# C18주차 — 군론 I: 이항연산·군·순열군 :::{admonition} 이 주의 길잡이 :class: keybox **핵심 문장**: 군은 하나의 이항연산에 세 가지만 요구한다 — 결합$\cdot$항등원$\cdot$역원. 요구가 적을수록 그 이름이 덮는 대상이 넓어지고, 공리 위에서 한 번 쓴 증명은 덮인 대상 전부에서 성립한다. **이 주의 위치**: 2학기 20주 과정의 C18주차. 1권 38주차의 $\mathbb{Z}_n$, C11주차의 동치류 위 연산, C12주차의 전단사와 역함수, S13주차의 유일성 서식이 여기서 하나의 공리계 아래로 모인다. S19주차 문제 16이 진술만 하고 넘긴 군의 공리가 이번 주에 정식 무대를 얻고, 다음 주 C19주차는 이 위에 부분군과 동형을 얹는다. **원서 대응**: Chartrand 15.1~15.3 (Proofs in Group Theory). 1일차에 이 세 절을 통독한 상태로 이 교안에 온다. ::: ## 이번 주 목표 1. **이항연산**을 정의하고, 주어진 집합과 연산에서 닫힘$\cdot$결합$\cdot$교환을 판정한다. 1. **군**을 세 공리(결합$\cdot$항등원$\cdot$역원)로 정의하고, 익숙한 대상들이 군인지를 **군 판정의 다섯 걸음**으로 판정한다. 1. 군의 첫 정리들 — 항등원의 유일성, 역원의 유일성, 소거법칙 — 을 공리만으로 증명한다. 1. **순열군** $S_n$을 다루고, $S_3$에서 합성이 순서에 의존함을 계산으로 확인한다. 본문 곳곳의 **확인** 상자는 연필로 먼저 답하는 자리다. 바로 아래의 **답** 상자는 (웹에서는 접혀 있다) 스스로 답한 뒤에 열어 대조한다. :::{admonition} 표기 — § 와 난이도 표시 :class: quotebox §는 "절"이라고 읽는다. §1.3은 이 주차의 1.3 절을, §6은 6절 전체를 가리킨다. 다른 주차를 가리킬 때는 "C17주차 §1.2"처럼 주차를 앞에 적는다. 연습문제는 기본 1~6번, 표준 7~14번, 도전 15~20번이고, 빈칸 사다리는 훈련 1에서 3으로 갈수록 지지대가 줄어든다. ::: ## 준비 운동 (C17주차 복습) 지난주까지의 도구를 손에 올려 둔다. 1~3번은 이번 주 답안에서 그대로 쓰거나, 이번 주가 정식화하는 것이 무엇인지 확인하는 데 쓴다. 1. $\varepsilon$-$\delta$ 연속의 정의와 미분가능의 정의를 쓰시오. 1. C11주차의 $\mathbb{Z}_n$ 연산 $[a] + [b] = [a+b]$를 쓰고, 그것이 잘 정의됨(well-defined)이 무엇을 요구하는지 한 줄로 적으시오. 1. S13주차 문제 9(덧셈 항등원의 유일성 — $e_1 = e_1 + e_2 = e_2$)의 세 줄을 재현하시오. 이어서 진단 문제 하나를 풀어 보자. 풀지 못해도 된다 — 이번 주가 무엇을 메우는지 가늠하기 위한 기록이다. 1. (진단) 다음 셋 중 하나만 나머지 둘과 다른 부류에 속한다. 어느 것이고, 무엇이 그 차이를 만드는가. $(\mathbb{Z}, +)$ $\cdot$ $(\mathbb{Z}, \times)$ $\cdot$ $(\mathbb{Q} - \{0\}, \times)$ 답을 노트에 적어 둔다. §5의 백지 재현 뒤에 이 기록을 다시 본다. ### 자주 나오는 세 가지 답 — 4번 문항 방금 쓴 답은 대개 다음 세 유형 중 하나다. 셋 다 옳은 관찰을 담고 있고, 셋 다 이번 주에 메울 정확한 간격이 있다. - **유형 1 — 연산의 이름으로 가른다.** "$(\mathbb{Z}, +)$만 덧셈이므로 그것이 다르다." 기호가 하나만 다르다는 관찰은 옳다. 간격은 부류를 가르는 것이 연산의 **이름**이 아니라 그 연산이 만족하는 **성질**이라는 데 있다. 실제로 $(\mathbb{Z}, +)$와 $(\mathbb{Q} - \{0\}, \times)$는 기호가 다른데도 §1.2의 표에서 같은 줄에 놓인다. - **유형 2 — 집합으로 가른다.** "$\mathbb{Q} - \{0\}$만 정수가 아니므로 그것이 다르다." 