과 부등식으로 다르지만 질문의 꼴("어떻게 보이는가")도, 답이 차의

부호로 내려오는 것도, 과녁이 사슬의 마지막 결론인 것도 같다.
:::

:::{container} quotebox
**확인 18.** 두 예제에서 공통으로 반복된 순서를 세 걸음으로 적어 보자.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

① 후진으로 과녁 $B_k$를 정한다 $\to$ ② 과녁을 조준해 전진한다 $\to$ ③ 만남 지점에서

사슬을 이어 전진 방향 산문으로 옮긴다.
:::

방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다.

:::{admonition} 백지 암기 대상
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**증명 설계의 3단 뼈대**

① 후진으로 과녁을 정한다(핵심 질문 $\to$ 답 $\to$ 새 결론, 방향 검사) $\to$ ② 과녁을 조준해 전진한다(목록 확인 $\to$ 유도 $\to$ 목록 추가) $\to$ ③ 만남을 판정하고 사슬을 전진 방향 산문으로 옮긴다.
:::

이 뼈대는 S4주차 이후의 모든 기법에서 그대로 쓰인다. 바뀌는 것은 ①의 "답"을 어디서 가져오는가뿐이다 — S4주차의 정의, S5주차의 구성법, S6주차의 선택법이 차례로 그 공급처가 된다.

## 빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며

베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 §6에 있다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다.

### 훈련 1 ●○○ — 분석표의 수식 빈칸

**명제.** 실수 $x$에 대해, $x^2 - 6x + 9 = 0$이면 $x = 3$이다.

**후진 기록.** B: $x = 3$. 핵심 질문: "두 실수가 같음을 어떻게 보이는가?" 답: 차가 0임을 보인다. $\to$ B1: $\underline{\quad(1)\quad}$. 방향 검사 ✓. B1의 질문: "어떤 식이 0임을 어떻게 보이는가?" 답: 그 식의 제곱이 0임을 보인다. $\to$ B2: $\underline{\quad(2)\quad}$. 방향 검사 ✓ (1권 16주차 (W1)의 등호 조건).

**전진 기록.** A: $x^2 - 6x + 9 = 0$ $\to$ $A_1$: $(x-3)^2 = 0$ (근거: $\underline{\quad(3)\quad}$, 조준: 과녁 B2가 제곱 꼴이므로).

**만남.** $\underline{\quad(4)\quad}$.

**산문.** "$x^2 - 6x + 9 = 0$이라 하자. 좌변을 인수분해하면 $(x-3)^2 = 0$이고, 실수의 제곱이 0이면 그 실수는 0이므로 $\underline{\quad(5)\quad}$, 곧 $x = 3$이다. $\blacksquare$"

### 훈련 2 ●●○ — 수식과 근거를 함께

이번에는 근거 문장도 빈칸이다.

**명제.** 정수 $n$에 대해, $n$이 짝수이면 $n^2 + 2n$은 4의 배수이다.

**후진 기록.** B: $n^2 + 2n$은 4의 배수. 핵심 질문: "$\underline{\quad(1)\quad}$" 답: 정의의 꼴로 실제로 써 보인다. $\to$ B1: $n^2 + 2n = 4 \times (\text{정수})$ 꼴을 만든다. 방향 검사 ✓ ($4 \times$정수 꼴이면 정의에 의해 4의 배수 — 정의이므로 $\iff$).

**전진 기록.** A: $n$은 짝수 $\to$ $A_1$: $n = 2k$인 정수 $k$가 존재 (근거: $\underline{\quad(2)\quad}$) $\to$ $A_2$: $n^2 + 2n = \underline{\quad(3)\quad} = 4(k^2 + k)$ (근거: 대입과 묶기 — 근거 ③, 조준: 과녁이 $\underline{\quad(4)\quad}$ 꼴이므로 4를 묶는다) $\to$ $A_3$: $k^2 + k$는 정수 (근거: $\underline{\quad(5)\quad}$).

**만남.** $A_2$와 $A_3$이 합쳐져 B1이 된다.

**산문.** 위 세 걸음을 한 문단으로 옮겨 적는다.

### 훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고

이번에는 분석표의 칸을 통째로 채운다. 인수분해 공식 $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$는 근거 ④로 인용해도 된다.

**명제.** 실수 $x, y$에 대해, $x^3 + x = y^3 + y$이면 $x = y$이다.

- **후진 1걸음.** B: $x = y$ $\Leftarrow$ B1: $\underline{\quad(1)\quad}$. 방향 검사 ✓

(양변에 $y$를 더한다 — 등식의 성질, 근거 ③).

- **전진.** A: $x^3 + x = y^3 + y$ $\to$ $A_1$: $x^3 - y^3 + x - y = 0$ (이항)

$\to$ $A_2$: $(x-y)(\underline{\quad(2)\quad}) + (x - y) = 0$ (인수분해) $\to$ $A_3$: $(x - y)(x^2 + xy + y^2 + \underline{\quad(3)\quad}) = 0$ (공통 인수 묶기).

- **후진 재개.** 곱이 0이므로 영인수 성질(1권 25주차 문제 13에 딸린 상자)을 쓰려면

둘째 인수가 0이 아님을 보여야 한다. $\to$ B2: $x^2 + xy + y^2 + 1 \neq 0$. 방향 검사: B2가 $A_3$과 결합해 영인수 성질로 B1을 준다 ✓

- **B2의 처리.** $x^2 + xy + y^2 = \left(x + \dfrac y2\right)^2 + \underline{\quad(4)\quad} \ge 0$

(완전제곱 — 1권 16주차 문제 5의 기술)이므로 둘째 인수는 $\underline{\quad(5)\quad}$ 이상이고, 따라서 0이 아니다. 아는 참에 도달했으므로 **만남**이다.

- **산문.** $\underline{\quad(6)\quad}$.
- **검산.** $\left(x + \frac y2\right)^2 + \frac{3y^2}4$를 전개하면

$x^2 + xy + \frac{y^2}4 + \frac{3y^2}4 = x^2 + xy + y^2$ ✓

## 연습문제 (20문항)

해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 접근까지만 읽고 다시 시도한다.

:::{admonition} 이번 주의 채점 기준
:class: quotebox

답이 아니라 근거가 점수다. 이번 주의 기본 제출물은 세 가지다: ① 분석표(후진 기록$\cdot$전진 기록 2열) ② 만남 지점 표시 ③ 압축 산문. 해부 문제는 줄별로 출신과 지워진 질문을 적은 표로 제출한다. 산문만 있고 분석표가 없으면 설계를 보인 것이 아니고, 분석표만 있고 산문이 없으면 문제 13의 진단 대상이 된다. 힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.
:::

### 기본 ●○○

**1.** [백지] 전진 과정의 절차 3단계, 조준 규칙, 만남의 정의를 쓰시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

§1.3과 §1.4, §1.5의 상자 셋이다. 절차는 "본다 / 유도한다 / 추가한다"의 세

동사로 기억하고, 조준 규칙은 "$B_k$를 과녁으로"라는 구절이 들어가야 한다.
:::

**2.** [백지] 압축 증명에서 지워지는 것 5가지(개념 절 표의 왼쪽 열)를 쓰시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

§1.6의 표다. 다섯 항목은 질문 / 방향 / 갈림길 / 시행착오 / 근거 순으로 외운다.
:::

**3.** 가진 사실 "$n$은 짝수, $m$은 홀수"에서 전진 3걸음으로 유도할 수 있는 사실을 5개 나열하고, 그중 결론 "$n + m$은 홀수"를 조준할 때 쓸 것 2개에 $\circ$표 하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

먼저 정의를 풀어 등식 두 개를 만든다(1권 1주차). 그다음 합$\cdot$곱$\cdot$제곱을 자유롭게

만들어 다섯 개를 채우고, 과녁 $n + m = 2(\text{정수}) + 1$의 겉모양과 대조한다.
:::

**4.** 빈칸 훈련을 백지에서 완성하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

§3의 훈련 1$\cdot$2$\cdot$3 전부를 가리킨다. 훈련 3은 인수분해 공식만 인용하고 나머지는

스스로 세운다.
:::

**5.** 예제 2.1의 분석표와 산문을 백지에 재현하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

분석표는 후진 4행(B, B1, B2, B3)과 전진 3행($A_1$, $A_2$, $A_3$), 산문은 다섯

문장이다. 첫 전진 걸음이 $x \neq 0$이라는 것을 빠뜨리지 않는다.
:::

**6.** 예제 2.3의 두 시도를 재현하고, 시도 1의 $A_3$($a^2 > b^2$)이 "참이지만 무용"인 이유를 한 문장으로 쓰시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

이유는 "틀렸기 때문"이 아니다. 과녁 B3의 겉모양과 $a^2 > b^2$의 겉모양을

나란히 놓고 무엇이 없는지 본다.
:::

