# C20주차 · 강의 — 예제 · 연습 · 해설 ## 시험 규칙 - **1부 (통합 지도 복원, 40분)**: 이 문서에는 1부의 문항 절이 따로 없다. 복원 대상은 §2 전체 — 다섯 구간의 이름과 각 구간의 주차 배열, 그리고 관통 주제 넷이다. 만점 20점, **16점 이상 통과**. §2가 그대로 정답지이므로 채점은 §2와의 대조로 한다. - **2부 (최종 수료 시험, 180분)**: 20문항이며 범위는 1권$\cdot$1학기$\cdot$2학기 전체다. 기본 6문항 $\times$ 1점 + 표준 8문항 $\times$ 2점 + 도전 6문항 $\times$ 3점 = **40점 만점, 32점 이상 수료**. - 교재$\cdot$원서$\cdot$노트 참조 금지. 해설은 채점이 끝난 뒤에만 연다. - 부분 점수: 표준$\cdot$도전 문항은 설계(무엇을 보여야 하는가의 번역)와 본문(완성된 증명문)을 따로 채점하고 각각 절반을 배정한다. 설계만 맞고 본문이 비어 있으면 절반이다. - 기준에 미치지 못하면 §5 재학습 지도의 해당 주차를 복습하고 일주일 뒤 재시험을 본다. - **수료 판정**: 통과하면 1권 50주 + Solow 20주 + Chartrand 20주의 90주 전 과정을 수료한 것으로 본다. 1부는 §2를 백지에서 복원하는 시험이므로, 복원한 종이를 §2와 대조할 때 다음 칸을 하나씩 채운다. 칸의 수가 곧 배점이다. :::{admonition} 1부 복원 체크리스트 (백지에서 채운 뒤 §2와 대조한다) :class: quotebox **구간 골격 10점.** ✓ 언어(C1주차~C4주차) ✓ 기법(C5주차~C8주차) ✓ 구조(C9주차~C12주차) ✓ 무한과 수(C13주차~C16주차) ✓ 분야(C17주차~C19주차) — 구간 이름 각 1점, 그 구간의 주차 배열 각 1점 **관통 주제 8점.** ✓ 증명 평가 ✓ well-defined ✓ 유일성 ✓ 빚 회수 — 주제 이름 각 1점, 그 주제가 나타난 주차를 둘 이상 대면 각 1점 **연결 2점.** ✓ 다섯 구간이 앞에서 뒤로 무엇을 넘겨주는지 한 줄로 적었는가 ✓ 2학기가 1학기의 결정 나무를 어디서 다시 쓰는지 지목했는가 ::: 주간 배분은 다음과 같다. 새 진도가 없으므로 제2권 5일 루틴의 원서 통독 자리가 조망과 재독으로 바뀐다. | **요일** | **할 일** | |---|---| | 1일차 | Chartrand 16~18장 조망 훑기 + §1 | | 2일차 | §2 통합 지도 작성 — C1주차~C19주차의 [백지 암기 대상] 상자를 훑으며 채운다 | | 3일차 | §2 암기 + 불안한 주차 재독 | | 4일차 | 1부 — 통합 지도 복원 (40분) | | 5일차 | 2부 — 최종 수료 시험 (180분) + 채점 | ## 2부 — 최종 수료 시험 (20문항) :::{admonition} 이번 주의 채점 기준 :class: quotebox 범위가 90주 전체이므로 문항마다 소재가 다르지만, 채점하는 것은 소재의 기억이 아니라 절차의 작동이다. 증명 문항은 결론이 맞았는지가 아니라 각 줄이 무엇을 근거로 서 있는지로 채점한다 — 정의를 폈는가, 양화사를 지켰는가, 인용한 정리의 가정을 확인했는가. 계산 문항도 같다. 답만 적힌 답안은 절반이며, 어떤 원리로 식을 세웠는지가 적혀 있어야 나머지 절반이 온다. 답이 아니라 근거가 점수다. ::: ### 기본 ●○○ (각 1점) **1.** (전 범위 판독 6연발 — 첫수 기법) 각 명제에 결정 나무를 적용해 첫수 기법을 지목하시오. (a) $\sqrt7$은 무리수이다. (귀류) (b) 모든 자연수 $n$에 대해 $\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}6$. (귀납) (c) $(\mathbb{Z}_5^*, \times)$는 군이다. (공리 확인) (d) $\mathbb{Q}$는 가산이다. (전단사 나열) (e) 정수 $n$에 대해, $n^2$이 짝수이면 $n$이 짝수이다. (대우) (f) $x^2 = 3$인 실수가 존재한다. (구성/중간값) **2.** 증명 평가 5단계(C5주차)를 쓰고, 자명한 증명과 공허한 증명의 차이를 쓰시오. **3.** 합동 $7^{50} \pmod 6$을 계산하시오 (C6주차). **4.** 동치관계의 세 성질과 "동치관계 $\leftrightarrow$ 분할"을 쓰시오 (C11주차). **5.** 단사$\cdot$전사$\cdot$전단사를 정의하고, "전단사 $\Longleftrightarrow$ 역함수"를 쓰시오 (C12주차). **6.** 군의 세 공리를 쓰고, $(\mathbb{Z}_4, +)$가 군임을 확인하시오 (C18주차). ### 표준 ●●○ (각 2점) **7.** $\sqrt6$이 무리수임을 유클리드 보조정리를 이용해 증명하시오 (C15주차). **8.** $\lim_{n\to\infty}\frac{3n-1}{n} = 3$을 $\varepsilon$-N으로 증명하시오 (C17주차$\cdot$S8주차). **9.** $A \times (B \cap C) = (A\times B) \cap (A \times C)$를 증명하시오 (C6주차). **10.** 이항정리로 $\sum_{k=0}^n \binom nk = 2^n$을 두 방법(대수$\cdot$이중 세기)으로 증명하시오 (C16주차). **11.** $\mathbb{Z}$가 가산무한임을 전단사로 증명하시오 (C13주차). **12.** $f(x) = x^2$의 $a$에서 미분계수가 $2a$임을 정의로 증명하시오 (C17주차). **13.** 다음 제시된 증명을 평가하시오 (C5주차$\cdot$C9주차). :::{container} quotebox **Result.** 모든 정수 $n$에 대해 $n^2 + n + 1$은 홀수이다. **증명.** $n = 1$이면 3으로 홀수이다. $n = 2$이면 7로 홀수이다. 따라서 성립한다. ::: **14.** $(\mathbb{Z}_6, +)$의 부분집합 $\{[0],[2],[4]\}$가 부분군임을 확인하고 위수와 라그랑주 정리를 논하시오 (C19주차). ### 도전 ●●● (각 3점) **15.** (정수론 종합) 산술의 기본정리의 유일성으로 $\sqrt[3]2$가 무리수임을 증명하시오 (유리수 가정 $\to$ $2b^3 = a^3$ $\to$ 소인수 2의 지수를 3으로 나눈 나머지에서 모순 — C15주차). **16.** (기수) $(0,1)$이 비가산임을 칸토어 대각선 논법으로 증명하시오 (C13주차). **17.** (군 동형) $(\mathbb{Z}_4, +) \cong (\{1,i,-1,-i\}, \times)$를 증명하고, $(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2, +)$와는 왜 비동형인지 논하시오 (C18주차$\cdot$C19주차). **18.** (해석학) $f(x) = |x|$가 $0$에서 연속이나 미분 불가능함을 증명하시오 (C17주차). **19.