집합이 하나만 다르다는 관찰도 옳고, 특히 "왜 $0$을 빼 두었는가"에 눈이 간 것은 정답의 실마리다. 간격은 그 이유를 아직 검사 가능한 조건으로 적지 않았다는 것이다. $0$을 빼는 이유는 §1.2의 마지막 열에서 드러난다. - **유형 3 — 나눗셈으로 가른다.** "$(\mathbb{Z}, \times)$에서는 나눗셈이 안 되므로 그것이 다르다." 이것이 답에 가장 가깝다. 간격은 "나눗셈이 안 된다"가 아직 느낌이라는 것이다. 검사할 수 있는 문장으로 바꾸면 "$2 \times x = 1$인 $x$가 $\mathbb{Z}$ 안에 없다"가 되고, 이 문장이 이번 주의 공리 (G3)이 된다. ## 개념 — 요구를 줄여 이름을 넓히기 ### 1 지금 가진 도구로 밀어붙이면 어디서 막히는가 새 이름을 꺼내기 전에, 지금까지의 규칙만으로 하나의 증명을 다른 무대로 옮겨 본다. 1권 43주차 문제 13에서 역함수의 유일성을 증명했고, 그 증명은 다음 다섯 등호였다. $$ g_1 = g_1 \circ \mathrm{id}_B = g_1 \circ (f \circ g_2) = (g_1 \circ f) \circ g_2 = \mathrm{id}_A \circ g_2 = g_2 $$ 같은 주장을 $\mathbb{Z}_6$의 덧셈 역원으로 옮겨 적어 보자. :::{admonition} 시도 — 증명을 무대마다 다시 쓰기 :class: quotebox 명제: $\mathbb{Z}_6$에서 $[a]$의 덧셈 역원은 유일하다. "$[b]$와 $[c]$가 둘 다 $[a]$의 덧셈 역원이라 하자. 그러면 $[b] = [b] + [0] = [b] + ([a] + [c]) = ([b] + [a]) + [c] = [0] + [c] = [c]$." ::: 이 시도는 막히지 않는다. 오히려 그 점이 문제다 — 소재가 완전히 다른데 줄의 배열이 글자 하나까지 같다. 그런데 지금까지의 규칙으로는 한쪽을 다른 쪽의 근거로 인용할 수 없다. 함수의 유일성 증명은 함수에 대한 정리이고, $\mathbb{Z}_6$의 유일성 증명은 $\mathbb{Z}_6$에 대한 정리이기 때문이다. 세 번째 무대가 나오면 세 번째로 다시 쓴다. :::{container} quotebox **확인 1.** 위 두 증명이 실제로 사용한 성질을 각각 적어 보자. 함수 쪽의 $\mathrm{id}_B$, 합성의 결합법칙, 역함수 등식 $f \circ g_2 = \mathrm{id}_B$는 각각 $\mathbb{Z}_6$ 쪽의 무엇에 대응하는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 대응은 $\mathrm{id}_B \leftrightarrow [0]$, 합성의 결합법칙 $\leftrightarrow$ 덧셈의 결합법칙, $f \circ g_2 = \mathrm{id}_B \leftrightarrow [a] + [c] = [0]$이다. 두 증명이 쓴 것은 함수의 성질도 $\mathbb{Z}_6$의 성질도 아니고 이 **세 가지**뿐이다 — 결합, 항등원, 역원. 소재의 나머지 성질($f$가 어떤 규칙인지, $6$이 몇인지)은 한 줄도 쓰이지 않았다. 그렇다면 이 세 가지만 갖춘 대상 전부를 한 이름으로 묶고, 그 이름 위에서 한 번만 증명하면 된다. 그 묶음에 이름을 붙이는 것이 이번 주의 일이다. ::: :::{admonition} 이 주 전체의 기준 :class: quotebox 이번 주에 새로 배우는 계산은 없다. 결합법칙도, 항등원도, 역원도 1권 38주차와 C11주차$\cdot$C12주차에서 이미 다룬 것이다. 새로운 것은 **요구 목록을 짧게 줄이는 일**이다. 요구를 세 줄로 줄이면 그 세 줄을 만족하는 대상이 많아지고, 세 줄만 쓴 증명은 그 대상 전부에서 한꺼번에 성립한다. ::: ### 2 사례를 모아 보기 — 무엇을 요구할 것인가 아래 표의 각 줄은 "집합 하나와 그 위의 연산 하나"라는 같은 상황이고, 집합과 연산만 다르다. 