### 표준 ●●○

**7.** 명제 "정수 $a, b, c$에 대해, $a \mid b$이고 $b \mid c$이면 $a \mid c$"(1권 2주차 예제 2.1)의 분석표를 작성하시오 — 후진(질문: 나누어떨어짐을 보이려면? $\to$ $c = a \cdot \text{정수}$ 제작)과 전진(두 사실의 정의 번역, 대입)의 만남 지점을 명시할 것.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

전진에서 두 정의를 풀 때 문자를 반드시 다르게 잡는다(1권 1주차의 문자 재사용

경보). 같은 문자를 쓰면 $b = ak$, $c = bk$가 되어 $k$가 두 번 같은 값이라고

몰래 가정한 것이 된다.
:::

**8.** 명제 "실수 $x$에 대해, $x^3 = 8$이면 $x = 2$"(S2주차 문제 8)의 분석표를 완성하고 압축 산문을 쓰시오.

**9.** S1주차 문제 17 / S2주차 사슬의 명제 "$a, b > 0$, $a \neq b$이면 $\frac{a+b}2 > \sqrt{ab}$"의 **완성 산문**을 쓰시오 — 후진 사슬($(\sqrt a - \sqrt b)^2 > 0$까지)을 전진 방향으로 뒤집어 서술하고, 사실 "$a \neq b$"의 소비처를 명시할 것.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

소비처를 찾는 방법: 완성 산문에서 "$a \neq b$"를 지워 보고 어느 문장이

무너지는지 본다. 무너지는 것은 부등호가 $\ge$가 아니라 $>$인 자리다.
:::

**10.** 다음 압축 증명을 해부하시오 (줄별 전진/후진 출신 + 지워진 핵심 질문).

:::{container} quotebox
**명제.** 정수 $n$에 대해, $n$이 홀수이면 $n^2$은 홀수이다.

**증명.** $n$이 홀수라 하자. 그러면 $n = 2k + 1$인 정수 $k$가 있다. 이때 $n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$이고, $2k^2 + 2k$는 정수이므로 $n^2$은 홀수이다. $\blacksquare$

(특히: "$2(2k^2+2k)+1$로 **묶는 방향**"은 전진만으로는 설명되지 않는다 — 어떤 후진 목표가 이 묶음을 조준시켰는가?)
:::

:::{admonition} 이 문제가 처음 요구하는 것 — 전개의 역방향
:class: quotebox

전진의 자연스러운 방향은 식을 푸는 쪽(전개)이다. 그런데 이 증명의 넷째 줄은

이미 전개한 식을 다시 묶는다. 전진만 하는 사람은 이 방향으로 가지 않는다.

전개한 식을 다시 묶는 줄을 만나면 그 묶음의 꼴이 곧 과녁이라고 보면 된다.
:::

**11.** 명제 "$A \subseteq B$이면 $A \cup B = B$"(1권 27주차 세계)의 분석표를 작성하시오. (후진: 집합 상등 $\to$ 양방향 포함($\subseteq$$\cdot$$\supseteq$) 두 과녁 / 전진: $\supseteq$는 공짜($B \subseteq A \cup B$), $\subseteq$ 쪽에서 가진 사실 $A \subseteq B$ 소비 — 만남 2회)

:::{admonition} 과녁이 둘로 갈라지는 경우
:class: quotebox

지금까지의 분석표는 과녁이 하나였다. 집합 상등처럼 후진의 답이 "두 가지를

각각 보인다"인 경우에는 과녁이 둘로 갈라지고, 분석표도 두 벌이 된다. 각

과녁마다 전진을 따로 진행하고 만남도 따로 판정한다. 판정 기준은 1권 27주차

정의 27.1(양방향 포함)이다.
:::

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

두 과녁의 난이도가 크게 다르다. 한쪽은 전진이 한 걸음도 필요 없고(가정을

쓰지 않아도 참이다), 다른 한쪽에서만 $A \subseteq B$가 소비된다. 어느 쪽인지

먼저 판정하고 시작한다.
:::

**12.** 예제 2.2의 기하 증명을, 갈림길에서 **SAS**를 채택한 버전으로 다시 쓰시오. (사실 정렬: $AB = AC$, $BD = CD$, 끼인각은? — 끼인각의 같음을 가진 사실에서 못 꺼낸다는 것을 발견하고, 왜 SSS가 옳은 선택이었는지 결론 낼 것. 갈림길 검토가 "버린 가지"가 되는 과정의 체험)

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

SAS의 규격은 "두 변과 그 끼인각"이다. $AB$와 $AD$를 두 변으로 잡으면 끼인각은

$\angle BAD$가 된다. 이 각이 $\angle CAD$와 같다는 사실이 목록에 있는지 확인한다.
:::

**13.** 다음 학생의 답안을 진단하시오 (병명: 장부 제출).

:::{container} quotebox
"B: $x = 1$을 보이면 된다. 질문: 두 실수가 같음을 보이려면? 답: 차가 0. B1: $x - 1 = 0$. 한편 A에서 $x^2 - 2x + 1 = 0$이 나온다. $(x-1)^2 = 0$이므로 B1 성립. 그래서 B 성립. 증명 끝."

(수학은 전부 맞다 — 무엇이 문제이고, 1권 20주차의 어떤 조항들을 위반했으며, 어떻게 고쳐야 하는가?)
:::

:::{admonition} 천장 기호 — 다음 문제에서 처음 쓴다
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$\lceil t \rceil$는 "천장 $t$"로 읽고, $t$ 이상인 가장 작은 정수를 뜻한다.

예를 들어 $\lceil 3.2 \rceil = 4$이고 $\lceil 5 \rceil = 5$이다. 1권에는 이 기호가

나오지 않는다 — 아래 문제가 해부하는 것은 다른 교재의 압축본에 흔한 줄이다.
:::

**14.** $\varepsilon$-N 증명($\frac1n \to 0$ — 1권 45주차 예제 2.1)의 압축본에 흔히 등장하는 "**$N = \lceil \frac1\varepsilon \rceil$로 잡자**" 꼴의 줄(1권은 같은 자리를 아르키메데스 성질 인용으로 처리했다)의 출신을 해부하시오: 이 N은 전진의 산물인가? — 아니라면, 어떤 후진(거꾸로 풀기)이 지워진 것인지 1권 45주차의 "문턱 제작" 과정으로 복원하시오. ("잡자"로 시작하는 줄은 거의 언제나 지워진 후진의 화석이라는 일반 교훈까지)

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

1권 45주차 예제 2.1에는 "연습장 — $N$을 발견한다"라는 절이 따로 있고, 거기서

목표 부등식을 $n$에 대해 거꾸로 푼다. 압축본은 그 연습장을 통째로 지우고

결과만 선언한 것이다. 지워진 것이 무엇인지는 그 연습장을 다시 적으면 된다.
:::

### 도전 ●●●

**15.** 명제 "실수 $x, y > 0$에 대해, $\frac{x + y}2 \cdot \frac2{\frac1x + \frac1y} = xy$" — 즉 산술평균 $\times$ 조화평균 = 기하평균². 분석표를 작성해 증명하시오. (후진: 등식 $\to$ 좌변을 계산해 우변으로 — 사실상 전진만으로 끝나는 게임. 조화평균 $\frac2{\frac1x + \frac1y} = \frac{2xy}{x+y}$ 정리가 핵심 걸음. "등식 증명은 후진이 짧다"는 관찰까지)

**16.** 명제 "정수 $n$에 대해, $n^2 + n$은 짝수이다"를 **두 벌**의 분석표로 증명하시오: (a) 인수분해 $n(n+1)$ + 연속 정수 홀짝 케이스 (1권 17주차) (b) 귀납법 없이, $n$의 홀짝 케이스로 직접. 두 압축본을 쓰고 — 같은 명제의 다른 증명이 **다른 후진 첫 질문**에서 갈라졌음을 명시하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

두 분석표의 차이는 첫 질문의 **답 선택**에 있다. (a)는 "2를 구조에서 꺼낸다",

(b)는 "$n$의 표현을 경우로 나눠 각각 대입한다"를 골랐다. 갈라지는 지점을

분석표의 어느 행에서 짚을 수 있는지 표시한다.
:::

**17.** 다음 압축 증명(1권 21주차 예제 2.2)의 첫수 "$\sqrt2 = \frac ab$ (기약)라 하자"를 해부하시오: 이 첫수는 전진인가 후진인가 — 귀류법에서 "부정을 가정"하는 행위를 전진-후진 틀로 설명하고(새 게임의 A′은 무엇이고 새 목표 B′("모순")은 무엇인가), "기약"이라는 조건이 **왜 미리** 장착되는지(어느 후진 목표가 그것을 조준시켰는지) 쓰시오. (귀류법을 다루는 S11주차의 예고편 — 지금은 틀만 잡아 보기)

:::{admonition} 귀류법을 전진-후진 틀로 보는 법 — S11주차의 예고
:class: quotebox

지금까지 다룬 증명은 A와 B가 고정된 한 판이었다. 귀류법은 판 자체를 바꾼다:

원래의 A에 "B의 부정"을 더한 것이 새 가정 A′이 되고, 새 목표 B′는 "모순"이다.