** (전 과정 종합 설계) 명제 "모든 소수 $p > 2$에 대해 $p^2 \equiv 1 \pmod 8$"을 증명하시오 (C6주차$\cdot$C15주차 — $p$가 홀수이므로 $p = 2k+1$, $p^2 = 4k(k+1)+1$, $k(k+1)$이 짝수이므로 $8 \mid p^2 - 1$; 소수성은 $p > 2$가 홀수라는 데에만 쓰인다). **20.** (최종 서술) 90주 과정을 다섯 문장 이내로 회고하시오: (a) 1권(기법의 목록)$\cdot$Solow(사고 과정)$\cdot$Chartrand(분야 적용)의 역할, (b) 가장 인상에 남은 회수된 빚(산술의 기본정리$\cdot$미분 등), (c) 이제 스스로 할 수 있게 된 것. ## 재학습 지도 | **틀린 문항** | **복습** | |---|---| | 1, 20 | 결정 나무 (S17주차 §1) $\cdot$ 기법 지도 (C9주차 §1) $\cdot$ 통합 지도 (이 문서 §2) | | 2, 13 | C5주차 (자명$\cdot$공허 증명, 증명 평가 다섯 걸음) $\cdot$ C9주차 §1 (판정 낱말 셋) | | 3, 19 | C6주차 (합동의 정의와 대수 보존) | | 7, 15 | C15주차 (베주 항등식 $\cdot$ 유클리드 보조정리 $\cdot$ 산술의 기본정리) | | 4 | C11주차 (동치관계 정의 11.3 $\cdot$ 동치류 정의 11.4 $\cdot$ 분할과의 양방향 정리) | | 5 | C12주차 (정의 12.2 단사$\cdot$전사$\cdot$전단사 $\cdot$ 정의 12.4 역함수) | | 6 | C18주차 (군의 세 공리 G1~G3 $\cdot$ $\mathbb{Z}_n$의 덧셈군) | | 14, 17 | C19주차 (부분군 판정 $\cdot$ 위수와 라그랑주 $\cdot$ 동형과 불변량) | | 8, 12, 18 | C17주차 ($\varepsilon$-N $\cdot$ $\varepsilon$-$\delta$ 연속 $\cdot$ 미분의 정의) $\cdot$ S8주차 (중첩 양화사) $\cdot$ 1권 45주차$\cdot$47주차 | | 9 | C6주차 (데카르트 곱 정의 6.3 $\cdot$ 집합 상등의 양방향 포함) | | 10 | C16주차 (이항정리 정리 1.3$\cdot$예제 2.2 $\cdot$ 이중 세기 예제 2.3) | | 11, 16 | C13주차 (가산무한 예제 2.2 $\cdot$ 대각선 논법 예제 2.3) | ## 해설 채점이 끝나기 전에는 열지 않는다. 1부의 정답지는 §2이며, 각 항목은 §2의 상자와 대조해 채점한다. 아래의 각 해설은 **접근**(문제 앞에서 무엇을 떠올리는가, 어느 주차의 어느 도구인가)과 **풀이**(모든 중간 단계)로 나뉜다. 막혔을 때는 접근까지만 읽고 연필을 다시 잡는다. ### 문제 1 **접근.** 여섯 명제 각각에 C9주차 §1 기법 지도의 1단계(진리 상태 점검)와 2단계(결론의 겉모양에서 기법으로)를 차례로 적용한다. 요구된 것은 첫수 기법의 이름이므로 계산이나 증명문은 적지 않는다. 판단의 재료는 두 가지뿐이다 — 결론에 부정을 뜻하는 낱말이 박혀 있는가, 그리고 결론의 최상위 구조가 $\forall$인가 $\exists$인가. **풀이.** (a) **귀류**. 결론 "무리수이다"는 "유리수가 아니다"의 다른 표기이므로 부정 갈래로 내려간다. 명제가 조건문이 아니어서 뒤집을 가정이 없으므로 대우를 만들 자리가 없고, 남는 것은 귀류다. 첫 문장은 "$\sqrt7$이 유리수라 가정하자"가 된다. (b) **귀납**. 자연수 전체에 대한 $\forall$이고, $n+1$의 좌변이 $n$의 좌변에 항 하나를 더한 것이므로 직전 항에만 의존한다. 약한 귀납으로 충분하다. (c) **공리 확인**(정의로 판정하는 직접 증명). 결론 "군이다"는 정의의 조건들이 모두 성립한다는 $\land$ 진술이므로, 조각마다 따로 확인한다 — 닫힘, 결합(G1), 항등원(G2), 역원(G3). $\mathbb{Z}_5^*$는 $\{[1],[2],[3],[4]\}$이고 5가 소수이므로 각 원소에 역원이 존재한다($[2]^{-1} = [3]$, $[4]^{-1} = [4]$). (d) **전단사 나열**(구성적 존재). "가산이다"는 $\mathbb{N}$에서 그 집합으로 가는 전단사가 **존재한다**는 $\exists$ 진술이므로, 함수 하나를 손으로 내놓는 것이 첫수다. 유리수를 분모$\cdot$분자의 합 순으로 배열해 목록을 만든다. (e) **대우**. 조건문이고 가정 "$n^2$이 짝수"에서 출발하면 $n$에 대한 정보가 곧바로 나오지 않는다. 결론의 부정 "$n$이 홀수"에서 출발하면 $n = 2k+1$을 정의로 펼 수 있으므로 대우가 유리하다. $n^2 = 4k^2+4k+1$이 홀수가 되어 가정의 부정이 얻어진다. (f) **구성적 존재 또는 중간값 정리**. 결론이 $\exists$이므로 증인을 내놓는 것이 첫수다. $x = \sqrt3$을 증인으로 삼는 길과, $f(x) = x^2 - 3$이 $[1,2]$에서 연속이고 $f(1) = -2 < 0 < 1 = f(2)$임을 들어 중간값 정리를 인용하는 길이 있다. 후자는 값을 모른 채 존재만 얻는 비구성적 길이다. **복기.** 여섯 명제의 판정을 가른 것은 결국 두 물음뿐이다 — 부정이 박혔는가, 결론의 최상위 구조가 무엇인가. (a)와 (e)가 같은 부정 갈래에서 갈린 이유는 조건문 여부 하나이고, (d)와 (f)가 같은 $\exists$ 갈래에 있는 이유는 "존재한다"가 문면에 있는지(f)와 정의 속에 접혀 있는지(d)의 차이일 뿐이다. 정의 속에 접힌 양화사를 문면으로 끌어내는 것이 0단계의 일이다. ### 문제 2 **접근.** 두 부분으로 된 문항이다. 앞은 C5주차의 증명 평가 절차를 순서대로 적는 일이고, 뒤는 자명과 공허를 가르는 조각을 지목하는 일이다. 두 정의를 헷갈리지 않는 요령은 검사 대상이 어느 쪽인지 하나로 외우는 것이다 — 검사 대상이 결론이면 자명, 가정이면 공허다. **풀이.** 증명 평가 다섯 걸음은 다음과 같다. ① **명제 진위** — 명제 자체가 참인가. 거짓 명제에 붙은 증명은 반드시 틀렸다. ② **논리** — 각 줄이 앞 줄$\cdot$정의$\cdot$이미 증명한 명제에서 따라오는가. ③ **가정 사용** — 가정을 실제로 소비했는가. 소비하지 않았다면 자명한 증명인지, 아니면 다른 명제를 증명한 것인지 가른다. ④ **양화사와 자격** — 특정 값 몇 개로 전칭을 대신하지 않았는가, 문자에 붙은 자격을 지켰는가. ⑤ **전달** — 문자를 소개했는가, 완결된 문장인가. 판정은 옳음 / 틀림(어느 줄이 왜) / 불완전(무엇이 빠졌는가) 셋 중 하나로 적는다. 두 증명의 차이는 다음과 같다. 무대 $S$의 명제 "$P(x)$이면 $Q(x)$이다"에 대해, **자명한 증명**은 결론 $Q(x)$가 $S$의 **모든** $x$에서 참임을 보이고 그것으로 증명을 삼는다. **공허한 증명**은 가정 $P(x)$가 $S$의 **어떤** $x$에서도 거짓임을 보이고 그것으로 증명을 삼는다. 둘 다 근거는 1권 8주차의 조건문 진리표이며, 자명은 결론이 참인 행을, 공허는 가정이 거짓인 행을 인용한다. 무대 $\mathbb{R}$에서 "$x > 0$이면 $x^2 + 1 > 0$이다"가 자명의 예이고, "$x^2 < 0$이면 $x = 5$이다"가 공허의 예다. **복기.