각 칸을 ✓ 또는 ✗로 채워 보자. ✗인 칸에는 반례가 되는 수를 함께 적는다. | **집합과 연산** | **결과가 집합 안에 남는가** | **결합** | **두 쪽 모두에서 작동하는 항등원** | **모든 원소에 역원** | |---|---|---|---|---| | $(\mathbb{Z}, +)$ | ✓ | ✓ | ✓ ($0$) | ✓ ($-a$) | | $(\mathbb{N}, +)$ | ✓ | ✓ | $\underline{\quad(1)\quad}$ | $\underline{\quad(2)\quad}$ | | $(\mathbb{Z}, -)$ | ✓ | $\underline{\quad(3)\quad}$ | ✗ ($a - e = a$에서 $e = 0$뿐인데 $0 - a = -a$) | — | | $(\mathbb{Z}, \times)$ | ✓ | ✓ | ✓ ($1$) | $\underline{\quad(4)\quad}$ | | $(\mathbb{Q} - \{0\}, \times)$ | ✓ | ✓ | ✓ ($1$) | ✓ ($1/a$) | | $(\mathbb{Z}_6, +)$ | ✓ | ✓ | ✓ ($[0]$) | $\underline{\quad(5)\quad}$ | :::{container} quotebox **확인 2.** 빈칸 (1)~(5)를 채우고, 준비 운동 4번의 셋이 이 표에서 어떻게 갈리는지 한 줄로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown (1) ✗ — $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$에는 $0$이 없다. (2) — 항등원이 없으므로 역원 조건은 진술 자체가 성립하지 않는다. 역원의 정의가 $e$를 참조하기 때문이고, $(\mathbb{Z}, -)$ 줄의 마지막 칸을 비워 둔 것과 같은 규약이다(이유는 §1.4의 (G2) 삭제 실험에 있다). (3) ✗ — $(5 - 3) - 1 = 1$이고 $5 - (3 - 1) = 3$이다. (4) ✗ — $2x = 1$인 정수 $x$가 없다. (5) ✓ — $[a]$에 대해 $[6 - a]$가 역원이다 (1권 38주차 문제 14). 갈림: $(\mathbb{Z}, +)$와 $(\mathbb{Q} - \{0\}, \times)$는 네 칸이 모두 ✓이고, $(\mathbb{Z}, \times)$만 마지막 칸에서 ✗다. 연산의 이름도 집합의 종류도 아니고 **마지막 열**이 셋을 갈랐다. $\mathbb{Q}$에서 $0$을 뺀 이유도 이 열이다 — $0$을 두면 $0 \times x = 1$인 $x$가 없어 그 한 원소 때문에 마지막 칸이 ✗가 된다. ::: 표의 오른쪽 네 열이 요구 목록의 후보다. 여기에 이름과 형식을 붙인다. 식 자체에 새로운 것은 없다 — 방금 표에서 한 일을 문장으로 굳혔을 뿐이다. ### 3 이항연산 — 요구의 첫 줄 첫째 열("결과가 집합 안에 남는가")부터 이름을 붙인다. 이 열은 나머지 세 열과 성격이 달라, 따로 세운 공리가 아니라 "연산"이라는 말 안에 넣는다. ### 정의 1.1 — 이항연산 (binary operation) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox 집합 $G$ 위의 **이항연산** $*$은 함수 $* : G \times G \to G$이다. 곧 $G$의 두 원소 $a, b$에 대해 $a * b$가 정해지고, 그 값이 다시 $G$의 원소다. ::: :::{admonition} 표기 — $*$ 와 $G \times G \to G$ :class: quotebox $a * b$는 "에이 스타 비"로 읽는다. $*$는 특정한 연산이 아니라 "이 무대에서 정한 연산"을 가리키는 자리표시다 — 무대에 따라 $+$가 되기도 $\times$가 되기도 $\circ$가 되기도 한다. $G \times G \to G$는 "지 곱하기 지에서 지로 가는 함수"로 읽고, 입력이 $G$의 원소 **두 개**이고 출력이 $G$의 원소 **하나**라는 뜻이다. ::: 이 정의는 세 조각으로 되어 있고, 조각마다 맡는 역할이 다르다. | **조각** | **하는 일** | **증명에서의 역할** | |---|---|---| | "함수" | 입력마다 값이 **하나** 정해짐 | $a * b$를 하나의 대상으로 쓸 수 있게 한다 — 값이 둘이면 등식을 쓸 수 없다 | | 정의역 "$G \times G$" | 입력이 $G$의 원소 두 개 | 무대 밖의 원소를 몰래 끌어들이는 것을 막는다 | | 공역 "$G$" | 결과가 다시 $G$ 안 | **닫힘**이 여기에 들어 있다 — 판정의 첫 걸음이 되는 조각이다 | **조각 삭제 실험.