이번 문제에서는 이 교체가 일어났다는 것과, 새 목표가 특정한 문장이 아니라

"아무 모순"이라는 점만 확인하면 된다. 본격적인 다루기는 S11주차다.
:::

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

"기약"이 없어도 $\sqrt2 = \frac ab$라고 쓸 수는 있다. 그런데 증명의 마지막에서

무엇과 무엇이 충돌해 모순이 되는지 보면, 그 충돌의 한쪽 편이 바로 "기약"이다.

결론에서 거꾸로 읽으면 이 조건이 어디서 요구됐는지 드러난다.
:::

**18.** (해부 종합) 다음 증명을 읽고 물음에 답하시오.

:::{container} quotebox
**명제.** 실수 $a, b$에 대해 $a^2 + ab + b^2 \ge 0$.

**증명.** $a^2 + ab + b^2 = \left(a + \frac b2\right)^2 + \frac{3b^2}4$이고, 두 항 모두 제곱(에 양수 배)이므로 0 이상이다. 따라서 $a^2 + ab + b^2 \ge 0$이다. $\blacksquare$

(a) 첫 줄의 완전제곱 변형은 전진인가, 지워진 후진의 화석인가? 지워진 핵심 질문 사슬을 복원하시오.

(b) 등호는 언제 성립하는가 — 증명을 연장하시오 (두 항이 동시에 0 $\Leftrightarrow$ $a = b = 0$; "합=0 $\land$ 각항$\ge$0 $\Rightarrow$ 각항=0"은 1권 23주차 문제 10의 원리).

(c) 이 명제가 빈칸 훈련의 어느 조각으로 재사용되었는지 지목하시오.
:::

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

(a)의 판정법: 가정이 없는 명제이므로 전진의 출발점이 될 사실 목록 자체가

비어 있다. 그렇다면 첫 줄은 어디서 왔겠는가.
:::

**19.** (설계) 명제 "양의 실수 $a, b$에 대해, $a + b = 1$이면 $ab \le \frac14$이다"의 분석표를 작성하고 압축본을 쓰시오. 갈림길 요구: 후진 첫 질문에 대한 답 두 가지 — ① 차가 0 이상: $\frac14 - ab \ge 0$을 가진 사실 $b = 1 - a$ 대입으로 $(a - \frac12)^2 \ge 0$까지 ② AM–GM(문제 9의 정리)을 기성품으로 인용: $\sqrt{ab} \le \frac{a+b}2 = \frac12$ — 두 길을 모두 완주하고 어느 쪽이 짧은지 평가하시오. (기성품 정리 = 접어 둔 후진 사슬, S2주차 문제 19의 관찰 재확인)

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

②에서 문제 9의 명제는 $a \neq b$일 때의 엄격 부등식이다. 이 문제는 $a = b$인

경우도 포함하므로 등호를 포함한 판($\le$)이 필요하다. 인용하기 전에 그 판이

성립하는지 한 줄로 확인하고 시작한다.
:::

**20.** (서술) (a) "증명을 읽을 수 있다"의 정의가 이번 주로 어떻게 바뀌었는지 — 1권의 "왜? 표"(근거 복원)에 이번 주가 추가한 두 복원(방향 출신, 지워진 질문)을 넣어 세 문장 이내로. (b) "증명의 첫수가 뜬금없어 보이면 그것은 대개 후진 사슬의 아래쪽 조각"이라는 명제를 이번 주 예제$\cdot$문제에서 사례 둘로 뒷받침하시오 (두 문장 이내).

## 백지 재현 — 복습 프로토콜

**이번 주의 5일 루틴.** 원서와 교안을 번갈아 쓰는 순서다.

| **요일** | **할 일** |
|---|---|
| 1일차 | 원서 Solow 2장 후반 통독 (모르는 문장은 표시만 하고 통과) |
| 2일차 | 교안 §0~§2 — 개념과 예제. 확인 상자는 연필로 먼저 답한다 |
| 3일차 | 원서 재독 — 1일차에 표시한 문장을 해결하고, 원서 2장 연습문제 몇 개를 직접 시도 |
| 4일차 | 교안 §3 빈칸 사다리 + §4 연습문제 20문항 |
| 5일차 | 백지 재현 1차(틀 카드)$\cdot$2차(완전 백지) + 체크리스트 |

3일차의 재독이 이번 주에는 특히 중요하다. 원서 2장 후반은 분석표를 그리지 않고 설명으로 전진과 만남을 다루므로, 교안의 분석표를 손에 쥐고 다시 읽으면 원서의 서술이 어느 칸을 말하는지 대응시킬 수 있다.

**1차 시도 — 틀 카드 허용.** 다음 세 상자만 옮겨 적은 카드를 펴 놓는다: 전진 과정의 절차 3단계, 조준 규칙, 만남의 정의. 그 상태에서 예제 2.1의 분석표와 산문을 처음부터 끝까지 적는다. 예제 본문과 확인 상자는 보지 않는다.

**2차 시도 — 완전 백지.** 아무것도 보지 않고 수행한다.

- [ ] 전진 과정의 절차 3단계, 조준 규칙, 만남의 정의를 백지에 썼다.
- [ ] 예제 2.1의 분석표(후진 4행 + 전진 3행)와 산문 5문장을 재현했다.
- [ ] 압축 증명 하나(예제 2.2 또는 문제 10)를 해부표로 복원했다 — 줄마다 출신과 지워진 질문을 적었다.
- [ ] 예제 2.3의 시도 1이 왜 진행되지 않는지 한 문장으로 설명했다.
- [ ] 분석표와 산문을 섞으면 안 되는 이유를 한 문장으로 말했다(§1.7).
- [ ] 원서 2장을 완독했고, 1일차에 표시한 문장이 전부 해결되었다.

**막힌 지점별 처방.** 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.

| **막힌 지점** | **처방** |
|---|---|
| 후진 사슬은 그렸는데 그다음이 나오지 않는다 | §1.1과 §0 유형 1 — 참을 만드는 것은 가정에서 출발하는 걸음뿐이다 |
| 전진을 시작하면 식이 계속 불어난다 | §1.4 조준 규칙 — 과녁의 겉모양(분모$\cdot$차수$\cdot$문자)과 대조하며 고른다 |
| 만남을 판정하지 못하겠다 | §1.5 — $A_m$과 $B_k$를 나란히 적어 같은 문장인지만 본다 |
| 분석표를 산문으로 옮기는 데서 막힌다 | 예제 2.1의 5단계와 완성본 표 — A 칸이 첫 문장, B가 마지막 문장이다 |
| 압축본을 읽어도 왜 그 줄이 있는지 모르겠다 | §1.6의 세 복원 항목 — ②(지워진 질문)부터 묻는다 |
| 조작을 해도 되는지 매번 헷갈린다 | §1.3의 삭제 실험 ① — 목록에 그 조건이 있는지 확인한다 |

하나라도 실패하면 그 항목만 다시 적고 다음날 재시도한다.

## 해설

각 해설은 **접근**(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 **풀이**로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.

### 빈칸 사다리 — 훈련 1

(1) $x - 3 = 0$  (2) $(x - 3)^2 = 0$  (3) 인수분해(완전제곱식으로 묶기) — 근거 ③ (4) $A_1 = B_2$  (5) $x - 3 = 0$

※ 전진이 한 걸음뿐인 것은 가정 자체가 이미 과녁과 거의 같은 꼴이었기 때문이다. 후진이 두 걸음 내려온 덕에 전진이 한 걸음으로 끝났다 — 두 방향의 일감은 이렇게 나뉜다.

### 빈칸 사다리 — 훈련 2

(1) 4의 배수임을 어떻게 보이는가  (2) 짝수의 정의 — 근거 ①  (3) $4k^2 + 4k$ (4) $4 \times (\text{정수})$  (5) 정수의 곱과 합은 정수 — 근거 ②

**산문.** $n$을 짝수라 하자. 정의에 의해 $n = 2k$인 정수 $k$가 존재한다. 그러면 $n^2 + 2n = 4k^2 + 4k = 4(k^2 + k)$이고, $k^2 + k$는 정수이므로 $n^2 + 2n$은 4의 배수이다. $\blacksquare$

※ 조준의 흔적은 $4(k^2+k)$로 묶은 자리다. 전개만 하면 $4k^2 + 4k$에서 멈추는데, 과녁이 $4 \times (\text{정수})$ 꼴이므로 4를 묶는 방향으로 한 걸음 더 갔다.