** 다섯 걸음과 두 증명은 하나의 물음으로 이어져 있다 — 걸음 ③이 "가정을 소비했는가"를 물을 때 소비하지 않은 답안의 갈 곳이 자명한 증명이기 때문이다. 절차를 외울 때 두 정의를 걸음 ③에 붙여 두면 둘 다 한 자리에서 회수된다. ### 문제 3 **접근.** 큰 거듭제곱의 합동 계산은 밑을 작은 대표로 갈아 끼우는 데서 끝난다. 쓸 도구는 C6주차의 거듭제곱 보존 — $a \equiv b \pmod n$이면 모든 자연수 $m$에 대해 $a^m \equiv b^m \pmod n$이다. 대표는 나머지일 필요가 없고 계산이 쉬운 쪽을 고른다. **풀이.** $7 - 1 = 6$이고 $6 \mid 6$이므로 합동의 정의에 의해 $7 \equiv 1 \pmod 6$이다. 거듭제곱 보존을 지수 $50$에 적용하면 $$ 7^{50} \equiv 1^{50} \pmod 6 $$ 이고 $1^{50} = 1$이므로 $7^{50} \equiv 1 \pmod 6$이다. 곧 $7^{50}$을 6으로 나눈 나머지는 1이다. **복기.** 거듭제곱 보존은 곱 보존을 자기 자신에 반복 적용해 얻으며, 그 반복의 정당화는 귀납법으로 이미 끝나 있으므로 근거 ④로 인용한다. 검산은 작은 지수로 한다 — $7^1 = 7 = 6 + 1$, $7^2 = 49 = 48 + 1$로 나머지가 계속 1이다. ### 문제 4 **접근.** 앞은 C11주차 정의 11.2$\cdot$11.3을 그대로 적는 일이고, 뒤는 C11주차의 핵심 정리를 **양방향** 진술로 적는 일이다. "동치관계 $\leftrightarrow$ 분할"의 화살표가 양쪽이라는 점이 채점 대상이므로, 한쪽만 적으면 절반이다. **풀이.** 집합 $A$ 위의 관계 $R$가 **동치관계**라는 것은 다음 세 성질을 모두 갖는 것이다. **반사** — 모든 $a \in A$에 대해 $a\,R\,a$. **대칭** — $a\,R\,b$이면 $b\,R\,a$. **추이** — $a\,R\,b$이고 $b\,R\,c$이면 $a\,R\,c$. 양방향 대응은 다음과 같다. ($\to$) $R$가 $A$ 위의 동치관계이면, 동치류들의 모임 $\{[a] : a \in A\}$는 $A$의 분할이다. 반사성이 각 $a$를 $[a]$에 넣어 덮음을 주는 동시에 각 동치류가 공집합이 아님을 주며, 대칭$\cdot$추이가 서로 다른 두 동치류가 만나면 같아짐을 주어 쌍마다 서로소를 준다. ($\leftarrow$) 반대로 $A$의 분할 $\mathcal{P}$가 주어지면, "$a$와 $b$가 $\mathcal{P}$의 같은 조각에 속한다"로 정의한 관계는 동치관계다. 덮음이 반사성을, 관계의 대칭적 진술이 대칭성을, 조각이 서로소라는 사실이 추이성을 준다. 두 방향을 합치면 동치관계와 분할은 같은 것을 양쪽에서 적은 것이 된다. **복기.** 어느 성질이 분할의 어느 조건을 소비하는지 짝지어 적으면 답안이 목록에서 논증으로 바뀐다. 대응은 방향마다 다르고 일대일도 아니다. ($\to$) 방향에서는 반사 하나가 비공집합과 덮음 둘을 감당하고($a \in [a]$를 조각 쪽에서 읽으면 비공집합, 원소 쪽에서 읽으면 덮음이다), 대칭$\cdot$추이가 서로소를 준다. ($\leftarrow$) 방향에서는 덮음$\leftrightarrow$반사, 서로소$\leftrightarrow$추이이며, 대칭에는 아무 조건도 필요 없다 — "같은 조각에 속한다"는 진술 자체가 $a$와 $b$에 대칭이기 때문이다. 이 대응이 C11주차 정리 11.2$\cdot$11.3의 증명 골격 그대로다. ### 문제 5 **접근.** C12주차 정의 12.2와 정의 12.4를 적고, 두 정의를 잇는 정리를 양방향으로 진술한다. 뒷부분에서 흔히 한쪽 방향만 적는데, 채점되는 것은 "역함수의 존재"와 "전단사"가 서로를 함의한다는 사실이다. **풀이.** 함수 $f : A \to B$에 대해, $f$가 **단사**라는 것은 $f(a_1) = f(a_2)$이면 $a_1 = a_2$인 것이고, **전사**라는 것은 모든 $b \in B$에 대해 $f(a) = b$인 $a \in A$가 존재하는 것이며, **전단사**는 단사이면서 전사인 것이다. $f$가 **역함수를 가진다**는 것은 $g \circ f = \mathrm{id}_A$이고 $f \circ g = \mathrm{id}_B$인 함수 $g : B \to A$가 존재하는 것이다. 정리는 "$f$가 역함수를 가진다 $\iff$ $f$가 전단사이다"이며 양방향은 다음과 같다. ($\Leftarrow$) $f$가 전단사이면, 각 $b \in B$에 대해 $f(a) = b$인 $a$가 전사성으로 **존재**하고 단사성으로 **유일**하므로, 그 $a$를 $g(b)$로 두면 $g$가 함수로 정의된다. 구성에서 곧바로 두 합성 조건이 따라온다. ($\Rightarrow$) 역함수 $g$가 존재하면, $f(a_1) = f(a_2)$일 때 양변에 $g$를 씌워 $a_1 = a_2$를 얻으므로 단사이고, 임의의 $b \in B$에 대해 $f(g(b)) = b$이므로 $g(b)$가 원상이 되어 전사다. **복기.** ($\Leftarrow$) 방향의 두 줄이 이 정리의 전부다 — 전사가 원상의 **존재**를, 단사가 그 **유일성**을 준다. 존재와 유일성이 갖춰져야 대응이 함수가 된다는 것이 C12주차 정의 12.1의 요구이고, 그래서 전사 하나만으로는 역함수가 나오지 않는다. ### 문제 6 **접근.** C18주차의 세 공리를 적고, $\mathbb{Z}_4$에서 하나씩 확인한다. 확인할 때 닫힘을 빠뜨리기 쉬운데, 이항연산이 $G \times G \to G$라는 정의에 닫힘이 이미 들어 있으므로 연산이 실제로 $\mathbb{Z}_4$ 안으로 떨어지는지부터 적는다. **풀이.** 집합 $G$와 그 위의 이항연산 $*$에 대해, $(G, *)$가 **군**이라는 것은 다음 셋이 성립하는 것이다. **(G1) 결합** — 모든 $a, b, c \in G$에 대해 $(a*b)*c = a*(b*c)$. **(G2) 항등원** — 모든 $a \in G$에 대해 $e*a = a*e = a$가 성립하는 $e \in G$가 존재한다. **(G3) 역원** — 각 $a \in G$에 대해 $a*b = b*a = e$인 $b \in G$가 존재한다. (G3)의 $b$는 유일하며(C18주차 정리 1.2), 그 유일성이 서고 나서야 $a^{-1}$이라 적을 자격이 생긴다. $(\mathbb{Z}_4, +)$를 확인한다. **닫힘** — $[a] + [b] = [a+b]$이고 $\mathbb{Z}_4 = \{[0],[1],[2],[3]\}$이 모든 잉여류를 담으므로 결과가 $\mathbb{Z}_4$ 안에 있다. 정의가 대표 $a, b$를 통해 주어지므로 well-defined 확인이 필요하고, $a \equiv a'$, $b \equiv b' \pmod 4$이면 합 보존에 의해 $a + b \equiv a' + b'$이므로 대표 선택에 의존하지 않는다. **(G1)** — 정수 덧셈이 결합적이므로 $([a]+[b])+[c] = [a+b+c] = [a]+([b]+[c])$이다. **(G2)** — $[0]$이 항등원이다: $[0]+[a] = [a] = [a]+[0]$. **(G3)** — 역원은 $[0]^{-1} = [0]$, $[1]^{-1} = [3]$, $[2]^{-1} = [2]$, $[3]^{-1} = [1]$이며, 일반적으로 $[a]^{-1} = [4-a]$다. 