** 셋째 조각의 공역을 $G$에서 "아무 집합"으로 바꿔 보자. 그러면 $\mathbb{N}$ 위의 뺄셈도 이항연산이 된다($3 - 5 = -2$를 값으로 인정하면 된다). 그러나 그 순간 $3 - 5$가 무대 밖으로 나가므로, 그다음 줄에서 $-2$에 다시 연산을 적용할 자격이 사라진다. :::{container} quotebox **확인 3.** 공역을 $G$로 못 박는 조각이 지켜 주는 것은 무엇인가. "$a * b * c$"라는 표기를 쓸 수 있는지와 연결해 답해 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 지켜 주는 것은 **연산을 이어서 적용할 자격**이다. $a * b$가 다시 $G$의 원소여야 $(a * b) * c$를 쓸 수 있고, 그래야 결합법칙을 진술할 대상이 생긴다. 공역이 열려 있으면 $a * b$가 무대 밖으로 나가 버려 $(a * b) * c$ 자체가 정의되지 않는다. 그래서 닫힘은 세 공리와 나란히 놓인 넷째 공리가 아니라, 이항연산이라는 말 안에 이미 들어 있는 조건이다. 다만 판정할 때는 반드시 따로 검사한다(§1.5 걸음 ②). ::: 교환법칙은 이항연산의 정의에 들어 있지 않다. 별도의 이름으로 둔다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **결합과 교환** **결합**(associative): 모든 $a, b, c \in G$에 대해 $(a * b) * c = a * (b * c)$. **교환**(commutative): 모든 $a, b \in G$에 대해 $a * b = b * a$. ::: ### 4 군 — 세 줄로 줄인 요구 표의 남은 세 열(결합$\cdot$항등원$\cdot$역원)에 이름과 형식을 붙인다. 이 세 줄이 요구의 전부다. ### 정의 1.2 — 군 (group) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox 집합 $G$와 그 위의 이항연산 $*$의 쌍 $(G, *)$이 **군**이라는 것은, 다음 세 조건을 모두 만족한다는 뜻이다. **(G1) 결합**: 모든 $a, b, c \in G$에 대해 $(a * b) * c = a * (b * c)$. **(G2) 항등원**: 어떤 $e \in G$가 존재하여, 모든 $a \in G$에 대해 $e * a = a * e = a$이다. **(G3) 역원**: 각 $a \in G$에 대해 $a * b = b * a = e$인 $b \in G$가 존재한다. 추가로 교환법칙까지 만족하면 **아벨 군**(abelian group)이라 한다. ::: (G1)을 반복 적용하면 인수가 넷 이상일 때도 괄호 위치가 결과를 바꾸지 않는다. 이 사실(일반 결합법칙)의 증명은 인수 개수에 대한 귀납이고, 이번 주에는 인정하고 쓴다 — 그 덕에 $a * b * c * d$처럼 괄호 없이 적을 수 있다(문제 11에서 실제로 쓴다). (G3)에 나오는 $b$를 $a$의 **역원**이라 하고 $a^{-1}$로 쓴다. 이 표기는 정리 1.2에서 역원이 유일함을 보인 뒤에야 정당해진다. 이 순서는 1권 26주차의 유일성 틀이 요구하는 것과 같다 — 유일함을 보인 뒤에야 "그 역원"이라 부르고 $a^{-1}$이라는 한 글자 표기를 쓸 수 있다. 