# C19주차 — 군론 II: 부분군과 동형 :::{admonition} 이 주의 길잡이 :class: keybox **핵심 문장**: 군 안에서 다시 군이 되는 부분집합이 부분군이고, 원소의 이름과 연산 기호를 갈아 끼워도 곱셈표가 그대로 옮겨지는 대응이 동형이다 — 부분군은 군을 안으로 쪼개고, 동형은 서로 다른 군을 하나로 묶는다. **이 주의 위치**: 2학기 20주 과정의 C19주차. C18주차가 세 공리로 군을 세우고 유일성$\cdot$소거법칙까지 증명해 두었고, 이번 주는 그 공리 위에서 두 개의 판정을 만든다. 1권 38주차 예제 2.2에서 $\mathbb{Z}_4$의 연산표를 직접 그려 본 것이 여기서 **동형**이라는 이름과 검증 절차를 얻고, 1권 41주차의 전단사는 조건 하나(구조 보존)를 더 받아 동형사상이 된다. C18주차 문제 15에서 군임을 확인해 둔 $\{1, -1, i, -i\}$가 그 연산표의 상대가 된다. C11주차의 동치관계와 분할은 라그랑주 정리의 증명 안에서 그대로 일하고, C18주차의 소거법칙은 이번 주 증명 세 곳에서 인용된다. 다음 주 C20주차는 이 과정 전체를 닫는다. **원서 대응**: Chartrand 15.4~15.6 (Properties of Groups / Subgroups / Isomorphic Groups). 1일차에 이 절들을 통독한 상태로 이 교안에 온다. ::: ## 이번 주 목표 1. **부분군**을 정의하고 부분군 판정 정리(닫힘$\cdot$항등원$\cdot$역원, 그리고 간편 판정)를 증명한 뒤, 판정 절차의 세 걸음을 백지에 재현한다. 1. **생성되는 부분군** $\langle a \rangle$과 **원소의 위수**를 정의하고, **라그랑주 정리**를 동치관계와 분할로 증명한다. 1. **동형사상**을 구조 보존 전단사로 정의하고, 정의의 두 조각이 각각 무엇을 막는지 삭제 실험으로 확인한다. 1. **동형 불변량**(위수$\cdot$아벨성$\cdot$원소 위수 분포$\cdot$순환성)을 증명하고, 그것으로 비동형을 판정하는 답안을 쓴다. 본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다. :::{admonition} 표기 — § 와 난이도 표시 :class: quotebox §는 "절"이라고 읽는다. §1.3은 이 주차의 1.3 절을, §6은 6절 전체를 가리킨다. 다른 주차를 가리킬 때는 "C18주차 §1.2"처럼 주차를 앞에 적는다. 연습문제는 기본 1~6번, 표준 7~14번, 도전 15~20번이고, 빈칸 사다리는 훈련 1에서 3으로 갈수록 지지대가 줄어든다. ::: ## 준비 운동 (C18주차 복습) 지난주의 도구를 손에 올려 둔다. 셋 다 이번 주 증명에서 근거로 인용된다. 1. 군의 세 공리 (G1)(G2)(G3)을 기호로 쓰고, 각 공리가 요구하는 것을 한 줄씩 적으시오. 1. C18주차 예제 2.2(역원의 유일성)를 재현하고, 결합법칙이 쓰인 자리에 밑줄을 그으시오. 1. C18주차 문제 17을 재현하시오 — $(\mathbb{Z}_6, +)$에서 $[2]$의 위수가 $3$이고, 그 $3$이 군의 원소 개수 $6$을 나눈다는 것까지. 이어서 진단 문제 하나를 풀어 보자. 풀지 못해도 된다 — 이번 주가 무엇을 메우는지 가늠하기 위한 기록이다. 1. (진단) $(\mathbb{Z}_4, +)$와 $(\{1, i, -1, -i\}, \times)$는 "같은 군"인가. 같다면 무엇이 같은 것이고, 그 "같다"를 어떻게 진술하겠는가. 답을 노트에 적어 둔다. §5의 백지 재현 뒤에 이 기록을 다시 본다. ### 자주 나오는 세 가지 답 방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 자연스러운 출발점이고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다. - **유형 1 — 다르다고 답한다.** "한쪽은 잉여류이고 다른 쪽은 복소수이며, 한쪽은 덧셈이고 다른 쪽은 곱셈이므로 다른 군이다." 관찰은 전부 옳다 — 두 집합은 실제로 집합으로서 같지 않고, 두 연산도 같지 않다. 빠진 것은 **"같다"의 기준을 무엇으로 잡을 것인가**라는 물음이다. 집합의 상등으로 잡으면 이 답이 맞고, 그 기준으로는 군론이 할 말이 거의 없어진다. §1.5가 다른 기준을 세운다. - **유형 2 — 같다고 답하되 근거가 표의 모양이다.** 두 연산표를 나란히 그려 놓고 "모양이 같으므로 같은 군"이라고 적는다. 결론은 옳고, 근거로 삼은 것도 옳은 것을 보고 있다. 빠진 것은 **"모양이 같다"를 검사 가능한 문장으로 바꾸는 일**이다. 표를 나란히 놓으려면 어느 원소를 어느 원소 옆에 놓을지를 먼저 정해야 하는데, 그 배치가 바로 §1.5에서 정의할 사상 $\varphi$다. 배치를 명시하지 않은 답안은 "잘 배치하면 같아진다"까지만 말한 것이다. - **유형 3 — 위수와 아벨성만 대조한다.** "둘 다 원소가 4개이고 둘 다 교환법칙이 성립하므로 같은 군"이라고 적는다. 두 대조 모두 이번 주에 실제로 쓰는 검사이고, 방향도 옳다. 문제는 그 검사들이 **다름을 보이는 데는 쓰이지만 같음을 보이는 데는 쓰이지 못한다**는 것이다. 예제 2.3에서 위수도 아벨성도 같은 두 군이 동형이 아닌 경우를 본다. §1.7이 이 비대칭을 정리한다. ## 개념 — 군을 안으로 쪼개는 판정과, 군끼리 묶는 판정 ### 1 지금 가진 도구로 밀어붙이면 어디서 막히는가 C18주차가 준 것은 군의 정의 하나와 그 위에서 증명한 세 정리(항등원 유일$\cdot$역원 유일$\cdot$소거법칙)뿐이다. 이번 주가 다룰 두 물음을 그 도구만으로 밀어붙여 본다. **첫째 막힘 — 부분집합이 군인지 확인하기.