# S2주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설

## 예제 — 후진 기록을 함께 만들기

완성된 기록을 먼저 보이지 않는다. 예제 2.1은 설계부터 한 걸음씩 함께 만들고, 예제 2.2는 설계만 함께 하며, 예제 2.3은 설계부터 스스로 한다.

### 예제 2.1 — 대수: S1의 게임을 후진으로 두기

**명제.** 양의 실수 $x$에 대해, $x + \dfrac1x = 2$이면 $x = 1$이다. (이번 주의 기본 산출물은 후진 기록까지다. 되짚어 답안으로 옮기는 일을 절차로 규격화하는 것이 S3주차다.)

**설계 — 쓰기 전에 정하는 두 가지.** 1권 15주차 번역표와 같은 순서다. 가정이 주는 것(출발점)과 만들어야 할 것(도착점)을 먼저 적는다.

|  | **말** | **게임의 언어로** |
|---|---|---|
| 가정 A (출발점) | $x$는 양의 실수이고 $x + \frac1x = 2$ | 가진 것 두 개 — 등식 하나와 부호 정보 $x > 0$ |
| 목표 B (도착점) | $x = 1$ | $\underline{\quad(?)\quad}$ |

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**확인 10.** 목표 칸에는 무엇이 들어가는가. 1권에서 하던 대로 정의를 풀 수 있는가.
:::

:::{admonition} 답
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**아직 아무것도 들어가지 않는다.** 결론 "$x = 1$"에는 풀 정의가 없으므로

도착점이 곧바로 적히지 않는다. 이 빈칸이 §1.1에서 막혔던 바로 그 자리다.

이 칸을 채우는 절차가 후진 과정이고, 그래서 설계가 여기서 시작된다.
:::

**1걸음 — 핵심 질문을 던진다.**

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**확인 11.** B에 던질 핵심 질문을 요건 1$\cdot$2에 맞게 적어 보자.
:::

:::{admonition} 답
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"**두 실수가 같음을 어떻게 보이는가?**"

주어가 결론이므로 요건 1을 만족하고, 기호 $x$와 $1$을 지웠으므로 요건 2를

만족한다. "어떻게 $x = 1$임을 보이는가"라고 물으면 답 목록이 떠오르지 않는다.
:::

**2걸음 — 목록에서 답을 고르고 $B_1$을 만든다.**

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**확인 12.** §1.7의 답 목록 ①~④ 중 하나를 고르고, 그 이유와 새 결론 $B_1$, 방향 검사를 적어 보자.
:::

:::{admonition} 답
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**① 차가 0임을 보인다.** 가진 것이 등식이라 대수 조작으로 차를 계산할 수 있으므로

가진 것에 가장 가깝다.

$B_1$: $x - 1 = 0$.

방향 검사: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ — 양변에 1을 더하면 되므로 참이고,

역도 성립하므로 $\iff$다. 되돌아올 길이 있는 가장 안전한 걸음이다.
:::

**3걸음 — $B_1$에 다시 핵심 질문을 던진다.**

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**확인 13.** $B_1$이 아직 가진 것에 닿지 않았다. $B_1$에 던질 핵심 질문과 그 답, 그리고 $B_2$를 적어 보자. 방향 검사도 함께 한다.
:::

:::{admonition} 답
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질문: "**어떤 식이 0임을 어떻게 보이는가?**"

답 목록: 인수분해해서 한 인수가 0임을 보인다 / 그 식의 제곱이 0임을 보인다 /

$\le 0$과 $\ge 0$을 양쪽에서 조인다.

가진 것이 이차식을 만들 수 있으므로 두 번째를 고른다. $B_2$: $(x-1)^2 = 0$.

방향 검사: $(x-1)^2 = 0 \Rightarrow x - 1 = 0$ — 실수의 제곱이 0이면 밑이 0이다

(1권 16주차 (W1)의 등호 조건) ✓.

방향을 혼동하기 쉬운 자리다. 여기서 한 일은 "$x-1=0$이니까 제곱해서

$(x-1)^2=0$"이 아니라 "**제곱이 0이면 밑이 0**"을 쓴 것이다. 앞의 것은

$B \Rightarrow B_1$ 방향이라 무효이고, 뒤의 것이 $B_1 \Rightarrow B$ 방향이다.
:::

**4걸음 — 전개한다.**

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**확인 14.** $B_2$를 전개해 $B_3$을 적고 방향을 판정해 보자.
:::

:::{admonition} 답
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$B_3$: $x^2 - 2x + 1 = 0$. 전개는 같은 식의 다른 표기이므로 $\iff$다.

이런 항등 변형 걸음은 방향 검사가 자동으로 통과된다.
:::

**5걸음 — 가진 것과 대조하고 정지 여부를 판정한다.**

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**확인 15.** $B_3$이 가진 것에서 나오는가. 나온다면 가진 것의 어느 조각이 어디서 쓰이는가.
:::

:::{admonition} 답
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**나온다.** $x > 0$이므로 $x \neq 0$이고, 가정 $x + \frac1x = 2$의 양변에 $x$를

곱하면 $x^2 + 1 = 2x$, 이항하면 $x^2 - 2x + 1 = 0$이다. $B_3$에 정확히 닿았다 —

사슬 종료 조건 (b)(A에서 쉽게 유도되는 것)에 해당한다.

가진 것 "$x > 0$"은 $x$를 곱하는 것이 정보를 잃지 않음을 보장하는 자리에서

소비된다. 이 조각이 없으면 $x = 0$일 때 양변에 0을 곱한 셈이 되어 걸음이

무효가 된다. 가정이 어디서 소비되는지 확인하는 습관은 1권 15주차 문제 11

해설에서 세운 것이다.
:::

**완성된 후진 기록.** 지금까지의 다섯 걸음을 이어 붙이면 아래 표가 된다. 손으로 베껴 쓰면서 오른쪽 열의 "왜"에 스스로 답해 본다.

| 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? |
|---|---|
| B: $x = 1$. 핵심 질문: "두 실수가 같음을 어떻게 보이는가?" | 요건 1(주어가 결론) + 요건 2(기호 $x$, $1$을 지운 추상 질문). 이 질문이라야 답 목록이 소환된다. |
| 답 ① 차가 0임을 보인다. $\to$ $B_1$: $x - 1 = 0$. 방향 검사: $\iff$ ✓ | 목록에서 가진 것과 가장 가까운 것을 골랐다 — 가진 것이 등식이므로 차를 계산할 수 있다. 이항은 가역이라 되돌아올 길이 있다. |
| $B_1$의 질문: "어떤 식이 0임을 어떻게 보이는가?" 답: 그 식의 제곱이 0임을 보인다. $\to$ $B_2$: $(x-1)^2 = 0$. 방향 검사: (W1)의 등호 조건 ✓ | 제곱을 만드는 방향이 아니라 제곱에서 밑으로 내려오는 방향임을 명시한다. 이 자리가 방향을 혼동하기 가장 쉬운 지점이다. |
| $B_2$ 전개 $\to$ $B_3$: $x^2 - 2x + 1 = 0$. 방향: 항등 변형이므로 $\iff$ | 같은 식의 다른 표기이므로 검사가 자동 통과된다. 사슬의 관절이 아니라 표기 정리다. |
| $B_3$은 가정의 양변에 $x$를 곱해 이항한 것과 같다. **사슬이 가진 것에 닿았다 — 정지.** | 종료 조건 (b). 곱하는 수 $x$가 0이 아님을 가진 것 $x > 0$이 보장한다 — 가정이 소비되는 자리다. |

**사슬 요약.**

$$
x = 1 \ \Leftarrow\ x - 1 = 0 \ \Leftarrow\ (x-1)^2 = 0 \ \iff\ x^2 - 2x + 1 = 0 \ \Leftarrow\ \text{(가정에 } x \text{ 곱하기)}
$$

이 사슬을 오른쪽에서 왼쪽으로 되짚어 읽으면 증명 답안의 순서가 된다. 되짚어 쓰는 일은 S3주차에서 정면으로 다룬다.

### 예제 2.2 — 기하: 갈림길에서 고르기

**명제.** 삼각형 $ABC$에서 $AB = AC$이고 $D$가 $BC$의 중점이면, $AD \perp BC$이다.

이번에는 설계만 함께 하고, 기록은 완성본으로 본다.

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**확인 16.** B에 던질 핵심 질문을 적고, 떠오르는 답을 가능한 만큼 나열해 보자.
:::

:::{admonition} 답
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질문: "**두 선분이 수직임을 어떻게 보이는가?**"

답 목록: ① 이루는 각이 $90^\circ$임을 보인다 ② 이웃한 두 각이 서로 같으면서

합이 평각($180^\circ$)임을 보인다 ③ 피타고라스 정리의 역을 쓴다

④ 좌표를 깔고 기울기의 곱이 $-1$임을 보인다.

네 개가 떠오르지 않아도 된다. 두 개만 떠올라도 비교가 시작된다.
:::

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**확인 17.** 가진 것 목록을 적고, 위 네 답 중 어느 것을 고를지와 그 이유를 적어 보자.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

가진 것: $AB = AC$(가설), $BD = DC$($D$가 중점이라는 정의), $AD = AD$(공통변),

$D$가 선분 $BC$ 위의 점(가설에 숨어 있음).

가진 것이 전부 "같음"이므로 **②**를 고른다. 각의 같음으로 잇는 경로가 가진 것과

가장 가깝다. ③이나 ④를 고르면 변의 길이를 계산해야 하는데, 이 문제에는

길이가 하나도 주어져 있지 않다 — 가진 것에서 먼 길이다.
:::

| 증명의 한 줄 | 왜 이 줄을 쓰는가? |
|---|---|
| B: $AD \perp BC$. 질문: "두 선분이 수직임을 어떻게 보이는가?" 답 ②를 선택 $\to$ $B_1$: $\angle ADB = \angle ADC$ | 가진 것이 전부 "같음"이므로 각의 같음으로 잇는다. 두 각의 합이 $180^\circ$인 것은 $D$가 선분 $BC$ 위에 있다는 가설에서 공짜로 나온다. |
| 방향 검사: 이웃한 두 각이 같고 합이 평각이면 각각 $90^\circ$이다 ✓ | 두 각을 $\theta$라 하면 $2\theta = 180^\circ$이므로 $\theta = 90^\circ$. 가진 것(평각) 하에서 검사가 통과한다. |
| $B_1$의 질문: "두 각이 같음을 어떻게 보이는가?" 답: 그 각들을 대응각으로 갖는 두 삼각형이 합동임을 보인다. $\to$ $B_2$: $\triangle ABD \cong \triangle ACD$ | 합동은 대응하는 모든 변과 각의 같음을 한꺼번에 주므로, 각 하나를 얻는 표준 경로다. 방향 검사: 합동이면 대응각이 같다 ✓. |
| $B_2$의 질문: "두 삼각형이 합동임을 어떻게 보이는가?" 답 목록: SSS / SAS / ASA. **SSS를 선택** $\to$ $B_3$: $AB = AC$, $BD = DC$, $AD = AD$ | 다시 갈림길이다. 가진 것 점검 결과 세 변이 전부 이미 가진 것에 있으므로 SSS가 가진 것과 정확히 맞물린다. |
| $B_3$의 세 등식이 모두 가진 것에 있다. **사슬이 A에 닿았다 — 정지.** | 종료 조건 (a). 새 결론이 가설 자체가 되었으므로 더 물을 것이 없다. |

**관찰.** 세 번의 질문이 전부 "어떻게 ~임을 보이는가" 꼴이고, 매번 답 목록에서 가진 것에 가까운 것을 골랐다. ③(피타고라스의 역)을 골랐다면 $B_1$이 "$AB^2 = AD^2 + BD^2$"가 되어 길이 계산이 필요해지고, 길이가 주어지지 않은 이 문제에서는 사슬이 훨씬 길어진다. **갈림길 선택이 증명의 길이를 결정한다.** (③ 경로의 실제 비용은 문제 9에서 계산한다.)