정의를 조각으로 해부한다. | **조각** | **하는 일** | **증명에서의 역할** | |---|---|---| | (G1) 결합 | 괄호를 옮길 자격 | 등식 중간에서 재결합해 두 항을 만나게 한다 — 정리 1.2의 유일한 도구 | | (G2) 항등원 | 등식을 늘릴 기준점 | $b = b * e$처럼 아무 데서나 계산을 시작할 수 있게 한다 | | (G2)의 "$e * a = a * e$" | 양쪽 모두 요구 | 한쪽만 요구하면 $(\mathbb{Z}, -)$처럼 한 방향만 되는 것이 통과한다 | | (G2)의 "어떤 $e$가 존재하여 모든 $a$에" | 존재가 전칭보다 앞선다 | $e$ 하나가 모든 원소를 상대해야 한다 — $a$마다 다른 $e_a$를 허용하면 항등원이 아니다 | | (G3) 역원 | 항을 지울 자격 | $b * a$를 $e$로 바꿔 항을 소거한다 — 정리 1.3의 유일한 도구 | | (G3)의 "각 $a$에 대해" | 예외 없음 | 원소 하나라도 역원이 없으면 군이 아니다 — $(\mathbb{Z}, \times)$의 $2$ | **조각 삭제 실험 — (G1)을 빼면.** 결합만 지우고 항등원과 역원은 남긴 구조가 실제로 있다. $G = \{e, a, b\}$에 다음 연산표를 준다. | **$*$** | **$e$** | **$a$** | **$b$** | |---|---|---|---| | $e$ | $e$ | $a$ | $b$ | | $a$ | $a$ | $e$ | $e$ | | $b$ | $b$ | $e$ | $e$ | 닫힘은 표가 $G$의 원소만 담고 있으므로 성립하고, $e$는 (G2)를 만족하며, 세 원소 모두 역원을 가진다. 그런데 $(a * b) * b = e * b = b$이고 $a * (b * b) = a * e = a$이므로 (G1)이 깨진다. :::{container} quotebox **확인 4.** 위 표에서 $a$의 역원이 될 수 있는 원소를 모두 찾아 보자. (G1)을 지운 대가로 무엇이 무너졌는가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $a * a = e$이고 $a * b = b * a = e$이므로 $a$의 역원은 $a$와 $b$ **둘**이다. 무너진 것은 **역원의 유일성**이고, 따라서 $a^{-1}$이라는 표기도 무너진다 — 어느 쪽을 가리키는지 정해지지 않기 때문이다. §1.1의 다섯 등호가 결합을 한 번 쓴다는 것을 확인 1에서 보았는데, 그 한 번을 빼면 결론이 실제로 거짓이 된다는 것을 이 표가 보여 준다. 공리는 장식이 아니라 결론을 떠받치는 최소한이다. ::: **조각 삭제 실험 — (G2)를 빼면.** 짝수 전체 $2\mathbb{Z}$에 곱셈을 주면 닫힘과 결합은 성립하지만 $1 \notin 2\mathbb{Z}$이라 항등원이 없다. 그러면 (G3)을 **진술할 수조차 없다** — 역원의 정의가 $e$를 참조하기 때문이다. (G2)는 (G3)보다 먼저 놓여야 한다. ### 5 절차 — 군 판정의 다섯 걸음 [백지 암기 대상] :::{admonition} 군 판정의 다섯 걸음 :class: quotebox 걸음 ①. 무대를 적는다 — 집합 $G$와 연산 $*$를 **함께** 선언한다. 걸음 ②. 닫힘을 확인한다 — $a, b \in G$이면 $a * b \in G$인가. 걸음 ③. 결합을 확인한다 — 무대의 산술에서 상속되는지, 아니면 반례가 있는지. 걸음 ④. 항등원을 **지목한다** — $e$가 무엇인지 원소로 적고 양쪽을 확인한다. 걸음 ⑤. 역원을 각 원소마다 **제시한다** — 유한 무대면 전수로, 무한 무대면 식으로. 판정이 "군이 아니다"이면 무너지는 걸음 하나를 골라 그 자리의 반례를 제시한다 — 걸음 ⑤는 원소 하나, 걸음 ②는 원소 두 개, 걸음 ③은 원소 세 개이고, 걸음 ④는 항등원 후보 $e$를 식으로 몰아낸 뒤 그 $e$가 무대 밖임을 보인다. ::: 걸음마다 무슨 일을 하는지, 그리고 빼면 무엇이 무너지는지 해부한다. | **걸음** | **하는 일** | **이 걸음을 빼면 무엇이 무너지는가** | |---|---|---| | ① 무대 선언 | 판정 대상 확정 | "$\mathbb{Z}$는 군인가"라는 물음에 답이 없다 — $+$면 군이고 $\times$면 아니다 | | ② 닫힘 | 이어 붙일 자격 확보 | 곱이 무대 밖으로 나가도 잡히지 않는다 — 그러면 $*$는 애초에 이 무대의 이항연산이 아니고 (G1)~(G3)을 진술할 대상 자체가 없어진다. 