** :::{admonition} 시도 — 정의를 그대로 확인하기 :class: quotebox 명제: $(\mathbb{Z}, +)$에서 $3\mathbb{Z} = \{3k : k \in \mathbb{Z}\}$은 그 자체로 군이다. "군의 정의를 확인하면 된다. (G1) 결합: 모든 $a, b, c \in 3\mathbb{Z}$에 대해 $(a+b)+c = a+(b+c)$인가. $a = 3, b = 6, c = 9$이면 성립한다. $a = 3, b = 6, c = 12$이면 성립한다. $a = 3, b = 9, c = 12$이면 … " ::: 여기서 멈춘다. 다음 줄이 나오지 않는다. :::{container} quotebox **확인 1.** 멈춘 자리에서 이 확인이 끝나지 않는 이유는 무엇인가. 그리고 이 확인을 계속했을 때 새로 알게 되는 것이 있는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 끝나지 않는 이유는 확인해야 할 삼중조 $(a, b, c)$가 **무한히 많다**는 것이다. 유한 번의 확인은 전칭 명제의 근거가 되지 못한다. 새로 알게 되는 것도 없다 — $3\mathbb{Z}$의 원소는 전부 정수이고, 정수 덧셈의 결합법칙은 이미 $\mathbb{Z}$ 전체에서 성립한다. 곧 이 확인은 **$\mathbb{Z}$에서 이미 참인 문장을 부분집합에서 다시 확인하는 헛수고**다. 여기서 절차 하나가 필요하다는 것이 드러난다 — 부분집합이 군인지 볼 때 **무엇을 확인해야 하고 무엇을 확인하지 않아도 되는가**를 정해 주는 정리다. 그것이 정리 1.2이고, 확인 목록을 세 줄로 줄여 준다. ::: **둘째 막힘 — 두 군이 "같다"고 말하기.** 준비 운동 4번이다. :::{admonition} 시도 — 집합의 상등으로 밀어붙이기 :class: quotebox 명제: $(\mathbb{Z}_4, +)$와 $(\{1, i, -1, -i\}, \times)$는 같은 군이다. "같다는 것은 집합이 같다는 뜻이다. $\mathbb{Z}_4 = \{[0], [1], [2], [3]\}$이고 상대는 $\{1, i, -1, -i\}$이다. $[0]$은 복소수 $1$과 같은 대상이 아니므로 두 집합은 같지 않다. 따라서 두 군은 같지 않다. 그런데 두 연산표를 나란히 적어 보면 … " ::: 여기서도 멈춘다. 결론은 나왔는데 그 결론이 관찰과 어긋난다. :::{container} quotebox **확인 2.** 두 군의 연산표를 실제로 적어 보자. $\mathbb{Z}_4$는 $[0], [1], [2], [3]$ 순서로, 상대는 $1, i, -1, -i$ 순서로 적는다. 두 표에서 같은 것은 무엇이고 다른 것은 무엇인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 두 표는 칸 안의 **이름만** 다르고 **배치는 완전히 같다**. $\mathbb{Z}_4$의 표에서 $[1] + [1] = [2]$인 자리에, 상대의 표에서는 $i \times i = -1$이 들어 있다. $[1] + [3] = [0]$인 자리에는 $i \times (-i) = 1$이 들어 있다. $[0] \leftrightarrow 1$, $[1] \leftrightarrow i$, $[2] \leftrightarrow -1$, $[3] \leftrightarrow -i$로 이름표를 바꿔 붙이면 한 표가 다른 표가 된다. 곧 같은 것은 **표의 구조**이고, 다른 것은 원소의 이름과 연산 기호다. 집합의 상등은 이름을 보는 기준이므로 여기서는 쓸 수 없다. 필요한 것은 **이름표 바꿔 붙이기**를 대상으로 삼는 새 기준이고, 그것이 §1.5의 동형이다. ::: :::{admonition} 이 주 전체의 기준 :class: quotebox 판정 두 개를 만든다. 부분집합이 그 자체로 군인가 — **부분군 판정**. 두 군이 이름만 다른 같은 군인가 — **동형 판정**. 둘 다 "정의를 그대로 확인한다"로는 끝나지 않고, 확인 목록을 유한하게 줄여 주는 정리가 필요하다. 이번 주는 그 두 정리를 세우고 증명한다. ::: ### 2 사례를 모아 보기 — 어떤 부분집합이 군이 되는가 $(\mathbb{Z}, +)$와 $(\mathbb{Z}_6, +)$의 부분집합 몇 개를 놓고, 각각이 그 자체로 군이 되는지 손으로 확인해 본다. 확인할 것은 세 가지다: 두 원소를 연산한 결과가 다시 그 집합 안에 있는가(닫힘), 항등원이 그 안에 있는가, 각 원소의 역원이 그 안에 있는가. 표의 빈칸을 채워 보자. | **부분집합** | **닫힘** | **항등원 포함** | **역원 포함** | **그 자체로 군인가** | |---|---|---|---|---| | $2\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Z}$ | ✓ | ✓ ($0$) | ✓ ($-a$) | 그렇다 | | 홀수 전체 $\subseteq \mathbb{Z}$ | ✗ ($1 + 1 = 2$) | ✗ ($0$은 짝수) | ✓ | $\underline{\quad(1)\quad}$ | | 음이 아닌 정수 $\subseteq \mathbb{Z}$ | ✓ | ✓ ($0$) | $\underline{\quad(2)\quad}$ | 아니다 | | $\{[0], [3]\} \subseteq \mathbb{Z}_6$ | ✓ | ✓ ($[0]$) | ✓ | $\underline{\quad(3)\quad}$ | | $\{[0], [2], [3], [4]\} \subseteq \mathbb{Z}_6$ | $\underline{\quad(4)\quad}$ | ✓ ($[0]$) | ✓ | 아니다 | :::{container} quotebox **확인 3.** 빈칸 (1)~(4)를 채우고, 마지막 열의 답이 갈리는 자리를 한 문장으로 적어 보자. 세 열 중 몇 개가 ✓여야 군이 되는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) 아니다 (2) ✗ (예를 들어 $3$의 역원 $-3$이 없다) (3) 그렇다 (4) ✗ ($[2] + [3] = [5]$이고 이 원소는 그 부분집합에 없다). 