### 예제 2.3 — 잘못된 후진을 진단하기

**시도.** 명제 "$x$가 실수이고 $\sqrt{x+2} = x$이면 $x = 2$이다"에 대해 다음 기록이 제출되었다.

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"B: $x = 2$. 양변을 제곱하면 $x^2 = 4$이므로, $B_1$: $x^2 = 4$를 보이면 된다."
:::

이번에는 설계부터 스스로 해 보자.

:::{container} quotebox
**확인 18.** 이 기록에서 가장 먼저 검사해야 할 것은 무엇인가. 그리고 그 검사의 결과는 무엇인가.
:::

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

**방향 검사.** $B_1$으로 제시된 것이 B의 충분조건인지, 즉

$x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$인지 확인한다.

결과는 실패다 — $x = -2$가 목격자다. 제출자가 실제로 한 계산은

$B \Rightarrow B_1$(B에서 내려간 것, 필요조건)이지 $B_1 \Rightarrow B$가 아니다.
:::

**진단.** 이 기록대로 $x^2 = 4$를 증명해도 B는 확보되지 않는다. 필요조건을 증명하는 것은 목표를 증명하는 것이 아니기 때문이다. 1권 25주차 문제 19의 무연근이 정확히 이 사고의 결과였다 — 제곱이라는 비가역 변형이 후보를 늘렸고, 늘어난 후보 중 하나는 원래 방정식을 만족하지 않았다.

**수리 시도.** 이 걸음이 곧바로 폐기 대상인 것은 아니다. §1.6에서 정한 대로 방향 검사는 "현재 가진 것 하에서" 수행하는 것이므로, 가진 것을 하나 더 확보하면 검사 자체는 살아난다. 가정 $\sqrt{x+2} = x$의 좌변은 제곱근의 값이므로 음이 아니고, 따라서 $x \ge 0$이 가정에서 곧바로 따라온다. 이 조각을 가진 것 목록에 넣으면 "$x \ge 0$인 세계에서 $x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$"가 되어 방향 검사가 통과한다.

**그러나 통과한다고 해서 쓸모 있는 것은 아니다.** 살아난 걸음의 새 목표는 $B_1$: $x^2 = 4$이고, 이제 이것을 가진 것에서 증명해야 한다. 가진 것이 주는 것은 가정의 양변을 제곱한 $x^2 = x + 2$뿐이므로

$$
x^2 = 4 \iff x + 2 = 4 \iff x = 2
$$

가 되어 목표가 원래의 B로 되돌아온다. 사슬이 제자리를 돌 뿐 종료 조건 (a)(b)(c) 어디에도 닿지 못한다. **방향 검사는 걸음의 최소 요건이지 좋은 걸음의 보증이 아니다.** 갈림길 선택(§1.7)이 검사와 별도로 필요한 이유가 이것이다. 문제 17에서는 같은 조각 $x \ge 0$을 들고 다른 답(차가 0 $\to$ 영인수 성질)을 골라 사슬을 완성한다.

이 예제가 남기는 규칙은 둘이다 — **방향 검사는 "무조건 성립하는가"가 아니라 "현재 가진 것 하에서 $B_1 \Rightarrow B$인가"로 한다.** 그리고 **검사를 통과한 걸음이라도 새 목표가 가진 것에 가까워지지 않으면 답을 다시 고른다.** 검사에 실패했을 때 먼저 할 일은 걸음을 버리는 것이 아니라 가진 것 목록을 다시 읽는 것이고, 읽고 나서도 사슬이 돌면 그때 답 목록으로 돌아간다.

### 관찰 — 세 기록의 같은 뼈대

예제 2.1, 2.2, 2.3은 소재도 결과도 다르지만 기록의 뼈대는 같다. 대응표의 빈칸을 채워 보자.

:::{container} quotebox
**확인 19.** 아래 대응표의 (1)(2)(3)을 채워 보자.
:::

| **뼈대의 걸음** | **예제 2.1** | **예제 2.2** | **예제 2.3** |
|---|---|---|---|
| ① 핵심 질문(추상형) | 두 실수가 같음을 어떻게 보이는가 | $\underline{\quad(1)\quad}$ | 두 실수가 같음을 어떻게 보이는가 |
| ② 선택한 답 | 차가 0임을 보인다 | 이웃한 두 각이 같음을 보인다 | $\underline{\quad(2)\quad}$ |
| ③ 새 결론 $B_1$ | $x - 1 = 0$ | $\angle ADB = \angle ADC$ | $x^2 = 4$ |
| ④ 방향 검사 | $\iff$ ✓ | 평각이 가설에서 공짜 ✓ | $\underline{\quad(3)\quad}$ |

:::{admonition} 답
:class: quotebox dropdown

(1) 두 선분이 수직임을 어떻게 보이는가.

(2) 양변을 제곱한다. — 답 목록에서 고른 것이 아니라 즉석 변형이므로 절차의

걸음 ②(추상적인 방법으로 답하기)를 건너뛴 것이다. ① 칸이 보이듯 질문 자체는

추상형이므로 §1.5의 요건 2는 지켜졌고, 무너진 것은 §1.3 절차의 ②다.

§1.4의 삭제 실험과 같은 상태다.

(3) 실패. $x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$가 거짓이다($x = -2$).

세 기록의 차이는 ②와 ④에 있다. ②를 목록에서 고르지 않고 ④를 생략하면

예제 2.3이 되고, 둘을 지키면 예제 2.1과 2.2가 된다.
:::

방금 확인한 뼈대에 이름을 붙인다.

:::{admonition} 백지 암기 대상
:class: keybox

**후진 한 걸음의 기록 — 네 요소**

① 핵심 질문(추상형) $\to$ ② 목록에서 선택한 답과 그 이유 $\to$ ③ 새 결론 $B_1$ $\to$ ④ 방향 검사($B_1 \Rightarrow B$, 현재 가진 것 하에서)

네 요소 중 하나라도 빠진 기록은 미완성으로 본다.
:::

이 네 요소가 이번 주 연습문제의 채점 기준이고, 이후 S3~S8주차에서 기법이 늘어나도 기록의 형식은 그대로 유지된다.

## 빈칸 사다리 — 지지대를 하나씩 빼며

예제에서 자립으로 넘어가는 다리다. 훈련이 진행될수록 빈칸이 커진다. 베끼지 말고 빈칸만 스스로 채운다. 답은 §6 해설에 있다 — 다 채운 뒤에 대조한다.

### 훈련 1 ●○○ — 수식과 절차의 빈칸

**명제.** 실수 $a, b$에 대해 $a^2 + b^2 \ge 2ab$이다. (1권 16주차 예제 2.1을 후진 기록으로 다시 적는 것이다.)

- B: $a^2 + b^2 \ge 2ab$. 핵심 질문(추상): "한 실수가 다른 실수보다 크거나 같음을 어떻게 보이는가?"
- 답: "차가 $\underline{\quad(1)\quad}$ 이상임을 보인다." $\to$ $B_1$: $a^2 + b^2 - 2ab \ge 0$.

방향 검사: $B_1 \Rightarrow B$ ✓ (근거: $\underline{\quad(2)\quad}$ — 1권 16주차 (W2))

- $B_1$의 질문: "어떤 식이 0 이상임을 어떻게 보이는가?"

답: "그 식이 무언가의 $\underline{\quad(3)\quad}$임을 보인다." $\to$ $B_2$: $a^2 + b^2 - 2ab = (\underline{\quad(4)\quad})^2$

- $B_2$는 항등 변형이므로 참이고, $(\cdot)^2 \ge 0$은 이미 아는 참($\underline{\quad(5)\quad}$)이다.

**사슬이 아는 참에 닿았다 — 정지.**

### 훈련 2 ●●○ — 빈칸과 근거를 함께

이번에는 질문 자체와 방향 검사의 근거도 빈칸이다.

**명제.** 양의 실수 $a$에 대해 $a + \dfrac1a \ge 2$이다. (1권 16주차 문제 19가 잘못된 방향으로 다루었던 그 명제를, 이번에는 검사를 붙여 다시 적는다.)

- B: $a + \frac1a \ge 2$. 핵심 질문(추상): "$\underline{\quad(1)\quad}$"
- 답 목록에서 "차가 0 이상임을 보인다"를 선택 $\to$ $B_1$: $\underline{\quad(2)\quad} \ge 0$.

방향 검사: $B_1 \Rightarrow B$ ✓ (근거: $\underline{\quad(3)\quad}$)

- $B_1$의 질문: "어떤 식이 0 이상임을 어떻게 보이는가?"

답: "분모가 양수인 분수로 정리해 분자가 제곱임을 보인다." $\to$ $B_2$: $\dfrac{\underline{\quad(4)\quad}}{a} \ge 0$

- 방향 검사: $B_2 \Rightarrow B_1$의 근거는 $\underline{\quad(5)\quad}$이다.
- $B_2$는 (W1)과 가진 것 $a > 0$에서 따라온다 — **아는 참에 도달, 정지.**

이 기록에서 가진 것 "$a > 0$"이 소비되는 자리는 $\underline{\quad(6)\quad}$이다.

### 훈련 3 ●●● — 뼈대만 남기고

이번에는 질문부터 종료 판정까지 전부 스스로 적는다. 준비 운동 3번에서 손을 대 보았던 명제다.

**명제.** 양의 실수 $a, b$에 대해, $a \neq b$이면 $\dfrac{a+b}{2} > \sqrt{ab}$이다.

**후진 기록의 뼈대.** 네 요소를 갖추어 각 칸을 통째로 채운다.

- (1) B에 던질 핵심 질문(추상형): $\underline{\qquad}$
- (2) 목록에서 선택한 답과 그 이유: $\underline{\qquad}$
- (3) 새 결론 $B_1$과 방향 검사: $\underline{\qquad}$
- (4) $B_1$에 던진 두 번째 질문과 답, 그리고 $B_2$: $\underline{\qquad}$
- (5) 종료 판정 — 무엇에 닿아서 멈추는가, 그리고 가진 것 $a \neq b$는 어디서 소비되는가: $\underline{\qquad}$

(이 훈련이 문제 15의 예행연습이다.)

## 연습문제 (20문항)

해설을 보기 전에 문제당 최소 10분 스스로 시도한다. 막히면 곧바로 풀이를 읽지 말고, 해설의 '접근'까지만 읽고 다시 시도한다 $\to$ 그래도 안 되면 풀이를 읽는다.