### 빈칸 사다리 — 훈련 3

(1) $x - y = 0$  (2) $x^2 + xy + y^2$  (3) $1$  (4) $\dfrac{3y^2}4$  (5) $1$

(6) **산문.** 실수 $x, y$가 $x^3 + x = y^3 + y$를 만족한다고 하자. 이항하면 $x^3 - y^3 + x - y = 0$이고, 세제곱의 차를 인수분해하면 $(x-y)(x^2 + xy + y^2) + (x - y) = 0$, 공통 인수를 묶으면 $(x - y)(x^2 + xy + y^2 + 1) = 0$이다. 그런데 $x^2 + xy + y^2 + 1 = \left(x + \frac y2\right)^2 + \frac{3y^2}4 + 1 \ge 1 > 0$이므로 둘째 인수는 0이 아니고, 영인수 성질에 의해 $x - y = 0$, 곧 $x = y$이다. $\blacksquare$

※ "그런데"로 시작하는 문장이 후진 걸음 B2의 흔적이다. 전진만 하는 사람은 $(x-y)(\cdots) = 0$까지 간 뒤 멈춘다 — 둘째 인수의 부호를 조사하라고 시킨 것은 영인수 성질을 쓰겠다는 후진 쪽 결정이다.

### 문제 1

**접근.** 개념 절의 상자 셋을 그대로 복원하는 문제다. 세 상자는 각각 다른 일을 한다. 절차는 걸음을 정의하고, 조준 규칙은 걸음을 고르며, 만남은 멈출 때를 정한다. 셋 중 하나라도 빠지면 전진이 절차로 작동하지 않는다.

**풀이.** 전진 과정의 절차 3단계 — ① 현재 사실 목록(가정 A와 지금까지 유도한 $A_1, \ldots, A_k$)을 본다. ② 목록의 사실에 정의$\cdot$정리$\cdot$대수 조작을 적용해 새로운 참인 사실 $A_{k+1}$을 유도한다(방향은 $A_k \Rightarrow A_{k+1}$). ③ 새 사실을 목록에 추가한다. 조준 규칙 — 전진은 후진 사슬의 마지막 결론 $B_k$를 과녁으로 삼아, 그 과녁에 가까워지는 유도만 고른다. 가까워짐의 판단 기준은 과녁의 겉모양(분모의 유무, 차수, 등장하는 문자, 좌우변의 배치)이다. 만남 — 전진 목록의 어떤 $A_m$이 후진 사슬의 마지막 결론 $B_k$와 일치하거나 즉시 함의하는 순간이며, 그때 설계가 끝나고 $A \Rightarrow \cdots \Rightarrow A_m = B_k \Rightarrow \cdots \Rightarrow B$가 완성된다.

**복기.** 세 항목을 "만든다 / 고른다 / 멈춘다"의 세 동사로 묶어 두면 하나를 잊어도 나머지에서 복구된다.

### 문제 2

**접근.** §1.6의 표 왼쪽 열이다. 다섯 항목은 무작위 목록이 아니라 설계 기록의 구성 요소를 하나씩 지운 것이므로, 분석표에 무엇이 적혀 있었는지를 떠올리면 순서대로 나온다.

**풀이.** ① 핵심 질문들 — 압축본에는 질문의 답만 남고, 그 답조차 종종 생략된다. ② 방향 표시 — 전진이었는지 후진이었는지가 지워지고 전부 "따라서/그러므로"의 전진 방향 산문이 된다. ③ 갈림길에서 버린 가지 — 검토했다가 폐기한 경로는 흔적이 없고 채택된 한 갈래만 남는다. ④ 시행착오와 막힘, 수정 — 매끈한 일직선으로 다듬어진다. ⑤ 걸음마다의 근거 일부 — 독자가 알 것으로 간주된 근거는 "쉽게 알 수 있듯이"가 되거나 아예 언급되지 않는다.

**복기.** 이 다섯 가지는 읽기의 점검표로도 쓴다. 어떤 줄에서 막히면 다섯 중 무엇이 지워졌는지 하나씩 대 보면 대개 하나가 걸린다.

### 문제 3

**접근.** 먼저 정의를 풀어 등식 두 개를 만든다(1권 1주차). 그다음 합$\cdot$곱$\cdot$제곱을 자유롭게 만들어 다섯 개를 채운다. $\circ$표의 기준은 "참인가"가 아니라 "과녁 $n + m = 2(\text{정수}) + 1$의 겉모양에 가까워지는가"다.

**풀이.** (예시) $A_1$: $n = 2k$인 정수 $k$가 존재한다 (근거 ①) $\circ$ $A_2$: $m = 2l + 1$인 정수 $l$이 존재한다 (근거 ①) $\circ$ $A_3$: $nm = 2k(2l+1) = 2\big(k(2l+1)\big)$이므로 $nm$은 짝수이다 $A_4$: $n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$이므로 $n^2$은 짝수이다 $A_5$: $n + m = 2k + (2l+1) = 2(k + l) + 1$이므로 $n + m$은 홀수이다 $\circ$표는 $A_1$과 $A_2$에 한다. 이 둘이 정의를 등식으로 바꿔 준 덕에 $A_5$의 계산이 가능해지고, $A_5$가 곧 결론의 정의 꼴이기 때문이다. $A_3$과 $A_4$는 참이지만 과녁에 $nm$도 $n^2$도 등장하지 않으므로 이 게임에서는 쓰이지 않는다.

**복기.** 전진 걸음을 다섯 개 만들어 두고 그중 둘만 고르는 이 연습이 조준 규칙의 실습이다. 실제 설계에서는 다섯을 다 적지 않고 과녁을 보고 처음부터 둘만 만든다.

**검산.** $n = 4$, $m = 3$으로 확인한다. $k = 2$, $l = 1$이고 $n + m = 7 = 2 \times 3 + 1$ ✓

### 문제 4

**접근.** 훈련 1은 수식만, 훈련 2는 수식과 근거, 훈련 3은 칸 전체가 빈칸이다. 백지에서 할 때는 훈련 3부터 시도하고 막히면 1과 2로 내려오는 편이 낫다. 훈련 1과 2에서 쓴 걸음이 훈련 3의 부품이기 때문이다.

**풀이.** 답은 위 세 절(빈칸 사다리 훈련 1$\cdot$2$\cdot$3)에 있다. 자가 채점 기준은 세 가지다. ① 후진 기록에 방향 검사 표시가 있는가 ② 전진 기록의 각 걸음에 근거가 붙어 있는가 ③ 만남 지점이 명시되어 있는가. 셋 중 하나라도 빠지면 분석표가 아니라 계산 메모다.

**복기.** 세 훈련의 구조는 같고 후진과 전진의 일감 배분만 다르다. 훈련 1은 후진이 길고 전진이 한 걸음, 훈련 2는 전진이 길고 후진이 한 걸음, 훈련 3은 양쪽이 번갈아 나온다. 이 배분이 문제마다 달라진다는 것이 이번 주의 실감이다.

### 문제 5

**접근.** 분석표는 후진 4행(B, B1, B2, B3)과 전진 3행($A_1$, $A_2$, $A_3$), 산문은 다섯 문장이다. 첫 전진 걸음이 $x \neq 0$이라는 것을 빠뜨리지 않는다.

**풀이.** 분석표는 다음과 같다.

| **후진 기록** | **전진 기록** |
|---|---|
| B: $x = 1$ / 질문: 두 실수가 같음을 어떻게 보이는가 / 답: 차가 0 / B1: $x - 1 = 0$, 검사 ✓ | A: $x > 0$, $x + \frac1x = 2$ |
| B2: $(x-1)^2 = 0$, 검사 ✓ (1권 16주차 (W1)의 등호 조건) | $A_1$: $x \neq 0$ (근거: 가정 $x > 0$) |
| B3: $x^2 - 2x + 1 = 0$ (B2의 전개, 항등 변형이므로 $\iff$) | $A_2$: $x^2 + 1 = 2x$ (근거 ③, 양변에 $x$를 곱함 — 조준) |
| **만남: $A_3 = B_3$** | $A_3$: $x^2 - 2x + 1 = 0$ (근거 ③, 이항) |

산문은 예제 2.1의 완성본 다섯 문장과 대조해 자가 채점한다. 채점 항목은 넷이다. 첫 문장이 가정 선언인가, 둘째 문장에 조작의 유효 조건($x > 0$)이 붙어 있는가, 후진 걸음 둘이 전진 방향으로 서술되었는가, 마감 표시가 있는가.

**복기.** 분석표를 백지에서 다시 그릴 때 가장 자주 빠지는 행이 $A_1$이다. $x \neq 0$은 계산이 아니라 계산의 허가이므로 눈에 덜 띈다. 이 행이 빠진 답안은 조작의 유효 조건을 목록에서 확인하는 걸음 ①을 건너뛴 상태다(§1.3).