마지막 열은 앞의 세 열이 **모두** ✓일 때에만 "그렇다"가 된다. 하나라도 ✗이면 그 자리에서 군이 아니다. 그리고 결합법칙은 표에 열이 없다 — 어느 부분집합에서도 확인하지 않았는데, §1.1에서 본 대로 큰 군에서 이미 참이기 때문이다. ::: 이 관찰에 이름과 형식을 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 한 일을 문장으로 굳혔을 뿐이다. ### 정의 1.1 — 부분군 (subgroup) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox 군 $(G, *)$의 부분집합 $H$가 $G$의 **부분군**이라는 것은, $H$가 $G$의 연산 $*$에 대해 그 자체로 군이라는 뜻이다. 이때 $H \le G$로 쓴다. ::: :::{admonition} 표기 — $H \le G$ 와 $\langle a \rangle$ :class: quotebox $H \le G$는 "에이치는 지의 부분군"이라고 읽는다. 부등호와 생김새가 같지만 크기의 비교가 아니라 **연산까지 물려받은 포함**을 뜻한다. 원소의 개수는 따라서 $G$ 쪽이 크거나 같지만, 반대로 원소가 적다고 부분군이 되지는 않는다. $\langle a \rangle$는 "$a$가 생성하는 부분군"이라고 읽는다(§1.4). 군 $G$의 원소 개수 $|G|$는 **군의 위수**라 부르고 "지의 위수"라고 읽는다. ::: :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **정리 1.2 (부분군 판정 정리, subgroup test)** 군 $(G, *)$의 부분집합 $H$에 대해 다음은 같은 말이다. (가) $H \le G$. (나) $H \ne \emptyset$이고, ① $a, b \in H$이면 $a * b \in H$ (닫힘) ② $e \in H$ (항등원) ③ $a \in H$이면 $a^{-1} \in H$ (역원). **간편 판정.** $H \ne \emptyset$이고 "$a, b \in H$이면 $a * b^{-1} \in H$"이면 $H \le G$이고, 역도 성립한다. ::: **증명 ((나)에서 (가)로).** 세 조건을 가정하고 $H$가 군임을 보인다. 조건 ①에 의해 $*$의 결과가 항상 $H$ 안에 있으므로 $*$는 $H$ 위의 이항연산이다. 결합법칙은 $H$의 원소들이 $G$의 원소이므로 $G$의 (G1)에서 그대로 성립한다 — $H$에서 따로 확인할 것이 없고, 이것이 §1.1의 헛수고를 없애는 자리다. 조건 ②의 $e$가 (G2)를 만족하고, 조건 ③이 (G3)을 준다. 따라서 $H$는 군이다. $\blacksquare$ **증명 ((가)에서 (나)로).** $H$가 군이라 하자. 군은 항등원을 가지므로 $H$는 비어 있지 않고, 연산이 $H$ 위의 이항연산이므로 ①이 성립한다. 남은 것은 "$H$의 항등원이 $G$의 항등원과 같은가"이다. $H$의 항등원을 $f$라 하면 $H$ 안에서 $f * f = f$이고, 이 등식은 $G$ 안에서도 성립한다. 한편 $G$에서 $f * e = f$이므로 $f * f = f * e$이고, C18주차의 소거법칙에 의해 $f = e$이다. 따라서 ②가 성립한다. 마찬가지로 $a \in H$의 $H$ 안에서의 역원을 $b$라 하면 $a * b = f = e$이므로 $b$는 $G$에서도 $a$의 역원이고, C18주차의 역원 유일성에 의해 $b = a^{-1}$이다. 따라서 ③이 성립한다. $\blacksquare$ 간편 판정의 한 방향(간편 조건에서 세 조건을 끌어내는 쪽)은 문제 8에서 직접 쓴다. **"$H$의 항등원이 $G$의 항등원과 같다"를 왜 따로 증명했는가.** 정의 1.1은 $H$가 "그 자체로 군"이라고만 말하므로, $H$가 자기만의 항등원을 가질 가능성이 문장 위에서는 열려 있다. 그 가능성을 닫는 것이 위 두 줄이고, 닫는 도구가 소거법칙이다. 군이 아닌 구조에서는 실제로 이 가능성이 열린다 — $(\mathbb{Z}, \times)$의 부분집합 $\{0\}$은 $0 \times 0 = 0$이므로 자기만의 항등원 $0$을 갖지만 $\mathbb{Z}$의 항등원은 $1$이다. $(\mathbb{Z}, \times)$가 군이 아니어서 소거법칙을 쓸 수 없기 때문에 벌어지는 일이다. ### 3 절차 해부 — 부분군 판정의 세 걸음 정리 1.2는 두 줄이지만, 답안에서 실제로 쓰이는 것은 세 걸음짜리 절차다. 걸음마다 하는 일이 다르고, 빠졌을 때 무너지는 것도 다르다. 정리 1.2의 조건 ①②③(닫힘$\cdot$항등원$\cdot$역원)과 절차의 걸음은 순서가 서로 다르므로, 절차 쪽은 **걸음 A$\cdot$B$\cdot$C**로 적어 구별한다. "①"이라고만 적힌 것은 언제나 정리의 조건이고, 절차를 가리킬 때는 "걸음 A"처럼 문자로 적는다. | **걸음** | **하는 일** | **이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가** | |---|---|---| | 걸음 A — 비어 있지 않음을 원소 하나로 보인다 | $H$에 실제로 속하는 원소를 하나 제시한다 (대개 $e$) | 공집합이 통과한다. 간편 판정의 조건은 $H$가 공집합일 때 **공허하게 참**이지만(C5주차) 공집합은 항등원이 없어 군이 아니다 | | 걸음 B — 닫힘을 임의의 두 원소로 보인다 | $a, b$를 $H$의 꼴로 잡고 $a * b$를 다시 그 꼴로 만든다 | 연산이 $H$ 위의 이항연산이 아니게 되어 군의 무대가 서지 않는다. $\{[0], [2], [3], [4]\} \subseteq \mathbb{Z}_6$이 실제로 그렇다 | | 걸음 C — 역원을 임의의 한 원소로 보인다 | $a$의 역원을 계산해 다시 $H$의 꼴로 만든다 | 음이 아닌 정수 전체처럼 닫혀 있고 항등원도 있지만 군이 아닌 부분집합이 통과한다 | **걸음 삭제 실험 — 항등원 조건을 빼 본다.