:::{admonition} 이번 주의 채점 기준
:class: quotebox

답이 아니라 **근거**가 점수다. 후진 기록 한 걸음에는 네 요소가 전부 있어야

한다: ① 핵심 질문(추상형) ② 선택한 답 ③ 새 결론 $B_1$ ④ 방향 검사.

"$B_1$: $x - 1 = 0$"만 적은 답안은 0점이고, 네 요소를 갖춘 답안이 만점이다.

특히 ④가 없는 기록은 그 자체로 미완성이다 — 검사를 붙이지 않은 후진은

1권 15주차 규범 3이 금지한 답안과 형식상 구별되지 않는다.

힌트 상자는 5분 이상 막힌 뒤에만 연다.
:::

### 기본 ●○○

**1.** [백지] 후진 과정 한 걸음의 절차(①②③)와, 좋은 핵심 질문의 두 요건, 방향 검사 규칙($B_1 \Rightarrow B$)을 쓰시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

§1.3, §1.5, §1.6의 세 상자가 그대로 답이다. 세 상자를 눈으로 훑지 말고,

덮고 쓴 뒤에 대조한다. 방향 검사에서 화살표가 어느 쪽인지가 가장 자주

틀리는 부분이다.
:::

**2.** 다음 결론들에 대해 **추상적인** 핵심 질문을 하나씩 만드시오 (답은 안 해도 됨). (a) $m$은 홀수이다.  (b) $A \subseteq B$.  (c) 수열 $(a_n)$은 0으로 수렴한다.  (d) $f$는 단사이다.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

각 결론에서 이 문제에만 있는 기호($m$, $A$, $B$, $(a_n)$, $f$)를 지우고, 남는

유형의 이름으로 묻는다. 확인 5에서 한 번 해 보았다.
:::

**3.** 문제 2의 각 질문에 대해 표준 답을 하나씩 쓰시오 (1권의 정의$\cdot$서식에서: 홀수의 정의 / 원소 추적 / $\varepsilon$-N / $f(a)=f(a')$ 서식).

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

네 답이 전부 1권에 이미 있다. 무엇을 만들어야 하는지가 아니라, 1권에서

그 결론을 만났을 때 실제로 첫 줄에 무엇을 적었는지를 떠올린다.
:::

**4.** 빈칸 훈련을 백지에서 완성하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

§3의 훈련 1~3을 순서대로 한다. 훈련 3은 빈칸이 아니라 기록 전체를 쓰는

것이므로, 네 요소가 다 들어갔는지 채점 기준 상자와 대조한다.
:::

**5.** 예제 2.1(대수 후진 사슬)을 백지에 재현하시오 — 방향 검사 포함.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

다섯 줄이다. $(x-1)^2 = 0$에서 $x - 1 = 0$으로 가는 걸음의 방향 논평을

빠뜨리기 쉽다 — 그 줄이 이 예제의 핵심이다.
:::

**6.** 다음 후진 한 걸음의 방향을 검사하시오 (유효/무효 + 이유). (a) B: $x = 3$ $\to$ B1: $2x = 6$ (b) B: $x = 3$ $\to$ B1: $x^2 = 9$ (c) B: $n$은 짝수 $\to$ B1: $n = 2 \cdot (\text{어떤 정수})$ 꼴로 쓸 수 있다 (d) B: $x > 5$ $\to$ B1: $x \ge 5$

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

매번 같은 것만 묻는다: "$B_1$이 참이면 B가 따라오는가?" 반례가 하나라도

있으면 무효다. (d)는 부등호의 방향이 아니라 **강약**을 보는 문제다.
:::

### 표준 ●●○

**7.** "두 실수가 같음을 보이는 법"의 답 목록 4가지(개념 절)를 쓰고, 각각이 자연스러운 상황(가진 것의 모양)을 한 줄씩 붙이시오.

**8.** 명제 "실수 $x$에 대해, $x^3 = 8$이면 $x = 2$이다"(S1 문제 5)의 후진 사슬을 기록하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

첫 답은 ①(차가 0)이고, 가진 것과 잇는 다리는 인수분해

$x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4)$다. 그러면 가진 것이 "곱이 0"을 주므로 갈림길에서

영인수 성질(1권 25주차 문제 13) 경로를 고를 수 있다. 사슬이 두 갈래로

갈라지는 것이 아니라, 목표가 "$x^2 + 2x + 4 \neq 0$"이라는 **다른 모양**으로

바뀐다. 그 새 목표에 다시 핵심 질문을 던지면 완전제곱으로 내려간다:

$x^2 + 2x + 4 = (x+1)^2 + 3$.
:::

**9.** 예제 2.2(기하)를 백지에 재현하고, 갈림길 ③(피타고라스의 역)을 골랐다면 다음 결론 B1이 무엇이 되었을지 한 줄 쓰시오 (그 길이 왜 먼지 체감).

**10.** 명제 "$n$이 홀수이면 $n^2 + 4n + 3$은 짝수이다"의 후진을 기록하시오. (핵심 질문 $\to$ "짝수의 정의 꼴 $2(\text{정수})$로 쓰면 된다" $\to$ B1. 그다음 인수분해 $(n+1)(n+3)$을 향한 두 번째 후진까지)

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

확인 5에서 이 결론의 추상 질문을 이미 만들었다. 두 번째 질문은

"이 식에서 2를 어떻게 끌어내는가"이고, 답 목록에 "짝수인 인수를 노출한다"가

있다. 가진 것 "$n$은 홀수"가 어느 인수를 짝수로 만드는지 확인한다.
:::

:::{admonition} 새 현상 — 후진의 답이 '서식'일 때
:class: quotebox

문제 11부터는 답 목록의 항목이 계산 방법이 아니라 **증명 서식**인 경우를

만난다. 예를 들어 "부분집합임을 보이는 법"의 표준 답은 "왼쪽의 임의의 원소를

잡아 오른쪽에 속함을 보인다"라는 서식이다. 이때 새 결론 $B_1$은 등식이나

부등식이 아니라 **조건문**("임의의 $x$에 대해, $x \in A$이면 $x \in B$")이

되고, 게임이 한 단계 안쪽에서 새로 시작된다.

이 현상 자체가 하나의 기법이며, 결론의 "모든"을 다루는 **선택법**이라는

이름을 S6주차에서 얻는다. 지금은 "새 결론이 조건문이 될 수 있다"는 것만

인정하고 쓴다.
:::

**11.** 명제 "$A \cap B \subseteq A \cup B$"(1권 5주차 문제 15)의 후진을 기록하시오. (질문: "부분집합임을 어떻게 보이는가?" $\to$ 원소 추적 서식이 답 — 새 결론이 "임의의 $x \in A \cap B$에 대해 $x \in A \cup B$"로 바뀌는 것까지)

**12.** 다음 후진 시도를 진단하시오: 명제 "$a, b > 0$이면 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$"에서, "B의 양변에 $ab$를 곱해 $a^2 + b^2 \ge 2ab$를 보이면 된다." (방향 검사: $a^2 + b^2 \ge 2ab \Rightarrow \frac ab + \frac ba \ge 2$가 성립하는가 — 가진 것 중 무엇이 이 방향을 보장하며, 그것이 없다면 왜 위험한가?)

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

$a^2 + b^2 \ge 2ab$에서 원래 부등식으로 **돌아오려면** 양변을 $ab$로 나눠야

한다. 나눗셈이 부등호를 보존하는 조건이 1권 16주차 (W3)에 적혀 있다.

그 조건을 무엇이 보장하는지, 보장하지 않으면 어떤 반례가 생기는지 적는다.
:::

**13.** 하나의 결론에 대한 **두 갈래 후진**을 모두 기록하시오: B = "$m$과 $n$은 같은 홀짝이다"(1권 25주차 문제 9). 갈래 1: "같은 홀짝의 정의(둘 다 짝 $\lor$ 둘 다 홀)로 케이스를 보이면 된다." 갈래 2: "$m \equiv n \pmod 2$를 보이면 된다"(1권 25주차 문제 17의 동치). 각 갈래의 다음 결론과, 가진 것이 "$m + n$이 짝수"일 때 어느 갈래가 가까운지 판단하시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

두 갈래의 $B_1$을 나란히 적고, 각각에 가진 것 "$m + n = 2k$"를 대 보면 걸음

수가 눈에 보인다. $m - n$을 $(m+n)$과 $2n$으로 다시 쓰는 한 줄이 갈래 2를

짧게 만드는 자리다.
:::

**14.** $\varepsilon$-N 증명(1권 45주차 예제 2.1)의 첫 두 문장("$\varepsilon$이 주어졌다고 하자 / N을 잡자")을 후진 과정의 언어로 재해석하시오: B("수렴한다")에 던진 핵심 질문과 그 답(정의)이 무엇이었는가.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

$\varepsilon$-N 서식을 통째로 외운 서식으로 보지 말고, "수렴함을 어떻게 보이는가"라는 질문에

대한 답이 무엇이었는지부터 적는다. 답이 정의이면 새 결론은 정의의 문장

전체가 된다. 그 문장의 모양이 첫 두 문장의 모양을 결정한다.
:::

### 도전 ●●●

:::{admonition} 결론이 '그리고'일 때 — 사슬을 둘로
:class: quotebox

문제 15의 결론은 $a < \sqrt{ab}$와 $\sqrt{ab} < b$ 두 명제가 "그리고"로 묶인

것이다. 이런 결론에는 핵심 질문을 한 번만 던질 수 없다. 표준 처리는

**두 명제 각각에 대해 독립적인 사슬을 만드는 것**이고, 두 사슬이 모두 가진 것에

닿아야 기록이 완성된다.

이 처리는 새 기법이 아니다 — 1권 18주차 문제 18에서 결론이 "그리고"로 묶인

명제를 두 증명으로 나눠 쓴 것과 같은 일이고, 여기서는 그 두 벌을 각각 후진

사슬로 만든다. (결론의 "또는"을 다루는 소거법이 S15주차의 주제다.)
:::

**15.** 명제 "양의 실수 $a, b$에 대해, $a < b$이면 $a < \sqrt{ab} < b$이다"의 후진을 기록하시오. (결론이 $\land$(두 부등식) — 각각 따로 후진: $a < \sqrt{ab}$ $\Leftarrow$ ? 제곱 비교(1권 16주차 문제 11/17의 원리 — 양변 양수 확인) $\Leftarrow$ $a^2 < ab$ $\Leftarrow$ $a < b$에 $a > 0$ 곱 — 가진 것 도달. 다른 쪽도.)