따라서 $(\mathbb{Z}_4, +)$는 군이고, 정수 덧셈이 교환적이므로 아벨 군이다. **복기.** 잉여류를 대표로 정의한 연산에서는 언제나 well-defined 확인이 먼저다. 이 확인을 빠뜨린 답안은 세 공리를 모두 맞혀도 절반인데, 확인하지 않으면 그 연산이 함수인지조차 정해지지 않기 때문이다. 관통 주제 ②가 여기서 다시 나온다. ### 문제 7 **접근.** 무리수 증명의 표준 서식은 귀류이고, 몸통에서 필요한 것은 "$2$가 $a^2$을 나누면 $2$가 $a$를 나눈다"는 단계다. 이 단계가 유클리드 보조정리(C15주차 정리 1.4)이며, 소수가 곱을 나누면 인수 가운데 하나를 나눈다는 진술을 $a \cdot a$에 적용한 것이다. 기약분수 가정에서 모순을 얻는 자리는 공약수다. **풀이.** $\sqrt6$이 유리수라 가정하자. 그러면 $\sqrt6 = \frac ab$인 정수 $a$와 0이 아닌 정수 $b$가 있고, 기약분수로 잡을 수 있으므로 $a$와 $b$의 최대공약수를 1이라 해도 된다. 양변을 제곱해 정리하면 $a^2 = 6b^2 = 2 \cdot (3b^2)$이므로 $2 \mid a^2$이다. $2$는 소수이고 $a^2 = a \cdot a$이므로 유클리드 보조정리에 의해 $2 \mid a$이다. 따라서 $a = 2c$인 정수 $c$가 있고, 대입하면 $4c^2 = 6b^2$, 곧 $2c^2 = 3b^2$이다. 좌변이 짝수이므로 $2 \mid 3b^2$이고, $2 \nmid 3$이므로 다시 유클리드 보조정리에 의해 $2 \mid b^2$이며, 같은 보조정리를 한 번 더 써서 $2 \mid b$를 얻는다. 그런데 $2 \mid a$이고 $2 \mid b$이면 $2$가 $a$와 $b$의 공약수이므로 최대공약수가 1이라는 가정에 모순이다. 따라서 $\sqrt6$은 유리수가 아니고, 실수이므로 무리수다. $\blacksquare$ **복기.** 유클리드 보조정리를 세 번 인용했고 세 번 모두 소수 $2$에 대해서였다. 밑수가 소수가 아니면 이 논증은 그대로 무너진다 — $4 \mid a^2$에서 $4 \mid a$는 따라오지 않는다($a = 2$). 무리수 증명이 소수에서만 매끄러운 이유가 여기 있고, $\sqrt4$가 무리수가 아니라는 사실과도 어긋나지 않는다. ### 문제 8 **접근.** 목표는 $\forall \varepsilon > 0\ \exists N\ \forall n > N$의 세 겹 양화사이므로, 바깥부터 벗기는 S8주차의 서식을 그대로 쓴다 — $\varepsilon$를 선택으로 받고, $N$을 구성으로 내놓고, $n > N$을 다시 선택으로 받고, 본체 부등식을 증명한다. $N$을 찾는 작업은 초안에서 역산으로 하고, 완성문에서는 결과만 제시한다. **풀이.** 먼저 초안에서 역산한다. $\left|\frac{3n-1}{n} - 3\right| = \left|\frac{3n - 1 - 3n}{n}\right| = \left|\frac{-1}{n}\right| = \frac1n$이므로, 이 값이 $\varepsilon$보다 작다는 것은 $n > \frac1\varepsilon$과 같다. 따라서 $N$을 $\frac1\varepsilon$ 이상으로 잡으면 된다. 완성문은 다음과 같다. $\varepsilon > 0$을 임의로 잡자. 아르키메데스 성질(1권 45주차 §1.5)에 의해 $\frac1\varepsilon$ 이상인 자연수가 존재하므로 $N = \left\lceil \frac1\varepsilon \right\rceil$로 둘 수 있고, 이 $N$은 자연수이며 $N \ge \frac1\varepsilon$이다. $n > N$인 임의의 자연수 $n$을 잡자. 그러면 $n > \frac1\varepsilon$이고 $n$과 $\varepsilon$이 모두 양수이므로 $\frac1n < \varepsilon$이다. 한편 위 계산에 의해 $\left|\frac{3n-1}{n} - 3\right| = \frac1n$이므로 $\left|\frac{3n-1}{n} - 3\right| < \varepsilon$이다. $\varepsilon$이 임의였으므로 정의에 의해 $\lim_{n\to\infty}\frac{3n-1}{n} = 3$이다. $\blacksquare$ **복기.** 역산과 완성문을 나누어 적는 것이 이 서식의 핵심이다. 역산은 $N$을 **찾는** 과정이라 방향이 거꾸로이고, 완성문은 $N$을 **제시하고 검증하는** 과정이라 방향이 바로다. 둘을 섞어 적으면 "$\frac1n < \varepsilon$이므로 $n > \frac1\varepsilon$"처럼 가정과 결론이 뒤바뀐 줄이 생긴다. $\frac1\varepsilon$ 이상인 자연수가 있다는 근거는 아르키메데스 성질(1권 45주차에서 정식 채택)이고, 천장 함수의 부등식 $\lceil x \rceil \ge x$는 근거 ③으로 쓴다(C17주차 §1.8). 이 한 줄이 빠지면 $N$이 자연수라는 보장이 없다. ### 문제 9 **접근.** 집합 상등은 양방향 포함으로 나누는 것이 표준이고(C6주차), 원소가 순서쌍이므로 원소 추적의 대상도 순서쌍이다. 데카르트 곱의 정의 6.3을 펴면 "$(x,y) \in A \times B$"가 "$x \in A$이고 $y \in B$"라는 두 좌표 조건이 되므로, 증명은 $\land$의 재배열이 된다. **풀이.** ($\subseteq$) $(x, y) \in A \times (B \cap C)$인 임의의 순서쌍을 잡자. 정의 6.3에 의해 $x \in A$이고 $y \in B \cap C$이다. 교집합의 정의에 의해 $y \in B$이고 $y \in C$이다. 그러면 $x \in A$이고 $y \in B$이므로 $(x,y) \in A \times B$이며, 또 $x \in A$이고 $y \in C$이므로 $(x,y) \in A \times C$이다. 두 소속을 합치면 $(x,y) \in (A \times B) \cap (A \times C)$이다. ($\supseteq$) $(x, y) \in (A \times B) \cap (A \times C)$인 임의의 순서쌍을 잡자. 교집합의 정의에 의해 $(x,y) \in A \times B$이고 $(x,y) \in A \times C$이다. 앞에서 $x \in A$이고 $y \in B$를, 뒤에서 $y \in C$를 얻는다. 따라서 $y \in B \cap C$이고 $x \in A$이므로 $(x,y) \in A \times (B \cap C)$이다. 양방향 포함이 모두 성립하므로 $A \times (B \cap C) = (A\times B) \cap (A \times C)$이다. $\blacksquare$ **복기.