** 정리 1.2의 (나)에서 조건 ②를 지워 보자. 판정 결과는 바뀌지 않는다. $H \ne \emptyset$이므로 원소 $a$를 하나 잡을 수 있고, 정리 1.2의 조건 ③에 의해 $a^{-1} \in H$이며, 정리 1.2의 조건 ①에 의해 $a * a^{-1} = e \in H$이기 때문이다. 곧 조건 ②는 나머지 조건들에서 따라 나오는 군더더기다. :::{container} quotebox **확인 4.** 그렇다면 판정 목록에서 항등원 조건을 지워도 되는가. 지우기 전에, 위 논증의 어느 줄이 걸음 A에 의존하는지 짚어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 위 논증의 첫 줄 — "원소 $a$를 하나 잡을 수 있다" — 가 걸음 A에 의존한다. $H = \emptyset$이면 잡을 원소가 없어 논증이 시작되지 않고, 정리 1.2의 조건 ①과 ③은 공허하게 참이므로 공집합이 부분군으로 통과한다. 곧 **비공집합 조건이 있는 한** 항등원 조건은 지워도 되고, 지우면 확인 항목이 둘로 줄어 답안이 짧아진다. 그럼에도 이 교안은 세 조건을 그대로 둔다. 이유는 두 가지다 — 항등원을 실제로 제시하는 문장이 걸음 A의 원소 제시를 겸하므로 답안이 길어지지 않고, $e \in H$를 적어 두면 걸음 C에서 "$a * a^{-1} = e$"라고 쓸 때 도착지가 $H$ 안임이 눈에 보이기 때문이다. 정리에서 군더더기인 조각이 답안에서는 안내판이다. ::: **걸음 삭제 실험 — 닫힘을 빼 본다.** $\mathbb{Z}_6$의 부분집합 $K = \{[0], [2], [3], [4]\}$를 보자. 항등원 $[0]$이 있고, 역원도 모두 안에 있다 ($[2]$의 역원은 $[4]$, $[3]$의 역원은 $[3]$, $[4]$의 역원은 $[2]$). 걸음 B만 빼면 $K$가 부분군으로 통과한다. :::{container} quotebox **확인 5.** $K$가 부분군이 아님을 두 가지 방법으로 보이시오 — ① 닫힘을 직접 깨는 두 원소를 제시한다 ② §1.4에서 세울 라그랑주 정리를 미리 빌려, 원소의 개수만 보고 판정한다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown ① $[2], [3] \in K$이지만 $[2] + [3] = [5]$이고 이 원소는 $K$에 없다. 닫힘이 깨졌으므로 $K$는 이항연산을 물려받지 못하고, 군의 무대가 서지 않는다. ② $K$의 원소는 4개, $\mathbb{Z}_6$의 원소는 6개인데 $4$는 $6$을 나누지 않는다. 라그랑주 정리(정리 1.5)에 의해 부분군의 위수는 군의 위수를 나누어야 하므로 $K$는 부분군이 아니다. 두 번째 방법은 계산 없이 개수만으로 끝나지만, 정리를 하나 빌려 쓴다는 점이 다르다. 반대 방향으로는 쓸 수 없다는 것도 확인해 두자 — 위수가 나눈다고 부분군이 되지는 않는다. $\{[0], [1], [2]\} \subseteq \mathbb{Z}_6$은 원소가 3개이고 $3 \mid 6$이지만 $[2] + [2] = [4]$가 밖으로 나가므로 닫히지 않는다. ::: ### 4 생성되는 부분군과 원소의 위수 부분군을 하나하나 찾는 대신, 원소 하나에서 부분군을 **만들어 내는** 방법이 있다. $a \in G$를 잡고 $a$를 거듭 연산해 나온 것들을 전부 모으면 된다. ### 정의 1.3 — 생성되는 부분군과 순환군 (generated subgroup and cyclic group) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox 군 $G$의 원소 $a$에 대해 $$ \langle a \rangle = \{a^n : n \in \mathbb{Z}\} $$ 을 **$a$가 생성하는 부분군**이라 한다. 여기서 $a^0 = e$이고 $a^{-n} = (a^{-1})^n$이다. 어떤 $a$에 대해 $\langle a \rangle = G$이면 $G$를 **순환군**이라 하고, 그 $a$를 **생성원**이라 한다. ::: $\langle a \rangle$이 실제로 부분군임은 정리 1.2로 세 줄에 끝난다. $a^0 = e \in \langle a \rangle$이므로 비어 있지 않고 항등원을 포함한다. $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$이므로 닫혀 있고, $a^n$의 역원은 $a^{-n}$이므로 역원도 안에 있다. 지수법칙 $a^m a^n = a^{m+n}$은 결합법칙에서 나오는 것이므로 (G1)이 근거다. 덧셈으로 적는 군에서는 $a^n$이 $na$로 보인다. $(\mathbb{Z}_6, +)$에서 $\langle [2] \rangle$은 $[2]$를 거듭 **더한** 것들의 모임 $\{[0], [2], [4]\}$이다. 표기가 다를 뿐 같은 정의다. ### 정의 1.4 — 원소의 위수 (order of an element) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox 군 $G$의 원소 $a$에 대해 $a^k = e$인 양의 정수 $k$가 존재하면, 그중 가장 작은 것을 $a$의 **위수**라 하고 $\operatorname{ord}(a)$로 쓴다. 그런 $k$가 없으면 $a$의 위수는 무한이라 한다. ::: :::{admonition} 표기 — $\operatorname{ord}(a)$ :class: quotebox $\operatorname{ord}(a)$는 "에이의 위수"라고 읽는다. order의 앞 세 글자를 딴 표기이며, $\operatorname{ord}$ 전체가 한 덩어리의 기호이므로 $o \times r \times d$처럼 읽지 않는다. 