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

제곱 비교 걸음의 방향 검사가 이 문제의 채점 지점이다. "양변이 0 이상일 때

제곱을 비교해도 된다"는 원리를 쓰기 전에 $a > 0$과 $\sqrt{ab} \ge 0$을 실제로

확인했는지 기록에 남긴다. 확인 6(a)에서 본 대로, 이 확인이 없으면 걸음이

무효다.
:::

**16.** 명제 "정수 $n$에 대해, $n^2$이 3의 배수이면 $n$은 3의 배수이다"(1권 19주차 예제 2.2)에 후진 과정을 시도하면 어디서 막히는지 기록하고, 그 막힘이 1권에서 어떤 기법 전환 신호였는지 쓰시오. (후진이 만능이 아님을 체험 — 이 책에서도 8~10장(NOT$\cdot$귀류$\cdot$대우)이 별도로 있는 이유)

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

후진 사슬을 한 걸음 내려간 뒤 가진 것 쪽을 본다. 가진 것은 $n^2 = 3m$ 하나뿐인데,

새 목표는 $n$에 대한 등식이다. $n^2$에서 $n$으로 내려오는 유효한 대수 조작이

정수 세계 안에 있는지 확인해 본다. 막히는 것이 정답이다 — 막힌 자리를

정확히 적는 것이 이 문제다.
:::

**17.** 예제 2.3의 명제("$\sqrt{x+2} = x \Rightarrow x = 2$")를 후진+전진 감각으로 끝까지 설계하시오: (a) 가진 것에서 $x \ge 0$을 뽑는 이유 (b) 유효해진 후진 사슬 (c) $x^2 = x + 2$의 두 근 중 $-1$이 탈락하는 지점. (완성 증명까지 — 1권 25주차 문제 19의 무연근 문제를 후진 언어로 다시 정리)

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

(a)는 제곱근 기호의 값이 무엇인지만 보면 한 줄이다. (c)는 "$-1$이 방정식을

만족하지 않는다"가 아니라 "$-1$이 **가진 것과 충돌한다**"로 적어야 후진 언어가

된다. 두 표현이 왜 다른 진술인지 생각해 본다.
:::

**18.** (진단) 다음 후진 기록의 결함을 **모두** 찾으시오.

:::{container} quotebox
"명제: $x, y > 0$이고 $xy = 1$이면 $x + y \ge 2$.

후진: B: $x + y \ge 2$. 질문: 어떻게 $x + y \ge 2$를 보이나? 답: 양변에서 2를 빼면 된다. B1: $x + y - 2 \ge 0$. 질문: 어떻게 $x + y - 2 \ge 0$을 보이나? 답: $x + y - 2 = (\sqrt x - \sqrt y)^2$이므로 제곱은 0 이상. 끝."
:::

질문의 추상화 요건 위반 1건과 근거를 밝히지 않은 등식 1건이 있다. $(\sqrt x - \sqrt y)^2$을 실제로 전개해 무엇이 빠졌는지, 그리고 가진 것 $xy = 1$이 어디서 소비되어야 했는지 밝히시오.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

§1.4의 걸음 삭제 실험에서 같은 기록을 이미 한 번 보았다. 결함 두 개는 서로

무관하지 않다 — 목록을 부르지 않았기 때문에 검사할 자리가 없었고, 검사할

자리가 없었기 때문에 전개가 틀린 것을 잡지 못했다. 수리된 기록에서는 가진 것이

어느 줄에서 소비되는지 손가락으로 짚을 수 있어야 한다.
:::

**19.** 후진 과정과 1권 16주차 "차–제곱 전략"의 관계를 정리하시오: 차–제곱 전략의 ①②③ 단계 각각이 후진 과정의 어떤 요소(핵심 질문/답/새 결론/아는 참 도달)에 해당하는가. — "1권의 전략들은 사실 특정 유형 B에 대한 **후진 사슬의 기성품**이었다"는 명제를 뒷받침하는 형태로.

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

먼저 1권 16주차 §1.5의 차–제곱 전략 ①②③을 그대로 옮겨 적는다. 그런 다음

두 열짜리 표를 만들어 왼쪽 열에 전략의 ①②③을, 오른쪽 열에 §1.3 절차의

①②③ 또는 "종료 판정" 중 무엇에 해당하는지를 적는다. 세 줄 중 한 줄은

걸음이 아니라 판정이라는 점이 이 문제의 갈림이다.
:::

**20.** (서술) (a) "핵심 질문을 추상화하라"가 왜 단순한 말버릇이 아니라 **방법 목록을 소환하는 장치**인지, 예제 2.2의 갈림길로 설명하시오 (세 문장 이내). (b) 후진 한 걸음의 방향 검사($B_1 \Rightarrow B$)를 잊었을 때 생기는 병을 1권의 사례 하나(1권 25주차 문제 19의 무연근 또는 1권 16주차 문제 19)로 연결하시오 (두 문장 이내).

:::{admonition} 힌트
:class: quotebox dropdown

(a)는 예제 2.2에서 목록이 소환되기 전과 후를 대조한다 — 구체 질문일 때

손에 무엇이 있었고, 추상 질문으로 바꾼 뒤 무엇이 생겼는가. (b)는 그 사슬에

"필요조건의 사슬"이라는 이름부터 붙이고 시작하면 두 문장이 나온다.
:::

## 백지 재현 — 복습 프로토콜

**권장 일정 (제2권 주간 루틴).**

| **요일** | **할 일** |
|---|---|
| 1일차 | Solow 2장 통독. 모르는 문장은 표시만 하고 통과한다 |
| 2일차 | 이 교안의 §0~§2 — 개념과 예제 |
| 3일차 | Solow 2장 재독. 1일차에 표시한 문장을 해결하고, 원서의 연습문제 중 몇 개를 직접 시도한다 |
| 4일차 | 이 교안의 §3~§4 — 빈칸 사다리와 연습문제 20문항 |
| 5일차 | 백지 재현 + 체크리스트 |

재현은 두 번으로 나눈다. 한 번에 완전 백지로 가지 않는다.

**1차 시도 (4일차 끝) — 틀 카드 허용.** §1.3의 절차 상자와 §2 끝의 네 요소 상자만 펴 놓고, 예제 2.1의 후진 기록을 처음부터 끝까지 적는다. 본문과 답 상자는 보지 않는다.

**2차 시도 (5일차) — 완전 백지.** 아무것도 보지 않고 수행한다.

- [ ] 후진 한 걸음의 절차 ①②③을 문장으로 썼다.
- [ ] 핵심 질문의 두 요건을 쓰고, 나쁜 질문과 좋은 질문의 쌍을 하나 만들어 보였다.
- [ ] 방향 검사 규칙을 화살표까지 정확히 썼다 — $B_1 \Rightarrow B$.
- [ ] 예제 2.1(대수)과 2.2(기하)의 사슬을 각 걸음의 방향 검사와 함께 재현했다.
- [ ] 예제 2.3의 필요조건 갈아타기를 진단하고, 가진 것을 추가해 방향 검사를 살렸으며, 그래도 사슬이 순환함을 확인해 다른 답으로 갈아탔다.
- [ ] "두 실수가 같음을 보이는 법" 네 가지를 쓰고 각각의 상황을 붙였다.
- [ ] 후진 기록을 그대로 답안으로 내면 왜 안 되는지 한 문장으로 답했다.

**막힌 지점별 처방.** 막힌 지점이 무엇을 다시 볼지 알려 준다.

| **막힌 지점** | **처방** |
|---|---|
| 질문이 구체적으로만 나온다 | §1.5의 나쁜 질문/좋은 질문 표 — 기호를 지우는 연습을 세 번 더 한다 |
| 답 목록이 떠오르지 않는다 | §1.7의 네 항목 표 — 목록을 외우는 것이 아니라 1권의 어느 주차에서 왔는지로 복원한다 |
| 방향 검사를 자꾸 잊는다 | 예제 2.3과 §1.6 — 검사를 빠뜨린 기록이 1권 15주차 규범 3 위반과 같아지는 지점을 다시 읽는다 |
| 어느 답을 골라야 할지 모르겠다 | 예제 2.2의 확인 17 — 가진 것 목록을 먼저 적고 나서 고른다. 순서가 반대이면 고를 수 없다 |
| 사슬을 언제 멈출지 모르겠다 | §1.3의 종료 조건 (a)(b)(c) — 새 결론을 가진 것 목록과 한 줄씩 대조한다 |
| 기록은 되는데 답안이 안 써진다 | §1.8의 확인 9 — 이번 주의 기본 산출물은 기록까지다. 사슬이 이미 가진 것에 닿은 경우에는 되짚기가 한두 줄이므로 도전 문항(10$\cdot$15$\cdot$17)에서 미리 맛본다. 되짚기를 절차로 규격화하는 것이 S3주차다 |

하나라도 실패하면 그 항목만 다시 적어 보고 다음날 재시도한다.

## 해설

각 해설은 **접근**(문제 앞에서 무엇을 생각하는가)과 **풀이**로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다.

### 빈칸 사다리 — 훈련 1

(1) $0$ (2) (W2) — 부등식의 양변에 같은 수를 더해도 부등호가 유지되므로, $a^2 + b^2 - 2ab \ge 0$의 양변에 $2ab$를 더하면 원래 부등식으로 되돌아온다. 가역 변형이므로 $\iff$다. (3) 제곱 (4) $a - b$ (5) (W1) — 실수의 제곱은 0 이상이다.

※ 이 기록의 두 걸음이 곧 1권 16주차 차–제곱 전략의 ①②다. 전략이 먼저 있었고 후진 과정이 나중에 왔지만, 논리적 순서는 반대다 — 전략이 후진 사슬의 기성품이다.

### 빈칸 사다리 — 훈련 2

(1) 한 실수가 다른 실수보다 크거나 같음을 어떻게 보이는가 (2) $a + \frac1a - 2$ (3) (W2) — 양변에 2를 더하면 되돌아오므로 $\iff$ (4) $(a-1)^2$ (5) 두 식이 같은 식이라는 것. 실제로 $a + \frac1a - 2 = \frac{a^2 + 1 - 2a}{a} = \frac{(a-1)^2}{a}$이므로 통분과 인수분해에 의한 항등 변형이고, 따라서 $\iff$다. (6) 두 자리다. 첫째, 통분할 때 $a \neq 0$을 보장하는 자리. 둘째, $\frac{(a-1)^2}{a} \ge 0$을 선언할 때 분자가 (W1)로 0 이상이고 분모가 양수임을 함께 써야 몫의 부호가 정해지는 자리.

※ 1권 16주차 문제 19의 답안은 같은 식들을 썼지만 화살표가 반대였다. 같은 계산이라도 방향 검사가 붙느냐 아니냐로 설계 노트가 되기도 하고 틀린 답안이 되기도 한다.