### 문제 6

**접근.** 이유를 "틀렸기 때문"으로 적으면 안 된다. $a^2 > b^2$은 참이다. 과녁 B3 ("$a - b > 0$이고 $ab > 0$")의 겉모양과 $a^2 > b^2$의 겉모양을 나란히 놓고 무엇이 없는지 본다.

**풀이.** 두 시도의 재현은 예제 2.3과 대조한다. 이유의 한 문장은 다음과 같다. "$a^2 > b^2$은 이 설계에서 채택한 후진 사슬 어디에도 등장하지 않는 사실이므로, 사실 목록을 늘릴 뿐 과녁에 한 걸음도 가까워지지 않는다." 더 구체적으로 짚으면, 과녁 B3의 두 조각($a - b > 0$과 $ab > 0$) 가운데 $ab$는 $a^2 > b^2$ 어디에도 없다. 인수분해해 $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$로 $a - b$를 끌어내더라도 짝이 되는 것은 $a + b$이지 $ab$가 아니므로, 과녁의 절반도 채우지 못한다.

**복기.** "참이지만 무용"의 판정법은 과녁에 등장하는 식과 유도한 사실에 등장하는 식을 대조하는 것이다. 공통 부품이 하나도 없으면 그 걸음은 버린다.

### 문제 7

**접근.** 후진의 과녁은 나누어떨어짐의 정의 꼴 "$c = a \cdot (\text{정수})$"를 실제로 제작하는 것이다. 전진은 가정 두 개를 각각 정의로 풀어 등식 두 개를 만든 뒤 대입한다. 두 정의를 풀 때 문자를 다르게 잡는다.

**풀이.**

| **후진 기록** | **전진 기록** |
|---|---|
| B: $a \mid c$ / 질문: 나누어떨어짐을 어떻게 보이는가 / 답: 정의의 꼴을 제작한다 / B1: $c = a \cdot (\text{어떤 정수})$, 검사 ✓ (정의이므로 $\iff$) | A: $a \mid b$, $b \mid c$ |
|  | $A_1$: $b = ak$인 정수 $k$가 존재 (근거 ①) |
|  | $A_2$: $c = bl$인 정수 $l$이 존재 (근거 ①, 문자 분리) |
|  | $A_3$: $c = (ak)l = a(kl)$ (근거 ③, 대입과 결합 — 조준: B1의 "$a \times$정수" 꼴) |
| **만남: $A_3$과 $A_4$가 합쳐져 B1이 된다** | $A_4$: $kl$은 정수 (근거 ②) |

압축 산문: "$a \mid b$이고 $b \mid c$라 하자. 정의에 의해 $b = ak$인 정수 $k$와 $c = bl$인 정수 $l$이 존재한다. 그러면 $c = bl = (ak)l = a(kl)$이고 $kl$은 정수이므로, 정의에 의해 $a \mid c$이다. $\blacksquare$"

**복기.** 1권 2주차에서 완성본으로만 보던 증명의 설계도가 이것이다. 압축본에서 지워진 것은 후진 한 걸음("정의의 꼴을 제작한다")과 조준선("$a \times$정수 꼴을 노려 대입했다")이다.

**검산.** $a = 2$, $b = 6$, $c = 18$로 확인한다. $k = 3$, $l = 3$, $kl = 9$이고 $18 = 2 \times 9$ ✓

### 문제 8

**접근.** 후진은 S2주차 문제 8에서 만든 사슬을 그대로 쓴다. 차가 0으로 내려가고, 인수분해로 곱이 0인 꼴을 만들고, 영인수 성질을 쓰려면 둘째 인수가 0이 아님을 보여야 한다. 전진은 가정을 이항하고 인수분해하는 두 걸음이다.

**풀이.** 분석표는 다음과 같다.

| **후진 기록** | **전진 기록** |
|---|---|
| B: $x = 2$ / 질문: 두 실수가 같음을 어떻게 보이는가 / 답: 차가 0 / B1: $x - 2 = 0$, 검사 ✓ | A: $x^3 = 8$ |
| B2: 영인수 성질을 쓰려면 $x^2 + 2x + 4 \neq 0$ | $A_1$: $x^3 - 8 = 0$ (근거 ③, 이항) |
| B3: $x^2 + 2x + 4 = (x+1)^2 + 3 \ge 3 > 0$ — 아는 참 | $A_2$: $(x-2)(x^2 + 2x + 4) = 0$ (근거 ③, 인수분해 — 조준: 곱이 0인 꼴) |
| **만남: $A_2$와 B3이 영인수 성질로 결합해 B1이 된다** |  |

압축 산문: "$x^3 = 8$이라 하자. 이항하고 인수분해하면 $(x-2)(x^2 + 2x + 4) = 0$이다. 그런데 $x^2 + 2x + 4 = (x+1)^2 + 3 \ge 3 > 0$이므로 영인수 성질에 의해 $x - 2 = 0$, 곧 $x = 2$이다. $\blacksquare$"

**복기.** "그런데"로 시작하는 셋째 문장이 후진 걸음 B2$\cdot$B3의 흔적이다. 전진만으로는 둘째 인수의 부호를 조사할 이유가 없다. 조사하라고 시킨 것은 영인수 성질을 쓰겠다는 후진 쪽 결정이다. 빈칸 사다리 훈련 3과 구조가 같으므로 나란히 놓고 비교해 두면 좋다.

**검산.** $(x+1)^2 + 3$을 전개하면 $x^2 + 2x + 1 + 3 = x^2 + 2x + 4$ ✓

### 문제 9

**접근.** 후진 사슬은 S1주차 문제 17과 S2주차에서 이미 $(\sqrt a - \sqrt b)^2 > 0$까지 내려와 있다. 할 일은 그 사슬을 전진 방향으로 뒤집어 문장으로 옮기는 것이다. "$a \neq b$"의 소비처를 찾으려면 완성 산문에서 그 조건을 지워 보고 어느 문장이 무너지는지 본다.

**풀이.** **증명.** $a, b$는 양의 실수이고 $a \neq b$라 하자. 만약 $\sqrt a = \sqrt b$이면 양변을 제곱해 $a = b$가 되어 가정에 어긋나므로 $\sqrt a \neq \sqrt b$이다. 그러면 $\sqrt a - \sqrt b$는 0이 아닌 실수이므로 1권 16주차 (W1)의 등호 조건에 의해 $(\sqrt a - \sqrt b)^2 > 0$이다. 좌변을 전개하면

$$
a - 2\sqrt{ab} + b > 0
$$

이고, 이항하면 $a + b > 2\sqrt{ab}$이며, 양변을 2로 나누면 (W3)에 의해 부등호 방향이 유지되어 $\dfrac{a+b}2 > \sqrt{ab}$이다. $\blacksquare$

사실 "$a \neq b$"의 소비처는 둘째 문장이다. 이 조건이 없으면 $(\sqrt a - \sqrt b)^2 \ge 0$까지만 말할 수 있고 결론도 $\ge$로 약해진다. 사실 "$a, b > 0$"의 소비처는 두 군데다. $\sqrt a$, $\sqrt b$가 실수로 존재한다는 것과, $\sqrt a \sqrt b = \sqrt{ab}$로 묶는 전개가 유효하다는 것이다.

**복기.** 후진 사슬을 산문으로 뒤집을 때의 순서는 언제나 같다. 사슬의 마지막 항이 본문의 앞쪽에 오고 B가 마지막 문장이 된다. S1주차 문제 17에서 만든 사슬이 정확히 거꾸로 재생되었음을 대조해 확인한다.

**검산.** $a = 4$, $b = 1$로 확인한다. 좌변 $\frac52 = 2.5$, 우변 $\sqrt4 = 2$ ✓

### 문제 10

**접근.** 다섯 줄 가운데 넷은 전진이고 하나만 다르다. 그 하나를 찾는 방법은 "전진의 자연스러운 다음 수인가"를 묻는 것이다. 전개는 자연스럽고, 전개한 것을 다시 묶는 것은 자연스럽지 않다.

**풀이.**

| **줄** | **출신** | **지워진 핵심 질문** |
|---|---|---|
| "$n$이 홀수라 하자" | 가정 선언 | 없음 |
| "$n = 2k+1$인 정수 $k$가 있다" | 전진 $A_1$ — 정의 번역(근거 ①) | 없음. 정의를 푸는 것은 전진의 표준 첫 걸음이다 |
| "$n^2 = 4k^2 + 4k + 1$" | 전진 $A_2$ — 제곱과 전개(근거 ③) | 없음 |
| "$= 2(2k^2 + 2k) + 1$" | 후진의 흔적 | "$n^2$이 홀수임을 어떻게 보이는가" $\to$ "$2(\text{정수})+1$ 꼴로 쓰면 된다"는 정의의 답이 이 묶음을 조준시켰다 |
| "$2k^2+2k$는 정수이므로 홀수이다" | 만남과 종료 선언 | 정의의 "정수" 조건 확인 — 1권 1주차부터 요구된 마지막 확인이다 |

$4k^2 + 4k + 1$을 $2(2k^2 + 2k) + 1$로 묶는 것은 전진의 자연스러운 다음 수가 아니다. 전개의 역방향이기 때문이다. 이 줄을 시킨 것은 과녁, 곧 후진이 내려 준 홀수의 정의 꼴이다. 압축본에서 방향 전환이 가장 잘 숨는 지점이 이런 줄이다.