위수라는 말이 두 대상에 쓰인다는 점을 여기서 갈라 둔다 — $|G|$는 **군의 위수**로 군의 원소 개수이고, $\operatorname{ord}(a)$는 **원소의 위수**로 $a^k = e$가 되는 최소의 양의 정수 $k$다. 하나는 개수를 세고 하나는 지수를 센다. 답안에서는 "$G$의 위수", "$a$의 위수"처럼 대상을 밝혀 적는다(C18주차 문제 15의 새 낱말 상자와 같은 약속이다). 두 값이 $\langle a \rangle$ 위에서 만나는 것이 아래의 보조정리 1.A다. ::: 정의 1.3과 정의 1.4는 이름이 비슷한 두 대상을 잇는다. 다음 명제가 그 다리다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **보조정리 1.A (생성 부분군의 크기)** 유한군 $G$의 원소 $a$에 대해 $\operatorname{ord}(a)$는 유한하고, $|\langle a \rangle| = \operatorname{ord}(a)$이다. ::: **증명.** 먼저 유한성. $a^1, a^2, a^3, \ldots$은 전부 $G$의 원소이고 $G$는 유한하므로, 모두 서로 다를 수는 없다. 곧 $i < j$이면서 $a^i = a^j$인 두 지수가 있고, 양변에 $(a^i)^{-1}$을 곱하면 $a^{j-i} = e$이며 $j - i$는 양의 정수다. 그런 양의 정수가 있으므로 그중 가장 작은 것이 존재하고, 그것이 $\operatorname{ord}(a)$다. 이제 $k = \operatorname{ord}(a)$라 두고 $\langle a \rangle = \{e, a, a^2, \ldots, a^{k-1}\}$임을 보인다. 임의의 정수 $n$에 대해 나눗셈 정리(1권 33주차)로 $n = qk + r$, $0 \le r < k$인 정수 $q, r$을 잡으면 $$ a^n = a^{qk + r} = (a^k)^q \cdot a^r = e^q \cdot a^r = a^r $$ 이므로 $a^n$은 $\{e, a, \ldots, a^{k-1}\}$ 안에 있다. 거꾸로 그 목록은 모두 $\langle a \rangle$의 원소이므로 두 집합은 같다. 마지막으로 그 $k$개가 서로 다름을 보인다. $0 \le i < j \le k-1$이면서 $a^i = a^j$라 하면 위와 같이 $a^{j-i} = e$인데 $0 < j - i < k$이므로 $k$가 가장 작다는 것에 모순이다. 따라서 원소는 정확히 $k$개다. $\blacksquare$ :::{container} quotebox **확인 6.** $(\mathbb{Z}_{12}, +)$에서 $\langle [4] \rangle$을 원소를 다 적어 구하고, $\operatorname{ord}([4])$를 말해 보자. 보조정리 1.A가 성립하는지 두 값을 대조한다. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $[4], [4]+[4] = [8], [8]+[4] = [12] = [0]$이므로 $\langle [4] \rangle = \{[0], [4], [8]\}$이고 원소는 3개다. 한편 $[4]$를 3번 더해 처음으로 $[0]$이 되었으므로 $\operatorname{ord}([4]) = 3$이다. 두 값이 같다 — 보조정리 1.A대로다. 이 대조가 실전에서 쓰이는 방식은 거꾸로다: 위수를 알면 생성되는 부분군의 크기를 세지 않고 알 수 있다. ::: :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **정리 1.5 (라그랑주 정리, Lagrange's theorem)** 유한군 $G$와 그 부분군 $H \le G$에 대해 $|H|$는 $|G|$를 나눈다. **따름 명제 1.B.** 유한군 $G$의 임의의 원소 $a$에 대해 $\operatorname{ord}(a)$는 $|G|$를 나눈다. ::: **증명.** $G$ 위의 관계 $\sim$을 "$a \sim b$인 것은 $a^{-1} * b \in H$인 것"으로 정의한다. 이것이 동치관계임을 세 조각으로 확인한다(C11주차). - 반사: $a^{-1} * a = e \in H$이므로 $a \sim a$. - 대칭: $a \sim b$이면 $a^{-1} * b \in H$이고, $H$가 역원에 닫혀 있으므로 $(a^{-1} * b)^{-1} = b^{-1} * a \in H$, 곧 $b \sim a$. - 추이: $a \sim b$이고 $b \sim c$이면 $a^{-1} * b, \; b^{-1} * c \in H$이고, $H$가 닫혀 있으므로 그 곱 $(a^{-1} * b) * (b^{-1} * c) = a^{-1} * c \in H$, 곧 $a \sim c$. $a$의 동치류를 계산하면 $[a] = \{b \in G : a^{-1} * b \in H\} = \{a * h : h \in H\}$이다. 이 집합을 $aH$로 적는다. 각 $aH$의 원소 개수가 $|H|$와 같음을 보인다. 대응 $h \mapsto a * h$는 $H$에서 $aH$로 가는 함수이고, 전사임은 $aH$의 정의에서 곧바로 나온다. 단사임은 $a * h_1 = a * h_2$에서 소거법칙(C18주차)으로 $h_1 = h_2$를 얻어 확인된다. 따라서 이 대응은 전단사이고(1권 41주차), 두 집합의 원소 개수가 같다. 동치관계는 무대를 겹침 없이 자른다(C11주차, 1권 37주차). 곧 $G$는 서로소인 동치류들의 합집합이고, 동치류가 $m$개라 하면 각각의 크기가 $|H|$이므로 $$ |G| = m \cdot |H| $$ 이다. 따라서 $|H|$는 $|G|$를 나눈다. $\blacksquare$ **따름 명제 1.B의 증명.** $\langle a \rangle \le G$이고 보조정리 1.A에 의해 $|\langle a \rangle| = \operatorname{ord}(a)$이므로, 라그랑주 정리를 $H = \langle a \rangle$에 적용하면 $\operatorname{ord}(a)$가 $|G|$를 나눈다. $\blacksquare$ C18주차 문제 17이 "라그랑주 정리 맛보기"라고 적으며 $3 \mid 6$을 확인만 하고 넘어간 자리가 여기서 증명을 얻는다. 