### 빈칸 사다리 — 훈련 3

(1) "한 실수가 다른 실수보다 큼을 어떻게 보이는가?" (2) "차가 양수임을 보인다"를 고른다. 가진 것이 $a > 0$, $b > 0$, $a \neq b$라는 부호$\cdot$상등 정보뿐이고 결론의 양쪽이 모두 대수식이므로, 차를 계산하는 길이 가진 것에 가장 가깝다. (3) $B_1$: $\frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} > 0$. 방향 검사: 양변에 $\sqrt{ab}$를 더하면 되돌아오므로 (W2)에 의해 $\iff$ ✓. (4) $B_1$의 질문: "어떤 식이 양수임을 어떻게 보이는가?" 답: "그 식을 제곱의 양수 배로 정리하고, 제곱의 밑이 0이 아님을 보인다." 실제로 $\frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{a - 2\sqrt{ab} + b}{2} = \frac{(\sqrt a - \sqrt b)^2}{2}$이므로 $B_2$: $\frac{(\sqrt a - \sqrt b)^2}{2} > 0$. 방향 검사: 항등 변형이므로 $\iff$ ✓. (5) 종료: (W1)의 등호 조건에 닿아 멈춘다. 제곱은 0 이상이고, 0이 되는 것은 밑이 0일 때 즉 $\sqrt a = \sqrt b$일 때뿐이다. 가진 것 $a \neq b$는 바로 이 자리에서 소비된다 — $a \neq b$이므로 $\sqrt a \neq \sqrt b$이고, 따라서 제곱이 0이 아니어서 부등호가 $\ge$가 아니라 $>$가 된다. 가진 것 $a > 0$, $b > 0$은 $\sqrt a$, $\sqrt b$가 정의되고 $(\sqrt a)^2 = a$가 성립함을 보장하는 자리에서 소비된다.

※ 가진 것이 어디서 소비되는지를 기록에 적어 두면, 가진 것을 하나도 쓰지 않은 가짜 사슬을 스스로 걸러낼 수 있다. 문제 18이 그 걸러내기를 연습하는 문항이다.

### 문제 1

**접근.** §1.3, §1.5, §1.6의 세 상자가 그대로 답이다. 통째로 외우기보다 각 조각이 무엇을 막는지와 함께 외운다 — §1.4의 해부 표가 그 이유를 담고 있으므로, 일부를 잊어도 나머지에서 복구할 수 있다.

**풀이.** **후진 과정 한 걸음의 절차.** ① 결론 B에 핵심 질문을 던진다: "B가 참임을 보이려면 어떻게 하면 되는가?" ② 그 질문에 추상적인 방법으로 답한다(정의, 이미 아는 판정법, 표준 전략). ③ 그 답을 이 문제의 기호에 적용해 새 결론 $B_1$을 얻는다. 목표가 B에서 $B_1$으로 교체되며, $B_1$이 여전히 멀면 반복한다. **핵심 질문의 두 요건.** 요건 1 — 질문의 주어는 언제나 결론 B다(가정에서 출발하는 물음은 전진 과정의 것이다). 요건 2 — 이 문제의 특수한 기호를 지우고 일반적인 유형으로 묻는다. **방향 검사.** 한 걸음이 유효하려면 $B_1 \Rightarrow B$여야 한다. 즉 $B_1$은 B의 충분조건이어야 한다. 검사는 "무조건 성립하는가"가 아니라 "현재 가진 것 하에서 성립하는가"로 수행한다. **종료 조건.** 새 결론이 (a) 가설 A 자체 (b) A에서 쉽게 유도되는 것 (c) 이미 아는 참에 닿으면 멈춘다.

**복기.** 자가 채점에서 가장 자주 발견되는 결손은 요건 2와 방향 검사다. 절차 ①②③만 적고 두 요건과 검사를 빠뜨리면, 남는 것은 "결론을 만지작거린다"는 지침뿐이고 그것은 1권이 금지한 답안과 구별되지 않는다.

### 문제 2

**접근.** 각 결론에서 이 문제에만 있는 기호를 지우고 남는 유형의 이름으로 묻는다. 표현은 사람마다 달라도 되고, 채점 기준은 "이 명제의 기호가 질문에 남아 있지 않은가" 하나다.

**풀이.** (예시 — 표현이 달라도 추상형이면 정답이다) (a) "정수가 홀수임을 어떻게 보이는가?" (b) "한 집합이 다른 집합의 부분집합임을 어떻게 보이는가?" (c) "수열이 어떤 값으로 수렴함을 어떻게 보이는가?" (d) "함수가 단사임을 어떻게 보이는가?"

**복기.** (a)를 "어떻게 $m$이 홀수임을 보이는가"로 적었다면 기호 $m$이 남아 있다. $m$이 남아 있어도 답은 같아 보이지만, 실제 증명에서 기호가 복잡한 식 ($n^2 + 4n + 3$ 같은 것)으로 바뀌는 순간 목록이 소환되지 않는다. 확인 5가 그 차이를 보인 자리다.

### 문제 3

**접근.** 네 답이 전부 1권에 이미 있다. 무엇을 새로 만들지가 아니라, 1권에서 그 결론을 만났을 때 답안의 첫 줄에 실제로 무엇을 적었는지를 떠올린다.

**풀이.** (a) "$2k + 1$ ($k$는 정수) 꼴로 쓴다" — 홀수의 정의 (1권 1주차 정의 1.2). (b) "임의의 $x \in A$를 잡아 $x \in B$임을 보인다" — 원소 추적 (1권 27주차). (c) "임의의 $\varepsilon > 0$에 대해 문턱 $N$을 제작한다" — $\varepsilon$-N 정의 (1권 45주차). (d) "$f(a) = f(a')$라 가정하고 $a = a'$을 유도한다" — 단사 증명의 서식 (1권 41주차).

**복기.** 네 답이 전부 "정의 또는 그 정의에서 나온 서식"이다. 후진 질문의 표준 답 목록에서 제1번은 언제나 정의라는 뜻이고, 이것이 S4주차의 주제다. 애매하면 정의로 돌아가라는 1권의 습관이 여기서 절차 안의 한 걸음으로 자리를 얻는다.

### 문제 4

**접근.** 훈련 1은 수식과 절차 낱말만, 훈련 2는 질문과 근거까지, 훈련 3은 기록 전체를 쓴다. 훈련 3에서는 채점 기준 상자의 네 요소가 다 들어갔는지 대조한다.

**풀이.** 훈련 1~3의 답은 이 절 앞부분의 "빈칸 사다리" 항목에 있다. 자가 채점 시 다음 세 가지를 특히 확인한다. 첫째, 방향 검사의 근거를 (W1)/(W2) 수준까지 적었는가 — "당연히 성립한다"는 근거가 아니다. 둘째, 종료 판정에서 무엇에 닿아 멈추는지를 (a)(b)(c) 중 하나로 명시했는가. 셋째, 가진 것이 소비되는 자리를 짚었는가. 훈련 2의 (6)과 훈련 3의 (5)가 세 번째 항목의 채점 지점이다.

### 문제 5

**접근.** 다섯 줄짜리 기록이다. 각 줄에 네 요소가 다 있는지 확인하며 적는다. $(x-1)^2 = 0$에서 $x - 1 = 0$으로 내려오는 걸음의 방향 논평이 이 예제의 핵심이고, 그 줄을 빠뜨린 재현은 미완성이다.

**풀이.** 재현 결과는 예제 2.1의 완성 기록 표와 대조한다. 사슬 요약은 다음과 같다.

$$
x = 1 \ \Leftarrow\ x - 1 = 0 \ \Leftarrow\ (x-1)^2 = 0 \ \iff\ x^2 - 2x + 1 = 0 \ \Leftarrow\ \text{(가정에 } x \text{ 곱하기)}
$$

자가 채점 항목은 셋이다. ① 첫 질문이 "두 실수가 같음을 어떻게 보이는가"라는 추상형인가. ② 세 번째 걸음에서 "제곱을 만드는 것이 아니라 제곱에서 밑으로 내려온다"는 방향 논평을 적었는가. ③ 마지막 줄에서 가진 것 $x > 0$이 $x$를 곱하는 정당성으로 소비된다는 것을 적었는가.

**복기.** ②를 빠뜨린 기록은 겉보기에 예제 2.3과 구별되지 않는다. 두 예제는 같은 도구(제곱)를 쓰지만 방향이 반대이고, 그 차이를 적는 곳이 방향 검사 칸이다.

### 문제 6

**접근.** 매번 같은 것만 묻는다: "$B_1$이 참이면 B가 따라오는가?" 반례가 하나라도 있으면 무효다. 가진 것이 명시되지 않았으므로 무조건 성립하는지로 판정한다.

**풀이.** (a) **유효.** $2x = 6 \Rightarrow x = 3$이다. 양변을 2로 나누면 되고, 나눗셈은 가역이므로 실제로는 $\iff$다. (b) **무효.** $x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$은 거짓이다 — $x = -3$이 반례다. 필요조건으로 갈아탄 전형적인 사고이며, 가진 것에 "$x > 0$"이 있으면 유효해진다 (확인 7). (c) **유효.** "$2 \cdot (\text{어떤 정수})$ 꼴로 쓸 수 있다"는 것이 짝수의 **정의** 그 자체이므로 $\iff$다. 정의로 갈아타는 걸음은 언제나 동치이고, 그래서 가장 안전하다. (d) **무효.** $x \ge 5 \Rightarrow x > 5$는 거짓이다 — $x = 5$가 반례다. 부등호를 느슨한 쪽으로 바꾸는 것은 결론을 **약화**하는 방향, 즉 B에서 내려가는 방향이다. 후진은 같거나 더 강한 명제로만 갈아탈 수 있다.

**복기.** (b)와 (d)는 병이 같다 — 둘 다 B에서 나오는 것(필요조건)으로 갈아탔다. (a)와 (c)는 둘 다 동치이므로 안전하다. 걸음을 고를 때 동치인 것이 있으면 그것을 먼저 고르는 것이 실무적 기준이다.

**검산.** 각 항목에서 $B_1$을 참으로 만들면서 B를 거짓으로 만드는 값을 하나 찾아보면 유효/무효가 즉시 갈린다. (b)는 $-3$, (d)는 $5$가 그 값이다.

### 문제 7

**접근.** §1.7의 표를 복원하되, 오른쪽 열(자연스러운 상황)을 외운 문장이 아니라 "가진 것이 어떤 모양일 때 그 답이 가진 것에 가까워지는가"로 재구성한다.

**풀이.** ① **차가 0임을 보인다.** 새 결론은 $A - B = 0$. 가진 것이 등식이어서 대수 조작으로 차를 계산할 수 있을 때 자연스럽다. 예제 2.1이 이 경우다. ② **서로 $\le$이고 $\ge$임을 보인다.** 새 결론은 두 부등식. 가진 것이 이미 부등식 두 벌이거나, 양쪽 방향의 논증이 대칭이어서 한쪽을 쓰면 다른 쪽이 같은 방식으로 나올 때 자연스럽다. 1권 27주차의 집합 상등을 두 포함으로 쪼개는 것과 같은 정신이다. ③ **둘 다 같은 유일한 대상과 같음을 보인다.** 새 결론은 $A = C$와 $B = C$. 유일성 정리가 이미 확보되어 있을 때만 쓸 수 있다 (1권 26주차). ④ **비가 1임을 보인다.** 새 결론은 $A / B = 1$. 가진 것이 곱$\cdot$나눗셈 구조일 때 자연스럽고, 나누기 전에 $B \neq 0$을 확인해야 한다.

**복기.** 네 답 모두 방향 검사를 통과한다는 점에서 논리적으로는 동등하다. 차이는 사슬의 길이뿐이고, 그 길이를 결정하는 것이 가진 것과의 거리다. 목록을 외우는 목적은 "고를 수 있게" 되는 것이지 "네 개를 다 쓰기" 위한 것이 아니다.