**복기.** 일반화하면 이렇다. 전개한 식을 다시 묶는 줄을 만나면, 묶은 결과의 꼴이 곧 과녁이다. 이 규칙 하나로 정수론 증명 대부분의 후진 목표를 한눈에 읽어 낼 수 있다.

**검산.** $k = 3$이면 $n = 7$, $n^2 = 49 = 2 \times 24 + 1$이고 $2k^2 + 2k = 18 + 6 = 24$ ✓

### 문제 11

**접근.** 집합 상등의 후진 첫 답은 양방향 포함(1권 27주차 정의 27.1)이고, 그 순간 과녁이 둘로 갈라진다. 두 과녁의 난이도가 크게 다르므로 쉬운 쪽부터 처리한다.

**풀이.** 후진 한 걸음: B: $A \cup B = B$ $\Leftarrow$ (정의 27.1) B1: $A \cup B \subseteq B$ **그리고** B2: $B \subseteq A \cup B$. 방향 검사 ✓ (양방향 포함이 상등의 정의이므로 $\iff$). 과녁이 둘이므로 분석표도 두 벌이다. 과녁 B2 쪽. 후진 한 걸음 더 — "포함을 어떻게 보이는가" $\to$ 원소 추적 $\to$ B2′: "$x \in B$이면 $x \in A \cup B$". 전진은 필요 없다. 합집합의 정의(1권 5주차 정의 5.1)에서 $x \in B$이면 곧바로 "$x \in A$ 또는 $x \in B$"가 참이다. 가정 $A \subseteq B$를 한 번도 쓰지 않고 만남에 도달한다. 과녁 B1 쪽. B1′: "$x \in A \cup B$이면 $x \in B$". 전진 — $x \in A \cup B$라 하면 합집합의 정의에 의해 $x \in A$이거나 $x \in B$이다. 경우 1($x \in A$): 가정 $A \subseteq B$를 소비해 $x \in B$. 경우 2($x \in B$): 그대로 $x \in B$. 두 경우 모두 $x \in B$이므로 만남이다. 압축 산문: "$A \subseteq B$라 하자. 먼저 $B \subseteq A \cup B$는 합집합의 정의에서 곧바로 성립한다. 다음으로 $x \in A \cup B$라 하자. $x \in A$이면 $A \subseteq B$에 의해 $x \in B$이고, $x \in B$이면 그대로 $x \in B$이다. 따라서 $A \cup B \subseteq B$이다. 양방향 포함이 성립하므로 $A \cup B = B$이다. $\blacksquare$"

**복기.** 과녁이 둘로 갈라지는 명제에서는 "가정이 어느 쪽에서 소비되는가"가 설계의 핵심 정보다. 여기서는 한쪽이 가정을 전혀 쓰지 않았는데, 이것은 빠뜨린 것이 아니라 그 포함이 두 집합의 관계와 무관하게 늘 성립한다는 뜻이다.

### 문제 12

**접근.** SAS의 규격은 "두 변과 그 끼인각"이다. $AB$와 $AD$를 두 변으로 잡으면 끼인각은 $\angle BAD$가 된다. 이 각이 $\angle CAD$와 같다는 사실이 목록에 있는지 확인한다.

**풀이.** SAS 버전을 쓰려면 세 가지가 필요하다. $AB = AC$(가정에 있다), $AD = AD$(공통변이므로 있다), 그리고 끼인각 $\angle BAD = \angle CAD$. 마지막 것을 목록에서 찾아본다. 가정은 $AB = AC$와 "$D$는 $BC$의 중점"뿐이고, 중점의 정의를 풀면 $BD = CD$라는 변의 정보가 나올 뿐 각의 정보는 나오지 않는다. 따라서 끼인각의 같음은 목록에 없다. 오히려 그것은 합동에서 얻어야 할 결론 쪽 사실이다(S1주차 문제 14의 각 이등분선 명제가 그 경우다). 목록에 있는 것이 변 셋뿐이므로 가진 사실만으로 규격이 채워지는 판정법은 SSS 하나이고, 갈림길에서 SAS는 검토 후 폐기된다. 압축본에는 이 검토가 남지 않는다. §1.6 표의 "버린 가지"가 바로 이것이다. 만약 가정이 "$AD$가 각 $A$의 이등분선"이었다면 목록에 각의 정보가 들어오므로 SAS가 옳은 선택이 되고, 대신 $BD = CD$가 결론 쪽으로 옮겨 간다. 가진 사실이 갈래를 정한다.

**복기.** 갈림길 판정의 절차는 기계적이다. ① 후보 판정법의 규격을 적는다 ② 규격의 각 칸을 목록의 사실로 채워 본다 ③ 채워지지 않는 칸이 있으면 그 후보를 버린다. 이 절차를 적어 두면 기하 문제에서 헤매는 시간이 줄어든다.

### 문제 13

**접근.** 수학은 전부 맞다. 그러므로 지적할 것은 계산이 아니라 서술 형식이다. 답안을 1권 20주차 글쓰기 6조의 각 조항에 하나씩 대 본다.

**풀이.** 병명은 분석표 제출이다. 학생은 §1.7의 설계 기록을 그대로 답안지에 옮겼다. 위반한 조항은 다음과 같다. 1조(문장을 수식 기호로 시작하지 않는다) — "B: $x = 1$을 보이면 된다", "B1: $x - 1 = 0$"처럼 기호 표지로 문장을 연다. 2조(모든 기호는 소개한 뒤에 사용한다) — $x$가 어떤 수인지, 가정이 무엇인지 선언하는 문장이 없다. "$x$가 양의 실수이고 $x + \frac1x = 2$라 하자"가 빠졌다. 5조(기호보다 말이 명확하면 말로 쓴다) — "B:", "B1:", "질문:", "답:" 같은 기호 표지가 문장을 대신하고 있다. 이 표지들은 설계 기록에서는 칸 이름 노릇을 하지만 답안에서는 근거 사슬을 감춘다 — 어느 줄이 어느 줄의 근거인지가 표지 뒤로 숨는다. 6조(증명의 시작과 끝을 표시한다) — "증명."으로 열지 않았고 마감 표시도 없다. 더 근본적인 문제는 §1.7에서 짚은 것이다. B와 B1은 아직 참임이 확인되지 않은 문장인데 답안에 참인 것처럼 적혀 있어, 읽는 사람이 어느 줄이 확보된 참인지 구별할 수 없다. 수리는 예제 2.1의 완성본대로 한다. 가정 선언으로 열고, 전진 방향으로만 서술하고, 근거 접속사("이므로", "따라서")로 잇고, 마감 표시로 닫는다.

**복기.** 분석표는 연습장에 남기고 산문만 제출한다. 다만 학습 단계에서는 분석표를 함께 보관하는 것이 복습 자산이 되므로, 이 과정의 제출물은 분석표$\cdot$만남 표시$\cdot$산문의 세 종류다. 제출 규칙과 학습 규칙을 구분해 둔다.

### 문제 14

**접근.** $N$이 전진의 산물이라면 가정에서 유도됐어야 한다. 그런데 이 증명에서 가정은 "$\varepsilon > 0$이 주어졌다"뿐이고, 거기서 $\lceil \frac1\varepsilon \rceil$이 따라 나오지는 않는다. 그러면 남는 답은 하나다.

**풀이.** 이 $N$은 전진의 산물이 아니라 지워진 후진의 흔적이다. 복원하면 다음과 같다. 목표는 "$n > N$이면 $\left|\tfrac1n - 0\right| < \varepsilon$"이다. 후진의 핵심 질문은 "$\frac1n < \varepsilon$이 성립하게 하려면 $n$이 얼마나 커야 하는가"이고, 답은 목표 부등식을 $n$에 대해 거꾸로 푸는 것이다. $n > 0$이고 $\varepsilon > 0$이므로

$$
\frac1n < \varepsilon \iff n > \frac1\varepsilon
$$

이다(양변에 양수 $\frac{n}{\varepsilon}$을 곱한다 — 예제 2.3에서 정리한 역수의 부등식이 여기서 쓰인다). 따라서 $N$이 $\frac1\varepsilon$ 이상이면 충분하고, 그런 자연수로 $\lceil \frac1\varepsilon \rceil$을 택한다. 압축본은 이 역산을 통째로 지우고 결과만 "잡자"로 선언한 뒤, 검증만 전진 방향으로 보여 준다. 1권 45주차 예제 2.1이 같은 자리를 아르키메데스 성질 인용 한 줄로 처리하는 이유도 같다. 제작 과정은 답안에 남기지 않고 결과가 존재한다는 근거만 남긴다. 1권의 그 예제에 "연습장 — $N$을 발견한다"라는 절이 따로 있는 것은, 지워질 부분을 교재가 일부러 복원해 둔 것이다. 일반 교훈은 이렇다. "~로 잡자"나 "~로 두자"로 시작하는 줄은 거의 언제나 지워진 후진(역산)의 흔적이다. 그런 줄을 만나면 "무엇을 거꾸로 풀어 이 값이 나왔는가"를 물어 복원한다.