증명에 들어간 재료는 전부 이미 가진 것이다 — 동치관계와 분할(C11주차), 소거법칙(C18주차), 전단사(1권 41주차). :::{container} quotebox **확인 7.** 위수가 $7$인 군 $G$에는 자명하지 않은 부분군, 곧 $\{e\}$도 $G$도 아닌 부분군이 없음을 라그랑주 정리로 보이시오. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $H \le G$라 하면 $|H|$는 $7$을 나눈다. $7$은 소수이므로 약수는 $1$과 $7$뿐이다. $|H| = 1$이면 $H$는 원소가 하나인데 항등원을 반드시 포함하므로 $H = \{e\}$이고, $|H| = 7$이면 $H \subseteq G$이면서 개수가 같으므로 $H = G$다. 따라서 자명한 두 부분군 외에는 없다. 문제 15가 이 관찰을 한 걸음 더 밀어붙여 "위수가 소수인 군은 순환군"까지 간다. ::: ### 5 동형 — "같은 군"에 이름 붙이기 §1.1의 둘째 막힘으로 돌아간다. 필요한 것은 이름표 바꿔 붙이기, 곧 $G$의 원소마다 $H$의 원소를 하나씩 짝지어 주는 대응이었다. 그 대응이 갖춰야 할 조건 두 가지를 확인 2의 관찰에서 읽어 낸다. 1권 38주차 예제 2.2에서 $\mathbb{Z}_4$의 연산표를 그려 보고 "표의 모양"이라고만 불렀던 것이 여기서 이름과 검증 절차를 얻는다. 그때는 표를 눈으로 대조하는 데서 끝났고, 대조를 문장으로 적을 도구가 없었다. | **확인 2에서 관찰한 것** | **대응 $\varphi$에 대한 요구** | |---|---| | 두 표의 **크기가 같고** 이름이 하나씩 맞물린다 | $\varphi$는 전단사여야 한다 (1권 41주차) | | $[1] + [1] = [2]$인 자리에 $i \times i = -1$이 들어 있다 | $\varphi([1]) \cdot \varphi([1]) = \varphi([1] + [1])$이어야 한다 | 둘째 줄을 임의의 두 원소로 일반화하면 조건 하나가 된다. 이 관찰에 이름과 형식을 붙인다. ### 정의 1.5 — 동형사상과 동형 (isomorphism) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox 군 $(G, *)$와 $(H, \cdot)$에 대해, 함수 $\varphi : G \to H$가 **동형사상**이라는 것은 $\varphi$가 전단사이고, 모든 $a, b \in G$에 대해 $$ \varphi(a * b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b) $$ 를 만족한다는 뜻이다. 동형사상이 하나라도 존재하면 $G$와 $H$는 **동형**이라 하고 $G \cong H$로 쓴다. ::: :::{admonition} 표기 — $\varphi$ 와 $\cong$ :class: quotebox $\varphi$는 그리스 문자로 "파이"라고 읽는다. 사상에 붙이는 흔한 이름일 뿐이고 $f$라고 써도 된다. $G \cong H$는 "지와 에이치는 동형이다"라고 읽는다. 등호가 아니라 물결이 얹힌 기호를 쓰는 이유는 두 군이 **같은 대상이 아니기** 때문이다 — 같은 것은 구조이지 원소가 아니다. 구조 보존 조건의 왼쪽 $*$는 $G$의 연산이고 오른쪽 $\cdot$는 $H$의 연산이다. 한 등식 안에 서로 다른 두 연산이 들어 있다는 점이 이 조건을 읽을 때의 핵심이다. ::: ### 6 정의 해부 — 조각마다 하는 일 이 한 문장은 네 조각으로 되어 있고, 조각마다 판정에서 맡는 역할이 다르다. | **조각** | **하는 일** | **판정에서의 역할** | |---|---|---| | "군 $(G, *)$와 $(H, \cdot)$에 대해" | 무대의 선언 | 집합만이 아니라 연산까지 지정해야 판정이 확정된다 — 같은 집합도 연산이 다르면 다른 군이다 | | "함수 $\varphi : G \to H$가" | 대응의 제시 | 동형을 보이는 답안은 이 식을 **실제로 만들어 제시해야** 한다 | | "전단사이고" | 원소의 일대일 짝짓기 | 표의 크기와 배치를 맞춘다. 빠지면 아래 실험 2의 붕괴 | | "$\varphi(a * b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b)$" | 구조 보존 | 표의 칸 내용을 맞춘다. 빠지면 아래 실험 1의 붕괴 | **조각 삭제 실험 1 — 구조 보존을 지운다.** 그러면 조건은 "전단사가 존재한다"만 남는다. 원소 개수가 같은 두 유한군 사이에는 전단사가 언제나 존재하므로, $(\mathbb{Z}_4, +)$와 클라인 4원군 $(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2, +)$도, 위수 4인 어떤 두 군도 전부 "같은 군"이 된다. 곧 이 기준은 군을 원소 개수로만 구별하게 되고, 예제 2.3이 보이는 차이를 전혀 보지 못한다. **조각 삭제 실험 2 — 전단사를 지운다.** 그러면 조건은 "구조 보존 함수가 존재한다"만 남는다. 임의의 두 군 $G, H$에 대해 상수 함수 $\varphi(a) = e_H$를 잡아 보자. 여기서 $e_H$의 아래첨자는 **어느 군의 항등원인지**를 표시한다 — $e_H$는 $H$의 항등원이고, 항등원이 여럿 등장하는 자리에서는 이렇게 무대를 밝혀 적는다. 이 상수 함수는 $\varphi(a * b) = e_H = e_H \cdot e_H = \varphi(a) \cdot \varphi(b)$이므로 구조 보존을 만족한다. 곧 **모든 두 군이 동형**이 되어 이 관계는 아무것도 구별하지 못한다. :::{container} quotebox **확인 8.** 두 실험이 각각 무엇을 보이는가. 