판정 이전의 걸음이다 | | ③ 결합 | 재결합 자격 확보 | §1.4의 세 원소 표가 군으로 통과한다 | | ④ 항등원 지목 | 기준점 확정 | "항등원이 있다"만 적으면 (G3)을 진술할 대상이 없다 | | ⑤ 역원 제시 | 소거 자격 확보 | $(\mathbb{Z}, \times)$가 군으로 통과한다 | **걸음 삭제 실험.** 걸음 ②와 걸음 ⑤를 **둘 다** 빼고 판정한 답안이 실제로 문제 10에 실려 있다. 결합$\cdot$교환$\cdot$항등원까지만 확인하고 "따라서 군"이라 끝맺은 답안인데, 그 무대($\mathbb{Z}_6$에서 $[0]$을 뺀 것)에서는 $[2][3] = [0]$이 무대 밖이라 걸음 ②가 무너지고, $[2]$의 역원이 없어 걸음 ⑤도 무너진다. 생략한 걸음이 하나가 아니라 둘이고, 그 대가가 거짓 결론이다. :::{container} quotebox **확인 5.** $(\mathbb{Z}, \times)$를 다섯 걸음으로 판정해 보자. 어느 걸음에서 무엇이 무너지는가. 무너짐을 보이는 데 원소 몇 개가 필요한가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown 걸음 ①~④는 통과한다 — 무대는 $(\mathbb{Z}, \times)$, 정수의 곱은 정수, 곱셈은 결합적, 항등원은 $1$이다. 걸음 ⑤에서 무너진다: $a = 2$에 대해 $2x = 1$인 정수 $x$가 없다($x = \tfrac12 \notin \mathbb{Z}$). 필요한 원소는 **하나**다 — 걸음 ⑤에서 무너지는 경우에 한한 이야기다. (G3)은 "각 $a$에 대해"라는 전칭이므로 부정하려면 반례 하나면 충분하다(1권 29주차의 반례 서식). 걸음 ②나 걸음 ③에서 무너지는 무대라면 필요한 원소가 각각 둘$\cdot$셋이다. ::: ### 6 군의 첫 정리들 공리 세 줄만으로 무엇이 나오는지 확인한다. 아래 세 정리의 증명에는 소재가 한 글자도 등장하지 않는다 — (G1)(G2)(G3)만 쓴다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **정리 1.1 (항등원의 유일성)** 군 $(G, *)$의 항등원은 유일하다. ::: 증명을 함께 만든다. S13주차의 유일성 서식 중 얼굴 1 — "둘이라 가정하고 서로에게 투입한다" — 을 그대로 쓴다. :::{container} quotebox **확인 6.** 첫 문장을 완성해 보자: "$e_1$과 $e_2$가 둘 다 $\underline{\qquad}$이라 하자." 그리고 목표는 무엇인가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown "$e_1$과 $e_2$가 둘 다 항등원이라 하자." 목표는 $e_1 = e_2$이다. 유일성 증명은 "하나뿐"을 직접 보이는 것이 아니라 **둘을 잡아 같음을 보이는** 것이다 (1권 26주차의 유일성 틀, S13주차 얼굴 1). ::: :::{container} quotebox **확인 7.** $e_1 * e_2$라는 하나의 식을 두 번 읽어 보자. $e_2$가 항등원이라는 사실을 쓰면 이 식은 무엇과 같고, $e_1$이 항등원이라는 사실을 쓰면 무엇과 같은가. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $e_2$가 항등원이므로 $e_1 * e_2 = e_1$이고, $e_1$이 항등원이므로 $e_1 * e_2 = e_2$이다. 한 식이 두 값과 같으므로 그 두 값이 같다. ::: **정리 1.1의 증명.** $e_1$과 $e_2$가 둘 다 $G$의 항등원이라 하자. $e_2$가 항등원이므로 $e_1 * e_2 = e_1$이다. 한편 $e_1$이 항등원이므로 $e_1 * e_2 = e_2$이다. 따라서 $$ e_1 = e_1 * e_2 = e_2 $$ 이고 항등원은 유일하다. $\blacksquare$ 이 증명은 (G2)만 쓰고 (G1)도 (G3)도 쓰지 않는다. 