### 문제 8

**접근.** 결론 $x = 2$에 대해 ①(차가 0)을 고르면 $x - 2 = 0$이 나오는데, 가진 것 $x^3 = 8$과 잇기 위해 인수분해가 필요하다. $x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4)$이므로 가진 것은 "곱이 0"을 준다. 곱이 0일 때 특정 인수가 0이라고 말하려면 다른 인수가 0이 아니어야 하고, 그것이 새 목표가 된다.

**풀이.** B: $x = 2$. 질문: "두 실수가 같음을 어떻게 보이는가?" 답 ①(차가 0) $\to$ $B_1$: $x - 2 = 0$. 방향 검사: 이항이 가역이므로 $\iff$ ✓. 여기서 가진 것을 점검한다. $x^3 = 8$을 이항하고 인수분해하면 $x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4) = 0$이 가진 것으로 확보된다. $B_1$의 질문: "곱이 0일 때 특정 인수가 0임을 어떻게 보이는가?" 답: "다른 인수가 0이 아님을 보인다"(영인수 성질, 1권 25주차 문제 13). $\to$ $B_2$: $x^2 + 2x + 4 \neq 0$. 방향 검사: 가진 것 "$(x-2)(x^2+2x+4) = 0$" 하에서, $B_2$가 참이면 $x - 2 = 0$이 따라온다 ✓. 가진 것 없이는 성립하지 않는 걸음이므로 가진 것을 명시해야 한다. $B_2$의 질문: "어떤 식이 0이 아님을 어떻게 보이는가?" 답: "그 식이 양수임을 보인다." $\to$ $B_3$: $x^2 + 2x + 4 > 0$. 방향 검사: 양수이면 0이 아니다 ✓. $B_3$은 완전제곱으로 정리하면 $(x+1)^2 + 3$이고, (W1)에 의해 $(x+1)^2 \ge 0$이므로 $(x+1)^2 + 3 \ge 3 > 0$이다. **아는 참에 도달 — 정지.**

**복기.** 이 사슬의 특징은 중간에 목표의 **모양**이 바뀐다는 것이다. 등식에서 출발했는데 $B_2$에서 부등식(정확히는 부정 등식)이 되었다. 목표의 모양이 바뀌면 던질 질문도 달라지므로, 매 걸음 "지금 목표가 어떤 유형인가"를 다시 확인한다.

**검산.** $x = 2$를 대입하면 $x^2 + 2x + 4 = 12 \neq 0$이고, 가진 것 $x^3 = 8$도 만족한다. 사슬의 각 고리가 실제 값에서 어긋나지 않는지 확인하는 용도다.

### 문제 9

**접근.** 재현은 예제 2.2의 기록과 대조한다. 뒷부분은 ③(피타고라스의 역)을 골랐을 때의 $B_1$을 실제로 적어 보고, 그 $B_1$을 가진 것 목록과 대 보는 것이 요점이다.

**풀이.** 재현 부분은 예제 2.2의 표와 대조한다. 세 번의 질문("수직임을 어떻게 보이는가" $\to$ "두 각이 같음을 어떻게 보이는가" $\to$ "두 삼각형이 합동임을 어떻게 보이는가")과 매번의 선택 이유(가진 것이 전부 "같음"이다)가 들어 있으면 통과다. ③을 골랐을 때의 새 결론은 다음과 같다. $B_1$: $AB^2 = AD^2 + BD^2$ (피타고라스 정리의 역을 적용하기 위한 등식). 이 길이 먼 이유는 가진 것과의 거리에 있다. 가진 것은 $AB = AC$, $BD = DC$, $AD = AD$ 세 개의 **같음**뿐이고 길이의 수치는 하나도 주어지지 않았다. $B_1$은 세 길이 사이의 계산을 요구하므로, 이 등식을 얻으려면 결국 다른 경로로 길이 관계를 먼저 세워야 한다. ④(좌표와 기울기)도 사정이 같다 — 일반 삼각형에 좌표를 깔고 $D$의 좌표를 계산하는 비용이 든다.

**복기.** 갈림길 선택의 기준은 "그 답이 옳은가"가 아니라 "그 답이 만드는 새 결론이 가진 것에 가까운가"다. ③도 ④도 방향 검사는 통과하지만 사슬이 길어진다. 가진 것 목록을 먼저 적고 나서 답을 고르는 순서(확인 17)가 이래서 중요하다.

### 문제 10

**접근.** 결론의 유형은 "한 정수가 짝수임"이고, 확인 5에서 추상 질문을 이미 만들었다. 표준 답은 짝수의 정의 꼴을 만드는 것이다. 그다음 "이 식에서 2를 어떻게 끌어내는가"에 답하려면 인수분해로 짝수인 인수를 노출하면 된다.

**풀이.** B: $n^2 + 4n + 3$은 짝수이다. 질문: "한 정수가 짝수임을 어떻게 보이는가?" 답: 짝수의 정의 꼴 $2 \times (\text{정수})$로 쓴다. $\to$ $B_1$: $n^2 + 4n + 3 = 2m$인 정수 $m$이 존재한다. 방향 검사: 정의이므로 $\iff$ ✓. $B_1$의 질문: "이 식에서 인수 2를 어떻게 끌어내는가?" 답: 인수분해해 짝수인 인수를 노출한다. $n^2 + 4n + 3 = (n+1)(n+3)$이므로 $\to$ $B_2$: $(n+1)$과 $(n+3)$ 중 적어도 하나가 짝수이다. 방향 검사: 한 인수가 $2k$ 꼴이면 곱이 $2 \times (\text{정수})$ 꼴이 되므로 $B_1$이 따라온다 ✓ (나머지 인수가 정수라는 닫힘성을 함께 쓴다). $B_2$에 가진 것을 댄다. $n$이 홀수이므로 $n = 2k + 1$인 정수 $k$가 존재하고, $n + 1 = 2k + 2 = 2(k+1)$은 짝수다. **사슬이 A에 닿았다 — 정지.** 되짚어 쓰면 $(n+1)(n+3) = 2(k+1)(n+3) = 2\big((k+1)(n+3)\big)$이고 괄호 안이 정수이므로 $n^2 + 4n + 3$은 짝수다.

**복기.** 1권 15주차 문제 16은 같은 식에 대해 더 강한 결론(4의 배수)을 요구한다. 그 문제에서는 $n + 1$과 $n + 3$이 **둘 다** 짝수임을 보였다. 결론이 강해지면 $B_2$가 "적어도 하나"에서 "둘 다"로 바뀌는 것뿐이고 질문과 답의 구조는 같다 — 같은 사슬의 눈금만 조인 것이다.

**검산.** $n = 3$이면 $9 + 12 + 3 = 24 = 2 \times 12$이고, $n = 5$이면 $25 + 20 + 3 = 48 = 2 \times 24$다.

### 문제 11

**접근.** "부분집합임을 어떻게 보이는가"의 표준 답은 계산 방법이 아니라 **서식**이다. 따라서 새 결론은 등식이 아니라 조건문이 되고, 게임이 한 단계 안쪽에서 새로 시작된다. 문제 앞 상자에서 인정하고 쓰기로 한 현상이다.

**풀이.** B: $A \cap B \subseteq A \cup B$. 질문: "한 집합이 다른 집합의 부분집합임을 어떻게 보이는가?" 답: 정의 — 왼쪽 집합의 임의의 원소가 오른쪽 집합에 속함을 보인다. $\to$ $B_1$: 임의의 $x$에 대해, $x \in A \cap B$이면 $x \in A \cup B$이다. 방향 검사: 부분집합의 정의이므로 $\iff$ ✓. $B_1$은 조건문이므로 새 게임이 열린다. 새 가정은 "$x \in A \cap B$", 새 결론은 "$x \in A \cup B$"다. 이 새 게임에서 다시 후진 한 걸음을 둔다. 질문: "$x$가 합집합에 속함을 어떻게 보이는가?" 답: 합집합의 정의 — $x \in A$이거나 $x \in B$임을 보인다. $\to$ $B_2$: $x \in A$ 또는 $x \in B$. 방향 검사: 정의이므로 $\iff$ ✓. 새 가정 $x \in A \cap B$를 교집합의 정의로 풀면 $x \in A$이고 $x \in B$이므로, 특히 $x \in A$가 확보된다. "그리고"에서 한쪽을 뽑아 "또는"을 켜면 $B_2$에 도달한다. **사슬이 새 게임의 가진 것에 닿았다 — 정지.** (1권 5주차 문제 15가 같은 명제를 원소 추적으로 증명한 문항이다.)

**복기.** 후진의 답이 서식일 때 새 결론은 종종 조건문이나 양화 명제가 된다. 이때 기록은 "게임 안의 게임"으로 중첩되고, 안쪽 게임에서 다시 후진 과정을 쓴다. 바깥 게임의 가진 것과 안쪽 게임의 가진 것을 섞지 않는 것이 채점 지점이다.

### 문제 12

**접근.** 제시된 걸음의 $B_1$은 $a^2 + b^2 \ge 2ab$다. 방향 검사는 "$a^2 + b^2 \ge 2ab$이면 $\frac ab + \frac ba \ge 2$인가"를 묻는다. 되돌아오려면 양변을 $ab$로 나눠야 하고, 나눗셈이 부등호를 보존하는 조건이 1권 16주차 (W3)다.

**풀이.** 가진 것에 $a > 0$과 $b > 0$이 있으므로 $ab > 0$이다. (W3)에 의해 양변을 양수 $ab$로 나누면 부등호가 유지되므로

$$
a^2 + b^2 \ge 2ab \ \Longrightarrow\ \frac{a^2 + b^2}{ab} \ge 2 \ \Longrightarrow\ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2
$$

가 성립한다. 반대로 원래 부등식의 양변에 $ab > 0$을 곱해도 부등호가 유지되므로 $B_1 \iff B$이고, **검사 통과**다. 이 걸음은 유효하다. 가진 것이 없다면 위험하다. $a$와 $b$의 부호가 미상이면 $ab < 0$일 수 있고, 그때는 (W3)의 후반부에 따라 부등호가 뒤집혀 $B_1 \Rightarrow B$가 무너진다. 예를 들어 $a = 1$, $b = -1$이면 $a^2 + b^2 = 2 \ge -2 = 2ab$는 참이지만 $\frac ab + \frac ba = -2 \ge 2$는 거짓이다. 사슬의 완성은 곧바로 나온다. $B_1$은 1권 16주차 예제 2.1로 이미 증명된 참이므로 종료 조건 (c)에 해당하고, 사슬이 끝난다.

**복기.** 예제 2.3과 같은 교훈이다 — 방향 검사는 "현재 가진 것 하에서" 수행한다. 다만 두 사례의 결말이 반대다. 예제 2.3은 검사에 실패한 뒤 가진 것을 추가해 살렸고, 이 문제는 가진 것이 이미 있어 처음부터 통과한다. 진단 문항에서 "무효"라고만 적으면 틀린 답이 되는 이유가 여기에 있다.