그리고 두 조각 중 어느 하나만 확인한 답안은 어떤 결론까지 정당하게 말할 수 있는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 실험 1은 전단사만으로는 **개수 이상의 것을 보지 못한다**는 것을, 실험 2는 구조 보존만으로는 **아무것도 구별하지 못한다**는 것을 보인다. 두 조각은 서로를 대신하지 못한다. 전단사만 확인한 답안이 정당하게 말할 수 있는 것은 "두 군의 원소 개수가 같다"까지다. 구조 보존만 확인한 답안은 "$\varphi$가 준동형이다"까지다(정의 1.6). 어느 쪽도 "같은 군"이라는 결론에 이르지 못한다. ::: :::{container} quotebox **확인 9.** $\varphi : (\mathbb{Z}, +) \to (\mathbb{Z}, +)$, $\varphi(n) = 2n$은 두 조각 중 무엇을 만족하고 무엇을 만족하지 않는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 구조 보존은 만족한다: $\varphi(m + n) = 2(m+n) = 2m + 2n = \varphi(m) + \varphi(n)$. 전단사는 만족하지 않는다 — 단사이지만 전사가 아니다. 홀수는 어떤 $n$의 상도 아니기 때문이다(1권 41주차의 전사 판정). 따라서 $\varphi$는 준동형이지만 동형사상은 아니다. 다만 이 사상의 공역을 $2\mathbb{Z}$로 바꾸면 전사가 되어 동형사상이 된다 — 무대를 조정하면 판정이 바뀐다는 C12주차의 관찰이 군에서도 그대로다. 곧 $(\mathbb{Z}, +) \cong (2\mathbb{Z}, +)$이고, 무한군은 자기 자신의 진부분군과 동형일 수 있다. 훈련 2에서 이 사상의 $3$배 버전을 직접 쓴다. ::: ### 7 준동형과 동형 불변량 구조 보존만 요구하고 전단사를 요구하지 않는 사상에도 이름이 있다. ### 정의 1.6 — 준동형 (homomorphism) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox 군 $(G, *)$에서 $(H, \cdot)$로의 함수 $\varphi$가 모든 $a, b \in G$에 대해 $\varphi(a * b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b)$를 만족하면 $\varphi$를 **준동형사상**이라 한다. 곧 동형사상은 전단사인 준동형사상이다. ::: S7주차 문제 9의 함수방정식 $f(x + y) = f(x) + f(y)$가 요구하던 것이 정확히 이 조건이다. 그 문제는 $(\mathbb{R}, +)$에서 $(\mathbb{R}, +)$로의 준동형사상을 다룬 것이었고, 이름이 없어 "함수방정식"이라 불렸을 뿐이다. 문제 13이 그 재해석을 쓴다. 동형이 무엇을 보존하는지 정리해 둔다. 이것이 비동형 판정의 유일한 도구다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **정리 1.7 (동형 불변량, isomorphism invariants)** 동형사상 $\varphi : G \to H$가 존재하면(곧 $G \cong H$이면) 다음이 성립한다. ① $|G| = |H|$. ② $G$가 아벨이면 $H$도 아벨이다. ③ 모든 $a \in G$에 대해 $\operatorname{ord}(\varphi(a)) = \operatorname{ord}(a)$. ④ $G$가 순환군이면 $H$도 순환군이다. ::: **증명.** 진술이 준 동형사상 $\varphi : G \to H$를 놓고 네 항목을 차례로 본다. ① $\varphi$가 전단사이므로 두 집합의 원소 개수가 같다. 먼저 $\varphi(e_G) = e_H$임을 보인다. 아래첨자는 **어느 군의 항등원인지**를 표시한다 — $e_G$는 $G$의 항등원, $e_H$는 $H$의 항등원이고, 둘은 서로 다른 무대의 원소다. $\varphi(e_G) = \varphi(e_G * e_G) = \varphi(e_G) \cdot \varphi(e_G)$이고, $H$에서 $\varphi(e_G) = \varphi(e_G) \cdot e_H$이므로 두 식을 이으면 $\varphi(e_G) \cdot \varphi(e_G) = \varphi(e_G) \cdot e_H$이며, 소거법칙(C18주차)으로 $\varphi(e_G) = e_H$를 얻는다. ② $x, y \in H$를 잡으면 $\varphi$가 전사이므로 $x = \varphi(a)$, $y = \varphi(b)$인 $a, b \in G$가 있다. $G$가 아벨이므로 $x \cdot y = \varphi(a)\varphi(b) = \varphi(a * b) = \varphi(b * a) = \varphi(b)\varphi(a) = y \cdot x$. ③ $k = \operatorname{ord}(a)$라 하자. 구조 보존을 $k$번 쓰면 $\varphi(a^k) = \varphi(a)^k$이고, $a^k = e_G$이므로 $\varphi(a)^k = \varphi(e_G) = e_H$이다. 따라서 $\varphi(a)$의 위수는 $k$ 이하다. 거꾸로 $\varphi^{-1}$도 동형사상이므로 — 실제로 $x = \varphi(a)$, $y = \varphi(b)$일 때 $\varphi^{-1}(x \cdot y) = \varphi^{-1}(\varphi(a * b)) = a * b = \varphi^{-1}(x) * \varphi^{-1}(y)$이고 역함수는 전단사다(1권 43주차) — 같은 논증을 $\varphi^{-1}$과 $\varphi(a)$에 적용하면 $\operatorname{ord}(a)$가 $\operatorname{ord}(\varphi(a))$ 이하다. 두 부등식에서 두 위수가 같다. 