다음 정리는 사정이 다르다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **정리 1.2 (역원의 유일성)** 군 $(G, *)$의 각 원소 $a$에 대해, $a * b = b * a = e$를 만족하는 $b$는 유일하다. ::: 증명은 예제 2.2에서 한 줄씩 만든다. 이 정리가 확보된 뒤에야 $a^{-1}$이라는 표기를 쓸 수 있다. :::{admonition} 백지 암기 대상 :class: keybox **정리 1.3 (소거법칙)** 군 $(G, *)$에서 $a * b = a * c$이면 $b = c$이고, $b * a = c * a$이면 $b = c$이다. ::: 증명은 문제 8과 §3 훈련 2에서 각각 직접 쓴다. 미리 밝혀 둘 것은 소거의 근거다 — 소거가 되는 이유는 연산이 곱셈이라서가 아니라 **역원이 있기 때문**이다. 1권 38주차 문제 11에서 $\mathbb{Z}_6$의 $[3][x] = [3][y]$인데 $[x] \neq [y]$인 반례를 만들며 "소거 금지"를 확인했는데, 그 무대에 $[3]$의 역원이 없다는 것이 정확한 이유였다. 1권에서 반례로 감각을 잡던 그 사실이 여기서 공리 (G3)과 정리 1.3이라는 이름을 얻는다. ### 7 순열군 — 수가 아닌 무대 지금까지 다룬 무대는 전부 수의 집합이었다. 원소가 **함수**인 무대에서도 같은 세 공리가 그대로 작동한다는 것을 확인해 둔다. ### 정의 1.3 — 순열과 순열군 $S_n$ (permutation group) [백지 암기 대상] :::{container} quotebox $X_n = \{1, 2, \dots, n\}$이라 하자. $X_n$ 위의 **순열**(permutation)은 $X_n$에서 $X_n$으로 가는 전단사다(C12주차). $X_n$의 모든 순열의 집합에 함수 합성 $\circ$을 연산으로 준 것을 **순열군** $(S_n, \circ)$이라 한다. ::: :::{admonition} 표기 — 순환 표기와 합성의 순서 :class: quotebox $(1\,2\,3)$은 "일 이 삼 순환"이라 읽고, $1 \mapsto 2$, $2 \mapsto 3$, $3 \mapsto 1$이며 표기에 나오지 않는 원소는 그대로 둔다는 뜻이다. $(1\,2)$는 $1$과 $2$만 맞바꾸고 나머지는 고정한다. 항등순열은 $\mathrm{id}$로 쓴다. $\sigma \circ \tau$는 C12주차의 합성 규약대로 **오른쪽 $\tau$를 먼저** 적용한다: $(\sigma \circ \tau)(x) = \sigma(\tau(x))$. ::: 이 정의도 세 조각으로 되어 있다. | **조각** | **하는 일** | **증명에서의 역할** | |---|---|---| | "$X_n$에서 $X_n$으로" | 정의역과 공역을 같은 집합으로 못 박음 | 합성이 다시 순열이 되게 해 닫힘을 준다 — 공역이 다르면 이어 붙일 수 없다 | | "전단사" | 단사와 전사를 함께 요구 | 역원의 존재를 보증한다 — 단사만이면 역함수가 없다 | | "연산은 합성" | 무대의 연산을 지정 | 결합법칙을 1권 42주차 문제 7에서 상속받는다 | **조각 삭제 실험.** 둘째 조각의 "전단사"를 "함수"로 느슨하게 하면 $X_3$ 위의 상수함수 $c : x \mapsto 1$이 무대에 들어온다. $c$는 어떤 함수 $f$와 합성해도 $c \circ f = c$이고 $f \circ c$는 상수함수이므로 $\mathrm{id}$가 될 수 없다. 곧 $c$에는 역원이 없고 (G3)이 무너진다. $S_n$이 군인 이유를 다섯 걸음으로 확인한다. 