**검산.** $a = 2$, $b = 1$이면 $\frac21 + \frac12 = 2.5 \ge 2$이고 $a^2 + b^2 = 5 \ge 4 = 2ab$다.

### 문제 13

**접근.** 두 갈래 각각에 대해 $B_1$을 명시한 뒤, 가진 것 "$m + n$이 짝수"를 대 보고 걸음 수를 센다. 어느 갈래가 옳은지가 아니라 어느 갈래가 **가까운지**를 판단하는 문제다.

**풀이.** **갈래 1.** 질문: "두 정수의 홀짝이 같음을 어떻게 보이는가?" 답: 정의 — 둘 다 짝수이거나 둘 다 홀수임을 보인다. $\to$ $B_1$: ($m$과 $n$이 둘 다 짝수) 또는 ($m$과 $n$이 둘 다 홀수). 방향 검사: 정의이므로 $\iff$ ✓. $B_1$은 "또는" 결론이므로 어느 쪽을 보일지 정해야 하고, $m$의 홀짝에 따라 경우를 나눠야 한다. 가진 것 $m + n = 2k$에서 각 경우마다 $n$의 홀짝을 따로 유도해야 하므로 두 벌의 작업이 된다. **갈래 2.** 질문은 같고, 답을 "$m \equiv n \pmod 2$를 보인다"로 고른다 (1권 25주차 문제 17이 $m \equiv n \pmod 2 \iff m + n$이 짝수를, 1권 25주차 문제 9가 $m + n$이 짝수 $\iff$ 홀짝 일치를 다루므로, 둘을 이으면 이 갈아타기가 정당화된다). $\to$ $B_1'$: $2 \mid (m - n)$. 방향 검사: 합동의 정의와 위 동치에 의해 $\iff$ ✓. 가진 것 $m + n = 2k$를 대면 한 줄로 끝난다:

$$
m - n = (m + n) - 2n = 2k - 2n = 2(k - n)
$$

이고 $k - n$은 정수이므로 $2 \mid (m-n)$이다. **사슬이 A에 닿았다 — 정지.** **판단.** 가진 것이 "$m + n$이 짝수"일 때는 **갈래 2가 가깝다.** 갈래 2의 $B_1'$은 나누어떨어짐 한 건이라 가진 것의 등식을 그대로 대입할 수 있는 반면, 갈래 1의 $B_1$은 "또는"이라 경우 분해가 먼저 필요하다.

**복기.** 같은 결론이라도 가진 것에 따라 최단 경로가 달라진다. 갈래 1이 틀린 것이 아니라 이 가진 것에 대해 먼 것이다. 가진 것이 "$m$은 짝수"처럼 홀짝 정보로 주어졌다면 갈래 1이 오히려 가깝다.

**검산.** $m = 7$, $n = 3$이면 $m + n = 10$이 짝수이고 $m - n = 4 = 2 \times 2$다.

### 문제 14

**접근.** 서식을 통째로 외운 것으로 보지 말고, "수렴함을 어떻게 보이는가"라는 질문에 대한 답이 무엇이었는지부터 적는다. 답이 정의이면 새 결론은 정의의 문장 전체가 되고, 그 문장의 양화사 구조가 첫 두 문장의 모양을 결정한다.

**풀이.** B: 수열 $\left(\frac1n\right)$은 0으로 수렴한다 (1권 45주차 예제 2.1). 질문: "수열이 어떤 값으로 수렴함을 어떻게 보이는가?" 답: 정의로 갈아탄다 — 임의의 $\varepsilon > 0$에 대해, $n > N$이면 항과 극한의 거리가 $\varepsilon$보다 작아지는 문턱 $N$이 존재함을 보인다. $\to$ $B_1$: 임의의 $\varepsilon > 0$에 대해 어떤 $N$이 존재해, $n > N$인 모든 $n$에 대하여 $\left|\frac1n - 0\right| < \varepsilon$이다. 방향 검사: 정의이므로 $\iff$ ✓. $B_1$은 "모든 $\varepsilon$에 대해 어떤 $N$이 존재한다" 꼴이다. 이 두 양화사를 처리하는 서식이 곧 증명의 첫 두 문장이다. "$\varepsilon > 0$이 주어졌다고 하자"는 바깥의 "모든"을 임의의 대표 하나로 받는 문장이고, "$N$을 (그 $\varepsilon$에 맞추어) 잡자"는 안쪽의 "존재한다"를 실제 제작으로 갚는 문장이다.

**복기.** $\varepsilon$-N 서식은 통째로 외운 서식이 아니라 **후진 한 걸음(정의로 갈아타기)과 양화사 처리의 합성**이다. 정의로 갈아타는 걸음이 새 결론의 양화사 구조를 결정하고, 그 구조가 답안의 첫 두 문장을 결정한다. 결론의 "모든"을 다루는 절차는 S6주차의 선택법, "존재한다"를 다루는 절차는 S5주차의 구성법이라는 이름을 얻고, 두 양화사가 겹친 경우의 처리 순서는 S8주차에서 다룬다.

### 문제 15

**접근.** 결론이 두 부등식의 "그리고"이므로 문제 앞 상자대로 사슬을 둘로 나눈다. 각 사슬에서 핵심 질문은 "한 실수가 다른 실수보다 큼을 어떻게 보이는가"이고, 제곱근이 끼어 있으므로 답은 "양변이 0 이상이면 제곱을 비교한다"가 된다. 제곱 비교 걸음의 방향 검사에서 양변의 부호 확인을 기록에 남기는 것이 채점 지점이다.

**풀이.** **왼쪽 사슬.** $B_L$: $a < \sqrt{ab}$. 질문: "제곱근이 낀 부등식을 어떻게 보이는가?" 답: 양변이 모두 0 이상이면 제곱을 비교한다 (1권 16주차 문제 11의 원리이고, 문제 17이 같은 원리를 사용한다). 부호 확인: 가진 것에서 $a > 0$이고, $a > 0$, $b > 0$이므로 $\sqrt{ab} > 0$이다 ✓. $\to$ $B_{L1}$: $a^2 < ab$. 방향 검사: 두 수가 모두 0 이상일 때 제곱의 대소가 원래 수의 대소와 일치하므로 ✓ (부호 확인이 이 검사의 전제다). $B_{L1}$의 질문: "두 곱의 대소를 어떻게 보이는가?" 답: 공통인 양수 인수로 나눈다. $a > 0$이므로 (W3)에 의해 양변을 $a$로 나눠도 부등호가 유지된다. $\to$ $B_{L2}$: $a < b$. **가진 것 그 자체 — 정지.** **오른쪽 사슬.** $B_R$: $\sqrt{ab} < b$. 같은 질문과 같은 답. 부호 확인: $\sqrt{ab} > 0$, $b > 0$ ✓. $\to$ $B_{R1}$: $ab < b^2$. 방향 검사 ✓. $b > 0$으로 양변을 나눈다 $\to$ $B_{R2}$: $a < b$. **가진 것 — 정지.** 두 사슬이 모두 가진 것에 닿았으므로 기록이 완성되었다. 되짚어 쓰면 $a < b$에 $a > 0$을 곱해 $a^2 < ab$를 얻고 제곱근을 취해 $a < \sqrt{ab}$를, $a < b$에 $b > 0$을 곱해 $ab < b^2$을 얻고 제곱근을 취해 $\sqrt{ab} < b$를 얻는다.

**복기.** "그리고" 결론에서 두 사슬이 같은 가진 것($a < b$)에 닿는 것은 흔한 일이고, 그때 답안에서는 공통 부분을 한 번만 쓴다. 다만 **기록 단계에서는 반드시 따로** 적는다 — 한쪽만 적고 "다른 쪽도 같은 방법"이라고 넘기면 부호 확인처럼 좌우가 다른 부분을 놓친다.

**검산.** $a = 1$, $b = 4$이면 $\sqrt{ab} = 2$이고 $1 < 2 < 4$다.

### 문제 16

**접근.** 후진을 한 걸음 내려간 뒤 가진 것 쪽을 본다. 가진 것은 $n^2 = 3m$ 하나이고, 새 목표는 $n$에 대한 등식이다. $n^2$에서 $n$으로 내려오는 유효한 대수 조작이 정수 세계 안에 있는지 확인한다. 막히는 것이 정답이며, 막힌 자리를 정확히 적는 것이 이 문제다.

**풀이.** B: $3 \mid n$. 질문: "한 정수가 3의 배수임을 어떻게 보이는가?" 답: 정의 — $n = 3k$인 정수 $k$를 제시한다. $\to$ $B_1$: $n = 3k$인 정수 $k$가 존재한다. 방향 검사: 정의이므로 $\iff$ ✓. 여기서 가진 것을 본다. 가진 것은 "$3 \mid n^2$", 즉 $n^2 = 3m$인 정수 $m$이 존재한다는 것뿐이다. $B_1$을 만들려면 $n$ 자체의 표현이 필요한데, $n^2 = 3m$에서 $n$을 꺼내는 조작은 제곱근을 취하는 것이고 그 결과가 정수라는 보장이 없다. **후진 사슬의 끝과 전진으로 얻는 재료가 만나지 못한다.** 이것이 막힘의 정확한 위치다. 이 상황은 1권 18주차 문제 20(a)에서 이미 진단되었고, 신호는 "가정이 합성된 식 ($n^2$)에 대한 정보만 준다"는 것이었다. 처방은 **대우로 전환**이다. 1권 19주차 예제 2.2가 실제 해법을 보인다 — 대우 "$3 \nmid n$이면 $3 \nmid n^2$"으로 바꾸면 가정이 $n$ 자체에 대한 정보가 되고, $n$을 3으로 나눈 나머지로 경우를 나누어 각 경우에서 $n^2$을 계산할 수 있다.

**복기.** 후진 과정은 기본 절차이지 모든 명제에 통하는 절차가 아니다. 사슬이 가진 것과 만나지 못할 때 필요한 것은 더 긴 사슬이 아니라 **기법 전환**이다. Solow의 순서로는 8장(NOT 다루기)과 10장(대우법)이 이 막힘의 처방전이고, 이 과정에서는 S10주차와 S12주차에서 다시 만난다. 막힌 자리를 정확히 기록해 두는 습관이 기법 선택의 근거가 된다는 것이 이 문제의 요점이다.

### 문제 17

**접근.** (a)는 제곱근 기호의 값이 무엇인지만 보면 한 줄이다. (b)는 그 가진 것을 넣은 뒤 예제 2.3의 걸음이 살아나는지 다시 검사한다. (c)는 "$-1$이 방정식을 만족하지 않는다"가 아니라 "$-1$이 가진 것과 충돌한다"로 적어야 후진 언어가 된다.