** 두 방향에서 실제로 한 일은 "$x \in A$이고 ($y \in B$이고 $y \in C$)"와 "($x \in A$이고 $y \in B$)이고 ($x \in A$이고 $y \in C$)"를 오간 것뿐이며, 근거는 $\land$의 결합$\cdot$교환과 $P \equiv P \wedge P$라는 논리 동치(C3주차)다. 집합 등식의 증명이 논리 동치의 번역이라는 사실이 여기서 눈에 보인다. ### 문제 10 **접근.** 같은 등식을 두 방법으로 증명하라는 문항이므로, 두 방법이 무엇을 다르게 하는지가 채점 대상이다. 대수는 이항정리(C16주차 정리 1.3, 증명은 예제 2.2)에 값을 대입하는 길이고, 이중 세기(C16주차 예제 2.3)는 하나의 집합을 두 가지 방식으로 세어 같은 수를 두 식으로 적는 길이다. 후자는 "무엇을 세는가"를 문장으로 밝히는 것이 증명의 절반이다. **풀이.** **대수적 방법.** 이항정리는 모든 실수 $x, y$와 자연수 $n$에 대해 $(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom nk x^{n-k} y^k$이다(C16주차 정리 1.3의 [백지 암기 대상] 형태 그대로다). 여기에 $x = 1$, $y = 1$을 대입하면 좌변은 $(1+1)^n = 2^n$이고 우변은 $\sum_{k=0}^n \binom nk 1^{n-k} 1^k = \sum_{k=0}^n \binom nk$이다. 따라서 $\sum_{k=0}^n \binom nk = 2^n$이다. **이중 세기.** 세는 대상은 $n$개의 원소를 가진 집합 $S$의 부분집합 전체의 개수다. **첫째 세기** — 크기별로 나누어 센다. 크기가 $k$인 부분집합은 $S$의 $n$개 원소에서 $k$개를 고르는 방법의 수이므로 $\binom nk$개이고, $k$는 $0$부터 $n$까지이며 서로 다른 $k$의 모임은 겹치지 않고 전체를 덮으므로 합의 법칙에 의해 총 개수는 $\sum_{k=0}^n \binom nk$이다. **둘째 세기** — 원소별로 센다. 부분집합 하나를 정하는 일은 각 원소마다 넣을지 말지를 정하는 일과 같고, 원소마다 두 가지 선택이 독립적으로 주어지므로 곱의 법칙에 의해 총 개수는 $2^n$이다. 같은 대상을 센 두 수는 같아야 하므로 $\sum_{k=0}^n \binom nk = 2^n$이다. $\blacksquare$ **복기.** 두 증명이 인용한 근거가 다르다 — 앞은 이항정리라는 이미 증명한 명제(근거 ④)이고, 뒤는 합의 법칙과 곱의 법칙이라는 세기의 원리다. 이중 세기가 증명이 되는 이유는 "같은 것을 셌다"는 문장에 있으므로, 세는 대상을 명시하지 않은 답안은 두 식만 나열한 것이 되어 절반이다. 검산은 $n = 3$에서 $1+3+3+1 = 8 = 2^3$이다. ### 문제 11 **접근.** "가산무한"은 $\mathbb{N}$과 크기가 같다는 뜻이므로(C13주차), 목표는 $\mathbb{N} \to \mathbb{Z}$의 전단사를 하나 제시하는 $\exists$ 진술이다. 첫수는 구성이고, 구성의 착상은 양쪽으로 뻗은 $\mathbb{Z}$를 한쪽으로 접는 목록 $0, 1, -1, 2, -2, \ldots$이다. 목록을 식으로 옮기면 짝수 입력과 홀수 입력으로 갈린 함수가 된다. **풀이.** $f : \mathbb{N} \to \mathbb{Z}$를 다음과 같이 정의한다. $$ \begin{aligned}f(n) = \begin{cases} \dfrac n2 & (n \text{ 이 짝수}) \\[6pt] -\dfrac{n-1}2 & (n \text{ 이 홀수}) \end{cases}\end{aligned} $$ **함수임.** 모든 자연수는 짝수이거나 홀수이고 둘 다일 수는 없으므로(1권 17주차) 각 $n$에 값이 정확히 하나 정해진다. $n = 2k$이면 $f(n) = k \in \mathbb{Z}$이고 $n = 2k+1$이면 $f(n) = -k \in \mathbb{Z}$이므로 값이 모두 $\mathbb{Z}$에 들어간다. **전사.** 임의의 $m \in \mathbb{Z}$을 잡자. $m \ge 1$이면 $2m$은 자연수이고 짝수이므로 $f(2m) = m$이다. $m \le 0$이면 $-2m+1$은 자연수이고 홀수이므로 $f(-2m+1) = -\frac{(-2m+1)-1}{2} = m$이다. 두 경우가 $\mathbb{Z}$ 전체를 덮으므로 $f$는 전사다. **단사.** $f(n_1) = f(n_2)$라 하자. 짝수 입력의 값은 $\frac n2 \ge 1$로 양의 정수이고 홀수 입력의 값은 $-\frac{n-1}2 \le 0$으로 0 이하이므로, 두 값이 같으려면 $n_1$과 $n_2$의 홀짝이 같아야 한다. 둘 다 짝수이면 $\frac{n_1}2 = \frac{n_2}2$에서 $n_1 = n_2$이고, 둘 다 홀수이면 $-\frac{n_1-1}2 = -\frac{n_2-1}2$에서 역시 $n_1 = n_2$이다. $f$는 전단사이므로 $\mathbb{Z}$는 $\mathbb{N}$과 크기가 같고, 따라서 가산무한이다. $\blacksquare$ (C13주차 예제 2.2와 같은 함수다.) **복기.** 경우로 갈린 함수의 단사 증명에서 빠지기 쉬운 것은 **갈래 사이**다. 갈래 안에서만 계산하고 "따라서 단사"로 끝내면, 짝수 입력과 홀수 입력이 같은 값을 낼 가능성이 배제되지 않는다. 그 가능성을 막는 것이 값의 부호이고, 그래서 부호를 지적하는 한 줄이 반드시 필요하다. ### 문제 12 **접근.** "정의로 증명하시오"가 문항의 핵심이므로, 미분 공식을 인용하지 않고 C17주차의 극한 정의식에서 출발한다. 계산의 요령은 분자를 전개해 $h$로 약분하는 것이며, 약분이 가능한 이유는 극한에서 $h \neq 0$이기 때문이라는 점을 밝힌다. **풀이.** 미분계수의 정의에 의해 $$ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(a+h)^2 - a^2}{h} $$ 이다. 분자를 전개하면 $(a+h)^2 - a^2 = a^2 + 2ah + h^2 - a^2 = 2ah + h^2 = h(2a + h)$이다. $h \to 0$의 극한에서 $h$는 0에 가까워지되 0은 아니므로 $h$로 약분할 수 있고, $$ \frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{h(2a+h)}{h} = 2a + h \quad (h \neq 0) $$ 이다. 따라서 $f'(a) = \lim_{h \to 0} (2a + h) = 2a$이다. 마지막 등호는 함수 극한의 합 법칙(1권 47주차 문제 13에서 증명; C17주차 §1.7의 근거 ④)에 의한 것으로, 상수 $2a$의 극한은 $2a$이고 $h$의 극한은 0이며 합의 극한은 극한의 합이다. 함수 극한의 곱$\cdot$상수배 법칙은 C17주차 §1.7이 인정하고 쓴다고 선언한 사실이고, 1권 46주차의 정리 46.1~46.3은 수열 극한판이므로 여기서 인용할 자리가 아니다. 극한이 존재하므로 $f$는 $a$에서 미분가능하고 $f'(a) = 2a$이다. $\blacksquare$ **복기.