네 걸음이 모두 이전 주차의 정리다. | **걸음** | **$S_n$에서의 확인** | **근거** | |---|---|---| | ② 닫힘 | 전단사와 전단사의 합성은 전단사 | 1권 42주차 문제 15(전단사의 합성은 전단사) $\cdot$ 단사 부분은 C12주차 문제 8 | | ③ 결합 | 함수 합성은 결합적 | 1권 42주차 문제 7 | | ④ 항등원 | 항등함수 $\mathrm{id}$ — $\sigma \circ \mathrm{id} = \mathrm{id} \circ \sigma = \sigma$ | 항등함수의 정의 | | ⑤ 역원 | 전단사는 역함수를 가지고 그 역함수도 전단사 | C12주차 문제 12$\cdot$15 | :::{container} quotebox **확인 8.** $X_3$ 위의 순열은 몇 개인가. 그 근거를 한 줄로 적어 보자. ::: :::{admonition} 답 :class: quotebox dropdown $3! = 6$개다. 근거는 $1$의 상을 정하는 방법이 3가지, 남은 자리에서 $2$의 상을 정하는 방법이 2가지, $3$의 상은 1가지로 강제되므로 $3 \times 2 \times 1$이다 (C16주차의 곱셈 원리). 일반적으로 $X_n$의 순열은 $n!$개이고, 이것이 $S_n$의 원소 개수 — **위수**다. ::: $S_n$은 $n \ge 3$에서 아벨 군이 아니다. 그 사실을 계산으로 확인하는 것이 예제 2.3이다. 정삼각형의 회전과 반사가 정확히 $S_3$의 여섯 원소와 대응하므로, $S_3$의 비아벨성은 "먼저 뒤집고 돌린 결과"와 "먼저 돌리고 뒤집은 결과"가 다르다는 사실과 같은 말이다. ### 8 이번 주에 쓸 수 있는 근거 — 목록 갱신 허용 목록은 1권 이래 네 줄이다: ① 정의 ② 닫힘성 ③ 등식의 성질 ④ 이미 증명한 명제. 이번 주가 채우는 것은 ①$\cdot$②$\cdot$④다. | **근거** | **이번 주에 추가$\cdot$갱신되는 것** | **이번 주에는 이렇게 쓴다** | |---|---|---| | ① 정의 | **정의 1.1**(이항연산) $\cdot$ **정의 1.2**(군과 아벨 군) $\cdot$ **정의 1.3**(순열과 순열군) | "군의 정의에 의해 $e * a = a$"처럼 이름과 등식 사이를 번역한다 | | ② 닫힘성 | 이항연산의 공역이 $G$라는 조각(정의 1.1), 무대의 산술 — $\mathbb{Z}$$\cdot$$\mathbb{Q}$$\cdot$$\mathbb{R}$$\cdot$$\mathbb{C}$의 결합과 교환, $\mathbb{Z}_n$의 연산이 C11주차의 well-defined로 보증됨 | "정수 곱셈은 결합적이므로"처럼 아래층 산술에서 상속받아 한 줄로 적는다 | | ③ 등식의 성질 | 양변에 같은 원소를 **같은 쪽에서** 곱하는 조작 | §3 훈련 2와 문제 8의 첫 걸음이 이것이다 — 붙이는 쪽까지 밝혀 적는다 | | ④ 이미 증명한 명제 | 군 공리 **(G1)(G2)(G3)** $\cdot$ **정리 1.1**(항등원 유일) $\cdot$ **정리 1.2**(역원 유일) $\cdot$ **정리 1.3**(소거법칙) $\cdot$ C12주차의 전단사와 역함수(문제 8$\cdot$12$\cdot$15) $\cdot$ 1권 42주차 문제 7$\cdot$15 $\cdot$ 1권 38주차의 $\mathbb{Z}_n$ 사실 | 등호마다 (G1)/(G2)/(G3) 중 무엇인지 옆에 적고, 정리는 "역원의 유일성에 의해"처럼 이름을 댄다 | 목록 밖의 것은 이번 주 답안에 쓰지 않는다. 특히 다음 두 문장이 자주 등장한다. - "연산표를 그려 보니 결합법칙이 성립한다" — 위수 $n$인 무대에서 결합을 표로 확인하려면 세 원소 조합 $n^3$개를 모두 대조해야 한다. 실제 답안은 근거 ②를 인용해 무대의 산술에서 상속받는다고 적는다. - "역원은 당연히 있다" — (G3)은 존재 주장이므로 원소를 **제시**해야 한다. 유한 무대는 전수로, 무한 무대는 $-a$나 $1/a$처럼 식으로 적는다. **S19주차와의 연결.** 군은 무정의 용어(원소)와 하나의 이항연산 위에 세 공리를 얹은 공리계다. S19주차 문제 16이 요구한 무모순성 모형이 $(\mathbb{Z}, +)$이고, 같은 문제 (b)가 요구한 "항등원 유일성은 공리가 아니라 정리"의 증명이 정리 1.1이다. 공리 목록에 정리 1.1을 넣으면 독립성이 깨진다는 것도 그 문제에서 다룬 대로다.