**복기.** 이 패턴은 해석학 전체에서 반복된다. $\delta$를 잡는 줄, 부분수열의 첨자를 잡는 줄, 상수 $M$을 잡는 줄이 전부 같은 구조다. 읽을 때마다 역산을 복원해 두면 나중에 그 값을 스스로 만들어 낼 수 있게 된다.

### 문제 15

**접근.** 등식 증명이므로 후진은 한 걸음뿐이다. "좌변을 계산해 우변과 같아짐을 보인다"로 과녁이 즉시 확정되고, 나머지는 전부 전진(계산)이다. 계산의 조준은 $xy$가 나오는 방향이다.

**풀이.** 후진: B: $\frac{x+y}2 \cdot \frac2{\frac1x + \frac1y} = xy$ $\Leftarrow$ B1: 좌변을 정리해 $xy$에 도달한다. 방향 검사 ✓ (같은 값에 도달하면 등식이 성립한다). 전진: $x, y > 0$이므로 $x \neq 0$, $y \neq 0$이고 (W4)에 의해 $x + y > 0$이다. $A_1$: $\dfrac1x + \dfrac1y = \dfrac{y + x}{xy}$ (통분, 근거 ③). $A_2$: $\dfrac2{\frac1x + \frac1y} = \dfrac2{\frac{x+y}{xy}} = \dfrac{2xy}{x+y}$ (역수를 취한다 — $x + y \neq 0$이므로 유효). 이것이 조화평균의 정리이고 핵심 걸음이다. $A_3$: 좌변 $= \dfrac{x+y}2 \cdot \dfrac{2xy}{x+y} = xy$ (약분, $x + y \neq 0$ ✓). 만남: $A_3$이 곧 B1이다.

**증명.** $x, y$를 양의 실수라 하자. $x + y > 0$이므로

$$
\frac{2}{\frac1x + \frac1y} = \frac{2}{\frac{x+y}{xy}} = \frac{2xy}{x+y}
$$

이다. 따라서

$$
\frac{x+y}{2} \cdot \frac{2}{\frac1x + \frac1y} = \frac{x+y}{2} \cdot \frac{2xy}{x+y} = xy
$$

이다. $\blacksquare$

**복기.** 등식 증명에서 후진은 대개 "한 변을 다른 변으로"라는 한 걸음뿐이고, 게임은 거의 전부 전진이다. 후진이 긴 부등식 증명과 정확히 반대다. 남은 유일한 갈림길은 어느 변에서 출발하는가이며, 기준은 복잡한 변에서 출발하는 것이다.

**검산.** $x = 1$, $y = 3$으로 확인한다. 좌변 $= 2 \cdot \frac{2}{1 + \frac13} = 2 \cdot \frac{2}{\frac43} = 2 \cdot \frac32 = 3$이고 우변 $= 3$ ✓

### 문제 16

**접근.** 두 증명의 갈림은 후진 첫 질문의 답 선택에서 일어난다. 질문은 양쪽 모두 "짝수임을 어떻게 보이는가"로 같고, (a)는 "구조에서 2를 꺼낸다", (b)는 "$n$의 표현을 경우로 나눠 각각 대입한다"를 고른다.

**풀이.** (a) 후진: B: $n^2 + n$은 짝수 $\Leftarrow$ B1: $n^2 + n = 2 \times (\text{정수})$ 꼴을 만든다. 답 선택은 "인수분해로 구조를 드러내 2를 꺼낸다"이다. 전진: $A_1$: $n^2 + n = n(n+1)$ (인수분해, 근거 ③) $\to$ $A_2$: $n$과 $n+1$은 연속한 두 정수이고, 모든 정수는 짝수이거나 홀수이므로(1권 17주차) 둘 중 하나는 짝수다. 경우 1($n = 2k$): $n(n+1) = 2\big(k(n+1)\big)$. 경우 2($n$이 홀수): $n + 1 = 2k$인 정수 $k$가 있고 $n(n+1) = 2(nk)$. 두 경우 모두 괄호 안이 정수이므로 만남이다. 압축본: "$n^2 + n = n(n+1)$은 연속한 두 정수의 곱이다. 연속한 두 정수 중 하나는 짝수이므로 그 곱은 짝수이고, 따라서 $n^2 + n$은 짝수이다. $\blacksquare$" (b) 후진은 (a)와 같은 B1이고, 답 선택만 "$n$의 표현을 경우로 나눠 각각 대입한다"로 바뀐다. 전진: 경우 1($n = 2k$): $n^2 + n = 4k^2 + 2k = 2(2k^2 + k)$이고 괄호 안은 정수. 경우 2($n = 2k+1$): $n^2 + n = (4k^2 + 4k + 1) + (2k + 1) = 4k^2 + 6k + 2 = 2(2k^2 + 3k + 1)$이고 괄호 안은 정수. 두 경우 모두 만남이다. 압축본: "$n$을 정수라 하자. $n = 2k$이면 $n^2 + n = 2(2k^2 + k)$이고, $n = 2k+1$이면 $n^2 + n = 2(2k^2 + 3k + 1)$이다. 어느 경우든 괄호 안이 정수이므로 $n^2 + n$은 짝수이다. $\blacksquare$" 갈라진 지점은 분석표의 둘째 행, 곧 핵심 질문에 대한 답이다. (a)가 짧은 이유는 인수분해가 경우 나누기의 절반을 "연속"이라는 구조에 떠넘겼기 때문이고, (b)는 그 구조를 쓰지 않으므로 두 경우의 계산을 모두 직접 한다.

**복기.** 같은 명제의 서로 다른 증명을 비교할 때는 분석표의 어느 행에서 갈라졌는지 짚는 습관을 들인다. 대개 갈림은 첫 질문의 답에서 일어나고, 그 선택이 증명 전체의 길이와 모양을 결정한다.

**검산.** $n = 3$이면 $n^2 + n = 12 = 2 \times 6$이고, (b)의 경우 2에서 $k = 1$일 때 $2(2 + 3 + 1) = 12$ ✓

### 문제 17

**접근.** 첫수가 전진인지 후진인지 묻기 전에, 그 첫수가 원래 판의 문장인지부터 확인한다. "$\sqrt2$가 유리수라 하자"는 결론의 부정이므로 원래 판의 A에도 B에도 속하지 않는다. 판 자체가 바뀐 것이다.

**풀이.** 첫수 "$\sqrt2 = \frac ab$ (기약)라 하자"는 원래 판의 전진도 후진도 아니고 판 교체의 선언이다. 새 판의 가정은 $A' = A \wedge \neg B$, 곧 "$\sqrt2$는 유리수이다"이고(여기에 유리수와 기약분수의 표준 정의가 딸려 온다), 새 목표는 $B' =$ "모순"이다. 이 교체 이후로는 전진과 후진이 평소대로 작동한다. $A'$에서 전진하고 $B'$를 향해 조준한다. 다만 새 목표에 특이한 점이 있다. $B'$가 아무 모순이어도 되므로 겉모양이 정해져 있지 않고, 따라서 후진이 조준할 과녁을 만들어 내지 못한다. 그 대신 전진을 최대한 풀어놓게 된다. 유도할 수 있는 것을 다 유도하다가 충돌이 나오면 그것이 곧 $B'$다. 귀류법이 "일단 전개하면 무언가 나온다"는 인상을 주는 이유가 이것이고, 동시에 방향을 잃기 쉬운 이유이기도 하다(S11주차에서 정면으로 다룬다). "기약"이 미리 장착되는 이유는 결론에서 거꾸로 읽으면 드러난다. 이 증명의 모순은 "$a$와 $b$가 둘 다 짝수"와 "$\frac ab$는 기약분수"의 충돌이다. 설계자가 이 판을 끝까지 둬 본 뒤 모순을 그 충돌로 만들기로 정하고, 필요한 조건을 첫 줄에 거꾸로 장착한 것이다. 첫수의 "기약"은 지워진 후진의 흔적이다. 기약 없이 시작하면 다른 마무리가 필요하다. 분모가 가장 작은 표현을 잡는 최소원리(1권 33주차) 경로가 그것이다.