** 약분의 정당화 한 줄이 이 문항의 채점 지점이다. $h = 0$을 대입하면 $\frac00$이 되어 아무것도 나오지 않는데, 극한이 다루는 것은 $h = 0$에서의 값이 아니라 $h$가 0으로 다가갈 때의 거동이라는 차이가 그 한 줄에 들어 있다. 검산은 $a = 3$에서 $f'(3) = 6$이며, 익숙한 공식 $\frac{d}{dx}x^2 = 2x$와 일치한다. ### 문제 13 **접근.** 증명 평가 문항이므로 판정 낱말과 근거를 모두 적는다. 걸음 ①부터 돌린다 — 명제 자체가 참인지 먼저 재고, 참이면 다음 걸음으로 간다. 여기서 명제는 참이고 적힌 계산에도 오류가 없으므로 걸림은 걸음 ④에서 일어난다. **풀이.** **판정: 불완전.** 근거는 다음과 같다. 걸음 ① — 명제 자체는 참이다. $n^2 + n = n(n+1)$은 연속한 두 정수의 곱이므로 언제나 짝수이고, 따라서 $n^2 + n + 1$은 언제나 홀수다. 걸음 ② — 적힌 두 계산 $1^2+1+1 = 3$과 $2^2+2+1 = 7$에는 오류가 없다. 걸음 ④ — 결함은 여기에 있다. 명제는 "모든 정수 $n$에 대해"라는 전칭인데 제시된 증명은 $n = 1$과 $n = 2$ 두 값만 확인했다. 두 개의 사례는 전칭 명제의 근거가 되지 못하며, 확인하지 않은 정수가 무한히 남아 있다. 판정이 **틀림**이 아니라 **불완전**인 이유도 여기 있다 — 명제가 거짓인 것도, 적힌 줄이 앞 줄에서 따라오지 않는 것도 아니고, 있어야 할 일반성이 빠진 것이다. 올바른 증명은 다음과 같다. 임의의 정수 $n$을 잡자. $n^2 + n = n(n+1)$이고 $n$과 $n+1$은 연속한 두 정수이므로 둘 중 하나는 짝수다. 따라서 $n(n+1) = 2m$인 정수 $m$이 있고, $n^2 + n + 1 = 2m + 1$이므로 홀수다. $n$이 임의였으므로 모든 정수에 대해 성립한다. $\blacksquare$ **복기.** 특정 값 확인이 통과하는 경우와 통과하지 못하는 경우를 가르는 것은 무대의 크기다. 무대가 유한하고 그 원소를 모두 확인했다면 그것은 완전한 증명(경우법)이지만, 무대가 무한하면 몇 개의 확인은 아무리 많아도 사례에 머문다. 걸음 ④가 매번 묻는 것이 정확히 이 구분이다. ### 문제 14 **접근.** 부분군 판정은 C19주차의 세 조건 — 닫힘, 항등원, 역원 — 을 확인하는 일이고, 결합법칙은 큰 군에서 물려받으므로 확인하지 않는다는 점을 밝힌다. 뒷부분의 위수와 라그랑주는 확인한 결과를 정리의 진술에 대조하는 일이다. **풀이.** $H = \{[0],[2],[4]\} \subseteq \mathbb{Z}_6$로 두자. $H$는 비공집합이다. **닫힘.** $H$의 두 원소의 합을 모두 확인한다. $[0]+[0] = [0]$, $[0]+[2] = [2]$, $[0]+[4] = [4]$, $[2]+[2] = [4]$, $[2]+[4] = [6] = [0]$, $[4]+[4] = [8] = [2]$이며 결과가 모두 $H$에 있다. **항등원.** $\mathbb{Z}_6$의 항등원 $[0]$이 $H$에 있다. **역원.** $[0]^{-1} = [0]$, $[2]^{-1} = [4]$($[2]+[4] = [0]$이므로), $[4]^{-1} = [2]$이며 모두 $H$에 있다. **결합.** $\mathbb{Z}_6$에서 성립하므로 부분집합에서도 그대로 성립하며 따로 확인하지 않는다. 따라서 $H$는 $(\mathbb{Z}_6, +)$의 부분군이다. **위수와 라그랑주.** $|H| = 3$이므로 $H$의 위수는 3이다. 라그랑주 정리는 유한군 $G$의 부분군 $H$의 위수가 $|G|$를 나눈다고 하며, 여기서 $|G| = |\mathbb{Z}_6| = 6$이고 $3 \mid 6$이므로 정리의 진술과 일치한다. 또한 $H = \langle [2] \rangle$다 — $[2]$의 거듭제곱(덧셈이므로 반복 덧셈)이 $[2], [4], [0]$을 차례로 주고 그 뒤로 순환하므로, $H$는 $[2]$가 생성하는 순환 부분군이고 원소 $[2]$의 위수도 3이다. **복기.** 라그랑주 정리는 부분군 후보를 걸러 내는 도구로도 쓰인다. $|G| = 6$이므로 부분군의 위수는 1, 2, 3, 6뿐이며, 원소 네 개짜리 부분집합은 확인해 볼 필요조차 없다. 정리를 증명 도구가 아니라 탐색 범위를 줄이는 도구로 쓰는 자리다. ### 문제 15 **접근.** 무리수 증명이므로 첫수는 귀류이고, 몸통에서 쓸 도구가 문항에 지정되어 있다 — 산술의 기본정리의 유일성(C15주차 정리 1.5)이다. 유일성이 주는 것은 "각 소수의 지수가 하나로 정해진다"는 사실이고, 그 지수를 3으로 나눈 나머지를 비교하는 것이 논증의 골자다. 문제 7과 달리 지수의 산술을 쓰는 이유는 세제곱근이라 2가 세 번씩 묶여 나오기 때문이다. **풀이.** $\sqrt[3]2$가 유리수라 가정하자. 그러면 $\sqrt[3]2 = \frac ab$인 양의 정수 $a, b$가 있다($\sqrt[3]2 > 0$이므로 양수로 잡아도 된다). 세제곱하고 정리하면 $a^3 = 2b^3$이다. $a$와 $b$의 소인수분해에서 소수 2의 지수를 각각 $\alpha$와 $\beta$라 하자(2로 나누어떨어지지 않으면 지수는 0이다). 산술의 기본정리의 유일성에 의해 이 지수들은 하나로 정해진다. 그러면 $a^3$의 소인수분해에서 2의 지수는 $3\alpha$이고, $2b^3$의 소인수분해에서 2의 지수는 $1 + 3\beta$다. 좌변과 우변은 같은 양의 정수이므로, 유일성에 의해 그 정수의 소인수분해에서 2의 지수도 하나뿐이고 따라서 $$ 3\alpha = 1 + 3\beta $$ 이다. 그런데 좌변은 3의 배수이고 우변을 3으로 나눈 나머지는 1이므로 두 수는 같을 수 없다. 모순이다. 따라서 $\sqrt[3]2$는 유리수가 아니며, 실수이므로 무리수다. $\blacksquare$ **복기.** 이 논증에는 기약분수 가정이 필요하지 않다는 점이 문제 7과 다르다. 공약수 대신 지수의 나머지에서 모순이 나오기 때문이다. 같은 골격이 $\sqrt[k]{p}$($p$ 소수, $k \ge 2$)로 그대로 확장된다 — 지수 등식이 $k\alpha = 1 + k\beta$가 되고, 좌변은 $k$의 배수, 우변의 나머지는 1이므로 같은 모순이 나온다. 유일성이라는 관통 주제 ③이 없으면 "지수가 하나로 정해진다"는 첫 문장부터 성립하지 않는다. ### 문제 16 **접근.** "비가산"은 $\mathbb{N}$에서 $(0,1)$로 가는 전단사가 존재하지 **않는다**는 부정 진술이므로 귀류가 첫수다. 함수 하나를 제시하는 방식으로는 모든 함수를 배제할 수 없으므로, 하나가 있다고 가정하고 그 하나를 재료로 삼아 목록에 없는 원소를 만들어 낸다. 그것이 C13주차 예제 2.3의 대각선 논법이다. **풀이.** 먼저 $(0,1)$은 유한하지 않다. $\frac12, \frac13, \frac14, \ldots$은 모두 $(0,1)$의 서로 다른 원소이므로, 어떤 자연수 $n$에 대해서도 $(0,1)$의 원소가 $n$개일 수 없다. 이제 $(0,1)$이 가산이라 가정하자. 