**풀이.** **(a)** 가정 $\sqrt{x+2} = x$에서 좌변은 제곱근의 값이므로 0 이상이다. 등식이므로 우변도 0 이상이고, 따라서 $x \ge 0$이 가정에서 곧바로 따라온다. 이것은 새로 증명한 사실이 아니라 가정을 읽어 얻은 것이므로 **가진 것 목록에 무상으로 추가**된다. (무대 확인이 가진 것을 낳는다는 것은 1권 3주차부터의 습관이고, S3주차의 전진 과정 한 걸음에 해당한다.) **(b)** 가진 것 목록: $\sqrt{x+2} = x$, $x \ge 0$. B: $x = 2$. 질문: "두 실수가 같음을 어떻게 보이는가?" 답: 차가 0임을 보인다. $\to$ $B_1$: $x - 2 = 0$. 방향 검사 $\iff$ ✓. 가진 것을 정리한다. 가정의 양변을 제곱하면 $x + 2 = x^2$이고, 이항하면 $x^2 - x - 2 = 0$, 인수분해하면 $(x-2)(x+1) = 0$이 가진 것으로 확보된다. $B_1$의 질문: "곱이 0일 때 특정 인수가 0임을 어떻게 보이는가?" 답: 다른 인수가 0이 아님을 보인다. $\to$ $B_2$: $x + 1 \neq 0$. 방향 검사: 가진 것 "$(x-2)(x+1) = 0$" 하에서 ✓. $B_2$에 가진 것 $x \ge 0$을 대면 $x + 1 \ge 1 > 0$이므로 $x + 1 \neq 0$이다. **사슬이 가진 것에 닿았다 — 정지.** 되짚어 쓰면 완성된 증명이 된다. $\sqrt{x+2} = x$라 하자. 좌변이 0 이상이므로 $x \ge 0$이다. 양변을 제곱하면 $x + 2 = x^2$이고, $(x-2)(x+1) = 0$이다. $x \ge 0$이므로 $x + 1 \ge 1 > 0$이고, 따라서 $x - 2 = 0$, 즉 $x = 2$이다. $\blacksquare$ **(c)** $-1$이 탈락하는 지점은 $B_2$의 확인 자리다. 정확히 말하면 $-1$은 제곱해서 얻은 방정식 $x^2 = x + 2$의 근이지만 가진 것 $x \ge 0$과 충돌하므로 후보에서 제외된다. 제곱이 비가역 변형이라 후보가 늘어났고, 늘어난 후보를 걸러내는 것이 가진 것 목록이다.

**복기.** 1권 25주차는 무연근을 "비가역 변형이 낳은 초과 후보"로 진단했다. 여기서는 같은 현상이 "가진 것으로 후보를 걸러내는 절차"로 재조립된다. 진단이 절차가 되면 매번 어디를 확인해야 하는지가 고정된다 — 비가역 걸음을 쓴 뒤에는 반드시 가진 것과의 충돌 검사를 넣는다.

**검산.** $x = 2$를 원래 식에 넣으면 $\sqrt{4} = 2$로 성립하고, $x = -1$은 $\sqrt{1} = 1 \neq -1$이므로 성립하지 않는다.

### 문제 18

**접근.** §1.4의 걸음 삭제 실험에서 같은 기록을 보았다. 결함 두 개는 무관하지 않다 — 목록을 부르지 않았기 때문에 검사할 자리가 없었고, 검사할 자리가 없었기 때문에 전개가 틀린 것을 잡지 못했다. 전개를 실제로 해 보는 것이 출발점이다.

**풀이.** **결함 1 (질문의 추상화 요건 위반).** "양변에서 2를 빼면 된다"는 추상적인 방법이 아니라 즉석 변형이다. 결과인 $B_1$ 자체는 유효하지만((W2)에 의해 $\iff$), 질문-답 구조를 건너뛰었기 때문에 다음 갈림길에서 목록을 소환하지 못한다. 실제로 다음 걸음에서 "어떤 식이 0 이상임을 보이는 표준 방법"의 목록(제곱 꼴로 정리 / 양수들의 합으로 정리 / 이미 아는 부등식 인용)을 검토하는 대신 눈에 띄는 식을 붙였다. **결함 2 (가진 것을 숨긴 무근거 등식 — 항등식으로 착각한 조건부 등식).** 전개하면

$$
(\sqrt x - \sqrt y)^2 = x - 2\sqrt{x}\sqrt{y} + y = x + y - 2\sqrt{xy}
$$

이므로, 일반적인 항등식으로는 $x + y - 2$와 같지 않다. 두 식이 같아지려면 $\sqrt{xy} = 1$이어야 하고, 그것은 오직 가진 것 $xy = 1$에서만 나온다. 이 명제에서 등식이 결과적으로 성립하는 것은 맞지만, 제출된 기록은 그 근거를 **한 번도 인용하지 않았다** — 결론이 우연히 참일 뿐 근거가 비어 있는 걸음이다. 가정을 쓰지 않은 증명은 대개 어딘가 비어 있다(1권 15주차 문제 11 해설의 가정 소비처 점검). **수리된 기록.** B: $x + y \ge 2$. 질문: "한 실수가 다른 실수보다 크거나 같음을 어떻게 보이는가?" 답: 차가 0 이상임을 보인다. $\to$ $B_1$: $x + y - 2 \ge 0$. 방향 검사: (W2)로 $\iff$ ✓. $B_1$의 질문: "어떤 식이 0 이상임을 어떻게 보이는가?" 답: 제곱 꼴로 정리한다. 여기서 가진 것을 쓴다. $xy = 1$이므로 $\sqrt{xy} = 1$이고 $2 = 2\sqrt{xy}$로 바꿔 쓸 수 있다. $\to$ $B_2$: $x + y - 2\sqrt{xy} \ge 0$. 방향 검사: 가진 것 $xy = 1$ 하에서 두 식이 같으므로 $\iff$ ✓. **이 줄이 가정이 소비되는 자리다.** $B_2$는 $(\sqrt x - \sqrt y)^2 \ge 0$과 같은 식이고, (W1)에 의해 참이다. **아는 참에 도달 — 정지.** $\blacksquare$

**복기.** 진단 문항의 채점 기준은 결함을 세는 것이 아니라 **결함들의 인과를 잇는 것**이다. 요건 2를 어긴 것이 원인이고, 등식이 가진 것에 기대고 있다는 사실을 아무도 확인하지 않은 것이 결과다. 그래서 수리는 전개식을 고치는 데서 끝나지 않고, 질문을 다시 던지는 데서 시작한다.

**검산.** $x = 4$, $y = \frac14$이면 $xy = 1$이고 $x + y = 4.25 \ge 2$이며, $(\sqrt x - \sqrt y)^2 = (2 - 0.5)^2 = 2.25 = x + y - 2\sqrt{xy} = 4.25 - 2$다. 검산이 등식을 확인해 준다는 사실 자체가 이 걸음이 가진 것에 의존하고 있다는 증거다 — $xy = 1$을 만족하는 값에서만 두 식이 맞아떨어진다. $x = 4$, $y = 1$처럼 $xy \neq 1$인 값을 넣으면 $(\sqrt x - \sqrt y)^2 = 1$이고 $x + y - 2 = 3$으로 갈라진다.

### 문제 19

**접근.** 차–제곱 전략의 세 단계를 먼저 정확히 적고(1권 16주차: ① 차를 계산한다 ② 제곱들로 정리한다 ③ (W1)로 0 이상을 선언하고 정의로 읽는다), 각 단계를 후진 과정의 네 요소 중 무엇에 대응시킬지 하나씩 짝짓는다.

**풀이.** **① 차를 계산한다.** 이것은 핵심 질문 "한 실수가 다른 실수보다 크거나 같음을 어떻게 보이는가?"에 대한 표준 답("차가 0 이상임을 보인다")을 적용해 $B_1$을 만드는 후진 한 걸음이다. 전략서에는 질문이 적혀 있지 않고 답만 적혀 있는데, 질문이 생략된 이유는 전략이 이미 유형을 고정해 두었기 때문이다. **② 제곱들로 정리한다.** 이것은 $B_1$에 던진 두 번째 질문("어떤 식이 0 이상임을 어떻게 보이는가?")에 대한 답("제곱 꼴로 쓴다")으로 $B_2$를 만드는 두 번째 걸음이다. **③ (W1)로 선언한다.** 이것은 새 걸음이 아니라 **종료 판정**이다. $B_2$가 이미 아는 참((W1))에 닿았음을 확인하고 사슬을 멈추는 자리다. 따라서 차–제곱 전략은 "결론이 부등식일 때"라는 특정 유형 B에 대해 후진 사슬 두 걸음과 종료 판정을 미리 접어 둔 것이다. 훈련 1이 그 접힌 사슬을 펼쳐 적은 기록이다.

**복기.** 이 대응이 1권과 이 학기의 관계를 요약한다. 1권의 전략들은 자주 나오는 B 유형에 대한 **기성품 사슬**이고, 기성품이 있는 동안에는 질문을 던질 필요가 없었다. 이 학기가 가르치는 것은 기성품이 없는 낯선 B 앞에서 사슬을 즉석 제작하는 법이며, 그래서 절차의 중심에 "질문"이 놓인다. 1권 16주차의 차–제곱 전략, 1권 27주차의 원소 추적, 1권 41주차의 단사 서식이 모두 같은 방식으로 후진 사슬로 환원된다.

### 문제 20

**접근.** (a)는 예제 2.2에서 목록이 소환되기 전과 후의 차이를 짚는다. (b)는 방향 검사를 잊었을 때 만들어지는 사슬이 어떤 종류인지 이름 붙이고, 1권의 사례 하나에 연결한다.

**풀이.** (예시 답안) **(a)** 예제 2.2에서 "어떻게 $AD \perp BC$를 보이는가"로 물으면 답이 떠오르지 않지만, "두 선분이 수직임을 보이는 법"으로 추상화하는 순간 네 항목의 목록(각이 $90^\circ$ / 이웃한 두 각이 같고 합이 평각 / 피타고라스의 역 / 기울기의 곱이 $-1$)이 소환된다. 추상화는 이 문제를 유형에 접속시켜 축적된 방법들을 인출하는 장치이고, 따라서 말버릇이 아니라 검색어를 만드는 절차다. 목록이 떠야 갈림길 선택, 즉 가진 것에 가까운 쪽을 고르는 판단도 가능해진다. **(b)** 방향 검사를 잊으면 $B \Rightarrow B_1$ 방향의 사슬, 곧 필요조건의 사슬을 만들게 되고, 그 끝을 증명해도 원래 목표는 확보되지 않는다. 1권 25주차의 무연근이 정확히 이 결함이 실제로 나타난 사례였다 — 제곱이라는 비가역 걸음이 후보를 늘렸고, 늘어난 후보 중 하나는 원래 명제를 만족하지 않았다.

**복기.** (a)와 (b)는 §1.5의 요건 2와 §1.6의 검사 규칙에 각각 대응한다. 두 규칙이 왜 절차의 일부인지를 자기 언어로 쓸 수 있으면, 백지 재현에서 절차를 잊어도 규칙에서 절차를 복구할 수 있다.

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**다음 주 예고 (S3주차).** 후진만으로는 반쪽이다. 가설 A에서 밀고 나오는 **전진 과정**, 두 과정이 만나는 지점, 그리고 완성된 증명이 왜 전진과 후진의 흔적을 지운 압축본으로 보이는지를 다룬다. 이번 주에 만든 후진 기록을 거꾸로 타서 답안으로 옮기는 일도 거기서 한다 — §1.8의 확인 9가 남겨 둔 숙제다. 주간 루틴 1일차에 Solow 2장을 다시 읽고 온다. 같은 장이지만 이번에는 후진 과정의 언어가 이미 손에 있는 상태로 읽게 된다.