여기까지는 $\operatorname{ord}(a)$가 유한한 경우다. $\operatorname{ord}(a)$가 무한이면 $\operatorname{ord}(\varphi(a))$도 무한이다 — 만약 유한하다면 방금의 논증을 $\varphi^{-1}$과 $\varphi(a)$에 적용해 $\operatorname{ord}(a)$가 그 유한한 값 이하가 되어, 무한이라는 가정에 어긋나기 때문이다. 두 경우를 합치면 모든 $a \in G$에 대해 두 위수가 같다. ④ $G = \langle a \rangle$이면 $H$의 임의의 원소 $x$는 $x = \varphi(a^n) = \varphi(a)^n$ 꼴이므로 $H = \langle \varphi(a) \rangle$이다. $\blacksquare$ **이 정리를 쓰는 방향은 하나뿐이다.** 정리 1.7은 "동형이면 불변량이 같다"고 말하므로, 대우를 취하면 "**불변량이 하나라도 다르면 동형이 아니다**"가 된다 (1권 19주차의 대우). 비동형 판정은 언제나 이 대우 쪽을 쓴다. 반대로 불변량이 전부 같다고 동형이 되지는 않는다 — 그 방향을 보이려면 동형사상을 실제로 만들어 제시해야 한다. :::{container} quotebox **확인 10.** $(\mathbb{Z}, +)$와 $(\mathbb{Q}, +)$가 동형이 아님을 보이려 한다. 정리 1.7의 네 항목 중 어느 것을 쓸 수 있는지 검토해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown ①은 쓸 수 없다 — 둘 다 가산무한이므로 크기가 같다(C13주차). ②도 쓸 수 없다 — 둘 다 아벨이다. ③도 어렵다 — 항등원 외의 모든 원소가 양쪽 다 무한 위수다. 남는 것은 ④다. $(\mathbb{Z}, +) = \langle 1 \rangle$은 순환군이지만 $(\mathbb{Q}, +)$는 순환군이 아니다. 어떤 유리수 $q$를 잡아도 $\langle q \rangle = \{nq : n \in \mathbb{Z}\} \ne \mathbb{Q}$임을 두 경우로 확인한다. $q = 0$이면 $\langle 0 \rangle = \{0\}$이고 $\mathbb{Q}$에는 $0$ 아닌 원소가 있으므로 $\langle 0 \rangle \ne \mathbb{Q}$다. $q \ne 0$이면 $q/2 \in \mathbb{Q}$인데 $nq = q/2$가 되려면 양변을 $q$로 나눠 $n = 1/2$이어야 하고 이는 정수가 아니므로 $q/2 \notin \langle q \rangle$이다. 두 경우 모두 $q$는 생성원이 아니다. 따라서 ④에 의해 두 군은 동형이 아니다. 불변량 네 개를 차례로 시험해 보고 통하는 것을 고르는 것이 비동형 판정의 실제 작업이며, 넷 다 통하지 않으면 다섯째 불변량을 직접 만들어야 한다. ::: ### 8 이번 주에 쓸 수 있는 근거 — 목록 갱신 허용 목록은 1권 이래 네 줄이다: ① 정의 ② 닫힘성 ③ 등식의 성질 ④ 이미 증명한 명제. 이번 주가 채우는 것은 ①과 ④다. | **근거** | **이번 주에 추가$\cdot$갱신되는 것** | **이번 주에는 이렇게 쓴다** | |---|---|---| | ① 정의 | **정의 1.1**(부분군) $\cdot$ **정의 1.3**(생성되는 부분군$\cdot$순환군) $\cdot$ **정의 1.4**(원소의 위수) $\cdot$ **정의 1.5**(동형사상) $\cdot$ **정의 1.6**(준동형) | "부분군" $\leftrightarrow$ "세 조건", "동형" $\leftrightarrow$ "구조 보존 전단사" 사이를 번역한다 | | ② 닫힘성 | 군의 닫힘(C18주차)과 **부분군의 닫힘**이 별개의 확인 대상임 | 큰 군에서의 닫힘은 인용하고, 부분집합에서의 닫힘은 매번 증명한다 | | ③ 등식의 성질 | 지수법칙 $a^m a^n = a^{m+n}$ (결합법칙에서 유도) | $\langle a \rangle$의 닫힘과 정리 1.7 ③의 계산에 쓴다 | | ④ 이미 증명한 명제 | **부분군 판정 정리**(정리 1.2) $\cdot$ **보조정리 1.A** $\cdot$ **라그랑주 정리와 따름 명제 1.B**(정리 1.5) $\cdot$ **동형 불변량**(정리 1.7) $\cdot$ 항등원과 역원의 유일성$\cdot$소거법칙(C18주차) $\cdot$ 동치관계는 분할을 준다(C11주차, 1권 37주차) $\cdot$ 전단사와 역함수(1권 41$\cdot$43주차) $\cdot$ 나눗셈 정리(1권 33주차) $\cdot$ $S_3$은 비아벨(C18주차 예제 2.3) | "라그랑주 정리에 의해"처럼 이름을 대고 한 줄로 끝낸다 | 목록 밖의 것은 이번 주에도 근거가 되지 않는다. 특히 **"연산표를 그려 보니 모양이 같았다"와 "위수가 같으므로 같은 군이다"는 근거가 아니다** — 전자는 §0의 유형 2가, 후자는 문제 18이 실제로 무너지는 답안이다. :::{container} quotebox **확인 11.** 어떤 답안에 다음 세 문장이 나왔다. 각각 허용되는가. 허용된다면 몇 번 근거인가. (가) "$H$의 원소는 전부 $G$의 원소이므로 결합법칙은 확인하지 않는다." (나) "두 군의 원소가 각각 6개이므로 동형이다." (다) "$\operatorname{ord}([2]) = 3$이고 $|\mathbb{Z}_6| = 6$이므로 $3 \mid 6$이다." ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (가) 허용 — 근거 ④(정리 1.2의 증명에서 확정한 사실). 부분군 판정에서 결합법칙을 확인하지 않는 것은 생략이 아니라 정리가 허가한 것이다. (나) 불허 — 목록 밖이다. 위수가 같은 것은 동형의 **필요조건**일 뿐이며(정리 1.7 ①), 문제 12와 18이 정확히 이 형태의 답안을 다룬다. (다) 허용 — 근거 ④(따름 명제 1.B). 다만 이 문장은 계산의 확인이지 증명이 아니므로, 답안에서 무엇의 근거로 쓰이는지가 앞뒤에 적혀 있어야 한다. :::