가산은 유한이거나 가산무한이므로(C13주차 정의 1.2), 유한이 아닌 $(0,1)$은 가산무한이고 따라서 전단사 $g : \mathbb{N} \to (0,1)$이 존재한다. $x_k = g(k)$로 두면 $g$가 전사이므로 목록 $x_1, x_2, x_3, \ldots$에 $(0,1)$의 모든 원소가 등장한다. 각 $x_k$의 십진 전개를 하나 고정한다(표기가 둘인 수는 0이 이어지는 쪽으로 정한다). 그 고정된 전개에서 $x_k$의 소수점 아래 $k$번째 자리 숫자를 $d_{kk}$라 하자. 이제 새 수 $y = 0.e_1 e_2 e_3 \ldots$를 다음 규칙으로 만든다. $$ \begin{aligned}e_k = \begin{cases} 5 & (d_{kk} \neq 5) \\ 6 & (d_{kk} = 5) \end{cases}\end{aligned} $$ 각 자리가 5 또는 6이므로 $y$의 모든 자리가 0도 9도 아니고, 따라서 $y$는 $0.555\ldots$ 이상 $0.666\ldots$ 이하의 수여서 $y \in (0,1)$이다. 또한 자리 표현이 두 가지가 되는 경우(끝이 $999\ldots$ 또는 $000\ldots$인 경우)도 배제된다. 그런데 임의의 $k$에 대해 제작 규칙이 $e_k \neq d_{kk}$를 준다. $y$의 십진 표기가 유일하므로, $y = x_k$라면 $y$의 그 유일한 표기가 곧 $x_k$의 표기여야 한다. 그런데 $x_k$의 고정된 전개는 $k$번째 자리가 $d_{kk}$여서 $y$의 표기와 다르고, $x_k$에 다른 전개가 있다면 그것은 9 또는 0의 꼬리를 가지므로 $y$의 표기일 수 없다. 따라서 $y \neq x_k$이다. 이것이 모든 $k$에 대해 성립하므로 $y$는 목록의 어느 항과도 같지 않다. 그러나 $y \in (0,1)$이고 목록은 $(0,1)$의 모든 원소를 담는다고 가정했으므로 모순이다. 따라서 그러한 목록은 존재하지 않고, $(0,1)$은 비가산이다. $\blacksquare$ **복기.** 이 증명이 다루는 것은 특정 목록이 아니라 임의의 목록이다. "목록이 하나 있다고 하자"로 시작해 그 목록에서 빠진 원소를 만들었으므로, 결론은 "어떤 목록도 전부를 담지 못한다"가 된다. 자리 숫자를 5와 6으로 고른 이유는 0과 9를 피해 표현의 중복을 막기 위함이며, 이 한 줄을 빠뜨린 답안은 걸음 ②에서 걸린다. ### 문제 17 **접근.** 두 부분이다. 앞은 동형사상 하나를 제시하고 세 가지를 확인하는 일 — well-defined, 전단사, 구조 보존. 뒤는 비동형을 보이는 일이며, 동형사상이 없음을 직접 보이는 대신 동형 불변량 하나가 다르다는 것을 지목한다(C19주차). 위수 4인 두 군을 가르는 불변량은 원소의 위수 분포다. **풀이.** **동형.** $\varphi : \mathbb{Z}_4 \to \{1, i, -1, -i\}$를 $\varphi([k]) = i^k$로 정의한다. well-defined — 대표로 정의했으므로 확인이 필요하다. $[k] = [k']$이면 $k - k' = 4m$인 정수 $m$이 있고, $i^4 = 1$이므로 $i^k = i^{k'+4m} = i^{k'} (i^4)^m = i^{k'}$이다. 따라서 대표 선택에 의존하지 않는다. 전단사 — $\varphi([0]) = 1$, $\varphi([1]) = i$, $\varphi([2]) = -1$, $\varphi([3]) = -i$로 네 값이 서로 다르므로 단사이고, 공역의 네 원소가 모두 나타나므로 전사다. 정의역과 공역이 모두 유한하고 크기가 4이므로 단사만으로도 전단사가 따라온다. 구조 보존 — 임의의 $[a], [b] \in \mathbb{Z}_4$에 대해 $\varphi([a] + [b]) = \varphi([a+b]) = i^{a+b} = i^a i^b = \varphi([a])\varphi([b])$이다. 지수 법칙이 $\mathbb{Z}_4$의 덧셈을 복소수 곱셈으로 옮긴다. 따라서 $\varphi$는 동형사상이고 $(\mathbb{Z}_4, +) \cong (\{1,i,-1,-i\}, \times)$이다. **비동형.** $(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2, +)$의 위수도 4이므로 크기만으로는 갈리지 않고, 두 군 모두 아벨이므로 아벨성으로도 갈리지 않는다. 원소의 위수를 본다. $\mathbb{Z}_4$에는 위수 4인 원소가 있다 — $[1]$을 네 번 더해야 처음으로 $[0]$이 되므로 $[1]$의 위수는 4이고, 따라서 $\mathbb{Z}_4$는 순환군이다. 반면 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$의 항등원이 아닌 세 원소 $(1,0), (0,1), (1,1)$은 모두 자기 자신을 두 번 더하면 $(0,0)$이 되므로 위수가 2이고, 위수 4인 원소가 없어 순환군이 아니다. 원소의 위수 분포는 동형 불변량이므로 두 군은 동형이 아니다. $\blacksquare$ **복기.** 비동형 증명이 반례의 서식을 따른다는 점을 기억해 둘 만하다. "동형사상이 존재하지 않는다"는 부정 진술을 직접 다루는 대신, 동형이면 반드시 보존되는 성질 하나를 골라 그것이 어긋남을 보인다. 불변량 목록(위수, 아벨성, 원소의 위수 분포, 순환성)을 순서대로 대조하면 어느 것에서 갈리는지가 나온다. ### 문제 18 **접근.** 두 개의 독립된 주장을 각각 정의로 증명한다. 연속은 극한값이 함숫값과 같음을 보이는 일이고, 미분 불가능은 극한이 존재하지 않음을 보이는 일이다. 뒤쪽이 부정 진술이므로 첫수는 좌우에서 다른 값이 나옴을 지적하는 것이며, 극한이 존재하면 어느 방향에서 다가가도 같은 값이어야 한다는 사실을 근거로 쓴다. **풀이.** **$0$에서 연속.** $f(0) = 0$이다. $\varepsilon > 0$을 임의로 잡고 $\delta = \varepsilon$으로 두자. $0 < \delta$이고, $|x - 0| < \delta$인 임의의 실수 $x$에 대해 $|f(x) - f(0)| = \big| \, |x| - 0 \, \big| = |x| < \delta = \varepsilon$이다. 따라서 연속의 $\varepsilon$-$\delta$ 정의에 의해 $f$는 $0$에서 연속이다. **$0$에서 미분 불가능.** 미분계수의 정의에 나오는 차분몫은 $\dfrac{f(0+h) - f(0)}{h} = \dfrac{|h|}{h}$이다. $h > 0$이면 $|h| = h$이므로 이 값은 1이고, $h < 0$이면 $|h| = -h$이므로 이 값은 $-1$이다. 극한 $\lim_{h \to 0} \dfrac{|h|}{h}$이 어떤 실수 $L$로 존재한다고 가정하자. 그러면 $\varepsilon = 1$에 대해 어떤 $\delta > 0$이 있어 $0 < |h| < \delta$인 모든 $h$에서 차분몫과 $L$의 거리가 1보다 작아야 한다. 그런데 그 범위 안에는 양수 $h$와 음수 $h$가 모두 있으므로 $|1 - L| < 1$이고 $|-1 - L| < 1$이어야 한다. 두 부등식을 더하면 삼각부등식에 의해 $2 = |(1 - L) - (-1 - L)| \le |1 - L| + |-1 - L| < 2$가 되어 모순이다. 