**복기.** 귀류법 증명을 읽을 때의 점검 순서는 셋이다. ① 새 가정 $A'$가 무엇인지 적는다 ② 마지막에 충돌하는 두 문장을 찾는다 ③ 그 충돌을 가능하게 한 조건이 앞쪽 어디에 장착되어 있는지 찾는다. ③에서 찾은 조건이 거의 언제나 첫 줄의 뜬금없어 보이는 단서다.

### 문제 18

**접근.** (a)의 판정법은 목록을 보는 것이다. 이 명제에는 가정이 없으므로 전진의 출발점이 될 사실 목록 자체가 비어 있고, 목록이 비어 있으면 첫 줄은 전진일 수 없다. (b)는 두 항이 동시에 0인 조건을 따진다. (c)는 §3의 훈련들을 훑는다.

**풀이.** (a) 흔적이다. 지워진 질문 사슬을 복원하면 다음과 같다. B: $a^2 + ab + b^2 \ge 0$. 질문: "어떤 식이 0 이상임을 어떻게 보이는가?" 답: "제곱들의 음이 아닌 결합으로 표현한다"(1권 16주차 (W1)이 공급하는 표준 답). $\to$ B1: $a^2 + ab + b^2$을 제곱들의 합으로 쓴다. 질문: "어떻게 쓰는가?" 답: "$a$에 대해 완전제곱을 만든다" (1권 16주차 문제 5의 기술). $\to$ B2: $a^2 + ab + b^2 = \left(a + \frac b2\right)^2 + \frac{3b^2}4$. 이 항등식은 전개로 확인되는 아는 참이므로 사슬이 정지한다. 압축본은 B2의 결과를 첫 줄로 승격시키고 질문 둘을 지웠다. (b) 등호가 성립하려면 $\left(a + \frac b2\right)^2 + \frac{3b^2}4 = 0$이어야 한다. 두 항이 모두 0 이상인데 합이 0이므로 각 항이 0이다(1권 23주차 문제 10의 원리). 따라서 $\frac{3b^2}4 = 0$에서 $b = 0$이고, $\left(a + \frac b2\right)^2 = 0$에서 $a + \frac b2 = 0$, 곧 $a = 0$이다. 거꾸로 $a = b = 0$이면 좌변이 0이므로 등호가 성립한다. 증명의 연장문은 "등호는 $a = b = 0$일 때, 그리고 그때뿐이다"이다. (c) 빈칸 사다리 훈련 3의 B2 처리 부분이다. 거기서 둘째 인수 $x^2 + xy + y^2 + 1$을 다룰 때 쓴 변형 $x^2 + xy + y^2 = \left(x + \frac y2\right)^2 + \frac{3y^2}4 \ge 0$이 이 명제 그대로이고, 거기에 1을 더해 "0이 아님"까지 얻었다.

**복기.** 오늘의 명제가 다음 문제의 부품이 되는 구조는 1권의 정리 재사용 문화와 같다. 부품이 될 만한 부등식은 그 자리에서 명제 형태로 적어 두면 다음에 근거 ④로 인용할 수 있다(S2주차 문제 19의 기성품 관찰).

**검산.** $a = 1$, $b = -1$로 확인한다. 좌변 $1 - 1 + 1 = 1$이고, 우변 표현 $\left(1 - \frac12\right)^2 + \frac34 = \frac14 + \frac34 = 1$ ✓

### 문제 19

**접근.** 후진 첫 질문은 "한 실수가 다른 실수 이하임을 어떻게 보이는가"이고, 답이 둘이다. ①은 차의 부호로 내려가 대수로 끝내고, ②는 이미 증명된 정리를 인용해 사슬 전체를 대체한다. 두 길을 모두 완주한 뒤 길이를 비교한다.

**풀이.** ① 차의 부호. 후진: B: $ab \le \frac14$ $\Leftarrow$ B1: $\frac14 - ab \ge 0$. 방향 검사 ✓ ((W2), 양변에 $ab$를 더한다). 전진: 가정 $a + b = 1$에서 $b = 1 - a$ (근거 ③) $\to$ $\frac14 - ab = \frac14 - a(1-a) = a^2 - a + \frac14 = \left(a - \frac12\right)^2$ $\to$ (W1)에 의해 이 값은 0 이상이다. 아는 참에 도달했으므로 만남이다. 압축본: "$a + b = 1$이라 하자. $b = 1 - a$이므로 $\frac14 - ab = \frac14 - a(1-a) = \left(a - \frac12\right)^2 \ge 0$이고, 따라서 $ab \le \frac14$이다. $\blacksquare$" 등호는 $a = b = \frac12$일 때 성립한다. ② 기성품 인용. 문제 9의 명제는 $a \neq b$일 때의 엄격 부등식이므로, 등호를 포함한 판이 먼저 필요하다. $a = b$이면 $\frac{a+b}2 = a = \sqrt{a^2} = \sqrt{ab}$이므로 등호가 성립하고, 두 경우를 합치면 양의 실수 $a, b$에 대해 $\sqrt{ab} \le \frac{a+b}2$가 성립한다. 이 판을 인용하면 $\sqrt{ab} \le \frac{a+b}2 = \frac12$이고, 양변이 모두 0 이상이므로 제곱해도 부등호가 유지되어(1권 16주차 문제 17이 쓰는 원리) $ab \le \frac14$이다. 두 줄이다. 평가하면 ②가 짧다. 기성품 정리는 접어 둔 후진 사슬이므로 인용 한 번이 사슬 전체를 대체한다. 대가는 규격 확인 책임이다. 등호 포함 여부와 양수 조건을 확인하지 않고 인용하면 이 문제에서처럼 $a = b$인 경우가 빠진다.

**복기.** 갈림길에서 기성품을 고를지 직접 내려갈지의 판단 기준은 둘이다. ① 그 정리의 정확한 진술(등호와 조건)을 알고 있는가 ② 그 정리가 이 문제의 무대에서 성립하는가. 둘 다 확인되면 인용이 언제나 짧다.

**검산.** $a = 0.2$, $b = 0.8$로 확인한다. $ab = 0.16 \le 0.25$ ✓ 이고 $\left(0.2 - 0.5\right)^2 = 0.09 = 0.25 - 0.16$ ✓

### 문제 20

**접근.** (a)는 §1.6의 세 복원 항목을 1권 몫과 이번 주 몫으로 나눠 배치하면 된다. (b)는 이번 주에 실제로 다룬 사례에서 골라야 하며, 예제 2.2의 첫 문장과 문제 8의 "그런데" 줄이 가장 선명하다.

**풀이.** (예시 답안) (a) 1권에서 "증명을 읽을 수 있다"는 각 줄의 근거를 복원할 수 있다는 뜻이었다. 어떤 정의$\cdot$정리$\cdot$조작으로 이 줄이 참인가에 답하는 것이 필사의 "왜?" 표였다. 이번 주부터는 거기에 두 가지가 추가된다. 이 줄이 전진의 산물인지 지워진 후진의 흔적인지(방향 출신), 그리고 어떤 핵심 질문의 답으로 이 줄이 선택되었는지(설계 의도)다. 세 겹이 모두 복원될 때 비로소 "이 증명을 나도 설계할 수 있었겠다"에 도달한다. (b) 예제 2.2의 첫 문장 "삼각형 $ABD$와 $ACD$를 생각하자"는 수직에서 각으로, 각에서 합동으로, 합동에서 세 변으로 내려간 세 단의 후진이 지워지고, 사슬 아래쪽 조각인 B2(두 삼각형의 합동)가 요구하는 대상만 첫 문장으로 올라온 것이다. 문제 8의 "그런데 $x^2 + 2x + 4 > 0$이므로" 줄도 영인수 성질을 쓰기 위한 후진 걸음 B2가 전진 서술 속에 끼워 넣어진 것으로, 가정에서 이 부등식을 조사할 이유는 전혀 없었다.

**복기.** (b)의 사례는 문제 10의 "$2(2k^2+2k)+1$로 묶는 줄"이나 문제 14의 "$N$을 잡자" 줄로도 답할 수 있다. 어느 것을 고르든 근거는 같다. 그 줄을 시킨 것이 가정이 아니라 목표라는 것을 보이면 된다.

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**다음 주 예고 (S4주차).** 후진의 핵심 질문에 답을 대는 가장 믿을 만한 공급처는 정의다. Solow 3장은 정의가 "이름 $\Leftrightarrow$ 조건"의 쌍조건문이라는 것, 그래서 전진(이름을 조건으로 푸는 방향)과 후진(조건을 제작해 이름을 얻는 방향) 양쪽에서 쓰이는 양면 카드라는 것을 다룬다. 1권 내내 외운 정의들이 후진 질문의 표준 답안지로 재편성된다. 1일차에 원서 3장을 통독하고 온다.