따라서 극한은 존재하지 않고 $f$는 $0$에서 미분 불가능하다. $\blacksquare$ **복기.** 이 예가 보이는 것은 미분가능이 연속보다 강한 조건이라는 사실이다. C17주차의 정리는 "미분가능하면 연속"을 주었고, 그 역이 거짓임을 보이는 반례가 이 함수다. 연속은 끊기지 않음이고 미분가능은 매끄러움이며, 원점의 뾰족점이 둘 사이의 간격을 정확히 차지한다. ### 문제 19 **접근.** 결론이 합동 진술이므로 합동의 정의를 펴서 나눗셈 진술로 바꾸는 것이 첫 걸음이다 — $p^2 \equiv 1 \pmod 8$은 $8 \mid (p^2 - 1)$과 같다. 가정에서 쓸 수 있는 것은 $p$가 2보다 큰 소수라는 사실이고, 여기서 실제로 필요한 것은 홀수라는 정보뿐이다. 그 점을 마지막에 지적하는 것도 문항이 요구하는 바다. **풀이.** $p > 2$인 소수 $p$를 임의로 잡자. $p$가 짝수라면 $2 \mid p$이고 $p > 2$이므로 $p$는 1과 자기 자신 외의 약수 2를 가져 소수가 아니다. 따라서 $p$는 홀수이고 $p = 2k+1$인 정수 $k$가 있다. 그러면 $$ p^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k+1) + 1 $$ 이다. $k$와 $k+1$은 연속한 두 정수이므로 둘 중 하나는 짝수이고, 따라서 $k(k+1) = 2m$인 정수 $m$이 있다. 대입하면 $p^2 = 8m + 1$이고 $p^2 - 1 = 8m$이므로 $8 \mid (p^2 - 1)$이다. 합동의 정의에 의해 $p^2 \equiv 1 \pmod 8$이다. $p$가 임의였으므로 2보다 큰 모든 소수에서 성립한다. $\blacksquare$ **복기.** 소수성은 첫 문장에서 "$p$가 홀수이다"를 끌어내는 데에만 쓰였고 그 뒤로는 등장하지 않는다. 따라서 이 증명은 더 강한 명제 — "모든 홀수 $n$에 대해 $n^2 \equiv 1 \pmod 8$" — 을 그대로 증명한 것이며, 소수라는 가정은 결론을 좁혔을 뿐 논증에 기여하지 않았다. 답안에 이 관찰을 적으면 증명 평가의 걸음 ③(가정을 실제로 소비했는가)을 자기 답안에 돌린 것이 된다. 검산은 $p = 3$에서 $9 = 8+1$, $p = 5$에서 $25 = 24+1$, $p = 7$에서 $49 = 48+1$이다. ### 문제 20 **접근.** 채점은 문장의 매끄러움이 아니라 세 요소로 한다 — (a)에서 세 구간의 역할을 서로 겹치지 않게 구분하는가, (b)에서 회수된 빚 하나를 골라 그것이 무엇에 기대어 세워졌는지 지목하는가, (c)에서 할 수 있게 된 것을 절차의 이름으로 말하는가. 다섯 문장 제한은 요약 능력 자체를 검사하는 장치다 — 다섯 문장을 넘기면 회고가 재서술로 바뀌어, 무엇을 갖췄고 무엇이 남았는지가 이름으로 남지 않는다. **풀이.** 예시 답안은 다음과 같다. 1권이 준 것은 직접$\cdot$대우$\cdot$귀류$\cdot$귀납이라는 기법의 목록과 각 기법의 서식이었고, Solow가 더한 것은 막힌 순간에 어느 기법을 왜 드는지의 판단 절차와 전진$\cdot$후진으로 판을 관리하는 운영 방식이었으며, Chartrand는 그 절차를 정수론$\cdot$조합론$\cdot$해석학$\cdot$군론의 실제 정리 위에서 돌려 소재가 바뀌어도 절차가 그대로임을 확인시켰다. 가장 인상에 남은 회수는 산술의 기본정리의 유일성이다 — 초등학교부터 당연하게 쓰던 소인수분해의 유일성이 실은 최소원리에서 베주 항등식으로, 베주에서 유클리드 보조정리로, 보조정리에서 유일성으로 이어지는 사슬 위에 서 있었고(C15주차), 그 사슬의 한 고리만 빠져도 유일성이 무너진다는 것을 문제 15가 다시 보여 준다. 미분의 정의(C17주차) 역시 1권이 극한까지만 세우고 미뤄 둔 자리였으며, 무엇을 증명했고 무엇을 빌렸는지를 매번 구분해 온 것이 이 과정의 습관이었다. 이제 낯선 정리를 만나면 정의를 두 면으로 펴고, 결론의 겉모양에서 첫수를 지목하고, 완성한 답안에 다섯 걸음을 돌릴 수 있다. 남은 훈련은 새 기법의 습득이 아니라 낯선 정의를 빠르게 펴는 연습이다. 부항과 문장의 대응은 다음과 같다. **(a)** — 첫 문장이 1권$\cdot$Solow$\cdot$Chartrand의 역할을 서로 겹치지 않게 가른다. **(b)** — 둘째$\cdot$셋째 문장이 산술의 기본정리의 유일성과 미분의 정의를 각각 무엇에 기대어 세웠는지 지목한다. **(c)** — 넷째$\cdot$다섯째 문장이 할 수 있게 된 것을 절차의 이름으로 적고 남은 훈련을 하나로 좁힌다. **복기.** 이 문항의 목적은 마지막 문장에 있다. 자기가 무엇을 갖췄고 무엇이 남았는지를 이름으로 부를 수 있으면, 앞으로의 복습이 전 범위 재독이 아니라 두세 지점의 점검으로 줄어든다. 답안에 적은 약점이 §5 재학습 지도의 어느 줄에 해당하는지까지 표시해 두면 그대로 개인 복습 계획이 된다. --- ## 전 과정 수료 (1권 50주 + Solow 20주 + Chartrand 20주 = 90주) 세 권의 교재와 90주의 과정이 여기서 끝난다. 각 구간이 맡은 몫은 다음과 같다. - **1권 (50주).** 짝수와 홀수의 첫 증명(1권 1주차)에서 $\varepsilon$-$\delta$와 칸토어 대각선까지, 증명의 **기법**과 각 기법의 서식을 익힌 구간이다. - **1학기 Solow (20주).** 전진과 후진, 양화사를 다루는 네 기법, 부정 전개, 그리고 그 전부를 하나로 접은 결정 나무 — 증명의 **사고 과정**을 절차로 만든 구간이다. - **2학기 Chartrand (20주).** 집합$\cdot$논리$\cdot$정수론$\cdot$조합론$\cdot$해석학$\cdot$군론에서 그 절차를 실제 정리에 적용하고, 앞선 두 구간이 미뤄 둔 빚 — 산술의 기본정리의 유일성, 미분의 정의, 유클리드 보조정리 — 을 회수한 구간이다. 수료 시험을 통과했다면 다음 넷이 확보된 것으로 본다. - 임의의 증명을 줄 단위로 읽고 각 줄의 기법$\cdot$출신$\cdot$근거를 복원한다. - 낯선 명제에 결정 나무를 적용해 첫수를 지목하고 증명을 설계한다. - 제시된 증명에 다섯 걸음을 돌려 옳음$\cdot$틀림$\cdot$불완전 가운데 하나로 판정한다. - 영어로 쓰인 증명 교재를 읽고 그 연습문제에 손을 댄다. **다음에 무엇을 하는가.** 이 과정에는 다음 주차가 없다. 환론$\cdot$선형대수$\cdot$위상수학$\cdot$실해석$\cdot$복소해석$\cdot$정수론 심화 가운데 어느 것을 펼쳐도 늘어나는 것은 정의와 대상이고, 증명하는 절차는 지금 가진 것 그대로다 — §1이 그 사실을 세 분야에서 확인한 절이었다. 새 책을 펼칠 때의 순서도 같다. 정의를 전진면과 후진면으로 펴고, 명제의 겉모양에서 기법을 지목하고, 완성한 답안에 다섯 걸음을 돌린다. 마지막으로 남길 것은 하나다. 이 과정을 시작할 때 "짝수의 제곱은 짝수이다"조차 어디서부터 적어야 할지 정해지지 않았다면, 지금은 그 자리에서 정의를 펴고 첫 문장을 적을 수 있다. 수학은 외우는 것이 아니라 정의에서 짓는 것이라는 진술이, 이제 경험으로 확인된 셈이다.